Comunicação Científica

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1 Comunicação Cintífica m ngano matmático rptido por 00 anos Elysio R. F. Ruggri Engnhiro Civil - EMOP Furnas Cntrais Elétricas S.A. ruggri@furnas.com.br Rsumo Dsd a sua concpção dsnvolvimnto, durant os últimos 0 a 0 anos do final do século XIX, a álgbra vtorial d Gibbs não foi bm comprndida, mbora muitos a tnham considrado uma obra d art a srviço da Física clássica. É dsncssário falar da sua utilidad. Nos últimos anos la tm sido ampliada por uns, d difrnts modos com difrnts propósitos, ridicularizada por outros. Alguns físicos dizm qu la é um caso spcial, mbora não sja um caso particular da álgbra d Clifford qu tm utilidad na Mcânica Quântica; ngnhiros (como o autor) dsnvolvm o Cálculo Poliádico mostrando a sua utilidad m problmas d ngnharia (, indirtamnt, a sua utilidad na própria Física clássica). Nss artigo mostro qu crtos argumntos não vrídicos, usados para dmonstrar uma incorência intrna da álgbra d Gibbs, vm sndo mitidos dsd o início do século XX acitos na forma d spírito d manada, sm qu sus autors saibam o qu ralmnt s passa. Isto implica banir do Cálculo torial os chamados vtors scalars polars axiais qu, na prática, nunca foram d fato ncssários. Intrvém fortmnt nas minhas dmonstraçõs o concito d sistmas d vtors rcíprocos, dfinido por Hamilton, pouco dsnvolvido por Gibbs sus sguidors, ligiramnt mncionado nos bons tratados d Cálculo torial ao longo do século XX. Tais sistmas constitum a forma natural d s oprar com bass sistmas d rfrência não ortogonais. Os sistmas ortogonais são xtrmamnt útis m muitas situaçõs mas nm smpr simplificam cálculos nm smpr são oportunos. Palavras chav: vtor, produto vtorial, álgbra d Gibbs, álgbra d Clliford. Abstract Sinc its concption and dvlopmnt during th last 0 or 0 yars of th 9 th cntury, Gibbs s vctor systm was not wll undrstood, although popl hav considrd it a mastrpic to formulat classical physics. It is unncssary to mphasiz its usfulnss. In rcnt yars this systm has bn broadnd by som and ridiculd by a fw othrs. Som physicists argu that it is a spcial cas, though it is not a particular cas of Clifford s algbra, which is usful in Quantum Mchanics. Enginrs (lik myslf and othr authors) dvlop th Polyadic Calculus showing its usfulnss for trating nginring problms (and, indirctly, its usfulnss in classical physics itslf). In this papr I show that crtain rronous argumnts, usd to dmonstrat an intrnal incohrnc in Gibb s algbra, hav bn issud sinc th bginning of th 0 th cntury and accptd in drov spirit fashion; yt, thir authors lackd full undrstanding of th subjct. This implis banishing from ctor Calculus th socalld polar and axial vctors and scalars which, in practic, wr nvr ncssary in actual fact. Th concpt of rciprocal vctor systms intrvns strongly in my dmonstrations. Thy hav bn dfind by Hamilton, littl dvlopd by Gibbs and his followrs, and slightly mntiond in th good works on ctor Analysis throughout th 0 th cntury. Such systms constitut th natural form of oprating with nonorthogonal bass and rfrnc systms. Th orthogonal systms ar xtrmly usful in so many situations but not always do thy simplify calculations nor ar thy opportun. Kywords: vctor, vctor product, Gibbs s algbra, Clliford s algbra. REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00

2 . Pré-rquisitos notação amos supor qu o litor stja familiarizado com as idéias básicas opraçõs da álgbra clássica dos vtors (d Gibbs), qu indicarmos por G. Os scalars dsta álgbra srão rprsntados por ltras latinas maiúsculas ao natural, vntualmnt indxadas à dirita com índics (ltras ou númros) m nívl suprior ou infrior ( i, j,,...); os vtors srão rprsntados por ltras latinas minúsculas m ngrito, sm a clássica sta (u, v,...), também vntualmnt indxadas ( j,,...).. Rlmbrando concitos opraçõs. O vtor Inicialmnt vamos nos lmbrar d qu a ntidad vtor foi concbida para sr usada na Física clássica indirtamnt na Engnharia (por Gibbs sus sguidors []) no sntido d rprsntar as grandzas vtoriais (como as forças, as vlocidads tc.) qu são inrnts a uma dirção a um sntido sobr ssa dirção. Essa ntidad foi rprsntada por uma flcha (um sgmnto d rta orintado) qu, dsnhada m uma dtrminada scala no spaço, tm um comprimnto (o módulo do vtor, a intnsidad da grandza), uma dirção um sntido sobr sta dirção (ambos caractrísticos da grandza qu la rprsnta). Essa ntidad é, pois, d naturza gométrica; a sua rprsntação é ral, tão concrta como um dsnho. Com sss dsnhos (fitos m uma scala convnint) podmos rprsntar as forças qu atuam num corpo, as vlocidads no scoamnto d um líquido, as intnsidads d um campo létrico variávl tc.. Opraçõs com vtors notaçõs Inicia-s a construção d uma álgbra com ssas ntidads dfinindo-s as opraçõs d adição d vtors a multiplicação d vtor por númro ral; ambas podm sr justificadas m um laboratório d física. Para qu la s torn mais útil à finalidad visada, dv sr compltada com a introdução d novas opraçõs. Tais opraçõs - as multiplicaçõs scalar, vtorial mista (sta, consqüência das duas primiras) - foram muito bm dfinidas utilizando-s apnas concitos gométricos a própria dfinição d vtor. Assim, o produto scalar d dois vtors u v, dnotado por u.v, é um scalar igual ao produto dos módulos dos vtors ( u v ) plo co-sno do ângulo qu ls formam (dsd qu sss módulos sjam dtrminados com uma msma scala); ss scalar rprsnta quantas vzs v (um sgmnto d rta) dv sr tomado para s igualar ao sgmnto d rta (orintado) projção ortogonal d u (positiva ou ngativa, conform o ângulo d u com v sja agudo ou obtuso, rspctivamnt) sobr o suport d v. Com ss produto rprsntamos, por xmplo, o trabalho ralizado por uma força. Da msma forma podmos caractrizar gomtricamnt o produto vtorial d dois vtors ordnados, u v, dnotado (por Gibbs) como w' u v. Por dfinição, w' é um vtor cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos vtors fators plo sno do ângulo qu ls formam (logo, ss módulo é numricamnt igual à ára do parallogramo construído sobr os vtors fators, rprsntados com uma msma scala), cuja dirção é a da normal ao plano dsss vtors fators cujo sntido é tal qu, imaginados os vtors u, v w' dispostos coinicialmnt, o tridro u, v, w' sja positivo, isto é, quando um obsrvador com os pés m 0, com a cabça apontando no sntido da sta d w' voltado para o intrior do tridro, vê o vtor u à sua dirita o outro, v, à sua squrda. Com ssa opração podmos muito bm caractrizar os momntos (d flxão d torção) qu atuam num ponto d um corpo quando st stá submtido à ação d forças. Por consqüência, o produto misto d três vtors ordnados u, v w, dnotado por (uvw) u v. w, é o produto scalar do produto vtorial dos dois primiros (um vtor), plo trciro; ss produto é, portanto, um scalar (numricamnt igual ao "volum algébrico" do parallpípdo construído sobr os três vtors fators, rprsntados sss numa msma scala).. Sistma d vtors rcíprocos Como consqüência dssas opraçõs surg o concito d sistma d vtors rcíprocos (na rta, no plano no spaço), concito pouco difundido msmo nos cursos mais aprofundados da G, com os quais podr-s-iam vitar grands nganos (como o qu aqui apontarmos)..4 tors rcíprocos na rta Dado um vtor não nulo, u, no spaço (unidimnsional) dos vtors parallos a uma da rta, xist um um só vtor dss spaço, u*, d msmo sntido qu u, tal qu u.u*. Tais vtors são ditos rcíprocos na rta..5 tors rcíprocos no plano amos orintar um plano qu, conform sabmos, tm duas facs (ou dois lados). As rotaçõs num plano srão ditas positivas quando, obsrvando-s ss plano d um dos smi-spaços qu l dfin, ssa rotação acontc no sntido contrário ao do movimnto dos pontiros d um rlógio (ou sntido trigonométrico). Assim, o ângulo d dois vtors ordnados u v - isto é, o ângulo mnor qu πrd d qu s dv girar u para fazr o su suport coincidir com o suport d v - é positivo ou ngativo s a rotação d u é positiva ou ngativa, rspctivamnt. S, d um crto smispaço d obsrvação, o ângulo d dois vtors (ordnados) é positivo, do outro smi-spaço l é ngativo. Essa orintação não s aplica, vidntmnt, à suprfíci d Möbius qu só tm uma fac. Essas opraçõs são tão antigas quanto as mbarcaçõs; intuitivamnt os antigos já as utilizavam para movr sus barcos. REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00

3 Dados dois vtors ordnados não parallos, u v, no spaço (bidimnsional) dos vtors parallos a um plano, podmos provar qu xist nss spaço um apnas um par d vtors, u* v*, também não parallos, tais qu, u.u* v.v* u.v* 0 v.u*. Isto significa qu u* é ortogonal a v, qu v* é ortogonal a u qu os vtors dos pars homólogos (u*, u) (v*, v) fazm ntr si ângulos agudos d módulo igual ao complmnto do ângulo dfinido por u v. Os pars (u, v) (u*, v*) são ditos rcíprocos no plano, S, por xmplo, o ângulo d u com v for positivo obtuso os ângulos dos pars homólogos (agudos) srão positivos; s aqul ângulo for ngativo obtuso, o ângulo d u com u* srá ngativo o d v com v*, positivo tc. É fácil comprovar-s qu u v ( u v) ( u v) ( u v) u v ( u v).6 tors rcíprocos no spaço Dados três vtors ordnados não coplanars, u, v w (logo, vtors do spaço tridimnsional), podmos provar qu xist nss spaço um apnas um trno ordnado d vtors não coplanars, u*, v* w*, tais qu, u.u* v.v* w.w* u.v* 0 u.w* v.u*v.w* w.u* w.v* (0) Isto significa qu u* é ortogonal ao plano dfinido plo par (v,w), logo, parallo ao vtor v w, dvndo satisfazr a u.u* (logo, fazndo um ângulo agudo com u), dvr sr u* v w(uvw). Com prmutação circular das ltras podmos scrvr as dmais xprssõs, a sabr: u v w w u (uvw), v u v (uvw) w (uvw) (0) É fácil vr qu, ao contrário da situação antrior, s fossm dados u*, v* w*, sria, u v w, v w u w u u (0) ( u v w ) ( u v w ) ( u v w ) É fácil vrificar qu as (0) as (0) satisfazm os rquisitos do torma, bm como comprovar qu: (uvw) (u*v*w*) (04) Os trnos (u, v, w) (u*, v*, w*) são ditos rcíprocos no spaço; os pars (u, u*), (v, v*) (w, w*) são ditos homólogos..7 Invrsão dos vtors É important notar qu, m qualqur um dos spaços (uni, bi ou tridimnsional), invrtndo-s os sntidos dos vtors ordnados dados, o novo conjunto é d "paridad" (sinal) difrnt do antrior. No spaço tridimnsional, por xmplo, o obsrvador com os pés m 0 cabça disposta no sntido d -w voltado para o intrior do tridro vria -v à sua dirita (não mais -u). Mas ss sgundo trno não tm nada a vr com o primiro; apnas podmos dizr qu têm sinais difrnts. Nss caso, o produto misto dos vtors ordnados do sgundo par tm sinal contrário ao do produto misto do primiro. Mas o sistma rcíproco dss sgundo trno, construído a rigor conform a dfinição dada, continuará xistindo, não sndo difícil concluir qu {-u, -v, -w} {-u*, -v*, -w*} são sistmas rcíprocos qu, ainda, s vrificam as fórmulas corrspondnts a (0) (04)..8 O modo uclidiano Como s pod vr, os sistmas rcíprocos d vtors (na rta, no plano ou no spaço), na álgbra simpls d Gibbs, xistm indpndntmnt dos nossos dsjos d qualqur outra coisa; são mras concpçõs gométricas criadas para utilização na física clássica. Com ssa álgbra, vrificas, é possívl adntrar os domínios da gomtria lmntar, fazr aplicaçõs até usar ssa álgbra como frramnta d psquisa; podmos, msmo, por caminho idêntico, dsnvolvr a anális vtorial. Dari a ss stilo d xposição o nom "modo uclidiano". Para as finalidads propostas, pouco importa s ss stilo aprsnta "simtria", lgância, ou coisa qu o valha. Não vjo, também, nnhum motivo spcial para considrar como dfito o fato do produto vtorial d dois vtors não sr coplanar com sss vtors, msmo porqu, dntro das hipótss admitidas, os problmas planos linars qu invntamos são apnas "aproximaçõs" da ralidad tridimnsional.. Introduzindo bass coordnadas cartsianas Doravant, principalmnt para vitar dlongas, vamos oprar no spaço tridimnsional; mas, quando cabívl, todos os concitos mitidos podm sr rpassados aos spaços uni bidimnsionais. Podríamos, logo no início da construção da G, após a introdução das opraçõs d adição d multiplicação d vtor por númro ral ants d dfinir os produtos com dois três vtors, associar bass vtoriais aos ixos coordnados da vtrana Gomtria Analítica (naqulas alturas do stablcimnto do C, já com os sus 50 anos); com isso, daríamos aos vtors uma "rprsntação cartsiana" numa dada bas. Não xist inconvnint na introdução dss "vírus" cartsiano, mbora possa grar algum prigo d confusõs. Entrtanto, a introdução dsss concitos (cartsianos) após a dfinição dos produtos a criação dos sistmas d vtors rcíprocos, além d salintar a naturza a origm, stritamnt gométricos, do vtor das opraçõs com vtors, prmit O tma foi dsnvolvido por Gibbs ([], Chaptr II, Art. 4) mas já tria sido considrado por Hamilton. REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00

4 mostrar a sua utilidad também m Gomtria Analítica. Nsta sqüência u daria ao novo stilo d dsnvolvimnto da G o nom d "modo cartsiano". Na prática da Engnharia da Física, ntrtanto, ond impra a ncssidad das mdiçõs das grandzas, o modo cartsiano parc sr insubstituívl. Dvo rconhcr qu a G tm sus limits d aplicação, o qu não é nnhum absurdo. Para torná-la mais possant, não só na Física como também na Gomtria Euclidiana (Elmntar, Analítica Projtiva) dvmos acrscntar-lh novos concitos (ainda dntro da msma linha mlódica, mas além dos scalars vtors), como o d poliádicos, opraçõs com poliádicos tc.; daí m diant u daria a ambos os stilos d dsnvolvimnto os noms d "modo uclidiano fort" "modo cartsiano fort" apnas para salintar a prsnça d uma gomtria multidimnsional (o spaço d um poliádico d valência H, para H0 (scalar), (vtor), (diádico),,..., tm H dimnsõs). No modo cartsiano, a índol do Cálculo torial sugr a indxação das ltras (scalars vtors). Os ixos d um sistma cartsiano d coordnadas, d origm O, são dnotados por uma ltra qualqur indxada, digamos X, X, X. A cada um dsss ixos acoplamos um "vtor d bas"; sts têm módulos finitos são gralmnt rprsntados por {, }, o vtor j srvindo para rfrir vtors parallos ao ixo d índic j. É prudnt (apnas por costum), mas não é absolutamnt ncssária, a adoção d "sistmas positivos" com os quais dizmos tr orintado positivamnt o spaço, d acordo com a "rgra do obsrvador" (já xposta). A bas vtorial é, ntão, consqüntmnt, dita positiva, d uma vz por todas, nada tm a vr com os trnos d vtors qu podrão aparcr nos problmas (físicos ou gométricos) a srm studados m rlação a ss sistma. Os vtors rcíprocos da bas vtorial são, ntão, d acordo com as concpçõs gométricas mitidas, ( ), suas invrsas, ( ) ( ) (05), (05 ( ) ( ) ( ) ) Aos vtors (05) corrspond um novo sistma d coordnadas qu srá dito rcíproco do antrior, dvndo sr construído com a msma scala do antrior. As bass vtoriais {, } {, } srão ditas doravant bass rcíprocas; para las são válidos todos os concitos já mitidos sobr os sistmas rcíprocos, particularmnt as fórmulas corrspondnts a (0) (04), (06) ( )( ) (07) Intrssa obsrvar qu uma invrsão d sntido nos ixos nos vtors do sistma torna ngativo o novo sistma; o qu, vidntmnt, significa apnas orintar ngativamnt o spaço. Orintar o spaço é uma mra qustão d scolha; bass rcíprocas positivas ngativas são quivalnts. O qu dv sr vitado, para não s tirarm conclusõs rrônas, é o dsnvolvimnto não avisado d cálculos nvolvndo bass d difrnts "sinais" quando do studo d um msmo problma.. As rprsntaçõs dos vtors no contxto cartsiano Isto posto, vamos considrar qu, m rlação à bas qualqur, {,, }, não ortonormada, qu, digamos, orinta positivamnt o spaço, um vtor qualqur, v, pod sr scrito como uma combinação linar dos vtors dssa bas, pois sss vtors gram os vtors do spaço. Dnotando por j (j,,) o scalar dssa combinação rlativo ao ixo X j, ou ao vtor d bas j, podmos scrvr v + + qu, sintticamnt, rprsntamos por v j j, (soma m j, para j,,) (08) S, por xmplo, multiplicarmos scalarmnt ambos os mmbros d (08) por obtrmos, aplicando as rlaçõs (0), v. ; gnricamnt: v., para i,,(09) Por (09), conform intrprtação gométrica já fita do produto scalar, vmos qu i rprsnta quantas vzs i (o módulo d um vtor da bas rcíproca, qu é um sgmnto d rta) dv sr tomado para s igualar ao sgmnto d rta (orintado) projção ortogonal d v (positiva ou ngativa, conform o ângulo d v com i sja agudo ou obtuso, rspctivamnt) sobr o suport d i. Os scalars i são, pois, as coordnadas da xtrmidad d v m rlação à bas positiva {,, }, isto é, quando s tomam os módulos dos vtors dssa bas como unidad d mdida d distância nas rspctivas dirçõs; ssas coordnadas são dnominadas contravariants. Ess concito gnraliza o concito lmntar d coordnada quando a bas positiva é formada plos clássicos unitários ortogonais qu rprsntarmos por ˆ i, ˆ j kˆ. Considrando qu o msmo raciocínio pod sr aplicado m rlação à bas rcíproca (qu também orinta o spaço positivamnt), podmos scrvr, d uma forma gral, v (v. j ) j (v. j ) j, (j,,) (0) As coordnadas j v. j, qu podm sr intrprtadas gomtricamnt tal como as antriors; são dnominadas coordnadas covariants d v. Quando a bas a qu s rfr um vtor é ortonormada, como a rprsntada plo trno { ˆ, i ˆ, j k ˆ }, as coordnadas contravariants covariants d um vtor s confundm (porqu os sistmas rcíprocos s confundm), dsaparcndo, pois, a difrnça ntr las. 4 REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00

5 . Os vtors não dpndm d bass A Figura mostra d forma vidnt intuitiva qu s um vtor tm crtas coordnadas m rlação ao sistma ortogonal d coordnadas com vtors d bas (positiva) { ˆ, i ˆ, j k ˆ }, m rlação ao sistma d coordnadas oposto do primiro, com vtors d bas { ˆ, i ˆ, j k ˆ } (logo, uma bas ngativa), trá coordnadas com sinais contrários aos da primira rprsntação. Assim, s m rlação à bas { ˆ, i ˆ, j k ˆ } é v ˆ i ˆ + j + kˆ, m rlação à bas { ˆ, i ˆ, j k ˆ } srá, v ( )( ˆ) i + ( )( ˆ) j + ( )( kˆ ), ou sja, v' v. Em rlação a bass quaisqur as coisas s passam do msmo modo. As dcomposiçõs cartsianas (0) foram considradas rlativas a uma bas positiva. Em rlação à bas ngativa {-, -, - }, cuja rcíproca é, como visto, {-, -, - }, scrvmos, também, v [v.(- j )] (- j ) [v.(- j )] (- j ), (j,,) (0 ). Então, nss novo sistma, as novas coordnadas são opostas das primiras; admais, como os vtors d bas também são opostos dos primiros, as rprsntaçõs cartsianas (0) (0 ) são idênticas. Nm podia sr difrnt: o vtor v tm naturza indpndnt das bass scolhidas no spaço sus sinais. al obsrvar: ) - trabalhar com bass, todas d um msmo sinal, não é o msmo qu trabalhar com bass d sinais contrários. ) - a simpls invrsão dos sntidos d ixos d vtors d bas não muda o sntido dos vtors do spaço. 4. Os produtos vtorial misto no contxto cartsiano ou provar, agora, qu a xprssão cartsiana do produto vtorial w' u v, m trmos das coordnadas cartsianas (contravariants covariants) dos vtors, é o msmo sja a bas adotada a positiva {,, } ou a ngativa {-, -, - }. Alm d v, dado por (0), considrmos também: u (u. i ) i (u. i ) i, (soma para i,,) () Plas rprsntaçõs indicadas nos dois primiros mmbros d (0) () tm-s, considrando a propridad distributiva da multiplicação vtorial m rlação à adição d vtors: w' (u. i ) (v. j ) i j (somas m i m j) () Eftuando-s as somas indicadas m (), usando as xprssõs (05), comprovamos qu w' pod também sr scrito na forma (clássica) do sguint psudodtrminant: w ( ) u. u. u. ( v. v. v. ) ( ) S usássmos o primiro o trciro mmbros d (0) () scrvríamos, ainda, w' (u. i ) (v. j ) i j (somas m i m j) (), por justificativa idêntica à utilizada para a ddução d ( ), usando agora as fórmulas (05 ), w ( ) u. u. u. ( v. v. v. ) ( ) Com bas nas fórmulas (), ( ), () ( ) podmos dmonstrar imdiatamnt qu, para quaisqur vtors u, v w, (uvw) ( i j k ) (u. i ) (v. j ) (w. k ) (somas m i, m j m k) (4) ou u. ( uvw ) ( ) v. v. v. ( w. u. w. u. w. ) (4 ) (uvw) ( i j k ) (u. i ) (v. j ) (w. k ) (somas m i, m j m k) (5), ^ k v ^ j -j^ v ^ -i A figura ilustra, intuitiva claramnt, qu são scalars opostos as coordnadas d um vtor rlativas a bass vtoriais opostas. ^i -k^ REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00 5

6 ou u. ( uvw ) ( ) v. v. v. ( w. w. w. u. u. ) (5 ). Plas fórmulas (), ( ), ou () ( ), (4), (4 ) ou (5) (5 ), vmos qu a invrsão nos vtors da bas {,, } dixa invariávis os produtos vtorial misto, pois o produto misto xtrno (dos vtors d bas) os dtrminants trocam d sinal simultanamnt (os dtrminants trocam d sinal porqu cada uma d suas linhas troca d sinal). Então, O fato do produto misto dos vtors d bas trocar d sinal na rvrsão não implica qu produtos vtoriais mistos quaisqur dvam ncssariamnt trocar d sinal; ssas ntidads são os vrdadiros vtors scalars, pois indpndm d bass. Para o caso particular d bas ortonormada, os dtrminants ( ) ( ) sriam idênticos, tríamos: ˆi ˆj kˆ ˆi w (ˆˆ ijkˆ ) u. ˆi u. ˆj u. kˆ (ˆˆ ijkˆ ) v. ˆi v. ˆj v. kˆ ˆj kˆ (6) xprssõs m qu s dispnsam inclusiv a indicação do produto misto ( ˆˆ i jk ˆ ) posto qu, s a bas é dirta, ( ˆˆ i jk ˆ ). As fórmulas particulars corrspondnts a (4), (4), podm sr dduzidas imdiatamnt; ssas s confundm com as particulars rlativas a (5) (5 ), sndo: u. ˆi u. ˆj u. kˆ ( wvu ) (ˆˆ ijkˆ ) v. ˆi v. ˆj v.kˆ (ˆˆ ijkˆ ) w. ˆi w. ˆj w. kˆ (7) As msmas considraçõs antriors dvm sr fitas quando o spaço é rfrido a uma bas ortonormada ngativa. Assim, O grand ngano qu vínhamos comtndo durant os últimos 00 anos - dizndo qu os produtos vtorial misto trocam d sinal quando calculados com rprsntaçõs cartsianas dos vtors fators rlativas a bass opostas (d sinais contrários) - stá m considrar as inoportunas bass ortonormadas os corrspondnts produtos nas formas particulars (6) (7), simplsmnt dsconhcndo-s a xistência do fator ( ˆˆ ijkˆ ) qu, quando a bas é ngativa, val Rflxõs É bm provávl qu o dsconhcimnto dos concitos atrás xpostos - bass rcíprocas xprssõs cartsianas d produtos - tnha incitado az [0] a afirmar qu a G "aprsnta incorências intrnas", ou qu "o rro prsnt no sistma d Gibbs...", ou qu a adoção do sistma vtorial d Gibbs "foi uma grand inflicidad para a Física, sobrtudo com o advnto da Mcânica Quântica", outras grossrias mais, xprssas nos trmos insnsatos "a álgbra vtorial d Gibbs nada mais é qu um apanhado d concitos disfarçado sobr o manto d uma notação falaciosa". É prciso, com cautla cortsia, fazr com qu os alunos ntndam qu ssa álgbra pod sr substituída por uma outra - qu parc sr aplicávl m toda a Física [] - concbida por Clifford, contmporâno d Gibbs, por volta d 876. Eu não sabria dizr nss instant qual o prço qu os "clints" pagariam por isso, pois, para tal, sria ncssário, sobrtudo, studar os trabalhos d D. Hstns qu, rcntmnt (há crca d 0 anos), parc tr rsgatado os trabalhos d Clifford mostrado a utilidad d sua álgbra dissrtando sobr tmas sptaculars [4]. Entndo qu os concitos xpostos mostram qu a álgbra d Gibbs aprsnta corência até muita stética, mbora, vntualmnt, nm todos concordm com isso. Na Cristalografia, ond o sistma natural d rfrência é formado com os ixos cristalográficos do cristal, as bass não ortonormadas, ou mlhor, os sistmas rcíprocos d vtors, são usados amiúd, com vantagns, os sntidos dos ixos não têm um sntido pré-fixado. A Engnharia tm dado tstmunho dssa corência, por xmplo, quando calcula, com o produto vtorial, os momntos solicitants d flxão d torção para fito d dimnsionamnto das parts d uma strutura - sja sta d uma dificação, d uma aronav, d uma mbarcação tc. - indpndntmnt d sistmas d coordnadas (todos d msmo sinal). Srá qu xist alguma "incorência" na Gomtria Difrncial usada na prática da Engnharia ond os concitos vtoriais (os produtos vtorial misto, m particular) são usados d forma intnsa? Não intrssa às ngnharias m gral sabr s o produto vtorial d dois vtors é útil ou não na MQ apnas porqu st é um problma da MQ. Entrtanto, não obstant a indiscutívl praticidad do Cálculo torial (C), spcialmnt m Mcânica Clássica (Racional), Hstns sugr bass matmáticas unificadas para o dsnvolvimnto dssa msma Mcânica [5] da MQ! Isso pod tr a sua rlvância para os físicos, mas trá igualmnt para os ngnhiros? Tnho crtza qu os ngnhiros apnas acitarão um cálculo mais simpls qu o d Gibbs. Pod acontcr, vntualmnt, para crtas ncssidads da Física modrna, na Mcânica Quântica m particular, qu a álgbra d Gibbs dix algo a dsjar. S isso é vrídico, spro qu não sja apnas por causa dos argumntos infundados aprsntados por az. Dscobri qu uma rconhcida autoridad, há quas 00 anos passados [6] - o rspitado smpr admirado gômtra F. Klin - dpois d dfinir o "produto xtrno", diz qu ss vtor os vtors fators dvm sr "dispustos dl mismo modo qu los js x, y, z..., pro no db olvidars m ningún caso, qu sta dfinicion dpnd sncialmnt d la disposicion d los js y d la unidad lgida" ; o qu m dsaponta intnsamnt! O comporta- KLEIN, o. c., volum II (Gomtria), Capítulo I, sção I, p REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00

7 mnto dos sucssors, durant todo ss príodo, foi algo impróprio dos matmáticos, pois a busca da vrdad é incompatívl com o spírito d manada. Para os matmáticos a álgbra d Gibbs pod sr, vntualmnt, rstrita dfituosa; pod até tr aparcido alguma outra toria mais bm apanhada para substituí-la. É muito comum o aprovitamnto, para a vida ral, das criaçõs d alguns matmáticos gniais, mbora o filósofo diga qu é profana toda a matmática assim aprovitávl... como, talvz, os trabalhos d Hamilton (Quatérnios) Grassmann (Toria da Extnsão). Dsss dois trabalhos parc qu Gibbs rtirou as idéias fundamntais para constituir o su sistma vtorial [], qu s adaptaria muito bm à Física da sua época (quando a Mcânica Quântica ainda não havia nascido). Entrtanto, l dclarou qu não stava "concious that Grassmann xrtd any particular influnc on my ctor Analysis..." porqu l já vinha há muito tmpo trabalhando no sistma ants d adquirir familiaridad (provavlmnt a partir d ) com os trabalhos d Grassmann (notar qu l não mncionou Hamilton). Parc qu o trabalho d Clifford [] - qu az qur ntndr "mais gral" qu o d Gibbs, mbora não o tnha como um caso particular porqu as suas concpçõs têm outras origns - foi uma adaptação intlignt do trabalho d Grassmann. Não cab mais discutir a naturza vtorial d um produto vtorial, nm tão pouco a naturza scalar do produto misto; isso ficou patnt já por volta d 880. Na concpção do Cálculo Tnsorial (CT - mais jovm qu o C), os vtors são tnsors particulars, os chamados tnsors cartsianos (aqulas ntidads qu s comportam d um modo spcífico com uma transformação linar d variávis). No Cálculo Poliádico (CP) [8], os tnsors cartsianos (diádicos, triádicos...) aparcm d uma forma tão natural quanto a forma com qu o vtor aparc no C (d saída ls já são invariants). Dvo mncionar qu, no CP, ond o diádico unidad é dnotado por I, a opração u sobr um vtor v é quivalnt à opração (sobr ss msmo vtor) d multiplicação pontuada (ou scalar) d um diádico anti-simétrico I u u I (cujo vtor é -u), valndo, pois, a sguint xprssão: u v u I.v. O ngano mncionado dos nossos antpassados - qu apnas agora vim a dscobrir - implica m banir da cntnária álgbra vtorial d Gibbs os concitos d vtor polar vtor axial os quais, d fato, até hoj, na prática do C, nunca s mostraram ncssários. Tudo o qu foi dito comprovado aqui não significa, m absoluto, qu as aspiraçõs d Hstns (d uma nova matmática para a Física) não possam sr alcançadas. Isso não dv significar também, por outro lado, qu s dva impor aos studants d ngnharia, por xmplo, - talvz os maiors clints dos físicos dos matmáticos - o studo d torias mais grais, gralmnt abstratas (como a Álgbra Linar), porqu são blas, simétricas, fchadas para ssa ou aqula opração coisas tais. A história mostra qu sguirmos smpr o caminho "mais barato" para a solução dos nossos problmas. O C, nquanto solucionar os problmas técnicos da boa ngnharia da física da qual a ngnharia ncssita, srá trnamnt utilizado. Não srá a álgbra d Clifford - com sus concitos abstratos sptaculars - qu irá substituir o C porqu, mbora st possa tr mil dfitos d ordm stética, aqula pod star muito alm das ncssidads da Engnharia. É bm possívl qu na firinha da squina não sja ncssário mais qu conhcimntos d númros racionais para fchar ngócios. D qu valria um conhcimnto d númros transcndnts m assuntos daqula naturza? É important qu os físicos matmáticos ntndam isso qu não culpm o vlho físico J.. Gibbs por sua "travssura". Gibbs tv tanto sucsso com a sua álgbra qu, passados mais d 00 anos d sua criação, la ainda prsist matmaticamnt firm, livr d "incorências", simpls, prática sm as abstraçõs xagradas normalmnt rplidas pla Engnharia. Outras concpçõs dst físico gnial - já considrado a cabça mais intlignt grada nos Estados nidos - crtamnt srão ainda, no futuro, mlhor ntndidas plos mortais comuns. Prcisamnt após a mort d Gibbs (90) iniciava-s na Física uma rvolução d idéias concpçõs. El msmo iniciou ssa rvolução com a Mcânica Estatística. A li d Planck da MQ, por xmplo, é d 90 por ssa época o jovm Einstin já s dbatia com as idéias d Planck. Parc qu o CT já stava bm struturado, mbora não foss do domínio dos físicos m gral. A Gomtria d Rimann já stava formulada há crca d 40 ou 50 anos aguardando qu Einstin ( Grossman), juntando-a com o CT, produziss uma Rlatividad Gral m 96 para compltar a sua Rlatividad Espcial d 905. A partir d 90 também s dsnvolvu a MQ, ntrando m cna, Bohr outros ilustrs. Gibbs foi tão grand o su sistma vtorial tão ficint qu pod tr inibido por décadas o pnsamnto dos físicos matmáticos no tocant à procura da frramnta matmática adquada para a MQ. Enquanto tudo isso acontcia, o C, por simpls prático qu ra, firmou-s sptacularmnt ntr os físicos, notadamnt, ntr os ngnhiros. Tonladas d papéis foram crtamnt consumidas m sua divulgação (nos últimos 00 anos) provavlmnt outras tonladas d nurônio foram conomizadas plos cérbros dos sus usuários. Todos os métodos cálculos dntro da prática da boa ngnharia, apoiados no C, rdundaram m ralizaçõs flizs, conômicas claras. m problma rlvant, ntrtanto, massacrava a ainda massacra pnsadors da alta física: a toria unificada dos campos. A MQ a Rlatividad Gral (RG) ainda não s bijam. Matmáticas difrnts para xprssar uma outra sriam, vntualmnt, uma das causas da sparação? Qual a rlação ntr a álgbra d Clifford o CT usado na RG? Parc qu Hstns obtv a rsposta há 40 anos. Entr nós, studos, discussão divulgação dsss assuntos parc starm bm difundidos por um grupo d Matmática Aplicada da nicamp nvolvndo os noms d aldir A. Rodrigus Jr., Jaym az Jr., Stfano D Lo, Q. A. G. d Souza, P. Lounsto outros. 4 CROE, o. c., p. 54. REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00 7

8 O CP, m particular, vm sndo studado dsnvolvido dsd data distant não só por mim (dsd quando u ainda ra aluno d ngnharia), mas também por Morira [0] por Silawa []. O CP tv a sua origm com o próprio Gibbs qu criou o diádico quando da formulação da sua "ctor Analysis". Gibbs foi concitualmnt apdrjado plos quatrnionistas (Tait atirou-lh as pdras mais psadas!) não só plo sistma vtorial m dsnvolvimnto - um "hrmaphrodit monstr" 5, m visívl oposição ao sistma quatrnionista - como pla criação dos diádicos, plos novos opradors (Nwtoniano, Mawuliano, Potncial... ), nomnclaturas, notaçõs tc.. Saibam todos os litors dssa Rvista ducativa qu, na Física clássica na Engnharia, a utilidad do CP é bm maior qu a aprsntada plo CT. Entrtanto, na Rlatividad Espcial, ou na Gral, o CP não tm utilidad; nstas saras, das altas vlocidads dos campos gravitacionais intnsos, não s vrifica a gomtria uclidiana. Em rsumo: Tal como não dvmos rsponsabilizar a statura intlctual d Aristótls plo atraso d quas dois mil anos no dsnvolvimnto das ciências xatas (apnas rtomado no início do rnascimnto), não dvmos também culpar Gibbs plo atraso na matmática da MQ. Estaturas intlctuais são substituívis, como o dmonstrou Galilo..., qum sab, mais modstamnt,... Clifford Hstns. O mínimo qu dvmos fazr é ovacionar sss noms..., com um cântico ntoado pla alma. 6. Rfrências Bibliográficas 0. CLIFFORD,. K. Amr. J. Math., p , CROE, M. J. A History of ctor Analysis (Th Evolution of th Ida of a ctorial Systm), Dovr Publications, HESTENES, D. Am. J. Phys. 70, (00). 04. HESTENES, D. Acta Applicanda Mathmatica,, p. 5-6 (99); Acta Applicanda Mathmatica,, p. 65-9, HESTENES, D. Nw Foundations for Classical Mchanics, Kluwr, Dordrcht/ Boston, ª dição, KLEIN, F. Matmatica Elmntal dsd um punto d vista suprior, Bibliotca Matmática, Nuvas Gráficas, Madrid, sm data; o prólogo é d MOREIRA, L. C. d A. REM - Rvista Escola d Minas, XX, n., RGGERI, E. R. F. Fundamntals of Polyadic Calculus, m prparação. 09. SIELAA, J. T. Métodos Matmáticos da Mcânica do Contínuo, Instituto Tcnológico d Aronáutica, São José dos Campos, AZ Jr., J. r. Bras. Ens. Fis., 9, n., ILSON, E. B. ctor Analysis (Foundd upon th lcturs of J.. Gibbs), Yal Bicntnial Publications, Yal nivrsity Prss, 90. Artigo rcbido m 7/05/00 aprovado m 5/09/00. 5 CROE, o. c., Chaptr SIX, p REM: R. Esc. Minas, Ouro Prto, 56(): -8, jul. st. 00