Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta

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1 Questão 1 a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 1 há entre 100 e 1000? a) Como 99 = 9 11 e = , há 11 múltiplos positivos de 9 menores que 100 e 111 múltiplos positivos de 9 menores ou iguais a Assim, há = 100 múltiplos de 9 entre 100 e b) Sejam AeBosconjuntos dos múltiplos de 9 e 1 entre 100 e 1 000, respectivamente O número de múltiplos de 9 ou 1 é n(a B) = n(a) + + n(b) n(a B) Do item a, n(a) = 100 Como 99 = e = , n(b) = 66 6 = 60 O conjunto A B é formado pelos múltiplos de mmc (9; 1) = 4 entre 100 e Como 99 = = e = , n(a B) = = = 0 Portanto há n(a B) = = 140 múltiplos de 9 ou 1 entre 100 e Questão Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de frutas As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 0 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 0, 40 e 10 reais Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 00 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas Sejam x, y e z as quantidades de caixas de maçãs, peras e laranjas, respectivamente Assim: 0x + 60y + 100z = x + 40y + 10z = 00 x + 6y + 10z = x + 4y + z = 0 y + z = 00 y z = 0 y + z = 00 11z = 0 x = 40 y = 0 z = 0 Portanto estão sendo transportadas 40 0 = 000 maçãs, 0 60 = 000 peras e = 000 laranjas Questão a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0A circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (,0) e tem centro no eixo x Para qual valor de m a reta r é tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C a) Como a circunferência C tem centro no eixo x e passa pelos pontos (1; 0) e (; 0), seu centro é 1 + dado por ;0 = (;0) e, então, seu raio é1 Uma equação de r é y = m x mx y = 0 Para que a reta r seja tangente a C, devemos ter m 0 m = 1 = 1 m + 1 m + 1 4m = m + 1 m = ou m = Já que m > 0, temos m =

2 matemática b) Suporemos m > 0 Sejam AeBospontos de intersecção da reta y = mx com a circunferência emoponto médio de AB A distância do centro P = (; 0) da circunferência m m à reta é d = = O triângulo APM é retângulo em M, logo AM + MP = AP AM + 4m = 1 AM = 1 m Conseqüentemente, a área de PAB é d AB = = d AM m 1 m = d AM = = m 1 m = Questão 4 Em uma equipe de basquete, a distribuição de idades dos seus jogadores é a seguinte: idade Nº de jogadores Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jogadores que representará a equipe junto aos dirigentes a) Quantas possibilidades distintas existem para formar esta comissão? b) Qual a probabilidade da média de idade dos dois jogadores da comissão sorteada ser estritamente menor que a média de idade de todos os jogadores? a) Como há = 1 jogadores, há = = 66 maneiras de escolher os dois jogadores que farão parte da comissão b) A média de idade de todos os jogadores é = 1 = 7 anos Sendo x y as idades de dois jogadores, a média dessas idades é menor que a média das idades de todos os jogadores se, e somente se, x + y < 7 x + y < 4 Temos, então, os seguintes casos: Ambos os jogadores têm menos de 7 anos Nesse caso, x<7ey<7 x + y < 4 Assim, como há = 8 jogadores nessas condições, temos = = 8 maneiras de escolher os dois jogadores; Um jogador tem 9 anos Nesse caso, x = 9 e devemos ter x + y < 4 y < 4 9 y < y = Portanto, como há 1 jogador de 9 anos e 1 jogador de anos, há somente 1 maneira de escolher os dois jogadores; Um jogador tem 1 anos Nesse caso, x = 1 e x + y<4 y<4 1 y< y = Visto que há jogadores de 1 anos e 1 jogador de anos, há 1 = maneiras de escolher os dois jogadores; Um jogador tem anos Nesse caso, x = e x + y<4 y<4 y <, o que não é possível Logo a probabilidade pedida é Questão = 1 66 Na figura a seguir, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8 O segmento RM é perpendicular a PQ erm= = 4

3 matemática Calcule: a) O raio da circunferência b) A medida do ângulo P OQ, onde O é o centro da circunferência a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP Seja BQ = r Então AB = 4 r a) Sendo M ponto médio da corda PQ, temos que OM é perpendicular a PQ, de modo que O, M e R são colineares Se o raio da circunferência é r, temos OM = r 4 Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OMQ, temos: 4 8 r + 4 = r r = b) Como MOP MOQ (caso LLL), temos m(pôq) = m(môq) No MOQ, temos 4 sen(môq) = = m(môq) = 60 o 8 Logo m(pôq) =10 o Questão 6 Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B O raio da maior é do raio da 4 menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q Calcule: a) O ABQ é retângulo em Q Então cos(abq ) = r 4 = = 4 r b) AP = AB = rebp= r Da lei dos cossenos 4 segue que: AP = AB + BP AB BP cos(abp) = 16 r = + 16 r r 4 r r cos(abp) = = cos(abp) 1 cos(abp) c)temos que QBP = ABP ABQ Logo cos(qbp ) = cos(abp ABQ ) = = cos(abp ) cos(abq ) + sen(abp ) sen(abq ) ( ) Da relação fundamental, temos: sen(abp ) = 1 ; sen(abq ) = Substituindo em ( ) temos: cos(qbp ) = = Questão No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e BN = NC Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10 Calcule AB

4 matemática 4 Como AM = MD e a distância de N até AD éa altura relativa às bases AM emddos triângulos ANM e DNM, estes têm mesma área Os quadriláteros ABNM e CDMN têm mesma área, logo área ABNM = área CDMN área ANM + área ABN = = área DNM + área CDN área ABN = área CDN AB BN sen(abn) = DC NC sen(dcn) = AB BN sen(abn) = =10 BN sen(dcn) 0 sen(dcn) AB = sen(abn) Os ângulos ABN e DCN são suplementares e, portanto, têm senos iguais Deste modo, AB = 0 Questão 8 (z + i)(1 zi) = (1 + zi)(z i) z zzi + i + z = z i + zzi + z zz = 1 z = 1 z = 1 Assim, o conjunto pedido consiste dos números complexos z de módulo igual a 1, exceto z = i Questão 9 Determine os valores de x no intervalo ], 0 [ para os quais cos x sen x + cos x sen x + cos x sen x 1 cos x sen x cos cos x sen sen x cos x + + k x k, k Z + k x 6 + k, k Z Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i = ) 1 Suponha z i a) Para quais valores de z tem-se z + i =? b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais z + i é um número real Supondo z i: a) z + i = z + i = () (1 i)z = i z = i 1 + i 1 i 1 + i z = 4 + i V = 4 + i b) z + i R z + i z + i = 1 + zi 1 + zi 1 + zi z + i = z i 1 + zi 1 zi Logo, como x está no intervalo ] 0, [, k = 1 e 11 x, ou seja, V = 11 6 ; 6 Questão 10 Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a 1, altura e está inclinado de um

5 matemática ângulo de 60 o (ver figura) O plano β é perpendicular às bases do cilindro, passando por seus centros Se P e A são os pontos representados na figura, calcule PA Logo QR = sen 60o QR = = 4 No AQR, aplicando a lei dos co-senos, temos: o QA = QR + RA QR RA cos 60 1 QA = = 1 Como PQ β, concluímos que PQA é retângulo em Q Logo PQ + QA = PA, ou seja: = PA PA = 14 Sendo Q e R centros das bases superior e inferior, respectivamente, concluímos que o eixo QR pertence ao plano β e forma 60 o com o raio RA