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1 20 TARDE MARÇO / 2010 ESTATÍSTICO(A) TÍSTICO(A) JÚNIOR CONHECIMENTOS OS ESPECÍFICOS LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO Você recebeu do fiscal o seguinte material: a) este caderno, com os enunciados das 70 questões objetivas, sem repetição ou falha, com a seguinte distribuição: CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questões 1 a a 20 Pontos 0,5 1,0 Questões 21 a a 40 Pontos 1,5 2,0 Questões 41 a a 60 Pontos 2,5 3,0 Questões 61 a 70 - Pontos 3,5 - b) 1 CARTÃO-RESPOSTA destinado às respostas às questões objetivas formuladas nas provas Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de inscrição conferem com os que aparecem no CARTÃO- RESPOSTA. Caso contrário, notifique IMEDIATAMENTE o fiscal Após a conferência, o candidato deverá assinar no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e preenchendo todo o espaço compreendido pelos círculos, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta, de forma contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras; portanto, preencha os campos de marcação completamente, sem deixar claros. Exemplo: A C D E 05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR. O CARTÃO-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído caso esteja danificado em suas margens superior ou inferior - BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E); só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em mais de uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA As questões objetivas são identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que: a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores, headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie; b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA; c) se recusar a entregar o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA quando terminar o tempo estabelecido Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas no Caderno de Questões NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES E O CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE PRESENÇA. Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das mesmas. Por motivos de segurança, o candidato NÃO PODERÁ LEVAR O CADERNO DE QUESTÕES, a qualquer momento O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS, findo o qual o candidato deverá, obrigatoriamente, entregar o CARTÃO-RESPOSTA As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das mesmas, no endereço eletrônico da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (http://www.cesgranrio.org.br).

2 RASCUNHO 2

3 3

4 4

5 5

6 1 CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS A área entre o eixo X e o gráfico da função y x 1 3 desde x = 0 até x = 9 é igual a (A) 14 (B) 14/3 (C) 7/3 (D) 2 (E) 14/9 2 Na sequência 15, 28, 43, 56, 71, 84,..., o próximo número é (A) 89 (B) 90 (C) 91 (D) 99 (E) Seja X uma variável aleatória discreta com função geradora de momentos dada por M X t t t 2exp exp, 4 sendo t um número real. O valor esperado e a variância de X, respectivamente, são (A) 0 e 1/4 (B) 0 e 1/2 (C) 1/2 e 1/2 (D) 1/2 e 0 (E) 1/4 e 1/2 4 Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de tamanho 100 de uma população uniforme k; k. Utilizando-se a desigualdade de Chebyshev para determinar, em função de k, o limite superior de PrX 0,1 (A) k 2 (B) k (C) k 2 /3 (D) 1/k (E) 300/k 2, encontra-se 5 Recente pesquisa foi realizada para avaliar a presença ou a ausência de saneamento básico nos municípios brasileiros. O desenho amostral foi realizado de forma independente em cada uma das 27 Unidades da Federação. Os resultados da pesquisa foram divulgados com os respectivos intervalos de 95% de confiança para cada proporção de sim. A probabilidade de a verdadeira proporção populacional NÃO estar incluída no intervalo de confiança divulgado para mais de uma Unidade da Federação é (A) (0,05) 25 (0,95) 2 (B) (0,05) 25 + (0,05) 26 (0,95) (C) 1 (0,05) (0,95) 25 (0,95) (D) 1 (0,05) 27 27(0,05) 26 (0,95) (E) 1 (0,95) 27 27(0,95) 26 (0,05) Considere as informações a seguir para responder às questões de n os 6 e 7. Em uma grande empresa, 70% dos funcionários são do sexo masculino, e a distribuição das idades, de ambos os sexos, é normal com desvio padrão de 4 anos. Para o sexo masculino, a média é de 36 anos e, para o sexo feminino, a média é menor, 33 anos. 6 Selecionou-se aleatoriamente uma ficha com dados cadastrais de um funcionário. Essa ficha não estava completamente preenchida, mas pôde-se observar que a idade do funcionário era superior a 40 anos. A probabilidade de ter sido selecionado um funcionário do sexo masculino é, aproximadamente, (A) 0,16 (B) 0,45 (C) 0,67 (D) 0,80 (E) 0,90 7 Selecionaram-se duas amostras independentes de tamanho 32 da população dos funcionários do sexo masculino e do sexo feminino. A probabilidade de que a média amostral do sexo masculino seja maior do que a do sexo feminino é (A) 0,9987 (B) 0,8413 (C) 0,7734 (D) 0,1587 (E) 0, Seja (X 1,X 2,...,X n ) uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída, de tamanho n, extraída de uma população, cuja característica estudada, X, possui distribuição de probabilidade F X (x,), sendo x F x, 1 e, x > 0, > 0. X Uma amostra aleatória de tamanho n = 5 foi selecionada, e os valores obtidos foram (8, 9, 11, 5, 6). As estimativas para o parâmetro, utilizando o método da máxima verossimilhança e o método dos momentos, respectivamente, são (A) 39/5 e 39/5 (B) 39/5 e 39 (C) 39 e 39 (D) 11 e 5 (E) 11 e 39/5 6

7 9 Um experimento foi conduzido para testar H : 0 A B contra a alternativa H : 1 A B, sendo A e B as médias de duas populações infinitas, independentes e normalmente distribuídas, isto é, X A tem distribuição 2 A, A X B tem distribuição 2 B, B N e N, COV X, X 0. Amostras de tamanho n A = n B = 5 são extraídas das respectivas A B 2 X. Xi populações e as médias X. i. X. 2 i e variâncias S., calculadas para permitir a realização do teste. n. n. 1 Considerando que as variâncias das populações sejam desconhecidas e iguais, a estatística do teste e sua distribuição de amostragem, respectivamente, são (A) X X A B A B S p 1 1 n n A B, com distribuição N (0,1) n n 2 2 n 1 S n 1 S S p A B 2 2 A A B B (B) X X A B A B S n 2 2 A SB A n B, com distribuição N (0,1) (C) X X A B A B S p 1 1 n n A B tnanb, com distribuição 2 n n 2 2 n 1 S n 1 S S p A B 2 2 A A B B (D) X X A B A B S n 2 2 A SB A n B, com distribuição (E) X X A B A B S n 2 2 A SB A n B, com distribuição T 2 de Hotelling, com 1 e n n 2 A graus de liberdade B 7

8 10 De acordo com o Modelo de Medidas, o escore obtido por um aluno em um teste, X, pode ser desmembrado em duas parcelas indepedentes e não diretamente observadas: a verdadeira proficiência que o teste se propõe a mensurar, ou Escore Verdadeiro,, e o Erro de Medida,, ou seja, X. Um teste é consistente quando reproduz os escores dos alunos em sucessivas aplicações. A medida da consistência de um teste é conhecida como confiabilidade, expressa pelo percentual da variância dos escores observados, explicado pela variância dos escores verdadeiros. Confiabilidade é uma característica importante para a qualidade de um instrumento de medida. A respeito de métodos de cálculo de confiabilidade de um teste, considere as afirmativas abaixo. I - Uma possível forma de se calcular a confiabilidade do teste é por meio de XX 2 2 X 1, onde XX representa a II III 2 confiabilidade do teste, a variância dos erros de medida e a variância dos escores observados dos alunos. - Se dividirmos o teste em dois subtestes, um com os itens pares, e o outro com os itens ímpares, e calcularmos a 2 X correlação entre os escores obtidos pelos alunos nos dois subtestes, calculada por meio de XX pi, então a confiabilidade do teste pode ser 2 pi, onde pi é a correlação entre os escores nos dois subtestes, e XX a 1 pi confiabilidade do teste. - Se a mesma população de alunos for submetida a um outro teste, Y, equivalente ao anterior, X, então a confiabilidade do teste X pode ser obtida pela correlação entre os escores nos dois testes. É correto o que se afirma em (A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) III, apenas. (D) I e II, apenas. (E) I, II e III. 11 Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Uniforme (0, ). Deseja-se testar H H : 0 0 : 1 0 Para isto, construiu-se a seguinte regra de decisão: Não rejeite H 0 se X n 0, n 0, sendo X (n) amostra. o máximo da Se n 0, determine a probabilidade do erro do tipo I que é definido como a probabilidade de rejeitar 0 H 0 sendo H 0 verdadeira. n (A) 11 1 (C) n (E) 1 1 (B) 1 (D) 1 n 8

9 12 Experimentos com mensurações repetidas são desenhos nos quais as mesmas unidades amostrais são avaliadas mais de uma vez nos mesmos fatores. A principal vantagem desse desenho sobre os experimentos fatoriais é (A) propiciar maior poder do teste. (B) garantir maior validade interna. (C) minimizar a probabilidade de se rejeitar H o, quando verdadeira. (D) permitir o controle dos erros devidos à omissão de fatores com maior precisão. (E) controlar melhor os erros de respostas devidos à fadiga das unidades amostrais. 13 Um experimento balanceado e completo do tipo 3x4x5 foi delineado para avaliar os possíveis efeitos (principais e interações) fixos dos fatores A, B e C sobre uma variável numérica Y. Uma amostra de 240 unidades foi selecionada e alocada randomicamente a cada combinação dos tratamentos. O modelo de análise foi definido como Y ijkl i j k ij ik jk ijk ijkl Para a realização dos testes dos efeitos, o número de graus de liberdade dos resíduos será (A) 60 (B) 72 (C) 180 (D) 239 (E) Um exame é composto por dois testes: proficiência verbal (V) e proficiência numérica (N). A confiabilidade do teste V é de 0,90 com base em uma amostra de 110 candidatos recém-formados por uma escola de nível médio, enquanto a confiabilidade do teste N é de 0,85 com base na mesma amostra. A correlação entre os escores dos dois testes é de 0,70. Os escores dos candidatos são expressos em uma escala comum para os dois testes, cuja média é de 50 pontos e o desvio padrão 10 pontos. Nesse contexto, afirma-se que (A) a confiabilidade da diferença dos escores (V-N) dos candidatos nesses testes é alta, isto é, superior a 0,80. (B) a confiabilidade da diferença dos escores (V-N) dos candidatos nesses testes é baixa, isto é, inferior a 0,40. (C) um candidato que tenha obtido 74 pontos em V e 65, em N, tem a diferença dos escores devida ao acaso, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério. (D) um candidato que tenha obtido 50 pontos em V e 37, em N, tem a diferença dos escores devida ao acaso, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério. (E) se um candidato obteve 67 pontos em V e 75, em N, sua proficiência numérica é maior do que a verbal, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério. 15 Escalas multidimensionais são, muitas vezes, fundamentadas em métricas com origem e/ou unidade arbitrárias. Coombs (1967) concebeu uma escala de atitudes sem unidade de medidas que denominou métrica ordenada, com estímulos e indivíduos representados conjuntamente no mesmo contínuo. Seja Qj o posicionamento do estímulo j e C i o posicionamento do indivíduo i nesse contínuo. Uma situação ideal é aquela em que, em um contínuo de atitude, por exemplo, o valor C i de um indivíduo coincide com o valor Q j que representa a escolha do indivíduo no contínuo. Se um indivíduo tiver que escolher entre dois estímulos, j ou k, de acordo com essa métrica, ele fará a escolha j > k (lê-se j preferível a k) se (A) Qj Ci Qk Ci (B) Qj Ci Qk Ci (C) Qj Ci Qk Ci (D) Qj Ci Qk Ci (E) Qj Ci Qk Ci 16 Considere a seguinte sequência de comandos escritos em linguagem R: > x <- c(0, 1, 2) > y <- c(-1, 0, 1) > v <- t(x)%*%y O valor da variável v, após a execução desta sequência de comandos, é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 17 O pseudocódigo abaixo representa o algoritmo da função F, que recebe um vetor v como entrada. Esta função usa a função tamanho(v), que retorna o número de elementos do vetor v. Função F(v) n <- tamanho(v) y <- v(1) para k de 2 até n se v(k) > y y <- v(k) fim se fim para retorna y Esta função calcula a(o) (A) média dos valores contidos em v. (B) soma dos valores contidos em v. (C) mediana dos valores contidos em v. (D) variância dos valores contidos em v. (E) maior valor contido em v. 9

10 18 Considere a planilha representada na figura abaixo. Nessa planilha são feitas alterações, na ordem a seguir. Na célula D1, é inserida a fórmula =$A$1+B1. A célula D1 é selecionada, e é usado o comando copiar (CTRL+C). A célula D2 é selecionada, e é usado o comando colar (CTRL+V). O valor da célula D2, ao final dessas alterações, é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 19 A figura abaixo mostra o resumo de uma regressão realizada no Excel por meio do suplemento Análise de Dados Regressão. ` Deseja-se calcular na célula F3 o valor predito pelo modelo linear, quando a variável explicativa X1 é igual a 10. A fórmula que deve ser escrita na célula F3, para fazer o cálculo desejado, é (A) =B18*E3+B17 (B) =D17*10+E17 (C) =10*88,58 (D) =D18*10+D13 (E) =E3*6+7 10

11 20 Dentre as variáveis numéricas apresentadas a seguir, qual NÃO está mensurada em uma escala de razão? (A) Altura, em centímetros. (B) Peso, em gramas. (C) Gasolina, em litros. (D) Salário, em reais. (E) Temperatura, em graus Celsius. 21 A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências associada à duração de chamadas telefônicas, em minutos, em uma determinada região. Frequência Total A mediana e o terceiro quartil, calculados com base na tabela acima, são, respectivamente, (A) 10,5 e 12,95 (B) 10,5 e 13,5 (C) 11 e 13,5 (D) 11 e 14,45 (E) 15 e 22,5 22 Uma pesquisa tem por objetivo avaliar a qualidade do combustível vendido em determinado município, utilizando, para isto, uma amostra de tanques de combustível, seguindo os seguintes passos: 1 - a partir de uma listagem (cadastro) de todos os postos revendedores do município, selecionam-se de forma aleatória 50 postos; 2 - avaliam-se todos os tanques de combustível de cada um dos 50 postos selecionados no passo 1. A amostragem descrita acima é (A) aleatória simples. (B) estratificada. (C) sistemática. (D) por cotas. (E) de conglomerados. Duração (em minutos) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos funcionários promovidos e não promovidos de uma empresa, discriminados pela fluência no idioma inglês. Fluência em Inglês Sim Não total Promovidos Não promovidos Total O valor mais próximo da estatística 2 de Pearson, calculada com base na tabela acima, é (A) 0,5 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5 24 O preço médio do barril de petróleo em 2009 era 40% superior ao de 2008, 30% inferior ao de 2007 e 25% superior ao de Considerando 2008 como ano base, os preços relativos do barril de petróleo em 2007 e 2010, respectivamente, são (A) 170 e 105 (B) 182 e 105 (C) 182 e 175 (D) 200 e 105 (E) 200 e Uma unidade fracionadora de líquido de gás natural que hoje está funcionando perfeitamente pode, amanhã, apresentar uma pequena avaria (que a permita continuar operando), com probabilidade 0,3, ou quebrar completamente, sem possibilidade de conserto, com probabilidade 0,2. Por outro lado, se a unidade apresenta hoje uma pequena avaria, a probabilidade de que amanhã ela esteja totalmente quebrada é 0,7. Suponha que o processo estocástico que descreve o estado da unidade (perfeita, levemente avariada ou completamente quebrada) seja uma cadeia de Markov homogênea. Se a unidade está perfeita em determinado dia, a probabilidade de que ela esteja completamente quebrada dois dias depois é (A) 0,10 (B) 0,21 (C) 0,24 (D) 0,31 (E) 0,51 11

12 26 Em uma localidade, existem apenas 2 postos de gasolina X e Y. Consumidores que já abasteceram em um dos postos podem, na próxima vez, optar por dois caminhos: ou tornam a abastecer naquele posto ou mudam para o posto concorrente. Suponha que as probabilidades associadas a este processo de escolha sejam descritas por uma cadeia de Markov, com a seguinte matriz de transição: X Y X 0,8 0,1 Y 0,2 0,9 Após um número suficientemente grande de transições de estado, esta cadeia convergirá, ou seja, os percentuais de consumidores que preferem cada posto passarão a ser constantes. A preferência pelos postos X e Y após a convergência serão, em termos percentuais, respectivamente (A) 33,33 e 66,67 (B) 45 e 55 (C) 50 e 50 (D) 55 e 45 (E) 66,67 e 33,33 27 Uma empresa realiza uma busca por petróleo em determinada região. Uma perfuração é bem-sucedida, ou seja, leva a um poço de petróleo com probabilidade 0,2. Neste caso, a empresa analisa se o poço encontrado é ou não economicamente viável. A probabilidade de que um poço encontrado seja economicamente viável é 0,5. Se uma perfuração é bem-sucedida e viável, a empresa explora aquele poço e encerra sua atividade naquela região. Por outro lado, se uma perfuração não é bem-sucedida, ou se é bem-sucedida mas inviável, a empresa tenta uma outra perfuração, até encontrar um poço economicamente viável. Isto define uma cadeia de Markov com espaço de estados: {1 - perfuração, 2 - poço encontrado, 3 - poço viável}. O número esperado de perfurações necessárias até encontrar um poço economicamente viável é (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 10 (E) Considere uma cadeia de Markov com espaço de estados {0, 1, 2, 3} e a matriz de transição abaixo. P = 0 1/2 1/4 1/3 1/2 1/3 1/4 0 1/2 0 1/4 1/3 0 1/6 1/4 1/3 A respeito desta cadeia, analise as afirmativas a seguir. I II III IV - Um dos estados é absorvente e os demais são transientes. - Todos os estados são positivo recorrentes e aperiódicos. - A cadeia é irredutível e sua distribuição limite existe. - Partindo do estado 1, a probabilidade de chegar ao estado 2 em um número finito de transições é igual a zero. São corretas APENAS as afirmativas (A) I e II. (B) I e III. (C) II e III. (D) II e IV. (E) III e IV. 29 A respeito de eventos recorrentes e processos de nascimento e morte, considere as afirmativas a seguir. I II III IV - Um evento recorrente é classificado como persistente se a probabilidade dele ocorrer mais do que k vezes é igual a zero, para algum k > 0. - Um evento recorrente é classificado como transiente se a probabilidade dele ocorrer mais do que k vezes é igual a um, para algum k > 0. - O modelo de passeio aleatório é estacionário na variância, mas não na média. - Em um processo de Poisson com parâmetro, a distribuição de probabilidade do tempo T entre 2 ocorrências é exponencial, com valor esperado E(T) = 1/. Está correto APENAS o que se afirma em (A) III. (B) IV. (C) I e II. (D) II e III. (E) III e IV. 12

13 30 O número de poços de petróleo encontrados em determinado bloco exploratório segue um processo de Poisson com taxa = 0,01 poço/dia. A probabilidade de que demore mais de 30 dias para se achar o primeiro poço é (A) 1 e 0,3 (B) 1 e 3 (C) 1 (E) e 0,3 1 3 e (D) e 3 31 Considere os esquemas de seleção descritos a seguir. I II III IV V - Seleção de um número aleatório (ponto de partida), tomando para a amostra cada k-ésima unidade a partir daquele ponto, sendo k o intervalo de seleção. - Seleção de n unidades de um cadastro, de tal forma que todas as amostras de tamanho n possíveis apresentem a mesma probabilidade de seleção. - Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra de subgrupos e da posterior seleção de uma amostra de unidades dentro de cada um dos subgrupos selecionados. - Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra de subgrupos e da posterior observação da característica de interesse para todas as unidades dentro de cada subgrupo selecionado. - Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra independente de unidades dentro de cada subgrupo, considerando todos os subgrupos que compõem a população, e não uma amostra deles. Associe os esquemas de seleção aos respectivos planos amostrais abaixo. P - amostragem aleatória simples Q - amostragem sistemática R - amostragem estratificada S - amostragem de conglomerados. A associação correta é (A) I - P, II - Q, III - R, IV - R, V - S (B) I - P, II - Q, III - S, IV - S, V - R (C) I - Q, II - P, III - R, IV - R, V - S (D) I - Q, II - P, III - S, IV - S, V - R (E) I - Q, II - P, III - S, IV - R, V - S Considere a situação a seguir para responder às questões de n os 32 e 33. Seleção de postos de gasolina, em território nacional, com o objetivo de estimar o total de combustível vendido no país. 32 Suponha que a variância populacional da variável que representa a quantidade de combustível vendida em cada posto seja igual a 10, e que a margem de erro desejada seja, ao nível de confiança 95%, igual a 0,2. Considerando que o plano amostral adotado seja amostragem aleatória simples sem reposição e que o tamanho da população seja muito maior do que o da amostra a ser obtida, o tamanho da amostra necessária será, aproximadamente, (A) 100 (B) 160 (C) 400 (D) (E) Suponha que se tenha a informação de que a quantidade de combustível vendida pelos postos em uma região apresente valores bastante homogêneos dentro de cada região (Sul, Nordeste, etc.), e bastante diferentes, em média, entre as regiões. Nesse caso, uma alternativa mais eficiente do que amostragem aleatória simples sem reposição será (A) amostragem estratificada. (B) amostragem de conglomerados em um estágio. (C) amostragem de conglomerados em dois estágios. (D) amostragem aleatória simples com reposição. (E) dupla amostragem. 34 Considere um modelo de regressão linear simples, com intercepto, em que a variável dependente y seja a demanda por petróleo em um país, e a variável explicativa x seja o nível de industrialização do país. Este modelo foi ajustado a uma amostra de 122 países, fornecendo as seguintes estimativas de 0 (intercepto) e 1 (coeficiente de x), com os respectivos erros padrão estimados: 0 = 90 (erro padrão estimado = 40) 1 = 66 (erro padrão estimado = 30) A partir desses resultados, conclui-se que a regressão (A) não é significante aos 3 níveis usuais: = 0,01, = 0,05, = 0,1 (B) é significante aos 3 níveis usuais: = 0,01, = 0,05, = 0,1 (C) é significante aos níveis = 0,05 e 0,1, mas não ao nível = 0,01 (D) é significante ao nível = 0,1, mas não aos níveis = 0,01 e = 0,05 (E) é significante aos níveis = 0,01 e 0,05, mas não ao nível = 0,1 13

14 35 Um modelo de regressão linear com intercepto e 2 variáveis explicativas foi ajustado a uma amostra de tamanho 43, fornecendo coeficiente de determinação R 2 = 0,8. O valor da estatística F que permite testar a significância deste modelo é (A) 40 (B) 80 (C) 86 (D) 160 (E) Um modelo linear generalizado deve ser adotado para estudar a relação entre o tempo Y (em dias) até a ocorrência de um defeito em uma unidade de refino de petróleo e o investimento x (em reais) feito em supervisão da unidade. Se = E(Y x), qual a função de ligação adequada? (A) ln( ) (B) e (C) e (D) 1 (E) ln 1 37 Um modelo de regressão logística foi utilizado para investigar a probabilidade de encontrar petróleo em um bloco exploratório (área), utilizando duas variáveis explicativas: quantidade de matéria orgânica (em %) no entorno da região de perfuração e tipo de solo (variável que assume valor 0 para tipo B e valor 1 para tipo A). Esse modelo foi ajustado a uma amostra de blocos, sendo as estimativas (todas estatisticamente significantes ao nível considerado) apresentadas na tabela abaixo. Variável Coeficiente Estimado i exp ( ) i intercepto - 2,15 0,12 % de matéria orgânica 0,35 1,42 tipo de solo 1,09 2,97 A partir dos resultados apresentados, analise as conclusões a seguir. I II III IV V - Fixado o tipo de solo, uma unidade percentual de matéria orgânica a mais implica 35% de probabilidade de achar petróleo. - Para cada unidade percentual de matéria orgânica a mais, a chance de encontrar petróleo é 42% maior, fixado o tipo de solo. - Cada unidade percentual de matéria orgânica a mais implica uma probabilidade menor de achar petróleo, fixado o tipo de solo. - Blocos com solo tipo A apresentam probabilidade 9% maior de conter petróleo, fixado o percentual de matéria orgânica. - Em blocos com solo tipo A, a chance de encontrar petróleo é quase 3 vezes maior em relação a blocos com solo tipo B, fixado o percentual de matéria orgânica. São corretas APENAS as conclusões (A) I e IV. (B) II e IV. (C) II e V. (D) III e IV. (E) III e V. 38 Considere um experimento de 2 fatores em que o fator A tem 2 níveis e o fator B tem 3 níveis. A tabela a seguir apresenta dois modelos ajustados - saturado (com efeito de interação) e aditivo - com os respectivos valores de função desvio/ deviance obtidos. Modelo Modelo 1 (saturado): E(y jk) = ( Modelo 2 (aditivo): E(y jk) = + j + j j j jk Grau de Liberdade 6 8 Função Desvio/deviance 0,9 1,5 O valor da estatística F adequada para testar a hipótese de haver efeito de interação entre os fatores A e B é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6 14

15 39 O número de itens defeituosos em uma linha de produção foi registrado ao longo de 4 semanas, resultando na série temporal: y 1 = 24, y 2 = 8, y 3 = 12 e y 4 = 16 (16 é a observação mais recente, referente à última semana). Considere para previsão 1 (um) passo à frente desta série o método da suavização exponencial, parametrizado como segue: yˆt 1y t(1 )y ˆt, com constante de suavização igual a 0,75 e (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18 ŷ1 y 1. A previsão do número de itens defeituosos na semana seguinte é 40 A respeito dos modelos ARIMA de Box & Jenkins, considere as afirmativas a seguir. I - No modelo AR(1): y t = y t-1 + t, t ~ NID(0, 2 ), estacionário, a função de autocovariância é: k 2 2 1, k = 0, 1, 2,... II - No modelo MA(2): y t = t - 1 t-1-2 t-2, t ~ NID(0, 2 ), inversível, o valor da função de autocorrelação no lag/defasagem 1 é: = 1( 2 1) III - O modelo AR(2): y t = 1 y t y t-2 + t, t ~ NID(0, 2 ) é estacionário somente se 1 <1 e 2 <1, e é inversível para quaisquer valores de 1 e 2. IV - O modelo MA(1): y t = t - t-1, t ~ NID(0, 2 ) é inversível somente se <1, e estacionário para qualquer valor de. V - A função de autocorrelação parcial (FACP) de um modelo MA(q) é truncada no lag q, enquanto a FACP de um modelo AR(p) é exponencialmente decrescente ou senoidal, dependendo dos sinais dos coeficientes. São corretas APENAS as afirmativas (A) I, II e IV. (B) I, III e IV. (C) I, III e V. (D) II, III e V. (E) II, IV e V. 41 Uma empresa estimou e utiliza o seguinte modelo ARIMA(1,1) para fazer previsões do seu nível de estoque no mês seguinte: y t = 0,8y t-1 + t 0,5 t-1, t ~ NID(=0, σ 2 = 0,4) De acordo com este modelo, a estimativa da variância do nível de estoque desta empresa é (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 5/647 (E) 7/8 15

16 42 Considere que seja estimado um modelo de regressão linear entre duas séries temporais econômicas: inflação e taxa de juros. Sabe-se que estas séries são não estacionárias de ordem um e cointegradas. A respeito desta situação, considere as afirmativas a seguir. I II III - O teste t de Student é aplicável, na forma usual. - Há risco de os resultados obtidos serem espúrios. - Os resíduos desta regressão serão estacionários. É correto o que se afirma em (A) II, apenas. (B) I e II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. 43 Considere o seguinte sistema de equações simultâneas: Q P t + 2 X t + u 1t (demanda) t Q P t + u 2t (oferta) t X t é uma variável exógena u 1t e u 2t são termos aleatórios, com médias zero e homocedásticos. As equações, na forma reduzida, são apresentadas a seguir. Pt 0 1Xt t e Q X. t 2 3 t t Os termos 1 e 2 e t nas equações acima são: (A) (B) (C) (D) (E) u2t 1u1t 1, 2, t u2t 1u1t 1, 2, t u 2t u1t 1, 2, t u 2t u1t 1, 2, t t u 11t u 1, 2, t Considere o modelo de regressão linear a seguir. y 0 1x12x2 3x3 4x 4, ~NID(0, 2 ). Este modelo foi ajustado a uma amostra de 145 observações, sob as seguintes restrições: As somas dos quadrados dos erros com e sem as restrições são as seguintes: soma dos quadrados dos erros com as restrições = 100; soma dos quadrados dos erros sem restrições = 70. O valor da estatística F adequada para testar a validade das restrições é (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) Para estimar de forma eficiente modelos de regressão linear na presença de autocorrelação serial, um método adequado é o de (A) mínimos quadrados ordinários. (B) mínimos quadrados em dois estágios. (C) mínimos quadrados generalizados. (D) mínimos quadrados indiretos. (E) variáveis instrumentais. 46 Considere o modelo GARCH(2,1) para a volatilidade de uma série temporal {y t, t = 1,2,...,T}. A equação da variância condicional deste modelo é: t 0 1 t1 2 t2 1 t1 y y. O modelo acima foi ajustado à série de retornos financeiros das ações de uma empresa, gerando as seguintes estimativas dos coeficientes: ˆ0 0,5, ˆ1 0,3, ˆ2 0,2, ˆ 1 0,1. Qual a estimativa da variância incondicional desta série? (A) 2 (B) 1,25 (C) 1,1 (D) 1 (E) 0,83 16

17 47 Um máquina produz pacotes de café cujos pesos, em gramas, seguem, por hipótese, distribuição normal com média 500 e desvio padrão 9. Considerando um tamanho de amostra n = 9, os limites de controle para o gráfico de X que conduzem a um risco = 0,0198 (0,0099 para baixo e 0,0099 para cima) de indicar que o processo está fora de controle, quando ele, na verdade, não está, são: (A) 493,01 e 506,99 (B) 495,14 e 504,86 (C) 496,32 e 503,68 (D) 497,25 e 502,75 (E) 498,63 e 501,37 48 Um gráfico de controle de X, com amostras de tamanho n = 25, possui limites 3-sigma: 34,4 e 41,6. Suponha que a variável X siga distribuição normal. Se a média do processo se alterar para 39,82, qual o poder de detecção deste gráfico, caso seja adotado um tamanho de amostra n = 36? (A) 11,9% (B) 27,4% (C) 42,1% (D) 61,8% (E) 85,6% 49 Uma empresa decide fugir um pouco aos padrões 2-sigma e 3-sigma e adota um gráfico de X com limites de 2,5-sigma (dois e meio desvios padrão) para controlar o seu processo de produção. Supondo que a variável de interesse X siga distribuição normal, que as amostras sucessivas sejam independentes e que o processo permaneça sob controle, o número médio aproximado de amostras a serem analisadas até que ocorra o primeiro alarme falso (sinalização de ausência de controle quando, na verdade, o processo continua sob controle) é (A) 25 (B) 38 (C) 43 (D) 81 (E) Um gráfico de controle para fração de não conformes possui linha central de 0,5. Qual o tamanho de amostra necessário para que sejam obtidos limites de controle de 2-sigma iguais a 0,45 e 0,55? (A) 100 (B) 200 (C) 400 (D) 800 (E) A qualidade de um processo de produção é avaliada por meio de um procedimento de amostragem por aceitação, definido pelos seguintes passos: para cada lote, seleciona-se uma amostra de 5 itens produzidos e se observa o número de defeituosos; se a amostra não tem nenhum item defeituoso, aceita-se o lote. Se a amostra tem 2 ou mais itens defeituosos, rejeita-se o lote. Se a amostra tem 1 defeituoso, aceitase o lote desde que não tenha havido itens defeituosos nos 3 lotes inspecionados anteriormente. O procedimento acima é um exemplo de inspeção por amostragem (A) geométrica. (B) sistemática. (C) contínua. (D) estratificada. (E) em cadeia. 52 Uma máquina produz peças cujos comprimentos (em mm) são, por hipótese, normalmente distribuídos. Gráficos de X e S são usados para monitorar o processo cuja média e cujo desvio padrão são estimados em, respectivamente, 37,5 mm e 1 mm. De acordo com as especificações, o comprimento da peça deve estar entre 33 mm e 39 mm. As capacidades potencial e real desse processo, respectivamente, são: (A) 0,5 e 1 (B) 1 e 0,5 (C) 1 e 1,5 (D) 1,5 e 0,5 (E) 1,5 e 1 17

18 53 O diretor de operação de uma Companhia está interessado em investigar a relação entre o número de falhas operacionais ocorridas nas unidades sob sua responsabilidade e os respectivos tempos médios de experiência dos seus operadores. A tabela abaixo apresenta o resultado de um levantamento, realizado no último mês, contendo o número de falhas operacionais e o respectivo tempo médio de experiência, em meses, dos operadores nas sete unidades operacionais da Companhia. Unidades operacionais Número de falhas operacionais e tempo médio de experiência dos operadores em sete unidades operacionais da Companhia. Número de falhas operacionais ocorridas Com base nos dados da tabela, qual o valor do coeficiente de correlação de Spearman entre as variáveis estudadas? (A) 0,82 (B) 0,76 (C) 0 (D) -0,76 (E) -0,82 Com base nos dados da tabela, aplicou-se o teste não paramétrico do Sinal para testar as seguintes hipóteses: H 0 : O programa não contribuiu para a redução do peso dos funcionários; H 1 : O programa contribuiu para a redução do peso dos funcionários. Tempo médio de experiência dos operadores (em meses) 17,5 5,1 26,5 25,0 12,3 3,2 48,1 54 A área responsável pelas ações voltadas à saúde do trabalhador de uma grande Companhia promoveu, no último ano, um programa de reeducação alimentar para os seus funcionários. A tabela abaixo apresenta uma amostra contendo as medições dos pesos, em kg, de 10 funcionários antes e depois de participarem do referido programa. Peso anterior (kg) Peso posterior (kg) O p-valor associado ao teste é dado por (A) 6 10 (B) 1 0,5 i0 10 0,5 i i 6 10 i0 (C) 1 0,5 10 (D) 1 0, ,5 6 (E) 10 18

19 Considere a descrição abaixo para responder às questões de n os 55 e 56. Uma empresa fabrica 3 produtos A, B e C que lhe proporcionam lucros de R$ 7,00, R$ 7,00 e R$ 12,00 por quilograma. Para produzi-los, utiliza dois tipos de matéria-prima M e N, cujas disponibilidades são 50 e 82 litros. A empresa, desejando maximizar seu lucro e respeitando sua disponibilidade de matéria-prima, elabora um modelo de programação linear para determinar o número de unidades de cada produto a ser fabricado. A solução do modelo, resolvido como um problema de minimização, é apresentada abaixo, onde x 1 e x 2 são as folgas das restrições relativas a M e N, respectivamente. max 7x 7x 12x A B C 3xA1xB 3xC 50 recurso M s.. a 2xA2xB 3xC 82 recurso N xa, xb, xc 0 x x B C x x x x x A B C Considerando que as variáveis duais sejam representadas por x M e x N, o problema dual é representado da seguinte forma: (A) min 50x 82x M N 3xM 2xN 7 sa.. 1xM 2xN 7 3x M 3xN 12 xm, xn 0 (B) min 50x 82x M N 3xM 2xN 7 sa.. 1xM 2xN 7 3x M 3xN 12 xm, xn 0 (C) min 50x 82x M N 3xM 2xN 7 sa.. 1xM 2xN 7 3x M 3xN 12 xm, xn 0 (D) max 50x 82x M N 3xM 2xN 7 sa.. 1xM 2xN 7 3x M 3xN 12 xm, xn 0 (E) max 50x 82x M N 3xM 2xN 7 sa.. 1xM 2xN 7 3x M 3xN 12 xm, xn 0 56 Aplicando o teorema das folgas complementares, conclui-se que o(a) (A) preço-sombra do recurso M é R$ 3,00/litro. (B) preço-sombra do recurso N é R$ 2,00/litro. (C) recurso M é abundante e seu preço-sombra é R$ 1,00/litro. (D) recurso N é escasso e seu preço-sombra é R$ 3,00/litro. (E) oferta mínima obtida pela venda dos recursos é de R$ 192,

20 57 Considere o modelo primal de programação linear. Maximizar Z C x sujeito a Ax B T X 0 onde A é uma matriz de ordem m n, x R n, B é um vetor linha com m componentes, C é um vetor linha com n componentes constantes e C T indica o vetor transposto do vetor C. Acerca do modelo primal e das suas relações com o modelo dual associado a ele, avalie as afirmativas a seguir. I II III IV - Se o primal for de maximização, o dual será de minimização. - A matriz A da forma dual será a matriz A T do primal. - Os coeficientes da função objetivo do primal são os coeficientes da função objetivo do dual. - O número de variáveis de folga de um problema correspondem ao número de variáveis de folga do outro. Estão corretas as afirmativas (A) I e II, apenas. (B) I e IV, apenas. (C) II e III, apenas. (D) III e IV, apenas. (E) I, II, III e IV. 58 Dado o modelo de programação linear Maximizar Z 3x 4y sa.. 3x2y12 4x6y24 2x1y4 x0 y0 O par ordenado que maximiza a função Z é (A) (0,0) (B) (0,4) (C) (2,0) (D) (4,0) (E) (12/5;12/5) 59 Uma refinaria, a partir da transformação do petróleo bruto, produz diariamente gás, óleo e gasolina bruta. Para a sua produção, considera uma restrição em relação ao nível mínimo de produção diária (Recurso A) e uma com relação à disponibilidade de matéria-prima (Recurso B). Com o objetivo de organizar o esquema de produção ótima que maximize o lucro total por dia (em R$), a refinaria contratou um engenheiro de produção que desenvolveu um modelo de programação linear. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1/2 1 3/2 5/2 0 9/2 (Recurso A) (Recurso B) 1/2 0 3/2 3/2 0 27/2 O tableau acima indica uma iteração qualquer do Algoritmo Simplex na solução do problema, onde x 1, x 2 e x 3 são as quantidades produzidas de gás, óleo e gasolina bruta, respectivamente, e x 3 e x 4 são as folgas das restrições relativas aos recursos A e B. A partir do tableau afirma-se que as variáveis (A) básicas são x 1, x 2, x 3 e a solução é ótima. (B) básicas são x 1, x 3, x 4 e a solução é ótima. (C) básicas são x 4, x 5 e a solução é viável mas não ótima. (D) não básicas são x 2, x 5 e a solução é ótima. (E) não básicas são x 1, x 3, x 4 e a solução é viável mas não ótima. 60 Uma refinaria distribui seus produtos por intermédio de caminhões, carregados no posto de carregamento. São carregados tanto os caminhões da empresa como os caminhões dos distribuidores independentes. As firmas independentes reclamam que, às vezes, têm que esperar em fila e perdem, assim, dinheiro ao pagarem um caminhão e um motorista que só estão esperando. Foram colhidos os seguintes dados: = 2 caminhões/hora (Taxa média de chegada) = 3 caminhões/hora (Taxa média de atendimento) Supondo que estas taxas sejam aleatórias conforme uma distribuição Poisson, a probabilidade que um caminhão tem de esperar para ser atendido e o tempo médio de espera, respectivamente, são: (A) 0, 33 e 30 minutos. (B) 0,33 e 1 hora. (C) 0,33 e 2 horas. (D) 0,66 e 1 hora. (E) 0,66 e 2 horas. 20

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