Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

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1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Estruturas Algébricas Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro vaccaro@mat.pucrs.br Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto Versão deste material:..5 Porto Alegre, agosto de 00. Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim de enfocar os aspectos importantes para o uso em Informática. O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo. Não alterar este material!

2 Estruturas Algébricas i Sumário Relações de A em B. Relação de A em B.. Definição.. Notação.. Comentários. Exemplos.. Exemplos Intuitivos.. Exemplos Conceituais.. Mais um Exemplo Importante. Domínio e Imagem de uma Relação.. Definições.. Comentários 4.4 Exemplos 4.5 Representação Gráfica de Relações 4.5. Exemplos com Conjuntos Discretos 4.5. Exemplos com Conjuntos Contínuos 5.5. Exemplos com Conjuntos Discretos e Contínuos Um Exemplo Importante 7.6 Operações Com Relações 7.7 Um Exemplo Importante 7 Funções 9. Comentários Iniciais 9. O Conceito de Função 9.. Formalização do Conceito de Função 0.. Observação 0.. Notação de Função. Resumo.4 Exemplos.4. Exemplo.4. Exemplo.4. Exemplo.4.4 Exemplo Exemplo 5.5 Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função.5. Definições.5. Observações 4

3 Estruturas Algébricas ii.5. Funções Reais e Funções de Variável Real Maior domínio de uma função Determinação da Imagem de uma Função na Prática 6.6 Gráfico de uma Função 7.6. Definição 7.6. Exemplos 7.6. Observação: Gráfico x Representação Gráfica 7.7 Funções Inversíveis 7.7. Um Exemplo Inicial 7.7. Funções Injetoras ( Para ) 0.7. Exemplos Teorema.7.5 Funções Sobrejetoras.7.6 Exemplos.7.7 Funções Bijetoras Exemplos Um Teorema Importante 7 Relações em A 9. Definição 9. Exemplos 9.. Um Exemplo Intuitivo 9.. Outros Exemplos Intuitivos 0.. Exemplos Conceituais 0..4 Outro Exemplo Conceitual 0..5 Mais um Exemplo Importante 0..6 Um Último Exemplo. Propriedades das Relações em A.. Reflexividade.. Exemplos Intuitivos.. Irreflexividade 4..4 Transitividade 7..5 Simetria Assimetria 4..7 Anti-Simetria Uma Observação Importante! Exercícios 49 4 Relações de Equivalência em A Definição Exemplos 50

4 Estruturas Algébricas iii 4.. Um Exemplo Intuitivo Um Exemplo Fundamental Outro Exemplo Importante Um Último Exemplo 5 4. Classes de Equivalência Definição de Classe de Equivalência Exemplo Exemplo 5 5 Relações de Ordem em A Definição Exemplos Um Exemplo Intuitivo Outro Exemplo Intuitivo Exemplos Importantes Outro Exemplo Importante Ordem Total x Ordem Parcial Definições Exemplos Mais Um Exemplo Diagrama de Hasse: Representação Gráfica de Relações de Ordem em Conjuntos Discretos Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Observação: Tabela Booleana 6 6 Elementos Notáveis em Conjuntos Ordenados 6 6. Observação Básica 6 6. Elementos Notáveis Cotas Inferiores e Cotas Superiores de M Mínimo e Máximo de M Ínfimo e Supremo de M Exemplos 65 Exemplo: Visualização dos Conceitos de Elementos Notáveis Através do Diagrama de Hasse em Conjuntos Discretos Exemplo: Ordem Natural Exemplo: Ordem Oposta 66

5 Estruturas Algébricas iv 6..4 Exercício 67 7 Reticulados (Lattices) Definição Observações Exemplo Inicial Tabela de Ínfimos e Tabela de Supremos Exemplos Observação Importante Exemplos Exercícios Importantes 7 7. Notação de Supremo e de Ínfimo em Reticulados 7 7. Propriedades Fundamentais dos Reticulados Lema (Propriedades Básicas, versão notação intuitiva) Teorema (Propriedades Fundamentais, versão notação intuitiva) Lema (Propriedades Básicas, versão notação usual) Teorema (Propriedades Fundamentais, versão notação usual) Definição de Reticulado Através de Propriedades Outras Classificações para Reticulados Reticulados Limitados Reticulados Distributivos Reticulados Complementados Reticulados Unicamente Complementados 8 8 Álgebras Booleanas Definição Observações Exemplo Exemplo Propriedades das Álgebras Booleanas Exemplos de Aplicações das Álgebras Booleanas em Informática Exemplo: Álgebra dos Comutadores Exemplo: Álgebra das Proposições Exemplo: Álgebra dos Conjuntos Exemplo: Simplificação de Polinômios Booleanos 89 9 Exercícios 9 9. Relações de A em B 9 9. Funções 9 9. Relações em A Elementos Notáveis em Conjuntos Ordenados 99 0 Respostas dos Exercícios 0

6 Estruturas Algébricas v 0. Relações de A em B 0 0. Funções Relações em A 0.4 Elementos Notáveis, Reticulados & Álgebras Booleanas

7 Estruturas Algébricas Relações de A em B Uma relação, em termos práticos, é uma forma de associação de entidades através de um certo critério. Os termos relação ou relacionamento são comumente utilizados entre pessoas para indicar algum tipo de ligação. Exemplos comuns de sinônimos do termo relação entre pessoas são falar, ser amigo ou namorar. Poderíamos sistematizar estes exemplos da seguinte forma: a pessoa x relaciona-se com a pessoa y se e somente se x fala com y a pessoa x relaciona-se com a pessoa y se e somente se x é amiga com y a pessoa x relaciona-se com a pessoa y se e somente se x namora com y Observe-se, no entanto, que cada frase acima representa uma relação diferente. Isto porque falar e namorar não são, obviamente, a mesma coisa. Isto é: o critério que define a relação mudou! Observe-se ainda que, dependendo do critério que utilizamos para definir uma relação, certas associações podem existir, ou não. Por exemplo, se Pedro é amigo de João e estivermos associando pessoas através da relação x é amiga de y então Pedro e João estarão relacionados. No entanto, se a relação fosse x namora com y dificilmente diríamos que Pedro e João estariam relacionados... No entanto, uma relação pode ser muito mais genérica do que usada comumente. O conceito de relação compreende qualquer tipo de associação entre entidades, tais como: pessoas; objetos; entes matemáticos, como números, conjuntos e funções; etc. Um cuidado imprescindível, porém, é o de que sempre relacionemos tais entes através de um critério bem definido. Isto significa, por exemplo, que não teria sentido criarmos relações como estas: a pessoa x relaciona-se com o número y se e somente se x come y ; o objeto x relaciona-se com a pessoa y se e somente se x é dono de y. No entanto, fariam sentido relações como estas: a pessoa x relaciona-se com o número y se e somente se y é o número de matrícula de x ; o objeto x relaciona-se com a pessoa y se e somente se x é usado por y. Cuidado! Dizer, por exemplo, x é dono de y não é o mesmo que dizer y é dono de x. A associação que fazemos está vinculada aos tipos de entes com os quais estamos lidando. No exemplo em questão, x é um objeto e y é uma pessoa. Assim, x é dono de y não tem sentido pois um objeto não pode ser dono de uma pessoa. No entanto, y é dono de x tem sentido e poderá ser uma proposição verdadeira ou falsa, dependendo de quem seja y e de qual objeto seja x. Mesmo assim, se representarmos por y uma pessoa e por x um objeto, as relações x é dono de y e y é dono de x não serão a mesma! Ainda: observe que uma relação é sempre uma associação entre elementos de um certo tipo com elementos de um outro (eventualmente do mesmo) tipo. Nos exemplos acima estaríamos relacionando: pessoas com pessoas pessoas com números

8 Estruturas Algébricas objetos com pessoas Ou seja, uma relação que associa pessoas com objetos é obrigatoriamente diferente de uma relação que associa objetos com pessoas. A seguir, colocaremos um pouco de Matemática neste conceito.... Relação de A em B.. Definição Dados A e B conjuntos, chama-se de relação de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Em notação lógica: Observações: R é relação de A em B R A x B O primeiro conjunto do produto cartesiano, A, é denominado conjunto de origem da relação; O segundo conjunto do produto cartesiano, B, é denominado conjunto de destino (ou contradomínio) da relação... Notação Para representar a proposição x relaciona-se com y pela relação R escreve-se x R y ou ( x, y ) R. Assim: x relaciona-se com y por R x R y ( x, y ) R.. Comentários Uma relação, em termos algébricos, pode ser compreendida de duas formas: Uma relação é uma forma de associação entre elementos de um conjunto com elementos de outro conjunto: Esta é a interpretação mais usual na prática, e que nos permite sistematizar e organizar a forma como os elementos de um conjunto relacionam-se com elementos de outro conjunto Uma relação de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano A x B: Esta compreensão dá fundamento matemático ao conceito de relação. Podemos representar a associação de elementos de um conjunto A com elementos de um conjunto B através de um par ordenado, onde a primeira componente do par será destinada a um elemento do conjunto A e a segunda componente do par, a um elemento do conjunto B. Assim, uma relação de A em B é formada por associações do tipo ( elemento de A, elemento de B ) Ora, pares ordenados deste tipo são obtidos através do produto cartesiano de A com B. Como sabemos, A x B é o conjunto formado por TODOS os pares da forma ( elemento de A, elemento de B ) Uma relação é a seleção de ALGUNS (eventualmente TODOS) destes pares segundo algum critério.

9 Estruturas Algébricas. Exemplos.. Exemplos Intuitivos Sejam: A : conjunto das pessoas B : conjunto dos objetos Então podem-se definir: R A x B, S A x B, T A x B, x R y x possui y x S y x usa y x T y x não possui y.. Exemplos Conceituais Sejam: A = {,, } B = { 0, } Então podem-se definir, por exemplo, as seguintes relações: R A x B, x R y x = y + S A x B, x S y (x y) (y < ) T A x B, x T y x + y > 0 W A x B, x W y x + y < 0 Com efeito, estas relações podem ser representadas na forma de conjuntos de pares ordenados: R = { ( x, y ) / x = y + } = { (, 0 ), (, ) } S = { ( x, y ) / (x y) (y < ) } = { (, 0 ), (, 0 ), (, 0 ) } T = { ( x, y ) / x + y > 0 } = { (, 0 ), (, ), (, 0 ), (, ), (, 0 ), (, ) } W = { ( x, y ) / x + y < 0 } =.. Mais um Exemplo Importante Todas as funções de A em B são relações de A em B. Isto porque funções são relações muito especiais que associam, para cada x A, um único y B.. Domínio e Imagem de uma Relação Partindo da concepção de relação como uma representação da associação de elementos de um conjunto com elementos de outro conjunto, é desejável distinguir quais elementos, em cada conjunto, foram efetivamente associados. Esta distinção pode ser obtida através dos conceitos de Domínio, Imagem e Contradomínio de uma relação... Definições Seja R A x B (isto é, R é uma relação de A em B). Então definem-se: Dom(R) = { x A / ( y B )( ( x, y ) R ) } Im(R) = { y B / ( x A )( ( x, y ) R ) }

10 Estruturas Algébricas 4.. Comentários O domínio da relação R A x B representa o conjunto dos elementos de A que efetivamente foram associados a algum elemento de B e que, portanto constam em um ou mais pares ordenados da relação. Da mesma forma, a imagem da relação R A x B representa o conjunto dos elementos de B que efetivamente foram associados a algum elemento de A..4 Exemplos Nos exemplos apresentados anteriormente, temos: Dom(R) = {, } Im(R) = { 0, } Dom(S) = {,, } Im(S) = { 0 } Dom(T) = {,, } Im(T) = { 0, } Dom(W) = Im(W) =.5 Representação Gráfica de Relações Uma relação pode ser representada através de um gráfico cartesiano, onde são adotadas as seguintes convenções: O conjunto de origem da relação é representado no eixo horizontal O conjunto de destino da relação é representado no eixo vertical.5. Exemplos com Conjuntos Discretos Sejam A = { -, 0, } B = {, 4, 6 } Sejam as relações: R = A x B S A x B, x S y 4x +y > 0 T A x B, x T y y = 4+x W A x B, x W y y 4+x As representações gráficas das relações acima são:

11 Estruturas Algébricas 5.5. Exemplos com Conjuntos Contínuos Sejam A = [ -, ] B = [, 6 ] Para comparação usaremos as mesmas relações do exemplo anterior: R = A x B S A x B, x S y 4x +y > 0 T A x B, x T y y = 4+x W A x B, x W y y 4+x Neste caso, as representações gráficas das relações acima ficam:.5. Exemplos com Conjuntos Discretos e Contínuos Sejam A = { -, 0, } B = [, 6 ] Para comparação usaremos as mesmas relações do exemplo anterior: R = A x B S A x B, x S y 4x +y > 0

12 Estruturas Algébricas 6 T A x B, x T y y = 4+x W A x B, x W y y 4+x Neste caso, as representações gráficas das relações acima ficam: Observe o que aconteceria se definíssemos relações com as mesmas leis, mas de B em A: R* = B x A S* B x A, y S* x 4x +y > 0 T* B x A, y T* x y = 4+x W* B x A, y W* x y 4+x Nesta situação os gráficos das relações seriam:

13 Estruturas Algébricas 7 Ou seja, as relações são diferentes!.5.4 Um Exemplo Importante Seja a relação R definida em R x R por x R y y = x. A representação gráfica desta relação é dada pelo gráfico a seguir: Note, no entanto, que seu gráfico sugere uma outra definição para R. Com efeito, podemos descrever a mesma relação através da proposição Isto é verdadeiro porque Assim, ( y = x ) ( y = x ). y = x ( y = x ) ( y = x ). x R y y = x..6 Operações Com Relações Da concepção de que uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano (e, portanto, um conjunto!), devemos observar que todos os resultados válidos em teoria de conjuntos são também válidos para as relações. Em particular, podemos criar novas relações a partir das operações de: união de conjuntos ( ) interseção de conjuntos ( ) diferença de conjuntos ( - ) complementação de conjuntos ( ) Alguns cuidados devem ser tomados:. O conjunto universo, no caso de operações com relações de A em B, é o produto cartesiano A x B;. Como no caso de conjuntos quaisquer, somente podem ser operadas relações dentro de um mesmo conjunto universo; ou seja, duas relações somente podem ser operadas se ambas forem de A em B, por exemplo. Isto significa que, dadas duas relações de A em B, denominadas R e S temos que: União: ( R A x B ) ( S A x B ) ( R S A x B ) Interseção: ( R A x B ) ( S A x B ) ( R S A x B ) Diferença: ( R A x B ) ( S A x B ) ( R - S A x B ) Complementação: ( R A x B ) ( R A x B ) Observe-se que R S, R S, R S e R também são relações de A em B!.7 Um Exemplo Importante De modo a elucidar melhor os conceitos vistos acima, observemos o seguinte exemplo:

14 Estruturas Algébricas 8 Sejam as relações R R x R, x R y x + y S R x R, x S y x y Suas representações gráficas são: Então definem-se as relações, de R em R: R S R x R, x R S y (x + y ) ( x y ) R S R x R, x R S y (x + y ) ( x y ) S R R x R, x S R y (x + y > ) ( x y ) R R x R, x R y x + y > Os gráficos das relações definidas pelas operações entre R e S são:

15 Estruturas Algébricas 9 Funções. Comentários Iniciais O conceito de função é fundamental em muitas áreas do conhecimento. Na verdade, muitas atividades e instrumentos são baseados no conceito de função. Exemplos comuns são computadores, bons softwares, calculadoras, interruptores de luz, cronômetros, etc. Há diversos aspectos importantes no conceito de função: Função é uma relação. Isto significa que uma função deve ser entendida como um tipo de associação entre elementos de um ou mais conjuntos e que segue a uma lei específica. Além disso, isto significa que todos os resultados conhecidos para relações são válidos para funções. Uma das principais características de uma função é sua capacidade de representar transformações, ou seja, uma função pode ser entendida como um mecanismo que, sob certas condições predefinidas, transforma entradas em saídas. Na realidade, esta é uma de suas principais utilidades, uma vez que permite que o efeito da transformação de um grande número de dados seja compreendido mais facilmente.. O Conceito de Função De modo geral, designamos pelo nome de função uma relação f que transforma, de forma única, elementos de um conjunto A em elementos de um conjunto B. A input Conjunto de Entradas B output Conjunto de Saídas Para que esta correspondência seja bem determinada é necessário que se defina qual é a condição de bom funcionamento de uma função: A cada elemento do conjunto de entradas deve estar relacionado um único elemento do conjunto de saídas. Vamos escrever esta condição de bom funcionamento em linguagem lógica: ( x A ) (! y B ) ( y = f ( x ) ) Uma análise mais detalhada de tal condição de bom funcionamento permite-nos dividi-la em duas idéias fundamentais: Para cada entrada x deve existir pelo menos uma resposta y associada. Para cada entrada x não podem existir duas respostas diferentes

16 Estruturas Algébricas 0 Na prática as seguintes situações poderiam ser encontradas: Somente uma saída para cada entrada: Este caso é representativo de uma função, pois cumpre as condições de bom funcionamento descritas anteriormente. Uma saída para múltiplas entradas: Note que este caso também representa uma função. As restrições de bom funcionamento indicam que cada entrada tem de ter somente uma resposta associada, mas não impedem que várias entradas resultem na mesma resposta! No entanto, as situações que serão descritas a seguir NÃO representam funções! Somente uma entrada associada a diversas saídas Várias entradas associadas simultaneamente a várias saídas Estes casos obviamente contradizem a condição de bom funcionamento. Isto porque não é possível determinar o que acontecerá (qual a resposta que será dada)! Pode-se compreender melhor porque este comportamento não é interessante através dos seguintes exemplos: Imagine que você guia um automóvel. Que tal se, ao girar o volante para a direita, você nunca tivesse certeza se o carro irá neste sentido?!? Imagine que você utiliza um determinado software. Que tal se, ao repetir a mesma operação, você nunca souber se o software funcionará ou travará seu computador?!?.. Formalização do Conceito de Função Formalmente, pode-se escrever: Sejam A e B conjuntos. Dizemos que f : A B é uma função de A em B se e só se: I. ( x A ) ( y B )( y = f(x) ) (condição de existência) II. ( x, x A )( x = x f(x ) = f (x ) ) (condição de unicidade).. Observação A condição de unicidade pode ser escrita a partir de sua proposição contrapositiva: ( x, x A )( f(x ) f (x ) x x ) Como resultado, podemos escrever: Sejam A e B conjuntos. Dizemos que f : A B é uma função de A em B se e só se: I. ( x A )( y B )( y = f(x) ) II. ( x, x A )( f(x ) f (x ) x x )

17 Estruturas Algébricas.. Notação de Função Ao definirmos uma função e verificarmos que as condições de bom funcionamento são satisfeitas podemos adotar a seguinte notação compacta: f : A B x a y = f(x) que deve ser lida da seguinte forma: esta é a função f, que relaciona elementos x do conjunto A (entradas) com elementos y do conjunto B (respostas) através da lei y = f(x).. Resumo f : A B f é função de A em B x a y = f(x) ( x A )(! x B )( y = f(x) ) ( x A )( y B )( y = f(x) ) ( x, x A )( x = x f(x ) = f(x ) ) ( x A )( y B )( y = f(x) ) ( x, x A )( f(x ) f(x ) x x ).4 Exemplos.4. Exemplo Sejam P: conjunto de países, C: conjunto de cidades. Podemos definir uma função f: P C através da lei f(x) é a capital política de x. Isto pode ser escrito da seguinte forma: f : P C x a f(x) é a capital política de x Esta relação é realmente uma função porque cada país só pode ter uma capital política..4. Exemplo f : R R x a y = x é função. Solução: Para verificar esta afirmação é necessário que sejam verdadeiras as duas condições descritas anteriormente. a Parte: Condição de existência: ( x A )( y B )( y = f(x) ) Que, neste caso deve ser escrita como: ( x R )( y R )( y = x ) Prova: Seja x R. x R x R. Chamando de y a expressão x, temos: y = x y R.

18 Estruturas Algébricas Logo, ( x R )( y R )( y = x ) V a Parte: Condição de unicidade: ( x, x A )( x = x f(x ) = f(x ) ) Que, neste caso deve ser escrita como: ( x, x R )( x = x x = x ) Prova: Sejam x, x R tais que x = x Então: x = x.x = x.x = x Logo, x = x x = x Logo, ( x, x R )( x = x x = x ). f : R R Conclusão final: Como valem as condições de unicidade e existência, então x a y = x é função..4. Exemplo Verifique se f: R R definida por Solução: y = x é função. a Parte: Condição de existência: ( x A )( y B )( y = f(x) ) Que, neste caso deve ser escrita como: ( x R )( y R )( y = x ) Esta proposição é falsa, pois, por exemplo, ( x R)( x = - )( R ) ( x R)( x = - )( y R )( y = x ) Logo, não vale a condição de existência. Conclusão final: Como não vale a condição de existência, então f: R R definida por função..4.4 Exemplo 4 y = x não é f : [0; + ) R é função. x a y = x Solução: a Parte: Condição de existência: ( x A )( y B )( y = f(x) ) Que, neste caso deve ser escrita como: ( x [ 0; + ) )( y R )( y = x ) Prova: Seja x [ 0; + ). x [ 0; + ) x 0 x R. Chamando de y a expressão x, temos: y = x y R. Logo, ( x R )( y R )( y = x ) V a Parte: Condição de unicidade: ( x, x A )( x = x f(x ) = f(x ) ) Que, neste caso deve ser escrita como: ( x, x R )( x = x x = x ) Ou, melhor ainda, como: ( x, x R )( x x x x )

19 Estruturas Algébricas Prova: Sejam x, x R tais que x x Então: x = x. x x. x = x, pois x 0 x 0. Logo, x x x x. Logo, ( x, x R )( x x x x ). Conclusão final: Como valem ambas as condições, então f: R R definida por y = x é função..4.5 Exemplo 5 Verifique se x + y =, x [ -; ], y R é função. Solução: Note que a expressão x + y = não está na forma adequada para ser utilizada nestes raciocínios. Portanto, é necessário primeiro transformá-la, isolando y: x + y = y = x ( y = x ) ( y = x ). Pela proposição acima, já torna-se claro que teremos problemas, pois como y R, será igualmente válido que assuma valores tanto positivos como negativos. Isto nos faz desconfiar que a condição de unicidade falhará... Então, para poupar trabalho, começaremos por ela: a Parte: Condição de unicidade: ( x, x A )( x = x f(x ) = f(x ) ) Esta proposição é falsa, pois, por exemplo, escolhendo x = x = 0, poderíamos ter: x = 0 y = x = 0 = y = = x = 0 y = x = 0 = y = = Logo, ( x, x [ -; ] )( x = x = 0 )( x = x f(x ) f(x ) ). Conclusão final: Como não vale a condição de unicidade, então x + y =, x [ -; ], y R não é função..5 Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função.5. Definições Seja f uma relação de A em B. Como visto anteriormente, as definições de domínio, imagem e contradomínio de f serão dadas por: Dom(f) = { x / x A ( y B )( y = f(x) ) } Im(f) = { y / y B ( x A )( y = f(x) ) } = C(f) = { f(x) B / x A } = B Como toda a função também é uma relação (só que é um tipo muito especial de relação, que cumpre as condições de bom funcionamento vistas anteriormente), as definições acima também podem ser utilizadas para a determinação de seu domínio, de sua imagem e de seu contradomínio.

20 Estruturas Algébricas 4.5. Observações Note que estas definições são cópia das definições utilizadas para relações. Na realidade, no caso de uma função, para se poder escrever a notação f: A B, deve-se ter certeza de que Dom(f) = A. Por quê? Vejamos: Para f: A B ser função, deve valer que ( x A ) ( y B ) ( y = f ( x ) ) ( x, x A )( x = x f( x ) = f( x ) ) Note que a primeira parte da proposição acima diz que ( x A )( y B )( y = f ( x ) ). Isto significa que se f é função, então ( x A )( y B )( y = f ( x ) ) V Mas esta também é a condição que é usada na definição do domínio que foi apresentada acima: Dom(f) = { x / x A ( y B )( y = f( x ) ) }. Então Dom(f) = A. Note que a observação anterior só é válida para o domínio de uma função! Ou seja: No entanto, sempre será verdade que Im(f) B Ou ainda Im(f) C(f) Nem sempre será verdade que Im(f) = B!!! Cabe ainda notar que outra forma de definir a imagem de uma função seria escrever Im(f) = { f(x) / x A }.5. Funções Reais e Funções de Variável Real Especial atenção é necessária a certos detalhes da nomenclatura de funções. Um destes detalhes que comumente passa desapercebido à primeira vista é a diferença entre as denominações função real e função de variável real : função de variável real é toda aquela cuja variável de entrada é um número real. Por exemplo, são funções de variável real: f: R R, f(x) = x f: [ 0; + ) R, f(x) = ln(x) f: R [ -; ], f(x) = sen(x) f: R Z, f(x) = x f: R I, f(x) = + i.x (onde i = ) função real é toda aquela cuja resposta é sempre um número real. Por exemplo, são funções reais: f: R R, f(x) = x f: [ 0; + ) R, f(x) = ln(x) f: R [ -; ], f(x) = sen(x) Da mesma forma que se definem funções reais e funções de variável real pode-se definir funções inteiras e funções de variável inteira, etc. Por exemplo:

21 Estruturas Algébricas 5 f: R Z, f(x) = x é uma função inteira f: Z R, f(x) = x é uma função de variável inteira Note-se ainda que estas classificações não são excludentes! Por exemplo: f: R R, f(x) = x f: [ 0; + ) R, f(x) = ln(x) f: R [ -; ], f(x) = sen(x) são exemplos de funções reais de variável real!.5.4 Maior domínio de uma função Em aplicações do conceito de função, como ocorre no Cálculo, é comum subentender o domínio da função, pois é dada maior ênfase ao aspecto de transformação que a lei da função traz. Assim, adota-se como domínio da função o maior intervalo possível de valores de entrada que produzam uma saída real. Isto é o que chamamos maior domínio de uma função. Por questões de comodidade e simplificação, isto é o que comumente (e erroneamente) é denominado como o domínio da função em Cálculo Em Resumo... Maior domínio de uma função é o maior intervalo de valores de entrada que produzam uma resposta válida dentro do conjunto de saídas. Domínio de uma função é o conjunto A (veja a observação no item.) Exemplos Encontre o maior domínio real que torna cada uma das expressões abaixo funções reais: (a). f (x) = x Solução: O maior domínio é x [ 0; + ). Justificativa: x R x 0 x R. Então o maior domínio real é x [ 0; + ). (b). f (x) = x Solução: O maior domínio é x ( - ; 0 ) ( 0; + ). Justificativa: x R x 0 x R. Então o maior domínio real é x ( - ; 0 ) ( 0; + ).

22 Estruturas Algébricas 6 (c). f (x) = ln(x) Solução: O maior domínio é x ( 0; + ). Justificativa: ln(x) R x > 0 x R. Então o maior domínio real é x ( 0; + ). (d). f (x) = x e Solução: O maior domínio é x R. Justificativa: e x R x R. Então o maior domínio real é x R. (e). x f(x) = x + Solução: O maior domínio é x ( - ; - ) ( -; + ). x Justificativa: R x + = 0 x = -. Então o maior x + domínio real é x ( - ; - ) ( -; + )..5.5 Determinação da Imagem de uma Função na Prática Encontrar a imagem de uma função pode ser uma tarefa complexa caso não sejam conhecidas informações adicionais da função. Isto porque a predição do conjunto de respostas que uma função efetivamente pode dar depende do conhecimento de seu comportamento. Assim, para se poder determinar a imagem de uma função deve-se recorrer a outros ramos da ciência Matemática, tais como o Cálculo para a determinação operacional de imagens de funções. Também são úteis informações algébricas com respeito ao comportamento da função. Por exemplo, dada uma função real f, então temos os seguintes casos: min(f) max(f) Im(f) = [ min(f); max(f) ] min(f) max(f) Im(f) = ( - ; max(f) ] min(f) max(f) Im(f) = [ min(f); + ) min(f) max(f) Im(f) = R Ainda, se soubermos que uma função é inversível, ou seja, que tem outra função como inversa poderemos ter outras alternativas para determinar a imagem de uma função, como veremos adiante.

23 Estruturas Algébricas 7.6 Gráfico de uma Função.6. Definição Dada uma função f: A B, y = f(x), chamamos de gráfico de f o conjunto Gráfico(f) = { ( x, f(x) ) / x A }.6. Exemplos.6.. Exemplo Sabendo que f: ( 0; + ) R, Solução: O gráfico de f é o conjunto G(f) = { ( x, ) / x > 0 } x f (x) = é função, encontre o gráfico de f. x.6.. Exemplo A representação gráfica ao lado não representa o gráfico de uma função. Observe que os pontos ( x, y ) desta representação gráfica satisfazem a equação x + y =, x [ -; ], y [ -; ]. Ocorre que, para cada valor de x haverá dois pares correspondentes associados, o que é conflitante com as condições de bom funcionamento que definem uma função..6. Observação: Gráfico x Representação Gráfica Alguns autores acham por bem fazer a seguinte distinção: Gráfico de uma função é um conjunto de pares ordenados. Representação gráfica de uma função é uma forma de desenhar o gráfico. A razão de tal distinção é que um mesmo gráfico pode ser representado de diversas formas diferentes. Ou seja, o mesmo gráfico pode ter diferentes representações gráficas..7 Funções Inversíveis.7. Um Exemplo Inicial Sejam A = B = {,, }. Suponha que queiramos determinar todas as funções de A em B. Com um pouco de pensar chegaríamos às seguinte 7 funções (representadas por diagramas de Venn): A B A B A B

24 Estruturas Algébricas 8 A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

25 Estruturas Algébricas 9 A B A B A B A B A B A B Quais destas funções seriam capazes de satisfazer à seguinte propriedade: f: A B é uma função tal que existe uma função g: B A para a qual g(y) = x se e só se f(x) = y? Analisando os gráficos acima veríamos que as funções que satisfazem tal questão são: A B A B A B A B A B A B Isto nos leva a duas questões importantes: (a). Por que as demais funções não satisfazem à questão levantada? (b). Quais as propriedades que estas 6 funções possuem em comum? Para respondermos a estas questões podemos começar observando que a função f: {,, } {,, } definida por f() =, f() = e f() = não responde à questão formulada por dois motivos: ( y B )( y = )( x A )( y f(x) ) ( x, x A )( x = x = )( f(x ) = f(x ) x x ) A B

26 Estruturas Algébricas 0 Não é difícil observar que todas as funções não selecionadas falham em pelo menos uma das situações assinaladas para a função f acima. Por que estas observações são importantes para a definição das funções g: B A? Usando a negação das proposições acima podemos determinar as propriedades que as 6 funções selecionadas cumprem. As condições são: () ( y B )( x A )( y = f(x) ) () ( x, x A )( f(x ) f(x ) x = x ) Usando a equivalência lógica p q p q, podemos reescrever a segunda propriedade na forma equivalente a dada acima. () ( x, x A )( f(x ) = f( x ) x = x ) Finalmente, observe que: Usando estas duas propriedades é possível resolver o problema. Estas são as condições que definem uma função de B em A!!!.7. Funções Injetoras ( Para ).7.. Definição Sejam A e B conjuntos e f: A B uma função. Dizemos que: f é injetora de A em B ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ).7.. Observações Note que isto é o mesmo que ( x, x A )( x x f(x ) f(x ) ) Note que isto NÃO é o mesmo que ( x, x A )( x = x f(x ) = f(x ) ).7. Exemplos.7.. Exemplo Mostre que y = x, x R não é injetora. Solução: Para verificar que a expressão acima não é injetora precisamos mostrar que a proposição ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) falha para alguma combinação de valores x e x que satisfaçam à premissa f(x ) = f(x ). Isto pode ser feito genericamente ou através de um exemplo: o modo: genericamente. Sejam x, x R tais que f(x ) = f(x ). f(x ) = f(x ) x = x x = x ( x = x ) ( x = -x ). Então não se pode garantir que, necessariamente, x = x. Logo, ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) F. o modo: através de um exemplo.

27 Estruturas Algébricas Sejam x, x R tais que f(x ) = f(x ). Por exemplo, escolhendo x = e x = -, temos que f(x ) = f(x ), pois x = = 4, x = (-) = 4 Mas x x. Logo, ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) F..7.. Exemplo Mostre que y = x, x 0 é injetora. Solução: Para verificar que a expressão acima é injetora precisamos mostrar que a proposição ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) vale para todas as combinações possíveis de valores x e x que satisfaçam à premissa f(x ) = f(x ): Sejam x, x [ 0; + ) tais que f(x ) = f(x ). f(x ) = f(x ) x = x x = x ( x = x ) ( x = -x ). Como x 0 x 0 ( x = -x F ). Então ( x = x ) ( x = -x ) ( x = x ) F ( x = x ). Logo, ( x, x [ 0; + ) )( x = x x = x )..7.. Exemplo Mostre que y = x, x 0 é injetora. Solução: Para verificar que a expressão acima é injetora precisamos mostrar que a proposição ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) vale para todas as combinações possíveis de valores x e x que satisfaçam à premissa f(x ) = f(x ): Sejam x, x [ 0; + ) tais que x = x. x = ( ) ( ) x x =. x Como ( x ) = x, então ( ) ( ) x Como x 0 x 0 ( x = -x F ). x = x = x ( x = x ) ( x = -x ). Então ( x = x ) ( x = -x ) ( x = x ) F ( x = x ). Logo, ( x, x [ 0; + ) )( x = x x = x ) Exemplo 4 Mostre que y = -x + 5x - 6, x R não é injetora. Solução: Esta função não pode ser injetora pois possui duas raízes reais diferentes. Com efeito, sabemos que as raízes desta função são x = e x =. Isto significa que ( x, x R )( x = x = )( f(x ) = f(x ) = 0 x x ). Logo, f não é injetora!

28 Estruturas Algébricas.7..5 Exemplo 5 Mostre que y = x, x R não é injetora. Solução: Sejam x, x R tais que x = x. x = x ( x = x ) ( x = -x ). Então não se pode garantir que, necessariamente, x = x. Logo, ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) F..7.4 Teorema Seja f uma função real. Então: f estritamente crescente f injetora f estritamente decrescente f injetora Prova: Será apresentada a versão para uma função estritamente crescente. Seja f uma função real e estritamente crescente. Então: ( x, x Dom(f) )( x < x f(x ) < f(x ) ). Precisamos mostrar que ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) é verdadeira. Isto pode ser mais facilmente feito mostrando que a proposição contrapositiva ( x, x A )( x x f(x ) f(x ) ) é verdadeira. Para tanto: Sejam x, x Dom(f) tais que x x. x x ( x < x ) ( x > x ). Como f estritamente crescente, ( x < x ) ( x > x ) ( f(x ) < f(x ) ) ( f(x ) < f(x ) ) f(x ) f(x ). Então, x x f(x ) f(x ). Logo, f é injetora!.7.4. Observações Note que a recíproca das implicações não é necessariamente verdadeira! Isto significa que: Se uma função não é estritamente crescente não se pode afirmar que ela não seja injetora! Se uma função não é estritamente decrescente não se pode afirmar que ela não seja injetora! Por exemplo, observe o gráfico da função ao lado, que é definida por f: [ 0; + ) [ 0; + ), x f(x) = x 0 x x > Ela é injetora, mas não é estritamente crescente! A versão para uma função estritamente decrescente é semelhante e pode ser facilmente demonstrada seguindo os passos aqui apresentados.

29 Estruturas Algébricas Note que sempre é possível fazer as seguintes afirmações contrapositivas: f não é injetora f não é estritamente crescente f não é injetora f não é estritamente decrescente Exemplo Mostre que y = ln(x), x > 0 é injetora. Solução: Como sabemos, a função logaritmo natural é estritamente crescente. Logo, é injetora!.7.5 Funções Sobrejetoras.7.5. Definição Sejam A e B conjuntos, f : A B uma função. Dizemos que: f é sobrejetora de A em B ( y B )( x A )( y = f(x) ).7.5. Observação Note que dizer que uma função é sobrejetora é o mesmo que mostrar que Im(f) = C(f). Os seja, para qualquer função sempre será verdade que Im(f) C(f). Mas somente para as funções sobrejetoras poderemos escrever Im(f) = C(f)..7.6 Exemplos.7.6. Exemplo Mostre que y = x, x R, y R não é sobrejetora. Solução: Para mostrarmos que a lei acima não define uma função sobrejetora, basta encontrarmos algum valor no conjunto das respostas (isto é, o contradomínio da função) que não tenha entrada associada (ou seja, não pertença à imagem da função). Para facilitar vamos chamar a função acima de f: Seja f: R R definida por f(x) = x. Por exemplo, seja y = -. Temos que y R, mas ( x R )( x = - ). Logo, ( y R )( y = - )( x R )( x = y ). Logo, ( y B )( x A )( y = f(x) ) F. Logo, f não é sobrejetora Exemplo Mostre que f: R fi [ 0; + ), f(x) = x é sobrejetora. Solução: Precisamos mostrar que a proposição ( y [ 0; + ) )( x R )( y = x ) é sempre válida. Para isto:

30 Estruturas Algébricas 4 Seja y [ 0; + ). y [ 0; + ) y 0. Como ( x R )( x 0 ), então chamando y = x temos que ( y [ 0; + ) )( x R )( y = x ) Logo, f é sobrejetora Exemplo y = x, x R, y ( 0; + ) é função sobrejetora? Solução: Não é função, pois Im(f) C(f)!.7.7 Funções Bijetoras.7.7. Definição Sejam A e B conjuntos, f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora se e só se f é sobrejetora e injetora. Isto é: f bijetora f injetora f sobrejetora Ou seja: f bijetora ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) ( y B )( x A )( y = f(x) ).7.7. Teorema Seja f uma função de A em B. Então f bijetora f inversível Isto é, f possui uma função inversa, denotada por f -, de B em A. Assim, respondemos à questão formulada no início desta seção: f: A B é uma função tal que existe uma função f - : B A para a qual f - (y) = x se e só se f(x) = y. Prova: Seja f: A B função bijetora. Seja f - : B A tal que f - (y) = x quando f(x) = y. Precisamos mostrar que f - também é uma função! Pelas hipóteses, é sabido que f cumpre todas as seguintes condições: ( x A ) ( y B )( y = f(x) ) (condição de existência) ( x, x A )( x = x f(x ) = f (x ) ) (condição de unicidade) ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) (injetora) ( y B )( x A )( y = f(x) ) (sobrejetora) Usando as condições de unicidade e injetividade pode-se escrever: ( x, x A )( x = x f(x ) = f (x ) ) Isto significa que a associação entre valores x A e valores y = f(x), y B é única! Dessa forma, lembrando que f - (y) = x quando f(x) = y pode-se escrever

31 Estruturas Algébricas 5 ( y, y B )( f - (y ) = f - (y ) y = y ) Mas: ( y, y B )( f - (y ) = f - (y ) y = y ) ( y, y B )( f - (y ) = f - (y ) y = y ) ( y, y B )( y = y f - (y ) = f - (y ) ) Destas propriedades pode-se concluir que f - é injetora e cumpre a condição de unicidade: ( y, y B )( f - (y ) = f - (y ) y = y ) ( f - é injetora ) ( y, y B )( y = y f - (y ) = f - (y ) ) ( f - cumpre a condição de unicidade ) Da mesma forma, partindo da sobrejetividade de f e usando que f - (y) = x quando f(x) = y, pode-se escrever: ( y B )( x A )( y = f(x) ) ( y B )( x A )( f - (y) = x ) que é a condição de existência para f -. Logo, f - : B A é função. Logo, f bijetora f possui função inversa Uma Observação Importante!!! A notação utilizada para a representação da função inversa é um tanto infeliz, mas foi difundida por diversos livros e fontes. Então CUIDADO! f - significa a função inversa de f. Isto NADA TEM A VER com a função f (denominada inverso da função f ).7.8 Exemplos.7.8. Exemplo Verifique se f: [ 0; + ) [ 0; + ), inversa. f (x) = x é inversível e determine a lei que representa sua Solução: Para verificarmos que a f dada é inversível, precisamos verificar se f é bijetora: a parte: f é injetora? Como a expressão então f é injetora. f (x) = x define uma função estritamente crescente, a parte: f é sobrejetora? Precisamos mostrar que a proposição ( y [ 0; + ) )( x [ 0; + ) )( y = x ) é sempre verdadeira. Para tanto: Seja y [ 0; + ). y [ 0; + ) y 0 Então, ( x [ 0; + ) )( Logo, f é sobrejetora. y = x para algum x 0. y = x ). Conclusão geral: como f é injetora e sobrejetora, então f é inversível. Determinação da inversa: Queremos encontrar a expressão da função inversa de f:

32 Estruturas Algébricas 6 Sabemos que: f : [0; + ) x a [0; + ) f(x) = x Então, chamando y = f(x) temos: y = x x = y A função inversa de f será dada por: f : [0; + ) y a [0; + ) f (y) = y Observação: Note-se que a letra usada para designar a variável independente na expressão da função inversa pouca importância tem!!! Na verdade, o que efetivamente importa é a transformação que a expressão indica que a função realiza. Na prática, isto significa que, por exemplo, g : [0; + ) y a [0; + ) g(y) = y h : [0; + ) t a [0; + ) h(t) = t v : [0; + ) x a [0; + ) v(x) = x são todas a mesma função e, conseqüentemente, são todas expressões válidas para designar a função inversa de f Exemplo Encontre condições sobre os conjuntos A e B de modo que a relação f A x B definida por y = x seja uma função real inversível. Solução: Precisamos definir os conjuntos A e B da forma mais ampla possível e, além disso, garantir que as seguintes propriedades sejam válidas: ( x A ) ( y B )( y = f(x) ) ( f satisfaz à condição de existência ) ( x, x A )( x = x f(x ) = f (x ) ) ( f satisfaz à condição de unicidade ) ( y B )( x A )( y = f(x) ) ( f é sobrejetora ) ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) ( f é injetora ) Para f satisfazer às condições de existência e unicidade, é fácil verificar que a única restrição evidente é que 0 A. Assim, A R { 0 }. Da mesma forma, para que f seja sobrejetora teremos y > 0. Assim, uma das restrições para que f seja inversível é que B ( 0; + ) Finalmente, precisamos encontrar condições para que f seja injetora, isto é, que satisfaça à condição ( x, x A )( f(x ) = f(x ) x = x ) Para isto: sejam x, x A tais que =. x x Então: = x = x ( x = x ) ( x = -x ). x x Vemos então que há um conflito com a injetividade de f caso A possua elementos com mesmo valor absoluto. Neste caso, podemos, por exemplo sugerir que A só possua valores positivos (ou só negativos...). Assim, a solução para este problema é:

33 Estruturas Algébricas 7 A R { 0 } e A não pode possuir dois elementos com mesmo valor absoluto e sinais opostos B = ( 0; + ) Comentários: Note que as seguintes escolhas para os conjuntos A e B sempre satisfazem às condições acima determinadas: a Possibilidade: a Possibilidade: A = ( 0; + ) A = ( - ; 0 ) B = ( 0; + ) B = ( 0; + ) a Possibilidade: 4 a Possibilidade: (bem diferente!!!) A = [ -; 0 ) ( ; + ) A = ( -; - ) ( ; ) B = ( 0; + ) B = ( 4 ; ) ( 4 9 ; 4 ) 5 a Possibilidade: etc..7.9 Um Teorema Importante Seja f uma função inversível e f - sua função inversa. Então: Dom(f) = Im(f - ) Im(f) = Dom(f - ) Prova: Para facilitar, digamos que f é uma função inversível de A em B, ou seja: f: A B. Como conseqüência, f - : B A também é inversível. f é inversível f é bijetora f é injetora f é sobrejetora. Mas:

34 Estruturas Algébricas 8 f é sobrejetora Im(f) = B. f - é sobrejetora Im(f - ) = A. Como: Dom(f) = A Dom(f - ) = B, temos que ( Dom(f) = Im(f - ) ) ( Im(f) = Dom(f - ) )

35 Estruturas Algébricas 9 Relações em A Um caso particular de relação é obtido quando relacionamos entre si elementos de um mesmo conjunto. Neste caso, teremos uma relação que associa um elemento de um certo conjunto A com outro(s) elemento(s) do próprio conjunto A. Relações deste tipo são denominadas relações de A em A, ou, simplesmente, relações em A. Relações desta natureza são importantes, por exemplo, para a identificação de informações de mesma natureza ou para a ordenação de estágios de um determinado processo. A definição de relações dentro de um único conjunto permite definir critérios de varredura do conjunto. A identificação de quais relações são adequadas para cada propósito depende da identificação de diversas propriedades, típicas das relações em A, e que as relações podem (ou não) ter.. Definição Seja A um conjunto. Então R é relação de A em A se e somente se R é subconjunto do produto cartesiano de A com A. Em notação lógica: R é relação em A R A x A. Exemplos.. Um Exemplo Intuitivo Seja A um conjunto de etapas necessários para a geração de uma aplicação computacional. Por exemplo, A = { análise, projeto, implementação, testes, finalização }. Na prática, estas etapas não ocorrem todas ao mesmo tempo, podendo ser classificadas de maneira temporal da seguinte forma: análise projeto implementação testes finalização Em termos matemáticos, podemos descrever esta situação através de uma relação definida no conjunto A da seguinte forma: R A x A, R = { ( análise, análise ), ( análise, projeto ), ( projeto, projeto ), ( projeto, implementação ), ( implementação, projeto ), ( implementação, implementação ), ( implementação, testes ), ( testes, implementação ), ( testes, testes ), ( testes, finalização ), ( finalização, finalização ) }

36 Estruturas Algébricas 0.. Outros Exemplos Intuitivos Seja A um conjunto de pessoas. Neste conjunto podem-se definir diversas relações. Por exemplo: R A x A, S A x A, T A x A, x R y x tem o mesmo nome que y x S y x é parente de y x T y x é namorado de y Observe-se que, neste exemplo, as pessoas identificadas pelas variáveis x e y devem sempre pertencer ao conjunto A especificado!.. Exemplos Conceituais Seja A = { a, b, c }. Podem-se definir, por exemplo, as seguintes relações: R A x A, R = { ( a, a ), ( a, b ), ( a, c ) } S A x A, S = { ( a, a ), ( b, b ), ( c, c ) } T A x A, T = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ) } W A x A, W = { ( a, a ), ( a, b ), ( a, c ), ( b, a ), ( b, b ), ( b, c ), ( c, a ), ( c, b ), ( c, c ) } Estas mesmas relações podem ser descritas por compreensão: R A x A, S A x A, x R y x = a x S y x = y T A x A, x T y ( ( x = a ) ( y c ) ) ( ( x = b ) ( y b ) ) W A x A, W = A x A..4 Outro Exemplo Conceitual Pode-se definir relações muito interessantes e importantes dentro do conjunto dos números reais. Por exemplo: R R x R, x R y x y ( esta relação é denominada de ordem natural ) S R x R, x S y x y ( x y significa x divide y, isto é, x é divisor de y, ou ainda, ( α Z )( y = α.x ) )..5 Mais um Exemplo Importante Dado o conjunto M = {, }, pode-se criar o conjunto das partes de M, denotado por P(M), que é formado por todos os subconjuntos de M: P(M) = {, { }, { }, {, } } Este conjunto é importante, pois permite definir relações entre os subconjuntos de M. Assim, fazendo A = P(M), podem-se definir, por exemplo, as relações: R A x A, x S y x = y Neste caso: S = { (, ), ( { }, { } ), ( { }, { } ), ( {, }, {, } ) } S A x A, x R y x y Então: R = { (, ), (, { } ), (, { } ), (, {, } ), ( { }, { } ), ( { }, {, } ), ( { }, { } ), ( { }, {, } ), ( {, }, {, } ) } T A x A, x T y x y

37 Estruturas Algébricas Neste caso: T = A x A R, ou ainda, T = { (, { } ), (, { } ), (, {, } ), ( { }, ), ( { }, { } ), ( { }, {, } ), ( { }, ), ( { }, { } ), ( { }, {, } ), ( {, }, ), ( {, }, { } ), ( {, }, { } ) } Observe-se que, neste caso, as variáveis x e y representam conjuntos pertencentes a P(M)...6 Um Último Exemplo Uma relação em um dado conjunto A pode ser estabelecida independentemente da natureza dos elementos de A. Isto significa que podemos relacionar pessoas com pessoas, objetos com objetos, números com números, conjuntos com conjuntos, pares ordenados com pares ordenados, registros de bancos de dados semelhantes, etc. Para elucidar isto, sejam M = {, } e N = { 0, }. Com estes conjuntos formaremos um conjunto A através do produto cartesiano: A = { (, 0 ), (, ), (, 0 ), (, ) } Em A podemos definir diversas relações. Por exemplo: R A x A, ( x, y ) R ( z, w ) x + y > z + w Neste caso: R = { ( (, ), (, 0 ) ), ( (, 0 ), (, 0 ) ), S A x A, x S y x = y ( (, ), (, 0 ) ), ( (, ), (, ) ), ( (, ), (, 0 ) ) } Neste caso: S = { ( (, 0 ), (, 0 ) ), ( (, ), (, ) ), ( (, 0 ), (, 0 ) ), ( (, ), (, ) ) } Observe-se que na definição de R as variáveis x, y, z e w foram utilizadas para representar componentes dos pares ordenados; no entanto, na definição de S as variáveis x e y representam diretamente pares ordenados.. Propriedades das Relações em A As relações em A são importantes por possuírem diversas propriedades interessantes. Através das propriedades que uma determinada relação possui podem definir finalidades particulares para a relação, conforme veremos mais adiante... Reflexividade Seja R uma relação definida em um conjunto A. Então: R é reflexiva em A ( x A )( ( x, x ) R ).. Exemplos Intuitivos Suponhamos que A seja um conjunto de pessoas. Podem-se definir, por exemplo, as seguintes relações: R A x A, S A x A, T A x A, x R y x tem o mesmo peso que y x S y x tem o mesmo tipo de computador que y x T y x namora com y

38 Estruturas Algébricas Neste caso: Para testar a reflexividade em R, devemos verificar se a proposição x R x, ou seja x tem o mesmo peso que x é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Como toda pessoa tem seu próprio peso (ou seja, pesa o mesmo que ela própria...), então R será reflexiva. Para testar a reflexividade em S, devemos verificar se a proposição x S x, ou seja x tem o mesmo tipo de computador que x é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Para as pessoas que tem computador, isto será, obviamente, verdadeiro. No entanto, esta proposição não é sempre verdadeira, pois algumas pessoas não tem computador! Logo S não será reflexiva. Para testar a reflexividade em T, devemos verificar se a proposição x T x, ou seja x namora com x é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Ora, uma pessoa não pode namorar com si própria. Logo T não será reflexiva. Observação: Observe que há uma sutil, mas importante diferença entre os casos representados pelas relações S e T. No caso de S, algumas pessoas relacionar-se-ão com si próprias, enquanto outras, não. Já no caso de T, nenhuma pessoa relacionar-se-á com si própria.... Exemplos em um Conjunto Discreto Operaremos com o conjunto dos números naturais, ou seja, A = N. Neste conjunto podem-se definir, por exemplo, as relações: R N x N, S N x N, T N x N, x R y x y x S y x é divisor de y x T y x < y Das relações acima temos que: R é reflexiva, pois ( x N )( x x ) é sempre verdadeira (isto é, é uma tautologia). S é reflexiva pois, dado x N, então x =.x ( Z )( x =.x ) x x. Logo S é reflexiva. T não é reflexiva, pois ( x N )( x < x ) f.... Exemplos em um Conjunto Contínuo Podemos definir, por exemplo, as seguintes relações no conjunto dos números reais: R R x R, S R x R, T R x R, Então: x R y x y x S y x > y x T y x y R é reflexiva pois qualquer número real será sempre menor ou igual a si mesmo. Formalmente isto significa que ( x R )( x x ) é uma tautologia. Logo R é reflexiva. S não é reflexiva, pois, sendo x R, então x S x x > x x x > 0 x.(x ) > 0 ( ( x > 0 ) ( x > 0 ) ) ( ( x < 0 ) ( x < 0 ) ) ( ( x > 0 ) ( x > ) ) ( ( x < 0 ) ( x < ) ) ( x < 0 ) ( x > ) Isto significa que a proposição só é válida para x < 0 ou para x >. Portanto, a proposição não é válida para x [ 0 ; ]. Logo a proposição não é sempre verdadeira. Logo S não é reflexiva.

39 Estruturas Algébricas T não é reflexiva pois a proposição ( x R )( x x ) é sempre falsa!... Comentários Relações que são reflexivas possuem a particular característica de garantir que todos os elementos do conjunto origem (na nossa notação, o conjunto A) participem pelo menos uma vez da relação. Na realidade, a Reflexividade é mais forte que isto! A definição de Reflexividade diz que cada elemento do conjunto origem deve relacionar-se com si próprio, o que traz à tona as seguintes idéias: Uma relação reflexiva está presente mesmo quando se está operando com apenas um elemento do conjunto origem. Por exemplo, a relação entre pessoas definida por a pessoa x tem o mesmo peso que a pessoa y é reflexiva. Assim, se estivermos nos referindo a qualquer pessoa em um dado momento, como uma pessoa tem sempre seu próprio peso, automaticamente a relação estará presente e disponível para ser referida ou utilizada; No caso de interpretarmos uma relação como um processo de transmissão de informações ou como uma sucessão de estágios, a Reflexividade traduz a característica de se poder estacionar em um determinado estágio. Por exemplo, se definíssemos, no conjunto a relação R através do seguinte diagrama: A = { análise, implementação, testes }, análise implementação testes a reflexividade desta relação traduz a importante idéia de que, estando na fase de análise, podemos continuar por mais um período na mesma fase. Da mesma forma, estando na fase de implementação, podemos continuar por mais um período na fase de implementação; e o mesmo vale para a fase de testes, pois a reflexividade, como sabemos, somente é válida se todos os elementos do conjunto origem tiverem a característica de se relacionarem consigo. Como, em uma relação reflexiva todos os elementos relacionam-se com si próprios, isto significa, em particular, que todos os elementos aparecem pelo menos uma vez como primeiro elemento de um par ordenado da relação. Assim, todos os elementos do conjunto origem relacionam-se com algum elemento e, portanto, o domínio de uma relação reflexiva será o próprio conjunto origem! Assim: (R A x A) (R reflexiva) Dom(R) = A Da mesma forma, todos os elementos de uma relação reflexiva aparecerão, pelo menos uma vez como segundo elemento de um par ordenado da relação. Isto significa que todos os elementos do conjunto origem foram relacionados com algum elemento e, portanto, a imagem de uma relação reflexiva será o próprio conjunto origem! Assim: (R A x A) (R reflexiva) Im(R) = A Geometricamente, a Reflexividade pode ser visualizada quando para todos os elementos x do conjunto origem, A, a reta y = x, estiver presente no gráfico da relação. Por exemplo: A = [ -, ] R [ -, ] x [ -, ], x R y x y S [ -, ] x [ -, ], x S y x y T [ -, ] x [ -, ], x T y x + y >