TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS: UMA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA POR MEIO DO GEOGEBRA

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1 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS: UMA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA POR MEIO DO GEOGEBRA Pâmella de Alvarenga Souza - pamella_alvarenga@yahoo.com.br Bruno Fillipe Gomes da Silva - bfgs_16@yahoo.com.br Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo - clvra@iff.edu.br Ana Paula Rangel de Andrade - anapaulara@iff.edu.br IFFluminense campus Campos-Centro Rua Dr. Siqueira, Parque Dom Bosco Campos dos Goytacazes - RJ Resumo: As transformações geométricas se apresentam como um recurso ideal para dar significado geométrico ao estudo de matrizes, integrando conceitos de Álgebra e de Geometria. Porém não são estudadas no Ensino Médio por não pertenceram à grade curricular. Apresenta-se uma proposta didática cujo objetivo é relacionar os conceitos de operações com matrizes e seus tipos com os das transformações geométricas no plano cartesiano, utilizando como metodplogia de ensino a Investigação Matemática com o uso do software GeoGebra e de applets. Palavras-chave: Transformações geométricas, Investigação Matemática, GeoGebra. 1 INTRODUÇÃO As transformações geométricas, campo rico de conexões com as funções e com os números complexos, são ferramentas para demonstrações e possibilitam o raciocínio sobre o plano e o espaço (BARBOSA, 2013; LIRA, 2011). Possuem também estreita ligação com as matrizes contribuindo para dar significado geométrico a esse tema bem como às suas operações (BARBOSA, 2013). Outro aspecto a se observar nessa relação é a integração da Geometria com a Álgebra. Segundo Lorenzato (2006), esse seria um ponto de conexão entre esses campos matemáticos, o que proporciona um ensino intradisciplinar em que a linguagem geométrica é um facilitador na aprendizagem da Matemática na medida em que torna visível o que nem sempre os símbolos conseguem expressar. É destacada nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) do 3º. e 4º. ciclos 1 (1998): 1 Atualmente, anos finais do Ensino Fundamental.

2 [...] a importância das transformações geométricas (isometrias, homotetias), de modo que permita o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e como recurso para induzir de forma experimental a descoberta, por exemplo, das condições para que duas figuras sejam semelhantes (BRASIL, 1998, p.51). Porém, tal abordagem não é tão explorada como relata Stormowski (2008, p.2): As transformações geométricas há algum tempo são fortemente sugeridas pelos PCNs [sic] como um tema de abordagem desde as séries finais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio, e no entanto as mesmas são quase que esquecidas inclusive pelos livros didáticos que apenas recentemente resolveram abordar o assunto, mas ainda de forma muito superficial. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) apontam que o estudo de transformações geométricas deve ser inserido de forma complementar ao estudo geométrico e ao dos números complexos. No entanto, não menciona sua relação com o ensino de matrizes (STORMOWSKI, 2008). Este artigo apresenta uma proposta que tem como objetivo relacionar os conceitos de operações com matrizes e seus tipos com os das transformações geométricas no plano cartesiano. Tal proposta é parte do trabalho desenvolvido no âmbito da disciplina Monografia do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense (IF Fluminense), campus Campos-Centro. Serão abordados, dois tipos de transformações geométricas, as isométricas (reflexão, translação, rotação) e as isomórficas (homotetia). Não pretende-se apresentar os tipos de matrizes, mas investigar como as transformações geométricas se relacionam com este conteúdo. A sequência didática foi desenvolvida por meio de atividades investigativas, com o uso do software GeoGebra 2 e de applets. 3 Em relação ao software, os PCN apontam que o seu uso possibilita pensar, refletir e criar soluções (BRASIL, 1998). Escolheu-se o GeoGebra, pois é livre e une Geometria, Álgebra e Cálculo (SILVA & PENTEADO, 2009). A versão utilizada para essa proposta é Para Barbaresco (2014), o GeoGebra é considerado um micromundo e seu ambiente permite a criação de objetos, que ao mesmo tempo podem ser visualizados e manipulados de modo geométrico e algébrico. Sendo assim, é possível explorar todos os níveis de compreensão do aluno proporcionando participação ativa na construção do conhecimento. Quanto ao uso de applets na Matemática, os mesmos possibilitam experimentar e investigar de forma interativa além de estabelecer conjecturas sobre conceitos, construindo-os de forma consistente (SANTOS, 2008). A metodologia de ensino adotada neste trabalho é a Investigação Matemática. Além de promover o envolvimento ativo dos alunos, favorece o desafio e a descoberta, estimulando assim a criatividade e a reflexão (PONTE et al., 2009). Esses autores afirmam que: O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito de atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o professor (PONTE et al., 2009, p.23). 2 Disponível em: 3 São programas desenvolvidos em linguagem de programação Java, que podem ser incluídos em códigos HTML (DEITEL, H. & DEITEL, P., 2003).

3 Ao se aplicar a Investigação Matemática como uma metodologia de ensino espera-se que os alunos utilizem os vários processos que a caracterizam. Consideram-se quatro momentos principais, a saber: (i) Exploração e formulação de questões; (ii) Conjecturas; (iii) Teste e reformulação e (iv) Justificação e avaliação (PONTE et al., 2009). Segundo Borba e Penteado (2005) a investigação tornou-se valorizada pela comunidade da Educação Matemática, destacando-se na proposta pedagógica experimental, a tecnologia, uma vez que os softwares de Geometria Dinâmica 4 permitem uma maior agilidade na investigação e possibilitam que os alunos explorem, conjecturem e demonstrem com mais facilidade. 2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A partir do objetivo proposto, foi elaborada uma sequência didática com as seguintes etapas: (i) Investigação Inicial com o software GeoGebra e applets. Essa etapa tem por objetivo levar o aluno a explorar, formular questões, conjecturar, generalizar e formalizar definições para as diversas transformações apresentadas. O uso das tecnologias é fundamental na visualização e generalização de ideias. (ii) Transformações Geométricas e Matrizes. O objetivo dessa etapa é relacionar as transformações isométricas às matrizes correspondentes. As matrizes de reflexão e rotação são apresentadas enquanto na translação o aluno investiga a forma de encontrar os pontos de uma figura transladada a partir de uma figura dada. Em todos os casos o aluno associa as transformações executadas no software com as matrizes correspondentes. (iii) Matriz e Computação Gráfica. O objetivo dessa etapa é mostrar uma aplicação, na Computação Gráfica, da relação entre transformação geométrica e matrizes. (iv) Transformações Geométricas e Matrizes Especiais. A partir da relação entre uma figura e sua matriz, pretende-se levar o aluno a perceber o efeito que as matrizes oposta, transposta e diagonal (com elementos iguais na diagonal principal) causam nesta figura. Além disso, completar uma figura de modo que a mesma represente uma matriz simétrica. 3 DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES Serão detalhadas a seguir as etapas indicadas anteriormente: (i) Investigação Inicial com o software GeoGebra e applets. Constam nessa etapa quatro atividades, com investigações feitas a partir do uso do software GeoGebra. Na primeira, a transformação geométrica explorada é a reflexão. Com o auxílio do software, os alunos devem utilizar os comandos do mesmo para realizar as reflexões da Figura 1 em relação aos eixos x e y, às retas y = x e y = - x e ao ponto (0,0) de forma a formularem conjecturas. Além disso, é sugerido aos mesmos que atentem para a Janela de Álgebra e percebam a relação entre as coordenadas dos pontos da figura inicial com seus correspondentes nas figuras transformadas. 4 É o ambiente interativo e dinâmico para trabalhar com a Geometria e suas propriedades a partir de recursos gráficos (BARBARESCO, 2014).

4 Figura 1 Figura original da atividade Também, por meio de investigação, é pedido que realizem a reflexão em relação ao ponto (0,0) por dois métodos: refletindo a figura em relação ao eixo x e posteriormente em relação ao eixo y, e utilizando o comando Reflexão em Relação a um Ponto. Com o intuito de ampliar o conhecimento é perguntado o que aconteceria com a figura transformada se a ordem da composição de transformações, no primeiro método, fosse invertida. Utiliza-se um applet 5 Figura 2 para auxiliar a visualização e a generalização dessas reflexões possibilitando a formalização da definição dessa transformação. Figura 2 Applet de reflexão Na segunda atividade, a transformação explorada é a rotação. Utilizando a mesma figura da reflexão Figura 1 na Janela de Visualização, é pedido aos alunos que marquem o ponto (0,0), depois insiram no campo correspondente ao Ângulo o valor 28º e façam o giro no sentido anti-horário, utilizando a ferramenta Rotação em Torno de um Ponto. O software permite que visualizem ângulos maiores que 180º e também alterem o centro de rotação, 5 LIMA, J. Reflexão do triângulo ABC pela reta DE (reta d), Disponível em: < Acesso em: 17 mar Adaptado.

5 portanto pede-se que os mesmos façam a rotação desta figura com um ponto distinto do anterior e um ângulo obtuso e outra com ponto e ângulo distintos dos demais, para construir assim o conceito de rotação. A terceira atividade refere-se à translação e tem por objetivo fazer com que os alunos percebam que a imagem de um barco, que aparece na Janela de Visualização, se desloca de acordo com uma direção, sentido e distância, conforme a manipulação de um vetor, construído com origem no ponto (-2,2). A escolha desse ponto deve-se à sua localização fora da figura proporcionando uma melhor visualização ao executar a movimentação do vetor. A seguir é pedido que transladem a figura utilizando o comando Translação por um Vetor, selecionando-a e posteriormente clicando no vetor. Após a realização da transformação, é pedido que selecionem a ferramenta Segmento e clique nos vértices correspondentes unindo-os, de forma que observem que estes segmentos possuem a mesma direção e sentido do vetor. Além disso, é pedido que habilitem o comando Exibir Rótulo do valor corresponde a cada segmento, para que percebam que este é o módulo do vetor. A diversidade dos vetores que irão surgir, enriquece a investigação fazendo com que os alunos percebam que as distâncias entre as abscissas e as ordenadas das figuras dada e transformada serão iguais, o que auxilia na construção da definição desta transformação. Por último, a atividade relacionada à homotetia. Utilizando o software, é pedido que criem o ponto (0,0), fora da Figura 3 apresentada na Janela de Visualização, e cliquem no comando Homotetia, no qual é preciso selecionar a Figura e o ponto e depois inserir o valor de um fator maior que 1. Em seguida, os alunos refazem transformação anterior utilizando um fator entre zero e um. Como o software possibilita a alteração do centro de Homotetia, pedese que façam outra transformação com ponto e fator distintos das demais. Ao final, é solicitado dos alunos que investiguem a relação entre a da forma e o tamanho da figura transformada com o fator. Para finalizar a investigação é perguntado o que acontece se o fator for igual a um. Figura 3 Figura original da atividade Para auxiliar a visualização e a generalização e por consequência a construção da definição desta transformação é apresentado um applet 6 Figura 4 no qual, ao movimentar o seletor que representa o fator da homotetia, mostra-se a variação da figura. 6 PORCINO, W. Homotetia: visualizando, Disponível em: < Acesso em: 17 mar Adaptado.

6 Figura 4 Applet de homotetia Em cada investigação feita nas atividades, considera-se os quatro momentos da Investigação Matemática. O primeiro momento, exploração e formulação de questões, iniciase com as investigações realizadas com o uso do software. Após, pretende-se levar os alunos a formularem conjecturas, segundo momento da Investigação Matemática. A utilização do GeoGebra auxilia os alunos numa possível reformulação de ideias, terceiro momento da Investigação Matemática, já que permite uma boa visualização de cada transformação. A partir de discussões feitas após cada investigação é possível justificar as conjecturas e formular definições, finalizando o quarto momento da Investigação Matemática. (ii) Transformações Geométricas e Matrizes Nesta etapa, são propostas atividades relacionando cada transformação feita anteriormente com as matrizes correspondentes, com exceção da reflexão em relação ao ponto (0,0). Primeiramente, aborda-se a reflexão em relação ao eixo x com o uso do GeoGebra. Após refletir os pontos da Figura 5 em relação a esse eixo apresenta-se a matriz de reflexão. Nesse momento pede-se aos alunos que registrem cada ponto destacado na Figura e o seu transformado. A seguir, que multiplique a matriz de reflexão por um ponto genérico. Os alunos podem perceber que o seu efeito, quando aplicado aos pontos destacados da figura, é igual ao da transformação observada no software. O mesmo é feito em relação ao eixo y. Figura 5 Figura original da atividade

7 Em seguida é abordada a rotação. Apresenta-se a matriz dessa transformação e os alunos desenvolvem questões para determinar as coordenadas de um novo ponto a partir do ângulo da rotação, do sentido e das coordenadas de um ponto a ser transformado. Nessa transformação não utilizou-se o software. Após, a transformação apresentada é a translação. Com o uso do GeoGebra, translada-se a figura de uma seta Figura 6, segundo um número determinado de unidades e pede-se para observar a relação entre as abscissas dos pontos, da figura inicial e da transladada. O mesmo é feito em relação às ordenadas. A seguir, os alunos investigam de que forma, usando matrizes, poderá obter qualquer ponto genérico transladado considerando um ponto incialmente dado. Por fim, determina a matriz de translação e a aplica em duas atividades. Na primeira, os alunos determinam as coordenadas dos pontos destacados na figura após a translação indicada em cada item e na segunda, a partir das coordenadas de um ponto e do seu transladado, determinam a matriz de translação. (iii) Matriz e Computação Gráfica Figura 6 Atividade Investigativa de Translação A fim de ilustrar algumas das transformações estudadas, são apresentados slides com o personagem Blu do filme Rio 2. Para cada uma, apresenta-se a ilustração do personagem sobre o plano cartesiano e a matriz associada ao movimento Figura 7. Figura 7 Slides para ilustrar uma das transformações geométricas

8 (iv) Transformações Geométricas e Matrizes Especiais Dando continuidade à associação entre matrizes e transformações geométricas, nessa etapa elaborou-se duas questões destacando as matrizes oposta, transposta e diagonal A primeira trata de uma aplicação que é a representação das imagens na tela por meio de pixels. O aluno deve perceber como ficará uma determinada figura quando associada à sua matriz oposta ou transposta Figura 8, neste caso observando as reflexões em relação à origem e à reta y = - x, respectivamente. É importante ressaltar que os alunos terão a figura em mãos, para ajudar na manipulação. Figura 8 Questão 1 Na segunda, o aluno utilizando o GeoGebra, investiga que transformação geométrica ocorre quando efetua-se um produto de uma matriz por uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais. Para tanto, é utilizada a figura de um pentágono, o ponto O (0,0) e uma matriz diagonal H de ordem 2, cujos elementos da diagonal principal são iguais a constante do seletor dado. Após, é pedido que construam-se semirretas partindo do ponto O passando pelos vértices do pentágono. Depois, solicita-se que efetuem a multiplicação da matriz H por uma matriz formada pelos pontos de cada vértice. Por fim, cria-se um polígono com os vértices obtidos pela multiplicação e pergunta-se qual a relação do polígono construído com o inicial. Para finalizar é pedido aos alunos que movimentem o seletor k e verifiquem o que acontece com a figura quando 0 k 1, k 1e k 1 Figura 9.

9 Figura 9 - Questão 3 Em todas as questões são apresentadas as definições das matrizes correspondentes. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS A proposta apresentada reforça a importância da associação entre matrizes e transformações geométricas dentro da metodologia de Investigação Matemática. Sugere uma atitude ativa do aluno em que conjecturar, testar, reformular e justificar são processos que devem ser estimulados por educadores. A utilização do software amplia as possibilidades de aplicação do trabalho e propõe uma nova postura frente às novas tecnologias. Sem dúvida esse trabalho contribui para a reflexão sobre o estudo de temas que buscam uma interface entre a Geometria e a Álgebra e que ampliam a visão dos alunos sobre o aspecto intradisciplinar da Matemática. 5 REFERÊNCIAS BARBARESCO, C. S. Aspectos pedagógicos sobre o uso do Geogebra f. Trabalho de Conclusão do Curso (Pós-Graduação em Mídias na Educação)-Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Santa Catarina Unidade Florianópolis. Florianópolis, BARBOSA, M. O. H. O uso de Transformações Geométricas em temas do Ensino Médio f. Dissertação (Mestrado em Matemática)-Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Campos dos Goytacazes, BORBA, M. C; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF,1998. DEITEL, H. M.; DEITEL, P. J. Java, como programar. Tradução de Carlos Arthur Lang Lisboa. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2003.

10 LIRA, A.C. B. A Matemática dos Espelhos: Proposta para o ensino-aprendizagem de matrizes utilizando transformações geométricas f. Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização em Matemática)-Universidade Estadual da Paraíba. Campina Grande, LORENZATO, S. Para aprender Matemática. Campinas: Autores Associados, (Coleção Formação de Professores) PONTE, J. P; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, SANTOS, V. C. P. Mathlets: Possibilidades e Potencialidades para uma Abordagem Dinâmica e Questionadora no Ensino de Matemática f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, SILVA, G. H.G.; PENTEADO, M.G. O trabalho com Geometria dinâmica em uma perspectiva investigativa. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE ENSINO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA (SINTEC), I, 2009, Ponta Grossa. Anais... Ponta Grossa: Universidade Tecnológica Federal do Paraná, STORMOWSKI, V. Estudando Matrizes a partir de Transformações Geométricas f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática)-Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, GEOMETRIC TRANSFORMATIONS: A MATHEMATICAL INVESTIGATION THROUGH GEOGEBRA Abstract: The geometric transformations are presented as a major resource to provide a geometric sense to the study of matrices, binding concepts of Algebra and Geometry. But they are not taught in high school once they re not part of the curriculum. This paper presents a didactic proposal aiming to link the concepts of matrices operations and their types with the ones of geometric transformations in the cartesian plane, using as teaching methodology Mathematical Investigation through the software GeoGebra and applets. Keywords: Geometric transformations, Matrices, Mathematical investigation.