Cálculo II. Samuel da Cruz Canevari

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1 Cálculo II Smuel d Cruz Cnevri São Cristóvão/SE 29

2 Cálculo II Elborção de Conteúdo Smuel d Cruz Cnevri Cp Hermeson Alves de Menezes Reimpressão Copyright 29, Universidde Federl de Sergipe / CESAD. Nenhum prte deste mteril poderá ser reproduzid, trnsmitid e grvd por qulquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópi e outros, sem prévi utorizção por escrito d UFS. FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE C22c Cnevri, Smuel d Cruz. Cálculo II / Smuel d Cruz Cnevri -- São Cristóvão: Universidde Federl de Sergipe, CESAD, 29.. Cálculo. 2. Mtemátic. I. Título. CDU 57.2/.3

3 Presidente d Repúblic Luiz Inácio Lul d Silv Ministro d Educção Fernndo Hddd Secretário de Educção Distânci Crlos Edurdo Bielschowsky Reitor Josué Modesto dos Pssos Subrinho Chefe de Gbinete Ednlv Freire Cetno Coordendor Gerl d UAB/UFS Diretor do CESAD Antônio Poncino Bezerr Vice-coordendor d UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Fábio Alves dos Sntos Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretori Pedgógic Clotildes Fris (Diretor) Héric dos Sntos Mot Ir Mcedo Reis Dniel Souz Sntos Jnin de Oliveir Freits Diretori Administrtiv e Finnceir Edélzio Alves Cost Júnior (Diretor) Sylvi Helen de Almeid Sores Vlter Siqueir Alves Coordenção de Cursos Djlm Andrde (Coordendor) Núcleo de Formção Continud Rosemeire Mrcedo Cost (Coordendor) Coordendores de Curso Denis Menezes (Letrs Português) Edurdo Fris (Administrção) Hroldo Dore (Químic) Hssn Sherft (Mtemátic) Hélio Mrio Arújo (Geogrfi ) Lourivl Sntn (Históri) Mrcelo Mcedo (Físic) Silmr Pntleão (Ciêncis Biológics) Núcleo de Avlição Guilhermin Rmos (Coordendor) Crlos Alberto Vsconcelos Elizbete Sntos Mrilves Silv de Souz Núcleo de Serviços Gráficos e Audiovisuis Giseld Brros Núcleo de Tecnologi d Informção João Edurdo Btist de Deus Anselmo Mrcel d Conceição Souz Assessori de Comunicção Guilherme Borb Gouy Coordendores de Tutori Edvn dos Sntos Sous (Físic) Gerldo Ferreir Souz Júnior (Mtemátic) Jnín Couvo T. M. de Aguir (Administrção) Priscill d Silv Góes (Históri) Rfel de Jesus Sntn (Químic) Ronilse Pereir de Aquino Torres (Geogrfi ) Tríci C. P. de Snt n (Ciêncis Biológics) Vness Sntos Góes (Letrs Português) NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO Hermeson Menezes (Coordendor) Edvr Freire Cetno Isbel Pinheiro Ewerton Lucs Brros Oliveir Neverton Correi d Silv Nycols Menezes Melo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidde Universitári Prof. José Aloísio de Cmpos Av. Mrechl Rondon, s/n - Jrdim Ros Elze CEP São Cristóvão - SE Fone(79) Fx(79)

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5 Sumário Aul : Integris Imprópris 7. Introdução Extremos de Integrção Infinitos Integris Imprópris com descontinuiddes....4 Convergênci de Integris Imprópris Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 8 Aul 2: Seqüêncis de Números Reis 9 2. Introdução Seqüêncis e Subseqüêncis Seqüêncis Convergentes Seqüêncis Monótons e Seqüênci Limitds Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 36

6 Aul 3: Séries de Números Reis Introdução Séries Numérics Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 4: Séries de Potêncis Introdução Série de Potêncis Representção de Funções Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 7 Aul 5: Métodos de Representção de Funções em Séries de Potêncis Introdução Diferencição e Integrção Séries de Tylor e de Mclurin Séries Binomiis Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 9

7 Aul 6: Equções Prmétrics 9 6. Introdução Equções Prmétrics Cálculo com Curvs Prmétrics Tngentes Áres Comprimento de Arco Áre de Superfície Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 6 Aul 7: Curvs Polres 7 7. Introdução Coordends Polres Curvs Polres Tngentes s Curvs Polres Áres e Comprimentos em Coordends Polres Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 8: Funções com Vlores Vetoriis Introdução Definições e Proprieddes Limite e Continuidde Derivd... 27

8 8.5 Integrl Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 9: Curvs Espciis Introdução Movimentos no espço Movimento no espço: Velocidde e Acelerção Comprimento de Arco Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul : Funções de Vris Vriáveis Reis Vlores Reis 5. Introdução Noções Topológics no R Funções Gráficos Curvs de Nível Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 7

9 Aul : Limites, Continuidde e Derivds Prciis 73. Introdução Limite Continuidde Derivds Prciis Derivds prciis de ordem superior Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 2: Funções Diferenciáveis Introdução Diferencibilidde Plno Tngente e Ret Norml A Diferencil Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 3: Regr d Cdei e Derivção Implícit Introdução Regr d Cdei Derivção de funções definids implicitmente Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis

10 Aul 4: Vetor Grdiente e s Derivds Direcionis Introdução Vetor Grdiente Derivd Direcionl Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis Aul 5: Máximos e Mínimos Introdução Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo Máximos e Mínimos sobre Conjuntos Compctos Máximos e Mínimos Condiciondos Resumo Atividdes Comentário ds Atividdes Referêncis... 26

11 LIVRO Integris Imprópris AULA META Apresentr os conceitos e proprieddes de integris com extremos de integrções infinitos e integris de funções com descontinuidde. OBJETIVOS Clculr áres de regiões não itds. PRÉ-REQUISITOS Conceitos de funções reis, funções contínus e o Teorem Fundmentl do Cálculo.

12 Integris Imprópris. Introdução Cros lunos, estmos inicindo o curso de Cálculo II. Neste curso, fremos uso de bstntes conceitos e resultdos vistos no curso de Cálculo I. Est primeir ul tem por objetivo estender o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) e definir s Integris Imprópris. No TFC, os ites de integrção, e b em f(x)dx, são números reis e f um função contínu no intervlo [, b]. Pode contecer que, o plicrmos estes conceitos, sej preciso ou conveniente considerr os csos em que =, b =+, ouf sej descontínu em um ou mis pontos do intervlo. Nests condições, é preciso mplir conceito de integrl e s técnics de integrção, de modo incluir estes csos dicionis. Ests integris, em que =, b=+ ou f é descontínu em [, b], são chmds Integris Imprópris. Nem sempre um integrl deste tipo represent um número rel, isto é, nem sempre um integrl imprópri existe. Qundo el existe, seu vlor é clculdo levndo-se em cont generlizção do conceito de integrl definid..2 Integris Imprópris com Extremos de Integrção Infinitos Exemplo.2.. Consideremos o problem de encontrr áre d região itd pel curv y = e x, pelo eixo y e pel ret x = b> como mostr Figur. bixo. Se A uniddes de áre for áre d região, então A = e x dx = e x b = e b = e b. 8

13 Livro de Cálculo II AULA Figur.: Áre Se deixrmos b crescer sem itções, então b e x dx = ( )=. (.) b eb Segue d equção (.) que não import quão grnde sej o vlor de b, áre d região será sempre menor do que uniddes de áre. A equção (.) estbelece que se b> pr todo ɛ> existe um N> tl que se b>n então Em lugr de (.) escrevemos s seguintes definições: e x dx <ɛ. e x dx =. Em gerl temos Definição.. (i) Se f for contínu pr todo x, então se esse ite existir; f(x)dx = b f(x)dx (ii) Se f for contínu pr todo x b, então f(x)dx = f(x)dx 9

14 Integris Imprópris se esse ite existir; (i) Se f for contínu pr todos vlores de x e c for um número rel qulquer, então f(x)dx = se esse ite existir; f(x)dx + b + f(x)dx N definição cim, se o ite existir, diremos que integrl imprópri é convergente, cso cso contrário, diremos que é divergente. Exemplo.2.2. Clcule integrl, se el convergir: (Ver Figur.2) 2 dx (4 x) 2. Figur.2: Áre com extremo inferior indefinido. Resolução: 2 dx (4 x) 2 = = 2 dx (4 x) 2 [ 4 x ] 2 = ( 2 4 )= 2. Exemplo.2.3. Estude convergênci d integrl: xe x dx.

15 Livro de Cálculo II Resolução: xe x dx = + xe x dx AULA Pr clculr ess integrl, usremos integrção por prtes com u = x, dv = e x,du= dx e v = e x. Assim, xe x dx = [ xe x e x] + = + ( e e +) = + Aplicndo regr de L Hospitl temos que + e = + e +. e = e portnto xe x dx =..3 Integris Imprópris com descontinuiddes Exemplo.3.. Suponh que queremos obter áre d região do plno itd pel curv cuj equção é y = x, pelo eixo-x, pelo eixo-y e pel ret x =4. Conforme ilustrdo n Figur.3 bixo: Se for possível ter um número que represente medid d áre dess região, ele será obtido pel integrl x + 4 x. Entretnto, o integrndo é descontínuo no extremo inferior zero. Além disso, =+, ssim dizemos que o integrndo tem x

16 Integris Imprópris Figur.3: Áre com descontinuidde no extremo inferior de integrção um descontinuidde infinit no extremo inferior. Ess integrl é imprópri e su existênci pode ser determind d seguinte form: 4 4 = = x t + t x t +(2 x 4 t ) = t +(4 2 t)=4 logo 4 será medid d áre d região dd. Mis gerlmente temos seguinte definição: Definição.2. (i) Se f for contínu pr todo x do intervlo semi-berto à esquerd (, b], e se se esse ite existir; f(x)dx = t + f(x) =±, então x + t f(x)dx (ii) Se f for contínu pr todo x do intervlo semi-berto à direit [, b), ese f(x) =±, então x b se esse ite existir; f(x)dx = t b t f(x)dx (iii) Se f for contínu pr todos vlores de x no intervlo [, b] 2

17 Livro de Cálculo II exceto c, onde <c<bese f(x) =+, então x c f(x)dx = t c t f(x)dx + s c + s f(x)dx AULA se esse ite existir; Exemplo.3.2. Clcule integrl, se el for convergente: Resolução: 2 dx (x ) 2. O integrndo tem um descontinuidde infinit em, ou sej, dx =+, portnto, pel definição que cbmos de x (x ) 2 estbelecer, temos 2 dx t dx 2 dx (x ) 2 = dx + t (x ) 2 s + s (x ) 2 dx = t ( x ) t + s +( x ) 2 s = t ( ) + t s +( s ) Como nenhum desses ites existe, integrl imprópri é divergente. Se no exemplo nterior não tivéssemos notdo descontinuidde do integrndo em, terímos 2 dx (x ) 2 =( x ) 2 = 2. Esse resultdo é obvimente incorreto, um vez que é negtivo. Exemplo.3.3. Clcule integrl, se el existir: Resolução: (x ) 2 nunc x ln xdx. O integrndo tem um descontinuidde no extremo inferior. Portnto, escrevemos xlnxdx= t + t xlnxdx 3

18 Integris Imprópris Pr clculr ess integrl, usremos integrção por prtes com u = ln x, dv = xdx, du = x2 xdx e v = 2. Assim, xlnxdx = t + t xlnxdx= t +( 2 x2 ln x 4 x) t = t +( 2 ln() 4 2 t2 ln(t)+ 4 t) = 4 2 t t2 ln(t). + Note que t t2 ln(t) é um indeterminção to tipo.( ). Pr + clculr esse ite, usremos L Hospitl, Logo, t t2 ln(t) = + ln(t) t + = t 2 t + xlnxdx= 4. t 2 t 3 = t + t2 2 =..4 Convergênci e Divergênci de Integris Imprópris: Critério de Comprção Algums vezes é impossível encontrr o vlor exto de um integrl imprópri, mis ind ssim é importnte sber se el é convergente ou divergente. Em tis csos o critério de comprção é útil. Observmos, inicilmente, que se f for integrável em [, t], pr todo t>,esef(x) em [, + ), então função F (x) = x f(t)dt, x será crescente em [, + ). De fto, se x e x 2 são dois vlores reis quisquer, com x <x 2 então F (x 2 ) F (x )= x2 f(t)dt x f(t)dt = x2 x f(t)dt. 4

19 Livro de Cálculo II Segue que, x x x existir M tl que f(t)dt ou será finito ou + ; será finito e f(t)dt M pr todo x. AULA Critério d Comprção: Sejm f e g dus funções integráveis em [, t], pr todo t>,e tis que, pr todo x, f(x) g(x). Então ) g(x)dx converge = f(x)dx converge. b) f(x)dx diverge = g(x)dx diverge. Demostrção: ) g(x)dx é finito, pois por hipótese, g(x)dx é t + convergente. De f(x) g(x), pr todo x, result t Sendo F (t) = t f(x)dx será finito e, portnto, t g(x)dx g(x)dx. f(x)dx crescente e itd, result que f(x)dx será convergente. t + t f(x)dx b) nálog. Exemplo.4.. Verifique que Resolução: Note que, e x sen 2 xdx é convergente. e x sen 2 x e x, pr todo x emis e x dx = t t e x dx = t (e t +)=, 5

20 Integris Imprópris logo, que. + e x dx é convergente. Segue do critério de comprção e x sen 2 xdx é convergente e, lém disso, Exemplo.4.2. Verifique que integrl imprópri é divergente. Resolução: Note quem Pr todo x, De + x 3 x 4 +3 = x x x 4 x 2 + 3, e, portnto, 4 x 4 x 3 x x >. e x sen 2 xdx x 3 x 4 +3 dx dx =+, segue, pelo critério de comprção, que 4x x 3 x 4 dx é divergente Resumo Nest ul, você prendeu clculr f(x)dx onde = e b =+ ; ouf é descontínu em um ou mis pontos do intervlo [, b]. Est ferrment será bstnte útil ns próxims uls, onde estudremos convergêncis de séries numérics..6 Atividdes. Estude convergênci ds integris seguir: () xe x dx (c) xe x2 dx (e) ln x x dx 6

21 Livro de Cálculo II (b) x dx (d) x 2 (f) xdx AULA 2. Clcule s seguintes integris, se existirem: () dx (c) ln x dx (e) x 2 4 x 2 dx (b) x dx (d) 3 x 2 x 3 (f) π 4 cos x sen x dx 3. Suponh f integrável em [, t), pr todo t. Prove que se f(x) dx é convergente, então f(x)dx tmbém é convergente. (Sugestão: use que f(x) + f(x) 2 f(x) e que f(x) = f(x) + f(x) f(x) ) 4. Usndo o exercício 3., prove que integrl é convergente. e x sen 3 xdx 5. A integrl sen x dx é convergente ou divergente? Justi- x fique su respost..7 Comentário ds Atividdes A tividde. é pr você (luno) prticr os conceitos vistos n Seção.2. Se você conseguiu resolver todos os ítens dest tividde, então você prendeu clculr integris imprópris com extremos de integrção infinitos. A tividde 2. é referente Seção.3. Conseguiu resolver todos os ítens dest tividde? Que bom!!! Você prendeu clculr 7

22 Integris Imprópris integris imprópris com descontinuiddes. Ns tividdes 3., 4. e 5. devem usr os resultdos vistos n Seção.4. Tis resultdos são muito úteis no cálculo de integris imprópris..8 Referêncis GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. e 2). Rio de Jneiro: LTC Editor, 26. STEWART, J., Cálculo (vol. e 2). São Pulo: Pioneir Thomson Lerning, 26. THOMAS, G. B., Cálculo (vol. e 2). São Pulo: Addison Wesley, 22. 8