AS ATIVIDADES DE PESQUISA DESENVOLVIDAS DURANTE A VIGÊNCIA DA BOLSA DE ESTUDOS PARA NÍVEL DCR-IF REFERENTE AO PROCESSO

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1 RELATÓRIO FINAL AO CONSELHO NACIONAL DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO TECNOLÓGICO (CNPq) SOBRE AS ATIVIDADES DE PESQUISA DESENVOLVIDAS DURANTE A VIGÊNCIA DA BOLSA DE ESTUDOS PARA NÍVEL DCR-IF REFERENTE AO PROCESSO N o / BOLSISTA: EDISSON SÁVIO DE GÓES MACIEL DEZEMBRO

2 Simulação Numérica de Escoamentos Supersônicos e Hipersônicos no Espaço Tridimensional Utilizando Técnicas de Dinâmica dos Fluidos Computacional 1. RESUMO DO PLANO INICIAL DE TRABALHO O plano de trabalho proposto ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico (CNPq), sob o processo n o /2003-5, consistia em resolver as equações de Navier-Stokes no espaço tridimensional, utilizando o algoritmo numérico de Jameson e Mavriplis (1986). O algoritmo de Jameson e Mavriplis (1986) seria resolvido segundo o contexto de malhas não estruturadas e utilizando o formalismo de volumes finitos. O esquema utilizaria uma base de dados centrada na célula ( cell centered ) e seria discretizado no espaço e no tempo separadamente. A discretização espacial simétrica faria uso de um operador de dissipação artificial introduzido explicitamente. O operador de dissipação utilizado seria o sugerido por Mavriplis (1990). A integração temporal explícita utilizaria um método tipo Runge-Kutta com cinco estágios. Seriam abordadas as técnicas de aceleração de convergência: passo no tempo variável espacialmente, suavização implícita de resíduo e aumento do número de CFL durante o processo de convergência. Seriam resolvidos os problemas do escoamento supersônico ao longo de uma configuração de rampa com 20º de inclinação e o escoamento hipersônico de gás frio ao longo de uma configuração de difusor, também com 20º de inclinação. Também seria implementado o esquema numérico de MacCormack (1969), em sua versão para três dimensões e sob o contexto de malhas estruturadas, a fim de comparar resultados com o esquema de Jameson e Mavriplis (1986). O método utilizaria um esquema tipo Lax-Wendroff preditor-corretor para realizar a integração espacial e temporal simultaneamente. O método de MacCormack (1969) também utilizaria um operador de dissipação artificial implementado para atenuar instabilidades numéricas provenientes de não linearidades físicas. Os resultados dos dois algoritmos seriam comparados entre si e com soluções analíticas, para alguns casos-exemplo simples. 2. ATIVIDADES REALIZADAS No ano de 2004 foram implementados os esquemas numéricos de MacCormack

3 (1969) e de Jameson e Mavriplis (1986), ambos no contexto de malhas estruturadas, para resolução das equações de Euler e de Navier-Stokes no espaço tridimensional. Os dois algoritmos são explícitos e com segunda ordem de precisão no espaço e no tempo. Os modelos de dissipação artificial de Mavriplis (1990) e de Azevedo (1992) foram implementados a fim de garantir estabilidade numérica aos esquemas. As técnicas de aceleração de convergência do passo no tempo variável espacialmente, do aumento do número de CFL durante o processo de convergência e de suavização implícita de resíduos foram implementadas. Foram resolvidas as equações de Euler e de Navier- Stokes no espaço tridimensional e os problemas físicos dos escoamentos supersônico ao longo de uma rampa com 20 o de inclinação e hipersônico de gás frio ao longo de um difusor com 20 o de inclinação foram estudados. Detalhes destas implementações estão disponíveis no primeiro relatório do presente projeto. A revisão da literatura para implementar o esquema numérico de MacCormack (1969) utilizou como base a tese de doutorado do presente bolsista (Maciel, 2002), em que o mesmo esquema foi implementado para resolução das equações de Euler no espaço tridimensional. Foram acrescentados ao programa não viscoso subrotinas para cálculo dos gradientes de variáveis primitivas, viscosidade molecular e dos vetores de fluxo viscoso. Uma extensão do artigo de Jameson e Mavriplis (1986) para o espaço tridimensional foi realizada a fim de implementar o esquema numérico para este espaço. Inicialmente foi implementado o esquema de Jameson e Mavriplis (1986) para três dimensões em um contexto de malhas estruturadas a fim de possibilitar comparação de resultados com o esquema de MacCormack (1969) e a fim de adquirir maior familiaridade com esse esquema. Um gerador de malhas estruturadas foi implementado visando produzir as malhas necessárias aos experimentos numéricos no espaço tridimensional. Foi aproveitado o gerador desenvolvido durante o curso de doutorado do presente bolsista (Maciel, 2002), com algumas modificações. Malhas para as geometrias de rampa, de difusor e de asa puderam ser assim geradas. Os resultados demonstraram, principalmente para o caso não viscoso (equações de Euler), uma boa concordância entre as soluções geradas pelos esquemas de MacCormack (1969) e de Jameson e Mavriplis (1986). No caso viscoso, ambos os algoritmos apresentaram problemas com as distribuições de Cp ao longo da parede sólida, embora, quantitativamente e qualitativamente, as distribuições de pressão e de número de Mach, em termos de curvas de contorno, estivessem coerentes.

4 A versão tridimensional do esquema numérico de Jameson e Mavriplis (1986), sob um contexto de malhas não estruturadas, para resolução das equações de Euler e de Navier-Stokes foi implementada no ano de 2005 e foi detalhada no segundo relatório do presente projeto. O algoritmo implementado de Jameson e Mavriplis (1986) utiliza uma base de dados centrada na célula e as equações de movimento do fluido são discretizadas segundo um contexto não estruturado. Ou seja, a discretização espacial é não estruturada deixando, contudo, a geração de malhas livre para ser tratada apropriadamente. A integração temporal utilizou um método de Runge-Kutta de cinco estágios e as técnicas de aceleração de convergência do passo no tempo variável espacialmente, do aumento do número de CFL durante o processo de convergência e de suavização implícita de resíduos foram implementadas. Um operador de dissipação artificial de diferenças segunda e quarta foi implementado a fim de garantir a estabilidade do esquema numérico. Os modelos de Mavriplis (1990) e de Azevedo (1992) foram implementados. O esquema é de segunda ordem de precisão espacial. Foram resolvidas as equações de Euler e de Navier-Stokes no espaço tridimensional e os problemas físicos dos escoamentos supersônico ao longo de uma rampa com 20 o de inclinação e hipersônico de gás frio ao longo de um difusor com 20 o de inclinação foram estudados. Com o propósito de comparar dois esquemas numéricos tratados de forma não estruturada, também foi implementado neste ano de 2005 o esquema numérico de Liou e Steffen (1993). O esquema de Liou e Steffen (1993) é um esquema de separação de vetores de fluxo e não necessita de operador de dissipação artificial para garantir estabilidade numérica. A base de dados é novamente centrada na célula e as equações de movimento do fluido são discretizadas segundo um contexto não estruturado. A integração temporal também utilizou um método tipo Runge-Kutta de cinco estágios e as mesmas técnicas de aceleração de convergência implementadas nos esquemas anteriores foram implementadas no esquema de Liou e Steffen (1993). O esquema é de primeira ordem de precisão espacial. Foram também resolvidas às equações de Euler e de Navier-Stokes no espaço tridimensional e os problemas físicos dos escoamentos supersônico ao longo de uma rampa com 20 o de inclinação e hipersônico de gás frio ao longo de um difusor com 20 o de inclinação foram também estudados. Embora uma geração de malhas não estruturadas tridimensional seja preferida, foi utilizada uma malha gerada estruturadamente e foram geradas as tabelas de conectividade, de vizinhança, de volumes fantasmas e de coordenadas dos nós para realizar os experimentos numéricos tridimensionais, segundo um contexto não estruturado. Este procedimento foi adotado em virtude da dificuldade que é implementar

5 um gerador de malhas tridimensional e da dificuldade de encontrar geradores de malhas tridimensionais disponíveis na literatura, como por exemplo na Internet. Desta forma, a geração de malhas consistiu em aproveitar o gerador de malhas implementado no primeiro ano de vigência deste projeto e criar um programa chamado UNMESTAB.FOR para gerar as tabelas de indexação indireta necessárias à execução de um algoritmo não estruturado de resolução das equações de movimento de fluido. Os resultados demonstraram no caso não viscoso uma boa concordância entre as soluções geradas pelos esquemas de Jameson e Mavriplis (1986) e de Liou e Steffen (1993). Contudo, no caso viscoso, apenas o algoritmo de Liou e Steffen (1993) apresentou soluções convergidas. O esquema de Jameson e Mavriplis (1986) apresentou uma parada no processo de convergência após redução de duas ordens de magnitude no valor do resíduo, em ambos os problemas estudados. Entretanto, o objetivo do presente projeto de pesquisa foi alcançado com o esquema de Liou e Steffen (1993), que consistia em simulações no espaço tridimensional com algoritmos não estruturados. Neste último ano de vigência do presente projeto, 2006, os esquemas numéricos de MacCormack (1969) e de Jameson e Mavriplis (1986), segundo um contexto de discretização espacial estruturada, foram estudados acoplados com os modelos de turbulência de Cebeci e Smith (1970), de Baldwin e Lomax (1978) e de Sparlat e Allmaras (1992), aplicados ao escoamento supersônico ao longo de uma rampa com 20º de inclinação. Os modelos de turbulência de Cebeci e Smith (1970) e de Baldwin e Lomax (1978) são modelos algébricos e o de Sparlat e Allmaras (1992) é um modelo de uma equação. Estes modelos representam o atual estágio de desenvolvimento do presente bolsista para simulações tridimensionais. Os modelos de Cebeci e Smith (1970) e de Baldwin e Lomax (1978) são clássicos na literatura e o modelo de Sparlat e Allmaras é atualmente amplamente empregado na comunidade de CFD (Sai e Lutfy, 1995, e Gacherieu e Weber, 1998). Estudos com estes modelos no espaço bidimensional foram realizados pelo presente bolsista (Maciel, 2006, e Maciel e Fico Jr., 2006) e motivaram suas implementações em suas versões tridimensionais. Este estudo fechou o presente plano de trabalho com simulações de escoamentos turbulentos no espaço tridimensional. Testes com as técnicas de aceleração de convergência do passo no tempo variável espacialmente e de suavização implícita de resíduos foram realizados a fim de cumprir em definitivo o prometido no plano inicial de trabalho. As implementações numéricas dos dois esquemas, MacCormack (1969) e Jameson e Mavriplis (1986), segundo um contexto de discretização espacial estruturada,

6 são revistas em detalhes no terceiro relatório, ajustando-as às contribuições da viscosidade turbulenta e do número de Prandtl turbulento. Os resultados demonstraram que tanto o modelo de turbulência de Cebeci e Smith (1970) como o de Baldwin e Lomax (1978) representaram apropriadamente as características do escoamento turbulento ao longo da rampa. O modelo de Sparlat e Allmaras (1992) reproduziu a solução laminar, evidenciando, assim, problemas na implementação deste. Testes com os procedimentos de aceleração de convergência do passo no tempo variável espacialmente e da suavização implícita de resíduo destacaram o primeiro como produzindo maiores ganhos de convergência. O procedimento de suavização implícita de resíduo não confirmou os resultados obtidos por este bolsista para o caso bidimensional (Maciel, 2005). Os últimos estudos deste bolsista desde o encaminhamento do terceiro relatório para o CNPq (agosto de 2006) tentaram identificar possíveis erros no modelo de turbulência de Sparlat e Allmaras (1992) e no procedimento de aceleração de convergência da suavização implícita de resíduo, não encontrando, até o momento, os possíveis problemas em suas implementações. Em paralelo com estes estudos, o presente bolsista iniciou a revisão de literatura para simulações de escoamentos reativos em não equilíbrio químico e em equilíbrio termodinâmico, visando os possíveis experimentos nesta área que serão realizados por este em 2007, caso o pedido de bolsa de Pós-Doutorado Júnior (PDJ) encaminhado ao CNPq seja aprovado. 3. TRABALHOS APROVADOS NO PERÍODO DE 2004 ATÉ 2006 No ano de 2004, primeiro ano de vigência desta bolsa, foi aprovado o trabalho abaixo para publicação no III Congresso Nacional de Engenharia Mecânica (III CONEM), em conjunto com o Prof. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior, do ITA, CTA: Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2004, Estudos de Escoamentos Turbulentos Utilizando o Modelo de Baldwin e Lomax e Comparação entre Algoritmos Explícitos e Implícitos, Anais do III Congresso Nacional de Engenharia Mecânica (III CONEM), Belém, PA, Brasil. No ano de 2005 foi aprovado para publicação um trabalho no Jornal da Sociedade Brasileira de Ciências e Engenharia Mecânica (JBSMSE) sob autoria do presente bolsista e este é descrito a seguir:

7 Maciel, E. S. G., 2005a, Comparison Between a Centered and a Flux Difference Split Schemes Using Unstructured Strategy, JBSMSE - Journal of the Brazilian Society of Mechanical Science and Engineering, Vol. XXVII, No. 3, pp Em termos de congressos, no ano de 2005 foram aprovados para publicação seis trabalhos ao XVIII Congresso Internacional de Engenharia Mecânica (XVIII COBEM). Eles são de autoria do presente bolsista e são descritos abaixo. Os quatro últimos artigos foram decorrentes do trabalho do presente bolsista no primeiro ano de vigência desta bolsa. Maciel, E. S. G., 2005b, Comparison Between a Centered and a High Resolution Upwind Schemes in the Solution of Aerospace Problems Using Unstructured Strategy, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005c, Analysis of Convergence Acceleration Techniques Used in Unstructured Algorithms in the Solution of Aeronautical Problems Part I, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005d, Solution of the Euler Equations in the Three-Dimensional Space Using the MacCormack Algorithm - Part I, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005e, Solution of the Navier-Stokes Equations in the Three- Dimensional Space Using the MacCormack Algorithm Part II, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005f, Solution of the Euler Equations in the Three-Dimensional Space Using the Jameson and Mavriplis Algorithm Part I, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005g, Solution of the Navier-Stokes Equations in the Three- Dimensional Space Using the Jameson and Mavriplis Algorithm Part II, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII

8 COBEM), Ouro Preto, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Ainda em termos de congressos em 2005, conforme mencionado no segundo relatório deste projeto de pesquisa, foram submetidos três trabalhos ao VIII Congresso Argentino em Mecânica Computacional (VIII MECOM) de autoria do presente bolsista e um em parceria com o Prof. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior, ITA, CTA, tendo todos sido aceitos. Eles são descritos abaixo: Maciel, E. S. G., 2005h, Estudo de Esquemas Numéricos Simétrico e Assimétrico de Alta Resolução na Solução de Escoamentos Transônico e Supersônico Parte I, Proceedings of the VIII Argentinian Congress on Computational Mechanics (VIII MECOM), Buenos Aires, Argentina, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005i, Comparação entre os Algoritmos de MacCormack e de Jameson e Mavriplis na Solução das Equações de Euler e de Navier-Stokes no Espaço Tridimensional, Proceedings of the VIII Argentinian Congress on Computational Mechanics (VIII MECOM), Buenos Aires, Argentina, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2005j, Comparação entre Algoritmos Não Estruturados Simétrico e Assimétrico de Alta Resolução na Solução de Problemas Aeroespaciais e Análise de Técnicas de Aceleração de Convergência Parte I, Proceedings of the VIII Argentinian Congress on Computational Mechanics (VIII MECOM), Buenos Aires, Argentina, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2005, Um Estudo de Algoritmos Assimétricos de Alta Resolução Acoplados com o Modelo de Turbulência Algébrico de Baldwin e Lomax na Solução das Equações de Navier-Stokes - Parte I, Proceedings of the VIII Argentinian Congress on Computational Mechanics (VIII MECOM), Buenos Aires, Argentina, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). No ano de 2006, terceiro e último ano de vigência deste projeto de pesquisa, foram aprovados os seguintes trabalhos do presente bolsista em eventos nacionais (SIMMEC, CONEM e EPTT) e internacional (CILAMCE): Maciel, E. S. G., 2006a, Estudo de Escoamentos Turbulentos Utilizando os Modelos de

9 Cebeci e Smith e de Baldwin e Lomax e Compraração entre os Algoritmos de MacCormack e de Jameson e Mavriplis, Anais do 7 th Simpósio de Mecânica Computacional (VII SIMMEC), Araxá, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006b, Comparação entre Diferentes Modelos de Dissipação Artificial Aplicados a um Sistema de Coordenadas Generalizadas Parte I, Anais do 7 th Simpósio de Mecânica Computacional (VII SIMMEC), Araxá, MG, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006c, Comparação entre os Modelos de Turbulência de Cebeci e Smith e de Baldwin e Lomax, Anais da 5 a Escola de Primavera de Transição e Turbulência (V EPTT), Rio de Janeiro, RJ, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006d, Comparação entre os Algoritmos de Alta Resolução de Harten e de Radespiel e Kroll na Solução das Equações de Euler no Espaço Bidimensional Parte I, Anais do IV Congresso Nacional de Engenharia Mecânica (IV CONEM), Recife, PE, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006e, Comparação entre os Algoritmos de Alta Resolução de Frink, Parikh e Pirzadeh e de Liou e Steffen na Solução das Equações de Euler no Espaço Bidimensional Parte I, Anais do IV Congresso Nacional de Engenharia Mecânica (IV CONEM), Recife, PE, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006f, Comparison Between the Yee, Warming and Harten and the Hughson and Beran High Resolution Algorithms in the Solution of the Euler Equations in Two-Dimensions Theory, Proceedings of the XXVII Iberian Latin - American Congress on Computational Methods in Engineering (XXVII CILAMCE), Belém, PA, Brazil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006g, Comparison Between the Yee, Warming and Harten and the Hughson and Beran High Resolution Algorithms in the Solution of the Euler Equations in Two-Dimensions Results, Proceedings of the XXVII Iberian Latin - American Congress on Computational Methods in Engineering (XXVII CILAMCE), Belém, PA, Brazil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Em parceria com o Prof. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr., foram publicados neste ano de 2006 os seguintes trabalhos:

10 Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2006a, High Resolution Algorithms Coupled with Three Turbulence Models Applied to an Aerospace Flow Problem - Part I, AIAA Paper Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2006b, High Resolution Algorithms Coupled with the Baldwin and Lomax Model Applied to a Turbulent Flow Problem, Anais da 5 a Escola de Primavera de Transição e Turbulência (V EPTT), Rio de Janeiro, RJ, Brasil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2006c, High Resolution Algorithms Coupled with Three Turbulence Models Applied to an Aerospace Flow Problem - Part II, Proceedings of the XXVII Iberian Latin American Congress on Computational Methods in Engineering (XXVII CILAMCE), Belém, PA, Brazil, (publicação em CD- ROM sem numeração de páginas). No total foram vinte e dois (22) artigos publicados desde 2004, sendo dezessete (17) artigos de autoria do presente bolsista (77,3% do total) e cinco (5) de autoria deste bolsista com o Prof. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr., ITA, CTA (22,7% do total). Em termos de congressos internacionais foram publicados treze (13) artigos, correspondendo a 59,1% da publicação total neste período de pesquisa. Estes resultados destacam a boa produção científica do presente bolsista nestes três anos de estudos. 4. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Com os estudos do ano de 2005, cumprimos o objetivo deste trabalho que seria realizar simulações de escoamentos supersônicos e hipersônicos de gás frio no espaço tridimensional, não viscosos e viscosos, sob um contexto não estruturado de discretização espacial, utilizando técnicas de dinâmica dos fluidos computacional. Foram implementados quatro algoritmos nos anos de 2004 e 2005 a nível tridimensional, dois estruturados e dois não estruturados, e foram realizados testes com configurações de rampa e de difusor, obtendo bons resultados. Embora o esquema de Jameson e Mavriplis (1986), não estruturado, não tenha funcionado a contento nas simulações viscosas tridimensionais, o esquema de Liou e Steffen (1993), não estruturado, realizou este papel, cumprindo, como dito acima, o objetivo deste projeto de pesquisa. Neste ano de 2006, terceiro e último ano de vigência da presente bolsa, foi estudado o escoamento supersônico turbulento ao longo de uma configuração de rampa com 20º de inclinação, em três dimensões. Os modelos algébricos de Cebeci e Smith

11 (1970) e de Baldwin e Lomax (1978), além do modelo de uma equação de Sparlat e Allmaras (1992), foram implementados e estudados no contexto de uma discretização estruturada do domínio de cálculo. Foram utilizados os esquemas numéricos de MacCormack (1969) e de Jameson e Mavriplis (1986), já implementados, para realizar os experimentos numéricos. Neste problema da rampa, um escoamento turbulento separado é caracterizado próximo à rampa e os modelos de turbulência descreveram bem este fenômeno, diminuindo, contudo, a extensão da região de separação em relação à solução laminar. Exceção é feita ao modelo de turbulência de Sparlat e Allmaras (1992), que praticamente reproduziu a solução laminar, caracterizando, assim, possíveis erros de programação. Este estudo caracteriza uma ampliação do que foi inicialmente prometido ao CNPq como objetivo do presente projeto de pesquisa. Para finalizar os estudos deste projeto, estudos com as técnicas de aceleração de convergência do passo no tempo variável espacialmente e da suavização implícita de resíduos foram realizados, destacando a técnica de passo no tempo variável como produzindo ganhos de convergência acima de 55%, conforme demonstrado no terceiro relatório de pesquisa. A técnica de suavização de resíduo não produziu ganhos de convergência, o que evidencia possíveis erros de programação. Estudos futuros a serem realizados pelo presente bolsista visarão encontrar os possíveis erros de programação no modelo de turbulência de Sparlat e Allmaras (1992) e no procedimento de aceleração de convergência da suavização implícita de resíduo. Com esses trabalhos, mais ferramentas numéricas foram implementadas visando o melhor desenvolvimento do trabalho do presente bolsista, que resultaram em maior desenvolvimento nesta área numérica para o país, e o objetivo de descrever simulações mais realísticas está cumprida neste projeto de pesquisa. Como objetivos futuros, o presente bolsista está tentando junto ao CNPq a aprovação de auxílio para um projeto de Pós-Doutorado Júnior (PDJ) a ser realizado na Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), no Departamento de Matemática Aplicada, com supervisão do Prof. Doutor Álvaro Luís De Bortoli, na área de solução das equações de Euler e de Navier-Stokes com escoamentos em não equilíbrio químico e em equilíbrio termodinâmico, segundo uma formulação de volumes finitos e elementos finitos, estruturado e não estruturado, inicialmente no espaço bidimensional, com pretensão de extensão para o espaço tridimensional, aplicadas a problemas aeroespaciais de reentrada de corpos rombudos na atmosfera terrestre. Este estudo visa o aprofundamento de conhecimento do presente bolsista com o intuito de simular escoamentos mais realísticos tridimensionais.

12 O presente bolsista agradece o revisor deste relatório, que acompanhou todo o estudo realizado nestes três anos de pesquisa, fornecendo sugestões para aprimoramento e valorização do trabalho realizado. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Baldwin, B. S., e Lomax, H., 1978, Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flows, AIAA Paper Cebeci, T., e Smith, A. M. O., 1970, A Finite-Difference Method for Calculating Compressible Laminar and Turbulent Boundary Layers, Journal of Basic Engineering, Trans. ASME, Series B, Vol. 92, No. 3, September, pp Gacherieu, C., e Weber, C., 1998, Assessment of Algebraic and One-Equation Turbulence Models for the Transonic Turbulent Flow around a Full Aircraft Configuration, AIAA Paper Jameson, A., e Mavriplis, D., 1986, Finite Volume Solution of the Two-Dimensional Euler Equations on a Regular Triangular Mesh, AIAA Journal, Vol. 24, No. 4, pp Liou, M., e Steffen, C. J., Jr., 1993, A New Flux Splitting Scheme, Journal of Computational Physics, Vol. 107, pp MacCormack, R. W., 1969, The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering, AIAA Paper Maciel, E. S. G., 2002, Simulação Numérica de Escoamentos Supersônicos e Hipersônicos Utilizando Técnicas de Dinâmica dos Fluidos Computacional, Tese de Doutorado, ITA, São José dos Campos, SP, Brasil, 258p. Maciel, E. S. G., 2005, Analysis of Convergence Acceleration Techniques Used in Unstructured Algorithms in the Solution of Aeronautical Problems Part I, Proceedings of the XVIII International Congress of Mechanical Engineering (XVIII COBEM), Ouro Preto, MG, Brazil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., 2006, Estudo de Escoamentos Turbulentos Utilizando os Modelos de Cebeci e Smith e de Baldwin e Lomax e Compraração entre os Algoritmos de MacCormack e de Jameson e Mavriplis, Anais do 7 th Simpósio de Mecânica Computacional (VII SIMMEC), Araxá, MG, Brazil, (publicação em CD-ROM sem numeração de páginas). Maciel, E. S. G., e Fico, N. G. C. R., Jr., 2006, High Resolution Algorithms Coupled with

13 Three Turbulence Models Applied to an Aerospace Flow Problem - Part I, AIAA Paper Sai, V. A., e Lutfy, F. M., 1995, Analysis of the Baldwin-Barth and Sparlat-Allmaras One- Equation Turbulence Models, AIAA Journal, Vol. 33, No. 10, pp Sparlat, P. R., e Allmaras, S. R., 1992, A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows, AIAA Paper Assinatura do bolsista: Edisson Sávio de Góes Maciel