CONTEÚDO. XI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 13 Enunciados e Resultado Brasileiro

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1 CONTEÚDO AOS LEITORES X OLIMPÍADA DE MAIO 3 Euiados e Resultado Brasileiro XV OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL 7 Euiados e Resultado Brasileiro XLV OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA 9 Euiados e Resultado Brasileiro XIX OLIMPÍADA IBERO-AMERICANA DE MATEMÁTICA Euiados e Resultado Brasileiro XI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 3 Euiados e Resultado Brasileiro ARTIGOS O TRIÂNGULO E SUAS PRINCIPAIS CIRCUNFERÊNCIAS 7 Eduardo Wager DOIS PROBLEMAS CHINESES SOBRE GEOMETRIA PROJETIVA 6 Helder Oliveira de Castro RETA DE EULER E NÚMEROS COMPLEXOS 3 José Paulo Careiro COMO É QUE FAZ? 37 SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 40 PROBLEMAS PROPOSTOS 60 COORDENADORES REGIONAIS 6

2 AOS LEITORES Neste úmero apresetamos os resultados das equipes brasileiras e os problemas propostos a X Olimpíada de maio, a XV Olimpíada do Coe Sul, a XLV Olimpíada Iteraioal (IMO), a XI Olimpíada Iteraioal para Estudates Uiversitários (IMC) e a XIX Olimpíada Ibero-ameriaa. Realmete temos muito a omemorar: o primeiro oloado a Coe Sul, a maior ota do Oidete o IMC (lembrem-se de que boa parte da Europa e os Estados Uidos fiam o Oidete!), mais uma vez todos os itegrates de ossa equipe oquistaram medalhas a IMO, oloado o Brasil à frete de diversos países de grade tradição matemátia, omo a Fraça e a Alemaha e fomos o primeiro país a oquistar 4 medalhas de ouro a Ibero. Voê aida poderá ler três exeletes artigos de Geometria, om os quais ertamete voê aprederá muito. Não se esqueça de que, aso ão osiga eteder algum agora (ou mesmo todos, ão há problema), vale a pea retorar a eles depois. Agradeemos as soluções de problemas propostos e os ovos problemas eviados pelos ossos leitores, que otiuamos estimulado a olaborar om a Eurea!. Agradeemos fialmete a Cíero Thiago Magalhães de Fortaleza CE e a Wilberso Ivo Della Nia de São José dos Campos SP que olaboraram om a revisão deste úmero. Os editores EUREKA! N 0, 004

3 X OLIMPÍADA DE MAIO Euiados e Resultado Brasileiro PRIMEIRO NÍVEL Duração da Prova: 3 horas PROBLEMA Xavier multiplia quatro dígitos, ão eessariamete distitos, e obtém um úmero termiado em 7. Determie quato pode valer a soma dos quatros dígitos multipliados por Xavier. Dê todas as possibilidades. PROBLEMA No iterior de um quadrado, Pablo desehou um retâgulo e prologado seus lados dividiu o quadrado em 5 retâgulos, omo mostra a figura. Sofia fez o mesmo, oseguido, além disso, que os omprimetos dos lados dos 5 retâgulos fossem úmeros iteiros etre e 0, todos distitos. Mostre uma figura omo a que Sofia fez. PROBLEMA 3 Em ada asa de um tabuleiro 5 5 está esrito ou. Em ada passo troa-se o úmero de ada uma das 5 asas pelo resultado da multipliação dos úmeros de todas as suas asas vizihas. Iiialmete se tem o tabuleiro da figura. Mostre omo fia o tabuleiro ao fial de 004 passos. Observação: Duas asas são vizihas se tiverem um lado em omum. PROBLEMA 4 Em um quadrado ABCD de diagoais AC e BD, hamamos de O o etro do quadrado. Costrói-se um quadrado PQRS de lados paralelos aos de ABCD om P o segmeto AO, Q o segmeto BO, R o segmeto CO, S o segmeto DO. Se área (ABCD) área(pqrs) e M é o poto médio do lado AB, alule a medida do âgulo AMP m. (Não vale medir.) EUREKA! N 0, 004 3

4 PROBLEMA 5 Tem-se 90 artões e em ada um estão esritos dois dígitos distitos: 0, 0, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 0,, e assim suessivamete até 98. Um outo de artões é orreto se ão otém ehum artão que teha o primeiro dígito igual ao segudo dígito de outro artão do outo. Chamamos valor de um outo de artões a soma dos úmeros esritos em ada artão. Por exemplo, os quatros artões 04, 35, 78 e 98 formam um outo orreto e seu valor é 5, pois Eotre um outo orreto que teha o maior valor possível. Explique por que é impossível obter um outo orreto de maior valor. SEGUNDO NÍVEL Duração da Prova: 3 horas PROBLEMA Juliao esreveu io úmeros iteiros positivos, ão eessariamete distitos, tais que seu produto sea igual à sua soma. Quais podem ser os úmeros que Juliao esreveu? PROBLEMA A mãe de Zeziho quer preparar paotes de 3 balas para dar de presete a festa de aiversário, e para isto omprará balas sortidas de 3 sabores diferetes. Ela pode omprar qualquer úmero de balas, mas ão pode esolher quatas são de ada sabor. Ela quer oloar em ada paote uma bala de ada sabor, e se isto ão for possível usará somete balas de um sabor e todos os paotes terão 3 balas desse sabor. Determie o meor úmero de balas que ela deve omprar para poder preparar os paotes. Explique por que se ela ompra meos balas ão terá a erteza de poder preparar os paotes omo ela quer. PROBLEMA 3 Temos uma mesa de bilhar de 8 metros de omprimeto e metros de largura, om uma úia bola o etro. Laçamos a bola em liha reta e, depois de perorrer 9 metros, ela pára uma esquia da mesa. Quatas vezes a bola rebateu as bordas da mesa? Nota: Quado a bola rebate a borda da mesa, os dois âgulos que formam sua traetória om a borda da mesa são iguais. EUREKA! N 0, 004 4

5 PROBLEMA 4 Ahe todos os úmeros aturais x, y, z que verifiam simultaeamete x y z 404 x+ y+ z 77 PROBLEMA 5 Sobre um tabuleiro 9 9, dividido em asas, se oloam sem superposições e sem sair do tabuleiro, peças da forma Cada peça obre exatamete 3 asas. a) A partir do tabuleiro vazio, qual é a máxima quatidade de peças que se pode oloar? b) A partir do tabuleiro om 3 peças e oloadas omo mostra o diagrama seguite, qual é a máxima quatidade de peças que se pode oloar? EUREKA! N 0, 004 5

6 RESULTADOS PRIMEIRO NÍVEL (Até 3 aos) Gustavo Herique dos Satos Figueiredo Medalha de Ouro Sato Adré - SP Viíius Herique Campos Sera Medalha de Prata Belo Horizote - MG Rafael Paheo Gomes Medalha de Prata Fortaleza - CE Dailo Taeshi Abe Jaue Medalha de Broze São Paulo - SP Ila Feima Halper Medalha de Broze Itatiaia - RJ Emauelle Meeses Barros Medalha de Broze Fortaleza - CE Dayaa Basilio Batista Medalha de Broze Campo Grade - MS Guilherme Albuquerque Pito Rebello Meção Horosa Rio de Jaeiro - RJ Berardo Duque Guimarães Saraiva Meção Horosa Rio de Jaeiro - RJ Amada Maria Barradas M. de Sataa Meção Horosa Teresia - PI SEGUNDO NÍVEL (Até 5 aos) Eduardo Fisher Medalha de Ouro Eatado - RS Luio Eii Assaoa Hossaa Medalha de Prata Curitiba - PR Guilherme Nogueira de Souza Medalha de Prata São Paulo - SP José Maros Adrade Ferraro Medalha de Broze São Paulo - SP Paulo Adré Carvalho de Melo Medalha de Broze Rio de Jaeiro - RJ Rodrigo Clemete de Brito Pereira Medalha de Broze João Pessoa - PB Herique Podé de Oliveira Pito Medalha de Broze Salvador - BA Rafael Tupiambá Dutra Meção Horosa Belo Horizote - MG Amada Freitas Satos Meção Horosa Rio de Jaeiro - RJ Edso Augusto Bezerra Lopes Meção Horosa Fortaleza - CE EUREKA! N 0, 004 6

7 XV OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL Euiados e Resultado Brasileiro A XV Olimpíada de Matemátia do Coe Sul foi realizada a idade de Caaguazú, Paraguai o período de 4 a 3 de Maio de 004. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Pablo Rodrigo Gaassim (São Paulo SP) e Mário Cohe (Rio de Jaeiro RJ). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA BRA Gabriel Tavares Buoas Medalha de Ouro BRA Leadro Farias Maia Medalha de Prata BRA3 Adré Lihares Rodrigues Medalha de Broze BRA4 Telmo Luis Correa Júior Medalha de Broze PROBLEMA Maxi esolheu 3 dígitos e, fazedo todas as permutações possíveis, obteve 6 úmeros distitos, ada um om 3 dígitos. Se exatamete um dos úmeros que Maxi obteve é um quadrado perfeito e exatamete três são primos, eotrar os 3 dígitos que Maxi esolheu. Dê todas as possibilidades para os 3 dígitos. PROBLEMA Dada uma iruferêia C e um poto P exterior a ela, traçam-se por P as duas tagetes à iruferêia, sedo A e B os potos de tagêia. Toma-se um poto Q sobre o meor aro AB de C. Sea M a iterseção da reta AQ om a perpediular a AQ traçada por P, e sea N a iterseção da reta BQ om a perpediular a BQ traçada por P. Demostre que, ao variar Q o aro AB, todas as retas MN passam por um mesmo poto. PROBLEMA 3 Sea um iteiro positivo. Chamamos C a quatidade de iteiros positivos x, meores que 0, tais que a soma dos dígitos de x é meor que a soma dos dígitos de x. 4 Demostre que C ( 0 ). 9 EUREKA! N 0, 004 7

8 PROBLEMA 4 Araldo esolhe um iteiro a, a H %HUQDOGR HVFROKH XP LQWHLUR b, b Ambos dizem, em segredo, o úmero que esolheram a Ceraldo, e este esreve em um quadro os úmeros 5, 8 e 5, sedo um desses a soma a + b. Ceraldo toa uma ampaiha e Araldo e Beraldo, idividualmete, esrevem em papéis distitos se sabem ou ão qual dos úmeros o quadro é a soma de a e b, e etregam seus papéis para Ceraldo. Se em ambos os papéis está esrito NÃO, Ceraldo toa ovamete a ampaiha, e o proedimeto se repete. Sabe-se que Araldo e Beraldo são sieros e iteligetes. Qual é o úmero máximo de vezes que a ampaiha pode ser toada até que um deles esreva que sabe o valor da soma? PROBLEMA 5 Utilizado triagulihos eqüiláteros de papel, de lado, forma-se um triâgulo 004 eqüilátero de lado. Desse triâgulo retira-se o triaguliho de lado uo etro oiide om o etro do triâgulo maior. Determie se é possível obrir totalmete a superfíie restate, sem superposições em buraos, dispodo-se somete de fihas em forma de trapézio isóseles, ada uma formada por três triagulihos eqüiláteros de lado. PROBLEMA 6 Seam m, iteiros positivos. Em um tabuleiro m, quadriulado em quadradihos de lado, osidere todos os amihos que vão do vértie superior direito ao iferior esquerdo, perorredo as lihas do quadriulado exlusivamete as direções e. Defie-se a área de um amiho omo sedo a quatidade de quadradihos do tabuleiro que há abaixo desse amiho. Sea p um primo tal que r p (m) + r p () p, ode r p (m) represeta o resto da divisão de m por p e r p () represeta o resto da divisão de por p. Em quatos amihos a área é um múltiplo de p? EUREKA! N 0, 004 8

9 XLV OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Euiados e Resultado Brasileiro A XLV Olimpíada Iteraioal de Matemátia foi realizada a idade de Ateas, Gréia o período de 06 a 8 de ulho de 004. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Carlos Gustavo Moreira (Rio de Jaeiro RJ) e Carlos Yuzo Shie (São Paulo SP). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA BRA Fábio Dias Moreira Medalha de Broze BRA Gabriel Tavares Buoas Medalha de Prata BRA3 Hery Wei Cheg Hsu Medalha de Broze BRA4 Rafael Daigo Hirama Medalha de Prata BRA5 Rafael Marii Silva Medalha de Broze BRA6 Thiago Costa Leite Satos Medalha de Broze PRIMEIRO DIA PROBLEMA Sea ABC um triâgulo autâgulo om AB AC. A iruferêia de diâmetro BC iterseta os lados AB e AC os potos M e N, respetivamete. Sea O o poto médio do lado BC. As bissetrizes dos âgulos BAC e MON itersetam-se em R. Prove que as iruferêias irusritas aos triâgulos BMR e CNR têm um poto em omum que pertee ao lado BC. PROBLEMA Determie todos os poliômios P(x) de oefiietes reais que satisfazem a igualdade P( a b) + P( b ) + P( a) P( a+ b+ ) para quaisquer úmeros reais a, b,, tais que ab + b + a 0. EUREKA! N 0, 004 9

10 PROBLEMA 3 Um gaho é uma figura formada por seis quadrados uitários omo o seguite diagrama ou qualquer uma das figuras obtidas desta apliado rotações ou reflexões. Determie todos os retâgulos m que podem ser obertos om gahos de modo que: i) O retâgulo é oberto sem buraos e sem sobreposições; ii) Nehuma parte de ehum gaho pode obrir regiões fora do retâgulo. SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Sea 3 um iteiro. Seam t, t,..., t úmeros reais positivos tais que + > ( t+ t t ) t t t Mostre que ti, t e t são as medidas dos lados de um triâgulo para quaisquer i,, om i < <. PROBLEMA 5 Num quadrilátero ovexo ABCD a diagoal BD ão é bissetriz do âgulo ABC em do âgulo CDA. Um poto P o iterior de ABCD satisfaz PBC DBA e PDC BDA. Prove que os vérties do quadrilátero ABCD perteem a uma mesma iruferêia se e só se AP CP. PROBLEMA 6 Um iteiro positivo é dito alterate se, a sua represetação deimal, quaisquer dois dígitos oseutivos têm paridade diferete. Determie todos os iteiros positivos tais que tem um múltiplo que é alterate. EUREKA! N 0, 004 0

11 XIX OLIMPÍADA IBERO-AMERICANA DE MATEMÁTICA Euiados e Resultado Brasileiro A XIX Olimpíada Ibero-ameriaa de Matemátia foi realizada a idade de Castelló, Espaha o período de 7 a 6 de setembro de 004. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Eduardo Wager e Luiao Guimarães Moteiro de Castro, ambos do Rio de Jaeiro RJ. RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA BRA Alex Corrêa Abreu Medalha de Ouro BRA Fábio Dias Moreira Medalha de Ouro BRA3 Gabriel Tavares Buoas Medalha de Ouro BRA4 Rafael Daigo Hirama Medalha de Ouro PRIMEIRO DIA PROBLEMA Deve-se olorir as asas de um tabuleiro de aordo om as seguites regras: Se duas asas têm um lado omum, etão pelo meos uma delas deve ser olorida. De ada seis asas oseutivas de uma liha ou de uma olua, devem olorir-se sempre pelo meos duas delas que seam adaetes. Determiar o úmero míimo de asas que devem ser oloridas. PROBLEMA Cosidera-se o plao uma iruferêia de etro O e raio r, e um poto A exterior a ela. Sea M um poto da iruferêia e N o poto diametralmete oposto a M. Determiar o lugar geométrio dos etros das iruferêias que passam por A, M e N quado M varia. PROBLEMA 3 Seam e úmeros iteiros positivos tais que é ímpar ou e são pares. Provar que existem iteiros a e b tais que md( a, ) md( b, ) e a+ b. EUREKA! N 0, 004

12 PROBLEMA 4 Determiar todos os pares (a, b), ode a e b são úmeros iteiros positivos de dois dígitos ada um, tais que 00 a + b e 0 a + b são quadrados perfeitos de quatro dígitos. PROBLEMA 5 Dado um triâgulo esaleo ABC, desigam-se por A', B', C' os potos de iterseção das bissetrizes iteriores dos âgulos A, B e C om os lados opostos, respetivamete. Seam: A'' a iterseção de BC om a mediatriz de AA', B'' a iterseção de AC om a mediatriz de BB' e C'' a iterseção de AB om a mediatriz de CC'. Provar que A'', B'' e C'' são olieares. PROBLEMA 6 Para um outo H de potos o plao, diz-se que um poto P do plao é um poto de orte de H, se existem quatro potos distitos A, B, C e D em H tais que as retas AB e CD são distitas e se ortam em P. Dado um outo fiito A 0 de potos o plao, ostrói-se uma suessão de outos A, A, A 3,... da seguite forma: para qualquer 0, A + é a uião de A om o outo de todos os potos de orte de A. Demostrar que se a uião de todos os outos da suessão é um outo fiito etão, para qualquer, tem-se A A. EUREKA! N 0, 004

13 XI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA PARA ESTUDANTES UNIVERSITÁRIOS Euiados e Resultado Brasileiro A XI Olimpíada Iteraioal de Matemátia para estudates uiversitários foi realizada a idade de Sope, Maedôia o período de 3 a 9 de ulho de 004. A equipe brasileira foi liderada pelo professor Ferado Pimetel, da idade de Fortaleza CE. RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA Yuri Gomes Lima UFC Medalha de Ouro Humberto Silva Naves ITA Medalha de Prata Carlos Stei Naves de Brito ITA Medalha de Prata Alex Corrêa Abreu UFRJ Medalha de Prata Eduardo Casagrade Stabel UFRGS Medalha de Broze Murilo Vasoelos de Adrade IME Medalha de Broze Rafael Tara Foteles UFPI Medalha de Broze Thiago Barros Rodrigues Costa Uiamp Meção Horosa Diêgo Veloso Uhôa IME Meção Horosa Eduardo Famii Silva IME Meção Horosa Tertuliao Frao Satos Frao UFBA Meção Horosa PRIMEIRO DIA PROBLEMA Sea S um outo ifiito de úmeros reais tal que x + x x para todo x, x,..., x S. Demostre que S é eumerável. subouto fiito { } PROBLEMA Sea f ( x) x, e para ada iteiro positivo defia f( x) f ( f( x)). Quatas raízes reais distitas tem o poliômio f 004? EUREKA! N 0, 004 3

14 PROBLEMA 3 Sea x A o outo de todas as somas. Soiedade Brasileira de Matemátia arsi x, ode, i) Prove que A é um itervalo. ii) Sea a o omprimeto do itervalo A. Calule lim a. x 0,, e [ ] PROBLEMA 4 Supoha 4 e sea S um outo fiito de potos o espaço \ 3, de maeira que quaisquer quatro de seus potos ão seam oplaares. Supoha que todos os potos de S podem ser oloridos de vermelho e azul de modo que qualquer esfera que itersete S em ao meos 4 potos teha a propriedade de que exatamete a metade dos potos a iterseção de S om a esfera é azul. Prove que todos os potos de S eotram-se uma esfera. PROBLEMA 5 Sea S um outo de + úmeros reais, ode é um iteiro positivo. ai S + tal que Prove que ode existe uma seqüêia moótoa { } i para todo i, 3,,. x + x x x, i i PROBLEMA 6 Para ada úmero omplexo z diferete de 0 e defiimos a seguite fução: f() z 4 log z ode a soma é sobre todos os ramos do logaritmo omplexo. i) Prove que há dois poliômios P e Q tais que z ^ {0,}. Pz ( ) f() z para todo Qz ( ) EUREKA! N 0, 004 4

15 ii) Prove que para todo z ^ {0,} temos 3 z + 4z + z f() z. 4 6( z ) SEGUNDO DIA PROBLEMA 7 Sea A uma matriz real 4 e B uma matriz real 4 tal que Eotre BA AB PROBLEMA 8 Seam f, g:[ a, b] [0, ) duas fuções otiuas ão deresetes tais que para ada x [ a, b] temos x x f () t dt g () t dt a e () (). a f t dt g t dt a a b b Prove que b a + f( t) dt + g( t) dt. b a PROBLEMA 9 Sea D um diso uitário fehado, e seam z, z,..., z potos fixados em D. Prove que existe um poto z em D tal que a soma das distaias desde z a ada um dos potos é maior ou igual que. EUREKA! N 0, 004 5

16 PROBLEMA 0 Para sea M uma matriz omplexa om autovalores λ, λ,..., λ, distitos om respetivas multipliidades m, m,..., m. Cosidere o operador T liear L defiido por L X MX + XM, para qualquer X matriz omplexa M. Eotre os autovalores de M L M e suas multipliidades. PROBLEMA Prove que 0 0 dx dy. + log y x PROBLEMA Para 0 defia as matrizes A e B omo segue: A0 B0 (), e, para ada > 0, A A A A A B e A B. A 0 Deote por S(M) a soma de todos os elemetos da matriz M. Prove que ( ) S( A ) S A, para quaisquer,. EUREKA! N 0, 004 6

17 O TRIÂNGULO E SUAS PRINCIPAIS CIRCUNFERÊNCIAS Eduardo Wager, Rio de Jaeiro - RJ Nível Iiiate Vamos tratar este artigo das iruferêias isrita, irusrita e exisritas de um triâgulo. Mostraremos diversas propriedades, relações iteressates e algus problemas. Em todo o artigo, o triâgulo ABC possui lados AB, BC a e CA b. O seu semiperímetro é p e sua área é S. Será eessário que o leitor oheça a fórmula de Hero para área do triâgulo em fução de seus lados: S p( p a)(p b)( p ). A iruferêia isrita A iruferêia isrita tem etro I, ietro do triâgulo, que é o poto de iterseção das bissetrizes iteras. A I r b B a C A área do triâgulo ABC é a soma das áreas dos triâgulos AIB, BIC e CIA, que possuem altura igual a r, raio da iruferêia isrita. Portato, S r + ar + br a + b + r pr A ossa primeira relação é: S pr EUREKA! N 0, 004 7

18 que permite alular o raio da iruferêia isrita em um triâgulo em fução de seus lados. A iruferêia irusrita Cosidere agora o triâgulo ABC isrito em uma iruferêia de raio R. Sea AH h uma altura e sea AD um diâmetro dessa iruferêia. A h R b B H C D Os triâgulos AHB e ACD são semelhates uma vez que os âgulos AHB e ACD são retos e os âgulos ABC e ADC são iguais pois subtedem o mesmo aro. Logo, AB AD AH AC R h b ou sea, b Rh. Multipliado pelo omprimeto do lado BC os dois lados, temos ab Rah. Mas ah é o dobro da área do triâgulo ABC e assim eotramos a ossa seguda relação : ab 4RS Ela permite alular o raio da iruferêia irusrita a um triâgulo em fução dos seus lados. EUREKA! N 0, 004 8

19 As iruferêias exisritas A iruferêia exisrita relativa ao vértie A do triâgulo ABC é tagete ao lado BC e às retas AB e AC. Seu raio será desigado por r a e seu etro por I A, hamado de exietro (ou exetro) relativo ao vértie A do triâgulo ABC. O poto I A é a iterseção da bissetriz itera de A e das bissetrizes exteras de B e C. As outras duas iruferêias exisritas e os dois outros exietros são defiidas de forma aáloga. C b I A a r a A B A área do triâgulo ABC é igual a área de ABI A mais a área de ACI A meos a área de BCI A. Assim, S r a + br a ar a b + a r a. Observe que b + a a + b + a p a (p a). Logo, a ossa ova relação é: S r a ( p a) e, aalogamete, temos S r b ( p b) S r (p ) que permitem alular os raios das iruferêias exisritas em fução dos lados do triâgulo ABC. Para fixar o que apresetamos até aqui, resolva o problema a seguir. EUREKA! N 0, 004 9

20 Problema : Em um triâgulo de lados 5, 7, e 8, alule os raios das iruferêias isrita, irusrita e exisritas Respostas: 3,, 3,, Duas relações Primeira: S r ra rb r Esta é fáil de demostrar. Multipliado as relações da iruferêia isrita e das exisritas obtemos: S 4 r r a r b r p( p a)(p b)( p ) r r a r b r S o que demostra a relação. Seguda: r + + r a r b r Observe que S + S + S p a + p b + p 3p (a + b + ) p S r a r b r r que demostra a relação. Problema: Existe um triâgulo uas iruferêias exisritas teham raios m, m e 6m? Resposta: sim. os lados medem 4 5, 7 5, 9 5 etímetros Os potos de tagêia Vamos agora loalizar os potos de tagêia das iruferêias isrita e exisrita em relação da ada um dos lados. Cosideremos iiialmete a iruferêia isrita tageiado os lados AB, BC e CA os potos L, M e N, respetivamete. EUREKA! N 0, 004 0

21 A L N B M C Seam AL AN x, BL BM y, CM CN z. Temos etão o sistema: x + y y + z a z + x b que resolvido dá AL AN p a, BL BM p b, CM CN p. Cosiderado uma das iruferêias exisritas omo mostra a figura a seguir temos: R A Q B C P o perímetro do triâgulo ABC é p BA + AC + BC BA + AQ + CQ + BC BA + AR + CP + BC BR + BP BP. Logo, BP p, o semiperímetro do triâgulo. Uma desigualdade iteressate Em todo triâgulo ABC, r r a a 4. Esta desigualdade, além de iteressate pelo seu aspeto, vai ser útil para a resolução de outros problemas. Observe a figura a seguir. EUREKA! N 0, 004

22 B J A I F r D C E r a a Na figura aima, I é o ietro de ABC e J é o exietro relativo ao vértie A. Sabemos pelo ítem aterior que CD p e que AE p. Logo, CE p b e portato, DE p + p p (b + ) a. No triâgulo retâgulo IJF temos IJ r + r a, valedo a igualdade se, e somete se AB AC. Portato, (r + r a ) IJ a + (r a r) r r a a r r a r r a a 4 omo queríamos demostrar. Repare que a igualdade oorre se, e somete se, o triâgulo ABC é isóseles om vértie A. A desigualdade etre os raios das iruferêias isrita e irusrita Em qualquer triâgulo, r R. Esta lida desigualdade é itrigate, pois afirma que o raio da iruferêia irusrita ão é meor que o dobro do raio da iruferêia isrita. Há diversas demostrações desta desigualdade; todas muito egehosas. Mas, seguido o que estamos desevolvedo este artigo, vamos apresetar a demostração seguite. Cosiderado a desigualdade que aabamos de demostrar, temos: EUREKA! N 0, 004

23 Multipliado estas três relações temos: r r a a 4 r r b b 4 r r 4 r r r a r b r a b 64 r S (4RS) 64 r R A perguta atural que devemos fazer é quado vale a igualdade. Repare que a demostração da desigualdade r r a a, a igualdade vale se, e somete se, AB 4 AC, quado as iruferêias isrita e exisrita relativa ao vértie A são tagetes o poto médio do lado BC. Utilizado o mesmo argumeto para as outras desigualdades, oluímos que r R oorre se, e somete se o triâgulo ABC é equilátero. Problema 3 Sabedo que em um triâgulo ABC, A ( pb)( p) si (isto voê poderá b demostrar mais tarde), mostre que si A si B si C 8. A relação dos io raios Os raios das iruferêias isrita, irusrita e exisritas estão ligados pela relação: EUREKA! N 0, 004 3

24 r a + r b + r r 4R Para demostrar isto, eessitamos apeas de resultados ateriores e de alguma maipulação algébria. S r b + r p b + S p as ( p b)( p ) r a r S p a S p Somado, r a + r b + r r as (p b)(p ) + p(p a) as p(p a) + (p b)(p ) p(p a)(p b)( p ) as p p(a + b + ) + b S ab S 4R O assuto ão tem fim. Há muitíssimas outras relações etre os elemetos de um triâgulo e suas priipais iruferêias; algumas legais e outras desiteressates. Mas, osso obetivo foi foreer um material básio para que os aluos iiiates possam se desevolver e, por isso, paramos aqui. Para fixar as idéias, voê poderá urtir us problemihas baaas a lista abaixo. Problemas suplemetares Problema 4 Em um triâgulo ABC om ietro I, a bissetriz itera do âgulo A eotra a iruferêia irusrita em E. Prove que EB EC EI. EUREKA! N 0, 004 4

25 Problema 5 Dados um âgulo agudo XOY, um poto P exterior e um úmero positivo (omo sugerido a figura abaixo), mostre omo se pode ostruir uma reta que passe por P e que orte os lados do âgulo dado formado um triâgulo de perímetro. Y O X P Problema 6 Em um triâgulo autâgulo, mostre que o simétrio do ortoetro em relação a um lado pertee a iruferêia irusrita ao triâgulo. Problema 7 (de uma olimpíada iteraioal) O triâgulo autâgulo ABC está isrito em uma iruferêia. Seam M, N e P os potos médios dos aros AB, BC e CA, respetivamete. Prove que a área do hexágoo AMBNCP é maior ou igual que o dobro da área do triâgulo ABC. Problema 8 Em um quadrilátero ovexo ABCD, as bissetrizes dos âgulos A e B ortam-se em M, as bissetrizes dos âgulos C e D ortam-se em N e as retas AD e BC ortam-se em P. Mostre que os potos M, N e P são olieares. Problema 9 Em um triâgulo ABC om ietro I, e exietros J, K, L, mostre que I é o ortoetro do triâgulo JKL. Problema 0 Em um triâgulo, mostre que a distâia do ortoetro a um vértie é o dobro da distâia do iruetro ao lado oposto. Mostre a seguir que o ortoetro, o barietro e o iruetro são olieares. Problema (este é difíil) Em um triâgulo ABC, AX é uma bissetriz (X BC), N é o poto médio de AX, e M é o poto médio de BC. Sedo I o ietro do triâgulo, mostre que M, I e N são olieares. EUREKA! N 0, 004 5

26 DOIS PROBLEMAS CHINESES SOBRE GEOMETRIA PROJETIVA Helder Oliveira de Castro, São Paulo - SP Nível Avaçado INTRODUÇÃO: Para aqueles que ua tiveram uma aula sobre esse assuto, depois de osultarem [] ou até algus problemas em [], podem fiar meio em dúvida sobre omo desevolver essa poderosa ferrameta e apelarem para outros métodos. É muito iteressate quado, depois de horas e mais horas fazedo eteas de álulos itriados de trigoometria e geometria aalítia e gastado algumas dúzias de folhas de almaço, desistimos de um problema de geometria sem ter hegado a lugar algum. Motivado (a verdade irritado) por isso omeei a estudar Geometria Proetiva, e é om esse ituito que gostaria de expor dois problemas os quais são exploradas téias de solução por polaridade, foreedo bases para que o leitor possa apliá-las em outras situações. Mas para omeçar é eessário retomar algumas defiições de [], que servem de aliere para a solução dos dois problemas que os iteressam. PÓLO E RETA POLAR Dados uma iruferêia S, de etro O e raio R, e um poto A, distito de O, defiimos A tal que OA.OA R, e esta trasformação é hamada de iversão. A reta a que é perpediular à OA, passado por A, é hamada de reta polar de A em relação a S, e o poto A é hamado de pólo de a em relação a S. Teorema : Dados uma iruferêia S o plao e potos A e B, seam a e b suas respetivas polares em relação a S. Temos etão que A b B a. b a O A A' B' B EUREKA! N 0, 004 6

27 Prova: Tome B a, e sea B OB tal que AB OB. Temos que OAB OBA pelo ritério AA, e logo OA/OB OB /OA OB.OB OA.OA R B é o iverso de B em relação a S, e omo AB OB temos que A b. Corolário : Para um poto perteete à própria iruferêia, sua reta polar é tagete à iruferêia por ele. Corolário : Se A é exterior à iruferêia, seam B e C os potos de otato das tagetes traçadas à iruferêia por A. Etão a reta polar de A passa por B e C. Prova: Temos que A pertee às polares de B e C, e logo B e C devem perteer à polar de A. Bem, fialmete vamos aos problemas hieses: (CHINA-997) O quadrilátero ABCD está isrito um írulo S. Sea X o poto de iterseção etre os lados AB e CD e W o poto de iterseção etre os lados AD e BC. As tagetes traçadas por X itersetam S em Y e Z. Prove que W, Y e Z são olieares. Resolução: Ates de mais ada vamos ter que euiar e provar um lema, que também eotra-se em [], mas que ertamete o dia da prova voê teria de demostrar. É assim: LEMA: Se por um poto M exterior a um írulo S traçarmos seates que itersetam-o os potos A, B, C e D (vide figura), e se tomarmos {P} AB CD e {Q} AC BD, etão a polar de M em relação a S será a reta PQ. P S B Q C A D M EUREKA! N 0, 004 7

28 Há quem ahe essa parte um pouo mais salgada, pois é ustamete a parte mais difíil do assuto o qual vamos tratar. Tome as retas polares de A, B, C e D omo a, b, e d que, omo vimos, são tagetes à S os seus respetivos pólos. Defia {R} b e {T} a d. A reta polar de R será BC e a reta polar de T será AD, pelo Corolário, e pelo Teorema teremos que a polar de M será a reta RT. Basta provar etão que RT passa por P e Q, ou melhor, que R, P, Q e T são olieares. Cosidere o hexágoo ABB CC D, o qual B B e C C (vamos usar aqui a estratégia proposta em []: fazer vérties de um hexágoo oiidirem para obtermos ovas relações). Pelo Teorema de Pasal, P, R e Q são olieares (os 3 potos de eotro dos 3 pares de lados opostos do hexágoo devem ser olieares). Aalogamete o hexágoo AA BCDD, om A A e D D, teremos que P, Q e T são olieares. Segue que R, P, Q e T são olieares, omo queríamos demostrar. Bem, fim de Lema. O problema agora fia fáil: supoha que, o dia da prova, voê á oheça todas estas propriedades. Aí voê as demostra bem rápido a folha de respostas, e para dar o Gra Fiale, bem... veamos: X W Y B C Z A S D Note que podemos fazer uma erta aalogia etre o problema e o Lema. O poto W orrespode ao poto M do Lema, e o poto X ao poto P. Temos etão que a reta polar de W passa por X a reta polar de X passa por W. Mas a reta polar de X EUREKA! N 0, 004 8

29 passa por Y e Z, pelo Corolário W, Y e Z são olieares, fializado o problema. (CHINA-996) Sea H o ortoetro do triâgulo autâgulo ABC. As tagetes traçadas por A ao írulo de diâmetro BC itersetam o írulo em P e Q. Prove que P, Q e H são olieares. Resolução: A S P H Q B O T O C A idéia aqui é relativamete simples. Tome S TH tal que TS AS. Sabemos que HTO HSA (AA) HS/AH HO/TH HS (AH.HO)/HT HS.HT AH.HO. Como visto a figura, vamos usar Geometria Aalítia: COORDENADAS: A (0, a) B ( b, 0) C (, 0) T(( b)/, 0) T é poto médio de BC. EUREKA! N 0, 004 9

30 Temos que BH AC m(bh).m(ac) (h/b).(a/( )) h b/a. MEDIDAS: r ( b + )/ raio do írulo por B e C AH a h (a b)/a HO h b/a TH h + (( b)/ ) (b/a) + (b ) /4. Assim vem que TH.TS TH.(TH + HS) TH + TH.HS TH + AH.HO (b/a) + (b ) /4 + b/a. (a b)/a (b/a) + (b ) /4 + b (b/a) ((b ) + 4b)/4 ((b + )/) r de fato S H, ode H é o iverso de H A polar de H H polar de A H PQ. Referêias: [] Luiao G. M. Castro, Itrodução à Geometria Proetiva, Eurea! N.º 8, pp [] Site muito bom om um verdadeiro arseal de problemas. EUREKA! N 0,

31 Nível Itermediário Soiedade Brasileira de Matemátia RETA DE EULER E NÚMEROS COMPLEXOS José Paulo Careiro, Rio de Jaeiro - RJ INTRODUÇÃO: O fato de os úmeros omplexos terem asido o otexto da resolução de equações algébrias fez om que muitas vezes sua utilidade em Geometria ão sea sufiietemete explorada (uma otável exeção a esta tedêia pode ser eotrada em Eurea, Vol 6, o artigo Apliações dos Números Complexos à Geometria, do Prof. Edmilso Motta). Aqui, vamos usar a álgebra dos úmeros omplexos para mostrar um belo resultado de Geometria, o fato de que, em qualquer triâgulo, o iruetro K, o barietro G e o ortoetro H são olieares. A reta que otém estes três potos é hamada Reta de Euler, á que foi Euler o primeiro a hamar a ateção para este fato. Mais que isto, vamos JJJJG JJJG provar que, vetorialmete: KH 3KG, o que, além de impliar que os três potos estão alihados, aarreta que a distâia KH é o triplo da distâia KG e que G e H estão a mesma semi-reta de origem K (ver Figura ). B A H G K Figura C Para usar úmeros omplexos, de agora em diate estará fixado o plao um sistema de oordeadas artesiaas ortogoais e as letras maiúsulas A, B,..., desigarão potos do plao ou úmeros omplexos, de modo que ada poto ( x; y ) estea idetifiado om o úmero omplexo mais usualmete represetado JJJG por x+ yi. Será fudametal a igualdade AB B A, a qual traduz que a JJJG traslação defiida pelo vetor AB é a mesma que leva a origem o omplexo B A (Figura ). EUREKA! N 0, 004 3

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