Torre de Hanói e a função exponencial

Transcrição

1 Torre de Hanói e a função exponencial Lidiane Pereira de Carvalho lidiane.p.carvalho@gmail.com Maria Aparecida Alves da Silva cidalves20@hotmail.com Risoneide Maria de Mélo reisoneide.melo@hotmail.com Resumo Nesse trabalho apresentamos alguns recursos e metodologias utilizadas no uso do jogo Torre de Hanói como ferramenta didática. Objetivamos apresentar um resumo de algumas atividades desenvolvidas, e de materiais concretos e softwares que podem ser utilizados com essas finalidades. Palavras chave: Torre de Hanói; Ensino; Função exponencial. Introdução A Torre de Hanói é um jogo muito conhecido, já utilizado por muito professores como material didático para aulas de matemática, geralmente essas aulas objetivam realizar uma investigação matemática, o desenvolvimento lógico, o desenvolvimento de habilidades para resolução de problemas, um estudo da Indução Matemática e o estudo de Funções Exponenciais. Aqui teremos como enfoque discutir um pouco sobre a utilização da Torre de Hanói para o ensino e aprendizagem de função exponencial. A História da Torre de Hanói

2 O problema da Torre de Hanói foi criado por Edouard Lucas, matemático francês, em Lucas vendeu o jogo como um brinquedo e em sua continha a seguinte lenda: No tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcava o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma. Essa lei dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais de um disco por vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha colocada por Deus no dia da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo. ((FERRERO, 1991; MACHADO, 1992 apud COSTA). Essa lenda continua sendo apresentada com o jogo, e dela surgem as regras e as primeiras questões que motivam e norteiam nossas ações. Quanto tempo os monges levaram para concluir o trabalho se não errarem nenhum movimento? Quantos movimentos serão necessários para transferir todos os 64 discos da lendária Torre de Hanoi? Proposta de ensino Através da leitura de artigos e relatos de experiência constatamos que em geral os professores e pesquisadores costumam adotar uma sequencia de ensino com alguns pontos comuns. Apresentaremos a seguir uma breve sequencia de ações que, comumente, guiam as atividades que fazem uso da Torre de Hanói para o ensino de função exponencial. 1. Apresentação da Lenda da Torre de Hanói; 2. Apresentação da Torre de Hanói para familiarização; 3. Resolução da Torre de Hanói para 3, 4, 5, 6... discos; 4. Observação e discussão a respeito do número de movimentos mínimo utilizado para solucionar o problema de acordo com o número de discos; 5. Busca de padrão para generalização da função que relaciona número mínimo de movimentos há número de discos da torre;

3 6. Calculo do número mínimo de movimentos necessários para resolver o problema lendário e do tempo que os monges precisaram para realizar sua tarefa; 7. Discussão a respeito do rápido crescimento e decrescimento da dificuldade desse jogo, utilizado para debater o ritmo de crescimento e decrescimento da função exponencial; Esses são os pontos mais comuns, alguns fazem uso de tabelas para organização dos dados na busca da generalização. Geralmente antes de encontrar a função exponencial, os estudantes encontram outro padrão, cada vez que adicionamos uma nova peça o número de movimentos necessários é dobrado e adicionado mais um. Só depois chegam à forma de função exponencial. Há alguns trabalhos que realizam a construção do gráfico pelo método ponto a ponto, possibilitada pelos dados colhidos. Outros fazem a analise das estratégias vitoriosas. Existe uma grande diversidade na possibilidade da escolha da forma da Torre de Hanói, encontramos diversas opções para construção dela na forma de material manipulável e aplicativos para download ou uso on-line. Discutiremos a seguir algumas dessas opções. Materiais didáticos Tradicionalmente a Torre de Hanói é feita de madeira, e é composta por 3 pinos e 7 discos. Mas, para fins didáticos é comum encontrarmos variações com menos ou mais discos, ou estudos com mais pinos. Além disso, elas podem ser confeccionadas com diversos materiais como emborrachados, isopor, e materiais recicláveis. Destacamos a torre produzida por Costa, onde os pinos foram removidos e foi utilizado um desenho em papel para substituí-los e os discos foram confeccionados com papelão. Também encontramos artigos fazendo uso dos aplicativos para a Torre de Hanói. Apresentaremos a seguir algumas opções de aplicativos livres para o uso em qualquer escola. Torre de Hanói UFRGS

4 Disponível como aplicativo on-line na página da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, o aplicativo foi apresentado em E conta com uma Torre de Hanói onde o jogador pode escolher o número de discos que irá utilizar, e o software contabiliza o número de jogadas utilizadas, a primeira tarefa do jogador é escolher o pino onde formará a torre, feita a escola o jogador poderá realizar seu primeiro movimento. Fornece instruções aconselhando começar o jogo com o uso de 4 discos. O participante pode também reiniciar o jogo a qualquer momento. Fora o tradicional jogo, a página apresenta desafios, os desafios trazem um debate semelhante ao que o professor pode fazer com seus alunos, com questões como: Qual o número mínimo de movimentos? E quais as peças que mais se movimentam? E as que menos se movimentam? Qual o segredo que permite jogar bem, sem desperdiçar movimentos, com três, quatro, cinco, seis, etc. peças? A imagem 1 traz a tela do jogo. Imagem 1 Aplicativo ihanoi Fonte do jogo: ihanoi IME USP Aplicativo desenvolvido em Java pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo disponível online na página e na mesma página esta o link para download do aplicativo executável, no aplicativo executável só é possível jogar com até quatro discos, na versão on-line pode se jogar

5 com até7 discos. O jogador deve transferir os discos para o pino C, o software também contabiliza o número de jogadas realizadas, e traz a função desfaz, que permite voltar um movimento. Imagem 2 Aplicativo ihanói Fonte do aplicativo: Torre de Hanói ABC Software Esse software, também executável, permite o uso de até 6 discos, o jogador utilizará o mouse para mover diretamente os discos, o diferencial desse software é trazer o número mínimo de movimentos (min) para realizar a tarefa com a quantidade de discos escolhida. Assim o jogador sabe qual o se esta se saindo bem ou o quanto precisa melhorar.

6 Imagem 3 Torre de Hanói da ABC Software Fonte do jogo: Não analisamos aplicativos para celulares, mas é possível encontrar algumas versões do jogo para essa plataforma. Número mínimo de movimentos Para descobrir o número mínimo de movimento, é importante termos certeza de que o jogo possui solução para qualquer quantidade de discos. Podemos provar esse resultado por indução matemática. Segundo, podemos construir uma tabela que relacione o número de discos ao número de movimentos mínimos necessários para solucionar, semelhante a tabela 1. Número de discos Quantidade de movimentos Tabela 1 Número de discos e quantidade de movimentos

7 Observando a tabela podemos notar dois padrões, primeiro quando aumentamos um disco quantidade de movimentos é dobrada e adicionada em um. Em linguagem algébrica, seja n a o numero de movimentos necessário para transferir n discos teremos; n a = n a Podemos notar também que a quantidade de movimentos somada a um como na fórmula anterior passa a ser uma Progressão geométrica de razão dois, ou de forma mais simples os números são potências de dois. Daí, ganhamos uma nova hipótese de que o número de movimentos pode ser determinado por: 2 n 1. Ambas as fórmulas podem ser provadas por Indução, mas em geral com turmas de ensino médio o resultado costuma ser aceito como válido apenas pela confirmação do professor de que essa é a função correta. Estratégia de vitória Para desenvolver uma estratégia de vitória podemos estudar as soluções para um número pequeno de peças, chamemos os pinos de A, B e C, e os discos de 1, 2, 3,..., n, onde 1 é o menor disco da torre e n o maior disco utilizado. Digamos que queremos transferir a Torre do pino A para o C, com um disco basta transferi-lo, com dois precisaremos utilizar o pino auxiliar, colocando o disco 1 no pino B, e em seguida transferindo o disco 2 para o pino C e por fim, colocando o disco 1 sobre ele. Para três discos, precisaremos transferir os dois primeiros discos para poder libertar o 3, de preferência colocaremos eles no pino B, de forma que o disco 3 fique no pino C. Para isso, pelo que observamos anteriormente deveremos transferir o disco 1 para o pino C, o disco 2 para o pino B, o disco 1 para o pino B, de forma que o disco 3 fique agora no pino C, deveremos por fim transferir novamente os discos 1 e 2, como realizado no inicio. Assim, se acompanharmos a estratégia para mais discos poderemos notar que quando tivermos um número par de discos começaremos movendo o disco 1 para o pino B, ao invés do pino C. Já quando houver um número impar a estratégia mais rápida será transferir o disco 1 para o pino de destino no nosso exemplo o pino C. Considerações finais

8 Podemos perceber ao longo da pesquisa que muitos trabalhos já foram realizados relatando ou sugerindo atividades de ensino com a Torre de Hanói, também foram encontrados alguns trabalhos com as demonstrações das funções que relacionam o número de peças com o número mínimo de movimentos necessários para resolver o problema da Torre de Hanói. Encontramos também tanto na literatura como em sites uma ampla variedade de opções para a construção da Torre de Hanói com materiais alternativos, como diversos softwares com o jogo em versão on-line ou para download em aplicativos executáveis. Os relatos de experiência revelam que o uso da Torre de Hanói é positivo, servindo com motivador para os estudantes, e estimulando a observação de padrões e formação de hipóteses Além de desenvolver as habilidades de resolução de problemas. Há relatos do uso da Torre com instrumento de inclusão, para o ensino de deficientes visuais. Sendo assim, consideramos que é uma atividade bastante útil para o ensino, sendo de fácil acesso, seja na forma digital como com materiais manipuláveis. Referências ABC, Software. Torre de Hanói. Disponível em: < COSTA, A.Torre de Hanói, uma proposta de atividade para o Ensino Médio. Acesso em: 17 out Disponível em: < > CUNHA, J. G. A. Introduzindo o estudo da função exponencial através da Torre de Hanói. XI ENEM. Curitiba, Disponível em: < > DRABESKI, E. J. FRANCISCO, R. Estudo da função exponencial e a indução matemática com aplicação da Torre de Hanói. Acesso em: 17 out Disponível em: < >

9 IME. ihanoi. USP. Disponível em: < RUFINO, E. O. Torre de Hanói: jogando com a Matemática Acesso em: 15 out Disponível em:< > SLOMP, P. F.; LUCCHESI, E. M.; LIMA, C. L. Torre de Hanoi. UFRGS, 2005Disponível em: <