Métodos Estatísticos Módulo 2 1 o. Semestre de 2008 ExercícioProgramado5 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)
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1 Métodos Estatísticos Módulo 2 1 o. Semestre de 08 ExercícioProgramado5 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) 1. Um dado é viciado de tal forma que um número par é duas vezes mais provável que um número ímpar. Calcule a probabilidade de que, em um lançamento: (a) um número par ocorra; (b) um número primo ocorra (c) um número primo par ocorra. 2. Um número é escolhido, ao acaso, entre os números inteiros de 1 a. Considere os seguintes eventos A = o número escolhido é múltiplo de 3 B = onúmeroescolhidoépar Descreva os eventos A B,A B,A B e calcule suas probabilidades. 3. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Sabendo-se que Pr(A) = 0, 7 e Pr(B) = 0, 6, determine os valores máximo e mínimo de Pr(A B). 4. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Mostre que Pr(A B) =1 Pr(A) Pr(B)+Pr(A B). 5. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Mostre que, se Pr(A B) Pr(A), então Pr(B A) Pr(B). 6. Um comitê é formado por quatro homens e duas mulheres. Dois membros do comitê são selecionados sucessivamente, ao acaso e sem reposição. Considere os eventos H i = homem escolhido na i ésima seleção e M i = mulher é escolhida na i ésima seleção, para i =1, 2. Caclule a probabilidade de cada um dos eventos: H 1 H 2,H 1 M 2,M 1 H 2,M 1 M Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. % dos fregueses do sexo masculino preferem salada e 30% das mulheres preferem carne. 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: Calcule: (a) Pr(H), Pr(S H), Pr(C H) (b) Pr(S H) e Pr(S H) H = freguês é homem M = freguês é mulher S = freguês prefere salada C = freguês prefere carne 8. Na tabela a seguir é dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de estudo: Um estudante é sorteado ao acaso. Biologia Exatas Humanas Masculino Feminino (a) Qual é a probabilidade de que seja do sexo feminino e da área de humanas? 1
2 (b) Qual é a probabilidade de que seja do sexo masculino e não seja da área de biológicas? (c) Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a probabilidade de que seja do sexo masculino? 9. A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é 3/5. Em um chaveiro há 25 chaves, das quais três abrem essa porta. Qual é a probabilidade de que um indivíduo entre na casa, se ele puder escolher, ao acaso, somente uma chave do chaveiro? 10. A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p. Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis. Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão? 2
3 Solução dos Exercícios 1. O espaço amostral deste experimento é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para determinar a probabilidade de cada ponto do espaço amostral, temos que usar o fato de que Pr(Ω) =1e a informação dada. Chamando de p a probabilidade de face ímpar, resulta que a probabilidade de face par é 2p. Logo, Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) + Pr(5) + Pr(6) = 1 = p +2p + p +2p + p +2p = 1 = 9p = 1 = p = 1 9 Pr(1) = Pr(3) = Pr(5) = 1 9 Pr(2) = Pr(4) = Pr(6) = 2 9 Vamos denotar por P oevento númeropar eporr o evento número primo. (a) Chame atenção para a propriedade utilizada: união de eventos mutuamente exclusivos Pr(A) = Pr({2} {4} {6}) = Pr({2})+Pr({4})+Pr({6}) = = 6 9 = 2 3 (b) Pr(R) = Pr({1} {2} {3} {5}) = Pr({1})+Pr({2})+Pr({3})+Pr({5}) = = 5 9 (c) O problema pede a probabilidade de P R : P R = {2} Logo, Pr(P R) = O espaço amostral deste experimento é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, } e os eventos dados são Logo A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, } A B = {6, 12, 18} A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, } A B = {3, 9, 15} 3
4 Como cada ponto é igualmente provável (sorteio ao acaso) resulta que cada ponto ou evento simples do espaço amostral tem probabilidade 1. Usando a propriedade da união de eventos mutuamente exclusivos, resulta que Pr(A) = 6 Pr(B) = 10 Pr(A B) = 3 Pr(A B) = 13 Pr(A B) = 3 Note que as duas últimas probabilidades também podem ser obtidas usando as propriedades vistas: Pr(A B) = Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) = = 13 Pr(A B) = Pr(A) Pr(A B) = 6 3 = 3 3. Aqui temos que usar o fato de que, para qualquer evento A, 0 Pr(A) 1 etambémofatodeque Pr(A B) =Pr(A)+Pr(B) Pr(A B). Como Pr(A B) 0, resulta que Como Pr(A B) 1, resulta que Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) 0= Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) 1= Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) 1 Com os dados do exercício, temos que Pr(A)+Pr(B) =1, 3; portanto, temos que ter: ½ Pr(A B) 1, 3 Pr(A B) 1 Logo, o valor máximo de Pr(A B) é 1. Com relação ao valor mínimo, temos que ter Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) 1= Pr(A B) 1, 3 1= Pr(A B) 0, 3 Logo, os valores possíveis de Pr(A B) estão no intervalo [0, 3; 1]. 4. Pela lei de Morgan, sabemos que e pela lei do complementar, Logo, pela lei da união Pr(A B) =Pr(A B) Pr(A B) =1 Pr(A B) Pr(A B) = Pr(A B) =1 Pr(A B) =1 [Pr(A)+Pr(B) Pr(A B)] = Pr(A B) = 1 Pr(A) Pr(B)+Pr(A B) 5. Usando a definiçãoesupondoquea e B sejam ambos eventos possíveis (isto é, com probabilidade maior que zero), temos que Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Pr(B) Pr(B) Pr(B A) Pr(B) Pr(A) Pr(A B) Pr(A)Pr(B) 4
5 6. Vamos usar a regra da multiplicação: Pr(A B) =Pr(A B)Pr(B) Pr(H 1 H 2 ) = Pr(H 1 )Pr(H 2 H 1 )= = = 6 15 Pr(H 1 M 2 ) = Pr(H 1 )Pr(M 2 H 1 )= = = 4 15 Pr(M 1 H 2 ) = Pr(M 1 )Pr(H 2 M 1 )= = = 4 15 Pr(M 1 M 2 ) = Pr(M 1 )Pr(M 2 M 1 )= = = 1 15 Note que a união dos eventos dados é o espaço amostral e, coerentemente, a soma das probabilidades 6 é igual a 1: =1. 7. Os dados do problemas nos dão que: Pela regra do complementar, resulta que Pr(H) = 0, 75 Pr(S H) = 0, Pr(C M) = 0, 30 Pr(M) = Pr(H) =1 0, 75 = 0, 25 Pr(C H) = Pr(S H) =1 Pr(S H) =1 0, = 0, 80 Pr(S M) = Pr(C M) =1 Pr(C M) =1 0, 30 = 0, 70 É muito importante salientar as propriedades sendo utilizadas! A figura a seguir também ajuda a compreender o problema: Figura 1: Espaço amostral do Exercício 7 (a) Como visto, Pr(H) = 0, 75 Pr(S H) = 0, Pr(C H) = 0, 80 (b) Pela regra da multiplicação Pr(S H) =Pr(H)Pr(S H) =0, 75 0, = 0, 15 5
6 Pela lei da união: Pr(S H) =Pr(S)+Pr(H) Pr(S H) Para calcular Pr(S), veja, pela figura acima, que Pr(S) = Pr(S H)+Pr(S M) =Pr(H)Pr(S H)+Pr(M)Pr(S M) = = , = = 0, 325 Logo, Pr(S H) =Pr(S)+Pr(H) Pr(S H) = = 0, Complete a tabela, calculando as marginais: Biologia Exatas Humanas TOTAL Masculino Feminino TOTAL Chame a atenção para o fato de que cada cela representa a interseção dos eventos representados pelas categorias da linha e da coluna correspondentes. Defina os seguintes eventos relevantes: B = área de concentração: Biologia H = área de concentração: Humanas E = área de concentração: Exatas M = estudante do sexo masculino F = estudante do sexo feminino (a) (b) (c) Pr(F H) = = 4 15 Pr(M B) =Pr(M) Pr(M B) = = = = Pr(M H) = Pr(M H) Pr(H) = = = É importante definir os seguintes eventos, usando a notação de evento complementar: T = porta trancada à chave T = porta destrancada C = chaveabreaporta C = chave não abre a porta E = pessoa consegue entrar na casa O diagrama de árvore a seguir também é importante para ilustrar a situação descrita no problema. Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se a porta estiver destrancada, a pessoa não precisa usar qualquer chave. Por outro lado se a prota estiver trancada, ela tem que sortear uma chave e há 3 possibilidades em 25 de pegar uma chave que abre a porta. Logo, Pr(C T )= 3 e, pela regra do complementar, Pr(C T ) =
7 Figura 2: Diagrama de árvore para o Exercício 9 O problema pede Pr(E). Notequeapessoaentranacasaseaportaestiverdestrancadaou,nocaso de a porta estar trancada, escolher uma chave certa, ou seja: Pr(E) = Pr(T )+Pr(T C) = Pr(T )+Pr(T)Pr(C T) = = = É importante definir os seguintes eventos, usando a notação de evento complementar: S = Aluno sabe a resposta S = Alunonãosabearesposta C = Resposta certa C = Resposta errada A = aluno acerta a questão O diagrama de árvore a seguir também é importante para ilustrar a situação descrita no problema. Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se o aluno sabe a resposta, ele escolhe a resposta certa. Logo, Pr(C S) =1e Pr(C S) =0. Por outro lado, se ele não sabearesposta,ele chuta etem1chanceemmde acertar; logo, Pr(C S) = 1 1 e Pr(C S) =m m m. Ainda segundo dados do problema, Pr(S) =p e, portanto, Pr(S) =1 p O problema pede Pr(A). Note que o aluno pode acertar a questão sabendo, ou não, a resposta, ou seja: Pr(A) = Pr(S C)+Pr(S C) = Pr(S)Pr(C S)+Pr(S)Pr(C S) = p 1+(1 p) 1 m = p + 1 p m 7
8 Figura 3: Diagrama de árvore para o espaço amostral do Exercício 10 8
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