O PEIXE QUE SUMIU NO AQUÁRIO

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1 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 1 O PEIXE QUE SUMIU NO AQUÁRIO Eric Barros Lopes 1, Carlos Eduardo Aguiar 2, Antonio Carlos Fontes dos Santos 3, Walter Silva Santos 4 1 Instituto Federal Fluminense e Universidade Federal do Rio de Janeiro, eb_lopes@yahoo.com.br 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro, carlos@if.ufrj.br 3 Universidade Federal do Rio de Janeiro, toni@if.ufrj.br 4 Colégio Pedro II, walter.s.santos@uol.com.br Resumo Para certos ângulos de observação, um peixe num aquário esférico fica invisível se estiver suficientemente próximo à parede de vidro. Esse fenômeno, familiar aos possuidores de aquários, é geralmente atribuído à reflexão interna total da luz que vem do peixe. Nós mostramos neste trabalho que a ótica envolvida no desaparecimento do peixe é mais sutil e interessante, envolvendo a formação de um arco-íris. Demonstramos que a zona cega de onde o peixe não pode ser visto é limitada, de um lado, pela reflexão interna total e, do outro, por um arco-íris. A presença do arco-íris diminui a região de onde não podemos ver o peixe, em relação ao que se esperaria se a reflexão interna total fosse o único mecanismo de ocultação. O desaparecimento do peixe no aquário é um bom exemplo de como o arcoíris, geralmente associado apenas ao fenômeno atmosférico que lhe dá o nome, pode ser encontrado em uma grande variedade de situações físicas. Palavras-chave: óptica, arco-íris, reflexão interna total Introdução Um peixe num aquário esférico nem sempre está visível. Se o peixe chegar perto do vidro do aquário ele desaparecerá para certos ângulos de observação. Esse efeito é bem conhecido, mas costuma ser mal explicado. Por exemplo, em artigo recente Zhu e Shi [Zhu 2009] atribuem o desaparecimento do peixe à reflexão interna total da luz. Entretanto, como veremos a seguir, o fenômeno envolve uma ótica bem mais rica: um arco-íris define uma das fronteiras da zona cega de onde o peixe não pode ser visto. Reflexão interna total Vamos considerar um aquário esférico de raio R, com o peixe a uma distância a de seu centro. A figura 1 mostra um raio luminoso que parte do peixe (o ponto vermelho à direita do centro) e é refratado para fora do aquário. O raio faz inicialmente um ângulo γ com a linha que vai do peixe ao centro do aquário, e atinge a parede de vidro com um ângulo de incidência i.

2 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 2 r R i γ Θ a Figura 1: Raio luminoso com origem no peixe. O ângulo de incidência está relacionado a γ pela lei dos senos seni = x senγ (1) onde x = a / R é a distância do peixe ao centro em unidades do raio do aquário. Após a refração o raio deixa o aquário fazendo um ângulo r com a direção de incidência normal (figura 1). Usando a lei de Snell e a equação (1) obtemos sen r = nx sen γ (2) onde n é o índice de refração da água em relação ao ar (desprezamos a espessura da parede de vidro). O papel desempenhado pela reflexão interna total no desaparecimento do peixe pode ser entendido da seguinte maneira. Como senr 1, vemos da equação (2) que os raios que conseguem sair do aquário devem partir com um ângulo γ tal que sen γ 1/( nx). (3) Se o peixe não estiver muito longe do centro do aquário mais exatamente, se a < R / n então nx < 1 e a equação (3) não coloca qualquer restrição sobre o ângulo γ. Nesse caso todos os raios luminosos que partem do peixe saem do aquário. Por outro lado, se a > R / n (o peixe está perto da parede de vidro), nx > 1 e a equação (3) define uma região angular π / 2 δ < γ < π / 2 + δ (4) na qual a reflexão interna total impede que os raios deixem o aquário. A largura dessa região é δ = arccos(1/nx), um resultado que pode ser obtido da equação (3) com um pouco de trigonometria. É útil definir o ângulo de observação Θ, entre o raio emergente e a linha que passa pelo peixe e o centro do aquário. Da figura 1 vemos que

3 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 3 Θ = γ + r i. (5) Caso Θ cresça monotonamente com γ, a região de reflexão interna total dada pela equação (4) deve ser mapeada no intervalo π i δ < Θ < π i + δ (6) c onde i c = arcsen (1/n) é o ângulo de incidência crítico, correspondente a um ângulo de refração de π/2. c Se a reflexão interna total for o único mecanismo responsável pelo desaparecimento do peixe, a região de onde ele não pode ser visto deve ser dada pelo intervalo definido na equação (6) [Zhu 2009]. Entretanto, como discutiremos a seguir, a zona cega é menor que esse intervalo, o que está relacionado ao surgimento de um arco-íris. Um arco-íris no aquário Os raios luminosos que têm origem no peixe e saem do aquário estão mostrados na figura 2. O peixe é representado pelo ponto vermelho à direita do centro do aquário, e por clareza não desenhamos os raios no interior da água. A figura é uma implementação da lei de refração, equação (2), em um ambiente de geometria dinâmica [Tabulae] (detalhes sobre o uso da geometria dinâmica no ensino de ótica podem ser encontrados em [Aguiar 2009, Santos 2011]). A zona cega de onde não se pode ver o peixe corresponde à lacuna larga entre os raios da figura 2. Podemos notar que, à direita da figura, a zona cega é limitada por raios que emergem do aquário tangenciando a superfície esférica. Isso indica que, desse lado, a reflexão interna total é responsável pelo desaparecimento do peixe, e o ângulo em que isso ocorre corresponde ao limite inferior da equação (6). A outra fronteira da zona cega é mais complicada. A observação cuidadosa da figura 2 mostra que essa fronteira não é formada por raios que deixam o aquário tangencialmente e, portanto, nesse caso a reflexão interna total não pode ser o mecanismo por trás do desaparecimento do peixe. O que acontece nessa fronteira da zona cega é mais facilmente analisado com auxílio da figura 3, que mostra o gráfico do ângulo de observação Θ como função de γ (calculada juntando as equações (1), (2) e (5)). Três curvas são mostradas, correspondentes a três valores diferentes do parâmetro de distância x. Para x = 0,7 o peixe está sempre visível, pois nesse caso nx < 1 (tomamos n = 1,33 para o índice de refração água-ar). Para valores maiores de x (0,7 e 0,8), nx > 1 e as curvas apresentam uma descontinuidade, correspondente à zona de invisibilidade. O intervalo de ângulos γ subentendido pela descontinuidade é o dado pela equação (4). A lacuna no ângulo de observação Θ, entretanto, é menor que a definida na equação (6). Isso se deve ao comportamento não-monotônico apresentado pela função Θ(γ) próximo ao limite superior da interrupção. Vemos na figura 3 que à medida que γ aumenta para além da descontinuidade o ângulo de observação

4 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 4 diminui, atingindo valores inferiores a π c + i δ que seriam vedados pela equação (6). Só após passar por um mínimo local o ângulo Θ volta a crescer de maneira sistemática. Figura 2: Raios luminosos com origem no peixe (o ponto vermelho à direita), ao deixarem o aquário. A figura é uma implementação da lei de refração, equação (2), em um ambiente de geometria dinâmica. Figura 3: O ângulo de observação Θ como função de γ, para três valores do parâmetro de distância: x = 0,7 (curva vermelha, embaixo), x = 0,8 (curva azul, centro) e x = 0,9 (curva preta, topo), Além de encurtar a zona cega, o mínimo da função Θ(γ) tem outras consequências. Um ponto extremo (máximo ou mínimo) em Θ(γ) sinaliza a existência de um arco-íris no ângulo de observação correspondente [Whitaker 1974, Walker 1976]. Isso significa que a zona cega termina em um arco-íris. O agrupamento dos raios de luz em torno do mínimo local faz com que término da zona de invisibilidade se dê de forma particularmente abrupta, com o surgimento

5 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 5 repentino de uma faixa brilhante e bem definida (o arco-íris). Em contraposição, na outra fronteira da zona cega há apenas uma transição gradual de claro para escuro para, associada ao surgimento da reflexão interna total. A existência desse arco-íris é confirmada na figura 4. Ela mostra a fotografia de um recipiente circular de vidro, contendo água, na qual está imersa uma pequena lâmpada (convenientemente isolada). A fotografia pode ser comparada à simulação da figura 2. As áreas iluminadas fora do recipiente são os pontos de onde se pode ver a lâmpada (ou o peixe) e as regiões mais escuras correspondem à zona cega. O arco-íris pode ser facilmente percebido na fronteira bem definida entre as zonas iluminada e escura. A segunda fronteira, bem mais difusa, está associada à reflexão interna total. Uma visão mais próxima do arco-íris está apresentada na figura 5, revelando a característica separação de cores causada pela dispersão da luz. Figura 4: Luz de uma lâmpada (o peixe ) colocada num recipiente de vidro cheio de água (o aquário ). A lâmpada não pode ser vista da área escura. A fronteira brilhante entre as áreas escura e iluminada é um arco-íris. Figura 5: Separação de cores no arco-íris gerada pela dispersão da luz.

6 XX Simpósio Nacional de Ensino de Física SNEF 2013 São Paulo, SP 6 Conclusão Em resumo, dois efeitos óticos distintos são responsáveis pelo desaparecimento do peixe no aquário: a reflexão interna total e o arco-íris. As descrições do fenômeno encontradas na literatura fazem referência apenas à reflexão interna. Mas, como mostramos, essa é apenas parte da explicação a compreensão correta do processo envolve o reconhecimento do papel desempenhado pelo arco-íris. Em particular, o arco-íris diminui a região de onde o peixe não pode ser visto, em relação ao previsto quando se considera apenas a reflexão interna total. O arco-íris é geralmente associado apenas ao fenômeno atmosférico que lhe dá o nome. O desaparecimento do peixe no aquário é um bom exemplo de que o arco-íris pode ser encontrado em uma grande variedade de situações físicas. Referências AGUIAR, C.E. Óptica e geometria dinâmica. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 31, art. 3302, SANTOS, W.S.; SANTOS, A.C.F.; AGUIAR, C.E. Refração negativa: um estudo com geometria dinâmica. Anais do XIX Simpósio Nacional de Ensino de Física, Manaus, TABULAE. Programa de geometria dinâmica, disponível em WALKER, J.D. Multiple rainbows from single drops of water and other liquids. American Journal of Physics, v. 44, p , WHITAKER, R.J. Physics of the rainbow. The Physics Teacher, v. 12, p , ZHU, Y.; SHI, F. Why does the goldfish disappear in the fishbowl? The Physics Teacher, v. 47, p , 2009.

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