Oficina - Frações e Porcentagem

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1 Oficina - Frações e Porcentagem Esta oficina está dividida em 5 etapas. - A primeira etapa tem por objetivo chamar a atenção dos alunos para as inúmeras situações cotidianas em que fazemos uso da ideia de partes. - Na segunda etapa, o conceito de fração será construído a partir de situações-problema em que precisamos quantificar o tamanho de uma parte. - Na terceira etapa, serão trabalhadas situações-problema que requerem o uso das operações básicas com frações: calcular uma fração de um número e somar/subtrair frações. - Na quarta etapa será feita uma breve apresentação do conceito de porcentagem, com ênfase no seu significado de fração. - Na 5ª e última etapa os alunos participarão de um jogo envolvendo frações. Todas essas etapas têm por objetivo desenvolver as seguintes habilidades: H4 Identificar as representações fracionárias em diversos contextos. H0 Reconhecer as diferentes formas de representação de um número (frações, decimais e os inteiros). H Utilizar os diferentes significados de uma fração na resolução de uma situaçõesproblema. H3 Operar com números racionais representados na forma fracionária. H2 Comparar números racionais. Para a realização da oficina, é interessante que os alunos formem grupos de até 4 pessoas. ª Etapa A importância do conceito de partes Iniciar a oficina projetando ou escrevendo na lousa as frases abaixo, perguntando aos alunos como eles as interpretam. - Pesquisa do IBGE mostra que quase metade da população está acima do peso. - Dona Jô pediu ao filho que fosse ao mercado e trouxesse meio quilo de café e meia dúzia de pãezinhos. - Quase um quinto dos brasileiros exagera na bebida, diz ministério. - O Paraná, maior produtor brasileiro de trigo, colheu até esta semana cerca de três quartos de sua safra, estimada em 3,2 milhões de toneladas.

2 - A queima de combustíveis fósseis, como petróleo, gás e carvão, é responsável por dois terços das emissões mundiais de gases de efeito estufa. - 60% dos brasileiros vão usar o 3º salário para pagar dívidas. Questionar os alunos sobre o que têm em comum os termos destacados nas frases. Conduzir a discussão para a conclusão de que todos esses termos representam partes de alguma coisa, e que o tema da oficina é justamente esse: a representação matemática das partes de algo. 2ª Etapa Frações como representações de partes Comentar com os alunos que nesta etapa eles vão aprender o conceito de fração, que é usado para representar partes. Propor aos alunos os seguintes problemas, que envolvem a representação de partes. PROBLEMA Imagine que alguém esteja lhe servindo um pedaço de bolo. O retângulo abaixo representa esse pedaço. Como você está de regime, você acha esse pedaço um pouco grande. Na verdade, você quer uma parte do tamanho da que está destacada na figura: Como você explicaria à pessoa que está lhe servindo, em palavras, o tamanho da parte que você quer? - Este problema é bastante simples. Provavelmente os alunos mencionarão a divisão por 4, e alguns talvez até a fração um quarto. A ideia é mostrar a importância de se usar uma linguagem que explique de forma precisa o que se quer dizer. A matemática nos permite isso.

3 PROBLEMA 2 - Recortar previamente em cartolinas vários círculos de mesmo tamanho (aproximadamente 0 cm de diâmetro) mas de cores diferentes. Dividir os círculos em 2, 3, 4, 6 e 0 partes iguais, de acordo com a cor, conforme indicam as figuras abaixo (as cores não precisam ser estas, o importante é que cada cor tenha pedaços de mesmo tamanho). Branco Vermelho Azul Verde Preto - Entregar os diversos pedaços de círculo aos alunos e pedir que eles montem os 5 círculos completos, com pedaços da mesma cor. É importante que eles tenham mais pedaços do que o necessário para montar o círculo. Por exemplo, cada grupo de alunos pode receber 3 pedaços brancos, 5 vermelhos, 5 azuis, 0 verdes e 2 pretos. Isso porque se o número for exato (2 brancos, 3 vermelhos, 4 azuis, 6 verdes e 0 pretos), sem sobras, a tarefa de montar os círculos fica, de certa forma, pré-resolvida - o aluno só precisa juntar todas os pedaços da mesma cor. - Mencionar que cada círculo representará uma unidade, e que podemos pensar em uma unidade tanto como uma única coisa (um bolo, por exemplo) quanto como um conjunto de coisas (o conjunto de alunos da classe, por exemplo). Em ambos os casos, cada pedaço de cartolina representa uma parte (dessa coisa ou desse conjunto de coisas). - Perguntar aos alunos que nome eles dariam para representar o tamanho de cada um dos 5 tipos de partes. Conduzir a discussão para a nomenclatura usual das frações: um meio, um terço, um quarto, um sexto, um décimo, introduzindo a notação fracionária. Explicar que o denominador indica o número de partes em que a unidade foi dividida e o numerador indica a quantidade destas partes (no caso dos pedaços, o numerador vale sempre ) Para ajudar na divisão dos círculos, foram preparados alguns modelos (moldes), que se encontram no final deste material

4 Perguntar aos alunos como eles representariam, com base no que acabaram de aprender, as seguintes partes em termos de frações: - Conduzir a discussão para as representações fracionárias 5, 3, 2, 4 e 5, de acordo com os significados dados ao numerador e ao denominador. Chamar a atenção para os dois últimos casos, que representam, respectivamente, uma unidade e uma parte maior do que a unidade, e que isso é perfeitamente possível (pois normalmente usamos o conceito de partes para porções menores do que uma unidade, mas ele pode ser expandido para porções maiores). - Perguntar aos alunos qual pedaço é maior: o branco, o vermelho, o azul, o verde ou o preto? Em outras palavras, que fração representa a maior parte:,,, ou? E a menor? Que conclusão podemos tirar? Conduzir a discussão para a conclusão de que o denominador indica o tamanho das partes em que a unidade foi dividida, e que quanto maior o denominador, menor é o tamanho de uma parte daquele tipo. Assim, 2 é a maior fração e 0 a menor. - Pedir para os alunos representarem com seus pedaços de cartolina as frações 2, 4, 7 e 3. Pedir que eles comparem os pedaços que representam a fração 2 com os pedaços que representam a fração Qual a maior fração? Explicar que ambas as frações representam a mesma parte, e por isso são chamadas de frações equivalentes. Isso nos permite escrever 2 = 4. Enfatizar que o conceito de 3 6 frações equivalentes será muito importante quando formos aprender a comparar e operar (somar/subtrair) frações com denominadores diferentes. Para finalizar a etapa 2, propor aos alunos mais alguns problemas, com objetivo de consolidar a interpretação e o uso de frações para representar partes. PROBLEMA 3 Considere uma garrafa de suco concentrado de acerola. Nas instruções de preparo, localizadas no rótulo, está escrito: Misturar uma parte de suco concentrado com 4 partes de água. a) Representando uma parte de suco concentrado por um retângulo escuro e uma parte de água por um retângulo claro, qual seria um desenho adequado para indicar a mistura sugerida? Resposta:

5 b) Na mistura final, qual a fração de suco concentrado? Qual a fração de água? Resposta: 5 e 4 5. PROBLEMA 4 Considere o tabuleiro de xadrez abaixo a) Que fração do tabuleiro representa uma casa? Resposta: 64 b) Qual a fração de casas escuras no tabuleiro? Resposta: 32, ou qualquer outra fração equivalente. 64 c) Qual a fração de casas ocupadas no tabuleiro (isto é, casas onde há uma peça)? Resposta: 8 64, ou qualquer outra fração equivalente. d) Existem outras frações que representem as mesmas partes que as frações dos itens b) e c)? Quais? Resposta: Caso as frações equivalentes não tenham aparecido nas respostas anteriores é o momento de discuti-las com os alunos. No item a), pode-se mostrar um rearranjo das casas de forma a deixar 32 claras de um lado do tabuleiro e 32 escuras do outro. Neste caso, fica claro que uma possível fração é. No item b), pode ser feito algo semelhante, mostrando que as casas ocupadas podem ser 2 dispostas em uma das oito fileiras do tabuleiro, ou seja, em do tabuleiro. 8 PROBLEMA 5 Para fazer um pavê, dona Naná usa um pacote inteiro de bolachas champanhe. Esse pavê normalmente é suficiente para 5 pessoas. Se ela quiser fazer um pavê para duas pessoas, que parte do pacote de bolachas ela usará? Resposta: 2. Uma possível argumentação é que cada uma das 5 pessoas consome do pacote inteiro 5 5 de bolachas usado no pavê original. Portanto duas pessoas consomem 2 do pacote. Se o novo pavê 5 é apenas para duas pessoas, será necessária apenas essa parte ( 2 ) do pacote. 5

6 3ª etapa Operando com frações a) Cálculo de uma fração de um conjunto de coisas. - Retomar com os alunos uma das frases que abriram a oficina: O Paraná, maior produtor brasileiro de trigo, colheu até esta semana cerca de três quartos de sua safra, estimada em 3,2 milhões de toneladas. Propor, a partir dela, o seguinte problema: PROBLEMA 6 Quantas toneladas de trigo haviam sido colhidas até a semana em que a notícia foi publicada? Orientar a resolução a partir da interpretação da fração. Três quartos significa 3 partes de um quarto. Uma sequência de resolução, portanto, é calcular primeiramente quanto vale um quarto de 3,2 milhões e em seguida multiplicar este resultado por 3. Calcular um quarto é simples: basta dividir 3,2 milhões por 4 o resultado é Multiplicando este número por 3, chegamos a 2,4 milhões que é o resultado. - A partir deste exemplo, formalizar o método para o cálculo de uma fração de um número qualquer: divide-se o número em questão pelo denominador da fração e multiplica-se o resultado pelo numerador. Mostrar que isso pode ser interpretado como uma multiplicação da fração pelo número (reforçar que a palavra de, na matemática, quase sempre indica uma multiplicação). 3 4 de 3,2 = 3 4 3,2 3 3,2 3,2 = 3 ou 4 4 Com base nessa explicação, pedir que eles tentem resolver o seguinte problema: PROBLEMA 7 Leia uma notícia relativa às eleições de 200: Eleição renovará mandatos de dois terços dos senadores Considerando que no senado há 8 parlamentares, quantos mandatos serão renovados? Resposta: 54 mandatos. b) Cálculo da fração de uma fração - Pedir para os alunos representarem com os pedaços da cartolina as seguintes frações: metade da metade, metade de um terço e um terço da metade Orientar que a representação seja feita dividindo os pedaços. Por exemplo, para representar metade da metade, ele pode dividir o pedaço branco em duas partes iguais, dobrando-o ao meio e recortando-o na divisão. O mesmo vale para a metade de um terço (dividir o pedaço vermelho ao

7 meio). A divisão por três é um pouco mais difícil de se fazer com uma dobradura. O monitor pode sugerir que os alunos usem um transferidor ou então ajudá-los fazendo as marcas nos locais corretos de corte. - Pedir que os alunos comparem os pedaços obtidos da divisão com os pedaços originais e verifiquem se há alguma relação. Orientar a atividade no sentido de mostrar que metade da metade equivale a um quarto, metade de um terço equivale a um sexto e um terço da metade também equivale a um sexto. Chamar a atenção para a igualdade dessas duas últimas. - Concluir mostrando que o cálculo da fração de uma fração, assim como o da fração de um número inteiro, visto anteriormente, é dado por uma multiplicação. Formalizar com o procedimento de multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Propor o seguinte problema aos alunos: PROBLEMA 8 = = = = = = Uma argamassa especial é constituída de 7 de areia e 2 de uma mistura de cal e cimento. Essa 9 9 mistura, por sua vez, é constituída de 2 de cal e 3 de cimento. Qual a fração de cimento na 5 5 argamassa? Resposta: 3 5 de 2 9 = 6 45, ou 2 5. c) Soma e subtração de frações Comentar com os alunos que além de serem usadas para representar partes, as frações também são números. Assim como o número é usado para representar uma laranja e o número 5 é usado para representar cinco laranjas, o número pode ser usado para representar meia laranja

8 Propor aos alunos o seguinte problema: PROBLEMA 9 Localize na reta dos números as seguintes frações: 2, 2 3 e Resolver esse problema é muito importante, pois ele ajuda a consolidar o conceito de fração como parte e introduz o conceito de fração como número. Orientar a resolução no sentido de mostrar que 2 representa o número (a unidade) dividido em duas partes iguais. Portanto, deve ter metade do tamanho do número (isto é, deve encontrar-se na metade do caminho entre 0 e ). Já o número 2 pode ser interpretado como a soma de + (um terço mais um terço resulta em dois terços) Assim, para localizá-lo, dividimos o número em três partes iguais, cada parte valendo, e tomamos 3 duas dessas partes, avançando a partir do 0 para a direita. Finalmente, o número 5 pode ser 4 interpretado da mesma maneira: cinco vezes. Assim, dividimos o número em 4 partes, cada parte 4 valendo, e tomamos 5 dessas partes. A diferença neste caso é que ultrapassamos a unidade. 4 Uma vez que os alunos estiverem familiarizados com a ideia de que frações são números, é o momento de introduzir as operações com frações, propondo a eles o seguinte problema: PROBLEMA 0 Três décimos de um terreno foram usados para plantar café, cinco décimos para plantar laranja e parte restante da terra ficou descansando. Que parte do terreno foi usada para o plantio e que parte ficou descansando? - Após ouvir as opiniões dos alunos, dizer que esse problema envolve a operação de soma entre frações. Orientá-los a resolver usando os pedaços de cartolina um círculo representando o terreno (como as partes estão dadas em décimos, esperamos que os alunos usem os pedaços pretos). Eles provavelmente não terão dificuldades em concluir que o problema consiste em somar e que o resultado dessa soma é 8. Portanto, a parte que ficou descansando é o que falta para completar a 0 unidade, ou seja, Argumentar que efetuar esta soma é relativamente simples pois ambas as frações têm o mesmo denominador. Formalizar o procedimento de cálculo mostrando que quando somamos frações de mesmo denominador, o resultado é uma fração também com o mesmo denominador e cujo numerador é a soma dos numeradores das frações somadas.

9 - Propor agora um problema mais complexo. PROBLEMA Metade de um terreno foi usada para plantar café, um terço foi usado para plantar laranja e a parte restante da terra ficou descansando. Que parte do terreno foi usada para o plantio e que parte ficou descansando? - Pedir, inicialmente, para os alunos representarem as áreas plantadas com os pedaços de cartolina adequados (esperamos que eles usem um pedaço branco para a plantação de café e um pedaço vermelho para a plantação de laranja). - Em seguida, pedir que determinem que fração estes dois pedaços, juntos, representam do círculo completo. - Ressaltar a diferença entre este problema e o anterior. Caso os alunos não estejam conseguindo, sugerir que tentem encaixar os pedaços verdes ( ) sobre os pedaços branco e vermelho. 6 Os alunos devem perceber que o pedaço branco equivale a três verdes, e o pedaço vermelho equivale a dois verdes. Assim, a área plantada equivale a 5 pedaços verdes, ou seja, 5 do terreno. A 6 área em descanso equivale ao que falta para completar o círculo, isto é, (um pedaço verde). 6 Este é o momento de formalizar matematicamente na lousa o método usado com a cartolina. Ao substituir o pedaço branco por três verdes e o pedaço vermelho por dois verdes, estamos matematicamente transformando as frações iniciais ( e ) em frações equivalentes com o mesmo 2 3 denominador ( 3 6 e 2 6, respectivamente). - Mostrar detalhadamente que, em um primeiro momento, não é óbvio descobrir que parte do círculo representa a soma de um pedaço branco com um vermelho, pois cada um tem um tamanho diferente. Entretanto, quando ambos são convertidos em conjuntos de pedaços de mesmo tamanho, a soma fica muito simples. É essa ideia que está por trás da soma de frações com denominadores diferentes: transformá-las em frações equivalentes com o mesmo denominador. Uma vez que as frações têm o mesmo denominador, a soma se torna bastante simples: basta somar os numeradores e manter o denominador, como já aprendemos =? = 5 6 Aparentemente difícil! Mesmo problema, mas bem mais fácil! Assim, a fração usada para o plantio é 5 6 e a fração descansando é 6. - Dando continuidade ao problema, perguntar aos alunos qual a diferença entre as áreas das plantações de café e laranja, isto é, que fração do terreno a plantação de café tem a mais do que a de laranja.

10 Trata-se, matematicamente, da subtração. Conduzir a resolução da mesma maneira do que foi 2 3 feito para a adição, usando as cartolinas e mostrando que a diferença entre os três pedaços verdes da plantação de café e os dois pedaços verdes da plantação de laranja é um pedaço verde. 2 3 =? = 6 Aparentemente difícil! Mesmo problema, mas bem mais fácil! - Concluir a resolução desse problema reforçando que a estratégia para somar e subtrair frações com denominadores diferentes é transformá-las em frações equivalentes com denominadores iguais. Fazer essa transformação significa colocar todo mundo na mesma moeda. - Preparar os alunos para o próximo problema, que terá por objetivo a aprendizagem desta transformação de frações. PROBLEMA 2 Pedir que os alunos peguem um pedaço azul ( ) e um verde 4 ( ). Propor o seguinte problema: como 6 podemos dividí-los em um número inteiro de pedaços menores, de tal forma que estes pedaços menores tenham todos o mesmo tamanho? É importante que os alunos entendam bem o problema e percebam onde queremos chegar: representar partes de tamanhos diferentes ( e ) como conjuntos de partes menores de tamanhos 4 6 iguais. 4 6 O problema consiste em dividir esses dois pedaços em um número inteiro de fatias, todas de mesmo tamanho. - Deixar que os alunos tentem resolver o problema. Caso não consigam, sugerir a estratégia da tentativa e erro. Começamos pela divisão mais simples, que é a divisão por dois. Dividindo o pedaço de por dois, chegamos a dois pedaços de (explicar por quê!). As fatias ainda 4 8 são diferentes ( 6 e 8 )

11 A próxima tentativa é a divisão do pedaço de por dois. Temos então dois pedaços de. As fatias 6 2 ainda são diferentes A próxima tentativa é a divisão do pedaço inicial de por três. Fazendo isso, ficamos com três 4 pedaços de. Agora conseguimos! Temos pedaços de mesmo tamanho! Pedir que os alunos recortem os pedaços de cartolina, dividindo o pedaço azul em três partes iguais e o verde em duas. Pedir que eles verifiquem que as partes têm o mesmo tamanho. - Perguntar a eles qual o resultado da soma +. Esperamos que eles percebam que essa operação 4 6 é equivalente a somar , cujo resultado vale Para concluir, explicar que o número 2, o denominador comum que solucionou o problema, é o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números 4 e 6. Este é o momento de formalizar o método de somar ou subtrair frações: a transformação das frações a serem somadas/subtraídas em frações equivalentes, tendo como denominador comum o MMC entre os denominadores iniciais: 4 = = = = 2 2 Explicar que essas frações representam o número, e que a multiplicação por não altera nenhum número. Concluir com a proposição do seguinte problema:

12 PROBLEMA 3 O Sr. Severino decidiu investir suas economias da seguinte forma: um terço na poupança, dois quintos em um fundo de renda fixa e o restante na bolsa de valores. Que fração das economias ele destinará aos investimentos seguros (poupança e fundo de renda fixa)? Que fração ele destinará ao investimento de risco (bolsa)? Resposta: 5 e 4 5, respectivamente. Retomar uma das frases de abertura da oficina 4ª etapa Significado de porcentagem 60% dos brasileiros vão usar o 3º salário para pagar dívidas. - Perguntar aos alunos como eles interpretam o termo 60%. - Explicar que a porcentagem nada mais é do que um tipo especial de fração: ela indica uma fração de denominador 00. Assim, 60% nada mais é do que a fração PROBLEMA 4 Propor que os alunos considerem o quadrado abaixo (convenientemente dimensionado com lados de 0 cm) como uma representação do total de brasileiros que ganham o 3º salário. Pedir que eles representem a parte desses brasileiros que vai usar o 3º para pagar dívidas.

13 Orientar a resolução para a divisão do quadrado grande em 00 quadradinhos de cm x cm, formando um quadriculado de 0 linhas por 0 colunas. Para representar 60%, eles deverão destacar 60 quadradinhos dos 00 totais que representam os brasileiros que ganham 3º salário. - Perguntar aos alunos se existem outras frações, além de 60, que podem representar essa parte. 00 Conduzir para a identificação dos 60 quadradinhos como 6 colunas (ou 6 linhas) de um total de 0, o que permite representar a parte por 6. Ou ainda para a divisão dos 00 quadradinhos em 5 blocos 0 de 20. Neste caso, os 60 destacados ocupam 3 dos 5 blocos, o que nos permite representá-los pela fração 3. Mostrar a equivalência de frações: = 6 0 = 3 5 Mostrar que essa equivalência pode ser obtida pelo processo que chamamos de simplificação de frações (divisão de numerador e denominador pelo mesmo número), que também é uma forma de obter frações equivalentes = 6 0 = Concluir retomando que para obter frações equivalentes, podemos multiplicar (como fizemos na soma de frações no cálculo do MMC) ou dividir (como fizemos acima, na simplificação de frações) numerador e denominador pelo mesmo número inteiro. PROBLEMA 5 Propor o seguinte problema aos alunos, que envolve o cálculo de uma porcentagem. Suponha que haja 20 milhões de brasileiros que ganham o 3º salário. Quantos o usarão para pagar dívidas? Mostrar que esse tipo de problema (calcular uma porcentagem de um número) é igual ao que já aprendemos a resolver: calcular uma fração de um número. Devemos insistir nesse ponto: porcentagens nada mais são do que frações de denominador 00. Assim, podemos multiplicar por 20 milhões. Ou, para trabalhar com números menores, 3 por 20 milhões. 5 Para finalizar a oficina, propor um jogo aos alunos = =

14 5ª etapa: Jogo Corrida das frações A descrição do jogo pode ser vista em Atenção para a necessidade de preparar o material com antecedência (as tirinhas representando as frações e os dados para sorteio do numerador e denominador). A sugestão é que os alunos joguem entre si dentro de cada grupo. Cada grupo jogador lançará o dado 3 vezes, e vencerá aquele que mais tiver avançado ao final do 3º lançamento. Vários problemas podem ser propostos a partir desse jogo. Ficam aqui duas sugestões: PROBLEMA 6 (Jogo Corrida das Frações ) Veja as frações sorteadas por três jogadores: Zico: 2 4 ; 5 ; 4 3 Zeca: 2 ; 6 5 ; 3 2 Zuca: 2 3 ; 6 3 ; 5 5 Quem ganhou o jogo? Resposta: Zeca, com um total de 47, seguido de Zuca, em segundo com e 0 3 Zico, na lanterna com PROBLEMA 7 DESAFIO (Jogo Corrida das Frações ) Dois jogadores estão jogando um contra o outro. Zico acabou de fazer seu 3º movimento e Zeca ainda vai fazer o seu último movimento. Veja os resultados até esse momento: Zico: 2 4 ; 3 ; 2 Zico: 4 3 ; 4 6 Zeca, então, lança o dado do denominador e obtém o número 4. Quais números no dado do numerador lhe darão a vitória? Orientar que tentem descobrir a resposta usando cálculos. Caso não consigam, sugerir que tentem resolver usando as tirinhas de papel, reproduzindo os movimentos de cada jogador.

15 MODELOS PARA AS REPRESENTAÇÕES DE FRAÇÃO