^ J., ò -~)L ", ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO EM CAMPO MAGNÉTICO FORTE. Raimundo Rocha dos Santos TESE DE MESTRADO. Julho de 1975 DEPARTAMENTO DE FÍSICA

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1 ^ J., ò -~)L ", ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO EM CAMPO MAGNÉTICO FORTE Raimundo Rocha dos Santos TESE DE MESTRADO Julho de 1975 DEPARTAMENTO DE FÍSICA

2 ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO EM CAMPO MAGNÉTICO FORTE por RAIMUNDO ROCHA DOS SANTOS TESE DE MESTRADO JULHO DE 1975

3 ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO EM CAMPO MAGNÉTICO FORTE por RAIMUNDO ROCHA DOS SANTOS i^ Tese de Mestrado apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ciências - Menção Física - no Departamento de Física da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro â Banca Examinadora constituída pelos seguintes professores: José AntonicV de Freitas Pacheco Nicim Zagury! - - ' i Humberto S. Brandi -orientador-

4 A Joaquim, Hanni e Solange

5 AGRADECIMENTOS Ã CAPES pelo apoio financeiro recebido, que tor nou possível a realização deste trabalho. Aos funcionários, colegas e professores deste Departamento, em especial aos professores: Bruno Maffeo Carlos Maurício G.P. Chaves Henrique Gomes de Paiva Lins de Barros Luiz Carlos M. de Miranda Manoel L. de Siqueira Nicim Zagury Roberto Bechara Muniz Sergio Luiz Alves de Queiroz por valiosas discussões. Ã Maria das Graças Mendes Azevedo, pelo paciente trabalho de datilografia. -^. Inês M. Wander ley e Maria José T. Soares pelos trabalhos gráficos. ÍA Humberto Brandi, pela sugestão do problema, apoio e ajuda prestados durante o desenrolar dos cursos de pós-graduação e deste trabalho, por discussões e idéias propostas.

6 RESUMO Baseados em vim esquema variacional, p as energias e funções de onda dos 14 estados de mais baixa energia para o átomo de Hidrogênio em campo magnético forte. Mostramos a equivalência entre o problema atômico e excitons e semicondutores com impurezas, em presença de um campo magnético forte. Os cálculos das energias e funções de onda foram divididos em duas regiões: a primeira para valores do campo magnético desde zero a lo'g, e a segunda de 10 9 a 10 l G. Os resultados obtidos foram comparados com os de outros autores. Devido ao tempo de computa ção razoavelmente curto, o esquema proposto é bastante con veniente para obter energias e funções de onda. Como aplicações foram calculadas probabilidades de transição, comprimentos de onda e forças de oscilador para diversas tran sições permitidas.

7 ABSTRACT We^haW)calculated, using a variational scheme,, /the energies and wave functions of the 14 lowest states oj a Hydrogen atom in a strong magnetic field. We -frava\showny the equivalence between the atomic problem and the problems related with excitons and impurities in s the presence of a strong magnetic field. The calculations of the energies and wave functions have been divided in two regions: the first ±s for the magnetic field ranging ) between zero and 10»G ; in the second the magnetic field ranges between 10 9 and 10 l X G. The results have been compared with those obtained by previous authors. The computation time necessary for the calculations is small. Therefore this is a convenient scheme to^obtain^ the energies and wave functions for the problem. Wu líãvu/also calculated' transition probabilities, wavelengths and oscillator J strengths for some allowed transitions*' " "-

8 ÍNDICE INTRODUÇÃO CAPÍTULO I - Ãtomos de Hidrogênio em Campo Magnético Forte; Teoria de Rohr Problema em Astrofísica e Estado Sólido Simetrias da Hamiltoniana 16 CAPÍTULO II - Casos Limites do Camno Magnético Efeitos Zeeman e Paschen-Back Níveis de Landau 21 CAPÍTULO III - Discussão sobre Algumas Aproximações Usadas 24 CAPÍTULO IV - Solução Proposta 42 CAPÍTULO V - Probabilidades de Transiçlo e Porcas de Oscilador V.l - Probabilidades de Transição 53 V.2 - Forças de Oscilador 59 CAPÍTULO VI - Resultados e Discussões 61 BIBLIOGRAFIA 72

9 ÍNDICE DE TABELAS TABELA I - Energias do Estado Fundamental para valores de y desde 0.1 a TABELA II - Energias do Primeiro estado excitado para valores de y desde 0.1 a TABELA III - Energias dos Estados 2p, 3s, 3d +2 para valores de y = 0.1 (Tab.IIIa), Y ~ 1.0 (Tab.IIIb) y = 2.0 (Tab.IIIc) y «3.0 (Tab.IIId) 77 TABELA IV - Energias dos Estado Is e 2pj para Y 5,25, TABELA V - Probabilidades de Transição para Campos Magnéticos de IO 7 e 10 8 G. 82 TABELA VI - Comprimentos de onda para algumas tran sições permitidas para campos de IO 7 e 10 8 G. 83 TABELA VII- Forças de Oscilador de algumas transições permitidas para campos de «G 84

10 ÍNDICE DAS FICÜRAS Figura 1 - Conexão entre os níveis de energia para campo magnético nulo e ultraforte, segundo o critério das superfícies nodais. 85 Figura 2 - Energia de ionização do estado fundamen tal do Hidrogênio, como função do campo magnético. Smith et ai (ref.17) - a Cohen et ai (ref.14) - b Wallis e Bowlden (ref.2) - c Larsen (ref.5) - «Cabib et ai (ref.7) - X Cálculos deste trabalho (Região I) - d Cálculos deste trabalho (Região II)- e 86 Figura 3 - Espectro de energia de alguns dos estados excitados, para a Região I, em função do campo magnético. Smith et ai (ref.17) Cálculos deste trabalho Figura 4 - Conexão entre os níveis de energia do estado fundamental nas duas regiões,

11 f - 3pj * 3dj ~ 3p_, -» 3d_, g - 3d, -> 3P O ura 8 - Forças de oscilador para transições com An = 0 em função de y a - 2s. b - 2s c d - 92 Figura 9 - Forças d scilador par Transições para o estado ndament- em função de Y- a - b - c - d - e f - 3p 93

12 comparados com c resultado de Cabib et ai 7. a - Região 1 b - Região II c - Cabib et ai 7 88 Figura 5 - Espectro de energia dos estados 2s, 2p em função de y a - b - 2s c d " 2 P-i 89 Figura 6 - Espectro de energia dos estados 3s, 3d, 3p_j e 3d 2 em função de y a b c d " 3d, ~ 3d c o 'o - 3t> Figura 7 - Forças de oscilador para transições com An = 0 em função de y a - 3d o *> 3p_ l b - 3d -» 3p, o * c - 3à mml + 3p d - 3d o * 3D o e - 3p^ -t- 3s^ 91

13 f - 3pj + 3dj = 3p_j g - 3d x + 3p o Figura 8 - Forças de oscilador para transições com An = 0 em função de y a - b - c - d - 2pi 3s o* 3s. * 2s o ' 2s o 3 p l 3 P-> 2s o 92 Figura 9 - Forças de oscilador para transições para o estado fundamental em função de y, a - 2p b ~ 2p o c - 2pj d ~ 3 Pl ' e - 3p f - 3p. 93

14 INTRODUÇÃO O problema de átomos de Hidrogênio em presença de campo magnético* ê descrito por uma Hamiltoniana que -e for malmente idêntica â dos problemas de excitons e impurezas (doadoras e aceitadoras) em semicondutores em presença de campos magnéticos, como veremos no decorrer deste trabalho. Assim sendo, a solução dos dois problemas ê obtida re solvendo a mesma Equação de Schrôdinger. Historicamente, os problemas de Estado Sólido men cionados acima foram os primeiros a motivar a resolução da Equação de Schrôdinger para campos magnéticos fortes *"". A presença desses campos fortes pode alterar fortemente a estrutura dos excitons e das impurezas nos semicondutores, de modo a modificar os mecanismos de absorção ótica e fotoionização. Recentemente, com a possibilidade de existência de campos magnéticos da ordem de 10 7 G em anãs brancas magnéticas'"" 11 e de campos da ordem de 10 l2 G sugeridos por modelos de estrelas de neutrons 12» 13, surgiu, em Astrofísica, o interesse no estudo de átomos, em particular o de Hidrogênio, em campos magnéticos fortes 1H ~ 1. Estes campos magnéticos de 10 ia G surgem quando uma estrela da seqüência principal evolui para uma estrela de conservando o fluxo de campo magnético lh : o fato da estrela de neutrons ser menor que uma estrela da neutrons seqüência * Suporemos, durante todo este trabalho, que o campo magnético é" uniforme.

15 principal faz com que o campo magnético aumente durante a evolução. A presença de campos magnéticos superfortes pode afetar qualitativamente a natureza das superfícies estelares, devido â forte tendência dos elétrons a moverem-se ao longo das linhas do campo. Como veremos no decorrer des. te trabalho, um campo magnético de 1O 1Z G causa um aumento considerável na energia de ionização, fazendo com que, mesmo a uma temperatura de superfície de IO 6 K, ainda possa existir Hidrogênio não ionizado. Como decorrência, a transparência da superfície pode aumentar bastante em certas direções, para radiação cuja freqü ência seja menor que a freqüência de ciclotron do elétron. Mas, apesar da analogia entre os problemas duas áreas mencionadas acima, raros são os trabalhos Estado Sólido que mencionam resultados em Astrofísica vice-versa. nas em e Um dos nossos objetivos é obter uma solução para a Equação de Schrôdinger. Não nos propomos discutir especificamente as implicações que os resultados possam ter em modelos ou efeitos nas áreas de Estado Sólido ou Astrofísica. Nossas discussões serão baseadas no átomo de Hidrogênio em campo magnético forte, mas os resultados se aplicam ao estudo de excitons e impurezas em semicondutores,em presença de campo magnético forte. Os estudos feitos oor diversos autores, tanto em

16 Astrofísica como Estado Sólido, concentraram-se fortemente na determinação dos níveis de energia e funções de onda do problema atômico ou do equivalente em Estado Sólido, pa ra diversos valores do campo magnético, dependendo do interesse específico que motivou cada estudo. Nos dois limites, a saber, campo magnético nulo e ultraforte, as soluções, bem conhecidas, são analíticas e exatas. Entendemos o limite ultraforte como aquele em que a energia da inter çio coulcrobiana entre o próton e o elétron é desprezada comparada à* de interação do elétron com o campo magnético: o problema se reduz ao de um elétron em presença de um campo magnético 19. Schiff e Snyder 20 consideraram a par_ te da Hamiltoniana total que depende do campo magnético, como perturbação da Hamiltoniana do átomo de Hidrogênio? mas, para valores do campo magnético tal que a energia mag_ nética ê comparável com a energia coulombiana, que ê justamente a região de interesse em Astrofísica e Estado Sólido, o tratamento perturbacional perde a validade. Assim sendo, o ponto de partida para diversos autores foi usar funções de onda tentativa, com parâmetros a determinar, que tivessem comportamentos semelhantes aos das funções que são soluções dos casos limites: alguns basearam-se nas soluções tipo Hidrogênio e outros nas soluções do problema de elétron em campo magnético. Neste trabalho, o primeiro objetivo é mostrar equivalência entre os problemas de Estado Sólido menciona- a

17 dos anteriormente e o problema atômico. Para tal mostramos, no Capítulo I, que a Hamiltoniana ê a mesma em ambos os casos. Neste mesmo capítulo apresentamos alguns resultados previstos pela teoria de Bohr e discutimos as simetrias da Hamiltoniana. No Capítulo II discutimos os casos limites em que o campo magnético ê fraco e ultraforte, dando origem ao Efeito Zeeman e aos níveis de Landau, respectivamente. As aproximações usadas para resolver a Equação de Schrôdinger, por diversos autores e para diversos valores de campo magnético, são resumidas no Capítulo III. O segundo objetivo deste trabalho é propor um esquema variacional para obter os níveis de energia e funções de onda para valores do campo magnético desde zero a 10 n G. Dividiremos nosso estudo era duas regiõesia primeira para campos entre zero e 10 9 G e a segunda entre IO 9 e 10 ll G. No Capítulo IV apresentamos a função de onda tentativa e a solução do problema dentro de um esquema variacional. O terceiro objetivo ê calcular, baseado neste esquema proposto, as energias e funções de onda para os valores do campo magnético mencionados acima. No Capítulo V definimos as probabilidades de transição por unidade de tempo e forças de oscilador cujos cálculos, usando as energias e funções de onda obti-

18 das, constituem o quarto e último objetivo. No Capitulo VI apresentamos os resultados obtidos e discutimos, além dos resultados, algumas vantagens deste esquema e o critério usado para conectar os resultados obtidos nas duas reqiões.

19 T. ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO EM CAMPO MAGNÉTICO FORTE 1.1 Teoria de Bohr Dentro de uma linha histórica, inicialmente discu tiremos a teoria semi-clâssica de Bohr, aplicada ao de Hidrogênio em campo magnético. Poderemos obter, átomo dentro desta aproximação, resultados que conduzam a uma interpretação qualitativa do problema. Suponhamos o proton em repouso na origem do sistema de coordenadas, com o elétron em órbita circular no plano xy, com velocidade v, e um campo magnético uniforme V. na direção do eixo z. A 2 a lei de Newton, a energia total do elétron e a quantização de Rohr para o mo mento angular, respectivamente, são dadas pelas três equações abaixo (em coordenadas polares, com p = (x 2 + y 2 )' a ) o c o z 2 1 <* z E e i m v* - e ~ (2) 2 S P m e v p - (í. + l)fí, S, = 0, 1, 2... (3) Em termos do Rydberg (Ry), do raio de Bohr (a ), da freqüência do ciclotron (w - e H/m c) e do raio do ciclotron (R - /2K/m u), obtemos das três equações ac:l e

20 ma, os raios e as energias quantizsdos: 4(4+1) a Q \ R a 2 1 E o» ±U+l)fí» (5) 2 (p t /a 0 ) Em unidades atômicas, isto ê, expressando-se comprimentos em unidades de raio de Bohr, a» -2 = x 10~ 8 cm e energias em unidades do Rydberg m e 1 * Ry = _ = 13 6 ev 2K* e definindo y como Y a - s x IO" 9 (6) Ry onde p B é o magneton de Bohr, a Eq.(5) é reescrita como E. a+1)y. i_ <P f t- P t /a 0 ) (?) >! Com a introdução de y, ternos um parâmetro que mede a energia magnética era relação ã Coulombiana. A energia magnética começa a dominar a coulombiana quando (8) (onde u. = u/2), ou seja, quando a o <R Assim obtemos uma estimativa para o valor do campo magnético quando isto

21 ocorre: 1& > 5.0 x 10 9 G. Quando o campo, magnético ê muito intenso, v ê muito maior que 1, implicando em R<<a. Neste limite, os raios das órbitas eletrônicas são dados nor (9) e a enerqia de ligação* (eir Rydbergs) por Concluímos então, que a presença do canno magnético intenso faz com que o raio da órbita do elétron dimi nua, isto é, o elétron se aproxima do proton, uma vez que R << a. Com isso, a energia de ionização é muito maior que a do ãtoipo sem camoo: E % 280 /k, 2 ev (10) onde 1h ê o valor do campo magnético expresso em unidades de G. O modelo de Bohr supõe que o elétron se movimenta no plano xy (perpendicular ao campo magnético), des- * Note que a definição de energia de ligação é a diferença entre as energias do estado fundamental e do primeiro es_ tado livre.

22 prezando o movimento na direção paralela ao camno; uma con seqüência disto é que a energia de ligação, Eq. (10), é superestimada neste modelo. 1.2 O Problema em Astrofísica e em Estado Sólido A Hamiltoniana clássica para o átomo de Hidrogênio no vácuo é (desprezando efeitos relativísticos): 2m e r onde p é o momento linear do elétron de massa m p e csr ga -e, e r(=jrj) é a distância do elétron ao oróton, suposto em repouso no origem do sistema de coordenadas. Ma presença de um camno magnético H, a Harailtoniana é modificada, levando-se em conta a interação do elétron com o campo magnético i}. (p: + c c onde p ê o momento conjugado a r, c é a velocidade da luz no vácuo e A é o potencial vetor associado a K. direção z, Usando o gauge de Landau, para H uniforme na 2 2

23 10 a Eq.(12) toma a forma L(S +S?iK?)*- Si (14) m e c 2c r A Hamiltoniana para o problema quântico ê obtida, a partir da Eq.(14), introduzindo operadores associados ãs variáveis clássicas. Observa-se que, devido ao gauge Landau, [p, Aj =0. de Assim a Hamiltoniana quântica, em coordenadas esféricas (r, 9, <f>) é dada por (desprezando spin): H = Ü 7 a- SÍ + I n, w* r 2 sen 2 e + fi <u T L, (15) e L L 2 2m e r 2 onde Uj. = e K/2m c é" a freqüência de Larmor e L ê a componente no eixo z do operador de momento angular t>, expresso em unidades de H. Em unidades atômicas a Hamiltoniana dada Eq. (15) pode ser escrita em termos do parâmetro Y : pela

24 11 H YL + i Y 2 r 2 sen 2 e (16) z r 4 O problema de átomos em campo magnético forte tem despertado interesse em Astrofísica, devido ã descoberta de campos magnéticos da ordem de 10 7 G em algumas snãs bran cas 9 ~ 14, e dos modelos de estrelas de neutron que, para explicar certos fenômenos, sugerem 12 ' 1 * cainoos da ordem de 10 l2 G. Conforme a discussão da seção anterior, para o â- tomo de Hidrogênio, notamos que a estrutura atômica é fortemente afetada, com a concentração da nuvem eletrônica na direção paralela ao camno magnético e com uma energia de ionizaçao muito maior que no caso do átomo sem campo magnético. Estes resultados podem vir a alterar alguns modelos para estas estrelas, secundo os quais teríamos temperaturas nas estrelas da ordem de IO 7 K. Questiona-se a existência de Hidrogênio a esta temperatura, mas a presença do campo magnético pode permitir que isto aconteça, inclusive verificando-se se esta ê, realmente, a temperatura da estrela. O propósito desta tese ê fazer um modelo para o comportamento do átomo de hidrogênio em presença de tais campos magnéticos, e não de discutir especificamente suas implicações nos modelos de Astrofísica.

25 12 Veremos a seguir, alguns problemas em Estado Sóli, do, tais como excitons e semi-condutores com impurezas, que são equivalentes ao átomo de Hidrogênio; continuam equiva. lentes mesmo na presença de campo magnético. Discutiremos sumariamente o problema de excitons. Vamos considerar um sólido cristalino, onde um particular átomo está excitado. Quando o elétron deste átomo transiciona para o estado fundamental, a energia cedida pode excitar um átomo vizinho; este, por sua vez, desexcita-se, excitando um outro. Desta forma, a excitarão se propaga P Io cristal, sob a forma de uma quase-partícula chamada exciton 22 ' 23 Para fazer um modelo de exciton, notamos que o átomo perde um elétron e portanto passa a ter um buraco no estado anteriormente ocupado. A energia necessária para ex citar o elétron pode ser tal que o elétron e o buraco movam-se independentemente no cristal. Mas, lembrando que o elétron e o buraco têm entre si uma interação coulombiana, eles podem formar um par ligado, desde que a energia neces sâria para excitar o elétron não seja suficiente para romper esta ligação. Logo, se o elétron voltou para o estado anteriormente ocupado, transmitindo a excitação para o ã- tomo vizinho, foi porque o par ligado elétron-buraco se movimentou no cristal, transportando a excitação. Assim, o exciton é um par ligado elêtron-buraco que se movimentalíl vremente oelo cristal.

26 13 De acordo com este modelo, a Hamilton!ana do movimento no referencial do centro de massa do exciton (supondo o buraco em repouso neste referencial) é essencialmente a mesma do átomo de Hidrogênio, desde que introduzamos a massa efetiva do elétron na banda (m_ = m /ot, onde o depende da estrutura cristalina), e levemos em con ta, no potencial coulombiano, a constante dielétrica do meio. Esta última modificação vale para órbitas eletrônicas grandes em relação às distâncias interatômicas, e se a freqüência do elétron é pequena em relação ã freqüência associada ao intervalo de energia da banda proibida. Nossas discussões serão dentro destas hipóteses, pois caso contrário deveríamos usar outro modelo. (Quando os excitons são fracamente ligados, que é o nosso caso, temos excitons de Wannier 2 *; caso contrario temos excitons de Frenkel 2 s ). Portanto, H* *. 2L- 2 *e e 2 kr onde r é a coordenada do elétron em relação ao buraco, e k é a constante dielétrica do meio. Podemos definir um Rydberg efetivo. 2fí 2 k

27 14 e as energias são dadas por E* - - -^ n = 1,2,... (19) n n 2 Para obtermos uma ordem de grandeza da energia de ligação do exciton, tcnremos como exemplo um cristal de ger mânio, para o qual in = m /5, k - 16, ò que fornece um raio da orbita de A?Ã (80 unidades atômicas) com energia de ligação da ordem de 1G~ ev. Ao aplicarmos um campo magnético no cristal, a Hst miltoniana para o exciton é modificada de modo idêntico ao problema do Hidrogênio (Eq.{12)). Obtemos, então: H* = JL (-ÍH 7* + S- fe x?, * - Si (20) 2m e 2c kr Introduzindo um campo magnético efetivo #* e definindo o "raio de Bohr efetivo" a* * k 2 fi 2 /in e 2, po demos escrever a Eq.(20) em "unidades atômicas efetivas", isto ê, energias em unidades do "Rydberg efetivo" e comprimentos em unidades do "raio de Bohr eftttivo": H* «J7* Y* L, + ^ Y* 2 r 2 sen 2 e (21) z r 4

28 15 onde Y (22) Comparando as equações (16) e (21) vemos que nos dois casos a Ifamiltoniana ê essencialmente a mesma e, portanto, resolvendo um problema estaremos resolvendo o outro. Esta equivalência sugere, inclusive, um modo de simularmos campos magnéticos extremamente fortes em laboratório. Tomemos como exemplo um cristal semicondutor de InSb 1, onde o valor de k ê 16 e o de a ê aproximadamente 77, de modo que ok <\» 1200, o que, para um campo de 10 5 G dará um valor para Y* *> 100. Para obtermos este valor de y seria necessário um campo da ordem de lo^g, quando os campos mais fortes obtidos atualmente em laboratório são da ordem de 10 5 G. No caso de semicondutores com impurezas, surge uma situação inteiramente análoga aos excitons. Suponhamos que a impureza seja doadora, isto é, tem um prõton e um elétron a mais que os átomos que formam o cristal. Quando a impureza se liga na rede, o elétron em excesso movimenta-se no cristal sob a ação do campo coulombiano do prôton em excesso. Isto fez com que surjam níveis de energia, acessíveis ao elétron, na banda proibida, e logo abaixo da banda de condução. Estes estados acessíveis são, portanto análogos aos do átomo de Hidrogênio.

29 16 Para escrevermos a Hamiltoniana deste sistema, de vemos novamente levar em conta a polarização do meio, como no caso dos excitons. Portanto a Hamiltoniana ê idêntica ã Eq. (17). Novamente, ao introduzirmos o campo magnético, a Hamiltoniana final se identifica com a dos excitons, Eq. (21). Quando a impureza ê aceitadora, isto ê, um proton e um elétron a menos que os átomos que formam o cristal, a situação é equivalente ao caso da impureza doadora. Devemos agora levar em conta o fato de que temos um buraco ligado a um elétron (que foi retirado da banda de Valencia para completar a ligação). Ou seja, a Hamiltoniana é igual a Eq.(17), e na presença de campo magnético ela é dada pela Eq.(21). Neste caso, os estados acessíveis ao buraco se localizam logo acima da banda de Valencia (a energia do buraco é menos a energia do elétron que falta). Com tudo isto vemos que os problemas em Estado Sólido apresentados acima são equivalentes ao do átomo Hidrogênio em campo magnético, com mudanças de escala de nas energias e nos comprimentos. 1.3 Simetrias da Hamiltoniana Para descrever os autoestados da Hamiltoniana, Eq.(16) ou (21), vejamos quais são os bons números quânticos, isto é, aqueles que caracterizam o conjunto completo de observáveis compatíveis.

30 17 Notemos primeiramente, que a Hamiltoniana dada pe Ias Eqs.(16) ou (21) ê invariante por rotações em torno do eixo z, que ê o eixo paralelo ao campo magnético. Como L_ gera o grupo das rotações era torno do eixo z, temos:, H> Alem disso, devido ao fato de que o potencial vetor ê um vetor polar, e não um pseudo vetor (ou vetor a- xial), temos 0,H] = 0 onde R ê o operador de reflexão espacial, cujos autovalo res são ±1 e definem a paridade do estado. tor temos que Como o operador de momento angular ê um pseudo-ve Estes dois operadores (paridade e componente z do momento angular) são os únicos que comutam entre si e com a Hamiltoniana. Portanto, cada estado do sistema ê caracterizado por três números quânticos: um que caracteriza a energia, m (autovalor de L ) e a paridade..estes dois últimos são bons números quânticos para qualquer valor do campo magnético.

31 18 II. CASOS LIMITES DO CAMPO MAGNÉTICO Neste capitulo analisaremos o problema para valores limites do campo magnético. Obviamente no caso limite em que o campo magnético é nulo teremos o problema do ãto-...o de Hidrogênio, cuja solução ê bem conhecida. Portanto, o limite inferior que analisaremos aqui é aquele em que Y << 1, mas ainda não é nulo. II.1 Efeitos Zeeman e Paschen-Back II.1.1 Campo Magnético Fraco: Efeito Zeeman Um dos critérios para chamar este campo de fraco, é a comparação da energia magnética com a estrutura do Hidrogênio, que é dada por: fina n\ 3 * ^ nu (1) 4 onde E ê a energia do n vel n sem correções, n ê o número quântico principal, o ê a constante de estrutura fina, e j é o numero quântico de momento angular total (j - í ± 1/2). A correção de estrutura fina é maior (em valor ab soluto) pare o estado fundamental, e vale, em Rydbergs: E 0 «1* 1,3 x 10~ S n 4

32 A energia magnética, em Rydbergs, é igual a Y / portanto estamos interessados em campos magnéticos tais que T «1 (3) t AE I i o' o que nos fornece W>«10 S G, para que consideremos campo magnético fraco. A determinação dos níveis de energia neste caso ê discutida com detalhes em diversos textos 1 *» a *** 7, sendo obtidos usando teoria de perturbação, para a Hamiltonia na: H «H Q + Hj + H^j (4) onde H é a Hamiltoniana do átomo sem campo (Eq.(I.ll)); o segundo termo acima, H,, ê a correção relativist!ca e termo spin-õrbita (estrutura fina) dado por: H,.-iJ^+ifSJiUiffl (5) 8 m s c 2 2 mel r dr onde V(r) é o potencial coulombiano do núcleo, t é o operador de momento angular orbital e íl é o operador de spin. é: O terceiro termo da Eq.(4) é o termo Zeeman, isto t2 (6)

33 20 A teoria de perturbação ê feita tomando H M como perturbação de H +H 1, o que ê justificado na aproximação de campo fraco. A base que diagonaliza H +H 1 é n i j m.> (com m. sendo o componente de 3 (momento an guiar total), na direção z), que é a base usada para cal cular o deslocamento dos níveis de energia devido ã pertur bação H M. Obtemòs então o deslocamento Zeeman anômalo(to mando & =^í z) (7) No caso em que não consideramos spin a equação acima fornece o efeito Zeeman Normal com m. sendo a componente de L na direção z. A<* funções de onda quando consideramos o spin do elétron são calculadas por teoria de perturbação, enquanto que se não considerarmos spin a solução é exata. II.1.2 Campo Magnético Forte: Efeito Paschen-Back Q,campo magnético forte, neste caso, ê tal que H M >>Hj, mas de modo que tenhamos ainda H M <<H, pois que remos correções de H. Isto eqüivale a um campo magnéti^

34 21 co 10 5 <3í<<10 9 G, conforme as discussões acima no caso Zeeman e, anteriormente, na Teoria de Bohr. Neste caso, a base que diagonaliía H é a mesma que diagonaliza H. Logo, se desprezarmos a contribui_ ção devido a Hj, a determinação dos deslocamentos dos níveis de H devido a H ê feita exatamente. Esta base 0 M comum ê n s, m 1/2 m >, onde n ê o número quântico principal, & ê o número quântico associado a (operador de momento angular orbital), m é o autovalor de L 1/2 ê o número quântico associado a s (operador de spin), m_ ê o autovalor de s, projeção de s no eixo z. Assim, a correção aos n veis de energia de H, que ê o limite Paschen-Back, ê dada por: Podemos também calcular esses deslocamentos dos níveis para campos intermediários, usando teoria de pertur bação para campos de intervalo entre os efeitos Zeeman e Pasehen-Back'V t 2 '. Schiff e Snyder* 0, baseados em analise de dados espectroacôpicos, e teoria de perturbação, calcularam os deslocamentos dos níveis de energia para este caso, isto ê, H M»H l. II.2 Campo Magnético Ültra-Porte: Níveis de Landau Dentro do limite em que a energia magnética ê

35 22 muito maior que a coulombiana ( Y» 1), analisemos a situa ção extrema, que ê aquela em que podemos desprezar o termo coulombiano na Eq.(1.15). Temos então, o problema de um elétron em presença de um campo magnético uniforme 0 gauge de Landau, Eq.(1.13), em coordenadas cilíndricas, ê dado por l9 A p - ^ = o (10) Com este gauge, a Eq. de Schrôdinger em coordenadas cilíndricas fica (m é a massa do elétron) n - m *. a 2 i. í a 2 ~ + - «* p 2 - E (11) 9* 4 L As autofunções T são dadas por (12) onde ç (e<w/2cí!)p 2, m é o autovalor (em unidades de fí) de L_ / e w(ç) ê a função hipergeomêtrica degenerada Z - F{-np, m +l,ç) (13) e np ê um inteiro não negativo.

36 23 Landau, são dados por Os n veis de energia, que são os níveis de E «(2np +Jm - m + 1)H « (14) L 2m 0 Convém notar que a orbita clássica do elétron uma hêlice em torno do eixo z (eixo do campo magnético), que pode ser pensada como uma superoosiçao de um p2 ê movimento harmônico no plano xy com um movimento livre na dire ção z. Isto é facilmente identificado na Eq.(14). m Além disso, para cada np, todos os estados com positivo têm a mesma energia.

37 24 III. DISCUSSÃO SOBRE ALGUMAS APROXIMAÇÕES USADAS No capítulo anterior analisamos alguns casos limites, como campos magnéticos fraco e ultraforte. Neste ca pítulo faremos um sumário das aproximações sugeridas por diversos autores que trataram do problema de átomos de Hi^ drogênio em Campo Magnético Porte, com implicações em Astrofísica e Estado Solido nas regiões em que o campo magnético está entre os limites mencionados acima. Esta região (y^l) ê a mais interessante, uma vez que o tratamen to de perturbação descrito anteriormente perde a validade porque Hj/^H. Por outro lado, quando y>>! podemos con siderar o termo coulombiano como perturbação da Hamiltonia na de um elétron em campo magnético. III.1 Yafet et ai l Motivados pela determinação dos níveis de energia de impurezas em semicondutores, sugeriram um modo de se ob ter, por tratamento de perturbação, os níveis de energia e funções de onda para y >:> l Além disso obtiveram uma expressão analítica para a energia do estado fundamental, co mo função de y, usando um método variacional. No primeiro caso (Y>>1) I definiram um potencial uni-dimensional que substituísse o coulombiano:

38 25 onde N é o número quântico associado aos níveis de Landau (Eq.(11.23)), m é o autovalor de fíl e &, m {x,y) z Km a função de onda no plano xy, para o elétron em um campo magnético uniforme na direção z, sem a interação coulombiana. Esta função pode ser dada pelos termos que depen dem de Ç e $ na Eq.(11.12) Com o potencial coulombiano unidimensional dado pela Eq.(l), Yafet et ai l tornaram a Equação de Schrfldinger solúvel por separação de variáveis e obtiveram funções de onda que permitem uma solução perturbativa para o problema: f NmX Í2) onde dimensão: f H. (z) é a solução da equação de Schrõdinger a uma com e A ê o número quântico associado a H_. Z Com este procedimento obtiveram, para y >>^- ' uma expressão"exata" para as energias (em unidades atômicas):

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