Tipos Indutivos & Recursão (Primitiva)

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1 Alfio Martini Clube de Lógica em Ciência da Computação Faculdade de Informática - PUCRS 2 de setembro de 2013

2 Sumário Objetivos Gerais 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas sobre 4

3 Sumário Objetivos Gerais 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas sobre 4

4 Objetivos Apresentar os princípios gerais que envolvem construções indutivas de tipos de dados: Princípio geral destas definições (Construtores) Definições de funções totais por recursão primitiva Esquema de indução para prova de propriedades

5 Sumário 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas sobre 4

6 :Idéia Geral Uma definição indutiva de um conjunto S consiste sempre dos seguintes passos: Base Listar alguns elementos específicos (constantes) de S. Pelo menos um elemento deve ser listado. Indução Definir uma ou mais regras para a construção de novos elementos de S a partir dos elementos já existentes. Fecho Declarar que S consiste exatamente dos elementos produzidos pelos passos da base e indução.

7 Construtores de Dados Os construtores de um conjunto indutivo S são todos elementos listados no passo da base juntamente com todas as regras apresentadas no passo da indução.

8 Indutiva dos Naturais Os elementos do conjunto indutivo Nat são todos os valores gerados pelas seguintes regras: zero Nat NatZero x Nat suc x Nat NatSuc Nat é isomórfico à N, onde N = {0, 1, 2,...} suc : Nat Nat e zero : Nat (operadores)

9 Uma outra definição de Nat [NatZero] zero Nat. [NatSuc] Se x Nat, então suc x Nat. [Fecho] Nada mais está em Nat.

10 Linguagem Nat Termos zero suc zero suc (suc zero) suc (suc (suc zero)). suc k zero (k N).

11 Uma Gramática para Nat N : Nat ::= zero suc N (N Nat)

12 Naturais: Princípio de Indução Princípio de Indução Cada elemento em Nat tem a seguinte forma: zero Suc k, k Nat

13 Regra de Indução para Nat Conjunto Indutivo Nat x 0 : Nat, P(x 0 ). P zero. P(suc x 0 ) n : Nat.P n (x 0 arbitrária) IndNat

14 Indutiva de ListEmpty nil List(A) h A T List(A) ListCons h T List(A)

15 Linguagem List(A) Termos List(A) List(N) List(Nat) nil nil nil x nil 5 nil (suc zero) nil a b nil 2 0 nil zero (suc 3 zero)nil...

16 Uma Gramática para List(A) L : List(A) ::= nil h L (h A, L List(A))

17 : Princípio de Indução Princípio de Indução Cada elemento em List(A) tem a seguinte forma: nil h T, h A, T List(A)

18 Regra de Indução para List(A) Conjunto Indutivo List(A) e 0 : A, l 0 : List(A), P l 0. P nil. P (e 0 l 0 ) l : List(A). P l (e 0, l 0 arbitrárias) IndList

19 Indutiva da Lógica Proposicional Exercício...

20 Sumário Objetivos Gerais Funções Primitivas Recursivas sobre 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas sobre 4

21 Funções Primitivas Recursivas sobre Funções Primitivas Recursivas: Visão Geral Idéia Geral Dada uma definição de um conjunto indutivo S, f : S... S S é definida por recursão da seguinte forma: Escolher um dos argumentos (posições) de entrada de S e, neste argumento: definir f para cada elemento do conjunto base (constantes) definir f para cada um dos construtores restantes (regras de construção)

22 Funções Computáveis (FC) Funções Primitivas Recursivas sobre Funções Recursivas (FR) A classe de FC é a classe de FR (Church) Classe FR primitivas é uma subclasse das FR FR Primitivas são todas funções TOTAIS

23 FR Primitivas Objetivos Gerais Funções Primitivas Recursivas sobre Construção Funções Básicas (zero, sucessor e projeções) Regra da Composição (Substituição) Regra da

24 Classe de Funções Primitivas Recursivas Funções Primitivas Recursivas sobre Funções Básicas A classe de funções primitivas recursivas sobre os números naturais N é definida pelas seguintes regras: Função Constante: a função constante zero z(x) = 0 é primitiva recursiva. Função Sucessor: a função sucessor Suc(x) = x + 1 é primitiva recursiva. Função de Projeção: para todo n 1 e 1 i n, a função n-ária de projeção Pi n que retorna o i-ésimo argumento, é primitiva recursiva. P n i (x 1,..., x n) = x i

25 Classe de Funções Primitivas Recursivas Funções Primitivas Recursivas sobre Regra de Composição f (x 1,..., x k ) y 1 = g 1(z 1,..., z m). y k = g k (z 1,..., z m) h(z 1,..., z m) = f (y 1,..., y k ) = f (g 1(z 1,..., z m),..., g k (z 1,..., z m)) h = Cn[f, g 1,..., g k ]

26 Classe de Funções Primitivas Recursivas Funções Primitivas Recursivas sobre h(x, 0) = f (x) h(x, Suc(y)) = g(x, y, h(x, y)) h = Pr[f, g]

27 Classe de Funções Primitivas Recursivas Funções Primitivas Recursivas sobre (Adição) x + 0 = x x + Suc(y) = Suc(x + y) sum(x, 0) = x sum(x, 0) = P 1 1 (x) sum(x, Suc(y)) = Suc(sum(x, y)) sum(x, Suc(y)) = Suc(P 3 3 (x, y, sum(x, y))) = Cn[Suc, P 3 3 ](x, y, sum(x, y)) sum Pr[P 1 1, Cn[Suc, P 3 3 ]]

28 Uma bijeção entre Nat e N Funções Primitivas Recursivas sobre Nat2nat : Nat N, onde Nat2nat zero = 0 Nat2nat (suc x) = Suc (Nat2nat x) (Nat2nat01) (Nat2nat02) 0 N Suc : N N tal que Suc x x + 1

29 Adição em Nat Objetivos Gerais Funções Primitivas Recursivas sobre add : Nat Nat Nat, onde add x 0 = x add x (suc y) = suc (add x y) (add01) (add02)

30 Concatenação em Funções Primitivas Recursivas sobre cat : List(A) List(A) List(A), onde cat nil l = l cat (h T ) l = h (cat T l) (cat01) (cat02)

31 Comprimento de Funções Primitivas Recursivas sobre length : List(A) N, onde length nil = 0 length (h T ) = (length T ) + 1 (len01) (len02)

32 Teoremas sobre add Objetivos Gerais Funções Primitivas Recursivas sobre x : Nat. y : Nat. z : Nat.add x (add y z) = add (add x y) z x : Nat. y : Nat.add x y = add y x x : Nat.add(Z, x) = x x : Nat. y : Nat.add x (suc y) = add (suc x) y) x : Nat. y : Nat.add (suc x) y) = suc (add x y) Th-add-01 Th-add-02 Th-add-03 Th-add-04 Th-add-05

33 (A) Funções Primitivas Recursivas sobre l 1 : List(A). l 2 : List(A). l 3 : List(A). cat l 1 (cat l 2 l 3 ) = cat (cat l 1 l 2 ) l 3 l 1 : List(A). l 2 : List(A).len (cat l 1 l 2 ) = add (len l 1 ) (len l 2 ) l : List(A).cat l nil = l l : List(A).rev (rev l) = l l 1 : List(A). l 2 : List(A). rev (cat l 1 l 2 ) = cat (rev l 2 ) (rev l 1 )) Th-cat-01 Th-cat-02 Th-cat-03 Th-rev-01 Th-rev-02

34 Sumário Objetivos Gerais 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas sobre 4

35 Objetivos Gerais Tipos Indutivos são definidos por Construtores Tipos Indutivos podem ser equipados com Funções Funções são definidas por Tipos Indutivos + Funções = (Abstract) Datatypes Provas por Indução e definições de Funções são feitas sobre os Construtores do Tipo.

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