Probabilidade ENG /2. Prof. Alexandre Pedott ENG Estatística para Engenharia

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1 Probabilidade ENG /2 Prof. Alexandre Pedott

2 Alguns anos atrás, um homem ganhou na loteria nacional espanhola com um bilhete que terminava com o numero 48. Orgulhoso por seu feito, ele revelou a teoria que o levou a fortuna. Sonhei com o numero 7 por 7 noites consecutivas, disse, e 7 vezes 7 e 48. Leonard Mlodinow O andar do bêbado

3 PROBABILIDADE Gerolamo Cardano (Milão, Itália: ) Nobre, Médico e Famoso Apaixonado por jogos de azar e apostas Livro de Jogos de Azar (jogos de dados) Primeiro trabalho a desenvolver princípios estatísticos da probabilidade. Cardano define a probabilidade de um evento como sendo a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de possíveis resultados. Análise Combinatória

4 PROBABILIDADE Galileo Galilei ( ) Relacionou os números possíveis em jogos de dados em Sobre o jogo de dados. Estabeleceu as primeiras noções de erros em observações astronômicas como representar erros nos resultados observados. Apontou características da distribuição normal: simetria em torno do valor verdadeiro.

5 PROBABILIDADE Blaise Pascal ( ) Inventor: máquina de calcular; barômetro de mercúrio; seringa. Provou a existência do vácuo. Em 1654 trocou correspondências com Pierre Fermat( ) onde estabeleceram um método sistemático para calcular probabilidades. Em 1655, aos 32 anos, internou-se monastério em Paris. As correspondências de Pascal e Fermat foram publicadas em 1679, em Toulouse, sendo hoje consideradas a origem do desenvolvimento da teoria matemática da probabilidade.

6 PROBABILIDADE Suponha que em um grupo de mil atletas 10% tenham usado medicamentos proibidos. Um teste antidoping é aplicado no grupo. A eficiência do teste é de 50%. A taxa de falso positivo é de 1%. Se o teste de um atleta desse grupo der positivo, qual a probabilidade de que ela tenha ingerido medicamentos proibidos?

7 PROBABILIDADE Suponha que uma mãe tenha dois filhos pequenos. Você sabe que um deles é uma menina. Qual a probabilidade de que o outro também seja?

8 PROBABILIDADE A Teoria das Probabilidades estuda os fenômenos aleatórios. Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir, sob condições similares, o resultado não será sempre o mesmo. Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório que possa ser executado pelo homem.

9 4.1. Espaço Amostral e Eventos Os resultados de um experimento aleatório podem ser representados em um espaço amostral ao qual chamaremos de S. O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou contínuo, finito ou infinito. A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional onde aparecem os eventos A e B. Como pode ser visto, os eventos A e B estão completamente contidos em S e apresentam interseção, ou seja, a sua ocorrência simultânea é possível.

10 4.1. Espaço Amostral e Eventos Evento: É um conjunto de resultados possíveis do experimento. É um subconjunto de S. Exemplo: Em uma linha de produção, peças são fabricadas em série. Conte o nº de peças defeituosas em cada 200 peças produzidas. S = {0, 1, 2,..., 200}; Eventos: A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10}; B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11, 12, 13, 14, 15};

11 4.2. Operações com Eventos Usando o símbolo para união e o símbolo para interseção, podemos definir os eventos C e D: C = A B conjunto de valores que pertence a A ou B ou a ambos; D = A B conjunto de valores que pertence simultaneamente a A e B; Usaremos o símbolo para representar o conjunto vazio, e uma barra sobre a letra, por exemplo A, para representar o complemento de A, isto é, o conjunto de pontos que não pertence a A.

12 4.3. Definição de Probabilidade Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma função P tal que P represente a probabilidade que x pertença a E. Isto é: Alternativamente, pode ser enunciado: Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma função P tal que P represente a probabilidade de ocorrência de E. Isto é: P(E) Pr (x E) P(E) = Pr(ocorrência do evento E)

13 4.3. Definição de Probabilidade Essa função P deve satisfazer algumas propriedades: 1) 0 P(E) 1 2) Se E 1 e E 2 são tais que E 1 E 2 =, tem-se que P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) 3) A probabilidade de ocorrência de um ponto qualquer do espaço amostral S deve ser igual a 1: P(S)=1 Essas propriedades são importantes para derivar várias regras de cálculo de probabilidades.

14 4.3. Definição de Probabilidade Para determinar a probabilidade de um evento, usaremos o ponto de vista das freqüências relativas: P(E) = m(e) / m(s) onde m(e) e m(s) representam as medidas de E e S.

15 4.4. Soma de Probabilidade Eventos mutuamente exclusivos E 1 E 2 =. Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das probabilidades é dada pela generalização da propriedade 2. P(E 1 E 2... E k ) = P(E i ) Se os eventos E 1 e E 2 não são mutuamente exclusivos, mas são independentes, pode-se demonstrar que: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 E 2 )

16 4.4. Soma de Probabilidade Para o caso de três eventos, a generalização anterior é P(E 1 E 2 E 3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3 ) - [P(E 1 E 2 ) + + P(E 1 E 3 ) + P(E 2 E 3 )] + P(E 1 E 2 E 3 )

17 4.4. Soma de Probabilidades Exemplo: Um digestor químico é alimentado por material que vem de dois tanques independentes. O material do tanque 1 pode ser uma concentração de ácido que varia uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material do tanque 2 pode apresentar uma concentração de base entre 5 e 10. Sejam os seguintes eventos: A: material do tanque 1 com conc. superior a 6 B: material do tanque 2 com conc. inferior a 6

18 4.4. Soma de Probabilidades P(A) = m(a) / m(s) P(A) = 10 / 20 = 0,5 P(A) = 1 - P(A) = 0,5 P(B) = 4 / 20 = 0,20 P(B) = 1 - P(B) = 0,80 P(A B) = 2/20 = 0,10 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,50 + 0,20-0,10 = 0,60

19 4.4. Soma de Probabilidades Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, e sabendo que o processo apresenta problemas quando a concentração de ácido supera a concentração de base, calcule a probabilidade disso acontecer. Solução: P(E 1 ) = m(e 1 ) / m(s) P(E 1 ) = [(3x3)/2] / 20 = 0,225

20 4.5. Produto de Probabilidade A probabilidade de um evento A foi definida como a medida do conjunto A dividida pela medida de S. Poderíamos, então, escrever P(A/S) para indicar de forma explícita que a probabilidade de A está referida a todo o espaço amostral S. Assim: P(A) = P(A/S) = m(a) / m(s)

21 4.5. Produto de Probabilidades Algumas vezes, no entanto, estaremos interessados em calcular a probabilidade de um evento E 1 referida a um sub-espaço de S, por exemplo, ao espaço definido por E 2 : P(E 1 /E 2 ) = m (E 1 E 2 ) / m(e 2 ) Dividindo-se numerador e denominador por m(s): P(E 1 /E 2 ) = [m (E 1 E 2 ) / m(s)] / [m(e 2 ) / m(s)] P(E 1 /E 2 ) = P(E 1 E 2 ) / P(E 2 ) Essa expressão define a probabilidade de E 1 dado E 2 ou referida a E 2. A partir dessa expressão, obtém-se: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 /E 2 ). P(E 2 ) (eq. 2)

22 4.5. Produto de Probabilidades Da mesma forma, poderíamos escrever: P(E 2 /E 1 ) = P(E 1 E 2 ) / P(E 1 ) e então obter: P(E 1 E 2 ) = P(E 2 /E 1 ). P(E 1 ) (eq. 3) As expressões (2) e (3) são análogas e definem a probabilidade do produto, ou seja, da ocorrência simultânea de E 1 e E 2. Para três eventos tem-se: P(E 1 E 2 E 3 )= P(E 1 ). P(E 2 /E 1 ). P(E 3 /E 1 E 2 ) ou expressões equivalentes usando P(E 2 ) ou P(E 3 ).

23 4.5. Produto de Probabilidades Exemplo: Para o exemplo do digestor químico calcule a probabilidade da concentração de ácido superar a concentração de base quando sabe-se que a concentração de ácido é superior a 6,0. Solução: O que se pede é a P(E 1 ) dado A. Essa probabilidade é: m(e A)/m(S) P(E /A) 1 m(a)/m(s) 4/20 10/20 1 0,40

24 4.6. Eventos Independentes Dois eventos, E 1 e E 2 são ditos independentes se: P(E 1 /E 2 ) = P(E 1 ) nesse caso, P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ). P(E 2 ) Para k eventos independentes, tem-se: P(E 1... E k ) = P P(E i )

25 4.6. Eventos Independentes Exemplo: Um construtor se submete a licitação para duas obras independentes, A e B. Baseado na experiência, os engenheiros estimam que a probabilidade de ganhar a obra A é 0,25; e a probabilidade de ganhar a obra B é 0,33. Pede-se: a) Estimar a probabilidade de ganhar ao menos uma das duas obras: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = = 0,25 + 0,33 - (0,25. 0,33) = 0,5

26 4.6. Eventos Independentes b) Estimar a probabilidade de ganhar a obra A, sabendose que o construtor irá ganhar ao menos uma obra: P(A (A B)) 0,25 P(A/A B) = 0,50 P(A B) 0,50 Note que P(A (A B)) é obviamente o mesmo que A, já que A está completamente contido em (A B).

27 4.6. Eventos Independentes c) Se o construtor submete-se a outra licitação para uma obra C, com probabilidade de ganhar igual a 0,25, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma obra? P(A B C) = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25. 0,33 + 0,25. 0,25 + 0,33. 0,25) + (0,25. 0,33. 0,25) = 0,625 Note que para o caso de eventos independentes vale também: P(A B C) = 1 - P( A B C) = 1 - (0,75. 0,67. 0,75) = 0,625

28 4.7. Probabilidade Total Seja que no campo amostral S exista um evento B que consiste de k componentes mutuamente exclusivos: B = B 1 B 2... B k ; B i B j =

29 4.7. Probabilidade Total E dado que no campo do evento B exista um outro evento A que pode ou não ocorrer simultaneamente com todos os componentes de B. Nesse caso, podemos escrever: A = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B k ) Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma total pelos componentes B 1...B k do evento B, os quais são mutuamente exclusivos. Então usando-se (1) e (2) tem-se:

30 4.7. Probabilidade Total P(A) = P(A B 1 ) P(A B k ) P(A) = P(B 1 ). P(A/B 1 ) P(B k ). P(A/B k ) P(A) = P(B i ). P(A/B i )

31 4.7. Probabilidade Total Exemplo Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por dia; desse total, 600 Kg são adquiridos do fornecedor B 1 e 400 Kg do fornecedor B 2. Assim B = B 1 B 2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabese que B 1 e B 2 têm as probabilidades de 0,03 e 0,01, respectivamente, de serem defeituosos.

32 4.7. Probabilidade Total Chamando A o evento material defeituoso tem-se: A = (A B 1 ) (A B 2 ) Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B 1 ou B 2. Então A pode ser calculado a partir de: P(B 1 ) = 0,6; P(B 2 ) = 0,4 P(A/B 1 ) = 0,03; P(A/B 2 ) = 0,01 P(A) = P(B 1 ).P(A/B 1 ) + P(B 2 ).P(A/B 2 ) P(A) = (0,6).(0,03) + (0,4).(0,01) = 0, ,004 = 0,022 Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso, vindo de B 1 ou B 2, é igual a 0,022.

33 4.8. Teorema de Bayes O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade posterior de um evento B j, P(B j /A), baseada em nova informação referente ao evento A e conhecendo-se a probabilidade anterior B j, P(B j ). Usando o conceito de probabilidade condicional, tem-se: P(B j /A) = P(B j A) / P(A) Como A está descrito em termos de B 1,...,B k, tem-se o Teorema de Bayes: P(B j /A) = P(B j A) / P(B j ). P(A/B j ) P(B j /A) = P(B j ). P(A/B j ) / [ P(B j ). P(A/B j )]

34 4.8. Teorema de Bayes Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade posterior de um evento B j, em função de um evento A e da probabilidade anterior de B j. Exemplo: Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua espessura for superior a 7,5 cm. A experiência prévia indica que 90% das seções construídas são aceitas.

35 4.8. Teorema de Bayes A medição da espessura é feita usando um aparelho ultrasônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há uma probabilidade de 80% que a conclusão baseada neste aparelho seja correta. Pede-se: a) Qual a probabilidade que a seção esteja bem construída e seja aceita na inspeção?

36 Solução: Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm. P(A) =? Seja B: O aparelho indica que a seção está bem construída, ou seja, indica que e > 7,5 cm. P(B)=0,90 Ainda, P(A/B) = 0, Teorema de Bayes Assim, o que se pede é a P(A B): P(A B) = P(B). P(A/B) = (0,90). (0,80) = 0,72 b) A probabilidade que a seção não esteja bem construída e seja aceita: P(A B) P(B).P(A / B) (0,90).(0,20) 0,18

37 4.8. Teorema de Bayes c) A probabilidade que a seção seja aceita quando se sabe que a seção está bem construída. Essa probabilidade pode ser estimada usando o Teorema de Bayes. O que se pede é a P(B/A). Como somente podemos dizer que a seção está bem construída baseado nas medições temos: A (B A) (B A) Assim, P(A) P(B). P(A / B) P(B). P(A / B) P(A) = (0,90). (0,80) + (0,10). (0,20) = 0,74 P(B / A) P(B). P(A / B) (0,90). (0,80) P(A) 0,74 0,973

38 4.8. Teorema de Bayes Como se vê, a probabilidade anterior P(B) = 0,90 é agora modificada para P(B/A) = 0,973 depois de se saber o evento: a seção está bem construída.

39 Exemplo Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que a incidência é de 50% entre as vítimas que não utilizam cinto de segurança. Estima-se que em 60% a porcentagem dos motoristas que usam o cinto. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. A pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade dela estar usando o cinto no momento do acidente.

40 Exemplo Dados Evento (C): Usar cinto de segurança P(C) = 0,6 Probabilidade de usar cinto P(NC) = 0,4 Probabilidade de não usar cinto Evento (F) : Sofrer ferimento grave P(F/C) = 0,1 Probabilidade de sofrer ferimentos em um acidente, mesmo utilizando cinto de segurança P(F/NC) = 0,5 Probabilidade de sofrer ferimentos em um acidente, quando não está utilizando cinto de segurança

41 Exemplo Logo teremos: P(NF/C) = 0,9 Probabilidade de não sofrer ferimentos em um acidente, mesmo utilizando cinto de segurança P(NF/NC)=0,5 Probabilidade de não sofrer ferimentos em um acidente, não utilizando cinto de segurança

42 Exemplo a) Probabilidade do motorista ferido estar utilizando cinto no momento do acidente. P( B). P( A/ B) P( B / A) P( B). P( A/ B) P( C). P( F / C) P( C / F) P( C). P( F / C) P( NC). P( F / NC) P( C / F) 0,6 0,1 (0,6 0,1) (0,4 0,5) 0,06 0,06 0,2 0,06 0,26 0, ,07%

43 Exemplo b) Probabilidade do motorista que não estava ferido estar utilizando cinto no momento do acidente. P( B / A) P( B). P( A/ B) P( B). P( A/ B) P( C P( C / / NF) NF) P( C). P( NF / C) P( C). P( NF / C) P( NC). P( NF 0,6 0,9 (0,6 0,9) (0,4 0,5) / NC) 0,54 0,54 0,2 0,54 0,74 0, ,97%

44 Exercícios 4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não tem elementos em comum, ou seja, se eles não podem ocorrer simultaneamente. E um grupo de eventos é dito coletivamente exaustivo se eles esgotam todos os resultados possíveis para o experimento em questão. Dê um exemplo de eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo Qual a probabilidade de adivinhar o dia da semana em que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição você fez para calcular essa probabilidade?

45 Exercícios 4.3. Seja P(A)= 0,30 e P(B)=0,80 e P(A B)=0,15. Pede-se: a) A e B são mutuamente exclusivos? b) Determine P(B) c) Determine P(A B) 4.4. Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A)=0,52 e P(B)=0,27. Pede-se: a) A e B são coletivamente exaustivos? b) Determine P(A B) c) Determine P(A B)

46 Exercícios 4.5. As falhas de diferentes equipamentos são independentes uma das outras. Se há três equipamentos e as suas respectivas probabilidades de falha em um determinado dia são 1%, 2% e 5%, indique: a) a probabilidade de todos os equipamentos falharem em um mesmo dia b) de nenhum falhar 4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de inspeção em 3 etapas. A probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado em uma dessas etapas é de aproximadamente 25%. Com base nessa informação, calcule a probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado por todas as 3 etapas.

47 Exercícios 4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar uma peça sem defeitos. Supondo que a fabricação de peças sucessivas constitua eventos independentes, calcule as seguintes probabilidades: a) de duas peças em seqüência serem defeituosas b) de dez peças em seqüência sem defeitos 4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para estamparia. O histórico dessas máquinas revela que elas produzem respectivamente 1%, 2% e 3% de defeituosos. Um inspetor examina uma matriz e verifica que ela está perfeita. Sabendo que cada máquina é responsável por 1/3 da produção total, calcule a probabilidade de ela ser produzida por cada uma das máquinas.

48 Exercícios 4.9. Repita o exercício 4.8 para o caso em que o inspetor tivesse examinado a matriz e verificado que ela era defeituosa Repita o exercício 4.8 para o caso em que as máquinas A, B e C fossem responsáveis, respectivamente, pelos seguintes percentuais da produção total: 20%, 40% e 40%.

49 Exercícios Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z. Uma pesquisa de opinião revela que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7 mil X e Y, 6 mil Z, lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem X,Y e Z. Qual a probabilidade de que um habitante leia: a) pelo menos um jornal b) só um jornal c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z

50 Exercícios Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 25% de chance de encontrar petróleo. Ela perfura 4 poços, aos quais são atribuídas probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8. a) Determine a probabilidade de nenhum poço produzir petróleo, com base nas estimativas da empresa. b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo. c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e 0,7 produzirem petróleo?