El Farol Bar Problem e Jogo Minoritário: uma introdução à econofísica

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1 El Farol Bar Problem e Jogo Minoritário: uma introdução à econofísica (El Farol Bar Problem and Minority Game: An introduction to econophysics) Diogo de Toledo Bertulino 1, Diego O. Nolasco 1,2 1 Curso de Física - Universidade Católica de Brasília 2 Programa de Pós-Graduação em Ciências Genômicas e Biotecnologia Universidade Católica de Brasília Propõe-se nesse trabalho um estudo do El Farol Bar Problem e do Jogo Minoritário, a partir dos conceitos de racionalidade limitada e raciocínio indutivo na tomada de decisões em situações cotidianas, quando o número de agentes é grande. Nesses casos, verifica-se a impraticabilidade da Teoria dos Jogos. As novas linhas de pensamento, principalmente as propostas pelo Jogo Minoritário, revelam grande importância para o estudo da Econofísica porque servem de instrumento para a análise de situações reais, como mercados financeiros. Palavras-chave: El Farol Bar Problem, Jogo Minoritário, Teoria dos Jogos, Econofísica, modelos mercadológicos. The purpose in this paper is to make a study about the El Farol Bar Problem and the Minority Game, based on the concepts of bounded rationality and inductive reasoning in everyday situation decision-making, when there is a large number of players. In such cases, Game Theory is impractical. Those new thoughts, especially the ones proposed by the Minority Game, reveal great importance for studies in the field of Econophysics, as they are an essential tool for real situations analysis, like financial markets. Keywords: El Farol Bar Problem, Minority Game, Game Theory, Econophysics, market models. 1. Introdução Nos últimos anos, a Econofísica se tornou uma das áreas de grande interesse de cientistas, principalmente físicos e economistas. Isso ocorreu devido à possibilidade de modelagem de comportamentos econômicos por meio de teorias físicas vastamente conhecidas. A Teoria dos Jogos, um ramo da matemática aplicada, tem-se mostrado de grande aplicação em várias áreas do conhecimento, mas principalmente em Economia, devido ao estudo da tomada racional de decisões estratégicas. Porém, em situações onde o número de agentes é grande, a análise das possibilidades de estratégias à luz da Teoria dos Jogos torna-se extremamente complexa. 1

2 Assim, novas linhas de pensamento com base no raciocínio indutivo foram exploradas, nas quais os métodos utilizados incorporam a racionalidade humana. No presente trabalho são analisados o El Farol Bar Problem (Arthur, 1994) e o Jogo Minoritário (Challet e Zhang, 1997). No El Farol Bar Problem, discutem-se os conceitos de racionalidade limitada e raciocínio indutivo em situações de tomada de decisão. No Jogo Minoritário, seguindo a mesma linha de pensamento, são explorados experimentos computacionais com o objetivo de analisar a dinâmica comportamental dos agentes. Neste trabalho realizou-se uma análise dos estudos mencionados, com o objetivo de verificar a importância dessas ideias no entendimento das interações humanas, especialmente as de caráter econômico, como no mercado financeiro. 2. Referencial Teórico 2.1 Teoria dos Jogos A Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que foi originalmente utilizada em ciências humanas, principalmente em economia ciências políticas e relações internacionais, e tem sido aplicada em uma vasta área de assuntos como biologia, ciência da computação e filosofia. Tem-se considerado que o campo da Teoria dos Jogos tornou-se firmemente estabelecido em 1944 com o livro Theory of Games and Economic Behavior de John Von Neumann e Oskar Morgenstern (Sinha et al., 2011). Pode-se dizer que o termo Jogo é uma situação em que os jogadores, também conhecidos como participantes, tomam decisões estratégicas, ou seja, decisões que levam em consideração as atitudes e respostas de todos os jogadores (Pindyck, 2010). Assim, a Teoria dos Jogos dedica-se à análise dessas interações estratégicas (Varian, 2006). Uma maneira de se representar um jogo é construir uma Matriz de Ganhos de um Jogo, a qual contém as possíveis jogadas dos jogadores e os payoffs, ou seja, os valores associados a um resultado possível (Varian, 2006). Um exemplo de jogo seria: um professor propõe para dois alunos escolherem entre as letras e. Se ambos os alunos escolherem a letra, 2

3 ambos terão nota 8 naquela matéria. Se ambos os alunos escolherem a letra, ambos terão nota 9. E se apenas um escolher a letra, este terá nota 10 e o outro terá nota 7. A matriz de ganhos do jogo é a seguinte: Figura 1: Jogo das Notas representado pela Matriz de Ganhos do jogo. O primeiro número de cada célula é o payoff do Aluno, já o segundo número corresponde ao payoff do Aluno. Define-se estratégia como um plano de ação para o jogo. No jogo citado, as estratégias são escolher a letra ou a. Analisando a matriz, qual seria a melhor estratégia para o Aluno? Se ele optar pela letra ele pode obter notas 8, se o Aluno optar pela letra ou 10, se o Aluno optar pela letra. Se o Aluno optar pela letra, ele pode obter notas 7, se o Aluno optar pela letra ou 9, se o Aluno optar pela letra. Assim, conclui-se que a opção pela letra é melhor do que a letra, independentemente da escolha do Aluno, pois suas notas podem ser melhores. O mesmo ocorre para o Aluno, já que os payoffs são os mesmos. Dessa forma, define-se que a opção pela letra é a estratégia dominante. Assim, pode-se dizer que estratégia dominante é a estratégia ótima, ou seja, que resulta em melhor payoff, independentemente, das escolhas de estratégias dos outros jogadores (Pindyck, 2010). Um problema muito semelhante a esse é o famoso Dilema do Prisioneiro, um dos jogos mais conhecidos na área, tratando-se de uma situação em que dois prisioneiros, comparsas num crime, eram interrogados separadamente. Cada prisioneiro tinha uma escolha de confessar o crime ou negá-lo. Se apenas um deles confessasse o crime, ele seria libertado e o outro seria condenado a seis meses de prisão. Se ambos confessassem, ambos passariam três meses na prisão. E se ambos prisioneiros negassem, ambos 3

4 passariam apenas um mês na prisão. A matriz de ganhos desse jogo está representada abaixo: Figura 2: Dilema do Prisioneiro. Analisando a melhor estratégia para cada jogador, também conhecida como estratégia ótima, pode-se dizer que se o jogador escolhe confessar, então a melhor estratégia para o jogador também é confessar, pois ele ficaria apenas três meses preso. Já se o jogador escolhe negar, então a melhor estratégia para o jogador é confessar. Assim vemos que a opção confessar é uma estratégia dominante. O mesmo acontece para o jogador com relação ao jogador. Utilizando marcações circulares para o jogador e marcações quadrangulares para o jogador, temos a matriz dos ganhos com as estratégias ótimas para cada jogador. Figura 3: Dilema do Prisioneiro e marcações das estratégias ótimas para cada jogador dependendo da estratégia do oponente. Assim, diz-se que o par de estratégias confessa é um equilíbrio de estratégias dominantes, pois é a melhor combinação de respostas para ambos os jogadores, independentemente da estratégia de cada jogador. Porém, existe 4

5 a possibilidade de jogos sem a existência de estratégias dominantes para todos os jogadores, ou mesmo, sem a existência de quaisquer estratégias dominantes. Analisemos a matriz de ganhos do Dilema do Prisioneiro Modificado abaixo: Figura 4: Dilema do Prisioneiro Modificado. Percebe-se que o jogador A não possui mais uma estratégia dominante. Dessa forma, qual seria a melhor estratégia para o jogador A? Para responder tal questão, o jogador A deve posicionar-se frente às condições do jogador B. Assim, analisando as estratégias do jogador B, percebe-se que ele ainda detém a estratégia confessa como estratégia dominante. Logo, o jogador A supõe que o jogador B escolherá a estratégia confessa, pois é sua estratégia ótima. Assim, sua melhor estratégia para esse caso também é confessa, pois é preferível uma pena de 3 meses ao invés de uma pena de 6 meses. Assim, o equilíbrio do jogo ocorre devido ao jogador A escolher sua melhor estratégia, dado a decisão do jogador B, e o jogador B escolhe sua melhor estratégia, dado a decisão do Jogador A. Tal situação é dita como um equilíbrio de Nash. Ou seja, um equilíbrio de Nash é um par de estratégias na qual cada jogador escolhe uma estratégia ótima em função das ações dos outros jogadores (Pindyck, 2010). Percebe-se que a definição de equilíbrio de Nash é mais geral do que a de equilíbrio de estratégias dominantes, pois essa ocorre qualquer que seja a estratégia dos oponentes. Assim, equilíbrio de estratégias dominantes é um caso especial do Equilíbrio de Nash. Existem jogos onde há mais de um Equilíbrio de Nash e podem existir casos sem a existência de tal equilíbrio. No caso do Dilema do Prisioneiro Modificado, como nos anteriores, vemos que o equilíbrio de Nash não coincide com a melhor combinação de 5

6 respostas para ambos jogadores. No caso do Jogo das Notas, a melhor estratégia seria se ambos escolhessem a letra ficando ambos com nota 9. Nos casos do Dilema do Prisioneiro e no Dilema do Prisioneiro Modificado, a melhor estratégia seria se ambos negassem o crime, ficando presos apenas um mês. No Dilema do Prisioneiro, mesmo que o jogador soubesse que o jogador escolherá a opção negar, sua estratégia ótima para este caso é confessar, pois não existe nenhuma obrigação para que ele não o faça. Ou seja, escolhas racionais podem levar a resultados ruins. Nesse caso o equilíbrio de Nash também é chamado de Pareto ineficiente (Polak, 2007). Agora, e se esse jogo fosse repetido? Digamos que esse jogo seja repetido um número finito de vezes. Por exemplo, três vezes. Suponha-se a análise da terceira rodada. Nesse caso, pode-se dizer que é provável que os jogadores escolham a estratégia dominante, pois jogar a última vez é como jogar uma só vez. Se pensarmos na segunda jogada, como na terceira jogada cada jogador escolherá a estratégia dominante, então se pode dizer que a escolha da estratégia dominante neste caso também é provável, pois cada jogador não quer ser enganado, e ser passado para trás. Assim, se não existir um meio de impor a cooperação entre os jogadores, não haverá um meio de impor cooperação nas outras jogadas (Varian, 2006). Porém, se o jogo tiver um número ilimitado de repetições, pode-se tentar impor um meio de cooperação dos outros jogadores, se ele não cooperar nessa jogada, você pode se recusar a cooperar na próxima jogada. 2.2 Racionalidade Limitada e Raciocínio Indutivo De acordo com Arthur (1994), o tipo de raciocínio utilizado para encontrar soluções de problemas em economia é o raciocínio lógico, dedutivo. Porém, muitos destes problemas a serem enfrentados são de alta complexidade e de difícil, se não impossível, solução dedutiva. Como exemplo, podemos citar o Jogo da Velha, onde se pode determinar uma solução totalmente racional, ao contrário de jogos como Xadrez e Go, nos quais soluções racionais não são encontradas. Dessa forma Arthur (1994) destaca que existem dois motivos para que a racionalidade dedutiva perfeita deixe de funcionar. Quando enfrentamos um problema com certa complexidade, nosso 6

7 raciocínio lógico deixa de responder, ou seja, nossa racionalidade é limitada. Ou quando em situações interativas entre agentes, não é possível saber exatamente qual será o comportamento dos outros agentes, assim, somos levados a imaginar seus comportamentos. Tais subjetividades e indefinições não estão de acordo com raciocínio lógico, dedutivo e objetivo. De acordo com Challet et al. (2005), esse conceito de racionalidade limitada foi introduzido por Simon (1981). Em economia sabemos que há grande presença de problemas similares, pois em muitos casos, um agente não tem conhecimento de quais serão as estratégias utilizadas pelos outros agentes e, nesse caso, há necessidade de supor ou imaginar seus comportamentos. Essa maneira de pensar, esse raciocínio utilizado é chamado indutivo. Dessa forma mostra-se necessário um tipo de modelo diferenciado, que leve em conta a racionalidade limitada e o raciocínio indutivo. Arthur (1994) destaca que, de acordo com a psicologia moderna, a racionalidade de humanos frente a problemas complicados ou mal definidos ocorre através de reconhecimento de padrões. Humanos são bons em dedução lógica porém, têm excelente habilidade de reconhecimento e determinação de padrões. Tenta-se elaborar um modelo mais simples que solucione o problema encontrado a partir da análise de comportamento, na tentativa de reconhecer um padrão para que o agente toma sua decisão. Assim, um agente prepara sua estratégia de acordo com um histórico privado, podendo ele tomar sua decisão a partir de uma só estratégia ou uma combinação delas. À medida que decisões são tomadas, o agente enfraquece ou fortalece suas crenças de acordo com a performance de seus resultados, fazendo com que novas hipóteses sejam formadas e novas decisões sejam tomadas, tornase um jogo de eterno aprendizado. Além disso, Arthur (1994) destaca que todo o processo é evolucionário, ou mais especificamente, co-evolucionário. Isso por se tratar de um processo onde cada agente toma sua decisão a partir de seu histórico de decisões, à medida que essas decisões vão sendo tomadas, esse histórico muda, e tal processo ocorre com um aprendizado. À medida que cada agente, através da competição com outros agentes, deve provar-se e estar adaptado ao ambiente 7

8 criado pelas hipóteses dos outros agentes, este conjunto de ideias e hipóteses co-evoluem. 2.3 O problema do Bar El Farol De acordo com Arthur (1994), o El Farol Bar Problem consiste no seguinte: Imagine que pessoas decidem independentemente toda semana a ir ou não a um bar que oferece entretenimento determinada noite. Como o espaço é restrito, então o ambiente é agradável se menos que das pessoas estiverem presentes. Não existe possibilidade de saber o número de pessoas que vão. Dessa maneira, um agente vai, se ele acredita que estarão presentes menos de das pessoas, ou ele fica em casa se acredita que mais de das pessoas irão ao bar. As escolhas não são afetadas pelas visitas prévias e não existe comunicação entre os agentes, sendo que a única informação disponível é o número de pessoas que foram ao bar nas semanas anteriores. Dessa forma, o interesse no problema é a dinâmica do número de pessoas frequentando o bar semana a semana. Arthur (1994) destaca nesse problema duas características interessantes. A primeira é que não existe um modelo para que os agentes possam basear suas decisões, logo, não é possível uma solução dedutiva. Cada agente não tem conhecimento da estratégia que será utilizada pelos outros agentes, tornando-se um problema mal definido do ponto de vista dos agentes, o que leva a um processo de indução. A segunda vem do seguinte raciocínio: imaginemos que todos os agentes acreditam que poucas pessoas irão, dessa forma todos tenderão a ir, invalidando a hipótese. Ou se todos agentes acreditam que mais de irão, então ninguém vai, invalidando a hipótese. Logo, todas as hipóteses são forçadas a divergir Testes Computacionais Uma simulação computacional nesse caso mostra-se de grande importância no intuito de analisar a dinâmica da frequência de pessoas. Dessa forma, Arthur (1994) utiliza um método gerador de hipóteses a partir de números aleatórios, ou como ele mesmo diz, sopa de letras. Reunindo-os em 8

9 diversas dúzias, aleatoriamente, escolhe hipóteses para cada um dos agentes. Assim, cada agente tem hipóteses para que possa utilizar. Dessa forma, obtém-se o gráfico da figura 5. Figura 5: Gráfico da frequência de agentes simulado por Arthur (1994) para as primeiras semanas. Do gráfico, pode-se concluir que onde existe uma repetição cíclica de frequência, ela rapidamente tende a não mais acontecer. Ou seja, uma vez que muitos agentes imaginam que a maioria irá, pois foi o padrão de comportamento de ou semanas atrás, logo eles tenderão a ficar em casa. Porém o mais relevante é o fato de que a frequência converge para. Arthur (1994) descreve tal comportamento como uma auto-organização para um padrão de equilíbrio, como uma ecologia, explicado talvez por ser um jogo de predição, no qual uma estratégia mista de predição para uma frequência acima de seja de probabilidade e para uma frequência abaixo de com probabilidade, na qual o equilíbrio é o Equilíbrio de Nash. 2.4 Jogo Minoritário Inspirado pelo El Farol Bar Problem e pelas ideias de racionalidade limitada, Challet e Zhang (1997) introduzem um novo jogo, chamado Minority Game, que pode ser melhor explicado pelas próprias palavras dos autores: Vamos considerar uma população de (ímpar) jogadores, cada tem um número finito de estratégias. A cada intervalo de tempo, todos tem que escolher em estar do lado ou do lado. O payoff do jogo é declarar que, 9

10 depois de todos terem escolhido o lado independentemente, aqueles que estão do lado minoritário vencem. Por questão de conveniência, é estipulado ponto aos jogadores vencedores e ponto aos jogadores perdedores. É importante ressaltar que todos os jogadores têm acesso à informação correspondente ao registro dos resultados anteriores. Esse registro pode ser colocado como uma string de memória, onde cada jogador tem acesso a resultados mais recentes. Assim, pode-se definir as estratégias como e, de maneira que corresponde a estar do lado, por exemplo, e corresponde a não estar do lado. Dessa forma, imaginemos que exista uma grande limitação da capacidade de análise dos agentes, uma racionalidade limitada, e que informação disponível para todos os agentes seja das duas últimas jogadas, ou seja,. Na tabela 1 tem-se um exemplo da situação. Na tabela, para cada bit de informação possível (sinal), existe uma estratégia correspondente a qual o agente utilizará. Então, de acordo com a informação dada, a estratégia a utilizar seria. Como, então o número de possibilidades de bits de informação é, como mostrado. Então o número total de estratégias possíveis é. A figura 6 ilustra a situação. 10

11 Figura 6: Espaço de estratégias possíveis para, inspirado no modelo de Sinha et al.(2011). Dessa forma, Challet e Zhang (1997) simularam a dinâmica do comportamento do jogo para 1001 agentes com diversos tamanhos cerebrais, ou seja, diferentes valores de. Inicialmente foi cedido um sinal artificial como informação pública e cada agente utilizou uma de suas estratégias aleatoriamente. Todas as estratégias de cada agente recebem pontos de acordo com a informação cedida, possibilitando a formação de um ranking dos pontos acumulados para cada estratégia. Assim, o jogador utilizará a que tiver a melhor posição no ranking, ou seja, a que tem mais pontos acumulados. Dessa forma, o agente só ganhará o ponto real se a estratégia que ele utilizar resultar em vitória. Tais simulações estão ilustradas pelos gráficos da Figura 7. 11

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13 Figura 7: Simulações realizadas por Challet e Zhang (1997) da presença do lado para uma população de agentes com diferentes tamanhos cerebrais a), b) e c). Dos gráficos, percebe-se que em todas as situações há flutuação da presença em torno dos, porém jogadores mais inteligentes (valores de maiores) mostram menor flutuação em torno do equilíbrio se comparado aos jogadores menos inteligentes. Mas o que isso significa? Imaginemos que, numa jogada, apenas um agente escolha o lado e os outros o lado. Então, apenas o jogador que optou pelo lado é o vencedor e recebe ponto. Agora, se agentes escolhem o lado e escolhem o lado, todos os agentes que escolheram o lado são os vencedores e cada um recebe ponto. Do ponto de vista quantitativo, a segunda situação é mais interessante, pois muito mais pessoas pontuam, otimizando a eficiência. Assim, os gráficos mostram que populações mais inteligentes tendem a aumentar a eficiência de seu comportamento. Challet e Zhang (1997) destacam que, por definição, cada agente é egoísta por preocupar-se apenas com a suas estratégias e sua jogada, mas de alguma forma conseguem compartilhar os limitados recursos disponíveis. Os autores também ressaltam que se algum agente adotasse a estratégia de permanecer fixo a um só lado, isto não funcionaria, pois rapidamente os outros agentes perceberiam que ganhariam menos frequentemente se escolhessem o mesmo lado. Assim, os outros agentes adotariam estratégias de acordo com a situação. A Figura 8 mostra a diferença do ganho médio para agentes com diferentes tamanhos cerebrais. 13

14 Figura 8: Simulação realizada por Challet e Zhang (1997) mostrando a diferença da taxa de sucesso de acordo com os tamanhos cerebrais. Challet e Zhang (1997) discutem que a média de ganho entre populações com tamanhos cerebrais menores é menor do que a de populações com tamanhos cerebrais maiores. Porém, a partir de um determinado tamanho cerebral ( ), o ganho médio parece saturar. Isso ocorre devido à estrutura binária do jogo, ou seja, a única informação cedida é sim ou não. Informações mais precisas como o número de frequência, mais poder de análise entre outros podem ser implementados para gerar cérebros mais desenvolvidos. Outra situação abordada por Challet e Zhang (1997) é a possibilidade de aumentar o número de estratégias para cada agente. A Figura 9 exemplifica a situação para varias populações de agentes, memória e número de estratégias. 14

15 Figura 9: Simulação realizada por Challet e Zhang (1997) da taxa de sucesso para várias populações de 1001 agentes, com memória e número de estratégias. Analisando o gráfico, percebe-se que quanto maior o número de estratégias, menor é o rendimento dos agentes. De acordo com Challet e Zhang (1997), isso ocorre devido aos agentes ficarem confusos com a possibilidade de estratégias. Na Figura 10 os autores simulam um gráfico da taxa de troca de possibilidades para diversas populações, pela taxa de sucesso. Percebe-se que maior é o sucesso se apenas uma estratégia é utilizada. Figura 10: Simulação realizada por Challet e Zhang (1997) da taxa de troca de estratégias pela taxa de sucesso para diversas populações. 15

16 Outra informação de grande relevância destacada por Challet e Zhang (1997) é o conhecimento da performance dos agentes. Assim, os autores selecionam, de uma população com agentes, e, os três melhores jogadores, os três piores e mais três de forma aleatória. O gráfico da Figura 11 mostra a simulação. Figura 11: Simulação realizada por Challet e Zhang (1997) do ganho acumulado em função do tempo para os três melhores jogadores, os três piores e três selecionados aleatoriamente, para uma população de jogadores, memória e número de estratégias. Pelo gráfico, observa-se que tanto os jogadores melhores sucedidos quanto os piores obedecem a um crescimento, ou decaimento, que parece ser linear. Isso mostra que os jogadores bem sucedidos tendem a continuar seu bom desempenho e os mal sucedidos, ficam cada vez mais pobres. Challet e Zhang (1997) destacam que tal situação pode ser revertida pela definição do jogo, porém não é o que acontece com o passar do tempo. Assim, uma questão pode ser levantada. Será que o desempenho dos piores jogadores acontece devido a suas estratégias equivocadas ou por outro motivo? Challet e Zhang (1997) discutem tal desempenho a partir do gráfico do ganho virtual dos jogadores pela taxa de sucesso, com diferentes números de interações( ), conforme a Figura

17 Figura 12: Simulação realizada por Challet e Zhang (1997) do ganho virtual dos agentes pela taxa de sucesso para a) b) e c) interações. Challet e Zhang (1997) ressaltam que tal comportamento mostra que todas as estratégias são iguais quando o tempo tender ao infinito, mostrando que o desempenho dos piores jogadores acontece simplesmente devido à falta de sorte ou a jogadas inoportunas. Outro experimento de grande relevância discutido por Challet e Zhang (1997) é o caso da evolução de espécie. O pior jogador é substituído por um novo jogador depois de um número finito de interações, o qual este é cópia do melhor jogador, porém com capital virtual acumulado igual a. Outra característica do experimento é a introdução da possibilidade de mutação. Cada novo jogador tem possibilidade de uma de suas estratégias ser trocada por outra. Assim, os resultados estão mostrados na Figura

18 Figura 13: Simulações realizadas por Challet e Zhang (1997) da presença do lado A para a situação de evolução de espécie com relação ao tempo, com possibilidade de mutação. É possível perceber que tal experimento reflete uma situação de aprendizado, na qual as flutuações são reduzidas e saturadas e há aumento do ganho médio. Já para o caso de não ocorrer mutação, ou seja, os novos jogadores são cópias perfeitas dos melhores jogadores, Challet e Zhang (1997) obtiveram o gráfico da Figura 14. Figura 14: Simulações realizadas por Challet e Zhang (1997) da presença do lado A para a situação de evolução de espécie com relação ao tempo, sem possibilidade de mutação. 18

19 Tal experimento exibe um comportamento com grandes flutuações e total falta de coordenação da população, gerando grande perda. Challet e Zhang (1997) relatam que tal comportamento é resultado de endogamia e incesto. Outra situação abordada por Challet e Zhang (1997) ainda com relação à evolução da espécie, durante o processo de clonagem, o novo jogador tem probabilidade de ter maior ou menor memória. O interesse dos autores neste experimento refere-se ao domínio dos agentes com maiores cérebros sobre os de menores. Assim, para duas populações, uma com agentes e outra com e memórias iniciais de, obtém-se o gráfico da Figura 15. Figura 15: Simulações realizadas por Challet e Zhang (1997) da média de memória para duas populações, (a) e (b), ambas com memória inicial. Observa-se que a população com maior número de agentes detém maior média de memória quando o tempo é grande, porém, seu crescimento é mais lento do que a população com menos agentes. Challet e Zhang (1997) relatam que tal comportamento ocorre porque quanto maior o número de agentes, a competição entre eles é mais acirrada, pois há maior número de jogadores com tamanhos cerebrais maiores. Porém, em ambas populações, tal desenvolvimento tende a saturar em valores que não são universais, pois dependem do tempo de interação entre os agentes. Outra observação feita pelos autores é que nas populações com maiores números de agentes, o tempo necessário para tal equilíbrio deve ser maior do que para populações 19

20 menores, pois cérebros maiores levam mais tempo para aprender do que cérebros menores. 3. Discussões O El Farol Bar Problem colocado por Brian Artur trata-se de um exemplo que se assemelha a situações que são enfrentadas no nosso cotidiano quando decisões devem ser tomadas. Artur apontava que em situações cotidianas, é irreal que pessoas utilizem raciocínio dedutivo conforme a Teoria dos Jogos antes de tomar uma decisão. De acordo com Challet et al. (2005), um dos aspectos centrais do trabalho de Arthur (1994) é sem dúvida fazer a contraposição entre raciocínio indutivo e raciocínio dedutivo, mostrando que agentes, utilizando as ideias de racionalidade limitada através de padrões, conseguem reduzir bruscamente a complexidade de tais problemas, sacrificando talvez certa eficiência. Um segundo aspecto de extrema relevância é a não existência de uma melhor estratégia, pois se houvesse, todos os agentes a utilizariam. Isso faz com que as estratégias sejam divergentes. Então, a simulação de Brian Arthur para o El Farol Bar Problem foi realizada de forma com que todos os agentes tivessem um conjunto de estratégias diferentes uns dos outros. E o resultado de tal experimento foi surpreendente, a frequência média dos agentes no bar correspondeu a um resultado ótimo, alcançado a partir do pressuposto de que não havia coordenação entre os agentes, ou seja, cada um agiu da melhor forma para si. Conforme Challet et al. (2005), este comportamento está de acordo com a teoria da seleção natural de Darwin, pois mostra que uma espécie, a partir de mutações aleatórias, se desenvolve sem que aconteça uma intervenção divina. O Jogo Minoritário, elaborado a partir de fortes influências das ideias de Brian Artur e o El Farol Bar Problem, tem objetivos diferenciados de seu precessor. Challet et al. (2005) destacam que o El Farol Bar Problem discute a ideia de raciocínio indutivo como caminho para o equilíbrio, já o Jogo Minoritário discute principalmente as flutuações em torno do equilíbrio, que são de grande relevância para o entendimento de comportamentos de mercados financeiros, como por exemplo, o mercado de ações. Tal diferença ocorre, de 20

21 acordo com Challet et al. (2005), principalmente devido à definição das estratégias dos agentes. Como visto anteriormente, no Jogo Minoritário, o número de estratégias possíveis é. Agora, analisando o El Farol Bar Problem, suponhamos que agentes tomem suas decisões a partir dos últimos dados de frequência. Então, existem ( ) possibilidades de valores de frequência, incluindo a possibilidade de ninguém comparecer. Assim, existem possibilidades de combinações de informações passadas. Porém, de acordo com Artur (1994), as estratégias são baseadas nas predições de frequência passada. Assim, existem ( ) predições para cada combinação possível, resultando em possíveis estratégias de predição. Isso faz com que o número de estratégias do El Farol Bar Problem dependa do número de agentes, ao contrário do Jogo Minoritário, fazendo com que o espaço de estratégias possíveis do El Farol Bar Problem seja muito maior do que o do Jogo Minoritário, fazendo do El Farol Bar Problem um caso muito mais complexo. Challet et al. (2005) discutem tal caso, no qual, o número de estratégias cresce dramaticamente com o aumento de, porém uma situação com uma população de agentes e outra onde agentes, não deve haver grandes diferenças entre os comportamento dos agentes de ambas populações. Assim, para que seja possível a elaboração de um modelo do El Farol Bar Problem, é necessário reduzir a complexidade do problema a partir da simplificação das estratégias, para que o número total de estratégias não dependa do número de agentes. Challet et al. (2005) analisam o fato de que o objetivo de cada agente é saber se ele deve ir ao bar ou não. Não há necessidade da predição da frequência exata de comparecimento no bar. Assim, o número de estratégias passa a ser. Porém, o número de estratégias ainda depende da variável. O segundo passo para a redução de complexidade discutido por Challet et al. (2005) é o fato de que os agentes agora, criam suas estratégias de decisão a partir de uma situação binária, então ter informação passada da frequência exata de comparecimento ao bar parece um tanto quanto redundante. Assim, a informação passada das últimas escolhas corretas 21