Unidade IV. Aula 21.2 Conteúdo: Óptica, Ser humano e Saúde. Espelhos esféricos: Estudo analítico das imagens, equação de Gauss e aplicações.

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2 CONTEÚDO E HABILIDADES Unidade IV Óptica, Ser humano e Saúde Aula 21.2 Conteúdo: Espelhos esféricos: Estudo analítico das imagens, equação de Gauss e aplicações. 2

3 CONTEÚDO E HABILIDADES Habilidade: Reconhecer características ou propriedades das imagens ópticas da óptica da visão, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos. 3

4 CONTEÚDO E HABILIDADES ICJ Reflexão 4

5 CONTEÚDO E HABILIDADES Espelho esférico Qualquer calota esférica polida e com alto poder refletor. Calota esférica 5

6 CONTEÚDO E HABILIDADES Espelho esférico côncavo Quando a superfície refletora da calota estiver voltada para dentro da esfera. 6

7 CONTEÚDO E HABILIDADES Espelho esférico convexo Quando a superfície refletora da calota estiver voltada para fora da esfera. 7

8 CONTEÚDO E HABILIDADES Espelhos esféricos gaussianos O físico matemático alemão Carl Friedrich Gauss ( ) observou que operando-se com raios luminosos pouco inclinados e pouco afastados em relação ao eixo principal (raios paraxiais), as aberrações de esfericidade inerentes aos espelhos esféricos ficavam sensivelmente minimizadas. 8

9 CONTEÚDO E HABILIDADES 9

10 CONTEÚDO E HABILIDADES Espelhos esféricos gaussianos Em relação ao pincel luminoso incidente representado na figura a seguir. O espelho esférico côncavo pode ser considerado Eixo Principal gaussiano, desde que o ângulo de abertura da região do espelho sobre a qual a luz incide não deve exceder a

11 CONTEÚDO E HABILIDADES O referencial gaussiano É um sistema cartesiano constituído de dois eixos orientados perpendicularmente entre si, 0x e 0y, com origem no vértice V do espelho. 11

12 CONTEÚDO E HABILIDADES O eixo das abcissas (0x) será orientado no sentido oposto ao da luz incidente. 12

13 CONTEÚDO E HABILIDADES Do referencial gaussiano, decorrem: Elementos reais Objetos ou imagens situadas na frente do espelho: abscissa positiva. Elementos virtuais Objetos ou imagens situados atrás do espelho: abscissa negativa. 13

14 CONTEÚDO E HABILIDADES Objeto AB situado diante de um espelho côncavo. 14

15 CONTEÚDO E HABILIDADES No referencial gaussiano acima, temos: P > 0(objeto real) P < 0 (imagem virtual) f > 0 (no espelho côncavo, o foco principal é real) o > 0 e i > 0 15

16 CONTEÚDO E HABILIDADES A simbologia adotada nesse exemplo será utilizada também nas próximas situações: p = abscissa do objeto p = abscissa da imagem f = abscissa focal o = ordenada do objeto i = ordenada da imagem 16

17 CONTEÚDO E HABILIDADES Nota: O módulo de f recebe o nome de distância focal. 17

18 CONTEÚDO E HABILIDADES Equação de Gauss (função dos pontos conjugados) AB é um objeto frontal e A B é a imagem correspondente conjugada por um espelho esférico côncavo. 18

19 CONTEÚDO E HABILIDADES α α β β 19

20 CONTEÚDO E HABILIDADES A equação de Gauss é reconhecida como a função dos pontos conjugados 1 f = 1 p + 1 p 20

21 CONTEÚDO E HABILIDADES Aumento linear transversal É a grandeza adimensional A, calculada pelo quociente da ordenada da imagem (i) pela ordenada do objeto (o): A = i o Dependendo dos sinais das ordenadas i e o, o aumento linear transversal pode ser positivo ou negativo. 21

22 CONTEÚDO E HABILIDADES Se o aumento é positivo (A > 0 ), i e o têm o mesmo sinal e a imagem é direita: Neste exemplo, o > 0 e i > 0: a imagem é direita. 22

23 CONTEÚDO E HABILIDADES Se o aumento é negativo (a < 0), i e o têm sinais opostos e a imagem é invertida. o i Neste exemplo, o > 0 e i < 0: a imagem é invertida. 23

24 CONTEÚDO E HABILIDADES Note que a figura abaixo, propõe que i < 0, o > 0, p > 0(objeto real) e p > 0 (imagem real). Considerando os sinais algébricos de i, o, p e p e sabendo que: 24

25 CONTEÚDO E HABILIDADES A= i o, podemos escrever: A = i o = p p 25

26 CONTEÚDO E HABILIDADES Com base nessa expressão matemática, temos 1ª Situação: aumento positivo Se A > 0, devemos ter: a) i e o com o mesmo sinal: a imagem é direita; b) p e p com sinais opostos: o objeto e a imagem têm naturezas opostas (se um é real, o outro é virtual). 26

27 CONTEÚDO E HABILIDADES 2ª Situação: aumento positivo Se A < 0, devemos ter: a) i e o com os sinais opostos: a imagem é invertida; b) p e p com o mesmo sinal: o objeto e a imagem têm a mesma natureza (ambos são reais ou ambos são virtuais). 27

28 CONTEÚDO E HABILIDADES Exemplo 1 Um aluno do CEMEAM está situado a 2,0 m do vértice de um espelho esférico. Viu sua imagem direita e ampliada três vezes. Determine: a) a distância focal do espelho; b) sua natureza (côncavo ou convexo). 28

29 CONTEÚDO E HABILIDADES Resolução a) o aumento linear transversal vale A = + 3 (A > 0, porque a imagem é direita). Sendo a distância do objeto ao espelho p = 2,0 m, calculemos p, que é a distância da imagem ao espelho: A = p p 3 = = p 2, 0 p = 6, 0 m 29

30 CONTEÚDO E HABILIDADES (Imagem virtual) A distância focal f pode ser obtida pela função dos pontos conjugados (equação de Gauss): 1 f = 1 p + 1 p 1 f = 1 2, p 1 f = 3 1 6, 0 = 2 6, 0 f = 3, 0 m b) Como f > 0, o foco é real e o espelho é côncavo. 30

31 CONTEÚDO E HABILIDADES Exemplo 2 Um objeto é colocado sobre o eixo principal de um espelho convexo, que obedece às condições de Gauss. O gráfico a seguir representa, respectivamente, as abscissas p e p do objeto e de sua imagem, ambas em relação ao vértice do espelho: 31

32 CONTEÚDO E HABILIDADES 32

33 CONTEÚDO E HABILIDADES Qual a distância focal desse espelho em centímetros? 33

34 CONTEÚDO E HABILIDADES Resolução A equação dos pontos conjugados: 1 f = 1 p + 1 p No gráfico acima, observamos um ponto de coordenadas conhecidas. Vê-se, então, que para p = 10cm têm-se p = -5 cm. 34

35 CONTEÚDO E HABILIDADES O cálculo de f, que é a distância focal do espelho: 1 f = f = f = 1 10 f = 10, 0 cm Observando que o resultado negativo deve ser atribuído ao fato de os espelhos esféricos convexos terem focos virtuais. 35

36 1. Em um certo experimento, mediram-se a distância p entre um objeto e a superfície refletora de um espelho esférico côncavo, que obedece às condições de Gauss, e a distância p entre esse espelho e a correspondente imagem real produzida em vários pontos. O resultado dessas medições está apresentado no gráfico abaixo: 36

37 Examinando cuidadosamente o gráfico, determine a distância focal do espelho. 1 p (10-2 cm -1 ) 1 p (10-2 cm -2 ) 37

38 2. Diante de um espelho esférico, perpendicularmente ao seu eixo principal, é colocado um objeto luminoso a 15cm do vértice. Deseja-se que a imagem correspondente seja projetada em um anteparo e tenha quatro vezes o comprimento do objeto. Determine: a) Se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida; b) A distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida; c) A distância focal do espelho. 38

39 1. Equação de Gauss: 1 f = 1 p + 1 p Do gráfico, para 1 p = 5, cm -1, temos 1 p = 4, cm -1 Substituindo os valores de 1 p e 1 p, na equação de Gauss, vem: 1 f = 5, , f = f = 10, 0 cm 39

40 2. a) Se a imagem será projetada em um anteparo, sua natureza é real. Essa imagem é invertida, como ocorre com toda imagem real tomada a partir de um objeto também real. A = p p Se p > 0 e p > 0 A < 0 40

41 b) A = - 4 A = p p - 4 = p 15 p = 60cm c) Equação de Gauss: 1 f = 1 p + 1 p 1 f = f = f = 12 cm 41

42 RESUMO DO DIA Espelho esférico Espelho esférico é uma superfície esférica que reflete a luz regularmente. 42

47 RESUMO DO DIA Tipos de espelhos Se a face interna é refletora temos um espelho côncavo. 47

48 RESUMO DO DIA Tipos de espelhos Se a face externa é refletora temos um espelho convexo. 48

49 RESUMO DO DIA Elementos geométricos de um espelho esférico f = R 2 49

50 RESUMO DO DIA 50

51 RESUMO DO DIA 51

52 RESUMO DO DIA Raios notáveis 52

53 RESUMO DO DIA Espelho esférico Qualquer calota esférica polida e com alto poder refletor. Calota esférica 53

54 RESUMO DO DIA Espelho esférico côncavo Quando a superfície refletora da calota estiver voltada para dentro da esfera. 54

55 RESUMO DO DIA Espelho esférico convexo Quando a superfície refletora da calota estiver voltada para fora da esfera. 55

56 RESUMO DO DIA Espelhos esféricos gaussianos O físico matemático alemão Carl Friedrich 56

57 RESUMO DO DIA Espelhos esféricos gaussianos Com relação ao pincel luminoso incidente representado na figura a seguir. O espelho esférico côncavo pode ser considerado gaussiano, desde que o ângulo de abertura da região do espelho sobre a qual a luz incide não exceda a

58 RESUMO DO DIA Eixo Principal 58

59 RESUMO DO DIA O referencial gaussiano É um sistema cartesiano constituído de dois eixos orientados perpendicularmente entre si, 0x e 0y, com origem no vértice V do espelho. 59

60 RESUMO DO DIA 60

61 RESUMO DO DIA 61

62 RESUMO DO DIA Equação de Gauss (função dos pontos conjugados) AB é um objeto frontal e A B é a imagem correspondente conjugada por um espelho esférico côncavo. 62

63 RESUMO DO DIA α α β β 63

64 RESUMO DO DIA A equação de Gauss é reconhecida como a função dos pontos conjugados 1 f = 1 p + 1 p 64

65 RESUMO DO DIA Aumento linear transversal É a grandeza adimensional A, calculada pelo quociente da ordenada da imagem (i) pela ordenada do objeto (o): A = i o Dependendo dos sinais das ordenadas i e o, o aumento linear transversal pode ser positivo ou negativo. 65

66 RESUMO DO DIA Se o aumento é positivo (A > 0 ), i e o têm o mesmo sinal e a imagem é direita: Neste exemplo, o > 0 e i > 0: a imagem é direita. 66

67 RESUMO DO DIA Se o aumento é negativo (a < 0), i e o têm sinais opostos e a imagem é invertida. o Neste exemplo, o > 0 e i < 0: a imagem é invertida. i 67

68 RESUMO DO DIA Note que a figura abaixo, propõe que i < 0, o > 0, p > 0(objeto real) e p > 0 (imagem real). Considerando os sinais algébricos de i, o, p e p e sabendo que: 68

69 RESUMO DO DIA 69

70 A= i o, podemos escrever: A = i o = p p 70

71 1. O que é espelho esférico? 2. Quais são os principais tipos de espelhos esféricos? 3. Onde encontramos os espelhos esféricos no cotidiano? 4. Qual é a equação de Gauss? 71