Segunda Aula: Sequência de Números Reais

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1 Capítulo 2 Seguda Aula: Sequêcia de Números Reais Meta Apresetar ao leitor os coceitos e as propriedades evolvedo limites de sequêcias de úmeros reais. Objetivos Ao fial desta aula o aluo deverá ser capaz de provar se uma sequêcia, formada por úmeros reais, coverge ou ão. No primeiro caso, quado possível, ecotrar o limite dessa sequêcia. Além disso, o aluo precisará saber aplicar corretamete algus resultados de extrema relevâcia, como, por exemplo, os Teoremas do Saduíche e da Mootoicidade as atividades propostas deste material. Pré-requisitos Aula 1, Fudametos da Matemática e Cálculo II. 35

2 36 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 2.1 Itrodução Nesta aula, covidamos o leitor a mergulhar o estudo das sequêcias de úmeros reais. A partir deste mometo, estamos iteressados em saber se elemetos reais, em uma quatidade eumerável, estão tão próximos de um determiado valor quato almejarmos. Estes elemetos deotarão o que deomiamos sequêcia e a esta proximidade daremos o ome de covergêcia da sequêcia. Vamos provar que tal covergêcia ocorre em algus casos, mostrado algumas codições ecessárias e outras suficietes para que este fato seja cosumado. Em Matemática, a covergêcia de uma sequêcia, descrita em palavras acima, serve também para que possamos obter iformações sobre o valor ao qual essa sequêcia coverge, a partir das características dos termos desta mesma. Ao aluo iteressado em aplicações, esta aula traz coteúdos que têm aplicações diretas em Equações Difereciais Ordiárias e Parcias (ver [3]). Estabeleceremos, também esta aula a ideia de quado uma sequêcia de úmeros reais possue uma quatidade ifiita de termos tão distates da origem quato quisermos. 2.2 Sequêcias Limitadas e Covergetes Nesta seção, estudaremos sequêcias de úmeros reais. O osso maior iteresse, este coteúdo, é saber quado existe covergêcia de uma determiada sequêcia ou ão. Percorreremos um camiho atural de defiições, exemplos e resultados para alcaçarmos ossa meta. Defiição 2.1 (Sequêcia). Uma fução x : N R dada por x() =x,paratodo N, é deomiada uma sequêcia de úmeros reias. Neste caso, a imagem x de um dado úmero N é chamada -ésimo termo da sequêcia x : N R. Notação: x =(x ) N,(x 1,x 2,..., x,...) ou(x ), esta última quado ão houver possibilidade de cofusão. Obs 2.1. Observe a difereça etre a imagem da sequêcia e a própria sequêcia. Vejamos um exemplo. Cosidere a sequêcia (x )=(0, 0,..., 0,...). Esta difere de sua imagem, a qual é dada através do cojuto x(n) ={x 1,x 2,..., x,...} = {0}. Obs 2.2. Observe que, através da defiição de igualdade etre fuções, duas sequêcias (x ), (y )são iguais se x = y, para todo N. Duas sequêcias podem ter a mesma

3 2.2. SEQUÊNCIAS LIMITADAS E CONVERGENTES 37 imagem, mas serem distitas. De fato, cosidere as sequêcias (x )=(1, 2, 1, 2,...) e(y )= (2, 1, 2, 1,...). Estas sequêcias são distitas, pois x 1 =1ey 1 =2são diferetes. Por outro lado, x(n) =y(n) ={1, 2}. Defiiremos a seguir quado uma sequêcia pode ser chamada limitada iferiormete ou superiormete. Defiição 2.2. Uma sequêcia (x )é dita limitada iferiormete (respectivamete limitada superiormete) se o cojuto imagem x(n) R é um cojuto limitado iferiormete (respectivamete limitado superiormete). Obs 2.3. Usado a Defiição 1.9, podemos cocluir que uma sequêcia (x )é limitada iferiormete (respectivamete limitada superiormete) se existe c R tal que c x, para todo N (respectivamete d R : x d, para qualquer N). Aqui c e d são chamadas cotas iferior e superior, respectivamete. Exemplo 2.1. Pelo Exemplo 1.5, a sequêcia (1/) N é limitada iferior e superiormete. Exemplo 2.2. A sequêcia x =(2 )é uma sequêcia limitada iferiormete, mas ão superiormete. Com efeito, por idução, 2 2, N. Portato, x é limitada iferiormete por 2. Usado a Desigualdade de Beroulli (ver lista de exercícios resolvidos de úmeros reais), obtemos 2 =(1+1) 1+ 1=1+, N. Ou seja, 2 1+, N. Pelo Teorema 1.2, dado c R existe m N tal que c 1 <m. Portato, c<1+m 2 m. Dessa forma, x é ilimitada superiormete. Quado uma sequêcia possui cota iferior e superior dizemos simplesmete que esta é limitada. Mais simplesmete, temos a seguite defiição. Defiição 2.3 (Sequêcia Limitada). Dizemos que uma sequêcia é limitada se esta é limitada iferior e superiormete. Obs 2.4. A Observação 2.3 os diz que uma sequêcia é limitada se existem c, d R tais que c x d, N, ou seja, existe M =max{ c, d } R tal que x M, N.

4 [ 38 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS M [ x x 1 x M Figura 2.1: Sequêcia limitada Exemplo 2.3. A sequêcia (1/) N é limitada. Por outro lado, a sequêcia (2 )é ilimitada. A defiição a seguir abre camiho para estudarmos sequêcias covergetes. Defiição 2.4 (Limite de Sequêcia). Seja (x ) uma sequêcia. Dizemos que o limite de x é x R se dado ε>0, existe N N tal que para todo N,com N, tem-se x (x ε, x + ε). Neste caso, escreveremos lim x = x, lim x = x ou x x. É comum dizermos, estas codições, que x tede para x. x x 2 x + x x - x N ( ( x N Figura 2.2: lim x = x Obs 2.5. Oúmero N ecotrado depede somete do ε dado, ou seja, N = N(ε). Vejamos as três observações abaixo maeiras equivaletes de defiir limite de sequêcias.

5 2.2. SEQUÊNCIAS LIMITADAS E CONVERGENTES 39 Obs 2.6. UsadoaObservação 1.12, temos que lim x = x ε>0, N N tal que N, tem-se x x <ε. Obs 2.7. Segue diretamete da Defiição 2.4 que lim x = x lim(x x) =0 lim x x =0. Obs 2.8. Observe que lim x = x dado ε > 0, existe N N tal que todos x s (x ε, x + ε), exceto, possivelmete, x 1,x 2,..., x N 1. A seguir defiiremos como idetificar se uma sequêcia é covergete ou divergete. Defiição 2.5 (Sequêcia Covergete). Se lim x = x R, etão dizemos que (x )é uma sequêcia covergete e coverge para x. Caso cotrário, (x )é dita divergete. Exemplo 2.4 (Limite da Costate). Cosidre a sequêcia costate (x ). Isto é, x = c = costate, N. Logo, dado ε>0, temos que x c = c c =0<ε, 1. Neste caso, N =1 N. coverge para c. Dessa forma, toda sequêcia (c) N costate é covergete e x x 2 c + x 1 = = = c c - ( ( N Figura 2.3: lim c = c =costate Exemplo 2.5. Cosidere a sequêcia (1/). Afirmamos que lim 1/ = 0. Com efeito, dado

6 40 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS ε>0, pelo Teorema 1.2, N N tal que 1 <N. Portato, N, obtemos ε 1 0 = 1 1 N <ε. 1/ 1-1/2 1/N ( N ( Figura 2.4: lim 1/ =0 No decorrer da seção daremos exemplos de sequêcias divergetes. Teorema 2.1 (Uicidade de Limite). O limite de uma sequêcia covergete é úico. x - ( x x + y N2 y y + )( ) x N+1 x 1 N1 y y - N+1 2 Figura 2.5: Ideia da demostração Demostração. Seja (x ) uma sequêcia covergete. Supoha, por absurdo, que lim x = x e lim x = y, com x y. Sem perda de geeralidade, cosidere que x<y. Seja ε = y x 2 N 1,N 2 N tais que > 0. Assim, existem N 1, tem-se x (x ε, x + ε) e N 2, coclui-se x (y ε, y + ε). Seja N 0 =max{n 1,N 2 }.Etão, N 0 N 1,N 2, ifere-se x (x ε, x + ε) (y ε, y + ε).

7 2.2. SEQUÊNCIAS LIMITADAS E CONVERGENTES 41 Por outro lado, x + ε = x + y x 2 = y + x 2 = y y x 2 = y ε. Portato, (x ε, x + ε) (y ε, y + ε) =, masx N0 (x ε, x + ε) (y ε, y + ε). Isto é um absurdo. Dessa forma, o limite éúico. Logo abaixo colocamos a defiição de subsequêcias. Desejamos saber qual a relação existete etre os limites de uma sequêcia e de suas subsequêcias. Defiição 2.6 (Subsequêcia). Seja x =(x ) N uma sequêcia de úmeros reais. Uma restrição y = x N : N R de x, ode N = { 1 < 2 <... < k <...} N éumcojuto ifiito, é deomiada subsequêcia de x. Notação: y =(x k ) k N,(x ) N,(x 1,x 2,..., x k,...) ou(x k ), esta última, caso ão haja possibilidide de cofusão. Exemplo 2.6. (2) N = (2, 4, 6,..., 2,...) é uma subsequêcia da sequêcia () N = (1, 2, 3,...,,...). Por outro lado (3, 1, 2,...) ão é uma subsequêcia desta mesma sequêcia. Vejamos como defiir o limite de uma subsequêcia. Obs 2.9. Deotaremos o limite de uma subsequêcia por lim x k, lim x ou lim x k, esta k N última quado ão houver possibilidade de cofusão. Este tem a seguite defiição: dado ε>0, N N tal que N, com N, tem-se x (x ε, x + ε). = x. Etão, toda sub- Teorema 2.2. Seja (x ) uma sequêcia covergete, com lim x sequêcia de (x ) é covergete e coverge para x. Demostração. Seja (x ) N Dado ε>0, N N tal que uma subsequêcia de (x ) N. Vamos provar que lim N x = x. N, tem-se x (x ε, x + ε), pois lim N x = x. ComoN N é ifiito, etão N N tal que N >N. Portato, N >N, com N, tem-se x (x ε, x + ε),

8 42 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS ou seja, lim N x = x. Obs OTeorema2.2 osdá codições para provar que uma determiada sequêcia diverge. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 2.7. A sequêcia (1, 3, 1, 3,...) é divergete porque possui as subsequêcias (1, 1,..., 1,...) e(3, 3,..., 3) costates. Além disso, estas covergem para os valores distitos 1 e 3, respectivamete (ver Exemplo 2.4). Pelo Teorema 2.2, a sequêcia (1, 3, 1, 3,...) diverge. Aproposição a seguir os iforma que uma quatidade fiita de termos ão iterfere o resultado do limite de uma sequêcia covergete. Proposição 2.1. Sejam (x ) uma sequêcia e p N. Etão, lim x = x lim N x +p = x. Demostração. ) Observe que (x +p )é uma subsequêcia de (x ). Logo, se lim x = x, etão, usado o Teorema 2.2, lim x +p = x. N ) Supoha que lim x +p = x. Assim, dado ε>0, N N tal que N N, tem-se x +p (x ε, x + ε). Seja N = N + p N. Com isso, N, tem-seque N + p. Ou seja, p N. Portato, x = x ( p)+p (x ε, x + ε). Isto os diz que, lim x = x. O Teorema abaixo relacioa limitação com covergêcia de uma sequêcia. Teorema 2.3 (Teorema da Divergêcia). Toda sequêcia covergete é limitada. Demostração. Seja (x ) uma sequêcia covergete, com lim x = x. Seja ε =1> 0. Assim, N N tal que N, tem-se x (x 1,x+1).

9 2.3. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS 43 Seja d R tal que d <x 1ex +1<d. Assim sedo, x ( d, d), N. Ou seja, x <d, N. Seja M =max{ x 1, x 2,..., x N 1,d}. Dessa forma, x M, N. Por fim, (x )é limitada. Obs Arecíproca do Teorema 2.3 é falsa. De fato, cosidere a sequêcia (1, 3, 1, 3,...) limitada, a qual é divergete, basta rever o Exemplo 2.7. OTeorema2.3 é uma ferrameta útil a demostração da divergêcia de uma sequêcia. Veja o exemplo abaixo. Exemplo 2.8. Cosidere a sequêcia (x ) N =() N. Veja que esta sequêcia é ilimitada, pois x(n) =N é ilimitado pelo Teorema 1.2. Logo, usado o Teorema 2.3, (x ) N =() N diverge. 2.3 Sequêcias Moótoas Vejamos que codições devemos acrescetar a uma sequêcia para que a recíproca do Teorema 2.3 seja válida. Para este fim, colocaremos as seguites defiições. Defiição 2.7 (Sequêcia Não-decrescete). Dizemos que uma sequêcia (x )éão-decrescete (respectivamete crescete) se x x +1, N (respectivamete x <x +1, N). Defiição 2.8 (Sequêcia Não-crescete). Uma sequêcia (x )é dita ão-crescete (respectivamete decrescete) se x +1 x, N (respectivamete x +1 <x, N). Defiição 2.9 (Sequêcia Moótoa). Uma sequêcia é dita moótoa se satisfaz a desigualdade estabelecida a Defiição 2.7 oua2.8. Exemplo 2.9. A sequêcia () N é dita moótoa crescete e ão-decrescete. A sequêcia ( 1 ) émoótoa decrescete e ão-crescete. (1, 1,..., 1,...) émoótoa ão-decrescete N eão-crescete. Já a sequêcia (1, 3, 1, 3,...) ão émoótoa. A defiição de mootoicidade de sequêcia é o igrediete a ser acrescetado para obtermos a recíproca do Teorema 2.3. Isto está formalmete euciado o seguite resultado.

10 44 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Teorema 2.4 (Teorema da Mootoicidade). Toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Demostração. Seja x =(x ) uma sequêcia moótoa ão-crescete limitada. Como x é limitada etão, pela Defiição 2.3, x(n) é limitado. Pela completude de R, existey = if x(n). Vamos provar que lim x = y. Com efeito, dado ε>0existen N tal que x N <y+ ε (ver Defiição 1.12). Como x é uma sequêcia ão-crescete, logo, N, temos que y ε<y x x N <y+ ε, ou seja, x (y ε, y + ε), N. Portato, lim x = y. Isto prova o resultado. Obs Na prova do Teorema 2.4, pode cosiderar que a sequêcia émoótoa ãodecrescete, e com isso, prova-se, aalogamete, que y =supx(n). Exemplo A sequêcia (1/) moótoa decrescete, etão, usado o Teorema 2.4, temos que lim 1 = if {1/ : N} = 0 (ver Exemplo 1.5). Veja que, esta é outra maeira de verificar a covergêcia desta sequêcia (ver Exemplo 2.5). Exercícios de Fixação 1. A sequêcia (x )é defiida pelas seguites fórmulas para o -ésimo termo. Escreva os primeiros 5 termos estes casos i) x =1+( 1) ; ii) x = 1 ( +1) ; iii) x = Os primeiros termos de uma sequêcia (x )são dados abaixo. Assumido que os outros termos estabelecem a mesma lei estabelecida por estes termos, ecotre a fórmula para o

11 2.3. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS 45 -ésimo termo x. i) 5, 7, 9,...; ii) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,...; iii) 1, 4, 9, 16, Liste os primeiros 5 termos das seguites sequêcias defiidas idutivamete. i) x 1 =1,x +1 =3x +1; ii) x 1 =2,x +1 =1/2(x +2/x ); iii) x 1 =3,x 2 =5,x +2 = x + x Seja x R. Mostre que lim x =0. 5. Usado a defiição de limites, mostre os seguites limites: i) lim 2 +1 =0; ii) lim iii) lim = 3 2 ; 2 +1 =2. 6. Seja x 1 =8,x +1 =(1/2)x +2, N. Mostre que (x )émoótoa e limitada. Ecotre seu limite. 7. Seja x 1 > 1, x +1 =2 1/x, N. Mostre que (x )émoótoa e limitada. Ecotre seu limite.

12 46 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 8. Seja x 1 =1,x +1 = 2+x, N. Mostre que (x )émoótoa e limitada. Ecotre seu limite. 9. Seja x 1 = p, x +1 = p + x, N. Mostre que (x )émoótoa e limitada. Ecotre seu limite. Sugestão: Um limite superior é1+2 p. 10. Seja (x ) uma sequêcia limitada. Para cada N defia a =sup{x k : k } e b = if{x k : k }. Prove que (a )e(b )são sequêcias moótoas e limitadas. Prove que, se lim a = lim b etão (x )é covergete. lim a e lim b são chamados limites superior e iferior de (x ), respectivamete. 11. Mostre que as seguites sequêcias são divergetes: i) (1 ( 1) +1/); ii) (se(π/4)). 12. Supoha que x 0, N e que lim( 1) x existe. Mostre que (x )coverge. 2.4 Resultados Importates Evolvedo Covergêcia Começaremos esta seção demostrado um resultado que garate que se o limite de uma sequêcia covergete é meor que um certo úmero real, etão, a partir de um certo ídice, os elemetos desta mesma também são meores que este valor umérico. Teorema 2.5. Seja (x ) uma sequêcia covergete. Se lim x <x, etão N N tal que N, tem-se x <x. a - ( x N+2 x N+1 a a + ) x N x Figura 2.6: Ideia da demostração

13 2.4. RESULTADOS IMPORTANTES ENVOLVENDO CONVERGÊNCIA 47 Demostração. Seja lim x = a. Dado0<ε<x a, existen N tal que N, tem-se x (a ε, a + ε) (a x + a, a + x a) =(2a x, x), pois x a>0. Ou seja, x <x, N. Obs Em algus textos, diz-se para suficietemete grade quado se escreve N N tal que N. Assim, o Teorema 2.5 pode ser reescrito da seguite maeira: Seja (x ) uma sequêcia covergete. Se lim x <x,etão para suficietemete grade, tem-se x <x. Obs O seguite resultado pode ser provado de maeira equivalete ao Teorema 2.5: Seja (x ) uma sequêcia covergete. Se lim x >x,etão N N tal que N, tem-se x >x. Veremos, a seguir, que para suficietemete grade os termos de uma sequêcia covergete têm o mesmo sial que o seu limite. Corolário 2.6 (Permaêcia de Sial). Seja (x ) uma sequêcia covergete. Se lim x < 0 (respectivamete lim x > 0), etão N N tal que N, tem-se x < 0 (respectivamete x > 0). Demostração. Use o Teorema 2.5 eaobservação 2.14 com x =0. Corolário 2.7. Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes. Supoha que, N N tal que N, teha-se x y. Etão, lim x lim y. y N +1 y x x 2 N2 N 1 +1 ( ) ( ) x N1 lim y lim x Figura 2.7: Ideia da demostração Demostração. Supoha, por absurdo, que lim x > lim y. Usado o Teorema 1.6, existe x Q tal que lim x >x>lim y. O Teorema 2.5 eaobservação 2.14, os garate que existe N 1,N 2 N tais que: N 1, tem-se x >xe N 2, tem-se y <x.

14 48 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Seja N 3 =max{n 1,N 2 }. Assim sedo, N 3, tem-se x >x>y. Por hipótese, N N tal que N, tem-sex y. Agora, cosidere N 0 =max{n,n 3 }. Portato, N 0, tem-se x >y e x y. Isto é um absurdo. Etão, lim x lim y. Exemplo Sejam (x )=(0)e(y )= ( 1 ). Vimos que lim x = lim y = 0. Mesmo sedo, x =0< 1 = y, N. Ou seja, o corolário 2.7, ão podemos afirmar que x <y lim x < lim y. Obs Se x x ((x ) covergete) para todo suficietemete grade, etão lim x x. Basta, o corolário 2.7, assumir y = x, N. Obs Aalogamete, se y y ((y ) covergete) para todo suficietemete grade, etão lim y y. É suficiete trabalhar com a sequêcia x = y, N. Abaixo euciaremos um dos mais populares resultados obtidos o Cálculo. Teorema 2.8 (Teorema do Saduíche). Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes, com lim x = lim y = z. Se N N tal que N, teha-se x z y. Etão, (z ) é uma sequêcia covergete e lim z = z. Demostração. Dado ε>0, vamos provar que existe N 0 N tal que N 0,tem-se z (z ε, z + ε). Mas, como lim x = lim y = z, etão existem N 1,N 2 N tais que N 1, tem-se x (z ε, z + ε) e N 2, coclui-se, y (z ε, z + ε). Ou seja, N 1, tem-se z ε<x <z+ ε e N 2, ifere-se, z ε<y <z+ ε. Seja N 3 =max{n 1,N 2 }. Logo, N 3, tem-se, z ε<x <z+ ε e z ε<y <z+ ε.

15 2.4. RESULTADOS IMPORTANTES ENVOLVENDO CONVERGÊNCIA 49 Por outro lado, N N tal que N, tem-se, x z y. Cosidere N 0 = max{n,n 3 }. Com isso, N 0, temos que, z ε<x <z+ ε, z ε<y <z+ ε e x z y. Dessa forma, N 0, chega-se a, z ε<x z y <z+ ε, ou seja, N 0, tem-se, z ε<z <z+ ε. Isto os diz que z (z ε, z + ε), N 0. Por fim, (z )é covergete e lim z = z. Exemplo Observe que 1 ( 1) 1, N, etão, utilizado o Teorema 2.8, temos que lim ( 1) =0, pois lim 1 ( = lim 1 ) =0. Exemplo Verifique que , N. Portato, usado o Teorema 2.8, obtemos que lim 1 2 =0, pois lim 1 = lim 0 = 0. O resultado a seguir os diz que o produto de uma sequêcia que coverge para zero por outra que é limitada também coverge para zero. Teorema 2.9. Sejam (x ) e (y ) uma sequêcia covergete e uma sequêcia limitada, respectivamete, ode lim x =0. Etão (x y ) é covergete e lim x y =0. Demostração. Como (y )é uma sequêcia limitada, etão existe M R, talque y M, N. SeM =0,etão y 0, N. Ou seja, y =0, N. Assim (x y ) = (0), a qual coverge para 0. Cosidere, etão, que M>0. Como lim x =0,etão dado ε>0, existe N N tal que N, tem-se x 0 < ε M.

16 50 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Com isso, N, tem-se x y 0 = x y = x y < ε M M = ε. Portato (x y )é uma sequêcia covergete e lim x y =0. Obs A hipótese de (y ) ser limitada ão pode ser retirada do Teorema 2.9. Vejamos um exemplo que comprovam esta afirmação. Sejam (x )=(1/) e(y )=(). Vimos que lim x = 0 (ver Exemplo 2.5) e que (y )ão é limitada. Observe que (x y ) = (1). Logo, lim x y =1 0. Exemplo Sejam (x )=(1/) e(y )=(cos(π/2)). Note que (y )é limitada, pois cos(π/2) 1, N. Sabemos que lim 1 = 0. Logo, usado o Teorema 2.9, cocluímos que lim cos(π/2) =0. É importate ressaltar que (y )ão é covergete, pois possui duas subsequêcias costate que covergem para valores distitos (ver Exemplo 2.7). Para a prova do próximo Teorema precisaremos da seguite defiição. Defiição Seja (x ) uma sequêcia de úmeros reais. Dizemos que x é destacado da sequêcia (x )sex p x, p>. Exemplo Cosidere a sequêcia (x )=(1, 2, 7, 4, 7, 2, 2,..., 2,...). Veja que x 1 =1 ão é destacado, pois x 2 =2> 1=x 1. Mas, x 3 =7édestacado porque todo termo da sequêcia a partir deste termo é meor ou igual a 7. Teorema 2.10 (Teorema de Bolzao-Weierstrass). Toda sequêcia limitada de úmeros reais possui subsequêcia covergete. Demostração. Seja x =(x ) uma sequêcia limitada. Seja D(x) ={ N : x é destacado} N. Como N é eumerável, etão D(x) também é. Supoha que D(x) é ifiito. Cosidere a subsequêcia x =(x ) D(x) de x. Como x é uma sequêcia limitada, etão x também é. Observe que para todo D(x), ou seja, x é destacado, pode-se cocluir que x +1 x

17 2.4. RESULTADOS IMPORTANTES ENVOLVENDO CONVERGÊNCIA 51 (basta utilizar a Defiição 2.10). Assim x é uma sequêcia moótoa ão-crescete. Pelo Teorema 2.4, cocluímos que x é covergete. Agora, se D(x) é fiito, etão, podemos escrever D(x) ={N 1,N 2,..., N k }. Seja 1 > max{n 1,N 2,..., N k } atural. Logo, 1 D(x). Ou seja, x 1 ão é destacado. Dessa forma, 2 > 1 tal que x 1 <x 2 (ver Defiição 2.10). Por outro lado, 2 > 1 >N i, i =1, 2,..., k. Aalogamete, existe 3 > 2 tal que x 2 <x 3. Portato, idutivamete, x =(x ) N é uma subsequêcia de x tal que x 1 <x 2 <... < x j <..., ode N = { 1 < 2 <... < j <...} N é ifiito. Ou seja, x é uma sequêcia moótoa crescete. Pelo mesmo motivo que x, x é limitada. Por fim, x é uma subsequêcia de x covergete, pelo Teorema 2.4. Exercícios de Fixação 1. Mostre que lim cos(2) 1+ =0. 2. Mostre que lim cos2 () 2 = 0. Use que lim 1 2 =0. 3. Mostre que lim ecos() = 0 (ver Defiição 10.2). Use que e x é crescete (ver Defiição 10.2). 4. Dê um exemplo de uma sequêcia ilimitada que tem uma subsequêcia covergete. 5. Supoha que cada subsequêcia de uma sequêcia (x ) tem uma subsequêcia que coverge para 0. Mostre que lim x =0.

18 52 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 2.5 Operações Elemetares com Sequêcias Nesta seção, cocetraremo-os em demostrar e exemplificar as propriedades mais elemetares satisfeitas pela defiição de limite de uma sequêcia. Teorema 2.11 (Operações com Limites). Sejam (x ) e (y ) sequêcias covergetes. Etão, as seguites afirmações são válidas: i) (x + y ) coverge e lim(x + y ) = lim x + lim y, ou em palavras, o limite da soma é a soma dos limites; ii) (x y ) coverge e lim(x y ) = lim x lim y, ou em palavras, o limite do produto éo produto dos limites; iii) (x /y ) coverge e lim (x /y ) = [lim x ]/[lim y ],selim y limite da divisão é a divisão dos limites. 0, ou em palavras, o Demostração. Cosidere que lim x = x e lim y = y. i) Dado ε>0, exitem N 1,N 2 N tais que N 1, tem-se x ( x ε 2,x+ ε ) 2 e N 2, tem-se y ( y ε 2,y+ ε ). 2 Seja N =max{n 1,N 2 }.Etão N, tem-se x ε 2 <x <x+ ε 2 e y ε 2 <y <y+ ε 2. Portato, somado estes resultados, obtemos N, que, x+ y ε<x + y <x+ y + ε, ou seja, N, tem-se, x + y (x + y ε, x + y + ε). Isto os diz que (x + y ) coverge e lim(x + y )=x + y = lim x + lim y.

19 2.5. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM SEQUÊNCIAS 53 ii) Noteque x y xy = x y xy + xy xy =(x x)y + x(y y), N. Como lim y = y, etão (y )é uma sequêcia limitada (ver Teorema 2.3). Por outro lado, lim(x x) = lim(y y) =0e(x) é limitada (costate). Logo, pelo Teorema 2.9 epori), temos que lim(x y xy) = 0. Ou seja, lim x y = xy = lim x lim y. iii) Primeiramete, vamos provar que (1/y )é covergete e lim 1/y =1/y, ode y 0. Cosidere y>0. Seja ε = y/2 > 0. Como lim y = y, existen 1 N tal que N 1, tem-se y ( y y 2,y+ y ). 2 Assim sedo, N 1,tem-se0< y 2 = y y 2 <y. Portato, Além disso, dado ε>0existen 2 N tal que 1 y < 2 y, N 1. N 2, coclui-se, y y < y2 ε 2. Seja N =max{n 1,N 2 }. Com isso, N, tem-se 1 1 y y = y y yy = y y yy < 2y2 ε 2y 2 = ε. Isto os permite cocluir que (1/y )é covergete e lim 1/y = 1/y. Aalogamete, o resultado éválido para y<0. Usado o item ii), obtemos( x y )covergee ( ) 1 lim (x /y ) = lim x = lim x lim 1/y = x 1 y y = x/y = [lim x ]/[lim y ], se y = lim y 0. Obs Note que o item i) do Teorema 2.11 pode ser geeralizado para uma quatidade

20 54 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS fiita qualquer de parcelas, basta utilizar idução. multiplicação. O mesmo podemos afirmar sobre a Obs Observe que o item ii) do Teorema 2.11, os garate que se (x )é covergete etão, (cx )é covergete e lim cx = lim c lim x = c lim x (ver Exemplo 2.4). Obs Veja que usado o Teorema 2.11 podemos garatir que, se (x )e(y )são covergetes, etão (x y )é covergete e lim(x y ) = lim[x +( y )] = lim x + lim( 1)y = lim x lim y. Obs Observe que a hipótese de (x ) ser covergete o Teorema 2.11 ão pode ser retirada. Por exemplo, seja (x )=() e(y ) = (1). Como (x )=() é ilimitada, etão esta sequêcia é divergete (ver Teorem 2.3). Pelo mesmo motivo que (), a sequêcia (x + y )=( +1)é divergete. Etão ão é verdade que existe lim(x + y ). Vejamos algus simples exemplos evolvedo o Teorema Exemplo Usado o Teorema 2.11, podemos cocluir que ( lim 1+ 2 ) = lim 1 + lim 2 = lim lim 1 =1+2 0=1, pois (1), (2) e ( 1 ) são sequêcias covergetes (ver Exemplos 2.4 e2.5). Exemplo Note que, usado o Teorema 2.11, cocluímos que ver Exemplo 2.5. Ou seja, a sequêcia para 1. lim +5 1 = lim = 1, ( ) +5 é uma sequêcia covergete que coverge 1 No fim desta seção, estamos iteressados em mostrar algus testes que os permitem calcular algus limites de sequêcias específicas. Proposição 2.2 (Teste da Razão). Seja (x ) R +.Selim x +1 x = x<1, etão lim x =0.

21 2.5. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM SEQUÊNCIAS 55 Demostração. Pelo Teorema 1.6, existe a Q tal que x<a<1. Usado o Teorema 2.5, cocluímos que existe N N tal que N, tem-se, 0 < x +1 x <a<1. Portato, por mootoicidade 0 <x +1 <ax <x, N. Dessa forma, 0 <x +1 <x <x N, N, ou seja, (x )émoótoa e limitada, N. Isto os diz que (x ) coverge (ver Proposição 2.1), digamos que lim x = y. Com isso, 0 lim x +1 a lim x lim x. Portato, 0 y ay y. Ou seja, y(a 1) = 0. Como a<1, etão lim x = y =0. Obs Se lim x +1 x = 1, ada pode ser afirmado sobre a covergêcia da sequêcia (x ). Por exemplo, se x =1, N, etão lim x +1 x = lim 1 1 =1. Sabemos que esta sequêcia é covergete (ver Exemplo 2.4). Por outro lado, seja x =, N. Assim, lim x +1 = lim +1 ( = lim 1+ 1 ) =1, x ver Exemplo 2.5. Mas, () é uma sequêcia divergete (ver Teorema 2.3). Exemplo Veja que lim m c! = lim = lim =0, ode m N e c>1. Vamos c! utilizar o Teste da razão para verificar estes limites. Seja x = m, N, etão c lim x +1 x = lim ( +1)m c +1 c m = lim ( 1+ 1 ) m c = 1m c = 1 c < 1. Portato, lim x = 0. Ou seja, lim m c = 0. Seja y = c, N. Assim sedo,! lim y +1 = lim c+1 y ( +1)!! c = lim c ( +1) = c lim 1 = c 0=0< 1, ( +1)

22 56 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS ver Teorema 2.2. Com isso, lim y = 0. Isto é, lim c = 0. Por fim, seja z! =!, N. Logo, lim z +1 z = lim ( +1)! ( +1) +1 ode e éoúmero de Euller e e 2, 71.! = lim 1 ( 1+ 1 ) = 1 e < 1, Exemplo Cosidere a sequêcia (x ), com 0 <x<1. Assim, lim x+1 x = lim x = x<1. Utilizado a Proposição 2.2, cocluímos que lim x =0,se0<x<1. Proposição 2.3 (Teste da Razão). Seja (x ) R + uma sequêcia. Se lim x +1 x etão (x ) é ilimitada. = x>1, Demostração. Supoha que lim x +1 x = x>1. Defia y =1/x > 0, N. Logo, lim y +1 y = lim 1/x +1 1/x = 1 lim x =1/x < x Pela Proposição 2.2, lim 1 x = lim y =0. Logo, dado A>0, existe N N tal que N, tem-se, Cosequetemete, x N >A.Ou seja, (x )é ilimitada. 1 x < 1 A. Obs Observe que podemos cocluir a Proposição 2.3 que(x )é divergete, basta utilizar a cotrapositiva do Teorema 2.3. Exemplo Cosidere a sequêcia (x ), ode x>1. Com isso, lim x+1 x = lim x = x>1. Pela Proposição 2.3, (x )é ilimitada. Cosequetemete, (x )é divergete.

23 2.5. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM SEQUÊNCIAS 57 Exercícios de Fixação 1. Dê um exemplo de duas sequêcias divergetes (x )e(y )taisque(x + y )e(x y ) sejam covergetes. 2. Mostre que se (x )e(x + y )são sequêcias covergetes, etão (y )é covergete. 3. Ecotre o limite das seguites sequêcias: i) ((2+1/) 2 ); ii) iii) ( ) 1 ; +1 ( ) Seja x = +1, N. Mostre que (x )e( x ) covergem e ecotre seus limites. 5. Discuta a covergêcia das seguites sequêcias, ode 0 <x<1ey>1. i) ( 2 x ); ii) iii) ( y! ( y 2 ) ; ). 6. (Teste da Raiz) Seja (x ) uma sequêcia de úmeros reais positivos tal que lim x = x<1. Mostre que existe y R tal que 0 <y<1e0<x <y, N para algum N N. Mostre que lim x =0. 7. Otestedaraizacimaé icoclusivo o caso do limite acima ser 1.

24 58 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS i) Dê exemplo de uma sequêcia de úmeros reais positivos (x ) covergete tal que lim x = 1; ii) Dê exemplo de uma sequêcia de úmeros reais positivos (x ) divergete tal que lim x = Limites Ifiitos de Sequêcias Não diferete do que fizemos a seções ateriores, depois de defiirmos limites ifiitos estabeleceremos algumas propriedades e exemplos que são gerados por esta teoria. Defiição 2.11 (Limites Ifiitos). Dizemos que uma sequêcia (x ) tede a + ou (respectivamete tede a ), e escrevemos lim x =+ ou lim x = (respectivamete lim x = ), quado dado A>0 N N tal que N, tem-sex >A (respectivamete x < A). x 1 x 3 x N-1 A x 2 x N x N+2 }xn+1 fiitos termos Figura 2.8: lim x = Obs As otações +,, ão são úmeros reais. Na verdade estas servem para expressar a idéia estabelecida a defiição acima. Obs Oúmero atural N ecotrado a Defiição 2.11 depede somete do úmero real A>0 dado, isto é, N = N(A). Obs Observe que a Defiição 2.11 os garate que lim x = lim( x )=. Exemplo lim = lim 2 =. De fato, dado A>0, existe N N tal que N>A (ver Teorema 1.2). Logo, N, tem-se, N>A. Portato, lim =. Pela Desigualdade de Beroulli, 2 1+, N. Com isso, dado B>0, existe N N tal que N>B 1. Dessa forma, N, tem-se, 2 +1 N +1>B,

25 2.6. LIMITES INFINITOS DE SEQUÊNCIAS 59 ou seja, lim 2 =. Exemplo lim[ +( 1) ]. Supoha, por absurdo, que lim[ +( 1) ]=. Assim sedo, dado A>0, existe N N tal que N, tem-se +( 1) >A. Faça, =2N +1. Daí, 2N +1+( 1) 2N+1 (2N +1)>A. Ou seja, 0 = 2N +1 (2N +1)>A. Isto é um absurdo, pois A>0. Obs Seja lim x =. Portato, dado A R, N N tal que N, tem-se x > A A. Ou seja (x )é uma sequêcia ilimitada superiormete. Resumido, se lim x =, etão (x )é uma sequêcia ilimitada superiormete. O Exemplo 2.22 mostra que a recíproca desta afirmação éfalsa,jáque(+( 1) )=(0, 4, 0, 8, 0,...)é uma sequêcia ilimitada superiormete e lim[ +( 1) ]. Aalogamete, se lim x =, etão (x ) é uma sequêcia ilimitada iferiormete. Vejamos que codições devemos acrescetar para que a recíproca, relatada a observação acima, seja verdadeira. Proposição 2.4. As seguites afirmações são válidas: i) Se (x ) é uma sequêcia ilimitada (superiormete) e ão-decrescete, etão lim x = ; ii) Se (x ) é uma sequêcia ilimitada (iferiormete) e ão-crescete, etão lim x =. Demostração. i) Se (x )é uma sequêcia ilimitada (superiormete), etão dado A > 0, N N tal que x N > A. Se (x )é uma sequêcia ão-decrescete, etão N, tem-se que x x N. Com isso, N, tem-sequex x N >A. Ou seja, lim x =. Oitemii) éaálogo. Proposição 2.5. Sejam (x ) e (y ) duas sequêcias tais que x y, N. Etão: i) lim x = lim y = ; ii) lim y = lim x =.

26 60 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS A x y N+1 N y N x N+1 x N+2 Figura 2.9: item i) Demostração. i) Se lim x =, etão dado A>0, existe N N tal que N, tem-se x >A.Comox y, N, etão N, tem-se y x >A. Portato, lim y =. ii) lim y =, etão lim( y )=. Como y x, N, etão, pelo item i), temos que lim( x )=. Ou seja lim x =. Exemplo Veja que lim[ +( 1) ] = lim 2 =. De fato, 1 +( 1) e 2, N. Logo, usado a Proposição 2.5 e o fato que lim( 1) = lim =, temos o resultado. 2.7 Operações Elemetares com Limites Ifiitos Nesta oportuidade, mostraremos quais hipóteses devemos impor para que as operações elemetares com limites ifiitos sejam claramete satifeitas. Teorema 2.12 (Operações com Limites Ifiitos). As seguites afirmações são verdadeiras: i) Se lim x = e (y ) é limitada iferiormete, etão lim(x + y )= ; ii) Se lim x = e y y>0, N, etão lim(x y )= ; iii) Se x x>0 e lim y =0,comy > 0, N, etão lim x y = ; iv) Se (x ) é limitada e lim y =, etão lim x y =0.

27 2.7. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LIMITES INFINITOS 61 Demostração. i) Se (y )é limitada iferiormete, etão b R tal que b y, N. Agora, dado A>0, existe N N tal que N, tem-sex >A b (se A b<0 este resultado éóbvio). Por coseguite, N, tem-se, x + y >A b + b = A. Ou seja, lim(x + y )=. ii) Dado A>0, existe N N tal que N, tem-sex > A y > 0. Portato, N, tem-se, x y > A y y = A>0. Dessa forma, lim(x y )=. iii) Seja A>0. Como lim y =0,comy > 0, etão N N tal que N, coclui-se que, y = y = y 0 < x A. Dessa forma, N, chega-se a, x y >x A x = A. Cosequetemete, lim x y =. iv) Se (x )é limitada etão existe a R tal que 0 x a, N. Se a =0, etão x =0, N. Daí, lim x = lim 0 = 0. Cosidere, etão, que a>0. Portato, y dado ε>0, existe N N tal que N, ifere-se, y > a ε > 0. Com isso, N, tem-se x 0 y = x = x < ε y a a = ε. y Isto os diz que lim x y =0. Exemplo Vimos que lim 2 = e que a sequêcia (1/) é limitada iferiormete

28 62 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS por 0. Assim sedo, utilizado o Teorema 2.12, obtemos [ ] [ 2 +1 lim = lim ] =. O resultado a seguir aparece com muito mais frequêcia, pricipalmete os exercícios de Cálculo, que a sua geeralização, obtida o Teorema Corolário Seja (y ) uma sequêcia. Etão, lim y =0 lim 1 y =. Demostração. Use os ites iii) e iv) do Teorema 2.12, com x =1, N. Exemplo Como lim ( 1) lim ( 1) =. =0,etão, utilizado o Corolário 2.13, cocluímos que Vejamos como épossível obter um tipo de idetermiação através de limites ifiitos. Obs No Teorema 2.12 item i) vamos retirar a hipótese de (y ) ser uma sequêcia limitada iferiormete. Vejamos o que épossível acotecer. Escolha, primeramete, as sequêcias (x )=([ +( 1) ]) e (y )=( ). Vimos, o Exemplo 2.23, que lim x =. Mas,(y )é ilimitada iferiormete. Além disso, lim(x + y ) = lim( 1), oqualão existe, pois a sequêcia ( 1) = ( 1, 1, 1, 1,...) possui duas subsequêcias costates iguais a 1 e 1 (verteorema2.2). Com isso, lim(x + y )ão existe. Agora, cosidere as sequêcias (x )=(2) e(y )=( ). Pelo Exemplo 2.23, temos que lim x =. Dessa maeira, lim(x + y ) = lim(2 ) = lim =. Por fim, seja x R. Cosidere as sequêcias (x )=(+x)e(y )=( ). Logo, lim x =. Por outro lado, lim(x + y ) = lim( + x ) = lim x = x.

29 2.7. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LIMITES INFINITOS 63 Resumido, lim(x +y )podeão existir, ser, ou qualquer úmero real desejado. Por isto a expressão, é chamada idetermiação. Outras idetermiações são: 0,1, 0 0, 0,. As hipóteses colocadas em cada item do Teorema 2.12 são esseciais para ão haver 0 estes tipos de idetermiações. Exercícios de Fixação 1. Mostre que se lim x = ±, etão existe uma subsequêcia que tede a ±. 2. Dê exemplos de sequêcias (x ), (y ) tais que lim x = ± e lim y = ±, comy 0, N satisfazedo: i) (x /y )é covergete; ii) lim x /y = ±. 3. Discuta a covergêcia ou divergêcia das seguites sequêcias: i) ( 2 +2); ii) ( ) ; 2 +2 iii) (cos ). 4. Mostre que se lim x / = x>0, etão lim x =. 5. Mostre que se (x )é uma sequêcia ilimitada, etão existe uma subsequêcia de (x )que tede para.

30 64 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 2.8 Sequêcia de Cauchy Nesta última seção, mostraremos outra maeira de defiirmos sequêcias covergetes o cojuto dos úmeros reais. Defiição 2.12 (Sequêcia de Cauchy). Dizemos que uma sequêcia de úmeros reais (x ) édecauchyemr se dado ε>0, N N tal que m, N, tem-se x m x <ε. comprimeto eor do que } x N+3 x 1 x N x N+2 x 2 ( ) x N+1 Figura 2.10: Sequêcia de Cauchy Obs Oúmero atural N depede somete de ε. Ou seja, N = N(ε). Obs A Defiição 2.12 os garate que os termos da sequêcia (x ) estão próximos para suficietemete grade. Equato que, a Defiição 2.5 os termos da sequêcia ficam próximos de seu limite esta mesma situação. Exemplo A sequêcia () ão é uma sequêcia de Cauchy. De fato, ε = 1 > 0tal 2 que N N, temosque (N +1) N = 1 =1> 1 2 = ε. comprimeto 1> 1/2= } N N+1 Figura 2.11: () ão é uma sequêcia de Cachy

31 2.8. SEQUÊNCIA DE CAUCHY 65 Exemplo A sequêcia (1/) é uma sequêcia de Cauchy em R. De fato, dado ε>0, N N tal que N> 2 (ver Teorema 1.2). Logo,, m N, tem-seque ε 1 1 m m = m < 1 N + 1 N = 2 N <ε. Os resultados listados abaixo, costituem um camiho para provarmos que sequêcias de Cauchy são a verdade sequêcias covergetes. Teorema Toda sequêcia covergete é de Cauchy em R. Demostração. Seja (x ) uma sequêcia de úmeros reais covergete, com lim x = x. Vamos provar que (x )édecauchy.dadoε>0, N N tal que N, tem-se, x x < ε 2. Dessa forma,, m N, tem-se x x m = x x + x x m x x + x m x < ε 2 + ε 2 = ε. Portato, (x )édecauchy. Lema 2.1. Toda sequêcia de Cauchy em R é limitada. Demostração. Seja (x ) uma sequêcia de Cauchy em R. Seja ε =1> 0. Assim, N N tal que N, coclui-se que x (x N 1,x N +1). Seja d R tal que d <x N 1ex N +1<d. Assim sedo, x ( d, d), N. Ou seja, x <d, N. Seja M =max{ x 1, x 2,..., x N 1,d}. Dessa forma, x M, N. Por fim, (x )é limitada. Obs ArecíprocadoLema2.1 é falsa. A sequêcia (( 1) )é limitada, porque 1 ( 1) 1, N.

32 66 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Por outro lado, (( 1) )ão é uma sequêcia de Cauchy. Com efeito, existe ε =2> 0tal que N N, ecotram-se 2N,2N +1 N de forma que ( 1) 2N ( 1) 2N+1 = 1+1 =2=ε. Lema 2.2. Seja (x ) uma sequêcia de Cauchy em R. Se(x ) possui uma subsequêcia que coverge para x. Etão (x ) é covergete e lim x = x. Demostração. Se (x )édecauchy,etão dado ε>0, existe N N tal que, m N, tem-se, x x m < ε 2. Seja (x ) N que uma subsequêcia de (x ) tal que lim N x = x. Assim sedo, existe N N tal N, com N, tem-se que x x < ε 2. Seja N > max{n,n } em N. Dessa forma, N,com N, tem-seque x x = x x N + x N x < ε 2 + ε 2 = ε. Ou seja, lim x = x. O resultado a seguir é, a verdade, a recíproca do Teorema Teorema Toda sequêcia de Cauchy é covergete em R. Demostração. Seja x =(x ) uma sequêcia de Cauchy em R. Assim, x é limitada (ver Teorema 2.1). Pelo Teorema de Bolzao-Weierstrass, x possui uma subsequêcia covergete x. Pelo Lema 2.2, x é covergete e coverge para o mesmo limite de x. Exercícios de Fixação 1. Mostre, através da defiição, que as seguites sequêcias são sequêcias de Cauchy: i) ( +1 ) ;

33 2.9. ii) CONCLUSÃO 67 ( ! + 1 3! ).! 2. Mostre, através da defiição, que as seguites sequêcias ão são sequêcias de Cauchy: i) ( + ( 1) ) ; ii) (l ) (ver Defiição 10.1). 3. Mostre diretamete da defiição que se (x )e(y )são sequêcias de Cauchy etão (x + y )são sequêcias de Cauchy. 4. Mostre ( ) satisfaz lim +1 =0,mas( )ão é uma sequêcia de Cauchy. 5. Seja p N fixo. Dê exemplo de uma sequêcia (x ) que ão édecauchy,massatisfaz lim x +p x =0. 6. Se 0 <r<1e x +1 x <r, N. Mostre que (x )édecauchy. 2.9 Coclusão Caro aluo, ao fial desta aula, é importate ressaltar que uma quatidade ifiita de termos de uma sequêcia covergete estão o quão próximos do valor de covergêcia quato desejarmos. Este fato destaca um importate papel da defiição de covergêcia em Aálise a Reta, pois esse coceito os dá iformações importates se trabalharmos em uma região próxima ao limite da sequêcia. Nesta localidade, podemos utilizar as pricipais características dos termos existetes dessa para resolver algum problema que evolva o valor do limite.

34 68 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 2.10 Resumo Nesta aula, apresetamos como descobrir se uma sequêcia é covergete utilizado resultados como, por exemplo, o Teorema Porém, este Teorema ão iforma o valor de covergêcia da sequêcia. Por isso, decidimos acrescetar à teoria algus outros resultados, tais como os Teoremas da Mootoicidade e do Saduíche, os quais, sob algumas hipóteses, os dizem quem é o limite da sequêcia. Além disso, aumetamos ossa lista de exemplos de sequêcias covergetes estabelecedo as propriedades ieretes a estas. Exemplificamos, também, algumas sequêcias divergetes que possuem um comportameto próprio. Este tipo de comportameto está descrito como limite ifiito Exercícios Propostos Exercícios: 1. Se lim x 2 = lim x 2 1 = x, prove que lim x = x. 2. Se lim x = x e lim(x y ) = 0, prove que lim y = x. 3. Seja x 0. Se lim x x = 1 prove que lim x = x. 4. Seja y 0. Se lim x = x e lim x y = y, prove que lim y = x y. 5. Se lim x = x 0 e lim x y = y, prove que lim y = y x. 6. Seja x > 0, N. Se lim x +1 x = x>1, prove que lim x =. Mostre que lim! =. 7. Seja (x ) uma sequêcia moótoa. Supoha que (x ) possua uma subsequêcia covergete. Prove que (x )é covergete.

35 2.11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Sejam lim x = x e lim y = y. Sex<y, prove que existe N N tal que x <y. 9. Se lim x = x e lim y = y e x y ε, N, prove que x y ε. 10. Seja (x ) uma sequêcia limitada. Supoha que lim x x. Prove que existe uma subsequêcia de (x ) que coverge para um úmero distito de x. 11. Dados x, y úmeros positivos, defia idutivamete as sequêcias (x )e(y ) podo x 1 = xy e y 1 = x+y e x 2 +1 = x y, y +1 = x+y. Prove que (x 2 )e(y ) covergem para o mesmo limite. 12. Prove que, m N, tem-se lim +m = Dado x>0, defia idutivamete a sequêcia (x ) podo x 1 = 1 e x x +1 = 1 x+x. Cosidere o úmero a, raiz positiva da equação y 2 + xy 1=0,úico úmero positivo tal que a = 1. Prove que x+a x 2 <x 4 <... < x 2 <... < a <... < x 2 1 <... < x 3 <x 1. e que lim x = x. Oúmero a pode ser cosiderado como a soma da fração cotíua 1 1 x + x+ 1 x+ x Dado y>0, defia idutivamete a sequêcia (y ), podo y 1 = y e y +1 = y+ 1 y. Mostre que lim y = x+a, ode a écomooexercício aterior Defia a sequêcia (y ) idutivamete, podo y 1 = y 2 =1ey +2 = y +1 + y, N. Escreva x = y y +1 e prove que lim x = a, ode a éoúico úmero positivo tal que a = 1. 1+a Otermoy chama-se o -ésimo úmero de Fiboacci e a = 1+ 5 éoúmero de ouro da 2 Geometria Clássica. [ log(x 16. Se lim x = e x R, prove que lim + x) ] log x =0.

36 70 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS 2.12 Exercícios Resolvidos Questões Resolvidas: Ex1. Se lim x 2 = lim x 2 1 = x, prove que lim x = x. Demostração. Supoha que lim x 2 = lim x 2 1 = x. Assim sedo, dado ε>0existe N N tal que para todo N, tem-se x 2 (x ε, x + ε). Aalogamete, existe M N tal que para todo M, tem-se x 2 1 (x ε, x + ε). Seja K =max{2n,2m 1} N. Dessa forma, para cada K, temos duas possibilidades: ou é par ou ímpar. Primeiramete, cosidere que é par, digamos =2k para algum k N. Portato, 2k K 2N. Cosequetemete, k N. Logo, x = x 2k (x ε, x + ε). Ocaso ímpar éaálogo. Com efeito, se éímpar, com =2l 1paraalguml N, ecotramos, l M. Por coseguite, x = x 2l 1 (x ε, x + ε). Por fim, para todo K, tem-se x (x ε, x + ε). Isto os diz que lim x = x, ver Defiição 2.1. Ex2. Uma sequêcia (x ) diz-se periódica quado existe p N tal que x +p = x, N. Prove que toda sequêcia periódica covergete é costate. Demostração. Seja (x ) uma sequêcia periódica. Supoha que (x )ão é costate. Ou seja, existem, m N tais que x m x.como(x )éperiódica, prova-se, por idução sobre k N, que as subsequêcias x k = x +kp = x e x mk = x m+kp = x m, k N,

37 2.12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 71 são costates. Observe que lim x k = x e lim x mk = x m. k k Usado o Teorema 2.2 eofatoquex m x,cocluímos que (x )é divergete. Ex3. Para cada N, seja t [0, 1]. Se lim x = lim y = x, prove que lim[t x +(1 t )y ]=x. Demostração. Observe que t x +(1 t )y = t x + y t y = y + t (x y ). Como lim x = lim y = x, etão lim(x y ) = lim x lim y = x x =0. Como t [0, 1], N, obtemosque(t )é uma sequêcia limitada. Utilizado o Teorema 2.9, cocluímos que (t (x y )) é covergete e lim[t (x y )] = 0. Dessa forma, lim[t x +(1 t )y ] = lim[y + t (x y )] = lim y + lim[t (x y )] = x. Ex4. Se lim x = x, prove que lim x = x. Prove ou cotra-exemplifique a recíproca desta afirmação. Demostração. Pela Proposição 1.5, temos que x x x x. Assim sedo, dado ε>0existen N tal que N, tem-se, x x <ε, pois lim x = x. Portato, N, coclui-se x x x x <ε. Ou seja, lim x = x. Arecíproca ão é verdadeira para x 0. Por exemplo, cosidere a sequêcia (( 1) ). É claro que, lim ( 1) = lim 1 = 1 = 1. Por outro lado, lim( 1) ão

38 72 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS existe, pois (1, 1, 1,...) e( 1, 1, 1,...) são subsequêcias de (( 1) ) que covergem para os valores distitos 1 e 1, respectivamete, (ver Teorema 2.2). Ex5. Seja (x ) uma sequêcia moótoa. covergete. Prove que (x )é covergete. Supoha que (x ) possua uma subsequêcia Demostração. Primeiramete, vamos provar que se (x )é uma sequêcia moótoa e possui uma subsequêcia limitada, etão (x )é limitada. Com efeito, cosidere que (x )émoótoa ão-decrescete. Observe que, este caso, x 1 é cota iferior de (x ). Seja (x ) N tal subsequêcia. Assim, existe M R tal que x M, N. Por outro lado, dado N, existe N tal que. Portato, x x M. Ou seja (x )é limitada. Em particular, se (x ) possui uma subsequêcia covergete, esta é limitada (ver Teorema 2.3). Pelo que foi feito acima, (x )émoótoa e limitada. Pelo Teorema 2.4, (x )é covergete. Ex6. Seja (x ) uma sequêcia limitada. Supoha que lim x x. Prove que existe uma subsequêcia de (x ) que coverge para um úmero distito de x. Demostração. Como lim x x, etão ε>0talque k N, ecotra-se (x k )tal que x k x ε, com 1 < 2 <... < k <... Como (x )é limitada, etão (x k ) também é limitada. Pelo Teorema de Bolzao-Weierstrass (x k ) possui uma subsequêcia covergete. Portato, passado a uma subsequêcia, se ecessário, (x k )é covergete. Digamos lim x k = y. Dessa forma, k logo, lim k x k x = y x. Por fim, Com isso, y x. lim k [x k x] =y x, y x = lim k x k x ε>0. Ex7. Dado x>0, defia idutivamete a sequêcia (x ) podo x 1 = x e x +1 = x + x. Prove que (x )é covergete e calcule seu limite x + x + x + x +...

39 2.12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 73 Demostração. Primeiramete, vamos provar que (x )émoótoa crescete. idução sobre. Veja que x 1 <x 2 x< x + x 1 x< x + x x<x+ x 0 < x. Usaremos Como x>0, etão a última desigualdade faz setido e é verdadeira. Supoha que x <x +1. Portato, x +1 = x + x < x + x +1 = x +2. Assim sedo, x <x +1, N. Agora, seja a aúica raiz positiva da equação y 2 y x = 0. Cosequetemete, a 2 a x =0, ou seja,a 2 = x + a, isto é,a= x + a. Além disso, a>0. Vamos provar, por idução sobre, quex <a, N. De fato, quado =1,temosx 1 = x< x + a = a. Cosidere que x <a. Assim, x +1 = x + x < x + a = a. Portato, x <a, N. Com isso, (x )émoótoa crescete e limitada (por x 1 e a). Dessa forma, utilizado o Teorema 2.4, cocluímos que (x )é covergete. Digamos que lim x = y. Comox 2 +1 = x + x,etão y 2 = x + y, istoé, y = x + y. Fialmete, y = x + x + x +... Ex8. Mostre que lim log( +1) log = 1 (ver Defiição 10.1). Demostração. Veja que lim log( +1) log [ ] log( +1) =1 lim 1 =0 lim log lim +1 log( ) log =0 lim log(1 + 1 ) log [ ] log( +1) log =0 log Verifique que, lim log(1 + 1 ) = 0 e lim log = (ver Teorema 10.1). O resultado segue. =0.

40 74 CAPÍTULO 2. SEGUNDA AULA: SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Auto-Avaliação Sou capaz de determiar se uma sequêcia, costituída de úmeros reais, é covergete? Proxima Aula Caro aluo, a próxima aula, utilizaremos a defiição de sequêcia de úmeros reais para acrescetar ao osso material a ideia de somar todos os elemetos de uma sequêcia qualquer. Ou seja, criaremos uma soma com uma quatidade ifiita de parcelas.

41 Referêcias Bibliográficas [1] Aloso, M.; Fi, E. J., Física: Um Curso Uiversitário. Seguda Edição, São Paulo, Edgard Blücher Ltda, p. [2] Bartle, R. G.; Sherbert, D. R., Itrodutio to Real Aalysis, Third Editio, New York, JohWiley ad Sos,Ic., p. [3] Boyce, W. E.; DiPrima, R. C., Elemetary Differetial Equatios ad Boudary Value Problems. Seveth Editio, New York, JohWiley ad Sos,Ic, p. [4] Brasil, Miistério da Educação. Secretaria de Educação Fudametal. Parâmetros Curriculares Nacioais. Matemática. Brasília: MEC/SEF, [5] Brauer, F.; Nohel, J. A., The Qualitative Theory of Ordiary Differetial Equatios. Uiversity of Wiscosi, [6] Dragomir, S. S., Some Growall Type Iequalities ad Applicatios. Moograph. Victoria Uiversity of Techology, [7] Ferreira, J., A Costrução dos Números. Primeira Edição, Rio de Jaeiro, SBM, p. [8] Figueiredo, D., Aálise I. Seguda Edição, Rio de Jaeiro, LTC, p. [9] Guillemi, V.; Pollack, A., Differetial Topology. First Editio, New Jersey, Pretice- Hall, Ic., Eglewood Cliffs, p. [10] Kig, A.C.; Billigham, J.; OTTO, S.R., Differetial Equatios. Liear, Noliear, Ordiary, Partial. Cambridge Uiversity Press. New York, [11] Lima, E. L., Aálise Real. Fuçõesdeumavariável, vol.1. 8 o. ed. Coleção Matemática Uiversitária, Rio de Jaeiro: IMPA,

42 76 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [12] Lima, E. L., Aálise Real, vol.2. Rio de Jaeiro, [13] Lima, E. L., Curso de Aálise, vol.1,décima Seguda Edição, Rio de Jaeiro, IMPA, p. [14] Melo, W., Existêcia de soluções clássicas para as Equações de Burgers e Navier- Stokes. Dissertação de Mestrado. UFPE, [15] Mukres, J. R., Topology. Secod Editio, New Jersey, Pretice Hall, Ic., p. [16] Nolt, J.; Rohatys, D.; Varzi, A., Theory ad problems or logic. Secod editio, New York, McGraw-Hill, p. [17] Rudi, W., Priciples of Mathematical Aalysis. Third Editio, New York, McGraw- Hill, Ic., p. [18] Smoller, J., Shock Waves ad Reactio-Diffusio Equatios. 2d ed., Spriger-Verlag, [19] Tveito, A.; Wither, R., Itroductio to Partial Differetial Equatios. A Computatioal Approach. New York, Professor Revisor Professor Paulo de Souza Rabelo