Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico-Quantitativo Prova realizada pela ESAF em 23/09/2012 para Analista Tributário da Receita Federal do Brasil

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1 Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico-Quantitativo Prova realizada pela ESAF em /09/0 para Analista Tributário da Receita Federal do Brasil 56. A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta é atleta é logicamente equivalente à proposição a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. Denominemos por p a proposição simples Paulo Estuda e por q a proposição simples Marta é atleta. Na linguagem lógica a proposição composta, dada no enunciado, será: p q. Questão semelhante à questão 40 da prova para Oficial de Fazenda (SEFAZ-0), resolvida e comentada no Toque de Mestre nº 6, de 07/07/0. Basta conhecer as regras para negação de proposições compostas e saber que, para negar uma proposição condicional: mantemos o antecedente (p), negamos o conseqüente (q) e trocamos o conectivo (se, então) pelo conectivo da conjunção ( ), ou seja, ~(p q) p ~q. Traduzindo para a linguagem falada fica: Paulo estuda e Marta não é atleta. Não sabendo a regra podemos chegar à opção correta de resposta através da Tabela Verdade, mas perde-se tempo. Demonstração, através da Tabela Verdade: Negação Opção A Opção B Opção C Opção D Opção E p q p q ~(p q) ~p ~q p ~q p ~q ~p ~q ~p ~q V V V F F F V V F V F F V F V V V V F V V F F F F F V F F V F V F V V V Gabarito: Letra B. 57. Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. Temos, no argumento lógico do enunciado da questão, 4 premissas, sendo pedida uma conclusão. Para que esse argumento lógico seja válido, com todas as premissas verdadeiras a conclusão também terá que ser verdadeira. As 4 premissas: ) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos; ) Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo; ) Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria; 4) Ora, Leila não é tia de Maria. T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página

2 Destas, a única premissa que não é uma proposição condicional (que admite possibilidades verdadeiras ver p q na tabela da questão anterior) é a 4ª premissa, que é incondicional. Assim começamos a resolução da questão atribuindo valor verdade V para a proposição Leila não é tia de Maria e, consequentemente, a proposição Leila é tia de Maria será F (falsa). Para que a ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente Marta não é mãe de Rodrigo terá que ser F, pois o consequente Leila é tia de Maria é F. Para que a ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente Natália é prima de Carlos terá que ser F, pois o consequente Marta não é mãe de Rodrigo é F. Para que a ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente Paulo é irmão de Ana terá que ser F, pois o consequente Natália é prima de Carlos é F. Temos então os seguintes valores verdade para as proposições simples: Paulo é irmão de Ana = F; Natália é prima de Carlos = F; Marta é mãe de Rodrigo = V; Leila é tia de Maria = F. Analisando as opções de resposta, verificaremos qual proposição composta tem V como valor verdade, ou seja, a única que poderá ser a conclusão da argumentação: a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. F F = F (não pode ser conclusão); b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. V F = F (não pode ser conclusão); c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. F F = F (não pode ser conclusão); d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. V V = V (é a única que pode ser conclusão); e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. V F = F (não pode ser conclusão); Gabarito: Letra D. 58. Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a do triângulo retângulo da figura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B. a) 5 metros b) metros c) 4 metros d) 6 metros e) 7 metros Para encontrarmos o valor da, basta lembrar que a fórmula do seno de um ângulo é dada pela divisão entre o cateto oposto ao ângulo e a. Denominando por X a, temos: sen 0º = e lembrando que o seno de 0º é igual a /, fica: = X = 4. X X Eis aí a solução, 4 metros, questão fácil. Gabarito: Letra C. T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página

3 Mas vamos ajudar a quem não lembra, como é fácil guardar os valores do seno, do cosseno e da tangente para os principais arcos (0º, 45º e 60º). Façamos uma tabela e recordemos que no círculo trigonométrico (eixo dos senos vertical e eixo dos cossenos horizontal) à medida que o arco aumenta, o valor do seno também aumenta (o seno é crescente) mas o cosseno diminui (decrescente). Então coloque,, para o seno e,, para o cosseno Função 0º 45º 60º SENO COSSENO TANGENTE Agora, coloque esses números sob raiz quadrada (exceto o, pois a raiz quadrada de é igual a e divida-os por.) Função 0º 45º 60º SENO COSSENO TANGENTE Pronto, já temos os valores do seno e do cosseno para estes arcos. Faltam os valores da tangente. Então lembremos que o valor da tangente pode ser obtido dividindo-se o cateto cat. oposto oposto pelo cateto adjacente, ou seja tg =, mas se dividirmos o numerador e o cat. adjacente denominador da fração pela, não estaremos alterando seu valor e ficamos com: cat. oposto cat. oposto cat. adjacente tg =. Mas, já vimos que = sen e = cos. cat. adjacente Podemos então concluir que a tangente também pode ser obtida, fazendo-se: Efetuando as divisões, assim ficará a tabela: Função 0º 45º 60º SENO COSSENO TANGENTE sen tg =. cos T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página

4 59. Dada a matriz A =, o determinante de A 5 é igual a 0 a) 0. b) 8. c). d) 0. e) 5. Será interessante ao leitor, buscar e ler o Toque de Mestre nº 8, de 9/04/0 (é um resumo bem objetivo sobre o assunto Matrizes e Determinantes ) e ver que podemos resolver de forma fácil e rápida, encontrando o determinante da matriz A e elevando-o à quinta potência (aplicação da propriedade nº do TM 8). 5 5 A =, então det A = ( ) (0 ) = 0 =. Logo: det A = =. 0 Se fizermos o produto A A A A A para encontrar a matriz A 5, também teremos para o seu resultado, A 5 =, o mesmo determinante, pois ( ) (0 ) = 0 =. Mas a 0 perda de tempo será bem maior. Gabarito: Letra C. 60. A variância da amostra formada pelos valores,,, 4, 5 e é igual a a). b). c). d) 4. e) 5. X Primeiro vamos calcular a média dos valores amostrais, X = = = =. n 6 6 Façamos uma tabela com os valores observados e o quadrado da diferença entre cada valor e a média: X 4 5 ( X X) =, basta dividir n 0 por 5 para encontrar a resposta: S =. ( ) X O mesmo resultado será encontrado se utilizarmos a fórmula: S = X, mas n n pela primeira forma será mais rápido, pois a média é um valor exato e os valores são pequenos. ( X X) Sabendo que a fórmula para a variância amostral é dada por: S Gabarito: Letra B. T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página 4

5 6. O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os analistas serem do mesmo sexo é igual a a) 40%. b) 50%. c) 0%. d) 0%. e) 60%. Há uma questão semelhante (questão 5) no Toque de Mestre nº. Designando o sexo masculino (homem) por H e o sexo feminino (mulher) por M, o que a questão pede são as probabilidades P(H H H) ou P(M M M), as quais deverão ser somadas após as calcularmos. Na primeira seleção masculina, do total de 0 pessoas, 6 são homens, então P(H) = 6/0; Ocorrendo o evento H na primeira seleção, sobrarão 5 homens do total de 9 pessoas e P(H) = 5/9; Ocorrendo o evento H nas duas primeiras seleções, serão 4 homens do total de 8 pessoas e P(H) = 4/9; Portanto, P(H H H) =. Simplificando as frações, resultará que P(H H H) = Fazendo o mesmo raciocínio para as mulheres, teremos P(M M M) = e simplificando o produto das frações, teremos P(M M M) =. 0 Somando 6 e 0 obteremos P(H H H) P(M M M) = 0 6 = 5 = 0%. Teríamos o mesmo resultado utilizando Análise Combinatória, mas penso ser mais rápido assim. Gabarito: Letra D. 6. Marta aplicou R$ 0.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de % ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais meses, a uma taxa de juros compostos de % ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a a) R$,0. b) R$ 0,00. c) R$ 5,0. d) R$,0. e) R$,0. Lembrando que a fórmula para o Montante a Juros Simples é dada por: M = C ( + i t), onde M é o Montante (Capital + Juros) e C é o Capital, teremos para o primeiro Montante: M = ( + 0,0 5) = 0.000, =.000. Para o segundo Montante (final), usaremos a fórmula para o Montante a Juros Compostos, dada por M = C ( + i) t e consideraremos como Capital o primeiro Montante. ( 0, ) M = =.000,00 =.,0 (Montante final) Gabarito: Letra A. ( ).000,00 (capital da segunda etapa),0 (Juros da segunda etapa) T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página 5

6 6. Um título de R$ 0.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a a) 6,50%. b) 5,50%. c) 5,5%. d) 6,00%. e) 6,5%. Lembremos que a fórmula para o desconto comercial simples é: D = N i t, onde D é o desconto, N é o valor nominal do título, i é a taxa e t é o tempo. Com os dados do enunciado teremos: D = ,05 4 D = O valor atual (A) será o valor nominal (N) menos o desconto (D). Logo: A = A = Para calcular a taxa efetiva, vamos pensar do seguinte modo: se eu pagar hoje, a dívida é de R$6.000,00. Se eu pagar daqui a 4 meses a dívida aumentará para R$0.000,00. Que taxa de juros está sendo cobrada? Usaremos a fórmula para o Montante a Juros Simples, M = C (+i t), para descobrir, considerando M = 0.000, C = e t = 4. Logo: = (+4i) (+4i) = (+4i) =,5 4i = 0,5 i = 0,065 = 6,5%. Gabarito: Letra E. 64. Para construir 0 m de um muro em dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 0 m desse mesmo muro em dias é igual a a). b) 4. c). d) 5. e) 7. Trata-se de uma Regra de Três Composta (mais de duas grandezas) e para resolvê-la de forma rápida e segura, usaremos o Processo da Cruz, descrito no capítulo do meu livro Matemática Básica para Concursos, com o seguinte roteiro: º Passo Relacionar as grandezas; º Passo Comparar as grandezas, uma de cada vez, com a grandeza da incógnita (X) colocando (d) para as diretamente proporcionais e (i) para as inversamente proporcionais; º Passo Reescrever, se for o caso, invertendo a posição das grandezas que contiverem (i) e mantendo a posição das grandezas que contiverem (d). Se todas forem (d) não há necessidade de reescrever; 4º Passo Traçar a cruz: um risco horizontal na linha em que estiver a incógnita (X) e um risco vertical na coluna da incógnita (X); 5º Passo Resolver, fazendo: X = Pr oduto dos números riscados Pr oduto dos números. não riscados Aplicando o roteiro à presente questão, temos as grandezas: metragem (do muro), dias (de trabalho) e pedreiros (número de). T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página 6

7 Relacionando os dados dessas grandezas (º passo) e já fazendo as comparações (º passo): Metragem Dias Pedreiros X (d) (i) A grandeza metragem é diretamente proporcional, pois se o trabalho tem uma metragem maior, serão necessários mais pedreiros. A grandeza dias é inversamente proporcional, pois se o prazo para execução é maior, o trabalho pode ser feito com um menor número de pedreiros. Reescrevendo (º passo) com inversão da grandeza inversamente proporcional e traçando a cruz (4º passo): Metragem Dias Pedreiros Resolvendo (5º passo): X = X = 7. 0 X 0 Gabarito: Letra E. 65. Em um tanque há torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio? a) 0 horas e 40 minutos b) horas e 0 minutos c) 4 horas e 0 minutos d) horas e 50 minutos e) horas e 0 minutos A questão é fácil e no capítulo do meu livro Matemática Básica para Concursos há várias questões deste tipo, algumas resolvidas e comentadas. Mas vejo no enunciado da questão uma impropriedade que pode dar margem a recursos para sua anulação, pois as questões devem ser redigidas de forma a não gerar nenhuma dúvida para os candidatos. O enunciado cita a existência de torneiras, das quais duas enchem o tanque (ok) enquanto a terceira o esvazia (?). Eu não me lembro, até hoje, de ter visto uma torneira esvaziadora, existe? Claro que é possível facilmente chegar à solução considerando a ª torneira como esvaziadora, mas o enunciado estaria indubitável se citasse torneiras que enchem e ralo que o esvazia. Partindo para a solução, temos as seguintes vazões: ) Para a ª torneira, que enche o tanque em 5 horas, uma vazão de ENTRADA de /5 de tanque por hora; ) Para a ª torneira, que enche o tanque em 8 horas, uma vazão de ENTRADA de /8 de tanque por hora; ) Para a ª torneira (ralo), que esvazia o tanque em 4 horas, uma vazão de SAÍDA de /4 de tanque por hora; Agora basta somar as vazões (considerando negativa a de saída), multiplicar por um tempo t e igualar a (tanque cheio), pois queremos encontrar qual o tempo em que o tanque estará cheio com a atividade daquelas torneiras (e ralo). Assim: t = t = t = / de hora, ou seja, horas e 0 minutos. 40 t = 40 t = = = horas Gabarito: Letra B. Disponibilizo o meu (pedrobello@uol.com.br) para: Dúvidas, críticas, sugestões, indicação de livros, aulas em cursos ou particulares. T9_ATRFB-0 ().docx Pedro Bello Página 7