SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS

Transcrição

1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (Fuvest 016) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são P, 1 P e P. Calcule, em função de r, a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira; b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto P, 1 P e P aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele.. (Cpcar 016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 metro e centro O. Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a área da parte sombreada, nessa figura, em m, é igual a a) b) c) π π π d) π Página 1 de 19

2 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (CPS 016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza ou do ser humano. A imagem mostra uma fenda no solo, proveniente de erosão. Para determinar a distância entre os pontos A e B da fenda, pode-se utilizar o modelo matemático da figura. Na figura, tem-se: - os triângulos AFC e EFD; - o ponto E pertencente ao segmento AF; - o ponto D pertencente ao segmento CF; - os pontos C, D e F pertencentes ao terreno plano que margeia a borda da fenda; e - as retas AC e ED que são paralelas entre si. Sabendo-se que BC 5 m, CD m, DF m e ED 4,5 m, então, a distância entre os pontos A e B e, em metros, a) 6,5. b) 6,50. c) 6,75. d) 7,5. e) 7,75. Página de 19

3 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (Cpcar 016) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura. Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é a) 5 b) c) 5 d) (Fatec 016) Na figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado MNPQ de lado de medida. Os pontos E e F pertencem ao segmento BD de modo que BE FD. 4 A área do quadrado MNPQ é igual a k vezes a área da superfície destacada em cinza. Assim sendo, o valor de k é a). b) 4. c) 6. d) 8. e) 10. Página de 19

4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (Ita 016) Sejam uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma corda em de comprimento 4 cm. As tangentes a em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a. Então, a área do triângulo em PQR, em a). b). cm, é igual a c) 6. d). 5 e) (IFSP 016) Com uma régua, foi traçado um segmento de reta contendo um ponto A. Utilizando um compasso, foi traçada uma circunferência de centro A, determinando os pontos B e C na interseção da circunferência com o segmento de reta. Com centro em C e raio com a mesma medida do segmento de reta AC, foi traçada outra circunferência, determinando os pontos M e N na interseção das duas circunferências. Considerando-se BC e MN as medidas dos segmentos de reta BC e MN, respectivamente, a área do polígono formado pelos vértices B, M e N é igual a: a) BC MN b) 0,5 BC MN c) (BC MN) 0,75 d) (BC MN) 0,5 e) 0,75 BC MN 8. (CFTMG 016) A figura a seguir representa a justaposição de um trapézio isósceles e um quadrado. Se a área do trapézio vale 10 então o perímetro da figura vale a) b) 7 1. c) d) (Unesp 016) Um cubo com aresta de medida igual a x centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura indica a vista superior desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero. Página 4 de 19

5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a a) (4 )cm, x é igual a b) 7 c) d) 5 e) 10. (Ita 016) Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferência de raios R H e R T, respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, R determine a razão H. R T 11. (Unicamp 016) A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD, onde AB AD e BC CD cm. A área do quadrilátero ABCD é igual a a) cm. b) c) d) cm. cm. cm. Página 5 de 19

6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (UFU 016) Dois irmãos herdaram um terreno que, conforme consta no registro de imóvel, pode ser representado pelo triângulo retângulo ABC da figura a seguir. Os irmãos pretendem murar esse terreno e, ao mesmo tempo, dividi-lo por um muro, representado pelo segmento AD, em dois terrenos triangulares de mesma área. O preço de construção do metro quadrado de muro foi orçado em R$ 90,00, e em toda extensão o muro terá m de altura. A parte inteira do custo da construção do muro, em milhares de reais, é a) 5. b). c) 4. d) (Fuvest 016) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5, BC e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) (UERJ 016) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C 1 e C, pertencentes ao mesmo plano α. O segmento CC 1 mede 6 cm. Página 6 de 19

7 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS A área da região limitada pelos círculos, em a) 108 b) 16 c) 18 d) 16 cm, possui valor aproximado de: 15. (Fatec 016) Nas competições olímpicas de Tiro com Arco, o alvo possui 1, m de diâmetro. Ele é formado por dez circunferências concêntricas pintadas sobre um mesmo plano e a uma distância constante de 6,1cm entre si, como vemos no esquema. Podemos afirmar corretamente que a razão entre a área da região cinza e a área total do alvo, nessa ordem, é igual a a). 10 b) c). 5 d) e) (Fuvest 016) A hortênsia (Hydrangea macrophylla) produz flores azuis quando cultivada em solo de ph 5. Quando o ph do solo é maior do que 5, as flores tornam-se rosadas. Um jardineiro recebeu uma encomenda de hortênsias rosadas. Ele dispõe de um jardim plano, com as formas e dimensões descritas na figura abaixo, e cujo solo apresenta ph 4. Para obter um solo adequado à produção de flores rosadas, o jardineiro deverá adicionar uniformemente 00 g de calcário dolomítico por m de terreno. a) Calcule a massa, em quilogramas, de calcário dolomítico necessária para a correção do solo do jardim. O calcário dolomítico é uma mistura de carbonato de cálcio e carbonato de magnésio. Ao adquirir um pacote desse produto, o jardineiro observou que, no rótulo, sua composição estava expressa na forma das porcentagens, em massa, dos óxidos de cálcio e de magnésio que poderiam ser obtidos a partir dos correspondentes carbonatos contidos no calcário dolomítico. Página 7 de 19

8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS b) Calcule a porcentagem, em massa, de carbonato de magnésio presente no calcário dolomítico adquirido pelo jardineiro. 17. (CFTMG 016) Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro O e as semirretas PA e PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente. A medida do ângulo a) 6. b) 7. c) 108. d) 154. ˆ APB, em graus, é igual a 18. (Ita 016) Seja P n um polígono convexo regular de n lados, com n. Considere as afirmações a seguir: I. P n é inscritível numa circunferência. II. P n é circunscritível a uma circunferência. III. Se n é o compromisso de um lado de P n e a n é o comprimento de um apótema de P, n então a É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III. n n 1 para todo n. Página 8 de 19

9 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (UFJF 016) Na figura a seguir, representa-se um hexágono regular ABCDEF em que cada lado mede 1 centímetros. Determine: a) O valor da medida do perímetro e da área do hexágono regular ABCDEF. b) O valor das medidas das diagonais CF e CE deste hexágono regular ABCDEF. c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular ABCDEF. 0. (UERJ 016) Na figura abaixo temos uma circunferência com centro em O. Os pontos P, Q e R são pontos sobre a circunferência, sendo PQ um lado de um hexágono regular inscrito nessa circunferência. Uma formiga estava sobre o ponto P e se deslocou sobre a circunferência no sentido horário, até o ponto Q, passando pelo ponto R uma única vez. Calcule a distância percorrida pela formiga, sabendo que PQ cm. Observação: A relação entre o comprimento da circunferência "C" com seu raio "r " é dado por: C πr. a) 6π cm b) 5π cm c) π cm d) π cm Página 9 de 19

10 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Gabarito: Resposta da questão 1: a) O triângulo equilátero descrito é o externo que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a: Ou seja: r lado r r r lado r 1 tg 0 b) Considerando como A, B e C os vértices do triângulo equilátero externo pode-se desenhar: Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por: S S S azul lado r lado r 1 r r 1 amarelo Sazul 4 4 r 1 r 1 r 1 r 1 r 6r r r r r r Sazul r Página 10 de 19

11 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Resposta da questão : [A] Considere cada um dos triângulos equiláteros parcialmente hachurados com lado r, que é igual ao raio da circunferência menor da figura. A altura h de cada um dos triângulos equiláteros é dada por: r h r 1 R h 1 r r r A área de cada um dos triângulos equiláteros menores será igual a: b h r SΔ r SΔ A área que é delimitada por um setor circular abaixo de cada um dos triângulos equiláteros pode ser escrita com sendo: 60π 18π 1 π Ssetor Por fim, a área hachurada pode ser calculada como sendo: Shachurada 6 SΔ Ssetor SΔ Shachurada 6 SΔ Ssetor π π π π Shachurada π Shachurada Página 11 de 19

12 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Resposta da questão : [A] ΔFED ΔFAC 4,5 5 5 AB 10 AB,5 AB 1,5 AB 6,5 Resposta da questão 4: [D] Se que os lados AB e BC medem 80 e 100 metros, então o lado AC mede 60 metros (Teorema de Pitágoras). Sabe-se também que os segmentos CM e BM são iguais e medem 50 metros (pois MP é mediatriz da hipotenusa). Como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PMB, pode-se escrever: PB m PB AP 80 AP m MP MP m Plote Plote1 165 m Plote 50 Plote 150 m Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será: Plote P lote Resposta da questão 5: [B] Calculando: Página 1 de 19

13 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS ADF CDF CBE ABE 1 ADF 4 ADF 8 16 Acinza 4 Acinza 16 4 AMNPQ A MNPQ 4 AMNPQ 4 A cinza Acinza 4 Resposta da questão 6: [E] OPR ˆ No triângulo PMR, temos: h h tg0 h cm Logo, a área do triângulo PQR será dada por: 1 4 A 4 A Resposta da questão 7: [E] Seja H a interseção de MN com BC. Desde que as circunferências com centros em A e C têm o mesmo raio, é imediato que H é o ponto médio de AC. Em consequência, temos BH 0,75 BC e, portanto, segue que a resposta é Página 1 de 19

14 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS (BMN) MNBH 1 MN 0,75 BC 0,75 MNBC. Resposta da questão 8: [A] Se a área do trapézio vale 10, então x 10 x 7. Daí, como o trapézio é isósceles, segue que os lados não paralelos medem cada. Por outro lado, sendo 7 a diagonal do quadrado, podemos concluir que seus lados medem 7 e, portanto, a resposta é Resposta da questão 9: [A] Com os dados do enunciado, pode-se calcular: x Vprisma 4 x x 4 x x Vprisma 4 4 x 8 x 4 4 Resposta da questão 10: Considerando que x é a medida do lodo do hexágono regular e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: Considerando que a área do hexágono é igual a área do triângulo, podemos escrever que: x y x y 6 Portanto, Página 14 de 19

15 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS RH x RT 6 y Resposta da questão 11: [B] Considere a figura. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, temos BD BC CD BC CD cosbcd BD BD cm. Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes. Logo, podemos concluir que AE cm. A resposta é dada por 1 1 (ABD) (BCD) BD AE BC CD senbcd 1 cm. Resposta da questão 1: [A] Para que as áreas dos terrenos sejam iguais, devemos considerar que BD DC 10m. No triângulo ABD, temos: AD 1 10 AD m Então, o comprimento total do muro será dado por, aproximadamente: m Portanto, a área total de muro construída será de, aproximadamente, 9 79m. E o valor total da construção será de, aproximadamente, ,00, ou seja, aproximadamente 5 milhares de reais. Página 15 de 19

16 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Resposta da questão 1: [D] Considere a figura, em que M é o ponto médio de BD. Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois MB BMP DMP. Daí, temos BP DP e, portanto, AP BP AC 5 7. Resposta da questão 14: [C] MD, MP é lado comum e O segmento CC 1 é igual ao raio de ambas as circunferências e é igual a 6. Assim, pode-se concluir: Portanto, a área da região limitada pelos círculos é composta pela área dos círculos menos a área da intersecção entre eles. Já a área da intersecção é composta por dois triângulos equiláteros de lado 6 e 4 segmentos circulares. Assim, considerando 1,7 e π,14, pode-se estimar a área da intersecção como sendo: SΔ 4 6 SΔ SΔ ,6 Sseg Ssetor SΔ πr 60 π 6 60 Sseg 9 9 6π ,7 Sint er sec SΔ 4 Sseg Sint er sec 15,6 4,7 44,8 Página 16 de 19

17 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Logo, a área da região limitada pelos círculos será: S S S οο ο int er sec Sο π R π 6 6π 11 Sοο 11 44,8 181,7 Sοο 18 cm Resposta da questão 15: [C] Calculando: 1 Atotal π Atotal 61 π Acinza π 6,1 Acinza π1, Acinza π 1, 1, 1 Acinza 1 A total π Atotal 5 Resposta da questão 16: a) Para saber quantos quilogramas de calcário dolomítico serão necessários para correção do solo primeiramente é necessário saber a área do jardim. Da figura, pode-se escrever: (4 ) A jar dim 4 1 A jar dim 10 m Assim, se para 1m são necessários 00g de calcário dolomítico para corrigir o ph, para 10 m serão necessários 000g, ou kg. b) A partir das informações do enunciado sobre o calcário dolomítico Limeira (obtido pelo jardineiro), vem: CaO... 8 % MgO... 0 % mcalcário kg.000 g 0 mmgo.000 g 600 g 100 MgO 40 g / mol MgCO 84 g / mol MgO CO MgCO 40 g 84 g 600 g m MgCO MgCO 1.60 g m MgCO 1.60 g pmgco 0,4 4 %.000 g p 4 % Página 17 de 19

18 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS Resposta da questão 17: [C] Os vértices do pentágono regular dividem a circunferência em cinco arcos congruentes de medida igual a Além disso, como PA e PB são tangentes à circunferência nos 5 pontos A e B, segue que os ângulos OAP e OBP são retos. Em consequência, APB é o suplemento do ângulo central AOB, ou seja, Resposta da questão 18: [D] [I] Verdadeira, pois todo polígono regular é inscritível. [II] Verdadeira, pois todo polígono regular é circunscritível. [III] Falsa. Consideremos um dodecágono regular inscrito na circunferência abaixo: Provaremos inicialmente que tg75 é maior que ; 1 tg45 tg0 9 6 tg75 tg45 0 1tg45 tg0 6 1 Portanto, tg75 é maior que. No triângulo assinalado na figura acima, podemos escrever: a1 a1 tg75 tg Página 18 de 19

19 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS / ÁREA DE FIGURAS PLANAS / POLÍGONOS a 1 1 Como tg75 é maior que, concluímos que : a 1, o que contraria a expressão n n 1 para todo n. Resposta da questão 19: a) O perímetro do hexágono é igual a 61 7cm, e sua área é dada por 1 16 cm. b) A diagonal CF corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito a ABCDEF. Logo, desde que o raio do círculo circunscrito ao hexágono e o lado do hexágono são congruentes, temos CF 4cm. Sabendo que CFE 60, do triângulo retângulo CFE, vem CE CE sen60 CE 1 cm. CF 4 c) Sejam R e r, respectivamente, os raios dos círculos circunscrito e inscrito. Sabendo que R 1cm e r 6, temos πr R 1. πr r 6 Resposta da questão 0: [B] Se PQ é o lado de um hexágono regular de lado cm, então o ângulo PÔQ é igual a 60, e o triângulo PQO é equilátero. Logo, os segmentos PO e QO são iguais ao raio da circunferência e iguais a. Assim, pode-se escrever: percorridos pela formiga 5 do comprimento total da circunferência dformiga π R π dformiga 5π cm 6 6 Página 19 de 19