ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: Ondas Eletromagnéticas

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1 Professor: Edney Melo ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: 1. INTRODUÇÃO Ondas Eletromagnéticas Embora não estejamos sempre cientes de sua presença, as ondas eletromagnéticas permeiam nosso ambiente. Na forma de luz visível, elas nos permitem ver o mundo a nosso redor com nossos olhos ondas infravermelhas da superfície da Terra aquecem nosso ambiente ondas de radiofreqüência transportam nossos programas de rádio favoritos; microondas cozinham nosso alimento e são usadas em sistemas de comunicação de radar. A lista prossegue cada vez maior. As ondas mecânicas que necessitam de um meio para se propagar. Ondas eletromagnéticas, em contraste, podem se propagar no vácuo. Apesar dessa diferença entre as ondas mecânicas e as eletromagnéticas muito do comportamento dos modelos das ondas mecânicas é similar para as ondas eletromagnéticas. A finalidade desta nota de aula é explorar as propriedades das ondas eletromagnéticas. As leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo as equações de Maxwell são a base de todos os fenômenos eletromagnéticos. Uma dessas equações prevê que um campo elétrico variando com o tempo produz um campo magnético, da mesma maneira que um campo magnético variando com o tempo produz um campo elétrico. A partir dessa generalização, Maxwell forneceu a importante ligação final entre campos elétricos e magnéticos. A predição mais dramática de suas equações é a existência de ondas eletromagnéticas que se propagam através do vácuo com a velocidade da luz. Essa descoberta conduziu a muitas aplicações práticas, como o rádio e a televisão, e à compreensão de que a luz é uma forma de radiação eletromagnética. 2. CORRENTE DE DESLOCAMENTO E A LEI DE AMPÈRE GENERALIZADA Vimos que cargas em movimento, ou correntes, produzem campos magnéticos. Quando um condutor transportando corrente tem uma simetria elevada, podemos calcular o campo magnético usando a lei de Ampère, dada pela Equação 1: onde a integral de linha é calculada sobre qualquer trajetória fechada através da qual passa a corrente de condução, e a corrente é definida por I = dq/dt. Nesta seção, usaremos a expressão corrente de condução para nos referirmos à corrente transportada por partículas carregadas em um fio, a fim de diferenciá-la de outro tipo de corrente que logo apresentaremos. A lei de Ampère nesta forma é válida somente se a corrente de condução for contínua no espaço. Maxwell reconheceu essa limitação e modificou a lei de Ampère para incluir todas as situações possíveis. Este problema pode ser compreendido ao se considerar um capacitor que está sendo carregado como na figura a seguir. Quando existe corrente de condução nos fios, a carga nas placas varia com o tempo, mas não existe nenhuma corrente de condução entre as placas. Considere as duas superfícies S 1 (um círculo) e S 2 (um parabolóide passando entre as placas) limitadas pela mesma trajetória P na figura. A lei de Ampère diz que a integral de linha de B.ds ao redor dessa trajetória tem de ser igual a I, onde I é a corrente total através de qualquer superfície limitada pela trajetória P. Quando a trajetória P é considerada como limitando S 1, o resultado da integral é µ 0 I porque a corrente de condução atravessa S 1 enquanto o capacitor está carregando. Contudo, quando a trajetória limitar S 2, o resultado será nulo porque nenhuma corrente de condução atravessa S 2 Assim, surge uma situação contraditória por causa da descontinuidade da corrente! [1]

2 Maxwell resolveu esse problema postulando um termo adicional no lado direito da Equação 1, chamado de corrente de deslocamento I d definida como: [2] Recorde que Ф E é o fluxo do campo elétrico, definido como Ф E = E da. Quando o capacitor está sendo carregado (ou descarregado), o campo elétrico variável entre as placas pode ser considerado como equivalente a uma corrente que atua como uma continuação da corrente de condução no fio. Quando a expressão para a corrente de deslocamento dada pela Equação 2 é adicionada à corrente de condução no lado direito da lei de Ampère, a dificuldade representada na figura é resolvida. Não importa qual superfície limitada pela trajetória P seja escolhida, ou a corrente de condução ou a corrente de deslocamento a atravessa. Com essa nova noção de corrente de deslocamento, podemos expressar a forma geral da lei de Ampère (às vezes chamada de lei de Ampère Maxwell) como: [3] O significado dessa expressão pode ser compreendido consultando-se a figura abaixo. O fluxo elétrico através de S 2 (um círculo entre as placas) é Ф E = E da = EA, onde A é a área das placas do capacitor e E é a magnitude do campo elétrico uniforme entre as placas. Se Q é a carga nas placas em qualquer instante, então E = Q/ε 0 A. Dessa forma, o fluxo elétrico através de S 2 é simplesmente: 2

3 Assim, a corrente de deslocamento I d através de S 2 é: Isto é, a corrente de deslocamento através de S 2 é precisamente igual à corrente de condução I através de S 1! O ponto central desse formalismo é o fato de que campos magnéticos são produzidos tanto por correntes de condução quanto por campos elétricos variáveis. Esse resultado é um exemplo notável do trabalho teórico de Maxwell e uma de suas principais contribuições para o avanço da compreensão do eletromagnetismo. 3. EQUAÇÕES DE MAXWELL Nesta seção juntamos quatro equações de nossos estudos nos capítulos recentes que podem ser consideradas como a base de todos os fenômenos elétricos e magnéticos. Essas relações, denominadas equações de Maxwell em homenagem a James Clerk Maxwell, são tão fundamentais para os fenômenos eletromagnéticos quanto as leis de Newton para os fenômenos mecânicos. De fato, a teoria desenvolvida por Maxwell foi mais longe do que ele próprio imaginou, porque foi mostrada por Einstein em 1905 como estando de acordo com a teoria especial da relatividade. Como veremos, as equações de Maxwell representam leis da eletricidade e do magnetismo que já foram discutidas. Entretanto, as equações têm conseqüências adicionais importantes, já que elas prevêem a existência de ondas eletromagnéticas (padrões de campos elétricos e magnéticos em movimento) que se deslocam no vácuo com uma velocidade de c = 1/ ε 0µ 0 = 3,00 X 10 8 m/s, a velocidade da luz. Além disso, as equações de Maxwell mostram que ondas eletromagnéticas são irradiadas por cargas aceleradas. Para simplificar, apresentamos as equações de Maxwell como aplicadas ao vácuo isto é, na ausência de qualquer material dielétrico ou magnético. \s quatro equações são: [5] [4] [6] [7] [8] A Equação 5 é a lei de Gauss, que estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga liquida dentro dessa superfície dividida por ε o. Essa lei descreve como as cargas criam campos elétricos, já que as linhas de campo elétrico se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. A Equação 6 que pode ser considerada a lei de Gauss para o magnetismo, diz que é nulo o fluxo magnético resultante através de uma superfície fechada. Isto é, o número de linhas de campo magnético entrando em um volume fechado tem de ser igual ao número de linhas que deixam esse volume. Isso implica que as linhas de campo magnético não podem começar ou terminar em algum ponto. Se elas o fizessem, significaria que existiriam monopólos magnéticos isolados naqueles pontos. O fato de que monopólos magnéticos isolados não foram observados na natureza pode ser tomado como uma base da Equação 6. A Equação 7 é a lei da indução de Faraday, que descreve como um campo magnético variável cria um campo elétrico. Essa lei estabelece que a integral de linha do campo elétrico em torno de qualquer trajetória fechada 3

4 (que é igual à fem) é igual à taxa de variação do fluxo magnético através de qualquer superfície limitada por essa trajetória. A Equação8 é a forma generalizada da lei de Ampère e descreve como uma corrente elétrica ou um campo elétrico variáveis criam um campo magnético. Isto é, a integral de linha do campo magnético em torno de qualquer trajetória fechada é determinada pela corrente resultante e pela taxa de variação do fluxo elétrico através de qualquer superfície limitada por essa trajetória. Uma vez que os campos elétrico e magnético são conhecidos em algum ponto do espaço, a força que esses campos exercem sobre uma partícula de carga q pode ser calculada pela expressão: F = q.e + q.v x B [9] Esta é a chamada força de Lorentz. As equações de Maxwell e essa lei de força dão uma descrição completa de todas as interações eletromagnéticas clássicas. Observe a interessante simetria das equações de Maxwell. As Equações 5 e 6 são simétricas, exceto pela ausência de um termo de monopólo magnético na Equação 6. Além disso, as Equações 7 e 8 são simétricas no fato de as integrais de linha de E e B ao redor de uma trajetória fechada estarem relacionadas à taxa de variação do fluxo magnético e do fluxo elétrico, respectivamente. 4. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS As leis fundamentais que governam o comportamento de campos elétricos e magnéticos são as equações de Maxwell, discutidas na seção anterior. Em sua teoria unificada do eletromagnetismo, Maxwell demonstrou que campos elétricos e magnéticos dependentes do tempo satisfazem uma equação de onda. O resultado mais significativo dessa teoria é a predição da existência de ondas eletromagnéticas. As equações de Maxwell prevêem que uma onda eletromagnética consiste em campos elétricos e magnéticos oscilantes. Os campos variáveis criam um ao outro para manter a propagação da onda um campo elétrico variável induz um campo magnético e um campo magnético variável induz um campo elétrico. Os vetores E e B são perpendiculares entre si e à direção de propagação, como mostrado na figura abaixo. A direção de propagação é a direção do produto vetorial E x B, o qual exploraremos mais completamente adiante. Para compreender a predição de ondas eletromagnéticas, vamos focalizar nossa atenção em uma onda eletromagnética que se propaga na direção x. Para essa onda, o campo elétrico E está na direção y e o campo magnético B está na direção z, como na figura acima. Ondas nas quais os campos elétrico e magnético estão restritos a ser paralelos a determinadas direções são denominadas como sendo ondas linearmente polarizadas. 4

5 Além disso, na figura anterior vamos supor que, em qualquer ponto do espaço, as magnitudes E e B dos campos dependem apenas de x e t, mas não dependem das coordenadas y ou z. Vamos também imaginar que a fonte das ondas eletromagnéticas é tal que uma onda irradiada de qualquer posição no plano yz (não apenas da origem corno pode ser sugerido pela figura) se propaga na direção x e que todas as ondas desse tipo são emitidas em fase. Se definirmos um raio como sendo a linha ao longo da qual a onda se propaga, então todos os raios dessas ondas são paralelos. Esse conjunto de ondas freqüentemente é chamado de onda plana. Uma superfície conectando todos os pontos de mesma fase em todas as ondas, a que chamaremos de frente de onda, é um plano geométrico. Em comparação, urna fonte pontual de radiação emite ondas em todas as direções. Uma superfície conectando pontos de fase igual para essa situação é urna esfera e, assim, podemos chamá-la de onda esférica. As propriedades das ondas eletromagnéticas podem ser deduzidas a partir das equações de Maxwell. Começamos com a lei de Faraday, Equação 7: Vamos supor que uma onda eletromagnética plana está se deslocando na direção x com o campo elétrico E na direção y positiva e o campo magnético B na direção z positiva. Considere um retângulo de largura dx e altura l localizado no plano xy como na figura abaixo. Para aplicar a Equação 5, primeiro calculamos a integral de linha de E.ds ao redor desse retângulo. As contribuições da parte superior e da parte inferior do retângulo são nulas porque E é perpendicular a ds para essas trajetórias. Podemos expressar o campo elétrico no lado direito do retângulo como: enquanto o campo no lado esquerdo do retângulo é simplesmente E(x, t). Conseqüentemente, a integral de linha sobre esse retângulo é, aproximadamente, Como o campo magnético está na direção z, o fluxo magnético através do retângulo de área l dx é aproximadamente Ф B = Bl dx. (Isso pressupõe que dx é muito pequeno comparado com o comprimento de onda.) Fazendo a derivada temporal do fluxo magnético na localização do retângulo sobre o eixo x, [10] [11] A substituição das Equações 10 e 11 na Equação 7 nos fornece, Podemos derivar uma segunda equação começando com a quarta equação de Maxwell no vácuo (Equação 8). Neste caso, calculamos a integral de linha de B.ds ao redor de um retângulo que se localiza no plano xz e que tem largura dx e comprimento l, como na figura a seguir. [12] 5

6 Usando o sentido de integração mostrado e observando que o campo magnético muda de B(x, t) para B(x + dx, t) sobre a largura dx, encontramos: O fluxo elétrico através do retângulo é Ф E = El dx, o qual, quando diferenciado com relação ao tempo, produz: [13] [14] A substituição das Equações 13 e 14 na Equação8 nos fornece: [15] Derivando a Equação 12 em relação a x e combinando-a com a Equação 15 obtemos: [16] Da mesma maneira, derivando a Equação 15 em relação a x e combinando-a com a Equação 12, obtemos: [17] 6

7 As Equações 16 e 17 têm a forma de uma equação de onda linear. Como sabemos, uma equação assim é uma representação matemática do modelo de onda progressiva. Na atual discussão, essa equação representa ondas eletromagnéticas progressivas. Essas ondas se deslocam com uma velocidade c de: [18] Substituindo ε 0 = 8, X C 2 /N rn 2 e µ 0 = 4π X 10-7 T. m/a na Equação 18, descobrimos que c = 2, x 10 8 m/s. Como essa velocidade é precisamente a mesma que a velocidade de luz no vácuo, somos levados a acreditar (corretamente) que a luz é uma onda eletromagnética. Como as ondas eletromagnéticas são descritas pelo modelo de onda progressiva, podemos adotar uma outra representação matemática do modelo, vista para ondas mecânicas. Esta é a relação entre velocidade da onda, comprimento de onda e freqüência, v = λ. f que podemos escrever como c = λ /f para ondas eletromagnéticas contínuas. As soluções mais simples para as ondas das Equações 16 e 17 são aquelas para as quais as amplitudes de campo E e B variam com x e t de acordo com as expressões: Nestas expressões, E máx e B máx são os valores máximos dos campos, o número de onda k = 2π/λ, onde λ é o comprimento de onda, e a freqüência angular ω = 2πf onde f é a freqüência. A figura abaixo representa um instante de uma onda eletromagnética senoidal linearmente polarizada deslocando-se na direção x positiva. [19] [20] Os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética plana são perpendiculares entre si e à direção de propagação. Assim, ondas eletromagnéticas são ondas transversais. As ondas mecânicas transversais exibiram deslocamentos físicos das partículas do meio que eram perpendiculares à direção de propagação da onda. Ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio para a propagação e, assim, não há nenhuma partícula a ser deslocada. A natureza transversal de uma onda eletromagnética reflete a direção dos vetores do campo com respeito à direção de propagação. Fazendo derivadas parciais das Equações 19 (com relação a x) e 20 (com relação a t), e substituindo na Equação 12, descobrimos que: 7

8 [21] Isto é, a todo instante a razão entre o campo elétrico e o campo magnético de uma onda eletromagnética é igual à velocidade da luz. Finalmente, as ondas eletromagnéticas obedecem ao princípio da superposição porque as equações diferenciais envolvendo E e B são equações lineares. Por exemplo, a magnitude do campo elétrico resultante de duas ondas que coincidem no espaço com seus vetores E paralelos pode ser encontrada simplesmente adicionando-se as expressões individuais para E dadas pela Equação DESCOBERTAS DE HERTZ Em 1888, Heinrich Hertz ( ) foi o primeiro a gerar e detectar ondas eletromagnéticas em um experimento de laboratório. Para apreciar os detalhes de sua experiência, vamos primeiramente examinar as propriedades de um circuito LC. Em um circuito desse tipo, um capacitor carregado é conectado a um indutor, como na figura a seguir. Quando a chave é fechada, tanto a corrente no circuito quanto a carga no capacitor oscilam de maneira próxima da oscilação de nosso modelo do movimento harmônico simples. Se a resistência é desprezada, nenhuma energia é transformada em energia interna e as oscilações continuam. Vamos investigar essas oscilações de uma forma similar à nossa análise energética do modelo de movimento harmônico simples. Supomos que o capacitor tem uma carga inicial e que a chave é fechada em t = 0. Quando o capacitor está completamente carregado, a energia total no circuito é armazenada no campo elétrico do capacitor e é igual a Q 2 máx / 2C. Neste instante, a corrente é nula e, assim, nenhuma energia é armazenada no indutor. Quando o capacitor começa a descarregar, a energia armazenada em seu campo elétrico diminui. Ao mesmo tempo, a corrente aumenta e uma quantidade de energia igual a ½ LI 2 é agora armazenada no campo magnético do indutor. Assim, a energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor. Quando o capacitor está inteiramente descarregado, ele não armazena nenhuma energia. Neste instante, a corrente atinge seu valor máximo e toda a energia é armazenada no indutor, O processo então se repete no sentido inverso. A energia continua a se transferir entre o indutor e o capacitor, correspondendo às oscilações tanto da corrente quanto da carga. Uma representação dessa transferência de energia é mostrada na figura a seguir. Como mencionado, o comportamento do circuito é análogo ao do sistema oscilante partícula-mola estudado em oscilações. A energia potencial kx 2 /2 armazenada em uma mola esticada é análoga à energia potencial Q 2 máx/2c armazenada no capacitor. A energia cinética mv 2 /2 da partícula em movimento é análoga à energia magnética LI 2 /2 armazenada no indutor, que necessita da presença de cargas móveis. Na figura a, toda a energia é armazenada como energia potencial elétrica no capacitor em t = 0(porque I = O), da mesma maneira como toda a energia em um sistema oscilante partícula-mola é inicialmente armazenada como energia potencial na mola se ela for esticada e liberada em t = 0. Na figura b, toda a energia é armazenada como energia magnética LI 2 máx/2 no indutor, onde I máx é a corrente máxima. As Figuras c a e mostram as situações subseqüentes em cada quarto de ciclo nas quais a energia é toda elétrica ou toda magnética. Nos pontos intermediários, parte da energia é elétrica e parte é magnética. 8

9 9

10 Descreveremos agora uma abordagem alternativa à analogia entre o circuito LC e o sistema partícula-mola. Relembre a seguinte equação, que é a equação diferencial descrevendo a posição da partícula no modelo do movimento harmônico simples: Aplicando a regra das malhas de Kirchhoff ao circuitolc obtemos: Como I = dq/dt, podemos reescrever esta equação como: Esta equação tem exatamente a mesma forma matemática da para o sistema partícula-mola. Assim, concluímos que a carga no circuito oscilará de maneira análoga à oscilação da partícula na mola. Reconhecemos o coeficiente de x como o quadrado da freqüência angular: Por causa da forma matemática idêntica da equação descrevendo o circuito LC, podemos identificar o coeficiente de Q como o quadrado da freqüência angular: Assim, a freqüência de oscilação de um circuito LC, denominada freqüência de ressonância, é: O circuito que Hertz usou em suas investigações sobre ondas eletromagnéticas é mostrado esquematicamente na figura a seguir. Uma bobina de indução (uma grande bobina de fio) está conectada a duas esferas de metal com uma estreita abertura entre elas para formar um capacitor. São iniciadas oscilações no circuito pelo envio de pulsos curtos de voltagem da bobina para as esferas, carregando uma positivamente e a outra negativamente. Como L e C são muito pequenas nesse circuito, a freqüência de oscilação é bastante elevada, f 100 MHz. Esse circuito é chamado de transmissor porque produz ondas eletromagnéticas. Hertz colocou um segundo circuito, o receptor, a vários metros do circuito transmissor. Esse circuito receptor, que consistia em uma espira simples do fio conectada a duas esferas, tinha uma indutância efetiva própria, e uma capacitância e freqüência natural de oscilação. Hertz descobriu que estava sendo emitida energia do transmissor para o receptor quando a freqüência de ressonância do receptor era ajustada à do transmissor. A transferência de energia foi detectada quando a voltagem entre as esferas no circuito do receptor tornou-se alta o bastante para ionizar as moléculas do ar, fazendo com que centelhas aparecessem no intervalo de ar separando as esferas. O experimento de Hertz é análogo ao fenômeno mecânico no qual um diapasão responde às vibrações acústicas de um outro diapasão idêntico vibrando. No caso do diapasão, a transferência de energia de um diapasão para o outro é por meio do som, ao passo que o mecanismo de transferência para o instrumento de Hertz é a radiação eletromagnética. 10

11 Hertz supôs que a energia transferida do transmissor para o receptor foi transportada sob a forma de ondas, as quais agora sabemos que eram ondas eletromagnéticas. Em uma série de experimentos, também mostrou que a radiação gerada pelo transmissor exibia as propriedades ondulatórias de interferência, difração, reflexão, refração e polarização. Como logo veremos, todas essas propriedades são exibidas pela luz. Assim, tornou-se evidente que as ondas observadas por Hertz tinham propriedades similares às das ondas luminosas e diferiam destas somente em freqüência e comprimento de onda. Talvez o experimento mais convincente de Hertz tenha sido a sua medida da velocidade das ondas do transmissor. Ondas de freqüência conhecida do transmissor foram refletidas a partir de uma chapa de metal de tal forma que um padrão de nodos e antinodos foi estabelecido, de maneira muito semelhante ao padrão de ondas estacionárias em uma corda esticada. Como vimos em ondas, a distância entre nodos é λ/2 e, assim, Hertz foi capaz de determinar o comprimento de onda λ. Usando a relação v = f.λ, Hertz descobriu que v estava próximo de 3,00 x 10 8 m/s, a velocidade conhecida da luz visível. Assim, os experimentos de Hertz forneceram a primeira evidência em apoio à teoria de Maxwell. 6. ENERGIA TRANSPORTADA PELAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Já sabemos que ondas mecânicas transportam energia. Ondas eletromagnéticas também transportam energia e, à medida que se propagam através do espaço, elas podem transferir energia a corpos colocados em seu caminho. A taxa de fluxo da energia em uma onda eletromagnética é descrita por um vetor S, chamado de vetor de Poynting, definido pela expressão: [22] A magnitude do vetor de Poynting representa a taxa à qual a energia atravessa uma unidade de área perpendicular ao fluxo e sua direção é ao longo da direção de propagação da onda (figura abaixo). Assim, o vetor de Poynting representa potência por unidade de área. As unidades SI do vetor de Poynting são J/s.m 2 = W/m 2. 11

12 Como exemplo, vamos calcular a magnitude de S para uma onda eletromagnética plana. Como E e B são perpendiculares entre si, temos E x B = EB, Neste caso, Como B = E/c, também podemos expressar isso como: [23] Essas equações para S se aplicam a qualquer instante de tempo. O que é de maior interesse para uma onda eletromagnética senoidal (Equações 19 e 20) é a média temporal de S por um ou mais ciclos, que é a intensidade I. Quando é feita essa média, obtemos uma expressão que envolve a média temporal de cos 2 (kx ωt), que é igual a 1/2. Dessa forma, o valor médio de S (ou a intensidade da onda) é: [24] Lembre-se de que a energia por unidade de volume u E, que é a densidade instantânea de energia associada com um campo elétrico equação: e que a densidade instantânea de energia u B associada com um campo magnético é dada pela equação: [25] [26] Como E e B variam com o tempo para uma onda eletromagnética, as densidades de energia também variam com o tempo. Usando as relações B = E/c e c = 1/ ε 0µ 0, a Equação 26 torna-se: Comparando esse resultado com a expressão para u E, vemos que: 12

13 Ou seja, para uma onda eletromagnética, a densidade instantânea de energia associada com o campo magnético é igual à densidade instantânea de energia associada com o campo elétrico. Conseqüentemente, em um determinado volume a energia é igualmente compartilhada pelos dois campos. A densidade instantânea total de energia u é igual à soma das densidades de energia associadas com os campos elétrico e magnético: Quando é feita a média de um ou mais ciclos de uma onda eletromagnética, outra vez obtemos um fator de ½. Assim, a energia média total por unidade de volume de uma onda eletromagnética é: [27] Comparando esse resultado com a Equação 24 para o valor médio de S, vemos que: Em outras palavras, a intensidade de uma onda eletromagnética é igual à densidade média de energia multiplicada pela velocidade da luz. 7. MOMENTO E PRESSÃO DE RADIAÇÃO Ondas eletromagnéticas transportam momento linear assim como energia. Sendo assim, conclui-se que é exercida pressão sobre uma superfície quando uma onda eletromagnética incide sobre ela. No que se segue, vamos supor que a onda eletromagnética transporta uma energia total U para uma superfície em um intervalo de tempo t. Se a superfície absorve toda a energia incidente U nesse tempo. Maxwell mostrou que o momento total p fornecido a essa superfície tem a magnitude: (absorção completa) [29] Além disso, se a intensidade da onda é I, a pressão de radiação P (força por unidade de área) exercida sobre a superfície absorvedora perfeita é: [28] [30] Uma superfície absorvedora na qual toda a energia incidente é absorvida (nenhuma é refletida) é denominada corpo negro. Uma discussão mais detalhada de um corpo negro será apresentada em Física Quântica. Se a superfície é um refletor perfeito, então o momento fornecido em um intervalo de tempo t para incidência normal é duas vezes aquele dado pela Equação 29, ou p = 2U/c. Isto é, um momento U/c é fornecido primeiramente pela onda incidente e, então, novamente pela onda refletida, em analogia com uma bola colidindo 13

14 elasticamente com uma parede. Finalmente, a pressão de radiação exercida sobre uma superfície refletora perfeita para uma incidência normal da onda é duas vezes a pressão dada pela Equação 30, ou P = 2I/c. Ainda que as pressões de radiação sejam muito pequenas (cerca de 5 x 10 N/m 2 para luz solar direta), elas têm sido medidas por balanças de torção, como a mostrada na figura abaixo. A luz pode atingir tanto um espelho quanto um disco negro que estão suspensos por uma fibra fina. A luz que atinge o disco negro é completamente absorvida e, assim, todo o seu momento é transferido para o disco. A luz que atinge o espelho (incidência normal) é totalmente refletida e, assim, a transferência de momento é duas vezes maior que o momento transferido para o disco. A pressão de radiação é determinada medindo-se o ângulo de giro da barra conectora horizontal, O aparelho tem de ser colocado no vácuo para eliminar os efeitos das correntes de ar. 8. O ESPECTRO DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Já vimos que todas as ondas eletromagnéticas (EM) propagam-se no vácuo com a velocidade da luz c. Essas ondas transportam energia e momento para longe de uma fonte. Em 1888, Hertz obteve sucesso na geração e detecção das ondas eletromagnéticas de freqüência de rádio previstas por Maxwell. O próprio Maxwell havia reconhecido como ondas EM tanto a luz visível como a radiação próxima do infravermelho descoberta em 1800 por William Herschel. Sabemos agora que existem outras formas de ondas eletromagnéticas; elas são diferenciadas por suas freqüências e comprimentos de onda. Ondas eletromagnéticas propagam-se no vácuo com velocidade c, freqüência f e comprimento de onda λ. Os vários tipos de ondas eletromagnéticas, todos produzidos por cargas aceleradas, são mostrados na figura a seguir. Observe a ampla gama de freqüências e comprimentos de onda. Por exemplo, uma onda de rádio de freqüência 94,7 MHz (um valor comum) tem o comprimento de onda: 14

15 Vamos descrever brevemente os tipos de ondas mostrados na figura acima. Ondas de rádio são resultantes de cargas aceleradas, por exemplo, através de fios condutores em uma antena de rádio. Elas são geradas por equipamentos eletrônicos tais como osciladores LC e são usadas em sistemas de comunicação de rádio e televisão. Microondas (ondas de rádio com comprimento de onda curto) têm comprimentos de onda variando entre cerca de 1 mm e 30 cm e também são geradas por equipamentos eletrônicos. Por causa de seus comprimentos de onda curtos, elas são adequadas para a utilização em sistemas de radar usados na navegação aérea e para o estudo das propriedades atômicas e moleculares da matéria. Os fornos de microondas são aplicações domésticas dessas ondas. Ondas infravermelhas possuem comprimentos de onda variando de aproximadamente 1 mm até o maior comprimento de onda da luz visível, 7 x 10-7 m. Essas ondas, produzidas por corpos à temperatura ambiente e por moléculas, são prontamente absorvidas pela maioria dos materiais. A radiação infravermelha tem muitas aplicações práticas e científicas, incluindo fisioterapia, fotografia infravermelha e espectroscopia vibracional. O controle remoto do seu aparelho de televisão, do videocassete ou do DVD usa, provavelmente, um feixe infravermelho para comunicar-se com o equipamento de vídeo. 15

16 Luz visível, a forma mais familiar das ondas eletromagnéticas, é aquela parte do espectro que o olho humano pode detectar. A luz é produzida por corpos quentes como filamentos de lâmpada e pela reordenação dos elétrons em átomos e moléculas. Os comprimentos de onda da luz visível são classificados pela cor, indo do violeta (λ = 4 x 10-7 m) ao vermelho (λ = 7 x 10-7 m). A sensibilidade dos olhos é uma função do comprimento de onda e é máxima em um comprimento de onda de aproximadamente 5,5 x 10-7 m (amarelo-verde). A luz é a base da ciência da óptica e dos instrumentos ópticos. A luz ultravioleta cobre comprimentos de onda que vão de cerca de 4 x 10-7 m (400 nm) até 6 x m (0,6 nm). O Sol é uma importante fonte de ondas ultravioletas, que são a principal causa de bronzeamentos e queimaduras de sol. Átomos na estratosfera absorvem a maior parte das ondas ultravioletas do Sol. (Isso é benfazejo, já que ondas ultravioletas em grande quantidade têm efeitos danosos sobre os seres humanos.) Um importante constituinte da estratosfera é o ozônio (O 3 ), que resulta de reações do oxigênio com a radiação ultravioleta. Esse escudo de ozônio converte a letal radiação ultravioleta de alta energia em radiação infravermelha inofensiva. Tem surgido uma grande preocupação com relação à destruição da camada protetora de ozônio pelo uso de uma classe de produtos químicos chamados clorofluorcarbonos (como, por exemplo, o Freon) em latas de spray aerossol e refrigerantes. Raios X são ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda na faixa de aproximadamente 10-8 m (10 nm) até m (10-4 nm). A fonte mais comum de raios X é a aceleração de elétrons de alta energia bombardeando um alvo de metal. Os raios X são usados como ferramenta de diagnóstico na medicina e como tratamento para determinadas formas de câncer. Como os raios X danificam ou destroem tecidos vivos e organismos, deve-se tomar cuidado para evitar exposição desnecessária e superexposição. Os raios X também são usados no estudo de estruturas cristalinas; os comprimentos de onda dos raios X são comparáveis às distâncias de separação atômicas ( 0,1 nm) nos sólidos. Raios gama são ondas eletromagnéticas emitidas por núcleos radioativos e durante determinadas reações nucleares. Eles possuem comprimentos de onda variando de cerca de m até menos de m. Raios gama são altamente penetrantes e produzem sérios danos quando absorvidos por tecidos vivos. Conseqüentemente, aqueles que trabalham perto de tal radiação perigosa têm de ser protegidos com materiais altamente absorvedores, como camadas de chumbo. 9. POLARIZAÇÃO Como aprendemos, os vetores elétrico e magnético associados com uma onda eletromagnética formam ângulos retos entre si e também em relação à direção de propagação da onda. O fenômeno da polarização descrito nesta seção é uma propriedade que especifica as direções dos campos elétrico e magnético associados com uma onda eletromagnética. Um feixe de luz comum consiste em um grande número de ondas emitidas pelos átomos ou moléculas da fonte de luz. Cada átomo produz uma onda com sua orientação do campo elétrico E, correspondente à direção da vibração atômica. A direção de polarização da onda eletromagnética é definida como sendo a direção na qual E está vibrando. Entretanto, como todas as direções de vibração são possíveis, o feixe resultante de radiação eletromagnética é uma superposição de ondas produzidas por fontes atômicas individuais, O resultado é uma onda luminosa não-polarizada, representada esquematicamente na figura a. A direção de propagação da onda nesta figura é perpendicular à página. Observe que todas as direções do vetor campo elétrico que se localizam em um plano perpendicular à direção de propagação são igualmente prováveis. Diz-se que uma onda é linearmente polarizada se a orientação de E é a mesma para todas as ondas individuais em todos os instantes em um ponto particular, como na figura b. (Algumas vezes tal onda é descrita como plano-polarizada.) A onda descrita na seção 4 é um exemplo de uma onda linearmente polarizada ao longo do eixo y. A medida que o campo se propaga na direção x, E está sempre ao longo do eixo y. O plano formado por E e pela direção de propagação é chamado de plano de polarização da onda. Na última figura da seção 4, o plano de polarização é o plano xy. E possível obter uma onda linearmente polarizada a partir de uma onda não- polarizada removendo-se da onda não-polarizada todos as componentes de vetores campo elétrico, exceto aquelas que se encontram em um plano único. 16

17 A técnica mais comum para polarizar a luz é enviá-la através de um material que permita a passagem apenas das componentes dos vetores campo elétrico que sejam paralelas a uma direção característica do material, chamada de direção de polarização. Em 1938, E. H. Land descobriu um material, que denominou polaróide, que polariza a luz através da absorção seletiva por moléculas orientadas. Esse material é produzido a partir de folhas finas de hidrocarbonetos de cadeia longa, que são esticadas durante a manufatura de tal forma que as moléculas se alinham. Depois que uma folha é mergulhada em uma solução contendo iodo, as moléculas se tornam bons condutores elétricos. Contudo, a condução tem lugar principalmente ao longo das cadeias de hidrocarbonetos, porque os elétrons de valência das moléculas podem deslocar-se facilmente apenas ao longo das cadeias (elétrons de valência são elétrons livres que podem se deslocar facilmente através do condutor). Como resultado, as moléculas facilmente absorvem a luz cujo vetor campo elétrico seja paralelo ao comprimento delas e transmitem a luz cujo vetor campo elétrico seja perpendicular ao seu comprimento. E comum referir-se à direção perpendicular às cadeias moleculares como o eixo de transmissão. Um polarizador ideal permite a passagem das componentes dos vetores elétricos que estejam paralelas ao eixo de transmissão. As componentes perpendiculares ao eixo de transmissão são absorvidas. Se a luz atravessa vários polarizadores, o que quer que seja transmitido tem o plano de polarização paralelo à direção de polarização do último polarizador através do qual ela passou. Vamos agora obter uma expressão para 4.intensidade da luz que atravessa um material polarizador. Na figura a seguir, um feixe de luz não-polarizada incide sobre a primeira película polarizadora, chamada de polarizador, onde o eixo de transmissão está como indicado na figura. 17

18 Duas películas polarizadoras cujos eixos de transmissão fazem um ângulo O entre si. Apenas uma fração da luz polarizada incidente sobre o analisador é transmitida por seu intermédio. A luz que atravessa essa película está polarizada verticalmente e o vetor campo elétrico transmitido é E 0. Uma segunda película polarizadora, chamada de analisador, intercepta esse feixe com seu eixo de transmissão fazendo um ângulo de θ em relação ao eixo do polarizador. A componente de E 0, que é perpendicular ao eixo do analisador, é completamente absorvida e a componente paralela a esse eixo é E 0 cosθ. Sabemos pela Equação 24 que a intensidade transmitida varia com o quadrado da amplitude transmitida e, assim, concluímos que a intensidade da luz transmitida (polarizada) varia como: onde I 0 é a intensidade da onda polarizada incidente sobre o analisador. Essa expressão, conhecida como lei de Malus, se aplica a quaisquer dois materiais polarizadores cujos eixos de transmissão tenham um ângulo de θ entre si. A partir dessa expressão, observe que a intensidade transmitida é máxima quando os eixos de transmissão são paralelos (θ = 0 ou 180 ) e nula (absorção completa pelo analisador) quando os eixos de transmissão são perpendiculares entre si. Essa variação na intensidade transmitida através de um par de películas polarizadoras está ilustrada na figura abaixo. Como o valor médio do cos 2 θ é ½, a intensidade da luz inicialmente não-polarizada é reduzida à metade quando a luz atravessa um polarizador ideal único. [31] A intensidade da luz transmitida através de dois polarizadores depende da orientação relativa de transmissão dos polarizadores. (a) A luz transmitida tem intensidade máxima quando os eixos de transmissão estão alinhados entre si. (b) A intensidade da luz transmitida diminui quando os eixos de transmissão fazem um ângulo de 45 entre si. (c) A intensidade da luz é mínima quando os eixos de transmissão são mutuamente perpendiculares. 18

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