A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO NUMA ESCOLA DE FREDERICO WESTPHALEN-RS RESUMO

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1 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO NUMA ESCOLA DE FREDERICO WESTPHALEN-RS Vildes Mulinari Gregolon Orientadora: Cátia Maria Nehring RESUMO As mudanças didáticas envolvem reflexão a respeito da intervenção pedagógica, e principalmente, mudanças conceituais, e em decorrência desta mudanças metodológicas no ensino. Sendo assim, a multiplicação deixará de ser apenas tabuadas, e as tabuadas apenas leis, passando a ser entendida como uma operação que tem como suporte a construção do número e sustenta por sua vez outros conceitos matemáticos, como a razão, proporção, função linear. A referida pesquisa realiza-se numa escola pública de Frederico Westphalen RS, envolvendo professores e alunos das Séries Iniciais do Ensino Fundamental, perfazendo um número aproximado de 55 pessoas, com o intuito de contribuir com a escola no sentido de rever conceitos e práticas pedagógicas e assim reafirmar o compromisso dessa instituição de ensino em oferecer um ensino de qualidade. Palavras Chaves: Matemática. Intervenção Pedagógica. Séries Iniciais. Multiplicação.

2 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO NUMA ESCOLA DE FREDERICO WESTPHALEN RS. 1 Vildes Mulinari Gregolon 2 Cátia Maria Nehring Graças ao apelo de memória somos capazes de entendermos o que aprendemos e de que forma isso ocorreu. Ao refletir, construímos uma visão compreensiva das nossas experiências e muitas vezes reconstruímos essa visão, baseados nos entendimentos que temos da maneira como fomos constituídos profissionais da área em que atuamos. Apelar à memória nos faz ver a estrutura e a forma de organização em que nos constituíram profissionais e buscar a identidade dentro dessa realidade dá consistência aos saberes manifestados na nossa própria vida profissional (MARQUES, 1996, p.13). A presente pesquisa apresenta uma proposta que visa elencar os indícios de que o fato de não- aprender a tabuada está intimamente ligado à intervenção pedagógica e a maneira como vem sendo desencadeado o processo de construção da operação da multiplicação. O professor que trabalha com as séries iniciais muitas vezes desconhece a estrutura multiplicativa, levando em conta apenas o princípio da soma de parcelas iguais, e ainda as atividades realizadas, não raras vezes, estão desvinculadas do conhecimento da criança em relação ao número. O ensino da matemática em nossas escolas é sustentado pela crença que se aprende o número pelas habilidades de contar, ler, enumerar e escrever numerais, e assim o trabalho se dá a nível de conjuntos: relações de pertinência, correspondência termo a termo. O trabalho realizado dentro desse paradigma demonstra que a intervenção pedagógica não contempla o entendimento da natureza do número e de como se dá à construção do número pela criança. 1 Professora da Rede Estadual de Ensino do RS, Professora da Universidade Regional do Alto Uruguai e das Missões- Campus de Frederico Westphalen. Mestranda do Pós- Graduação Strictu Senso Educação nas Ciências da Unijuí- RS

3 O enfoque desse assunto, a partir da teoria de Piaget e seus colaboradores, sugere que as dificuldades com as tabuadas sejam manifestações de outras, mais profundas, como a conservação de quantidades e até mesmo do conhecimento lógico- matemático. Com efeito, o ensino da Multiplicação pressupõe o domínio da noção de número. Como as crianças chegam à escola geralmente sabendo contar, são feitas apenas atividades de escrita de numerais e de correspondência número x quantidade. Nunes & Bryant colocam:... ser numeralizado significa pensar matematicamente sobre situações. Para pensar matematicamente, precisamos conhecer os sistemas matemáticos de representação que utilizaremos como ferramenta. Estes sistemas devem ter sentido, ou seja, devem estar relacionados às situações nas quais podem ser usados. E precisamos ser capazes de entender a lógica destas situações, as invariáveis, para que possamos escolher as formas apropriadas de matemática. Deste modo não é suficiente aprender procedimentos; é necessário transformar estes procedimentos em ferramentas de pensamento (NUNES & BRYANT, 1997, p.31). Sobre a construção do número Piaget e Szeminska (1971) assinalam que cabe desconfiar das aparências verbais. A aprendizagem verbal é inevitável, mas insuficiente, embora auxilie no processo. A criança, em certo nível de desenvolvimento, considera iguais duas fileiras de cinco fichas postas em visível correspondência termo a termo, mas as considera desiguais, quando as extremidades de uma delas forem afastadas. Assim a linguagem oral serve para individualizar os elementos, mas não implica a idéia de que o todo seja igual à soma das partes, nem que se conserve, independente da disposição espacial de seus componentes. Kamii alerta que: O número é a relação criada mentalmente por cada indivíduo. A criança progride na construção do conhecimento lógico- matemático pela coordenação das relações simples que anteriormente ela criou entre os objetos (KAMII, 1999, p.15) Rangel afirma: 2 Doutora em Educação pela UFSC-SC, Porfessora da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul- UNIJUÍ

4 É somente agindo intensamente sobre os objetos, na tentativa de construir e quantificar coleções, e coordenando essas ações em sua mente, que a criança pode construir progressivamente a estrutura do número aritmetizado, concebendo por convicção própria, em seu espírito, diferentes operações aditivas, justificando-as pela leitura da realidade por ela manipulada, transformada e operada (1992 p.29). Para Piaget e seus colaboradores a construção do sistema numérico completa-se com a descoberta das operações aditivas e multiplicativas. E a correspondência termo a termo, mediante conservação da equivalência, implica uma forma elementar da multiplicação. Pensando que as experiências proporcionadas pela escola não contemplam esse entendimento e dessa forma, reduzem o entendimento da estrutura multiplicativa a um conhecimento de convenções e de regras arbitrárias e ainda, quando a escola proporciona algum tipo de experiência, geralmente prioriza o resultado da ação e não o estabelecimento de relações e suas coordenações, é que se optou por buscar através de uma pesquisa fundamentos para essas reflexões diárias de uma professora que não vê a matemática desvinculada do pensar, que vê as experiências concretas sendo o fazer pelo fazer, é a regra pela regra e a compreensão do que é feito muita vezes não chega a se efetivar. A preocupação com o ensino da multiplicação teve sua origem no trabalho que realizo como coordenadora pedagógica de uma Escola Estadual do município de Frederico Westphalen -RS em que a cada final de bimestre, na reuniões para avaliação, as colegas professoras se mostravam incomodadas com o fato de alguns alunos não- aprendem a tabuada, mesmo depois de incansáveis atividades, desde a construção da lei, feita com material concreto, até as tabuadas expostas em sala de aula e alguns, ainda, levavam para fixar em sua casa em lugar visível. E a cada depoimento eu me reportava às leituras feitas a respeito da formação do conceito de número. Afirmavam que assim como estes alunos( os que não sabiam a tabuada) não conseguiam entender o porquê de 4 x 5 = 20, também não conseguiam saber se tendo 8 balas conseguiam distribuir entre 3 pessoas de forma que todas ficassem com a mesma quantidade. E cada vez mais eu lembrava da conservação de quantidades, da assimilação e acomodação, enfim da construção do número pela criança da qual trata a teoria de Piaget.

5 Entre uma reunião e outra voltava esse assunto, pois esses alunos também cometiam erros inconcebíveis na operações de adição e subtração, conteúdos aprendidos na 1ª série, e que em algum momento pareciam ser desconhecidos dos alunos, principalmente quando se tratava de adição com reserva e subtração com empréstimo, as alunos teriam desaprendido os algoritmos dessas operações. Na primeira entrevista a professora Diva dá um depoimento dizendo: esses três repetente tiveram aula de recuperação e não se interessavam... então essas dificuldades eles vão continuar tendo, e como eles não fazem o tema, não se interessam, não se empenham... De acordo com essas visões tudo o que os professores têm a fazer é administrar estímulos para que preencham o vazio, a mente, pois para estes a inteligência é compreendida com acúmulo de informações, mediante repetição e memorização. Nessas falas, ficava cada vez mais nítido o fato de que uma prática docente deve priorizar o lugar do aluno, e assim a tarefa do professor- educador passaria ser a de organizar um espaço favorável para a aprendizagem, onde o aluno praticasse a ação, e obtivesse a cooperação do professor, criando situações que o encorajem a pensar. Alicerçada na premissa de que a intervenção pedagógica pode ou não contribuir para a aquisição e construção de conhecimentos, de acordo com a teoria que a embasa, temos visto ainda, através das experiências, como professora da Metodologia e Conteúdos Básicos de Matemática I e II, do Curso de Pedagogia, da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI - Campus de Frederico Westphalen, compartilhando conhecimentos com os acadêmicos que atuam como professores em diferentes municípios nos estados do RS e SC, que uma dos maiores confusões conceituais que se vem cometendo está na forma de ensinar a Matemática, no caso específico, a multiplicação. Ao não compreender a estrutura multiplicativa, a prática docente fundamenta-se numa verdade em que a multiplicação é uma operação reducionista

6 da adição de parcelas iguais, e assim ensina com uma linguagem técnica e artificial que não dá conta do aprender. No ensino predominam leituras das sentenças matemáticas, geralmente exemplificadas com desenhos. Para ensinar a dezena (preocupação constante das professoras) antecipa-se a decomposição de números sem antes ter trabalhado as totalidades, desarticulando o próprio pensamento da criança, conduzindo a memorização de regras que não permitem a operarem com as quantidades e podendo até perder a noção do real. Cada tabela ( lei ) refere-se a uma modalidade de operação e seus componentes são vistos como novos, mesmo já tendo sido estudados. Ao estabelecer relações entre o entendimento das professoras( da escola em que atuo como coordenadora e daquelas que cursam Pedagogia) surgiu à necessidade de aprofundar os questionamentos anteriormente citados, direcionando para o fato de como podemos entender a intervenção pedagógica dos professores de séries iniciais, tendo como pressuposto a construção da operação da multiplicação e a sua relação com a construção do número. A escola escolhida para realização da pesquisa é a Escola Estadual de Ensino Fundamental Waldemar Sampaio Barros, localizada no interior do município de Frederico Westphalen RS, distrito de Osvaldo Cruz, distante 10 km da cidade, com aproximadamente 93 alunos de pré-escola à 8ª série. Atuam nessa escola 15 professores, sendo 5 nas séries iniciais e os demais nas séries finais do Ensino Fundamental. Participam da pesquisa os alunos e professores da 1ª à 4ª série, totalizando aproximadamente 46 alunos. A presente pesquisa por tratar-se de uma inter-relação entre conceitos teóricos e abordagens práticas do cotidiano dos professores de séries iniciais, caracteriza-se por uma pesquisa qualitativa, considerando que a mesma trabalha com o universo de significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, o que corresponde a um espaço mais profundo das relações (CHIZZOTTI,2001). Pois para analisar se a intervenção pedagógica dos professores em relação ao ensino da multiplicação propicia o conhecimento do aluno é preciso compreender e refletir sobre as relações e o contexto em que se dá a educação, por isso é fundamental ter a abordagem qualitativa com fio condutor no processo de pesquisa,

7 interpretação, análises dos dados e das informações perpassadas entre teoria e prática. Serão entrevistados, todos os professores de séries iniciais (1ª à 4ª série) da referida escola, onde se buscará conhecer mais detalhadamente as interpretações e conceitos que os docentes têm em relação ao ensino da multiplicação. A entrevista não constituirá fator preponderante para a análise dos dados, porém, servirá de base para as possíveis contradições quanto a essa operação e o posicionamento dos alunos frente a esse conteúdo. Optou-se por um planejamento dos objetivos de investigação, tendo em vista que com esse procedimento, as etapas da pesquisa tornam-se mais aclaradas, beneficiando assim, o pesquisador no processo de coleta e análise dos dados que integram o todo da temática proposta, em uma relação constante entre a teoria e a prática e o enfoque teórico da pesquisa. Em razão disso buscou-se traçar um planejamento e objetivos das possíveis ações no decorrer do trabalho; iniciando pela elaboração do questionário aplicado aos professores da Escola E. de Ensino Fundamental Waldemar Sampaio Barros; seguindo por uma revisão da Literatura existente de abordagem teórica, sobre as categorias de análise em estudo, provenientes de Dissertações e Teses já defendidas; pesquisa bibliográfica em autores com a mesma abordagem teórica, referendados nas Referências Bibliográficas; visitas à escola Waldemar Sampaio Barros para realização da observação dos procedimentos utilizados por alunos e professores no que se refere à operação da multiplicação e realização da entrevista semi- estruturada, buscando saber de cada um as opiniões e anseios em relação à construção da multiplicação. Tais ações contribuirão para conhecer o entendimento que os professores do Ensino Fundamental da Escola Estadual Waldemar Sampaio Barros Séries Iniciais têm da operação da multiplicação e da formação do conceito de número, bem como esse conhecimento é levado aos alunos desta escola, para aprofundar a análise quanto as possíveis contradições conceituais; conhecer a estrutura multiplicativa, a fim de aprofundar os conhecimentos em relação a essa operação de

8 forma a entender a fragmentação e desfragmentação desse conteúdo apresentado nos materiais de uso didático; observar as manifestações do conhecimento do aluno na formação do conceito do número e na construção da multiplicação, a fim de avaliar a forma como a intervenção pedagógica pode e deve intervir na aquisição do conhecimento desses conteúdos por parte dos educandos; e ainda verificar como se processa a construção da operação da multiplicação na referida escola, materiais e procedimentos utilizados, a fim de analisar os limites e possibilidades dos mesmos no processo de aquisição de tais conhecimentos. O que se tem visto é que existe entre os professores uma visão simplista em relação à multiplicação, fazendo desta uma operação a ser ensinada aos alunos após terem aprendido a adição e subtração, e necessariamente anterior à operação da divisão. A professora Graziela coloca:... eu acho mais fácil eles entenderem que quer dizer a mesma coisa que 2 vezes o 2. Eles já conhecem a adição. Acreditam que a multiplicação é mais difícil que a adição e que esta forma a base da multiplicação, por entenderem ser apenas adição de parcelas iguais. É um tanto complicado trabalhar a multiplicação nesse entendimento, pois multiplicar é muito mais que calcular quantidades. Estudos de Piaget apontam que para entender a multiplicação deve ocorrer uma transformação significativa no pensamento das crianças. Para explorar o entendimento sobre a operação da multiplicação e o raciocínio multiplicativo utilizaremos os conceitos de Nunes & Bryant (1997) e após a classificação de Gerard Vergnaud apresentada por Nehring (tese de Doutorado,2001) A multiplicação envolve um novo entendimento em relação a um conjunto de sentidos e invariáveis, os quais não são contemplados no ensino da adição. E que de certa forma contrastam com situações de raciocínio aditivo. O raciocínio aditivo remete a situações de reunir ou separar objetos ou conjuntos de objetos. Nunes & Bryant (1997) afirmam: O número, como medida de conjuntos, envolve colocar objetos em um conjunto no qual o ponto de partida é zero; o número

9 como uma medida das transformações relaciona-se ao conjunto que é unido ou separado de um outro conjunto; o número como uma medida de relação estática relaciona-se ao conjunto que teria que ser unido e/ ou separado de um outro a fim de formar dois conjuntos iguais em número (NUNES & BRYANT, 1997, p.143). As situações que envolvem o raciocínio multiplicativo são diferentes porque trabalham com correspondência um- para- muitos; com relações entre variáveis; com situações que envolvem distribuição, divisão e divisão pela metade. A situação mais comum no raciocínio multiplicativo encontrada no ensino da operação da multiplicação é a correspondência um- para muitos. Para Nunes & Bryant(1997) ao resolver essas questões o aluno pode descobrir que a solução será a mesma se ele usar a adição ou a multiplicação, porque se referirem a um tamanho de conjunto. Entretanto, a situação multiplicativa requer uma relação permanente entre dois conjuntos, e essa correspondência um para muitos é a invariável nesse processo. E por assim ser é base para um conceito matemático de suma importância, o conceito de proporção. Na adição manteremos uma diferença entre dois conjuntos somando o mesmo número em cada um deles, o que não acontece na multiplicação onde somamos números diferentes em cada conjunto. Isso nos remete a uma segunda diferença: ao realizar uma ação com vistas a manter proporção invariável ocorre a replicação ( expressão utilizada por Kieren 1994, apud Nunes & Bryant,1997) ou seu inverso. A replicação consiste em manter a relação um-para - muitos somando a cada conjunto a unidade correspondente. Há outra diferença que consiste no fato de que a proporção permanece constante mesmo após a replicação, aumentando o número de triciclos e o número de rodas a proporção será sempre um para três. Tal processo justifica a proporção não representar um número, mas a relação estabelecida entre conjuntos. Em decorrência, surge um novo significado para o número relacionando a número de vezes que é realizada a replicação. Se pensarmos para cada triciclo três rodas e reproduzirmos esta situação cinco vezes, esse 5 será denominado fator escalar, pois esse 5 se refere ao número de replicações. Um fator escalar se refere

10 ao número de replicações, estabelecendo relação entre o tamanho de dois conjuntos do mesmo tipo. O fator escalar aplicado a cada conjunto deve manter a proporção estabelecida entre os dois. Em resumo, situações multiplicativas envolvendo a correspondência um para- muitos origina dois novos sentidos para o número, a proporção e o fator escalar. A proporção é manifestada por um número que permanece o mesmo quando o tamanho dos conjuntos varia e o fator escalar se refere ao número de replicações, mantendo a proporção constante entre os conjuntos. Um outro tipo de significado de número no raciocínio multiplicativo pode ser encontrado em situações nas quais as variáveis co-variam como uma conseqüência de convenção a qual significa uma co- variação concordada que pode ser alterada por novos acordos ou como uma causa, entendida como a referência ao impacto de uma variável sobre outra ( Nunes & Bryant, 1999, p. 146). Há alguns itens em comum entre as situações multiplicativas e um considerado interessante. É perfeitamente possível resolver problemas envolvendo duas variáveis e problemas com correspondência um- para- muitos utilizando a mesma operação, replicação e o seu inverso. Nesse entendimento o fator escalar ganha importante significado nas duas situações multiplicativas. Na situação de convenção por não se referir a conjuntos, mas sim a valores sobre variáveis, ocorre uma grande diferença entre raciocínio multiplicativo em uma correspondência um- para muitos e co-variação de situações variáveis. As variáveis são contínuas ao passo que os conjuntos são descontínuos, por seus elementos serem descontínuos. Portanto ao falar em conjuntos vem à tona de imediato números inteiros, ao passo que nos referindo ao contexto de variáveis surgem valores fracionais. Um terceiro tipo de raciocínio multiplicativo está na atividade de distribuir. A distribuição envolve uma relação de igualdade entre conjuntos, e é diferente da adição e subtração, pois estabelece uma relação multiplicativa entre os conjuntos.

11 Para as crianças não fica muito claro que a distribuição está bem próxima da correspondência um- para- muitos e há razões convincentes pelas quais elas tratam de forma bastante diferenciada. Uma delas é a ação da distribuição ser o fato fundamental e óbvio da partição ao passo que a correspondência um- para- muitos ser uma ação vista com outro significado, e nesse momento as crianças ainda não construíram o significado de operação inversa. Há ligações entre o raciocínio aditivo e multiplicativo, mas após reflexões minuciosas não se sustenta a idéia de que a multiplicação é uma adição sucessiva. Em se tratando de raciocínio multiplicativo surge a idéia de proporção, e um novo sentido de número, pois a proporção não expressa um número em si, e sim uma relação entre os números. A permanência de uma proporção fixa acontece com a operação de replicar ao invés de adicionar elementos. E assim urge o fator escalar o qual é dado pelo número de replicações. Nas situações multiplicativas em relação a duas ou mais variáveis um sentido de número novo emerge, um fator, função ou uma quantidade intensiva conectando as duas variáveis (NUNES & BRYANT, 1999.p.150). No que se refere a estrutura multiplicativa Vergnaud chama atenção para a classificação que faz. Para ele a multiplicação confere a duas classes: Isoformismo de Medida e Produto de Medida, sendo que as Proporções Múltiplas fazem parte da última classe. Sobre Isoformismo de Medida Nehring (2001) coloca: Consiste de uma simples proporção direta ou, de uma proporção simples, nas quais duas variáveis dependam linearmente uma da outra, M 1 e M 2. Inclui pessoas e objetos; preço constante( bens e custos); velocidade uniforme ou velocidade média constante( tempo e distância); densidade constante em uma linha( árvores e distâncias). Estas grandezas podem ser discretas ou contínuas (NEHRING, 2001, p.77) Dentro dessa classe Vergnaud apresenta sub- classes em relação as operações: multiplicação, divisão e problema de regra de três.

12 A respeito de Produto de Medida Nehring afirma que a mesma: Consiste da composição cartesiana de duas grandezas espaciais, M 1 e M 2, em uma terceira M 3. Envolve problemas relativos a área, volume, produto cartesiano, trabalho e outros conceitos físicos (NEHRING, 2001, p.79). Também apresenta sub- classes sendo multiplicação, divisão e produto cartesiano. Nessa classe está incluída a proporção múltipla, e dentro dela duas outras sub- classes: multiplicação e divisão. A respeito da Proporção Múltipla Nehring (2001)diz: É muito semelhante ao produto de medida do ponto de vista do relacionamento aritmético: uma grandeza espacial M 3 é proporcional a duas diferentes grandezas espaciais independentes de M 1 e M 2...Nas proporções múltiplas as grandezas envolvidas têm seus próprios significados e não podem ser reduzidas por um produto de outras (NEHRING, 2001, p.81). Para Vergnaud a relação de multiplicação não é uma relação binária, mas uma relação quartenária, conduzindo a estas relações explicitadas anteriormente (NEHRING, 2001, p.82). Gomes (1991) conceitua a multiplicação: La multiplicación no es una suma reiterada incluso interpretándola com tal. No es un caso particular de la suma. Es outra operación que puede definirse, tal como aquí se há hecho, a partir de la suma. Pero no se reduce a ella. En efecto, en la suma los dos números iniciales, aunque pueden tener papeles diferentes, son cardinales de un conjunto de elementos concretos. En la multiplicación no es asi (GOMES, 1991, p.19). Como se vê, essas teorias conseguem, de certo modo, muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, uma mudança de filosofia de aprendizagem e de formação de conceitos, e assim, como não poderia deixar de ser uma mudança na prática pedagógica, falando especialmente nos quatro primeiros anos do Ensino Fundamental. Apontam para as mudanças urgentes não só no que ensinar, mas,

13 principalmente no como ensinar, no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem. Assim, a escola é o lugar onde a intervenção pedagógica intencional desencadeia o processo ensino aprendizagem. O professor tem o papel explícito de interferir no processo, diferentemente de situações em que a criança aprende por contatos, mas situações em que possa intervir. agir e construir conceitos.

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