Roberto Meconi Junior. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na formação de professores: matrizes e determinantes

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1 PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DE SÃO PULO PUC/SP Roberto Meconi Junior Estrtégis pedgógics com uso de tecnologis n formção de professores: mtrizes e determinntes Dissertção presentd à Bnc Exmindor d Pontifíci Universidde Ctólic de São Pulo, como exigênci prcil pr obtenção do título de Mestre Profissionl em Ensino de Mtemátic, sob orientção do Professor Doutor Gerson Pstre de Oliveir. SÃO PULO

2 Est sequênci didátic trz questões conceituis e de plicção sobre o tem Mtrizes e determinntes. O objetivo deste trblho é o de situr o nível de entendimento e de fluênci dos professores no que diz respeito o conteúdo mtemático borddo. Julg-se necessário ter est bordgem porque se entende que o uso de tecnologis como s que são proposts neste trblho não substituem o professor, nem tmpouco necessidde que este mntém de dominr o ssunto sobre o qul se propõe ensinr. PRTE Questões não medids por softwre Primeir questão Est questão diz respeito o conceito de produto entre mtrizes. Conforme indicdo em Iezzi e Hzm (6), o produto B entre mtrizes somente existe se o número de coluns de for igul o número de linhs de B, ou sej, qundo for do tipo m x n e B do tipo n x p, ou sej: Definição Dds dus mtrizes mtriz C c ij mxp tl que ( ) e B ( ), chm-se de produto B ij mxn b jk nxp c ik i b k i bk i bk in b nk n j ij b jk pr todo i,,,m e todo k,,, p. Exemplo: Dds 456 e B 8, clculr B. 9 Sendo do tipo X e B do tipo X, decorre que existe B e é do tipo X. c c Fzendo B = C, devemos clculr e :

3 No instrumento, est questão trzi três itens, pr os quis os professores deverim determinr os produtos correspondentes, no cso de os mesmos existirem. Determine, se existirem, os seguintes produtos: ) b) c) Figur Primeir questão Segund questão Busc-se, com est questão, o conceito de comuttividde em relção o produto entre mtrizes e o cálculo pr su obtenção, os quis obedecem certs observções essenciis, de cordo com IEZZI e HZZN (6): É muito importnte notr que multiplicção de mtrizes não é comuttiv, isto é, pr dus mtrizes quisquer e B é flso que B = B, necessrimente ª ª... ª. (ª.. c deb de c deb de c c C

4 Qundo e B são tis que B = B, pode-se dizer que e B comutm. Note-se que um condição necessári pr e B comutrem é que sejm qudrds e de mesm ordem. Determine x e y fim de que s mtrizes comutem. Figur Segund questão Terceir questão Com est questão, esperv-se presentção de conceito de invers de um mtriz, bem como condição de um mtriz pr dmitir invers, lém de qul lgoritmo ou método seri necessário pr obtenção d mtriz invers proprimente dit. Sobre este tópico, Iezzi e Hzzn (6) presentm: Mtrizes Inversíveis Definição Sej um mtriz qudrd de ordem n. Dizemos que é inversível se existir um mtriz B tl que. Teorem Se é inversível, então é únic mtriz B tl que. Demonstrção B B I n y x e 5 B B I n dmitmos que exist um mtriz C tl que C C I n. Temos: C I C ( B) C B( C ) BI n n B. Definição Dd um mtriz, chm-se invers de mtriz I n. (que é únic) tl que É evidente que comutm com. deve ser tmbém qudrd de ordem n, pois Neste cso, deve ser esclrecido que operção envolvid é de multiplicção de mtrizes.

5 Exemplo mtriz é inversível de pois: I I Determine, se existir, invers d seguinte mtriz. Figur Terceir questão Qurt questão Buscou-se, com est questão, obter o cálculo de um determinnte de um mtriz de ordem qutro, bem como presentção do tipo de lgoritmo utilizdo pr obtenção deste determinnte. Iezzi e Hzzn (6) definem determinnte de ordem n qulquer d seguinte form: Definição de determinnte por recorrênci Com o uxílio do conceito de coftor (complemento lgébrico), dr definição de determinnte, válid pr mtrizes de ordem n qulquer. Sej M um mtriz de ordem n. Definimos por determinnte d mtriz M, e indicmos por det M, d seguinte form: º) Se M é de ordem, então e. n º) Se M é de ordem, então 4 M detm M n n n n nn det M e definimos = = n n n n nn n n. n i i i

6 Isto é, o determinnte de um mtriz de ordem n dos elementos d ª colun pelos respectivos coftores. Exemplo é som dos produtos c b d c d c b d bc 4 Clcule o determinnte d mtriz. Figur 4 Qurt questão tividdes com uso do Winmt s tividdes pr utilizção do Winmt form proposts de mneir proporcionr um visão mis mpl do conteúdo de mtrizes, lém de crir mbientção com o softwre. Nest sequênci didátic, ests tividdes form engendrds prevendo o trblho em grupo com professores de Mtemátic em processos de formção continud. Est estrtégi vis o trblho colbortivo e o debte sobre o uso d tecnologi com os necessários conhecimentos mtemáticos. 5. Obtenh cd um ds mtrizes bixo: ) = (ij)x, onde ij = i j b) B = (bij)x, onde bij = (- ) i.(i j) c) Em seguid determine t e B - d) gor some t com, você consegue identificr lgum propriedde? Figur 5 Quint questão Sejm s mtrizes e B :

7 ) Clcule.( + B) e. +.B. Os resultdos são iguis? b) Clcule.( B) e..b. Os resultdos são iguis? c) Clcule.(.) e (.).. Os resultdos são iguis? d) Clcule.. mtriz obtid é igul? Figur 6 Sext questão. Dds s mtrizes, B e C, determine mtriz X que verific equção. + B = X +.C. Figur Sétim questão 8. Determine, se possível, s inverss ds seguintes mtrizes: 6 5 B Figur 8 Oitv questão 9. Um montdor de crrets de São Bernrdo do Cmpo precis de eixos e

8 rods pr os três modelos que produz. tbel I mostr quntidde de eixos e rods usdos em cd um dos modelos: Tbel I Modelos Componentes B C Eixos 4 4 Rods tbel II mostr um previsão de qunts crrets fábric deverá produzir em julho e gosto: Tbel II Modelos Mês Julho gosto 5 5 B C 8 5 ) Quntos eixos e qunts rods serão necessários em cd um dos meses pr que montdor tinj produção desejd? b) Se produção cd mês, de gosto dezembro, for igul à de gosto, qunts rods montdor utilizrá no segundo semestre inteiro? Figur 9 Non questão. Resolv o sistem bixo utilizndo o softwre Winmt: x y z x y z x y z Figur Décim questão. (UFJF-/dptdo) Em um videolocdor, o cervo de filmes foi dividido, qunto o preço, em três ctegoris: Série Ouro (SO), Série Prt (SP) e Série Bronze (SB). Mrcelo

9 estv fzendo su fich de inscrição, qundo viu Pulo lugr dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pgr R$,5 pel locção dos filmes. Viu tmbém Mrcos lugr qutro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pgr R$,5 pel locção. Mrcelo lugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes SB e pgou R$ 6, pel locção dos filmes. Então, nest locdor, qul o preço d locção de três filmes, um de cd ctegori? Figur Décim primeir questão s situções-problems bixo form extríds do rtigo de Ferreir e Pncier (6). Situção-Problem : Fernndo é um luno que pes quilos. El quer perder peso por meio de um progrm de diet e de exercícios. pós consultr tbel, ele montou o progrm de exercícios n tbel. Qunts cloris ele vi queimr por di se seguir esse progrm? Tbel - CLORIS QUEIMDS POR HOR Peso Cminhr Km/h Correr 9 Km/h ndr de biciclet 9 Km/h Jogr futebol Suponhmos um compnhmento deste luno trvés de um progrm de exercícios o longo d semn. Tbel - HORS POR DI PR CD TIVIDDE Cminhr Correr ndr de Jogr futebol Biciclet Segund-feir,,,, Terç-feir,,,, Qurt-feir,4,5,, Quint-feir,,,5, Sext-feir,4,5,, Figur Décim segund questão Situção-Problem : O controle do fluxo de veículos ns rus de mão únic no horário do rush no centro de um cidde. No centro de um

10 cidde dois conjuntos de rus de mão únic se cruzm, como mostr figur bixo: Qul é médi do número de veículos por hor que entrm e sem dess seção durnte o horário de rush? Determine quntidde de veículos entre cd um dos qutro cruzmentos. Figur Décim terceir questão Pr o professor formdor encrregdo de plicr est oficin, cujs questões podem ser respondids com o uso do progrm computcionl grtuito Winmt, indic-se que, inicilmente, pode hver dificulddes por prte dos professores, no que diz respeito à mbientção em relção o softwre. Entretnto, se divididos em grupos, interção entre os cursists é importnte e tende se tornr mis proveitos prtir d quint questão, pois os professores prticipntes se proprirão ds crcterístics do progrm e tendem utilizá-lo sem miores dificulddes. rticulção dest nov fluênci pode judr n recuperção de outr, de cunho mtemático, e o desempenho dos docentes pode melhorr sensivelmente. Mesmo que s dificulddes mtemátics ind persistm entre lguns prticipntes, esper-se ver, em inicitivs rticuldors como que é propost nest sequênci, um recurso pr que os docentes em exercício superem eventuis formções indequds, que não propicirim um bse sólid pr tução profissionl.

11 Pequeno roteiro de plnejmento pr um curso de formção de mtrizes e determinntes com o uso do WinMt ) presentção em Power Point sobre objetivos d oficin, explicndo o contexto do curso, os objetivos, e um introdução sobre o uso de TICs n Educção Mtemátic; ) Questionário pr leventr o perfil pessol e profissionl dos professores (pode uxilir prever eventuis dificulddes e/ou demnds) e um pequeno texto sobre estrtégis pedgógics com uso de TICs; ) brir um pequeno espço (lguns minutos) pr mnifestções dos professores: dificulddes no ensino de mtrizes e no uso de tecnologis; 4) tividdes questões e problems envolvendo mtrizes e determinntes sem o Winmt; 5) mbientção com o Winmt observr tentmente e levntr s dificulddes dos professores; 6) Intervenção didátic tividde com o uso do Winmt. ) Pedir que os professores elborem um ul (pode ser em grupo) usndo TICs entreg por escrito ressltr estrtégi, ou sej, dizer que eles devem elborr estrtégis didátics com o uso de TICs; 8) Recolher s impressões finis dos professores (por escrito).