Minissimpósio: Condições de Otimalidade em Otimização e Controle Ótimo

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1 Minissimpósio: Condições de Otimalidade em Otimização e Controle Ótimo Uma grande variedade de problemas de nosso dia-a-dia podem ser modelados como programas de Otimização ou de Controle Ótimo. Este é um fato bem conhecido e é desnecessário citar aqui uma série de referências sobre o assunto. Após a obtenção dos modelos, naturalmente, é necessário resolvê-los. A determinação das soluções é quase sempre apoiada por métodos computacionais. A eficiência destes métodos depende fundamentalmente de bons resultados teóricos sobre problemas de otimização, como por exemplo, as condições de otimalidade. Neste minissimpósio trataremos de condições de otimalidade tanto necessárias quanto suficientes. Abordaremos problemas de otimização em espaços de intervalos, problemas em que os funcionais que os definem podem assumir valores intervalares. Tais problemas são importantes em situações onde há incertezas nos dados coletados para a modelagem do problema. A teoria de espaços intervalares é relativamente nova, os primeiros trabalhos são da década de 50. Ultimamente muitos pesquisadores têm se voltado para problemas de otimização intervalares, de modo que o assunto é bastante pertinente para um minissimpósio no CMAC. Além dos problemas intervalares citados acima, vamos também tratar de problemas de controle ótimo, problemas com restrições cônicas, isto é, definidas por meio de cones, e problemas de otimização multi-objetivo. Estes são problemas, digamos, mais clássicos, mas não menos importantes, tanto do ponto de vista teórico quanto das aplicações. No que diz respeito aos problemas com restrições cônicas, o trabalho a ser apresentado considera problemas não-regulares. Condições necessárias e suficientes são obtidas. Condições de otimalidade para problemas não-regulares são importantes quando, por exemplo, nenhuma das condições de qualificação das restrições (constraint qualifications) de primeira ordem é verificada. As condições suficientes são estabelecidas via convexidade generalizada. Esta mesma ferramenta é também utilizada na obtenção das condições suficientes de otimalidade para um problema de controle ótimo multi-objetivo. Neste trabalho sobre controle ótimo multi-objetivo, os autores também fazem um estudo estabelecendo relações entre o conjunto de soluções do problema com múltiplos objetivos e um problema escalar associado, o chamado método da escalarização. Convexidade generalizada é usada ainda em um outro trabalho, que traz alguns 1

2 resultados de dualidade para problemas de programação não-linear multiobjetivo e para problemas de programação não-linear com tempo contínuo. Os resultados clássicos sobre dualidade são, normalmente, estabelecidos sob hipóteses restritivas de convexidade. Resultados desta natureza com hipóteses mas fracas são sempre relevantes na teoria de otimização. Programa Dia 07/09/2015: Robust and level-continuous functions: An approach via optimal points Heriberto Román-Flores, Yurilev Chalco-Cano The class of level-continuous fuctions has been extensively studied in the last years, specially in the area of convergence of upper semicontinuous (usc) functions and characterization of local maximum points of usc-functions. In this work, we extend some analogous topological and geometric properties of usc-functions for a more general class of robust functions. Some additional comments about the equivalence of set-convergences on the class of robust functions are also presented. Support: Grants and , Fondecyt-Chile. 09:30-09:55 Single level derivative for interval-valued functions Ulcilea A.S. Leal, Gino Maqui, Geraldo N. Silva, Weldon Lodwick This work uses a recently proposed single level difference for intervals to introduce and study single level differentiability in interval-valued functions, and also show how this derivative relates to other derivatives proposed in recent literature. Furthermore, to illustrate the calculation of the single level derivative several examples are also shown. Support: Grant 2012/ and 2013/ , FAPESP, / and /2013-3, CNPq, and BEX 11153/13-0, Capes. 2

3 10:00-10:25 Interval optimization in generalized interval vector spaces Geraldo N. Silva, Tiago M. Costa, Yurilev Chalco-Cano, Weldon A. Lodwick This paper presents a method for endowing the generalized interval space with some different structures, such as vector spaces, order relations and an algebraic calculus. With these concepts we formulate interval optimization problems and relate them to classic multi-objective optimization problems. We also present a version of the Von Neumann s Mini-max Theorem in the interval context. Support: Grant 2013/ , São Paulo Research Foundation (FA- PESP); grants / and /2012-4, National Council for Scientific and Technological Development (CNPq). 10:30-10:55 Multiobjective interval-valued programming problem Yurilev Chalco-Cano, Rafaela Osuna-Gómez In this work we devoted to necessary and sufficient optimality conditions for interval optimization problems with multiple objectives and feasible set defined by interval constraints too. We introduced a new concept of Fritz-John and Kuhn-Tucker points for an interval-valued programming problem based on the gh-derivative. We show the novelty and importance of these concepts from a practical and computational point of view. Support: Grant , Fondecyt-Chile. Dia 08/09/2015: WD-invexity for continuous-time and multiobjective nonlinear programming problems 3

4 Lucelina B. Santos, Valeriano A. de Oliveira, Camila Isoton, Marko Rojas-Medar The concept of WD-invexity was recently introduced for nonlinear programming problems with inequality constraints. For such problems, a dual problem was proposed and the following result was established: the primal problem is WD-invex if and only if the pair of primal-dual problems satisfies the weak duality property. In this work, we discuss the notion of WD-invexity for two other types of non-linear programming problems: the multiobjective problem and the continuous-time problem. We obtained similar results as in [V.I. Ivanov, Duality in nonlinear programming, Optimization Letters (2012), 16 pages, DOI /s ]. Generalized convexity for non-regular optimization problems with conic constraints Marko Rojas-Medar, Beatriz Hernández-Jiménez, Rafaela Osuna- Gómez, Lucelina B. Santos In non-regular problems the classical optimality conditions are totally inapplicable. It is well known that generalized convexity notions play a very important role in optimization for establishing optimality conditions. In this paper we give the concept of Karush Kuhn Tucker point to rewrite the necessary optimality condition known in the 2-regular case and the appropriate generalized convexity notions to show that the optimality condition is both necessary and sufficient to characterize optimal solutions set for non-regular problems with conic constraints. The results that exist in the literature up to now, even for the regular case, are particular instances of the ones presented here. Support: Grant , Fondecyt-Chile. 10:00-10:25 Sufficient optimality conditions for optimal control problems with multiple objectives Valeriano A. de Oliveira, Geraldo N. Silva 4

5 This work is devoted to presenting optimality conditions for the sufficiency of the maximum principle for multiobjective optimal control problems with nonsmooth data. Such conditions are the most general as possible in the sense that problems in which the set of necessary conditions from the maximum principle are also sufficient, necessarily obey them. A variation of such conditions is also presented, under which the set of optimal solutions of the multiobjective problem can be determined by resolving a related scalar weighting problem. The notion of MP-pseudoinvexity is generalized to include nonsmooth multiobjective optimal control problems. It is showed that every extremal process is optimal if, and only if, the problem is MP-pseudoinvex. The concept of MP-invexity is introduced and some results on the so called scalarization method are established. This method consists in associating a mono-objective problem to the multiobjective one, where the objective function is a weighted sum of the coordinates of the vector-valued objective function. It was proved that when the multiobjective problem is MP-invex, an optimal solution of the multiobjective problem is an optimal solution of the weighted scalar problem, and conversely. Support: Grant 2013/ , São Paulo Research Foundation (FA- PESP); grants /2014-4, /2013-3, and /2012-4, National Council for Scientific and Technological Development (CNPq). 10:30-11:00 Discussão 5