SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO REPRESENTAÇÃO CALCULO DE PORCENTAGEM Aumento Percentual... 6

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1 AULA 5 PORCENTAGEM SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO REPRESENTAÇÃO CALCULO DE PORCENTAGEM Aumento Percentual Desconto Percentual Aumentos E Descontos Sucessivos QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSO QUESTÕES PROPOSTAS GABARITO FIQUE POR DENTRO INTRODUÇÃO Caro concursando, esta é nossa penúltima aula de raciocínio lógico. Esgotamos todo o conteúdo do último edital 2011/2012, do concurso do INSS, organizado pela Fundação Carlos Chagas FCC. Hoje 21/06/2014, faremos uma abordagem para você aprender o assunto de verdade, não só par passar em concurso, para tanto preparei um material que servirá de base ou referência para qualquer concurso em que será cobrado este assunto. Portanto aproveite bem esta aula e estude com afinco. A porcentagem é o estudo da matemática financeira mais aplicado ao nosso dia-a-dia. É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 1

2 quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% - Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. - Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. A ideia de porcentagem foi utilizada em épocas tão remotas como a do antigo Império Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de 1/100 sobre o preço da venda de todos os bens. No século XV manuscritos italianos utilizavam expressões como 20 p100 e XX p cento para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal per era utilizado para indicar porcentagem. Posteriormente esse sinal se perdeu no tempo, e ficou o sinal que se utiliza atualmente: %. 2. DEFINIÇÃO PORCENTAGEM A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). Alguns exemplos: Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeitos. 2

3 3. REPRESENTAÇÃO Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: por cento. Deste modo, a fração é uma porcentagem que podemos representar por 20%. É muito importante observar que quando escrevemos 25 por cento podemos fazê-lo de três maneiras: 25% É a forma percentual, clássica, é mais indicada na textualização, na comunicação entre as pessoas, em qualquer forma não matemática. Pode ser representada assim:, ou 0,25 problemas. É a forma fracionaria, e é indicada nos cálculos e equacionamento de 0,25 Esta é a forma decimal ou unitaria, a mais indicada nos cálculos e equacionamento de problemas. Para obtermos a forma decimal de 25% nós simplesmente deslocamos a vírgula duas casas à esquerda de 25%, que resulta em 0,25. PARA ILUSTRAR MELHOR!!! Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 são meninas, é o mesmo que dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda, 60 são meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim: (observe que os denominadores referem-se ao todo) Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente através da última fração. Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), receberam uma notação especial: %. Assim, por exemplo: 3

4 a) 60% = = 0,6 b) 4% = = 0,04 c) 123% = = 1, Obs.1: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser escrita na forma decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou uma fração (mesmo sem denominador 100) na forma de porcentagem a) = 0,14 = = 14% b) = 0,08 = = 8% , 5 c) = 0,375 = ,8 = 37,5% d) = 1, = % Obs.2: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 100 a ela equivalente. No item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com aproximação. a) ,3 26 0,2 0,8 = 75% b) = 26% c) = 0,8% d) 4 = = 400% e) = 0, ,43 = = 43% É MUITO IMPORTANTE SABER! (NÚMEROS DECIMAIS) Multiplicação e divisão por 10, 100, 1000,... Na multiplicação de um número decimal por 10, cada algarismo se desloca uma posição para a esquerda; multiplicando um número decimal por 100, cada algarismo se desloca duas posições para a esquerda e assim por diante. (a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400 Na divisão de um número decimal por 10, cada algarismo se desloca uma posição para a direita; dividindo um número decimal por 100, cada algarismo se desloca duas posições para a direita e assim por diante. (a) 247,5 10 = 24,75 (b) 247,5 100 = 2,475 (c) 247, = 0, Outro ponto importante é o estudo básico das operações com fração, pois o estudo da porcentagem está intimamente relacionado com números fracionários ou racionais.

5 4. CALCULO DE PORCENTAGEM EXEMPLOS RESOLVIDOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? SOLUÇÃO: Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? SOLUÇÃO: VAMOS USAR UMA REGRA DE TRÊS: 100% : X X = 555x17 /100 = 9435/100 X = 94,35 Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35 Preço Final: R$ 649,35 Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 x 1,17 = R$ 649,35 3) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas? 5

6 Solução: 100% : 30 30% : X X = / 100 = 900 / 100 = 9 X = 9 Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas. 4) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ ,00, receberá líquido quanto? SOLUÇÃO: 100% : ,7% : X Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do cheque é : R$ ,00 x 0,98 = R$ ,00 Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ ,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00. Somando os valores: R$ ,00 + R$ 305,00 = R$ ,00 Obs. Os quadros dos cálculos foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer decoradamente estas posições AUMENTO PERCENTUAL Fator Multiplicante 6

7 Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação. Veja: Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20. Observe esta pequena tabela: Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 x 1,17 = R$ 23,40 E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso. Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação DESCONTO PERCENTUAL Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 taxa de desconto (isto na forma decimal) Veja: 7

8 Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80. Observe esta pequena tabela: Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 x 0,93 = R$ 53,94 E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 01) Comprou-se um objeto por R$ 800,00 para revendê-lo com os descontos sucessivos de 10% e 5%. desejando-se ganhar 20% sobre o custo, qual o preço de venda? SOLUÇÃO: No problema, o preço líquido do objeto deve ser do custo mais 20% de lucro: 100% + 20% = 120% = 1,2 Portanto : 1,2 x 800 = R$ 960,00 10% = 0,1 L = P (1 - i ).(1 - i ) 960 = P ( 1-0,1 ). ( 1-0,05) 8

9 960 = P ( 0,9 x 0,95) 960 = 0,855 P P = 960 0,855 P = R$ 1.122,80 02) Uma mercadoria custa R$ 5.000,00 e foi vendida com os aumentos sucessivos de 15%, 12% e 10%. Qual foi o último preço de venda? SOLUÇÃO: 15% = 0,15 12% = 0,12 10% = 0,1 V = ( 1 + 0,15). ( 1 + 0,12 ). ( 1 + 0,1 ) V = x 1,15 x 1,12 x 1,1 V = x 1,4168 V = R$ 7.084,00 NOTA DE RECOMENDAÇÃO A resolução de problemas de porcentagem, na realidade, para se dominar bem este assunto, é altamente recomendado que o concursando estude o assunto que envolvem grandezas proporcionais e em particular, dá ênfase prática à "regra de três". Pois, se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa". Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais. 9

10 5. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSO (TRF 1ª REGIÃO FCC 2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é: a) 22,5% b) 25% c) 27,5% d) 30% e) 32,5% Resolução: Suponhamos que o salário inicial de Josué era de 100 reais. Em questões de porcentagem como essa não há o menor problema em fazermos isso. Isso facilita em muito as nossas contas Vejamos, como Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel da casa, isso significa que ele gastava 20% de 100 = 0,20 x 100 = 20 reais. Como reajuste, o salário que era de 100 teve um aumento de 8%,ou seja, ele passou a ser de 1,08 x 100 = 108 reais. Como encontramos este valor? Cheguei a tal valor usando a idéia de fator multiplicativo. Tal fator é formado multiplicando o valor inicial por um número, e este tal número é justamente o fator. Ele é calculado fazendo 1 + porcentagem, ou seja, 1 + 8% = 1 + 0,08 =1,08. Tal raciocínio acelera e muito as contas em alguns casos, mas caso você não goste de fazer isso, tudo bem, podemos fazer uma simples regra de três: 10

11 % X 8% 100%. X = % Como esse % é comum a ambos os lados, podemos eliminar o mesmo, ficando com: X = 8. ATENÇÃO, pois da maneira que eu montei a regra de três eu estou calculando apenas o aumento do meu salário e não o salário final. O salário final será a soma = 108 reais. O aluguel da casa era de 20 reais e teve um reajuste de 35 %. Isso fez com que ele passasse a ser de 20.1,35 = 27 reais. O que a questão quer saber é que porcentagem que o novo valor do aluguel representa em relação ao novo salário. Podemos fazer uma regra de três: % 27 P Multiplicando cruzado temos: 108.P = 2700 P = 2700/ 108 = 25 % Poderíamos simplesmente ter dividido o aluguel pelo salário, obtendo: 27/ 108 = 0,25 = 25 % Gabarito: B 11

12 02) Um operário reduziu de 2/5 a sua produção no serviço. Calcule de quanto por cento foi essa redução. Solução: 2 5 = 0,4 0,4 x 100 = 40% Também 100 x 2 = 40% 5 Também: x = 100 x 2 = 20 x 2 = 40 x Resposta.: 40% O3) Vendi um objeto por 9/8 de compra. Calcule a porcentagem do lucro. Solução: x 9 = 12,5 x 9 = 112,5% 112,5 100 = 12,5% Também; 100 x 9 = 12,5% 8 Também: x = 100 x 9 = 900 = 12,5 X Resposta.: 12,5% 04) Dê o resultado de 30% x 40% x 20% com apenas um sinal de porcentagem. Solução: 30 x 40 x 20 % % % = 24000% = 2, 4% Resposta.: 2, 4% 05) Em um colégio, 45% dos alunos são rapazes e 20% dos rapazes cursam o ensino médio. Calcule a porcentagem dos rapazes que cursam o ensino médio. Solução.: Fazendo a multiplicação de taxas, temos: 45% x 20% = 2080%% = 20,8% 12

13 Resposta.: 20,8% 06) Em uma cidade, 58% dos habitantes são homens e 30% dos homens são rapazes. Encontre a porcentagem dos rapazes dessa cidade. Solução: 58% x 30% =.1740%% = 17,4% Resposta. 17,4% 07) Ao efetuar dois negócios de mesma quantia, uma pessoa obteve com o primeiro, um lucro de 10% e no outro, prejuízo de 4%. Houve prejuízo ou lucro? Solução: 10% (lucro) 4% ( prejuízo) = 10% - 4% = 6% Resposta: Lucro de 6% 08) (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um técnico em informática resolveu reajustar o valor de seus serviços em 30%, mas, para os clientes antigos, manteve o preço sem reajuste. Em relação ao novo preço, os clientes antigos terão, aproximadamente, um desconto de: (A) 17% (B) 23% (C) 27% (D) 30% (E) 33% Resolução: Vamos supor que o preço do serviço do técnico, inicialmente, fosse de R$ 100,00. Quando ele resolve reajustar o valor dos seus serviços em 30%, ele passa a cobrar R$ 130,00. O preço agora é de R$ 130,00 e ele fará o serviço por R$ 100,00 para seus clientes antigos. Para calcular a taxa de desconto, devemos utilizar a fórmula: I = ( )/130 Logo: -30/130 Portanto: i = -23% 13

14 Alternativa: B 09) Um rapaz emprestou uma mesma quantia a três outros rapazes. Com o primeiro ganhou 20% e com os outros rapazes perde 15% para cada um. Houve prejuízo ou lucro? Solução: 20% (lucro) - 2x 15% ( prejuízo) = 20% - 30% = - 10% Resposta.: Prejuízo de 10% 10) (FCC) Sobre uma mercadoria comprada e vendida sucessivamente, por 4 comerciantes, os dois primeiros tiveram, cada um lucro de 10% e os outros dois 10% de prejuízo. Calcule por quanto foi vendida a mercadoria pelo primeiro comerciante, se o quarto vendeu por R$ 2.450,25. Solução: R$ % A = X + 110% ,01 X = x 100 B = X + 121% X ,01 C = X + 108,9% D = X + 98,01% X = Quantidade: R$ 2.500,00 A = % = = R$ 2.750,00 Resposta. Por R$2.750,00 11) De uma estrada preparam os 2/5 e mais 30% do restante e ainda faltam 1260 metros. Encontre a medida da estrada. Solução 100 x 2 = 40% = 60% 30% x 60% = 1.800%% = 180% = 0,18% 5 40% = 0, { 1 - ( 0,4 + 0,18 )} = {1-0,58} = ,42 = 3.000m = 3Km Também; 14

15 0,4x + 0,18x = x 0,58x = x 0,58x x = ,42x = (-1) x = = ,42 Resposta.: 3km 12) Uma pessoa andou ½ de uma estrada, em seguida, 20% do resto e há ainda 320 km a serem percorridos. Qual a medida da estrada. Solução: ½ = 50% = 0,5 50 x 20%% = 1.000%%= 10% = 0,1 20% = 0,2 320 { 1 ( 0,5 + 0,1) } 320 { 1 0,6} 320 0,4 = 800km Também: 0,5x + 0,1x = x 0,6x x = ,4x = -320 (-!) x = 320 x = 800 0,4 Resposta.: 800km 13) Numa escola com 800 alunos, 36% são rapazes. Qual o número de rapazes? Solução: = 8 8 x 36 = 288 rapazes Também: Alunos % R = 800 x 36 = 288 R Resposta.: 288 rapazes 14) Uma escola tem 40% dos alunos externos e 480 internos. Encontre o total de alunos da escola. Solução: 15

16 100% - 40% = 60% ( internos) = 8 8 x 100 = 800 alunos Também: Alunos % X = 480 x 100 = 800 X Resposta.: 800 alunos 15) (BNB) Com 20% de abatimento paguei R$ 640,00 por uma mercadoria. Qual o valor da mercadoria sem o abatimento? Solução Mercadoria = 100% = 80% = 8 8 x 100 = R$ 800,00 Também: R$ % M = 100 x 640 = M 100 Resposta.: R$ 800,00 16) ( FGV) Um objeto foi comprado por R$ 1.500, 00 e vendido por R$ 1.350,00. Calcule de quanto por cento foi o prejuízo. Solução: Objeto = 100% = R$ 150, = 0,1 0,1 x 100 = 10% Também: R$ % P = 100 x 150 = 10 16

17 P Resposta. : 10% 17) ( FCC ) Num quartel, 20% dos militares são oficiais, 70% são soldados. Sabendo-se que há 200 sargentos, encontre o número de soldados. Solução: Militares = 100% 100% - (20% + 70%) = 100% - 90% = 10% sargentos (10% = 0,1) x 70 = 20 x 70 = soldados, outro modo: 200 x 0,1 x 70 = soldados Também: Militares % S = 200 x 70 = S 70 Resposta: soldados 18) (FCC BB) Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20% nos abatimentos sucessivos sobre uma fatura. Solução: Vamos fazer a conversão em taxa unitária: 8% = 0,08 10% = 0,1 20% = 0,2 Aplicamos a fórmula: I = { (1 i 1 ) (1 i 2 ) (1 i 3 ) } x 100 I = 100 { (1 0,08) (1 0,1) (1 0,2) } x 100 I = { 0,92 x 0,9 x 0,8 }x 100 I = 100 (0,6624) x 100 I= ,24 I = 33,76% 17

18 Resposta.: 33,76% 19) Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a R$ 720,00. Encontre o valor nominal da duplicata. Solução: Aplicando a fórmula: V l = V n (1 i 1 ) (1 i 2 ) 720 = V n (1 0,2) (1 0,1) 720 = V n x 0,9 x 0,8 720 = 0,72 V n V n = 720 V n = R$ 1.000,00 0,72 Também: 100% - 20% = 80% = 0,8 100% - 10%= 90% = x 0,9 0, ,72 = R$ 1.000,00 Resposta.: R$ 1.000,00 20) (FCC) Sobre uma compra de uma mercadoria no valor de R$ 5.000,00 foi concedido um abatimento de 20% e, em seguida, um desconto de 10%. Quanto foi pago a mercadoria? Solução: V n = V l (1- i 1 ) (1 1 2 ) Vn = (1-0,2) (1-0,1) Vn = x 0,8 x 0,9 Vn = R$ ,00 Também: 100% - 20% = 80% = 0,8 100% - 10% = 90% = x 0,9 0, ,72 = R$ ,00 Resposta.: R$ ,00 21) (FCC) Do meu salário líquido dedico: 25% ao aluguel, 30% à alimentação, 18

19 5% à compra de medicamento, 15% pagamento de mensalidades. O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu salário é no valor de : a) R$ 1.200,00 b) R$ 785,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.250,00 e) R$ 650,00 SOLUÇÃO: Esta questão envolve porcentagem e regra de três e para resolvê-la devemos somar as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75% Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação. Montando uma regra de três: 550, > 25 X > x = X = 55000/ 25 X = 2200 Então a resposta correta da questão acima é a letra c. 22) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de: a) 19,5 % 19

20 b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5% SOLUÇÃO: Esta questão também envolve Regra de três e noção de porcentagem. Cenário 1: 1m > R$ 5,52 X > R$ 126,96 5,52x = 126,96 X = 126,96 / 5,52 X = 23 m Cenário 2: 1m > R$ 4,60 X > R$ 126,96 4,60x = 126,96 X = 126,96 / 4,60 X = 27,60 Temos então: 23m > 100% (Total do metro encontrado com preço maior. 27, > x (Total do metro encontrado com preço menor) 23x = 100 x 27,6 20

21 23x = 2760 X = 2760 / 23 X = 120% Desta forma: 120% - 100% = 20% Então a resposta correta da questão acima é a letra b. 23) (Banco do Brasil / Escriturário) Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães em 75%, o consumo mensal, em Kg, considerando o mês de 30 dias, será de: a) 350 b) 400 c) 450 d) 500 e) 550 SOLUÇÃO: Montando o problema: - Sobre a ração: 04 cães kgs -----> por semana Por mês, então > 240 kgs (considerando 04 semanas no mês) - Sobre os cães: Devemos aumentar a quantidade de cães em 75%. 04 cães x 75 % = 3 Total de cães com aumento de 75% = 7 O grande segredo da questão é o final do problema, onde o enunciado comenta sobre o mês de 30 dias. Ora, se fizemos os cálculos da quantidade de ração consumida a partir da questão central temos: 240 kgs x 75 % = kgs kgs = 420 kgs (Não existe resposta nas opções do problema). 21

22 Porém 04 semanas x 7 dias = 28 dias. O enunciado fala sobre o mês de 30 dias. Assim, temos que achar a quantidade diária consumida inicialmente de ração e depois acrescer o percentual pedido. Observe: --> 60 kgs / 7 = 8,58 (arredondamento) --> 8,58 x 75 % = 6,43 --> 8,58 + 6,43 = 15,00 (arredondamento) --> 15 kgs de ração diária x 30 dias = 450 kgs/mês A resposta correta é a letra c. 24) (Técnico do Seguro Social FCC) Em dezembro, uma loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro, superasse o de A em (A) 11,5%. (B) 12%. (C) 12,5%. (D) 13%. (E) 13,5%. SOLUÇÃO: Veículo A + 10% = 1,1A Veículo B + 20 = 1,15B 22

23 Depois desse aumento ficaram com os preços iguais. Então: 1,1A = 1,15B Em janeiro houve uma redução de: 20% de A = 0,80x1,1A E de 10% na redução do preço de B, que ficou: 10% de B = 0,90x1,15B Com essa redução o preço do veículo B superou o de A em: Relacionamos B com A, conforme pede o problema, fica assim: 0,90x1,15B - 0,80x1,1A O problema diz que 1,1A = 1,15B 0,20x1,1A Então podemos substituir na EXPRESSÃO: 0,90x1,1A - 0,80x1,1A, simplificando fica: 0,80x1,1A = 0,10 = 1/8 = 12,5% 0,80 GABARITO: C NOTA: Pode ser simplificado assim também: Em dezembro os carros valiam o mesmo valor, portanto considerei que valessem R$100,00 no mês seguinte com os descontos de 20% em A e 10% em B, cada um passou a valer 80 e 90 respectivamente, aí a resolução foi a mesma 10/80 igual a 0,125 x 100= 12,5%. 25. O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do custo? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda? 23

24 SOLUÇÃO: L = 40% de C = 40%. C = 0, = 80,00 Portanto, o preço de venda é de R$ 280,00 L/V = 80/280 = 0,2857 X100 = 28,57% Resposta: O preço de venda é de R$ 280,00 e o lucro é de 28,57% em relação ao preço de venda. 25. O custo total de um objeto é de R$200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de custo? 24

25 6. QUESTÕES PROPOSTAS 01. Em uma cerveja há 4% de álcool. Se uma pessoa toma 5 cervejas, com 600 ml cada, quanto ingeriu de álcool? 02. O salário de Pedro é igual a 90% do salário de Antônio e a diferença entre eles é de R$ 5.000,00. Qual é o salário de Pedro? 03. Num concurso de ingresso à Caixa Econômica Federal, inscreveram-se pessoas, das quais são mulheres. a) Qual a porcentagem de mulheres, com relação ao número de homens? b) Qual a porcentagem de homens, com relação ao número de mulheres? 04. Um número A é dividido em 4 partes: a primeira é a quarta parte de A; a segunda é a décima parte de A; e a terceira é a metade de A. Determine a porcentagem de cada parte. 05. O custo total de um certo produto é de R$ % desse custo referem-se à mão-de-obra, 47% desse custo são gastos com matéria-prima e o restante corresponde aos impostos devidos. Ache o valor desses impostos. 06. A produção de uma indústria de calçados passou, em um certo ano, de 600 mil para 720 mil pares. a) Qual foi o aumento percentual de produção? b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da produção nesse ano? 07. Num certo ano, o aumento das mensalidades escolares foi de 54,7%. a) Qual foi o índice ou fator de atualização das mensalidades? b) Se em uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 618,80, qual era o valor anterior? 08. Por quanto se deve vender um automóvel que custou R$ ,00, para se obter um lucro de 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro, se relacionado com o preço de custo? 25

26 09. Por quanto se deve vender um automóvel que custou R$80.000,00, para se obter um lucro equivalente a 40% do preço de custo? Que porcentagem representa o lucro, se relacionado com o preço de venda? 10. Qual o preço de custo de um automóvel que foi vendido por R$60.000,00, com um lucro equivalente a 50% do preço de custo? Que porcentagem representa o lucro, se relacionado com o preço de venda? 11. Um objeto foi comprado por R$4.250,00 e vendido com um prejuízo equivalente a 25% do preço de venda. Qual foi esse preço de venda? Que porcentagem relaciona o prejuízo com o valor de compra? 12. Um objeto foi comprado por R$4.250,00 e vendido com um prejuízo equivalente a 25% do preço de custo. Qual foi esse preço de venda? Que porcentagem relaciona o prejuízo com o preço de venda? 13. Na venda de um artigo escolar, um comerciante teve um prejuízo de 10% do custo. Se o preço de venda foi de R$450,00, qual foi o preço de custo? Que porcentagem relaciona o prejuízo com o preço de venda? 14. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 60% do preço de venda. Qual é o seu lucro em relação ao preço de custo? 15. O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule que porcentagem se deve reduzir do seu preço atual para retornar ao seu custo anterior ao aumento. 16. João ganhava R$ 8.000,00 mensais. Seu salário sofreu reajustes de 44% no primeiro semestre e de 61% no segundo semestre. Quanto João passou a ganhar mensalmente após esse dois aumentos sucessivos? Qual a porcentagem total de aumento em relação ao salário inicial? 17. Uma mercadoria teve aumentos sucessivos de 17% e 24%. Qual o valor de um único aumento equivalente? 18. Um funcionário público tem um reajuste salarial de 47% num certo ano; no ano seguinte, tem um novo reajuste de 74%. Se está ganhando R$ ,60, quanto ganhava antes dos dois reajustes? 26

27 19. Da população total de um país, 60% vivem no campo. Além disso, da população que vive no campo, 60% são mulheres. Qual a porcentagem das mulheres que vivem no campo, em relação ao total da população? 20. Uma fatura de R$ ,00 sofreu dois descontos sucessivos de 3,5% e 5%. Qual foi o valor líquido dessa fatura? Qual a porcentagem equivalente a esses dois descontos? 21. A cada ano que passa, o valor de um carro diminui 10% em relação ao seu valor no ano anterior. Se um carro é comprado por R$ ,00, qual será o seu valor após 3 anos de uso? Qual a porcentagem equivalente a essas três desvalorizações? 22. (FCC TRT 6 - Técnico Judiciário Área Administrativa/2012) Três lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenam do os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente a) 12. b) 22,5. c) 25. d) 33,3. e) (FCC TRT 6 - Analista Judiciário/2012) Na câmara dos deputados de um país, 37% dos deputados compõem a base de sustentação do governo, sendo o restante da oposição. Se 2 em cada 9 deputados da oposição passarem para o bloco governista, os deputados oposicionistas ficarão reduzidos a 294. Dessa forma, a base de sustentação do governo é atualmente composta por a) 296 deputados. b) 259 deputados. c) 252 deputados. d) 240 deputados. e) 222 deputados. 27

28 OBSERVAÇÃO: As questões de porcentagem misturadas com regra de três são muito comuns nos concursos, pois são abordados dois itens do conteúdo em uma única questão. (CESPE) Considere que uma equipe de digitadores tenha sido destacada para a digitação de certo material. Sabendo que 3/5 da equipe, em 4 h de trabalho, digitariam 30% do material e considerando que os elementos da equipe trabalham com a mesma efi ciência, julgue os itens seguintes. 24. ( ) em 8 h de trabalho, 3/4 da equipe digitariam mais de 80% do material. 25. ( ) metade do material seria digitado por 2/3 da equipe em menos de 7 h. 26. ( ) em 10 h de trabalho, para digitar todo o material, seria necessário utilizar 80% da equipe. 27. (FCC Técnico Judiciário TRT 12/ 2010) Um comerciante comprou de um agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual com 60 kg, e, por pagar à vista, obteve um desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao preço de R$ 8,50 o quilograma, ele obteve um lucro de 20% sobre a quantia paga ao agricultor, então o preço de oferta era a) R$ 6 375,00. b) R$ 7 650,25. c) R$ 7 968,75. d) R$ 8 450,50. e) R$ 8 675, (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em a) 18,5%. b) 20%. c) 22,5%. d) 25%. e) 27,5%. 28

29 29. (BB 2010 Escriturário - CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês apos a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, a) 0,5%. b) 3,8%. c) 4,6%. d) 5,0%. e) 5,6%. 30.(TRT 15 região - FCC) Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de processos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso equivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de a) 25% b) 25,25% c) 26,15% d) 26,45% e) 27,05% 29