Forma extensiva: Jogos na forma extensiva: Definições: Observações

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1 Forma extensva: Jogos na forma extensva: Drew Fudenberg e Jean Trole (993, cap. 3) Chrstan Montet e Danel Serra (003, cap. ) Descrção exata dos sucessvos movmentos dos jogadores em conexão com a nformação a sua dsposção: Quem sabe o que e quando? Qual a mplcação do que? Orgem da expressão: Von Neumann e Morgenstern (944) Kuhn (953): dagrama de árvore. Defnções: Árvore é um gráfco acíclco com vértce dstnguível. Ponto ncal do jogo: raz da árvore Ponto fnal: nódulos termnas: payoffs dos jogadores que resultam daquela jogada. Pontos de decsão: nódulos não termnas: ndca o jogador está escolhendo. Conjunto de nformação: é o conjunto Maxmo de pontos de decsão que o jogador não pode dstngur entre eles. Decsão em um CI: assoca um únco sucessor na árvore a cada ponto de decsão no conjunto. Observações Movmento da Natureza: ponto de decsão ncal e o seu conjunto de nformação é sempre composto de um ponto de decsão únco. Jogo na forma extensva fnto: árvore contém apenas um número fnto de nódulos. 3 4

2 Exclu cclos Cada ponto de decsão deve ter apenas um predecessor medato. Não Resumo: Jogos de nformação mperfeta: conjunto de nformação dos jogadores possu mas de um nódulo de decsão. Modelo de Stackelberg Com lnha tracejada: passa a ser modelo de Cournot. Coloca todas as ações do no CI do. Forma extensva especfca: a) O conjunto de jogadores b) Quem tem a vez de se mover c) O que ele pode escolher em cada um de seus conjuntos de nformação. d) O que ele sabe quando toma a sua decsão e) O payoff de cada jogador para cada combnação de movmentos que poderam ser escolhdos por ele. 5 6 Jogo perfect recall: Jogadores nunca esquecem o que eles sabam ou fzeram no passado, ou seja, em cada CI da árvore todos os jogadores sabem os CI (s) precedentes e as decsões tomadas. Aqu todos os jogos são perfect recall Jogos no tempo: ele pode não ser perfect recall Informação completa e perfeta: não há movmentos smultâneos e cada jogador é sempre perfetamente nformado sobre qualquer cosa que aconteceu no passado. Nesse caso todo CI é com ponto de decsão únco. Exemplos de jogos de salão fntos:. Xadrez jogo de nformação perfeta sem movmentos da natureza (natureza joga apenas para escolher quem joga prmero). Brdge e Poker jogos de nformação mperfeta, pos a natureza joga, porém o jogo requer habldade.. Roleta jogo de azar puro. 7 8

3 Elementos da forma extensva: Elementos da forma extensva: N = conjunto de jogadores (fnto) ( = jogador ndvdual arbtráro) I = conjunto de nódulos da árvore O = nódulo ncal (orgem) σ: I I: função que assoca cada nódulo a outro que é o seu predecessor. Na orgem: σ (0) = 0 n I e qualquer ntero postvo k, temos: σ k (n) = ndca a k-ésma nteração de σ σ k (n) = σ (σ( σ (...σ(n)...))) Def. Uma árvore do jogo é um conjunto de nódulos I e uma função σ: I I, σ(0) = 0 tal que, nódulo n I, σ k (n)= 0 mantém-se para algum k ntero postvo. σ k (n)= 0 n é necessára para garantr que todos os nódulos estão conectados à orgem,.e., o gráfco é uma árvore. Jogadores escolhem ações para mover-se de um nódulo para outro: função ação do predecessor. k - vezes 9 0 α = Função ação do predecessor (forma uma partção de I) α: I/{o} A : assoca a cada nódulo n (exceto 0) a ação α(n) levando do nódulo predecessor σ(n) a n. (... A = α α n) Classfcação dos nódulos: I. Nódulo termnal: não é predecessor de nenhum outro nódulo, sto é, σ - (n)= Todo nódulo não-termnal é um nódulo de decsão. T(I) = conjunto de nódulos termnas D(I) = conjunto de nódulos de decsão T U D= I e T D = II. Nódulos de decsão: jogador que toma a decsão. I = conjunto de nódulos de decsão nos quas o jogador está escolhendo uma ação e supõe que em um nódulo partcular apenas um jogador está tomando decsão. D partção em subconjuntos. 3

4 (forma uma partção de I) Partção de jogador: assnala nódulos para jogadores que devem tomar uma ação nestes nódulos. Def. uma lsta de conjuntos de decsão mutuamente exclusvos por jogador é chamada uma partção de jogador D(N) A = conjunto de todas ações do jogador. A U = A(n ) n I 3 Função ganho assocada com cada nódulo n I : é um vetor payoff u ( n) Nque da o payoff para cada jogador no nódulo termnal. 4 Exemplo: Jogo com jogadores Jogador : joga prmero (Líder) Varante II: ao mover-se o jogador o não sabe o que o I escolheu. - Jogo com nformação mperfeta Jogador : joga depos (Segudor) L R Espaço de Açoes dos jogadores: A = ( L, L) A = ( R, R) Funçao ganho dos jogadores: L, Rj L, Rj ( ) u,u,j=, R R R R L R R R R R Varante I: ao mover-se o jogador sabe a escolha do I Jogo de nformação perfeta 5 6 4

5 Varante III: há um movmento da Natureza: evento aleatóro com uma dada probabldade e o jogador não conhece a escolha do jogador Jogo estátco de nformação Incompleta Proposção: todo jogo dnâmco pode ser representado na forma normal ou estratégca. (veja o caso da Varante I) Jogador : possu duas estratégas guas as ações N Jogador : possu 4 estratégas e duas ações [-P] [P] (R,R j ) = Se o jogador escolhe L então [jogador ] jogo R e se o jogador escolhe L, então jogo R j (, j =,) (R,R ) (R,R ) (R,R ) (R,R ) R R R R L L u L, u L u L, u L u L, u L u L, u L u, u L u L, u L u L, u L u L, u L, R L, R 7 8 Jogos na forma estratégca ou normal Introdução Shapley (973) Estratéga: é uma regra que dz ao jogador qual ação (movmento do jogador) escolher em cada nstante do jogo, dado seu conjunto de nformação. Dz ao jogador como reagr a ação dele e dos demas jogadores. Fornece uma descrção completa de como o jogador deve jogar em cada contnênca que pode surgr Estratéga é mental e decsão é físca. 0 5

6 Introdução Representação na forma estratégca Estratéga: nstruções exaustvas dadas a uma máquna (agente) que, qualquer que seja o progresso do jogo, a máquna tem apenas que aplcar as nstruções. O numero de estratégas aumenta exponencalmente com o numero de movmentos no jogo (Contngêncas). Conjunto de nformação: é o conhecmento que o jogador possu em um tempo partcular dos valores das dferentes varáves, nclundo o conhecmento das ações tomadas no passado. O CI muda ao longo do tempo. Especfca:. Os jogadores: n-jogadores. As estratégas dsponíves para cada jogador: x = (x...x n ) sendo que x X 3. Payoff de cada jogador para cada combnação de estratégas que podera ser escolhdo por ele. Dadas x, x,...x n estratégas dos n-jogadores, a regra do jogo especfca um payoff u (x...x n ) para cada jogador e um únco resultado para o jogo. Representação na forma estratégca ou normal Representação na forma estratégca ou normal Maestro Confessar Não confessar Tchakovsky Confessar Não confessar (negar) (-5,-5) (0,-0) (-0,0) (-,-) Forma Estratégca ou normal: é a função que assoca a cada vetor de estratégas possíves x = (x...x n ); x X, =,,...,ao vetor payoff (u(x),...,u(n)) (ou payoff dos jogadores). Def. Um jogo com n-jogadores está na forma estratégca se específca G= (X...X n ; u...u n )

7 Estratéga Msta: Os jogadores seleconam um dspostvo aleatóro para a Estratéga Pura (ou estratéga degenerada) a ser empregada. O conjunto de Estratégas Mstas nclu, sempre, todas as estratégas puras, pos a estratéga pura é uma estratéga msta especal na qual a estratéga pura respectva é jogada com probabldade,0 e todas as demas com probabldade zero. Estratéga Msta Def. um jogo no qual o jogador tem m estratégas puras. Qualquer estratéga msta do jogador pode ser representada pelo vetor: p ( p,..., p,..., p ) onde p 0 e p = = j m j p j = probabldadecoma qual o jogador escolherá sua estraégapura x j. Proposção: se o espaço de estratégas puras é fnto, então, o conjunto de dstrbução de probabldades sobre o conjunto X tem a forma do Smplex Untáro de dmensão m. Decsão sob Incerteza: Se a Natureza joga ou se os jogadores randomzam estratégas o resultado do jogo é uma varável aleatóra, ou seja, os jogadores estão tomando decsão sob ncerteza. j 5 6 Estratéga Msta Portanto, jogadores maxmzam utldade esperada de acordo com a teora de von Neumann e Morgenstern (944) e Savage (954). A função payoff é uma função vn-m nvarante a transformações afns crescentes. Na teora da decsão: a curvatura da função utldade de Bernoull representa attude do ndvduo em relação ao rsco. Em Teora : os payoffs representam a avalação subjetva de resultados por um jogador: portanto, os payoffs refletem dretamente attudes attudes dos jogadores em relação ao rsco. Por conseqüênca raramente attudes em relação ao rsco são explctamente ntroduzdas em modelos de jogos apenas em modelos de Barganha a attude em relação ao rsco é ntroduzda explctamente no modelo. Jogo fnto: Cada jogador tem um número fnto de estratégas. Conjunto de estratégas pode ser nfnto (ou ncontável) jogo nfnto. Ex: preços, quantdades. Jogos smultâneos: não se perde nformação usando-se a forma estratégca ou normal. S = A 7 8 7

8 Defnções: Resultado do jogo = conjunto de elementos que o modelador selecona, depos que o jogo é jogado, dos valores das ações, payoffs e outras varáves do jogo. Estratéga do jogador (s )= é uma regra que dz ao jogador qual ação escolher em cada nstante do jogo, dado seu conjunto de nformação. Dz ao jogador como reagr a ações dele e dos outros. Espaço de estratégas (S ) é o conjunto de estratégas dsponíves para o jogador. S exceto o jogador. * S = é a melhor resposta (payoff máxmo) do jogador a S escolhdas pelos = é a combnação de estratégas de todos os outros jogadores os outros jogadores. Combnação de estratégas = S =(s, s,..., s n ) é um conjunto ordenado consttundo de uma estratéga para cada um dos n-jogadores. * * * Equlíbro: S * = ( s, s,..., sn) é uma combnação de estratégas consstndo de uma melhor estratéga para cada um dos n-jogadores do jogo Estratéga domnante: Estratéga domnante Def. a estratéga S * é uma Estratéga Domnante se é estrtamente a melhor resposta jogador para qualquer estratéga que os outros jogadores possam escolher, ou seja, dados S - * rende o payoff máxmo possível. * ' * π ( S ) > π ( S, S ) S S ; S Def. Equlíbro em Estratéga Domnante: é uma combnação de estratégas consstndo de estratégas domnantes de cada jogador. Proposção: em jogos estátcos com EED o resultado do jogo dnâmco permanece o mesmo. Proposção: o equlíbro em estratéga domnante é únco se ele exste

9 Domnânca fraca: Def. A estratéga S é fracamente domnada se exste alguma outra estratéga S para o jogador que é possvelmente melhor e nunca por, ou seja, rende um payoff maor em alguma combnação de estratéga e nunca rendendo um payoff menor ou por. S é fracamente π π ' " ' ( S ) π ( S ) S e " ' ( S ) > π ( S ) para algum S - domnada se S tal " que : 33 DOMINÂNCIA ITERADA Informação completa: cada jogador pode antecpar corretamente o comportamento dos outros jogadores sem a necessdade de comuncar-se com eles e a solução do jogo leva em conta essas expectatvas estratégcas mútuas dos jogadores. solução por domnânca: elmnação terada de estratégas domnadas. Jogadores raconas: nunca jogam estratégas domnadas. Todos são capazes de dscernr smultaneamente quas são as estratégas domnadas dos outros jogadores. Luce e Rafa, Domnânca terada Regra de Cálculo: Def. Domnânca terada consste em acumular para cada jogador a seqüênca: 0 t t X = X X X... X X... Que é defnda por recorrênc a : t t t X = ND ( u; X,..., X n ) t 0. ND = conjunto de estratéga s não domnadas. Dz-se que o jogo é soluconável por domnânca terada se há um jogo fnal no qual cada jogador obtém o mesmo payoff de suas estratégas remanescentes. O conjunto de estratégas que sobrevve ao processo 35 terado é o Equlíbro em domnânca terada (EDI) De X para X cada jogador deve elmnar todas as suas estratégas domnadas. De X para X jogador novamente elmna todas as estratégas que se tornaram domnadas e assm por dante. Exemplo. 36 9

10 Problemas: Em certos jogos o conjunto de estratégas que sobrevve a Elmnação Iterada de Estratégas Domnadas (EIED) pode depender da ordem na qual as estratégas são elmnadas (começar por um jogador ou por outro). Isso não ocorre se há apenas domnânca estrta. Equlíbro de Nash: Def. a combnação de estratégas S* é um Equlíbro de Nash se nenhum jogador tem ncentvo para desvar de sua estratéga dado que o outro jogador não desva. * * ' * ' π ( S ) π ( S ) S Falta a expressão S - : uma estratéga do Eq. Nash necessta apenas ser uma melhor resposta á outra estratéga Nash, não a todos as estratégas possíves