Vamos lá, meus queridos?...mãos à obra! AULA 00: Proposições e Conectivos Lógicos

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1 Meu nome é Carlos Eduardo, sou professor de Matemática, Estatística, Raciocínio Lógico e Física nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro. Também sou autor do livro RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS e MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS, ambos da editora Método/grupo Gen. A convite do meu amigo Leandro Macedo, estou aqui para conquistar essa vitória com vocês. Vamos lá, meus queridos?...mãos à obra! AULA 00: Proposições e Conectivos Lógicos Bem, nesta aula faremos uma introdução à Lógica, falando sobre Proposições Simples, Proposições Compostas e Conectivos Lógicos. Também mostraremos o que é a negação de uma proposição simples. Não há entendimento do restante do conteúdo programático, sem os fundamentos que apresentaremos aqui. Então vamos lá! Mas antes vamos fazer um pequeno sumário para organizarmos nossas idéias. SUMÁRIO 1. Conceito de Proposição 2. Proposições Simples e Compostas 3. Negação de uma Proposição Simples 4. Conectivos Lógicos 5. Questões Propostas 1. Conceito de Proposição O que é proposição? Vamos ver? Podemos conceituar proposição assim: Proposição é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos entender esse conceito, analisando cada palavra destacada (sublinhada) acima. Pois bem!

2 Se proposição é uma oração, então deve possuir pelo menos um verbo. Se é declarativa, então não pode ser interrogativa nem exclamativa. Possui necessariamente um único valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Daí, podemos citar os seguintes exemplos de proposição: a) A Lua é menor que a Terra. b) Oito é menor que sete. c) João passou na prova. Vejam, caros amigos, que, no exemplo a, temos uma oração (verbo ser ; sujeito: A Lua ; predicado: é menor que a Terra ); além disso, a oração é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) e tem um único valor lógico (verdadeiro). logicamente falsa. No exemplo b, também temos uma oração declarativa Também no exemplo c, temos uma oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa (João passou ou não passou na prova; só existe uma possibilidade). Só pra confrontar, vejamos agora algumas construções que NÃO SÃO CONSIDERADAS PROPOSIÇÕES: a) Sete é um número ímpar? b) Venha cá, meu filho! = 7) c) Duas vezes um número mais três é igual a sete. (2x + 3 proposições. Vejamos porque esses exemplos não são considerados

3 A construção a não é proposição, pois é interrogativa. Lembrem-se de que proposições são sempre orações declarativas e nunca interrogativas ou exclamativas. A construção b não é proposição, pois é exclamativa. E vimos que proposições são sempre orações declarativas e nunca interrogativas ou exclamativas. A construção c não é proposição, pois não pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Vejam, caros amigos, que o valor lógico da expressão depende do valor atribuído à incógnita x. Por exemplo, para x =2, a expressão = 7 é verdadeira, mas pra qualquer outro valor atribuído a x, a expressão é falsa. Expressões desse tipo, ou seja, expressões que contém incógnitas, são classificadas como sentenças abertas, que estudaremos futuramente. Caríssimos, só pra finalizar, vamos acrescentar duas particularidades de uma proposição: Uma proposição deve exprimir um pensamento de sentido completo. Então, não são consideradas proposições as seguintes construções: - é diferente de cinco (falta o sujeito da oração) - João estava (falta o predicado) Mas cuidado! Existem expressões que exprimem pensamento de sentido completo, mas não são consideradas proposições. Por exemplo, as expressões Atenção!, Viva!, Parabéns!, Ai, Raios!, Rua! etc exprimem pensamento de sentido completo, mas não são consideradas proposições.

4 Orações imperativas, ou seja, que exprimem ordem, pedido, advertência, convite etc, não são consideradas proposições. Então, não são proposições as seguintes construções: - Desça daí, menino. (ordem) - Beije-me, querida. (pedido) - Escuta primeiro os teus botões. (advertência) - Sente-se, por favor. (convite) Muito bem, meus amigos! Agora que já sabemos qual o conceito de proposição, vejamos como isso cai na prova. Ah! Mas antes cabe lembrar que vamos dar prioridade ao modelo Cespe/Unb, ok? Caiu na prova! 1 (BB/Cespe-Unb/2007) julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: - O BB foi criado em Faça seu trabalho corretamente. - Manuela tem mais de 40 anos de idade. Comentário: Vimos que proposição é toda oração declarativa (nunca exclamativa, interrogativa ou imperativa), que exprime um pensamento de sentido completo, e que tem necessariamente um único valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Com base nesse conceito, vamos analisar cada uma das construções dadas: - O BB foi criado em 1980 é proposição, pois temos uma oração declarativa (sujeito: O BB; predicado: foi criado em 1980; não é

5 exclamativa, nem interrogativa, nem imperativa), que exprime um pensamento de sentido completo, e tem o valor lógico falso. - Faça seu trabalho corretamente não é proposição, pois é imperativa. - Manuela tem mais de 40 anos é proposição, pois trata-se de uma oração declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo, e que possui um único valor lógico, verdadeiro ou falso (Manuela tem ou não mais de 40 anos; não existe outra possibilidade). Conclusão: Há duas proposições no conjunto de sentenças, conforme afirma o item. Gabarito: certo (C). Agora que ficou claro o conceito de proposição, passemos para o próximo item. Avante! 2. Proposições Simples e Compostas Muito bem! Já sabemos qual o conceito de proposição. Mas qual a diferença entre uma proposição simples e uma proposição composta? Vamos ver? É fácil! Basta lembrar, da Língua Portuguesa, que o verbo (ou a expressão verbal) é a base da oração, ou seja, um único verbo constitui uma única oração, uma única proposição, chamada proposição simples (ou atômica), conforme os casos vistos anteriormente. Já uma proposição composta (molecular) é constituída por dois ou mais verbos, ou seja, são duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos lógicos. Vejam os exemplos abaixo: a) Marcos é advogado e João é dentista. b) Samanta mentiu ou Márcia falou a verdade. c) Se não chover, então Carlos irá à praia. No exemplo a temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo lógico e. No exemplo b, temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo ou. No exemplo c,

6 temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo se...então.... Agora que já sabemos a diferença entre uma proposição simples (ou atômica) e uma proposição composta (ou molecular), vamos resolver mais uma questão que caiu em prova? Mãos à obra! Como o tema poderia ser cobrado em prova? 2 (Questão inédita) Considere as construções abaixo e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). - O homem sábio agiu com tranquilidade. - Carlos e Antenor foram aprovados no concurso. - José não passou, mas Mário foi classificado no concurso. - Se não chover, então Beto irá à praia. I. A primeira é uma proposição lógica simples. II. A segunda é uma proposição lógica composta. III. A terceira é uma proposição lógica simples. IV. A quarta tem dois conectivos lógicos. Comentário: item I A primeira construção é O homem sábio agiu com tranquilidade. Vejam que não há conectivos lógicos. Portanto, é uma proposição lógica simples, conforme afirma o item. Gabarito: certo (C). item II A segunda construção é Carlos e Antenor foram aprovados no concurso. Reparem que o e sublinhado não é um operador lógico, não liga duas proposições simples; ele está apenas unindo os núcleos do sujeito composto Carlos e Antenor. Logo, como não aparecem conectivos lógicos, temos uma proposição lógica simples.

7 Como o item afirma que temos uma proposição composta, o item está errado. Gabarito: errado (E). item III A terceira construção é José não passou, mas Mário foi classificado no concurso. Vejam que aqui temos o conectivo mas = e que liga duas proposições simples, duas orações: José não passou; Mário foi classificado no concurso. Portanto, é uma proposição lógica composta, contrariando a afirmação do item. Gabarito: errado (E). item IV A quarta construção é Se não chover, então Beto irá à praia. Temos aqui um único conectivo lógico: Se...então.... Embora sejam duas palavras ( se e então ), o conectivo é único. Como o item afirma que a construção tem dois conectivos lógicos, o item está errado. Gabarito: errado (E). Muito bem, meus jovens! Vamos em frente! Falaremos agora sobre negação de uma proposição simples. Quanto à negação de uma proposição composta, deixaremos esse assunto pra frente, quando estudarmos equivalências lógicas. 3. Negação de uma Proposição Simples Dada uma proposição simples P qualquer, sempre podemos obter outra proposição P (lê-se: não P ) chamada negação de P, e cujo valor lógico é oposto ao P, ou seja: se P é verdadeira (V), P é falsa (F); se P é falsa (F), P é verdadeira (V). Vejam a tabela seguinte: P P V F F V Vejamos alguns exemplos de como negar uma proposição simples:

8 a) P: João é advogado. P: João não é advogado. b) P: Aline é mentirosa. P: Aline não é mentirosa (ou Aline só fala a verdade). c) P: Oito é menor que vinte. vinte). P: Oito não é menor que vinte (ou Oito é maior ou igual a Então vocês já sabem como se nega uma proposição simples, ok? Mas antes de partirmos para o próximo item, cabe acrescentar que podemos empregar outras expressões que são equivalentes a não P. Vejam que expressões são essas: Não é verdade que P. É falso que P. Daí, as seguintes proposições são equivalentes: Estudar não é fácil. Não é verdade que estudar é fácil. É falso que estudar é fácil. Ah! Outra coisa: é comum o uso do ~ no lugar do, ou seja, escrever ~P é o mesmo que escrever P. Mas o Cespe/Unb prefere como símbolo da negação. Avante! Só pra encerrar o item, vamos resolver uma questão inédita.

9 Como o tema poderia ser cobrado em prova? 3 (Questão inédita) Julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Considere como verdadeiro que Não é verdade que Marcos não está mentindo. Logo, podemos concluir que: I. É mentira que Marcos não está mentindo. II. Não é mentira que Marcos está dizendo verdade. III. É verdade que Marcos não está mentindo. IV. É mentira que Marcos está dizendo a verdade. Comentário: Caríssimos! Reparem que a proposição dada no enunciado é equivalente a Marcos está mentindo, já que trata-se da negação (não é verdade) da proposição Marcos não está mentindo. Agora vamos analisar cada item dado. Estará certo aquele que equivaler a Marcos está mentindo. item I É mentira que Marcos não está mentindo. Reparem que o item afirma que Marcos não está mentindo é uma mentira. Concluímos então que Marcos está mentindo. Portanto, o item está correto. Gabarito: certo (C). item II porque errado. Se Não é mentira que Marcos está dizendo a verdade, é Marcos está dizendo a verdade. Portanto, o item está Gabarito: errado (E). item III Se É verdade que Marcos não está mentindo, então é fácil concluir que Marcos não está mentindo. O item está, portanto, errado.

10 Gabarito: errado (E). item IV Se É mentira que Marcos está dizendo a verdade, então concluímos que Marcos está mentindo. O item está, portanto, correto. Gabarito: certo (C). Vamos partir pra outro assunto? Agora falaremos sobre conectivos lógicos; aqueles usados pra formar proposições compostas. Muito bem! Quando fizemos a diferença entre proposição simples e proposição composta, falamos nos conectivos e, ou e se...então.... Vamos, no item seguinte, fazer um estudo detalhado desses e dos demais conectivos lógicos. 4. Conectivos Lógicos Já sabemos que proposição composta é aquela formada por duas ou mais proposições simples, que vêm ligadas por conectivos lógicos. Então, conectivos lógicos são palavras ou símbolos que usamos para formar proposições compostas, a partir de proposições simples dadas. São conectivos usuais em Lógica Matemática: e, ou, ou...ou..., se...então...,...se e somente se.... Façamos, a partir de agora, um estudo detalhado desses conectivos. Conectivo Λ (lê-se: e ) Quando colocamos o conectivo Λ entre duas proposições simples P e Q, obtemos uma proposição composta P Λ Q, chamada conjunção. Vejam o exemplo seguinte: P: Oito é numero par. (proposição simples) Q: Dois é divisor de 6. (proposição simples) P Λ Q: Oito é número par e dois é divisor de seis. (proposição composta formada pela conjunção de P e Q)

11 Já vimos o que é uma conjunção. Mas resta acrescentar o seguinte: assim como as proposições simples possuem um valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F), devemos também atribuir um valor lógico (V ou F) para as proposições compostas. Então, vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico da conjunção P Λ Q, a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições simples. Vejam: A conjunção P Λ Q será verdadeira se P for verdadeira e Q for verdadeira. Se ao menos uma delas for falsa, P Λ Q será falsa. Vamos resumir esse critério em uma pequena tabela, chamada tabela-verdade, onde são analisadas todas as possibilidades para os valores lógicos de P e de Q. P Q P Λ Q V V V V F F F V F F F F Caríssimos, memorizem esse e os demais critérios. Isso é fundamental para o perfeito entendimento do conteúdo das aulas posteriores. Observem os exemplos seguintes: a) P: 2 < 7. (verdadeiro) Q: 10 > 1. (verdadeiro) P Λ Q: 2 < 7 e 10 > 1. (verdadeiro) b) P: 2 é primo. (verdadeiro) Q: 5 divide 7. (falso) P Λ Q: 2 é primo e 5 divide 7. (falso)

12 Agora que vocês já sabem o que é uma conjunção, e como se atribui o seu valor lógico, vamos resolver duas questões de prova envolvendo o assunto. Caiu na prova! 4 (TRT BA/Cespe-Unb/2008) Considerando a proposição P: Mário pratica natação e judô, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Simbolizando a proposição P por A Λ B, então a proposição Mário pratica natação, mas não pratica judô é corretamente simbolizada por A Λ B. Comentário: Sejam as proposições: A: Mário pratica natação. B: Mário pratica Judô. B: Mário não pratica judô. A proposição composta Mário pratica natação mas não pratica judô também pode ser escrita da forma Mário pratica natação e Mário não pratica judô. Em símbolos, temos: A Λ B. O item está correto. Gabarito: certo (C). Caiu na prova! 5 (BB/Cespe-Unb/2008) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considere que A seja a proposição As palavras têm vida e B seja a proposição Vestem-se de significados, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição A Λ B é falsa. Comentário:

13 Como as proposições A e B são verdadeiras, concluímos que a negação de B, ou seja, B é falsa. Logo, A Λ B é falsa, já que V Λ F = F. Gabarito: certo (C). Conectivo v (lê-se: ou ) Quando colocamos o conectivo v entre duas proposições P e Q, obtemos uma proposição composta P v Q, chamada disjunção. Observem o exemplo seguinte: P: Cinco é número natural. (proposição simples) Q: Dois é número inteiro. (proposição simples) P v Q: Cinco é número natural ou dois é número inteiro. (proposição composta formada pela disjunção de P e Q) Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) da disjunção P v Q, a partir dos valores lógicos de P e de Q. A disjunção P v Q será verdadeira se ao menos uma das proposições P ou Q for verdadeira. Se P e Q forem ambas falsas, então P v Q será falsa. P Q P v Q V V V V F V F V V F F F Exemplos: a) P: 5 > 3. (verdadeiro) Q: 7 é par. (falso) P v Q: 5 > 3 ou 7 é par. (verdadeiro) b)

14 P: Flamengo é time paulista. (falso) Q: A Lua é maior que o Sol. (falso) (falso) P v Q: Flamengo é time paulista ou a Lua é maior que o Sol. Agora que já apresentamos o conectivo v, vamos resolver mais duas questões. Como o tema poderia ser cobrado em prova? 6 (Questão inédita) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considere que a proposição Mário é artista ou jogador de futebol seja logicamente verdadeira. Então, a proposição Mário é artista é necessariamente verdadeira. Comentário: Para facilitar o entendimento, vamos chamar de P a proposição Mário é artista e de Q a proposição Mário é jogador de futebol. O enunciado afirma que P v Q é verdadeira. Vimos que a disjunção P v Q é verdadeira quando ao menos uma das proposições for verdadeira. Então, P pode ser falsa e Q verdadeira. O item está errado, já que ele afirma que P é necessariamente verdadeira. Gabarito: errado (E). Caiu na prova! 7 (TRT-ES/Cespe-Unb/2009) Considere que cada uma das proposições abaixo sejam verdadeiras, e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. Jorge não foi ao centro da cidade. I. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição Manuel declarou o imposto de renda na data

15 correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor lógico verdadeiro. II. Carla pagou o condomínio tem valor lógico falso. III. Tânia não estava no escritório tem, obrigatoriamente, valor lógico verdadeiro. Comentário: Muito bem, caríssimos! Para facilitar a resolução, vamos representar cada proposição simples por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. P: Tânia estava no escritório. Q: Jorge foi ao centro da cidade. R: Manuel declarou o imposto de renda na data correta. S: Carla não pagou o condomínio. Agora vamos representar, em símbolos, as proposições compostas dadas no enunciado. Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade é simbolicamente dada por P v Q. Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio é simbolicamente dada por R Λ S. Jorge não foi ao centro da cidade é dada por Q. Vejam que o enunciado da questão nos garante que TODAS ESSAS PROPOSIÇÕES SÃO VERDADEIRAS. Logo, como Q é verdadeira, Q é falsa. Como P v Q é verdadeira e Q é falsa, concluímos que P é necessariamente verdadeira (lembrem-se de que V v F = V). Como R Λ S é verdadeira, necessariamente R é verdadeira e S é verdadeira. (lembrem-se de que V Λ V = V). Agora que já sabemos o valor lógico de cada proposição simples dada, vamos analisar os itens I, II e III. item I O item afirma que a proposição Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor

16 lógico verdadeiro, ou seja, afirma que R Λ Q é verdadeira. O item está errado, pois vimos que R é verdadeira e Q é falsa; portanto, R Λ Q é falsa. Gabarito: errado (E). item II O item afirma que a proposição Carla pagou o condomínio tem valor lógico falso, ou seja, afirma que S é falsa. O item está correto, pois vimos que S é verdadeira e, consequentemente, sua negação S é falsa. Gabarito: certo (C). item III O item afirma que a proposição Tânia não estava no escritório tem valor lógico verdadeiro, ou seja, afirma que P é verdadeira. O item está errado, já que P é verdadeira e, obrigatoriamente, sua negação P é falsa. Gabarito: errado (E). Além da disjunção inclusiva, ou simplesmente disjunção, que acabamos de estudar, existe a chamada disjunção exclusiva ou...ou. Vamos ver a diferença entre as duas? Conectivo v (lê-se: Ou...ou... ) Caríssimos jovens, é importante não confundir a disjunção ou (símbolo v ) com a disjunção exclusiva ou...ou... (símbolo v). Vamos exemplificar a diferença entre elas. Vejam as proposições as proposições seguintes: - Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma pulseira. (disjunção) - Ou Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma pulseira. (disjunção exclusiva) Reparem, no primeiro exemplo, que sendo a proposição Mário vai ganhar um relógio verdadeira, a segunda Mário vai ganhar uma pulseira também pode ser verdadeira, ou seja, Mário pode ganhar os dois presentes. Já no segundo exemplo, temos uma disjunção exclusiva, ou seja, Mário pode ganhar um ou outro presente, mas não os dois. Então vejamos qual o critério utilizado para estabelecer o valor lógico da disjunção exclusiva.

17 A disjunção exclusiva P v Q será verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Nos demais casos, ou seja, quando ambas as proposições forem verdadeiras ou falsas, a disjunção exclusiva será falsa. Observem a tabela verdade: P Q P v Q V V F V F V F V V F F F Vejam os exemplos seguintes: a) P: O Brasil será campeão da Copa do Mundo de (verdadeiro) (falso) Q: A Argentina será campeã da Copa do Mundo de P v Q: Ou o Brasil será campeão da Copa do Mundo de 2014 ou a Argentina será campeã da Copa do Mundo de (verdadeiro) Reparem, nesse exemplo, que não há possibilidade de as duas seleções serem, ao mesmo tempo, campeãs do torneio. Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, devemos ter que se uma proposição for verdadeira, a outra deverá ser necessariamente falsa. b) P: 4 é múltiplo de 3. (falso) Q: 7 é par. (falso) P v Q: Ou 4 é múltiplo de 3 ou 7 é par. (falso) Você quer saber como esse assunto pode aparecer na sua prova?...então vamos resolver mais duas questões. Avante! Como o tema poderia ser cobrado em prova?

18 8 (Questão inédita) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E) Amanda, Bia e Cátia são atrizes que vão desempenhar diferentes papeis em uma peça: bruxa, fada e princesa. Sabese que: ou Amanda é bruxa, ou Cátia é bruxa; ou Amanda é fada, ou Bia é princesa; ou Cátia é princesa, ou Bia é princesa; ou Bia é fada ou Cátia é fada. Com essas informações é correto concluir que Amanda desempenhará o papel de bruxa. Comentário: P: Amanda é bruxa. Q: Cátia é bruxa. R: Amanda é fada. S: Bia é princesa. T: Cátia é princesa. U: Bia é fada. V: Cátia é fada. Sejam as proposições: De acordo com o enunciado, temos as seguintes premissas, admitidas como VERDADEIRAS: Ou Amanda é bruxa ou Cátia é bruxa, isto é, P v Q. (premissa 1) Ou Amanda é fada ou Bia é princesa, isto é, R v S. (premissa 2) Ou Cátia é princesa ou Bia é princesa, isto é, T v S. (premissa 3) Ou Bia é fada ou Cátia é fada, isto é, U v V. (premissa 4) A partir desse conjunto de premissas verdadeiras, vamos chegar a uma conclusão também verdadeira. Vamos lá?! Como a proposição S aparece mais vezes, nas premissas 2 e 3, vamos atribuir a ela o valor V(verdadeiro) e depois o valor F(falso); não é possível um terceiro valor. Veremos que apenas um

19 desses dois valores (V ou F, para a proposição S ) satisfaz à condição de todas as premissas serem verdadeiras. Mas antes de atribuirmos esses valores, lembrem-se de que, com o conectivo v ( ou exclusivo ), a proposição composta será verdadeira se uma das proposições simples for verdadeira e a outra for falsa. Como dissemos anteriormente, vamos atribuir valores pra S nas premissas 2 e 3. premissa 2: R v S. Se admitirmos que S é verdadeira, R deve ser falsa, para que R v S seja verdadeira, conforme o enunciado. premissa 3: T v S. Foi Admitido que S é verdadeira. Então, T deve ser falsa, para que a premissa T v S seja verdadeira, conforme o enunciado. Muito bem! Vejam que, admitindo S como verdadeira, podemos escrever o seguinte: - Bia é a princesa. ( S é verdadeira) - Amanda não é a fada. ( R é falsa) - Cátia não é a princesa. ( T é falsa) Conclusão: Bia é a princesa. Como Amanda não é a fada nem a princesa (a princesa é Bia), Amanda é a bruxa. Por eliminação, Cátia só pode ser a fada. Bem, ainda não terminamos! Devemos testar esses valores nas outras premissas (1 e 4), e verificar se não há contradição, ou seja, se as premissas 1 e 4 também são verdadeiras. premissa 1: P v Q. Ou Amanda é bruxa (V) ou Cátia é bruxa (F) é logicamente verdadeira. premissa 4: U v V. Ou Bia é fada (F) ou Cátia é fada (V) é logicamente verdadeira. Vejam que NÃO HÁ CONTRADIÇAO; todas as premissas são verdadeiras. Logo, a nossa conclusão anterior é correta, ou seja, Cátia é a fada, Bia é a princesa e Amanda é a bruxa. O item está, portanto, correto. Gabarito: certo (C).

20 Ah! Antes de encerrar a questão, cabe lembrar que, se admitíssemos a proposião S como falsa, chegaríamos a uma contradição, ou seja, as premissas não seriam todas verdadeiras. Vamos ver? Nas premissas 2 e 3 (verdadeiras), se S é falsa (Bia não é a princesa), então R deve ser verdadeira (Amanda é a fada), e T deve ser verdadeira (Cátia é a princesa). Por eliminação, concluímos que Bia é a bruxa. Agora vamos atribuir esses valores às outras premissas (1 e 4), e chegaremos a uma contradição, isto é, as premissas 1 e 4 serão falsas, contrariando o enunciado da questão. premissa 1: P v Q. Ou Amanda é a bruxa (F) ou Cátia é bruxa (F) é uma proposição logicamente falsa. premissa 4: U v V. Ou Bia é a fada (F) ou Cátia é a fada (F) é uma proposição logicamente falsa. E então, perceberam porque S só admite o valor verdadeiro (V)? Esse tipo de solução pode ser chamado de MÉTODO DAS TENTATIVAS: Admitimos uma hipótese, e verificamos se há ou não contradição; se não houver, a hipótese admitida é a correta. Vamos resolver mais uma questão desse modelo? Avante, caríssimos! Caiu na prova! 9 (PREF. NATAL/ESAF/2008) X, Y e Z são números inteiros. Um deles é par, outro é ímpar, e o outro é negativo. Sabe-se que: ou X é par ou Z é par; ou X é ímpar ou Y é negativo; ou Z é negativo ou Y é negativo; ou Y é ímpar ou Z é ímpar. Assim: a) X é par, Y é ímpar e Z é negativo; b) X é par, Y é negativo e Z é ímpar; c) X é ímpar, Y é negativo e Z é par; d) X é negativo, Y é par e Z é ímpar; e) X é ímpar, Y é par e Z é negativo. Comentário:

21 Mais uma questão de disjunção exclusiva que resolveremos pelo MÉTODO DAS TENTATIVAS. P: X é par. P: X é ímpar. Q: Z é par. Q: Z é ímpar. Sejam as proposições: R: Y é negativo. S: Z é negativo. T: Y é ímpar. Vamos representar com símbolos todas as premissas verdadeiras do enunciado. Ou X é par ou Z é par, isto é, P v Q. Ou X é ímpar ou Y é negativo, isto é, P v R. Ou Z é negativo ou Y é negativo, isto é, S v R. Ou Y é ímpar ou Z é ímpar, isto é, T v Q. Por hipótese, vamos admitir que P é verdadeira (X é par). Então: Na disjunção exclusiva P v Q, como P é verdadeira, Q deve ser falsa. Na disjunção exclusiva P v R, como P é falsa (já que P é verdadeira), R deve ser verdadeira. Na disjunção exclusiva S v R, como R é verdadeira, S deve ser falsa. Na disjunção exclusiva T v Q, como Q é verdadeira (pois já vimos que Q é falsa), T deve ser falsa. Resumindo, temos: P é verdadeira, ou seja, X é par.

22 Q é falsa, ou seja, Z é ímpar. R é verdadeira, ou seja, Y é negativo. Gabarito: letra B. Reparem que nossa por hipótese foi: P é verdadeira (X é par). Se admitirmos qualquer uma das outras duas hipóteses para X (ímpar ou negativo), chegaremos a uma CONTRADIÇÃO. Por exemplo, façamos X ímpar; teremos que Z é par, e Y não é negativo, o que é uma contradição, pois se já temos o número par (Z) e o ímpar (X), o terceiro (Y) deveria ser, necessariamente, o número negativo. Agora só falta falarmos em dois conectivos lógicos: o condicional e o bicondicional. Vamos lá?! Conectivo (lê-se: se...então... ) Quando colocamos o conectivo entre duas proposições simples P e Q, obtemos uma proposição composta P Q (lê-se: se P, então Q ), chamada condicional. Vejam os exemplos seguintes: a) P: Ana foi ao parque. Q: Marcos ficou em casa. P Q: Se Ana foi ao parque, então Marcos ficou em casa. b) P: 5 divide 30. Q: 20 é múltiplode 4. P Q: Se 5 divide 30, então 20 é múltiplo de 4. Vamos postular um critério para a determinação do valor lógico (V ou F) de P Q. A proposição P Q é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa. Em qualquer outro caso, P Q é verdadeira. Vejam a tabela verdade que resume o critério anterior:

23 P Q P Q V V V V F F F V V F F V Exemplos: a) P: Cinco é menor que sete. (verdadeiro) Q: Dois é divisor de seis. (verdadeiro) P Q: Se cinco é menor que sete, então dois é divisor de seis. (verdadeiro) b) P: Todo número par é múltiplo de dois. (verdadeiro) Q: Cinco não é primo. (falso) P Q: Se todo número par é múltiplo de dois, então cinco não é primo. (falso) Caríssimos, antes de partirmos para os exercícios, é importante acrescentar que, na proposição P Q, dizemos que P é condição suficiente para Q; e Q é condição necessária para P. Também podemos dizer que P é o antecedente e Q é o consequente. Vamos aos exercícios? Agora são três questões que foram cobradas em concursos anteriores realizados pelo Cespe/UnB. Caiu na prova! 10 (INSS/CESPE/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não

24 admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função e que B represente a proposição simples É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão. Considerando as proposições A e B, julgue os itens seguintes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao Raciocínio Lógico. I. A proposição composta Se A, então B é necessariamente verdadeira. II. Sabe-se que uma proposição na forma A ou B tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta A ou B, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira. Comentário: item I Sabemos que a proposição Se A, então B, simbolicamente representada por A B, é falsa se tivermos V(verdadeiro) F(falso) ; em todos os outros casos, a proposição A B é verdadeira, ou seja, V F = F, V V = V, F F = V, F V = V. De acordo com o texto, no que se refere ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, a proposição A é verdadeira e a proposição B é falsa. Logo, a proposição composta A B é falsa (V F = F). Como o item afirma que A B é verdadeira, o item está errado. Gabarito: errado (E). item II Sabemos que a proposição composta A ou B, chamada disjunção e representada simbolicamente por A v B, é falsa quando A e B são ambas falsas; em todos os outros casos, A v B é verdadeira, ou seja, V v V = V, V v F = V, F v V = V, F v F = F.

25 No texto dado no enunciado, vimos que A é verdadeira e B é falsa. Logo, A v B é verdadeira (V v F = V). O item está, portanto, correto. Gabarito: certo (C). Caiu na prova! 11 (TCU/Cespe-Unb/2004) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir: I. A sentença Hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Λ Q). II. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Λ Q. III. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como falsa e a proposição José foi à praia for valorada como verdadeira, então a sentença representada por P v Q é falsa. Comentário: Muito bem! Vamos lá? Primeiramente, vamos esquematizar os dados do enunciado. As proposições simples e suas respectivas negações são: P: Hoje choveu. Q: José foi à praia. R: Maria foi ao comércio. P: Hoje não choveu. Q: José não foi à praia. R: Maria não foi ao comércio. Agora vamos analisar cada item. item I

26 A sentença (Se) Hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia é simbolicamente representada por P ( R Λ Q). O item está correto. Gabarito: certo (C). item II A sentença Hoje choveu e José não foi à praia é simbolicamente representada por P Λ Q. O item está certo. Gabarito: certo (C). item III Temos que: Hoje não choveu = P = F (falsa). José foi à praia = Q = V (verdadeira). Vimos que a disjunção (v) será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira, e será falsa quando ambas as proposições forem falsas. Logo, a sentença representada por P v Q é logicamente verdadeira (V), já que F v V = V. Como o item afirma que a sentença é falsa, o item está errado. Gabarito: errado (E). Muito bem, meus amigos! Agora vamos resolver uma questão que caiu na última prova para o cargo de papiloscopista da Polícia federal. Esse concurso foi realizado em Vamos resolver apenas o item I. O item II, de raciocínio análogo, vai ficar como questão proposta. Caiu na prova! Vejam que molezinha! 12 (Papiloscopista - DPF/Cespe Unb/2004) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas como verdadeiras (V) ou falsas(f). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P Q, que será falsa

27 quando P for verdadeira e Q for falsa, ou V nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ou Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P Λ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto acima, julgue o item subseqüente. As tabelas de valorações das proposições P Q e Q P são iguais. Comentário: Vamos construir as tabelas de valorações das proposições P Q e Q P, e depois compará-las. Vejam: P Q P Q V V V V F F F V V F F V P Q P Q P V V F F

28 V F F V F V V V F F V V Comparando as últimas colunas dessas tabelas, notamos que são diferentes. Por exemplo, na primeira linha, quando P e Q são logicamente verdadeiras, P Q é logicamente verdadeira, e Q P falsa. Como o item afirma que as tabelas são iguais, o item está errado. Gabarito: errado (E). Oh! só pra lembrá-los, faremos um estudo mais detalhado dessas tabelas em aulas posteriores. Muito bem, caríssimos! Vamos ao último conectivo? Agora é o conectivo...se e somente se.... Com ele, encerramos o conteúdo teórico desta aula OO. Conectivo (lê-se:...se, e somente se,... ) Quando colocamos o conectivo entre duas proposições P e Q, obtemos uma nova proposição P Q (lê-se: P se, e somente se, Q ), chamada bicondicional. Vejam os exemplos: a) P: 7 é número ímpar. Q: 18 é divisor de P Q: 7 é número ímpar se, e somente se, 18 é divisor de b) P: Um trapézio tem dois lados paralelos. Q: Um triângulo tem três lados.

29 P Q: Um trapézio tem dois lados paralelos se, e somente se, um triângulo tem três lados. Vamos postular um critério para determinar o valor lógico (V ou F) do bicondicional P Q, a partir dos valores lógicos conhecidos de P e Q. O bicondicional P Q é verdadeiro somente quando P e Q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em qualquer outro caso, o bicondicional é falso. Vejam a tabela-verdade que resume o critério anterior. Comparem essa tabela-verdade com as outras vistas anteriormente. P Q P Q V V V V F F F V F F F V Vamos aos exemplos: a) P: 8 divide 16. (verdadeiro) Q: 5 é múltiplo de 25. (falso) (falso) P Q: 8 divide 16 se, e somente se, 5 é múltiplo de 25. b) P: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a hipotenusa. (falso) Q: A área de triângulo é a base vezes a altura. (falso) P Q: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a hipotenusa se, e somente se, a área de um triângulo é a base vezes a altura. (verdadeiro)

30 OBSERVAÇÃO: No bicondicional P Q, dizemos que P é condição necessária e suficiente para Q; e Q é condição necessária e suficiente para P. Vamos resolver uma questão referente ao assunto? Caiu na prova! 13 (STN/Esaf/98) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre: a) D ocorre e B não ocorre; b) D não ocorre e A não ocorre; c) B e A ocorrem; d) nem B nem D ocorrem; e) B não ocorre ou A não ocorre. Comentário: Sabemos que, no condicional P Q, a proposição P é condição suficiente para Q e a proposição Q é condição necessária para P; no bicondicional P Q, a proposição P é condição necessária e suficiente para Q e a proposição Q é condição necessária e suficiente para P. De acordo com o enunciado, temos: C B; B D; D A Assim, quando C ocorre, temos: C B: Como C é verdadeira, B é necessariamente verdadeira. B D: Como B é verdadeira, D é necessariamente verdadeira. D A: Como D é verdadeira, A é necessariamente verdadeira. Resumindo: A, B, C e D são logicamente verdadeiras, isto é, ocorrem.

31 Gabarito: letra c. Ufa!!! Finalmente encerramos a aula 00. Espero que tenham tido 100% de aproveitamento. Pra conferir, segue uma coletânea de questões de provas anteriores. Vamos começar a aula 01 resolvendo essas questões. Caprichem e até a próxima!!! 5. Questões Propostas 01 - (TRT-BA/2008) Considerando a proposição P: Mário pratica natação e judô, julgue o item seguinte. Simbolizando a proposição P por A B, então a proposição Mário pratica natação mas não pratica judô é corretamente simbolizada por A v B. 02 (STF/Cespe-Unb/2008) Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). I. A proposição O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q R) P. simbolicamente por (Q R) P. II. A proposição Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego pode ser representada simbolicamente por Q S. III. A proposição Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P ( R). 03 (TRE-MT/Cespe-Unb/2010) Os 21 vereadores de determinada câmara municipal são filiados aos partidos A, B e C. Sabe-se que a quantidade de vereadores do partido A é igual à metade da quantidade de vereadores do partido B e

32 igual ao dobro da quantidade de vereadores do partido C. Tendo como referência a situação apresentada, considerando os conectivos lógicos que significa e, v que significa ou, que significa não, julgue o item seguinte: A proposição Se o partido A tem 8 vereadores, então o partido C tem 4 vereadores é uma proposição verdadeira. 04 (TJ-SE/FCC/2009) Considere as seguintes premissas: P: Trabalhar é saudável. Q: O cigarro mata. A afirmação trabalhar não é saudável ou o cigarro mata é falsa se: (A) P é falsa e Q é falsa. (B) P é falsa e Q é falsa. (C) P e Q são verdadeiras. (D) P é verdadeira e Q é falsa. (E) P é verdadeira e Q é falsa. 05 (MPA/FEC/2010) Sabemos que Rita vai à praia ou ao cinema é uma proposição logicamente verdadeira. Ocorre que Rita não foi ao cinema, logo: (A) Rita não foi à praia. (B) Rita foi à praia. (C) Rita foi à praia e ao cinema. (D) Rita pode não ter ido à praia. (E) Rita foi ao cinema. 06 (ENAP/Esaf/2006) Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo: (A) Gerusa e Maribel são as culpadas; (B) Carmem e Maribel são culpadas; (C) somente Carmem é inocente; (D) somente Gerusa é culpada; (E) somente Maribel é culpada. 07 (MTE/Esaf/2008) De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço.

33 Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: (A) Caio e José. (B) Caio e Adriano. (C) Adriano e Caio. (D) Adriano e José. (E) José e Adriano. 08 (FISCAL-RECIFE/Esaf/2003) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se, e somente se, Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: (A) Caio e Beto são inocentes. (B) André e Caio são inocentes. (C) André e Beto são inocentes. (D) Caio e Dênis são culpados. (E) André e Dênis são culpados. 09 (MTE/Esaf/2003) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo: (A) não durmo, estou furioso e não bebo; (B) durmo, estou furioso e não bebo; (C) não durmo, estou furioso e bebo; (D) durmo, não estou furioso e não bebo; (E) não durmo, não estou furioso e bebo. 10 (EMBASA/Cespe-Unb/2010) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considerando que as proposições A, B, B C e (A B) (C D) sejam verdadeiras, então a proposição D será, obrigatoriamente, verdadeira. Gabarito 01 E 02 E/C/C 03 E 04 D 05 B 06 B 07 B 08 B 09 D 10 C

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