APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL EM PROBLEMAS DE MECÂNICA QUÂNTICA. Bruno Gomes Werneck* (IC), Arnaldo Dal Pino Jr.

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1 APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL EM PROBLEMAS DE MECÂNICA QUÂNTICA Bruno Gomes Werneck* (IC), Arnaldo Dal Pino Jr. (PQ) Departamento de Física Instituto Tecnológico de Aeronáutica CTA, CEP , São José dos Campos, SP, Brasil Resumo Um procedimento para a solução da equação de Schrödinger para o estado fundamental e alguns estados excitados, considerando-se potencial na forma de parábola V = 0,5x e o Potencial de Morse, baseado em uma rede neural artificial, foi estudado. A rede empregada é composta de neurônios do tipo perceptron arranjados em forma seqüencial. Uma introdução sobre as redes neurais artificiais será apresentada. Conceitos sobre mecânica quântica, relacionados à equação de Schrödinger, assim como sua obtenção serão estudados. Além disso, os métodos de treinamento da rede neural aplicados neste trabalho serão apresentados, assim como os resultados alcançados e a análise. Abstract Here we study a procedure, based upon artificial neural networks, to solve the Schrödinger s equation for the fundamental states and some excited states with parabolical potential V = 0,5 x and Morse potential. The network that we use is made up of neurons of the type perceptron assembled sequentially. We start off by presenting an introduction to artificial neural networks and some concepts from Quantum Mechanics linked to Schrödinger s equation. Finally, we describe the training techniques that were adopted and analyze the outcomes. 1. Introdução Neste trabalho, apresenta-se o primeiros resultados de um projeto de iniciação científica, que consiste em desenvolver um aplicativo computacional para encontrar as soluções da equação de Schrödinger considerando-se dois potenciais; V = 0,5x, onde foram investigadas as soluções do estado fundamental e dos dois primeiros estados excitados; e o Potencial de Morse, onde as soluções para o estado fundamental e o primeiro estado excitado foram obtidas. Para desenvolver este aplicativo foi utilizada uma técnica de inteligência artificial baseada em Redes Neurais Artificiais. A rede é composta por neurônios do tipo perceptron organizados de forma seqüencial, em três camadas: a de entrada, contendo uma única célula; a intermediária, composta de 6 (seis) células e, formada por duas células, a camada de saída. A figura 1 mostra a arquitetura da rede. As conexões entre as camadas são os pesos, parâmetros que serão alterados durante o treinamento supervisionado da RNA. Este treinamento acontecerá de acordo com o método de algoritmo genético e Método da Variação Infinitesimal, que serão descritos oportunamente. Os pesos (w i ) são fatores multiplicativos aplicados nas conexões entre as camadas. Neste projeto: Fig. 1. Arquitetura da RNA aplicada ao projeto M tanh( k 1 f I. j w j j ) O s g 6 i 1 M. w Onde: j, k são constantes; k 1 g( x) k exp( k ) j 3 x i s * Bolsista CNPq - Brasil

2 k g( x) tanh( k1x) O problema a ser estudado é um sistema quântico unidimensional, que obedece à seguinte equação de Schrödinger H ( x) V ( x). ( x) E. ( x) (1) onde é a massa de uma partícula, V(x) = 0,5x é a função potencial e E o autovalor. Esse autovalor obedece a regra E = n + 0,5, onde n indica o estado de excitação. Por exemplo, n = 0,5 para o estado fundamental, n = 1.5 para o primeiro estado excitado e assim sucessivamente. Sendo a função de onda da forma: ( x ) A( x). sen( S( x)). as saídas da Rede Neural Artificial são A(x) - amplitude e S(x) - fase -, podemos também definir o erro (R), que é um dos parâmetros para verificar o aprendizado da rede. M M é o número de pontos escolhidos para o domínio e x i é o i- H E ( x) ésimo ponto do domínio. R xi M xi ( x). Metodologia () Uma vez definido o erro, podemos definir a função aptidão: f exp( R) Na definição de R, levamos em consideração a diferença entre os dois últimos membros da equação (1). As Redes Neurais Artificiais são técnicas computacionais que apresentam um modelo matemático inspirado na estrutura neural de organismos inteligentes e que adquirem conhecimento através da experiência. Uma RNA é constituída por várias unidades de processamento conectadas por canais de comunicação que estão associados a determinado peso. O comportamento inteligente de uma RNA vem das interações entre as unidades de processamento da rede. A operação de uma unidade de processamento pode ser resumida da seguinte maneira: - Sinais são apresentados à entrada; - cada sinal é multiplicado por um número, ou peso, que indica a sua influência na saída da unidade; - é feita a soma ponderada dos sinais que produz um nível de atividade; - se este nível de atividade exceder um certo limite a unidade produz uma dada resposta de saída. A principal característica das redes neurais é a habilidade de aprender em seu ambiente e com isso melhorar seu desempenho. O treinamento é feito através de um processo iterativo de ajustes aplicado aos pesos da rede, sendo encerrado quando a rede atinge a solução generalizada para uma classe de problemas. Como limitações as Redes Neurais Artificiais apresentam o fato de poderem ser vistas como caixas pretas, ou seja, é praticamente impossível determinar porque a rede chega a um determinado resultado, pois os modelos não apresentam justificativas para seus resultados; o tempo de treinamento tende a ser muito grande, isto é, é difícil definir a arquitetura ideal afim de que resultados satisfatórios sejam alcançados com rapidez. Para transpor esses obstáculos muitas pesquisas são feitas visando a extração de conhecimento de redes neurais artificiais e criação de procedimentos explicativos, a fim de justificar o comportamento da rede em determinadas situações. A RNA implementada neste trabalho figura 1 - receberá valores na entrada (domínio) e retornará a solução (imagem) da equação (1) correspondente a cada valor de entrada. Com isso foi possível plotar gráficos que representem à solução da referida equação para vibração de sistemas moleculares simples, tanto no estado fundamental quanto nos estados excitados. O treinamento aplicado é do tipo supervisionado, pois serão considerados os seguintes parâmetros de erro: ortogonalidade entre as soluções, normalização da solução, paridade e o parâmetro R ().

3 Foram adotados os seguintes métodos de treinamento:.1 Algoritmo Genético Antes de tratarmos do método são necessárias algumas definições: Indivíduo: conjunto de pesos e constantes ( ) que será utilizado para o funcionamento da rede; População: conjunto de indivíduos. A cada iteração esse grupo é alterado. Geração: o mesmo que iteração. A cada geração é mantida fixa a quantidade de indivíduos. A população é escolhida aleatoriamente. A cada erro é associada uma aptidão, que é tanto maior quanto menor for o erro. De acordo com a aptidão, os indivíduos são organizados de forma crescente. Aleatoriamente, escolhem-se dois pesos correspondentes de dois indivíduos. Obviamente, os mais aptos têm maior probabilidade de serem sorteados. Esses pesos são transformados da base decimal para a binária. Os bits são misturados e dois novos indivíduos nascem. Os novatos substituem os pesos de posição correspondente a dos inicialmente sorteados dos dois indivíduos de menor aptidão. Esses novos indivíduos são inseridos na geração seguinte e submetidos ao mesmo processo. Vale ressaltar que cada indivíduo tem seu erro calculado pela rede no início de cada iteração, ou seja, a população é classificada antes do procedimento de treinamento propriamente dito. Abaixo, segue uma ilustração do algoritmo genético: Passo 1. Elementos escolhidos. Passo. Escolha da posição para se misturar os elementos Passo 3. Novos elementos. Após serem misturados. Além desse procedimento, pode ocorrer uma mutação. Mutação. Um dos elementos constituintes de um dos pesos é transformado de 1 para 0 (ou 0 para 1). Essa escolha acontece de forma aleatória no que diz respeito ao elemento escolhido, porém com uma probabilidade baixa predeterminada. Por exemplo, pode ocorrer uma mutação á cada 50 (cinqüenta) iterações.. Método da variação infinitesimal Fig.. Mutação Para este método de treinamento são válidas as definições feitas para o algoritmo genético. O método da variação infinitesimal consiste em escolher um dos pesos(w) e gerar, a partir deste, outros dois pesos da seguinte forma. w 1 = w + h; w = w - h; Calcula-se então o erro destes dois novos pesos quando substituídos no lugar de w, em seu respectivo indivíduo. Aquele que apresentar menor erro é então conservado na posição de w e guardado para a próxima geração. Na rede adotada neste trabalho, esse procedimento é efetuado para cada peso, de cada indivíduo a cada iteração.

4 3. Resultados Nas figuras 3-5 abaixo, estão as soluções da equação (1) obtidas pelo aplicativo. Além dos gráficos correspondentes ao monitoramento da evolução do treinamento, onde estão indicadas as aptidões do melhor indivíduo de cada geração em função da iteração 3.1 V = 0,5x. Considerando este potencial, seguem os resultados obtidos para o estado fundamental, o primeiro e o segundo estados excitados, devidamente identificados. Neste caso foram considerados todos os parâmetros de monitoramento, inclusive o que considera soluções impares e pares (paridade). No estado fundamental e segundo estado excitado as soluções são pares, enquanto que a solução corresponde ao primeiro estado excitado é impar. Fig. 3 Estado fundamental 1 () 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 300 iterações ~ , e x Iterações Fig. 4 Primeiro estado excitado 1 0,3 300 iterações ~ () 0,, e x Iterações Fig. 5 Segundo estado excitado 1 0, 00 iterações ~ () , e x Iterações

5 3. Potencial de Morse Nas figuras 6 7 abaixo, seguem os resultados encontrados para o estado fundamental e primeiro estado excitado, considerando-se o potencial de Morse. Neste caso, não ocorrem soluções pares ou impares, portanto isso não foi considerado como parâmetro de monitoramento para o treinamento da RNA. Porém, os demais parâmetros foram mantidos. Fig. 6 Estado fundamental , e Fig. 7 Primeiro estado excitado 0, () 0,95 0, x Iterações 0,65 0,60 0, iterações ~ iterações ~ Y Axis Title X axis title - () 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30-0, 0,5-0, , e x Iterações 4. Comentários e Conclusões Os parâmetros adotados para o monitoramento do treinamento da RNA foram de extrema importância, pois a função que realmente desperta interesse em física quântica é aquela obtida somando-se os módulos das áreas determinadas por e elevando esse resultado ao quadrado. representa uma densidade de probabilidade. A ortogonalidade entre as soluções garante que a solução não convergirá para a correspondente a estados anteriores, o que levaria a resultados enganosos. Observa-se que os gráficos de das figuras 3 e 5 apresentam soluções pares, enquanto que na figura 4 tem-se solução impar. Eis a importância de se considerar simetria impar e par como parâmetro para o treinamento. Nas figuras 6 e 7, relativas ao potencial de Morse, não deve haver simetria, por isso parâmetro de paridade é extinto. Considerando as figuras 3, 4 e 5, no que diz respeito às evoluções dessas soluções, onde as aptidões estão diretamente relacionas com o erro R (), pode-se observar que a solução para o segundo estado excitado evoluiu mais rapidamente para aquela esperada na teoria. Sobre os valores das aptidões nota-se que a solução correspondente ao estado fundamental apresenta melhor valor, enquanto que para os dois próximos estados elas decrescem bastante. Neste momento, esbarramos na misteriosidade apresentada pelas redes neurais para responder como é possível um resultado satisfatório com aptidões relativamente baixas. Seria necessário um estudo mais rigoroso para encontrar essa resposta. As figuras 6 e 7 mostram os resultados considerando-se o potencial de Morse. Ambas as soluções evoluíram rapidamente, em relação ao potencial V = 0,5x, para resultados satisfatórios e com altas aptidões, ou seja, os erros apresentados para essas soluções foram

6 baixos. Como o potencial de Morse simula o comportamento do oscilador harmônico mais próximo da realidade, podemos considerar que o aplicativo apresenta utilidade no estudo de problemas de mecânica quântica. Considerando os objetivos de um trabalho de iniciação científica: proporcionar ao estudante situações onde possa se familiarizar e aplicar os procedimentos relacionados à pesquisa cientifica, desenvolver seu espírito investigador, aplicar seus conhecimentos e absorver tecnologias por ele desconhecidas, entre outros, este projeto foi bem sucedido. É importante ressaltar que o estudo das técnicas de Redes Neurais Artificiais é recente no meio científico, pois começou a se desenvolver em meados do século passado. 5. Referencias Bibliográficas [1] Pohl Ackland, Herbert - Introdução à Mecânica Quântica a. Edição (traduzida 1973) [] Kovács, Zsolt László Redes Neurais Artificiais (Fundamentos e Aplicações) 3 a. Edição. Editora Livraria da Física [3] McCuulloch, W. e Pitts, W. A Logical Calculus of the Ideas Immanent in Nervous Activity Bulletin of Mathematical Biophysics, [4] Wang Y. et al Adapdative Job-Shop Scheduling using NN s Journal of Manufacturing Systems 1991.

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