O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE PROJETOS COM RESTRIÇÃO DE RECURSOS (RESOURCE-CONSTRAINED PROJECT SCHEDULING PROBLEM)

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1 O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE PROJETOS COM RESTRIÇÃO DE RECURSOS (RESOURCE-CONSTRAINED PROJECT SCHEDULING PROBLEM) Jorge de Araújo Ichihara, M.Eng., D.Eng. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil UFPA/CT/PPGEC Fones (091): , e ichihara@amazon.com.br Abstract: This article approaches Resource-Constrained Project Scheduling Problem (RCPSP), which belongs to the class of the optimization problems called NP-complete. The objective is to focus the subject as a group of activities interrelated technologically (precedence constraints), under resource constraints, it can be programmed as a way to assist an objective of administration. Key Words: Scheduling, Resource-Constrained Project Scheduling Problem, planning. 1. Introdução O RCPSP foi introduzido por Kelley (1963) e Wiest (1963) [apud Boctor, 1990]. A pesquisa sobre este tipo de problema pode ser classificada de acordo com dois critérios: a função objetivo e as categorias de recursos (Ozdamar e Ulusoy, 1994). Em se tratando de função objetivo, os objetivos mais popularizados são a minimização da duração do projeto (objetivo baseado no tempo) e a maximização do valor presente do projeto (objetivo baseado no custo) [Doersch e Patterson, 1977; Yang, Talbot e Patterson, 1993]. Considerando que o problema é NP-Completo, os algoritmos não podem encontrar um ponto de ótimo ou até mesmo um boa solução para problemas grandes e complexos [Cho e Kim, 1997]. Foi para apresentar o problema de uma maneira completa e para estimular a criação de heurísticas, notadamente híbridas do Tabu Search, Simulated Annealing e Genetic Algorithms, que este artigo foi desenvolvido. 2. Os Problemas de Alocação de Recursos Os tempos de início e de término resultantes da aplicação das tradicionais redes CPM, PERT e PDM, implicam em perfis do uso de recursos ao longo do tempo de realização do projeto. Alocar um recurso significa designá-lo para uma determinada atividade por período de tempo, de forma a não acontecer de a capacidade de consumo ser maior que a disponibilidade. Em um processo de alocação de recursos, podem ocorrer duas situações: (1) a oferta é maior que a demanda, e neste caso, os recursos não são fatores limitantes na implementação do projeto, ou (2) a demanda é maior que a oferta em uma ou mais unidades de tempo. Na segunda situação, podem ocorrer três tipos importantes de problemas: (1) haver necessidade de reduzir a variação nos perfis de demanda, (2) ser necessário reduzir a duração do projeto, e para isto, ter que adicionar recursos ao menor custo, e (3) ser necessário gerar uma combinação das datas de início das atividades, de modo que o recurso disponível não seja ultrapassado pelas despesas em nenhum período de tempo. Portanto, os problemas de alocação de recursos podem ser classificados em três tipos ENEGEP 2002 ABEPRO 1

2 principais [Davis, 1973], respectivamente: o Problema do Nivelamento de Recursos, o Problema da Compressão de Projetos e o Problema da Alocação de Recursos Limitados. 3. O Problema de Programação de Projetos com Limitação de Recursos (RCPSP - Resource-Constrained Project Scheduling Problem) O Problema da Programação de Projetos com Limitação de Recursos, é uma generalização do problema job-shop estático e portanto, pertencente à classe dos problemas de otimização NP-Completo [Parker e Rardin, 1981, 1982; Blazewincz et al., 1983]. Ele enfoca a questão de como um conjunto de atividades inter-relacionadas tecnologicamente (precedence constraints), sob restrições de recursos (resource constraints), pode ser programado de forma a atender um objetivo da administração. A formulação do RCPSC clássico ou na forma padrão, pode ser observado na figura 1, sob as seguintes suposições [Demeulemeester e Herroelen, 1996]: - Um projeto consiste de diferentes atividades, as quais são representadas no formato atividade-no-nó (activity-on-the-node format - um grafo direcionado e acíclico, no qual os nós representam as atividades e os arcos representam as restrições de precedência). Duas atividades fantasmas são introduzidas: a atividade 1 representa a atividade de início do projeto e é a predecessora direta ou indireta de toda atividade do projeto, enquanto a atividade N denota a atividade de final do projeto e é uma sucessora direta ou indireta de toda atividade. - As atividades estão relacionadas por um jogo de relações de precedência Final-Início com um atraso de tempo zero, implicando que nenhuma atividade pode iniciar antes que as suas predecessoras tenham sido completadas. - Nenhuma data de início ou de término é imposta a qualquer atividade do projeto. - Cada atividade i {i = 1,...,N} tem uma duração constante d i (tempos de preparação são desprezíveis ou estão incluídas na duração fixada). - Cada atividade i requer um número constante de unidades r ik de um recurso renovável do tipo k (k = 1,...,K). Os requerimentos de recurso r ik são constantes conhecidas sobre o intervalo de processamento da atividade. - A disponibilidade a k de um recurso renovável do tipo k é também uma constante conhecida ao longo do intervalo de duração do projeto. - Nenhuma atividade pode ser interrompida depois de iniciada (não é permitido preempção de atividade). - O objetivo é completar o projeto tão logo quanto possível, sem violar qualquer restrição de recurso e de precedência. ENEGEP 2002 ABEPRO 2

3 Problema da Programação de Projetos com Restrição de Recursos Minimize f N Sujeito a f i f j - d j ( i, j ) H, f 1 = 0, Σ r i k a k k = 1,..., K; 1,..., f n, i St Onde: a k : A disponibilidade total do recurso tipo k; d j : duração de atividade i; f j : data de término da atividade i; N : número de atividades no projeto; H : conjunto de pares de atividades indicando relações de precedência Final-início; K : número de tipos de recurso; r i k : a quantidade de recursos do tipo k que é requerida pela atividade i; St : conjunto de atividades em progresso durante o intervalo de tempo (t - 1, t] = {t / f i - d I < t < f i }; Fig. 1 - O Problema da Programação de Projetos com Restrição de Recursos (RCPSP- Resource Constrained Project Scheduling Problem). Fonte: Demeulemeester e Herroelen, Caracterização Geral do RCPSP O Problema da Programação de Projetos com Restrição de Recursos pode ser caracterizado pelos seguintes itens [Lopez Vaca, 1995; Ichihara, 1998]: número de projetos simultâneos, natureza das informações do projeto, tipos de ligações permitidos; possibilidade de interrupção, modos de execução, tipos de recursos utilizados, número de recursos utilizados, número de objetivos e tipos de objetivos: 4.1. Número de Projetos Simultâneos Um problema de programação de projetos pode envolver um único projeto (single-project scheduling) ou pode envolver vários projetos simultaneamente (multi-project scheduling). Sobre o caso de múltiplos projetos, menos comum, tem-se entre outros os trabalhos de Kurtulus e Narula (1982, 1985) e Mohanthy e Siddiq (1989) Natureza das Informações do Projeto Quando os dados sobre as atividades e os recursos envolvidos são determinados com precisão, diz-se que o problema é de natureza determinística; do contrário, quando alguns dos principais dados são variáveis segundo uma determinada distribuição de freqüências, diz-se que o problema é de natureza probabilística [Elmaghraby, 1990]. ENEGEP 2002 ABEPRO 3

4 4.3. Tipos de Ligações Permitidos Os problemas podem permitir um ou mais tipos de ligações entre atividades: Início-Início (Start to Start); Início-Final (Start to Finish); Final-Início (Finish to Start); e Final-Final (Finish to Finish) [Moder et al., 1983] Possibilidade de Interrupção Na forma original do problema abordado, toda e qualquer atividade, uma vez iniciada, não pode ser interrompida (nonpreemptive case) [Boctor, 1990]; são mais freqüentes os artigos técnicos que apresentam procedimentos baseados nesta premissa. Métodos voltados para a possibilidade de interrupção das atividades (preemptive case) podem ser encontrados em Schrage (1972), Weglarz et al. (1977) e Slowinski (1980, 1981) Modos de Execução Quanto ao modo de execução, a forma clássica de abordagem envolve apenas uma e somente uma forma possível de execução para uma atividades (single mode). Quando existe mais de uma forma de execução para uma ou mais atividades, pode-se dizer que o problema pertence à classe de múltiplos modos (multi-mode). A grande maioria dos textos referem-se ao modo único; para o caso múltiplo, recomenda-se Boctor (1990,1996), Drexl e Gruenewald (1993) e Lopez Vaca (1995) Tipos de Recursos Utilizados Cada um dos recursos utilizados, pode ser classificado em uma das três categorias: Renovável, Não-renovável e Duplamente Restrito. - Renovável (Renewable) - Quando o recurso em análise é limitado em quantidade, mas renovável de período à período. - Não-renovável (Non-Renewable) - Quando a soma do recurso analisado é limitada para o projeto como um todo, não havendo renovação por período. - Duplamente Restrito (Doubly Constrained) - Quando o recurso destinado ao projeto é limitado duplamente, na soma total e por período Número de Recursos Utilizados Um projeto pode utilizar apenas um único recurso (single resource), ou se possível, pode expressar todos os recursos envolvidos sob apenas uma denominação, como o recurso financeiro, por exemplo. Em ambos os casos, diz-se que o recurso é único. De outro lado, estão os problemas de múltiplos recursos (multiple resources), de natureza mais complexa, e presentes em artigos como Mohantly e Siddiq (1989) Número de Objetivos Um problema de RCPSP geralmente possui um único objetivo (single objective) a ser maximizado ou minimizado, como é o caso do procedimento padrão, que minimiza a ENEGEP 2002 ABEPRO 4

5 duração total do projeto. No entanto, é crescente o número de metodologias que trabalham simultaneamente com objetivos múltiplos (multiples objectives), como em Davis et al. (1975), Kurtulus e Davis (1982), Epstein et al., (1992), e Li (1996) Tipos de Objetivos Existem muitos tipos de objetivos possíveis para um RCPSP; os tipos mais comuns são: - Minimização do Tempo de Execução do Projeto (Project Completion Time), utilizado em trabalhos como o de Davis e Heidron (1971), Patterson e Huber (1974) e Talbot e Patterson (1978). - Minimização do Custo Total do Projeto (Overall Project Cost), que pode ser visto em Phillips e Dessouki (1977), Slowinski (1980, 1981) e Talbot (1982). - Maximização do Valor Presente do Projeto (Project Present Value), encontrado em Doersch e Patterson (1977); Elmaghraby e Herroelen (1990); Herroelen e Gallens (1993); Kazaz e Sepil (1996); Icmeli e Erenguc (1996) e outros. 5. Procedimentos para Solucionar o RCPSP O RCPSP pertence à classe dos problemas combinatoriais, a qual é caracterizada pelo crescimento fatorial do tempo computacional requerido para considerar todas as possíveis soluções, de acordo com o aumento do tamanho do problema [Davis, 1973]. Portanto, os procedimentos para solucioná-lo podem ser extraídos da Otimização Combinatorial. A Otimização Combinatorial (CO) estuda problemas que são caracterizados por um número finito de soluções possíveis. Embora em princípio, a solução ótima para um problema finito possa ser encontrada por simples enumeração, na prática esta tarefa é freqüentemente impossível, especialmente para problemas práticos de tamanho realístico onde o número de soluções possível pode ser extremamente alto [Papadimitriou e Steiglitz, 1985; Bjornal et al., 1995]. Os pesquisadores de CO estudam as propriedades estruturais dos problemas e utilizam estas propriedades para criar técnicas de solução geral exatas e aproximadas. Pode-se dividir os métodos de solução utilizados na Otimização Combinatorial, em dois grandes grupos: os procedimentos ótimos, que visam produzir a melhor solução através de programação matemática mais rigorosa, e os métodos de solução heurísticos, que visam produzir boas soluções: 5.1. Os Procedimentos Ótimos Os procedimentos ótimos, também denominados exatos ou analíticos, subdividem-se em duas principais classes [MacCarthy e Liu, 1993]: os ótimos eficientes, que geram programações ótimas em tempo polinomial; e os ótimos enumerativos, que consistem de enumerações do conjunto de soluções possíveis. Ambos os procedimentos são inadequados para serem aplicados a problemas de tamanho e complexidade grandes. ENEGEP 2002 ABEPRO 5

6 5.2. Os Procedimentos Heurísticos Em Pesquisa Operacional, o termo "Heurística" é usualmente entendido como sendo um algoritmo iterativo que não converge em direção à ótima solução, mas à uma solução possível do problema [Streim, 1975; Müller-Merbach, 1981]. Os mais importantes campos de ação da heurística são [Silver, Vidal e De Werra, 1980]: - Problemas para os quais não existem algoritmos eficientes de convergência (converging algorithms), ou seja, algoritmos que não convergem para a solução em um tempo computacional aceitável. - Problemas para os quais existem algoritmos eficientes de convergência, e que heurísticas podem ser utilizadas para acelerar o processo de solução. Como exemplo, o caso em que as heurísticas são utilizadas para encontrar uma boa solução inicial. - Algoritmos de convergência que contém elementos de heurística, tal como a regra de seleção de um pivot em Programação Linear. - Em diversas técnicas de busca em árvores como Branch and Bound, bounded enumeration, entre outros, como propostas look-ahead. A maioria dos problemas para os quais não existem ou não podem ser desenvolvidos algoritmos de convergência eficientes, são de um tipo combinatorial (combinatorial type), no qual eles teriam que fazer arranjos, agrupamentos, ordenação ou seleção de objetos discretos. Os métodos de solução heurísticas para o RCPSP basicamente envolvem seis diferentes tipos [Storer, Wu e Vaccari, 1992; Kolisch, 1996]: (1) Programação baseada em regras de priorização de único e múltiplos passos; (2) Procedimentos branch and bound truncados; (3) Heurísticas baseadas em programação inteira; (4) Conceitos de arco disjuntivo; (5) Técnicas de busca local, e (6) os Algoritmos Evolucionários. 6. Conclusão O Resource-Constrained Project Scheduling Problem constitui um dos Problemas de Alocação de Recursos. Sua natureza combinatorial que o classifica como problema NP- Completo torna a pesquisa ao entorno de sua solução um dos grandes desafios da área de Programação de Projetos. Os métodos de solução analíticos ou exatos utilizados para solucionar o RCPSP, bem como os enumerativos, aplicam-se somente aos pequenos problemas e em nível de abstração tal, que geralmente não podem ser aplicados a situações do mundo real. Portanto, os métodos heurísticos constituem o objeto mais importante de pesquisa nessa área. Bibliografia BLAZEWICZ, J., LENSTRA, J. K., RINNOOY KAN, A. H. G. Scheduling Subject to Resource Constraints: Classification and Complexity,Discrete Applied Mathematics, 5, pág : BJORNDAL, M. H., CAPRARA, A., COWLING, P. I., DELLA CROCE, F., LOURENÇO, H., MALUCELLI, F., ORMAN, A. J., PISINGER, D., REGO, C., ENEGEP 2002 ABEPRO 6

7 SALAZAR, J. J. Some Thoughts on Combinatorial Optimisation. European Journal of Operational Research. 83. P : BOCTOR, F. F. Some Efficient Multi-Heuristics Procedures for Resource-Constrained Project Scheduling. Eur. J. Opl. Res. No 49. P. 3-13: BOCTOR, F. F., A New and Efficient Heuristic for Scheduling Projects with Resource Restrictions and Multiple Execution Modes. European Journal of Operational Research. 90. p : CHO, J. H., KIM, Y. D. A simulated Annealing Algorithm for Resource Constrained Project Scheduling Problems. Journal of the Operational Research Society. N. 48. P : DAVIS, W. E., PATTERSON, J. H. A Comparison of Heuristic and Optimum Solutions in Resource-Constrained Project Scheduling. Management Science. V. 21. No. 8, p : DAVIS, W. E., Project Scheduling Under Resources Constraints-Historical Review and Categorization of Procedures. AIIE Transactions. V. 5(4), p : DEMEULEMEESTER, E. L., HERROELEN, W. S. An Efficient Optimal Solution Procedure for the Preemptive Resource-Constrained Scheduling Problem. European Journal of Operational Research. 90, pág : DOERSCH, E. H., PATTERSON, J. H. Scheduling a Project to Maximize its Present Value: a Zero-One Programming Approach. Management Science, 23 (8), : DREXEL, A., GRUENEWALD, J. Nonpreemptive Multi-Mode Resource-Constrained Project Scheduling. IIE Transactions, 25(5), pág : ELMAGHRABY, S. E. Project Bidding Under Deterministic and Probabilistic Activity Durations. European Journal of Operational Research. N. 49. P : ELMAGHRABY, S. E., HERROELEN, W. S. The Scheduling of Activities to Maximize the Net Present Value of Projects. European Journal of Operational Research. N. 49. P : EPSTEIN, S., WILAMOWISKY, Y., DICKMAN, B. Deterministic Multiprocessor Scheduling With Multiple Objectives. Computers Operations Research, 19 (8), pág : HERROELEN, W. S., GALLENS, E. Computational Experience with an Optimal Procedure for the Scheduling of Activities to Maximize the Net Present Value. European Journal of Operational Research. N. 65. P : ICHIHARA, J. A. Um Método de Solução Heurístico para a Programação de Edifícios Dotados de Múltiplos Pavimentos-Tipo. Tese de Doutoramento. EPS. UFSC. Florianópolis: ICMELI, O., ERENGUC, S. S. A Branch and Bound Procedure for the Resource Constrained Project Scheduling Problem with Discounted Cash Flows. Management Science, v. 42, n. 10, p : KAZAZ, B., SEPIL, C. Project Scheduling with Discounted Cash Flows and Progress Payments. Journal of the Operational Research Society. N. 47. P : KOLISCH, R., Serial and Parallel Resource-Constrained Project Scheduling Methods Revisited: Theory and Computation. European Journal of Operational Research. N. 90, p : KURTULUS, I. S., DAVIS, E. W. Multi-Project Scheduling: Categorization of Heuristic Rules Performance. Management Science, 28, pág : KURTULUS, I. S., NARULA, S. C. Multi Project Scheduling: Analysis of Project Performance. IIE Transactions, 17, pág : LI, S., New Approach for Optimization of Overall Construction Schedule. V. 122, 1, pág. 7-13: ENEGEP 2002 ABEPRO 7

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