RUBENS RIBEIRO JACOB MANOBRA ORBITAL TERRA-LUA -TERRA

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1 RUBENS RIBEIRO JACOB MANOBRA ORBITAL TERRA-LUA -TERRA Dissetação apesentada à Faculdade de Engenhaia do Campus de Guaatinguetá, Univesidade Estadual Paulista, paa a obtenção do título de Meste em Física na áea de Dinâmica Obital. Oientado: Pof. D. Rodolpho Vilhena de Moaes Guaatinguetá 009

2 J5m Jacob, Rubens Ribeio Manoba obital tea-lua-tea / Rubens Ribeio Jacob. Guaatinguetá : [s.n.], f. : il. Bibliogafia: f. -4 Dissetação (mestado) Univesidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenhaia de Guaatinguetá, 009 Oientado: Pof. D. Rodolpho Vilhena de Moaes. Óbitas -Manobas I. Título CDU 5.

3 DADOS CURRICULARES RUBENS RIBEIRO JACOB NASCIMENTO FILIAÇÃO 975/ São Paulo / SP Conado Ribeio Jacob Ignez Simonetti Ribeio Jacob Cuso de Gaduação Engenhaia Mecânica na Faculdade de Engenhaia de Guaatinguetá do campus de Guaatinguetá / UNESP 00/00 Cuso de Especialização Lato Sensu em Matemática e Estatística na Univesidade Fedeal de Lavas 007/009 Cuso de Pós-Gaduação em Física, nível de Mestado, na Faculdade de Engenhaia do Campus de Guaatinguetá da Univesidade Estadual Paulista.

4 de modo especial,aos meus pais, que com muito esfoço, dedicação e amo me ajudaam na minha fomação como pessoa e como pofissional. E a minha esposa pela compeensão e incentivo à execução de meu tabalho.

5 AGRADECIMENTOS Em pimeio luga agadeço a Deus, pela minha saúde, dedicação, peseveança, foça de vontade, po tudo que eu tenho conseguido até aqui, e pela opotunidade de esta fazendo mestado. em especial, agadeço ao meu oientado Pof. D. Rodolpho Vilhena de Moaes, que com sua compeensão, dedicação e paciência, colaboou imensamente paa que eu pudesse ealiza este tabalho. á minha esposa, Valquiia, e à minha filha, Thaís, que com muita compeensão, apoio e incentivo me auxiliaam na execução deste tabalho. á Doutoa Rita de Cássia que com sugestões muito colaboou na ealização do tabalho. ao Pof. D. Antonio Fenando Betachini de Almeida Pado, pela sugestão ao meu tabalho. ao meste Jean Paulo dos Santos Cavalho que me auxiliou em algumas dificuldades que sugiam. aos pofessoes da pós-gaduação pelos ensinamentos. aos colegas da pós-gaduação que me auxiliaam em algumas dificuldades. á Faculdade de Engenhaia de Guaatinguetá pelo apoio.

6 Este tabalho contou com apoio da CAPES

7 Se vi mais longe é poque me encontava em ombos de gigantes Isaac Newton

8 JACOB, R. R. Manoba Obital Tea-Lua-Tea. 009, 7 f. Poposta de dissetação (Mestado em Física) Faculdade de Engenhaia do campus de Guaatinguetá, Univesidade Estadual Paulista, Guaatinguetá, 009. RESUMO No pesente tabalho é abodada a manoba obital Tea-Lua - Tea com o objetivo de um meno consumo de combustível. Inicialmente o satélite executa uma óbita em tono da Tea. Em um ceto instante um impulso é efetuado paa efetua uma manoba não con-focal em que o satélite é tansfeido paa uma óbita de tansfeência geocêntica até um ponto da esfea de influência da Lua. A pati deste ponto o satélite é tansfeido paa uma óbita hipebólica em tono da Lua, e, no peilúnio desta óbita um novo impulso é dado tansfeindo o satélite paa uma óbita luna. A segui é efetuada a manoba de volta em que o satélite é tansfeido paa a óbita geocêntica de tansfeência, e no peicento desta o satélite é tansfeido paa a sua óbita inicial em tono da Tea. O caso não coplana e a influência das petubações devidas ao achatamento da Tea e a atação gavitacional da Lua também são analisados.. PALAVRAS-CHAVES: Manoba Obital, Petubações Obitais, Missão Luna

9 JACOB, R.R. Eath-Moon-Eath Obital Maneuve. 009, 7 f. Dissetação (Mestado em Física) Faculdade de Engenhaia do Campus de Guaatinguetá, Univesidade Estadual Paulista, Guaatinguetá, 009. ABSTRACT In the pesent wok an Eath-Moon-Eath obital maneuve is studied with the pupose of minimum fuel consumption. Initially it is consideed an atificial satellite obiting aound the Eath. In a cetain instant an impulse is effected to effect a not cofocal maneuve whee the satellite is tansfeed to an obit of geocentic tansfeence until a point of the sphee of influence of the Moon. Fom this point the satellite is tansfeed to a hypebolic obit aound the Moon, and, in the peilúnio of this obit a new impulse is given tansfeing the satellite to a luna obit. To follow the maneuve is effected in etun whee the satellite is tansfeed to geocentic obit of tansfeence, and in peicento of this the satellite is tansfeed to its initial obit aound the Eath. The non-coplana case and the influence of the distubances due to the flattening of the Eath and the gavitational attaction of the Moon also ae analyzed. KEYWORDS: Obital Maneuve, Obital Petubations, Luna Mission

10 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... ÓRBITAS E TRANSFERÊNCIA ORBITAL DINÂMICA DO SISTEMA Modelagem simples de dois copos Modelagem de dois copos petubados Modelagem de tês copos Modelagem com N copos...0. CONTROLE APLICADO Empuxo infinito Empuxo contínuo...0. MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO..... Método dieto..... Método indieto..... Método híbido....4 MANOBRAS ORBITAIS Tansfeência de Hohmann Caso geal de tansfeência ente duas óbitas ciculaes planaes Tansfeência de Hoeke e Silbe ( bi elíptica e ti impulsiva ) Tansfeência bi-paabólica Tansfeência de óbita, co-focais, coplanaes e elípticas Tansfeência ente óbitas elípticas de mesma dimensão, coplanaes e não coaxiais Tansfeência ente óbitas ciculaes não coplanaes de mesmo aio ESTUDO DO PROBLEMA MANOBRA PROPOSTA INFLUÊNCIA DO ACHATAMENTO DA TERRA PERTURBAÇÃO DO TERCEIRO CORPO Cálculo de R Cálculo de R Cálculo de R TRANSFERÊNCIA DE SATÉLITE EM ÓRBITA CIRCULAR NA TERRA PARA ÓRBITA CIRCULAR AO REDOR DA LUA INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DA TRANSFERÊNCIA TRAJETÓRIA DENTRO DA ESFERA DE INFLUÊNCIA LUNAR TRAJETÓRIAS LUNARES NÃO COPLANARES APLICAÇÃO ENCONTRO COM A ESFERA DE INFLUÊNCIA DA LUA NO APOGEU DA ELIPSE DE TRANSFERÊNCIA... 80

11 6. CÁLCULO DA VELOCIDADE NO PONTO DE ENCONTRO COM A ESFERA DE INFLUÊNCIA DA lua DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DE VELOCIDADE NA CHEGADA À ESFERA DE INFLUÊNCIA CONSIDERANDO A LUA PARADA E EM MOVIMENTO TRANSFERÊNCIA DE HOHMANN PARA UMA ÓRBITA CIRCULAR FINAL EM TORNO D LUA CÁLCULO DA VARIAÇÃO TOTAL DE VELOCIDADE TRANSFERÊNCIA DE SATÉLITE PARA LUA CONSIDERANDO O SATÉLITE EM ÓRBITA INCLINADA EM TORNO DA TERRA TRANSFERÊNCIA DO SATÉLITE CONSIDERANDO O ACHATAMENTO DA TERRA APLICAÇÃO MANOBRA DE RETORNO PARA A TERRA CONCLUSÃO TRABALHOS FUTUROS...0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA APENDICE A TERMOS DA FUNÇÃO PERTURBADORA E EXPRESSÃO DA FUNÇÃO PERTURBADORA

12 INTRODUÇÃO A pesquisa tem como objetivo o estudo de missões com economia de combustível, envolvendo tansfeência de satélite, obitando inicialmente a Tea paa óbita ao edo da Lua, e tansfeindo paa uma óbita selenocêntica. A tansfeência seá analisada em função do mínimo consumo de combustível, fato pepondeante paa as missões planejadas atualmente. Tês análises são impotantes neste tabalho: Na pimeia análise o satélite inicialmente obita a Tea em tajetóia elíptica, sendo em seguida tansfeido paa uma óbita geocêntica de tansfeência paa se conduzido a uma óbita luna. Na segunda análise, o satélite é tansfeido paa uma óbita cicula intemediáia até atingi a tajetóia geocêntica de tansfeência paa se conduzido a uma óbita luna. Na teceia análise estuda-se a influência do achatamento da Tea, onde o satélite obita a Tea po um ceto tempo, dependendo da missão. Após este tempo o satélite, atavés de uma óbita cicula intemediáia, é tansfeido paa uma óbita de tansfeência geocêntica paa depois se conduzido a uma óbita luna. Após uma abodagem inicial, baseada no poblema dos dois copos, efeitos petubadoes seão intoduzidos: petubação po um teceio copo e a influência do achatamento da Tea. Na fase em que a Tea é o foco, no movimento do satélite seá consideado o efeito do achatamento da Tea e a petubação da Lua.paa o caso de missões que exijam longo tempo de espea antes de inicia a manoba de tansfeência Este tabalho é composto de capítulos. No pimeio Capítulo dissetamos sobe os objetivos do tabalho poposto. No segundo Capítulo é feita uma evisão bibliogáfica de alguns dos pincipais tabalhos científicos. No teceio Capítulo foi feita uma abodagem teóica sobe óbitas e sobe algumas das pincipais manobas de tansfeências. O quato capítulo apesenta a manoba poposta e uma abodagem matemática da influência do achatamento da Tea e da petubação do teceio copo. No quinto Capítulo é feita a descição da tansfeência de um satélite em óbita cicula ao edo da Tea paa uma óbita cicula ao edo da Lua atavés do método patched conics, mostando uma aplicação do método. É feita também uma descição

13 sobe tajetóias lunaes não coplanaes. O sexto Capítulo tata da tansfeência paa a Lua via elipse de enegia mínima. No sétimo capítulo considea-se o satéliteinicialmente em óbita inclinada em tono da Tea com posteio mudança de plano. Após a mudança de plano o satélite é tansfeido paa a Lua. No oitavo Capítulo é feita uma abodagem do efeito do achatamento da Tea na óbita do satélite em tono da Tea. Posteiomente é feito o estudo da tansfeência do satélite paa a Lua. No nono Capítulo são feitas aplicações mostando, paa deteminadas condições iniciais, atansfeência ótima. Um pogama elaboado em linguagem FORTRAN (Melo, 005) é utilizado em um deteminado instante paa ajusta convenientemente (de foma ótima) a fase de tansfeência não confocal (condições de saída e chegada). É também feita uma aplicação consideando inicialmente o achatamento da Tea e posteio tansfeência paa a Lua. No décimo Capítulo é descita a tansfeência do satélite da Lua paa a Tea. E finalmente, no décimo pimeio capítulo é elatada conclusão do tabalho.

14 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Muitos tabalhos foam desenvolvidos com espeito a teoia da petubação do teceio copo. Kozai (959) elaboou um atigo onde é feito um estudo da petubação dos seis elementos obitais com elação à óbita fechada de um satélite em tono da Tea. Não são feitos agumentos sobe a odem de gandeza a excenticidade e inclinação. É assumido que a Tea se distibui de maneia simética em elação ao seu eixo de otação. Neste mesmo ano Kozai esceve um atigo onde apesenta os temos seculaes e de longo peíodo da função petubadoa paa um satélite em movimento sob a atação gavitacional do Sol e da Lua. Kaula (96) deteminou uma fómula paa petubação no movimento de satélites atificiais devido a hamônicos tesseais do potencial gavitacional da Tea. Sua fómula pemite detemina petubações em elementos obitais kepleianos e tem sido comumente usada em cálculo de petubação paa hamônicos tesseais de baixo gau e odem. Cook (96), também estudou a influência da atação gavitacional do Sol e da Lua nos elementos obitais de um satélite obitando a Tea utilizando as equações planetáias de Lagange. São também utilizadas equações paa avalia mudanças nos elementos duante uma evolução do satélite e a taxa média desses elementos. Kozai (96) deteminou petubações seculaes de asteóides de gande inclinação e excenticidade consideando óbita cicula de Júpite. Kopal (966) deteminou petubações nas óbitas de satélites atificiais atavés de atações de copos extenos, e Gaposchskin (966) foneceu fómula explícita paa o cálculo de petubação luna de pimeia odem paa peíodo de tempo de duas semanas. Consideou que o movimento da Lua se ealiza em uma óbita Kepleiana com excenticidade despezível. Matyenko (967) ealizou estudos a espeito da estabilidade de dois satélites de peíodo obital de 4 hoas sob o efeito das petubações do Sol e da Lua. Kause (967) deteminou petubações seculaes da óbita de um satélite devido ao achatamento do copo cental e também devido a atação gavitacional do teceio copo.

15 4 Vagnes (968) efetuou um estudo semi-analítico paa o compotamento de um satélite em óbita luna fechada. Consideou a Tea movendo-se em um cículo no plano equatoial luna. Giacaglia (970), em seu atigo, apesentou uma solução semi analítica do movimento de um satélite da Lua. Os efeitos petubativos consideados incluem aqueles devido a atação da Lua, Tea e Sol, a não esfeicidade do campo gavitacional da Lua, acoplamento de temos de pequena odem, pessão de adiação sola e libação física. Foam obtidos temos de cuto peíodo e temos de peíodos intemediáios. Foi poposto obte petubações seculaes e aquelas dependentes somente do agumento do peigeu atavés da integação numéica das equações do movimento. Os temos de cuto peíodo e os temos de peíodo intemediáio são desenvolvidos acima da segunda odem. As petubações seculaes e petubações dependentes do agumento do peigeu são obtidas na teceia odem. Vagnes (970) também estudou o compotamento de satélite luna com óbita de baixa excenticidade paa temos de longo peíodo. Kozai (97) encontou um novo método paa detemina petubações do Sol e da Lua em movimentos de satélites. Neste mesmo ano, Kozai esceveu um atigo, onde equações difeenciais são deivadas elatando petubações dos elementos obitais de um satélite pelo movimento do plano equatoial da Tea. Cok (978) deteminou efeitos de petubações da Lua sobe um satélite em óbita fechada ao edo da Tea devido ao deslocamento da óbita da Lua. Kaufman (978), Alfiend (978) e Dasembock (978) utilizaam a teoia da petubação paa a análise do movimento de uma patícula ao edo de um copo achatado consideando os efeitos da Lua e do Sol. O pincipal objetivo foi o desenvolvimento de temos peiódicos de pimeia odem e temos seculaes de segunda odem. Chao (979) esceveu um atigo mostando as petubações no movimento de um satélite atificial teeste devido ao Sol e à Lua, Tais petubações foam deivadas unicamente da função petubadoa. A solução de pimeia odem é obtida analiticamente integando as equações de vaiações, incluindo J, J, J e J 4. A pate secula da solução de pimeia odem é incluída na óbita de efeência. As óbitas do Sol e da Lua são consideadas ciculaes e o movimento das Lua é convetido ao sistema equatoial da Tea com ceta apoximação.

16 5 Na década de 80, alguns tabalhos impotantes também foam desenvolvidos. Kaufman (980) ealizou um tabalho paa teoia semi-analítica de pimeia odem com estabelecimento de temos de cuto peíodo devido ao teceio copo e petubações zonais. Roth (98) inclui em seu atigo a petubação de um teceio copo em um obitado em tono de um planeta ou Lua. As equações de Lagange foam utilizadas de maneia conveniente paa pemiti fácil obtenção dos váios temos da expansão dos elementos petubados. Uma análise cuidadosa da odem de gandeza desses temos mosta que alguns são equeidos po uma teoia consistente diecionando paa segunda odem de petubações. Kaufman et al (984) atavés de seus estudos obteve a óbita média paa um satélite atificial incluindo efeitos secula, médio e longo peíodo do achatamento da Tea e petubações do teceio copo, ou seja a Lua e o Sol. Foi usada a teoia da petubação paa eave os efeitos de cuto peíodo devido a J. Wnuk (988) deivou uma fómula paa o geopotencial expessa em temos de elementos obitais. Foi apesentada a possibilidade de aplicação efetiva da fómula deivada paa o cálculo de óbitas de baixa altitude paa satélites, consideando os coeficientes dos hamônicos tesseais do campo gavitacional da Tea, de odem e gau elevados. Wnuk (990) desenvolveu uma fómula paa petubação em elementos obitais kepleianos de satélites atificiais teestes. A pate Tesseal do potencial gavitacional da Tea foi consideada como fato petubado. O potencial gavitacional expesso em temos dos elementos obitais foi consideado na foma já desenvolvida anteiomente. Concluiu que a fómula paa petubação obtida anteiomente pôde se aplicada efetivamente paa calcula petubações com coeficientes hamônicos tesseais de gau e odem elevados. Boucke (99) elaboou um atigo em que apesenta um estudo detalhado da investigação numéica da petubação na óbita de um satélite causado pelo fomato de pêa ou hamônico J do copo cental. O auto utiliza em seus estudos conceitos da teoia geal das óbitas peiódicas. Mobidelli (99) estudou os efeitos luni-sola sobe um satélite geo-síncono atificial obitando com inclinação póxima da cítica.

17 6 Foi analisado cada hamônico fomado pela combinação da longitude do nodo do Satélite e da longitude do nodo da Lua. Este estudo demonsta que a dinâmica induzida po estes hamônicos não apesenta fenômeno de essonância. Em uma apoximação de segunda odem o cálculo médio da Hamiltoniana é obtido e aplicado aos temos não essonantes tendo como esultado que, o pincipal efeito da atação do Sol e da Lua é um gande aumento na amplitude de libação da inclinação ( de 0,6 º paa, º) e um decéscimo no peíodo de libação (da odem de 00 anos paa 0 anos). Pado (998) e Costa (998) calculaam o potencial petubado paa odem supeio a quato em temos do polinômio de Legende e posteiomente em 000 estendeam seus cálculos consideando efeitos acima de odem oito nas expansões do polinômio de Legende. Pado (99), ealizou um estudo do poblema de tansfei um satélite em óbita em tono de um ceto copo e depois voltando ao mesmo copo após ceto tempo. Genealizou o poblema de tansfeência elativa aos pontos lagangeanos L4 ou L5. Outo ponto impotante em seu tabalho foi o estudo da tansfeência com mínima vaiação de velocidade, em tempo live, ente duas óbitas elípticas coplanaes. Foi desenvolvido e esolvido um conjunto de equações usadas neste poblema paa uma manoba multi-impulsiva. Boucke (00) obteve a foma geal da função petubadoa do teceio copo tuncada após o temo de segunda odem na expansão em polinômio de Legende. B. De Saedelee (004) e J. Henad (004) desenvolveam uma teoia analítica de um satélite atificial da Lua. O inteessante neste desenvolvimento é que a dinâmica de um satélite luna é muito difeente daquela de um satélite atificial obitando a Tea, pelo menos em dois aspectos: o temo luna em J é somente /0 do temo C e o efeito do teceio copo, a Tea, no satélite Luna é maio que o efeito da Lua em um satélite teeste. Os esultados são obtidos sem quaisque desenvolvimentos em séie em excenticidade ou inclinação. Assim, a solução do desenvolvimento se aplica a uma ampla gama de valoes, exceto paa poucos valoes cíticos isolados. Foam obtidos esultados em segunda odem paa o efeito combinado de J e C.

18 7 Kala (004) desenvolveu um tabalho sobe manoba com consumo mínimo de combustível utilizando estudo sobe manoba assistida po gavidade. É feito um estudo paticula do contole obital de um satélite atificial da Tea usando a gavidade da Lua. São utilizadas equações analíticas baseadas na abodagem Patched Conics. Melo (005) utiliza em seu tabalho o poblema estito de tês copos paa peve família de óbitas peiódicas no sistema Tea-Lua. Também utiliza poblema de quato copos Sol-Tea Lua sonda acescido de petubações devidas ao achatamento teeste e à pessão de adiação sola. Elaboou estudos paa deteminação de tajetóias que pemitem tansfeências ente óbitas teestes e lunaes de baixa altitude e gande inclinações e também ota de escape do sistema Tea-Lua. Foam definidas também tajetóias estáveis ao edo da Lua e otas de escape e captua atavés dos pontos Lagangeanos L e L. Fez também uma abodagem do método patched conics.

19 8 ÓRBITAS E TRANSFERÊNCIA ORBITAL Em missões espaciais é impotante detemina óbitas e as manobas obitais necessáias. A deteminação com pecisão de uma óbita implica em detemina magnitude, foma e oientação da óbita, bem como especificação da posição do satélite em cada instante. Si Isaac Newton popôs o pimeio método paa a deteminação da óbita de um copo celeste, em 687. A deteminação da óbita poposta po Newton é feita a pati de tês obsevações do copo. Si Edmund Halley aplicou pela pimeia vez o método de Newton, paa calcula a óbita de 4 cometas. Com este mesmo tabalho de Newton, ele descobiu um cometa que a cada 76 anos passava póximo da Tea. O cometa ecebeu o nome de cometa Halley, em sua homenagem. Leonad Eule, em 744, ciou um método matemático analítico paa deteminação de óbitas. Lambet genealizou o método de Eule. Posteiomente, Lagange fundamentou a teoia de Eule e Lambet. Em 780 foi Laplace quem desenvolveu um método novo paa deteminação de óbita. No século 9, Gauss ciou uma teoia paa deteminação de óbitas e com ela deteminou a óbita do asteóide Cees. Os dados de obsevação usados po Gauss, foam os ângulos de ascensão eta e de declinação definidos do sistema de coodenadas de ascensão eta e declinação em tês instantes de obsevações difeentes. Gauss também foi o auto do método dos mínimos quadados, atavés do qual as óbitas são deteminadas de foma estatística. Outo fato impotante em cetas missões é o poblema da tansfeência de satélite de uma óbita paa outa com mínimo consumo de combustível (Maec, 979), ou seja, a tansfeência é tal que alteando (posição, velocidade e massa) de um satélite em um dado instante paa outos valoes em um instante posteio, teemos um meno consumo de combustível (m 0 m f ), onde m 0 é a massa inicial do satélite e m f é a massa final do satélite. O consumo de massa (gasto de combustível) está elacionado com a vaiação de velocidade (V) atavés da equação de Tsiolkovsky (Schlingloff, 005)

20 9 u ln m V - o m f em que u é a velocidade em elação ao satélite dos gases ejetados Neste tabalho o consumo mínimo de combustível estaá sempe implicitamente dado quando calculamos vaiações mínimas de velocidade. A tansfeência pode consisti também em uma manoba de endezvous (enconto de veículos espaciais). Po exemplo, paa pemaneceem juntos em óbita. A liteatua apesenta divesas modelagens que podem se divididas em tês gupos tais como a dinâmica do sistema, ou seja, equações do movimento, contole aplicado (atuação de populsoes), e deteminação do método de otimização.. DINÂMICA DO SISTEMA.. Modelagem simples de dois copos Nesta modelagem, temos um copo de gande massa e um copo de massa meno que óbita o de maio massa. Não são consideadas petubações de outos copos. É uma modelagem simples onde existe solução analítica. Pemite esultados pecisos na maioia das situações... Modelagem de dois copos petubados Temos a modelagem de dois copos onde se considea uma ou mais petubações como, a não esfeicidade do copo cental, pessão de adiação sola, pesença de outos copos, etc. As soluções analíticas são aas, quase sempe se ecoe à integação numéica. Paa esultados analíticos apoximados, utiliza-se lineaizações em tono de uma óbita de tansfeência... Modelagem de tês copos Esta modelagem é muito usada paa o estudo de tajetóias lunaes e inteplanetáias, temos a pesença de tês copos que se ataem gavitacionalmente. Não é consideada outa petubação O caso mais comum é o poblema estito de tês copos, onde é descito o movimento de um copo que não petuba o movimento dos outos dois (po exemplo, um satélite atificial), sob a influência de dois outo maioes(como po exemplo Tea

21 0 e Lua). Não há solução analítica paa essa modelagem,devendo se efetuada integação numéica...4 Modelagem com N copos Temos a pesença de N copos que são tatados como pontos de massa. Outas petubações são gealmente consideadas. Esta modelagem é usada paa apefeiçoa modelagens simples, como a de dois copos ou tês copos. Esta modelagem é aplicada em missões onde váios planetas ou satélites são visitados po um mesmo veículo espacial. Ainda com elação a esta modelagem, citase a manoba assistida po gavidade, ou Swing-by, onde o veículo ao passa póximo de um copo celeste, adquie enegia paa completa uma missão.. CONTROLE APLICADO Neste caso avalia-se a foça a se aplicada no veículo espacial. Há dois tipos de modelos na liteatua.. Empuxo infinito Considea-se foça aplicada de modo instantâneo e magnitude infinita. Veificando a vaiação instantânea de velocidade, avaliamos o efeito deste impulso. Supõe-se tajetóia contínua paa o veículo espacial. É um modelo que ofeece simplicidade e pecisão... Empuxo contínuo Considea-se que o moto do veículo consiga aplica uma foça finita po tempo difeente de zeo (não instantâneo). Integação numéica da equação de movimento ou lineaizações válidas em cuto peíodo de tempo pemitem avalia o efeito da foça. Podem se encontadas váias modelagens quanto ao gau de libedade da foça: magnitude constante ou vaiável, possibilidade de muda a dieção da foça livemente ou com estição, etc.

22 . MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO Neste caso, temos tês gupos:.. Método dieto Pocua-se valoes numéicos paa cetos númeos de paâmetos. Utilizam-se algoitmos computacionais paa geaem métodos iteativos... Método indieto Neste método as chamadas condições necessáias de pimeia odem(equação de Eule- Lagange) são escitas e esolvidas numeicamente. Assim pocedendo, conseguimos obte a solução final pocuada... Método híbido Como no método dieto as equações são esolvidas pela busca dieta de paâmetos. O poblema é tansfomado em outo equivalente que é esolvido pelo método dieto..4 MANOBRAS ORBITAIS Neste item seão discutidos algumas manobas convencionais. Um dos pimeios estudiosos do poblema da tansfeência de óbita de um veículo espacial ente dois pontos foi R.H.Goddad em 99. Goddad popôs soluções ótimas paa envia foguetes a gandes altitudes de foma mais econômica possível. Em seguida Hohmann em 95 obteve a solução ótima do poblema de tansfei um veículo espacial ente duas óbitas ciculaes e coplanaes em campo gavitacional Newtoniano..4. Tansfeência de Hohmann A tansfeência ente duas óbitas ciculaes coplanaes é uma das mais úteis manobas que conhecemos. Atavés dela podemos coloca um satélite atificial em uma óbita de gande altitude.

23 Pimeiamente, nós podemos coloca o satélite em uma óbita de baixa altitude denominado óbita de estacionamento. Em seguida tansfeimos o satélite paa uma óbita cicula de gande altitude, utilizando uma óbita elíptica de tansfeência tangente às óbitas ciculaes. O pimeio ponto de tangência está no peicento da elipse de tansfeência e o segundo ponto de tangência está no apocento da elipse de tansfeência. A soma das vaiações de velocidades nestes dois pontos fonece a meno vaiação de velocidade(v) equeida. Quem pimeio concebeu este tipo de manoba foi Hohmann em 95. Po isso a tansfeência envolvida, foi denominada Tansfeência de Hohmann. A Figua mosta a tansfeência. V O E t V O Figua - Esquema da tansfeência de Hohmann Na Figua, O é a óbita de baixa altitude, O é a óbita de gande altitude e E t é a elipse de tansfeência. De acodo com esta figua temos que: a= + (.) a= (.) A velocidade do satélite no apocento (em ) da elipse de tansfeência é dada po:

24 V - (.) a onde é a massa eduzida da Tea. Potanto paa o valo de V temos: V = a (.4) Desenvolvendo a equação (.4) temos: V = (.5) Paa a óbita cicula de baixa altitude a velocidade do satélite é: V (.6) Aqui é o aio da óbita cicula de baixa altitude e é também a distância do peicento da elipse de tansfeência ao planeta em tono do qual o satélite obita, e é a distância do apogeu e também aio da óbita de gande altitude. Com os valoes destas velocidades podemos calcula o pimeio impulso V em, paa que o satélite seja colocado em óbita de tansfeência. Assim, temos: V V - V (.7) V - (.8) No ponto, Figua, a velocidade do satélite na elipse de tansfeência é dada po : V = - (.9)

25 4 A velocidade do satélite na óbita de aio é: V (.0) Podemos agoa calcula o segundo impulso em. V = - (.) A meno vaiação de velocidade passa a se: V= V + V (.) É muito impotante em uma manoba deteminamos o tempo de tansfeência. Este tempo de tansfeência é metade do peíodo da óbita de tansfeência e é dado po : t= a (. ) Como a = e desenvolvendo a equação (. ) obtemos paa o peíodo: t= (.4)

26 5 Obsevando a equação (.4 ), vemos que é o peíodo da óbita inicial, ou seja da óbita de aio..4. Caso geal de tansfeência ente duas óbitas ciculaes planaes O caso mais geal de tansfeências ente duas óbitas ciculaes planaes (Bate et al, 97) eque que a óbita de tansfeência intecepte ou pelo menos tangencie as óbitas ciculaes. A Figua mosta as óbitas de tansfeências que são possíveis e impossíveis. Tansfeência possível Tansfeência Impossível Tansfeência Impossível p < e a > p < a > Figua Tansfeências possíveis e impossíveis. Bate et al (97) Podemos ve atavés da Figua que a distância do peicento tem que se meno ou igual ao aio de óbita da meno altitude,, e que a distância do apocento tem que se maio ou igual ao aio da óbita maio. Podemos expessa o que foi dito acima matematicamente da seguinte foma: Consideemos a equação geal das cônicas,

27 6 p ecos( - ) (.5) onde p = a ( - e ) é o semi-latus ectum e e é a excenticidade da elipse de tansfeência, é a longitude do peicento e é a longitude vedadeia. Se =, temos que = p (distância do peicento ). Logo, p p = e (.6) Se = +, temos, p a (.7) - e Potanto paa a tansfeência se possível, temos: p, logo p e (.8) a, logo p (.9) - e As óbitas que satisfazem essas equações ao menos inteceptam ou tangenciam as óbitas ciculaes. A Figua mosta um caso geal de v equeido em dois pontos () e () da óbita., no caso de tansfeência ente duas óbitas ciculaes.

28 7 v v v v v v Óbita cicula meno Óbita cicula maio Elipse de tansfeência V, Figua - v equeido em e Bate et al (97) v Consideando a equação da enegia = -, podeemos obte a velocidade V Na óbita de aio, a velocidade é dada po, (.0) V Os dois vetoes V e V fomam um ângulo, denominado ângulo de vôo. No momento da tansfeência em, podemos calcula o momento angula atavés de, h V cos (.) obtemos, cos h (.) V Aplicando a lei dos cossenos no tiângulo cujas lados são V, V e V, obtemos, = V V + V - VV cos (.) Com elação ao ponto da Figua, pocedemos de maneia análoga obtendo, V = (.4)

29 8 V (.5) A equação (.6) fonece a velocidade do satélite na óbita cicula de aio. O momento angula agoa é calculado po, h V (.6) h = V cos (.7) O ângulo é o ângulo de vôo fomado po V e V. Da equação (.7) obtemos, h cos =. Aplicando a lei dos cossenos no tiângulo cujos lados são V V, V e V, obtemos, V V V VV cos (.8) Podemos agoa detemina o V equeido. Paa 0 e = 0, ecaímos na tansfeência de Hohmann..4. Tansfeência de Hoelke e Silbe ( bi elíptica e ti impulsiva ) Hoelke e Silbe demonstaam no final da década de 50 que a tansfeência de Holmann é ótima quando a azão ente as óbitas final e inicial é meno que,94. Paa tanto utiliza-se uma tansfeência Bi-Elíptica e Ti-Impulsiva. A Figua 4 abaixo mosta este tipo de tansfeência. V E T E T O V O V Figua 4 Tansfeência Bi-Elíptica. Adaptado Pado A..F.B.A(00)

30 9 Na Figua 4, temos que O é a óbita cicula meno, O é a óbita cicula maio, E T é a pimeia elipse de tansfeência e E T é a segunda elipse de tansfeência. Obsevando a figua vemos que é o aio de óbita cicula meno e também é a distância do peicento da º elipse de tansfeência ao planeta., é o aio da óbita cicula maio e também é a distância do peicento da º elipse de tansfeência ao planeta, e é a distância do apocento da º e º elipse de tansfeência ao planeta. O pimeio impulso ocoe no peicento da º elipse de tansfeência, sendo que a velocidade neste mesmo ponto na óbita cicula é dada po : V = Neste mesmo ponto, na º elipse de tansfeência, a velocidade é dada po : (.9) V = - (.0) Nestas condições podemos calcula V. V = - (.) Desenvolvendo a expessão acima temos; V. - O segundo impulso ocoe no apocento da º elipse de tansfeência, sendo a velocidade do satélite neste ponto sendo dada po, (.)

31 0 V - (.) a Substituindo na expessão acima po = a ( + e ), onde e é excenticidade da º elipse de tansfeência e a o semi-eixo maio, ficamos com, V - (.4) a ( e ) a Neste mesmo ponto (apocento), a velocidade do satélite é : V - (.5) a ( e ) a A velocidade V é a velocidade do satélite na segunda elipse de tansfeência. Agoa, podemos detemina a vaiação de velocidade. V (.6) a ( e ) a a ( e ) a Finalmente o º impulso ocoe no peicento da º elipse de tansfeência em sentido contáio a o movimento do satélite, com valo tal que pemite o satélite se lançado em óbita cicula maio de aio. A velocidade do satélite neste ponto da segunda elipse de tansfeência é dada po : V - (.7) a (- e ) a Na expessão acima a e e são o semi-eixo maio e excenticidade espectivamente Na óbita cicula de aio, a velocidade do satélite é:

32 V (.8) Potanto temos, v - - (.9) a (- e ) a Com estes esultados, deteminamos o valo de Vtotal. V = V + V + V (.40) Esta tansfeência tona-se mais eficiente, quanto maio é à distância, pois assim temos um meno V. Esta manoba é mais eficiente que a manoba de Hohmann, uma vez que o segundo impulso ocoe longe do cento de atação, onde a foça de atação é mais faca, diminuindo o combustível necessáio. Devemos lemba que a foça é popocional ao inveso do quadado da distância ente dois copos. O tempo total da manoba é a soma da metade dos peíodos das óbitas de tansfeência (º e º elipses). Paa a pimeia elipse de tansfeência temos, T a (.4) Mas, a =, que substituída na equação (.4) fonece: T (.4) 8 Desenvolvendo a expessão (.4) obtemos, ( ) T (.4)

33 Potanto o valo de T é dado po, T = (.44) Com elação à º elipse de tansfeência, pocedemos de maneia análoga, obtendo, T (.45) Somando estes dois instantes de tempo, obtemos o tempo total. T TOTAL = (.46).4.4 Tansfeência Bi-Paabólica Quanto maio a distancia (distância do veículo ao foco) mais eficiente é a tansfeência. Isto se pensamos tendendo ao infinito. A Figua 5 mosta este tipo de tansfeência. O O V V Figua 5 Tansfeência Bi Paabólica. Adaptado de Pado A. F. B. A (00)

34 Na óbita cicula de aio, aplica-se um impulso na dieção do movimento com valo V de maneia a coloca o satélite na óbita paabólica O. Quando, teoicamente o veículo atinge, o infinito, é dado um impulso infinitesimal no satélite paa colocá-lo em uma nova óbita paabólica O. Quando o satélite passa no peiapsi da óbita paabólica O, novo impulso no valo V é dado ao satélite paa colocá-lo na óbita cicula maio (de aio ). Esta tansfeência na pática não se ealiza, devido ao tempo de tansfeência necessáio se infinito..4.5 Tansfeência de óbita, co-focais, coplanaes e elípticas Paa este caso, utiliza-se a tansfeência de Hohmann, que é de máxima enegia. O satélite é tansfeido de uma óbita elíptica paa uma outa óbita elíptica, atavés de uma óbita elíptica intemediáia de tansfeência. t () F Tea () p a p ta Figua 6 Tansfeências ente óbitas elípticas coplanaes De acodo com a Figua 6, o satélite executa inicialmente uma óbita elíptica em tono da Tea (óbita () ), sendo p a distância do peicento ao foco (F) e a a distância do apocento ao foco, ambas elativas à óbita (). Em seguida o satélite o satélite é colocado em uma óbita elíptica de tansfeência(óbita t) que tangencia o peicento da óbita ( ). Paa esta óbita de tansfeência temos que a distância ao foco é p e a distância do apocento ao foco é ta. Po fim o satélite é lançado à óbita desejada ( ), onde p é a distância do peicento ao foco e a = ta é a distância do apocento ao foco.

35 4 Vamos analisa agoa as velocidades envolvidas na tansfeência. Paa a óbita inicial () no peicento, temos, V p (.47) p a V p - p p a (.48) Paa a óbita de tansfeência, de maneia análoga, no peicento temos: V pt - p p ta (.49) onde a T = p ta, onde a T é o semi-eixo maio da elipse de tansfeência. Quando o satélite passa da óbita () paa a óbita de tansfeência, a vaiação de velocidade é calculada atavés da equação: V - p p ta - - p p a (.50) Consideando agoa o apocento da elipse de tansfeência, a velocidade o satélite é deteminada atavés da equação, V at - ta p ta (.5) No mesmo ponto, mas com elação à óbita ( ), temos, V a - ta p ta (.5) Potanto a vaiação de velocidade seá:

36 5 V - ta p ta - - ta p ta (.5) Potanto o incemento total na velocidade paa se tansfei da óbita () paa a óbita ( ) seá : - V V pt V p V a Va t (.54) Paa o cálculo do tempo gasto na tansfeência devemos considea que paa a elipse de tansfeência, o peíodo, é dado po, a T t (.55) O tempo de tansfeência é metade deste valo. Podemos esceve, potanto que, t = p ta ta / p (.56).4.6 Tansfeência ente óbitas elípticas de mesma dimensão, coplanaes e não coaxiais O objetivo desta manoba é altea o agumento do peicento. Consiste em aplica um incemento no apocento da óbita inicial, pemitindo a obtenção de uma óbita cicula de aio a. Ao atingi o outo apocento aplica-se um segundo impulso no sentido contáio ao movimento que faá com que o satélite ente na segunda óbita. No apocento da óbita inicial temos: (- e) V (.57) a

37 6 Neste mesmo ponto, na óbita cicula, temos: V (.58) a Potanto temos o pimeio impulso: V V - V (.59) A outa vaiação é igual à pimeia, mas em dieção difeente. Paa a vaiação total, V V (.60) T A Figua 7 mosta a tansfeência Figua 7 Tansfeência ente óbitas elípticas de mesma dimensão coplanaes e não coaxiais.

38 7.4.7 Tansfeência ente òbitas ciculaes não coplanaes de mesmo aio No caso da óbita inicial esta inclinada em elação à final de um ângulo, é necessáio uma componente de impulso pependicula ao plano obital, paa tansfei o satélite da óbita inicial paa a final. A magnitude do veto velocidade se mantém. V V V Figua 8 Tansfeência ente óbitas ciculaes não coplanaes de mesmo aio As velocidades inicial e final, idênticas em módulo, junto com V fomam um tiângulo isósceles. A Figua 9 mosta o diagama esquemático do tiângulo isósceles. necessáio, V / / V V Figua 9 Diagama esquemático de velocidades O tiângulo isósceles é dividido em dois tiângulos etângulos conguentes. Da tigonometia temos que. sen = V (.6)

39 8 A velocidade obital diminui com a altitude e, potanto a enegia necessáia paa que seja efetuada a tansfeência diminui quando a altitude na qual fo efetuada aumenta.po outo lado a enegia necessáia paa se coloca um veículo numa óbita de tansfeência aumenta com a altitude. Deve existi uma altitude ótima na qual a soma dessas duas enegias é um mínimo. A Figua 0 mosta a manoba de tansfeência. a a V a V p c Elipse de tansfeência Figua 0 Vista da manoba de tansfeência O satélite está inicialmente em uma óbita cicula de aio c. Obsevando a figua 0, vemos que c é também a distância do peicento da elipse de tansfeência. No peicento da elipse de tansfeência a velocidade do satélite é V p = c c a (.6) Na óbita cicula a velocidade do satélite é: V c = c (.6) A vaiação da velocidade do satélite é dada po:

40 9 V p = a c c a c - (.64) po: No peicento e no apocento da elipse de tansfeência, as velocidades são dadas V p ( - ) e V - ) c a a ( (.65) a a Podemos esceve potanto. Vp - V a - (.66) c a Como o momento angula se conseva duante o movimento na elipse de tansfeência, temos, V p c = V a a (.67) Das equações (.65) e (.67) chegamos ao valo da velocidade V a no apocento da elipse de tansfeência. V V a = c V p - Vp (.68) No apocento da elipse de tansfeência, é feita uma coeção na inclinação obital,po meio de um incemento impulsivo de velocidade V a. O valo deste incemento é: V a = V a sen Duante o incemento a velocidade V a não se altea. (.69)

41 40 O satélite agoa se enconta numa segunda elipse de tansfeência e atingiá o peicento desta com velocidade oiginal V p. A º óbita cicula tangência a º elipse de tansfeência no peicento. Neste ponto é aplicado no satélite um incemento adicional, V p, oposto ao V p inicial, paa coloca o satélite na º óbita cicula. O V total necessáio paa a manoba é, V V p V a (.70) A expessão acima desenvolvida esulta: (.7) V TOTAL V c a c a c - a c a c a c - a c sen Deivando a expessão (.7) em elação a a encontamos: dvtotal d a a a a a - sen c c c c c c (.7) Paa uma tansfeência ótima, e, potanto com mínimo de enegia despendida, a deivada calculada acima deve se nula. Obsevando atentamente a equação, notamos que, a c o que esulta, a - ( ) sen 0 (.7) c sen a (.74) c - sen

42 4 Uma condição ótima é que a, com isso encontamos. c sen - sen (.75) Resolvendo esta equação tigonomética encontamos 9. Outa condição ótima seia paa a tendendo ao infinito, quando então tende paa 0 ou c tende paa 60. Potanto a técnica de tansfeência bi-elíptica é aplicada quando A condição ótima acima é conveniente teoicamente, pois sendo os aios iguais, não haveia tansfeência, o satélite estaia na mesma óbita.

43 4 4 ESTUDO DO PROBLEMA 4. A MANOBRA PROPOSTA A manoba poposta consiste em considea inicialmente um satélite obitando a Tea. Quando o satélite estive no peicento de uma tajetóia de tansfeência aplicase um empuxo colocando o satélite nesta tajetóia que o levaá até a esfea de influência da Lua. A segui em um deteminado ponto (obtido po um pocesso numéico levando em conta otimização de combustível) aplica-se um empuxo necessáio paa o satélite enta em óbita hipebólica ao edo da Lua. No vétice da óbita hipebólica aplica-se um outo empuxo paa coloca o satélite em uma elipse de tansfeência que o levaá até a óbita luna pojetada. Paa o satélite enta na óbita luna pojetada é aplicado mais um empuxo no satélite. Paa ealiza a manoba de volta paa a Tea, aplica-se um empuxo no satélite de maneia a colocá-lo novamente na elipse de tansfeência que o levaá ao vétice (peilúnio) da tajetóia hipebólica. Neste ponto, aplica-se um empuxo paa colocá-lo na tajetóia hipebólica que o levaá a ponto de entada da esfea de influência (que é deteminado numeicamente). Neste caso, o aio da peilúnio é maio que o aio da óbita cicula final desejada. Caso o aio do peilúnio seja igual ao aio da óbita final desejada, não há a necessidade de uma óbita de tansfeência paa a óbita final. No ponto de entada da esfea de influência o satélite é colocado na tajetóia de tansfeência geocêntica. No peicento desta óbita geocêntica aplica-se um novo impulso paa colocá-lo na óbita inicial em tono das Tea completando a missão. Seão consideados os seguintes casos: ) As óbitas são coplanaes. ) A óbita do satélite não é coplana com a óbita da Lua. ) Consideações sobe a influência do achatamento da Tea e da influência de um teceio copo. Paa o caso da petubação do º copo, Lua, po exemplo, seá consideado o modelo de dupla média, ou seja, seão consideadas médias em elação aos temos de cuto peíodo com elação ao copo petubado e ao copo petubado.

44 4 Com elação a influência do achatamento da Tea, seá consideada a média em elação aos temos de cuto peíodo do copo petubado. Muitos tabalhos têm sido desenvolvidos utilizando modelos de dupla média, como os tabalhos de Roge Boucke (99) e de Pado (00). Na utilização da função petubadoa seão consideados apenas os temos seculaes. 4. INFLUÊNCIA DO ACHATAMENTO DA TERRA Sabemos que o campo gavitacional Teeste influencia a óbita de um satélite teeste. Este satélite estaá sobe a influência do potencial da Tea, levando em conta a distibuição não unifome de massa da Tea. De maneia geal, no caso de um satélite atificial em óbita póxima de um planeta de foma não esféica o potencial (ou função potencial) pode se dado po: U=U 0 +R (4.) em que U 0, é a função potencial devido a um ponto de massa, consideando o poblema de dois copos. Supõe-se que a massa do copo esteja concentada em seu cento, daí o temo ponto de massa. O temo R da equação (4.) é uma função potencial devido a pesença de outas massas atativas, ou devido ao achatamento do planeta em tono do qual o satélite gia. No pesente tópico é feito um estudo da influência do achatamento do planeta (no caso a Tea). Consideando o satélite em óbita em tono da Tea, em tajetóia elíptica, sendo os elementos obitais a 0, e 0, i 0, 0, 0 e t 0 consideados no tempo t 0. Estes elementos são chamados de osculadoes enquanto a óbita elíptica é denominada de elipse osculadoa. Devido a influência da função petubadoa num instante posteio t, os elementos obitais seão a, e, i,,, e t, onde (a a 0 ), (e e 0 ) etc. são as petubações dos elementos no intevalo (t t 0 ).

45 44 Como já foi dito, seá estudado a óbita do satélite sob o efeito gavitacional da Tea, desconsideando o aasto atmosféico. Seá utilizado na descição abaixo o estudo de Kozai (959). Considee a Figua, onde S é a posição do satélite no instante t, com coodenadas,,. O sistema de eixos não giante, apesenta a oigem no cento da Tea, e os eixos Ox (na dieção do pimeio ponto de Áies), O y (90º ao longo do equado desde Ox em dieção ao aumento z da ascensão eta ) e Oz (ao longo do eixo de otação da Tea). z PO x O S S f A A i N Q E y Figua Satélite em plano de óbita inclinada em elação ao equado. Cículo centado no planeta mostando á óbita do satélite com inclinação i em elação ao plano de óbita do planeta, e a longitude do nodo ascendente medida em elação ao eixo de efeência x. Roy (988) Na Figua 0, PO é plano obital, E é o equado, S é a pojeção de S sobe a esfea celeste e Z S Q é o aco do gande cículo. Assim temos: R= OS aio veto de S (Satélite) = QÔS declinação de S = XÔQ ascensão eta A óbita osculadoa do satélite é definida pelos seis elementos a, e, i,, e M, onde a é o semi-eixo maio, e a excenticidade, i é o ângulo de inclinação do plano obital com o plano do equado, é a longitude do nodo ascendente (N), ou ascensão eta do nodo ascendente, é o agumento do peigeu e M é a anomalia média.

46 45 O ângulo fomado pela linha que passa pelo peigeu(a A ) e o aio veto do satélite é a anomalia vedadeia f. elações, Podemos elaciona o aio veto e a declinação à anomalia vedadeia pelas a(- e ) (4.) ecosf sen = sen isen(f ) (4.) A expessão (4.) é obtida do tiângulo esféico NS Q. A equação do movimento do satélite passa a se U (4.4) Sendo U o potencial da Tea. Se o planeta em tono do qual a satélite óbita tem simetia axial, então seu potencial em um ponto exteno é dado po Roy (988): U Gm R n J n P n (sen) (4.5) n onde é a distância do ponto ( no caso o satélite) a cento da massa do copo(no caso a Tea), m é a massa do copo (Planeta Tea) e é o ângulo fomado pelo aio veto do Satélite e o plano do equado e P n ( (sen) é o polinômio de Legende de odem n em sen. Mas como =, e consideando = Gm, a equação (4.5) fica, R n U - Jn Pn (sen( )) n (4.6) Utilizando a equação (4.5) paa o potencial gavitacional da Tea nós estamos assumindo que os efeitos devido a elipticidade da Tea no equado não estão pesentes, emboa nós estamos admitindo os efeitos da assimetia ente os hemisféios Note e Sul. Após alguns desenvolvimentos podemos esceve a equação (4.5) da foma,

47 46 R n U U0 - Jn Pn (sen( )) n (4.7) Em uma foma mais compacta temos que U = U 0 + F, onde F é a função petubadoa dada po, F= R n - J n P n (sen( )) (4.8) n Nas expessões acima J n são constantes. Desenvolvendo o somatóio da equação (4.8), obtemos: F= - R R R 4 J P (sen ) J P (sen ) J 4 P 4 (sen )... Após mais alguns desenvolvimentos da expessão acima, nós obtemos: (4.9) F { sen(f ) - J a R a 5 sen 8 [ - sen i.sen(f i sen )]sen i i cos (f...} J 4 R a 5 )]- [( sen i - ). a 4 8 (4.0) A anomalia vedadeia que apaece na expessão acima pode se facilmente se tansfomada em anomalia média M, que é uma função linea do tempo no movimento não petubado. Paa isto, patimos do fato que, f h na - e (4.) e potanto, df na -e e sendo M = n(t -), chegamos à equação, dt df a -e (4.) dm

48 47 As quantidades /a e f na função petubadoa F são funções de e M somente e são peiódicas em elação a M. O objetivo como elação ao achatamento da Tea é deteminamos as pates seculaes da função petubadoa em temos das constantes J e J 4. Paa isto tomamos valo médio em elação aos temos em j e j 4 atavés da expessão, F FdM (4.) 0 Com o cálculo da média, eliminamos temos de cuto peíodo ficando apenas com temos seculaes. Consideando a pate da função petubadoa em J e efetuando o cálculo da média, obtemos, F satélite. JR a - sen i - e - (4.4) Sendo, a o semi-eixo maio da óbita do satélite e e a excenticidade da óbita do Paa deteminação do temo em J 4, utiliza-se a equação (4.9) obtendo a expessão, - J F 4 = 4 R a a a. 5sen 4 i sen 4 ( f) -0sen i sen ( f) a 5 8 Utilizando o cálculo da média e desenvolvendo a expessão acima obtemos, J 4 4 R 5 F 4 sen 8 a 5 8 R 4 J4-5 sen 4 i - 5sen i 8 a i -5sen i - 7 ( e - e ) e cos 7 4(- e ) (4.5) (4.6) Consideando apenas os temos seculaes da equação acima temos, - J 4 4 R 5 F 4 sen 8 a i - 5sen i e ( e ) (4.7)

49 48 Adicionando F e F 4, temos, F R a - e J cos i 5 sen i 4-5 sen i 8 6 a 5 (- e ) 7 e J 4 R (4.8) Com a utilização das equações planetáias de Lagange podemos te uma idéia de como os elementos obitais vaiam. Segue abaixo as equações planetáias de Lagange: da dt de (-e ) F - -e F dt na e M na e di cos i F - dt na e sen i na d F dt i na e sen i d - dt na dm dt na F M cos i F i e sen i (-e ) n - F - na e e na F a F e sen i -e na e F e (4.9) Substituindo nas equações acima a equação (4.8) e posteiomente integando em elação ao tempo obtemos, a = a 0 e = e 0 i = i 0

50 49 ( R t ( -84 a J 768 a e - 84 a e 4 J J 540 J 4 R 675 e J 4 R - 0 ( a (- e ) J - (5 6 e ) J R ) cos i 5 (8 7 e ) J R 4 4 cos 4i)) - (4.0) 04 a 7 (- e ) 4 n R t - a cos i 5 - e J 5 e R J4 cos i 7 64 a - e 4 n e R J 4 (4.) J R cos i 9 J R 4 (9 0 cos i 5 cos 4i a - e 5 a 4 - e M n t (4.) 9 e J R cos i 5 cos 4i a - e Analisando estas equações, veifica-se que quando a petubação é secula o agumento do peigeu e a longitude do nodo ascendente vaiam lineamente com o tempo. 4. PERTURBAÇÃO DO TERCEIRO CORPO Paa o estudo da petubação do teceio copo seá utilizada a função petubadoa desenvolvida em expansão polinomial de Legende até a quata odem. A Figua mosta o copo petubado de massa m e o copo petubado de massa m em suas óbitas.

51 50 z m m 0 m d y Figua Copo petubado e petubado em suas espectivas óbitas. Na figua, m é a massa do copo petubado, m é a massa do copo petubado e m 0 é a massa do copo cental Neste estudo é assumido que o copo petubado (Lua) se enconta a uma distância muito maio do copo petubado(satélite), ou seja, e que também o copo petubado se enconta no plano equatoial da Tea. Na figua o ângulo fomado pelos aios vetoes e é, m é a massa do copo petubado, m é a massa do copo petubado e m 0 é a massa do copo cental no caso a Tea., e d é a distância ente o copo petubado e o petubado. A função petubadoa é dada po (Boucke, 99): temos, P R (4.) - cos Desenvolvida em polinômios de Legende a função se tona, R n n P n cos, onde m (4.4) m m 0 Como o desenvolvimento é até a quata odem, paa o polinômio de Legende (cos).cos - P 5.cos - cos cos (4.5) P 4 (cos) (5cos 4-0cos ) 8 x

52 5 O plano de óbita do satélite é o plano fundamental e consideamos o sistema de coodenadas peifocal, onde o eixo x é diecionado paa o peicento da óbita, o eixo y está a 90º de x na dieção do movimento do satélite e o eixo z é pependicula ao plano fomado pelos outo dois eixos, ou seja pependicula ao plano de óbita. Entetanto é conveniente que seja feita uma mudança do sistema peifocal paa o sistema geocêntico equatoial utilizando matizes de otação. Sendo assim podeemos obte as seguintes elações: Paa o copo petubado, x coscos( f)-sensen( f)cos i y sencos( f) cossen( f)cos i z sen( f)sen i (4.6) Paa o copo petubado, x coscos( f )-sen sen( f )cos i y sencos( f ) cossen( f )cos i z sen( f )sen i (4.7) Como a óbita do copo petubado está no plano do equado, devemos te 0 e i 0. Podemos agoa detemina o cos atavés da elação, x.x y.y z.z cos = (4.8).. Substituindo o conjunto de equações (4.6) e (4.7) na equação (4.8), e ealizando algumas simplificações, obtemos, Cos = cos f + sen f (4.9) onde = cos cos( - f -) - cos i sen ( - f - ) e -sen cos( - f - ) - cos i cos sen( - f - )