FÍSICA IME a) a temperatura de fusão do explosivo; b) o calor total fornecido ao explosivo.

Transcrição

1 Um copo está sobre uma mesa com a boca voltada para cima. Um explosivo no estado sólido preenche completamente o copo, estando todo o sistema a 300 K. O copo e o explosivo são aquecidos. Nesse processo, o explosivo passa ao estado líquido, transbordando para fora do copo. Sabendo que a temperatura final do sistema é 400 K, determine: a) a temperatura de fusão do explosivo; b) o calor total fornecido ao explosivo. Dados: volume transbordado do explosivo líquido: 10 6 m 3 ; coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado líquido: 10 4 K 1 ; coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo: 4 x 10 5 K 1 ; volume inicial do interior do copo: 10 3 m 3 ; massa do explosivo: 1,6 kg; calor específico do explosivo no estado sólido: 10 3 J.kg 1.K 1 ; calor específico do explosivo no estado líquido: 10 3 J.kg 1.K 1 ; e calor latente de fusão do explosivo: 10 5 J.kg 1. Consideração: o coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado sólido é muito menor que o coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo. 1

2 Solução: a) Sendo V f,copo o volume final do copo e V f,exp o volume final do explosivo, temos: V V 10 f,exp f,copo 6 Pela consideração do enunciado, podemos desprezar a dilatação volumétrica do explosivo no estado sólido. Seja T F a temperatura de fusão. Temos então; usando que V = V 0 [1 + T]: V f,copo = 10 3 [ ( )] V f,exp = 10 3 [ (400 T F )] Desta maneira, segue que: F F T F T F T 5.10 T 350K b) O calor total fornecido ao explosivo é Q = Q sólido + Q fusão + Q líquido. 3 5 Q m.c. T 1, ,8.10 J sólido exp sólido Q m.l 1,6.10 J fusão exp fusão líquido exp líquido Q m.c. T 1, ,8.10 J Logo, Q 5 3,.10 J

3 Questão 1. Os pulsos emitidos verticalmente por uma fonte sonora situada no fundo de uma piscina de profundidade d são refletidos pela face inferior de um cubo de madeira de aresta a que boia na água da piscina, acima da fonte sonora. Um sensor situado na mesma posição da fonte capta as reflexões dos pulsos emitidos pela fonte sonora. Se o intervalo de tempo entre a emissão e captação de um pulso é t, determine a massa específica da madeira. Dados: velocidade do som na água: vs = 1500 m/s; massa específica da água: a = 10 3 kg/m 3 ; profundidade da piscina: d = 3,1 m; aresta do cubo: a = 0, m; aceleração da gravidade: g = 10 m/s ; t = 4 ms. Consideração: o cubo boia com sua base paralela à superfície da água da piscina. 3

4 Solução: a a h d d-h Como a onda percorre o mesmo caminho duas vezes: s Vs t (d h) (3,1 h) h 0,1 m 3 t 4.10 Dessa forma, somente 0,1 m do cubo de madeira está submerso. Como as únicas forças atuando no cubo são Peso e Empuxo: E = P V g V g 4 a submerso m cubo a h m a 10 0,1 m 0, m 500 kg / m

5 Questão. Uma mola presa ao corpo A está distendida. Um fio passa por uma roldana e tem suas extremidades presas ao corpo A e ao corpo B, que realiza um movimento circular uniforme horizontal com raio R e velocidade angular ω. O corpo A encontra-se sobre uma mesa com coeficiente de atrito estático µ e na iminência do movimento no sentido de reduzir a deformação da mola. Determine o valor da deformação da mola. Dados: massa do corpo A: m A; massa do corpo B: m B; constante elástica da mola: k; aceleração da gravidade: g. Consideração: A massa m A é suficiente para garantir que o corpo A permaneça no plano horizontal da mesa. 5

6 Solução Sabendo que o corpo B está em equilíbrio e analisando o seu sistema de força, temos: (I) Isolando o corpo B: Em x: F 0 T.sen m..r x Em y: F 0 T.cos m.g y b b Sabendo que o corpo A está em equilíbrio e analisando o seu sistema de força, temos: (II) Isolando o corpo A: 6

7 Em x: Fx 0 Fat T.cos kx Em y: Fy 0 N T.sen m A.g N m A.g T.sen Como A Fat.N Fat m A.g T.sen m.g T.sen T.cos kx m A.g T.sen T.cos x k Do item (I): m A.g m B..R m B.g x k x A B B.m.g.m..R m.g k 7

8 Questão 3. 8 Um canhão movimenta-se com velocidade constante ao longo do eixo Y de um sistema de coordenadas e dispara continuamente um feixe de elétrons com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo X. Ao deixar o canhão, o feixe de elétrons passa a sofrer exclusivamente a ação do campo elétrico indicado nas duas situações das figuras. a) Na situação 1, sabendo que, em t = 0, o canhão está em y = y 0, determine a equação da curva de y em função de x e t do feixe de elétrons que é observada momentaneamente no instante t, resultante do disparo contínuo de elétrons. b) Na situação 1, determine a máxima coordenada y da curva observada no instante t. c) Repita o item (a) para o campo elétrico em conformidade com a situação, determinando a equação da curva de x em função de y e t.

9 Dados: módulo do campo elétrico do plano XY: E; massa do elétron: m; carga do elétron: -q; velocidade escalar do canhão e velocidade de saída do feixe: v. Solução: a) Considerando um elétron que foi lançado em um instante t, temos que: Em x: x v t t ' i Em y: y a t t ' y0 v t ' ii Devemos desparametrizar t para encontrar a equação da curva. De (i), obtemos t ' t x x e t t '. Substituindo estas últimas v v em (ii), obtemos: 9

10 y y v t 0 x v ax v ax y x y 0 vt. v qe Como ma qe,segue que a m contrário ao movimento em y) e então: qe y.x x y 0 vt mv b) Para maximizar, devemos tomar qe mv mv y máx. y 0 vt mv qe qe mv ymáx y0 vt qe (apontada no sentido mv x x v, qe obtendo: c) Como no item (a), considerando um elétron que foi lançado em um instante t, temos: Em x: a t t ' x v t t ' iii Em y: y y0 vt ' iv Novamente, devemos desparametrizar t para encontrar a equação da curva. De (iv), obtemos t ' y y0. Substituindo esta última em (iii), v obtemos: 10

11 x v t y y at y y0 v v 0 a vt y y0 x vt y y0 v qe Desta vez, a está apontada no mesmo sentido do m movimento e com isso: x vt y y qe vt y y 0 mv 0 Comentário: O enunciado afirma que o feixe de elétrons é disparado com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo x. Além disso, a inclinação do canhão, mostrada na figura, sugere que a velocidade resultante da saída dos elétrons seja horizontal. Desta forma, considera-se que os elétrons partem com velocidade nula em y. 11

12 Questão 4. A figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por nove barras AB, AC, AD, AE, BC, BE, CD, CE e DE conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A, B e C. O apoio A impede as translações nas direções dos eixos x, y e z, enquanto o apoio B impede as translações nas direções x e y. No ponto C, há um cabo CF que só restringe a translação da estrutura na direção do eixo y. Todas as barras possuem material uniforme e homogêneo e peso desprezível. No ponto E há uma carga concentrada, paralela ao eixo z, de cima para baixo, de 60 kn. 1

13 Determine, em kn: a) as componentes da reação do apoio B. b) as componentes da reação do apoio A. c) o módulo da força do cabo CF. d) os módulos das forças das barras BE, BC, AB e AC. Solução: Considere o sistema das 9 barras Dadas as restrições geométricas do problema, as forças externas que atuam no sistema são: F A i A j A k A B E x x y z F B i B j F F c C j y 60 k y O sistema está em equilíbrio, portanto: Fext 0 A B 0 x x A B C 0 y y y A 60 0 z (Equações 1) Fazendo a soma de momentos em relação ao ponto A: Mext 0 A ra FA rb FB rc FC re FE 0 13

14 Mas, r 0 r A B rc 4i 4k 14 4k r i 4j E Com isso: i j k i j k i j k i j k A A A B B 0 0 C x y z x y y 0 4Byi+4Bx j 4Cyi 4Cyk 40ki 10k j 0 Em x : 4B 4C 40 0 B C 60 0 x y y y y Em y : 4B 10 0 B 30kN Equações Em z : 4C 0 C 0 y Do conjunto de equações 1 e tem-se que: a) B x = 30 kn B y = 60 kn B z = 0 kn b) A x = 30 kn A y = 60 kn A z = 60 kn c) C x = 0 kn C y = 0 kn C z = 0 kn Logo, a força no cabo CF é nula. y x

15 d) Pelo método dos nós: nó B: F i 60j FBC i FABk i j k FBE Em x : 30 FBC FBE 0 3 Em y : 60 FBE 0 FBE 90kN Tração 3 Em z : FAB FBE 0 FAB 60kN 3 F BC F AB 0kN nó A: F 0 60kN Compressão 30i 60j 60k F k AB 5 5 i k FAC FAD i i j FAE Temos que FAB 60kN. Em z : FAC 0 FAC 0kN 15

16 Questão 5. Um circuito elétrico tem uma resistência de Ω ligada entre seus terminais A e B. Essa resistência é usada para aquecer o Corpo I durante 1 minutos, conforme apresentado na Figura 1. Após ser aquecido, o Corpo I é colocado em contato com o Corpo II e a temperatura se estabiliza em 50 o C, conforme apresentado na figura. Determine o valor da fonte de tensão U. 16

17 Dados: massa do Corpo I: 0,4 kg; massa do Corpo II: 1,0 kg; calor específico dos Corpos I e II: 0,075 kcal/kg o C; temperatura inicial do Corpo I: 0 o C; temperatura inicial do Corpo II: 30 o C. Considerações: 1 cal = 4, J; não há perda de calor no sistema. Solução 1: Análise da troca de calor entre os dois corpos: Q I + Q II = 0 m I.c I. T I + m II.c II. T II = 0 0,4 0,075 (50 T ) 1 0,075 (50 30) 0 50 T 50 T 100 C I I I o Energia fornecida pelo resistor para aquecer o corpo I de 0 o C a 100ºC: E fornecida = m I.c I. T = 0,4 0,075 4, 10 3 (100-0) E fornecida = J Potência dissipada no resistor: Efornecida J PI R i3 t 1 60s i 3 8 i3 A 17

18 Análise do circuito Simplificando o sistema acima: 3 9V 5 U V 5 U 3 7,5 18

19 Método das malhas: i 3 = i 3 = 4A U 5i 0 i U 3i 3(i i' ) 0 3 3(i' i ) 9 7,5i' Resolvendo o sistema, achamos: U = 54 V 19

20 Solução : Como encontrado no cálculo do calor anteriormente, i 3 3 9V A i 1 i A 5 U Sabendo que os resistores estão em paralelo e possuem o mesmo valor numérico temos que i = i 3 = A. Sendo i 1 = i + i 3, logo i 1 = 4 A 3 I 9V 5 U i 0 4 A A A Analisando a ddp: (15 ) 9 + (i 0 3) = 0 i 0 = 7 A Como I = i 0 + 4, logo I 11 A Concluindo: U 3I 3I 0 = 0 U = U = 54 V 0

21 Questão 6. Seis blocos idênticos, identificados conforme a figura, encontramse interligados por um sistema de cordas e polias ideais, inicialmente em equilíbrio estático sob ação de uma força F, paralela ao plano de deslizamento do bloco II e sentido representado na figura. Considere que: o conjunto de polias de raios r e R são solidárias entre si; não existe deslizamento entre os cabos e as polias; e existe atrito entre os blocos I e II e entre os blocos II e IV com as suas respectivas superfícies de contato. Determine: a) o menor valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático; b) o maior valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático quando a válvula for aberta e o líquido totalmente escoado; c) o maior valor do módulo da força F para que não haja deslizamento entre os blocos I e II, admitindo que a válvula tenha sido aberta, o tanque esvaziado e a força F aumentado de modo que o sistema tenha entrado em movimento. 1

22 Dados: aceleração da gravidade: g; massa específica de cada bloco: B; volume de cada bloco: VB; massa específica do líquido: L; coeficiente de atrito entre os blocos I e II: μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco II e o solo: 1,5 μ; coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco II e o solo: 1,4 μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície com líquido: 0,5 μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície sem líquido: 0,85 μ; coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco IV e a superfície sem liquido: 0,75 μ; ângulo entre a superfície de contato do bloco IV e a horizontal:.

23 Solução: a) Para que a força F seja a menor possível: Fat 1,5 mg 3m g, com m B VB A tração T I precisa ser a menor possível. Logo, no bloco IV: N = Pcos - Ecos N = mgcos - L V B g cos N g cos V B L B T Psen E sen Fat IV IV T mgsen V gsen 0,5 ( ) g cos V IV L B B L B T ( ) V g [sen 0,5 cos ] IV B L B 3

24 M 0 f T R T r T R T r III I V IV T I ( B L ) VB g [sen 0,5 cos ] mg r R Logo, substituindo em F: F = T I - Fat R F ( B L ) VB g[sen 0,5 cos ] B VB g 3 B VB g r b) Para que a força F seja a maior possível: Fat (1,5 ) mg 3 mg, m V B B 4

25 A tração T I precisa ser a máxima possível. Logo, no bloco IV: N mg cos T mgsen Fat IV T mgsen 0,85 mgcos IV Analogamente ao item (a): R R TI TIV TV TIII r r R TI mg mgsen 0,85 mgcos r Logo, substituindo em F: F T Fat I R F B VB g sen 0,85 cos 3 r 5

26 c) FatI mg ma a g Para que a força F seja máxima: F Fat I T I Fat II = m.a F m a m a (1,4 ) mg T F 4,8 mg T A roldana irá girar no sentido anti-horário devido ao movimento do bloco II. Assim, como a aceleração angular nas roldanas são iguais: a a' a R a' aceleração nos blocos III, V, VI a' r R r a aceleração nos blocos I, II e IV. I I N mgcos T Fat Psen m a IV T m a mgsen (0,75 ) mgcos IV R Bloco III: mg TIII m a' TIII mg m a r Blocos V/VI: -mg + T V = m a R TV mg ma r 6

27 Na roldana, considerando que I roldana 0, tem-se que: T R T r T r T R III I IV V R TI m g mgsen (0,75 )mgcos mg 3m g r r Substituindo em F: R R R F 4,8 mg m g mgsen 0,75 mgcos mg 3m g r r R R F V g 5,8 sen 0,75 cos 3 r r B B Comentário: Para a resolução da questão, fez-se necessário considerar que a tração em um mesmo fio ideal é diferente em dois pontos distintos e que a massa da polia é desprezível e, consequentemente, seu momento de inércia é nulo. 7

28 Questão 7. Uma fenda é iluminada com luz monocromática cujo comprimento de onda é igual a 510 nm. Em um grande anteparo, capaz de refletir toda a luz que atravessa a fenda, são observados apenas cinco mínimos de intensidade de cada lado do máximo central. Sabendo que um dos mínimos encontra-se em, tal que sen( ) = 3 4 e cos( ) = 7, determine a largura da fenda. 4 8

29 Solução: Os mínimos de difração encontram-se nos ângulos n sen, n 1,, 3,... a Como possui exatamente 5 mínimos, deve existir solução para n = 5 e não existir para n = 6. Desta forma: sen 5 a 1 a 5 sen 6 a 1 a 6 Logo 550nm a 3060 nm. Existe um mínimo em Se for o 1º mínimo: 3 sen : sen a 680 nm 4 a 9

30 Se for o º mínimo: Se for o 3º mínimo: Se for o 4º mínimo: Se for o 5º mínimo: sen a 1360 nm 4 a sen a 040 nm 4 a sen a 70 nm 4 a sen a 3400 nm 4 a O único valor válido é a = 70 nm correspondente ao 4º mínimo. 30

31 Questão 8. O circuito magnético apresentado na Figura 1 é constituído pelas bobinas B 1 e B, formadas por 100 e 10 espiras, respectivamente, e por um material ferromagnético que possui a curva de magnetização apresentada na Figura. Considerando que seja aplicada no lado de B 1 a corrente i 1(t) apresentada na Figura 3, desenhe: a) o gráfico do fluxo magnético (t) indicado na Figura 1; b) o gráfico da tensão induzida e (t) indicada na Figura 1. 31

32 Consideração: todo o fluxo magnético criado fica confinado ao material ferromagnético. Solução: a) A força magnetomotriz é dada por: F mm = Ni em Ampère espira. De 0 a s e 8 a 10s, tem-se i 1 = 0 F mm = 0 = 0 De a 4s tem-se: i 1 varia linearmente com t e varia linearmente com F mm até a saturação que ocorre quando F mm = 50 A.esp, ou seja 100 i = 50 i = 0,5 A Logo para i 1 > 0,5 A = constante = 10 Wb Ou seja, o gráfico é da forma: 3

33 33

34 b) Pela regra da mão direita e o sentido do enrolamento, o sinal de e (t), conforme a orientação da seta desenhada no enunciado, é o mesmo da variação do fluxo magnético. d Logo: e t N. dt 34

35 Questão 9. A figura acima mostra uma fonte luminosa e uma lente convergente, presas a molas idênticas, de massas desprezíveis e relaxadas. A fonte e a lente são colocadas em contato, provocando a mesma elongação nas três molas. Em seguida são soltas e movimentam-se sem atrito. Do instante inicial até o instante em que a fonte e a lente se encontram novamente, determine o tempo total em que a imagem formada é virtual. Dados: constante elástica das molas: k = 0 g/s ; massa da fonte luminosa + suporte: 0 g; massa da lente: 10 g; elongação das molas no instante do contato: 10 cm; distância focal da lente: 6,5 cm. 35

36 Solução y p(t) x 0 x 0 O x Para a fonte luminosa, temos: i) Frequência angular: F k 0 m 0 F 1 rad/s ii) Equação da posição: x x 10.cos.t F 0 F x x 10.cos t F 0 Para a lente, temos : i) Frequência angular: 36

37 k. L k eq, m como as molas estão em paralelo, temos que k eq = L Logo: L k 40 m 10 L rad/s ii) Equação da posição: Como em t = 0 cada mola estará distendida de 10 cm, a distância entre a fonte e a lente quando as molas estão relaxadas é 0 cm. x x 0 10.cos.t L 0 L x x 0 10 cos t L 0 fp Como p', f 0 e p 0, para que a imagem seja virtual: p f p < 0 p < f x L x F < f Desta forma, temos que: 0 10cos(t) 10cos(t) 6,5 Como cos(t) cos (t) 1, segue que: 10 cos (t) 1 10 cos(t) 6,5 0 0 cos (t) 10 cos(t) 3,75 0 cos(t) 3 1 ou cos(t)

38 O período da fonte é: F TF s T F O período da lente é: L TL s TL Dessa forma, o novo encontro ocorrerá no tempo igual a mmc(t F, T L ) = s. Então, o intervalo de tempo pedido está entre 0 e s, representado a seguir no círculo trigonométrico: Com isso o tempo total pedido é: t Como 3 1 arccos e arccos 4 4, temos que: 38

39 3 1 t arccos arccos t arccos arccos t arccos arccos s 4 4 COMENTÁRIOS Parabenizamos a banca pelo alto nível cobrado no vestibular deste ano. Percebemos a ausência de determinados assuntos que normalmente figuram na prova do IME, tais como Termodinâmica, Conservação da Quantidade de Movimento e Energia. As questões mais complexas foram as de números 4, 5 e 7, exigindo do candidato um bom conhecimento físico e algébrico para resolvê-las. As questões 1,, 3 e 6 foram as mais simples da prova. Nelas os candidatos devem obter pontuações elevadas. Por fim, vale mencionar que a questão 9 envolve conceitos de força magnetomotriz geralmente não abordados no ensino médio. EQUIPE DE FÍSICA: Prof. Antônio Carlos Bonfadini Prof. Bruno Suarez Pompeo Prof. Marcos Grochowski Mattana Prof. Rafael Madeira Estevam Barbosa 39

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