AULA 07 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARTE 1

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1 AULA 07 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARTE 1 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Ates de começar, preciso dizer-lhes que houve um problema de comuicação etre mim e o pessoal do Site, que põe a aula o ar Um equívoco que partiu de mim, a realidade Eu escrevi esta aula 7 de Estatística oportuamete, a semaa passada Mas ao eviar para o Site, acabei aexado a aula 7 do outro Curso que estou escrevedo, o de Matemática Fiaceira Efim, peço desculpas pela ausêcia desta aula 7 a semaa passada O fato é que o mudo ideal é platôico Mas, vamos em frete! O importate é que estudemos e apredemos o assuto! Vou me esforçar mais para que esse fato ão se repita! Ok? Pois bem! Vamos dar iício à ossa aula de hoje, resolvedo as questões pedetes do último Dever de Casa (AFRF-000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de freqüêcias abaixo Freqüêcias Acumuladas de Salários Auais, em Milhares de Reais, da Cia Alfa Classes de Salário Freqüêcias Acumuladas ( 3 ; 6] 1 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 1] 50 (1 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 1] Quer-se estimar o salário mediao aual da Cia Alfa Assiale a opção que correspode ao valor aproximado desta estatística, com base a distribuição de freqüêcias a) 1,5 b) 9,6 c) 9,0 d) 1 e) 1,1 Sol: A questão está pedido o salário mediao, ou seja, a Mediaa do cojuto! Seguido os passos ossos já cohecidos, teremos: (/)=68/=34 Classes fac Esta fac é 34? Não! Adiate! Esta fac é 34? Não! Adiate! Esta fac é 34? Sim! Daí: Teremos: wwwpotodoscocursoscombr 3

2 3 Limites da Classe: 9 Md 1 fac associadas: X 4 0 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 3 x 0 4 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(3x4)/0 X=0,6 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=9+0,6 Md=9,6 Resposta! (AFRF-00) Para a solução da próxima questão utilize o euciado que segue Em um esaio para o estudo da distribuição de um atributo fiaceiro (X) foram examiados 00 ites de atureza cotábil do balaço de uma empresa Esse exercício produziu a tabela de freqüêcias abaixo A colua Classes represeta itervalos de valores de X em reais e a colua P represeta a freqüêcia relativa acumulada Não existem observações coicidetes com os extremos das classes Classes P (%) Assiale a opção que correspode à estimativa do quito decil (= Mediaa) da distribuição de X a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 wwwpotodoscocursoscombr 4

3 c) 136,67 Sol: Mais uma questão de Mediaa! O euciado falou em quito decil Por hora, basta que você saiba que quito decil é siôimo de Mediaa Ok? Vamos lá! Fazedo o trabalho prelimiar para preparar esta tabela, teremos: Classes Fac Fi fi fac % 5% Esta fac é 100? Não! Adiate! % 10% 0 30 Esta fac é 100? Não! Adiate! % 5% Esta fac é 100? Não! Adiate! % 30% Esta fac é 100? Sim! % 15% % 10% % 5% Total 100% =00 Teremos: 0 Limites da Classe: 130 Md 150 fac associadas: X 0 60 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 0 x 60 0 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(0x0)/60 X=6,67 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=130+6,67 Md=136,67 Resposta! wwwpotodoscocursoscombr 5

4 (AFRF-00) Para a solução das duas próximas questões utilize o euciado que segue O atributo do tipo cotíuo X, observado como um iteiro, uma amostra de tamaho 100 obtida de uma população de 1000 idivíduos, produziu a tabela de freqüêcias seguite: Classes Freqüêcia (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89, ,5-99, Assiale a opção que correspode à estimativa da mediaa amostral do atributo X a) 71,04 d) 68,08 b) 65,0 e) 70,0 c) 75,03 Sol: Vocês certamete já perceberam que a Mediaa é muitíssimo requerida em provas de Estatística Básica! Aí estamos com mais uma dessas questões! Teremos: Classes fi fac 9,5-39,5 4 4 Esta fac é 50? Não! Adiate! 39,5-49,5 8 1 Esta fac é 50? Não! Adiate! 49,5-59, Esta fac é 50? Não! Adiate! 59,5-69, Esta fac é 50? Não! Adiate! 69,5-79,5 6 7 Esta fac é 50? Sim! 79,5-89, ,5-99, =100 Daí: 10 Limites da Classe: 69,5 Md 79,5 fac associadas: X 4 6 wwwpotodoscocursoscombr 6

5 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 10 x 6 4 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(10x4)/6 X=1,54 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=69,5+1,54 Md=71,04 Resposta! 04 Assiale a opção que correspode ao valor modal do atributo X o coceito de Czuber a) 69,50 b) 73,70 c) 71,0 d) 74,53 e) 80,10 Sol: Cálculo da Moda é sempre mais rápido! Teremos: Classes fi 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 Classe Modal (>fi) 79,5-89, ,5-99,5 10 =100 Aplicado a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: a 6 Mo = l if + h a p Mo = 69, Mo=73,78 Resposta! (FTE-PA-00/ESAF) A tabela de freqüêcias abaixo deve ser utilizada as duas próximas questões e apreseta as freqüêcias acumuladas (F) correspodetes a uma amostra da distribuição dos salários auais de ecoomistas (Y) em R$ 1000,00, do departameto de fiscalização da Cia X Não existem realizações de Y coicidetes com as extremidades das classes salariais Classes F 9,5-39,5 39,5-49,5 6 49,5-59, ,5-69,5 3 69,5-79, ,5-89, ,5-99, Assiale a opção que correspode ao salário modal aual estimado para o departameto de fiscalização da Cia X, o coceito de Czuber a) 94,5 d) 69,7 b) 74,5 e) 73,8 c) 71,0 Sol: Mais uma questão de Moda! Teremos: wwwpotodoscocursoscombr 7

6 Classes fac fi 9,5-39,5 39,5-49, ,5-59, ,5-69, ,5-79, Classe Modal (>fi) 79,5-89, ,5-99, =100 Aplicado a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: a 3 Mo = l if + h a p Mo = 69, Mo=73,78 Resposta! 06 (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de veda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 5 revededores, a tabela de freqüêcias seguite: Classe de m i f i Preços [ 5 9) 7 3 [ 9 13) 11 5 [13 17) 15 7 [17 1) 19 6 [1 5) 3 3 [5 9) 7 1 Deseja-se obter iformação sobre o preço mediao praticado a amostra Assiale a opção que melhor aproxima este valor a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14, Sol: Outra questãoziha de Mediaa! Teremos: Daí: Classes fi fac [ 5 9) 3 3 Esta fac é 1,5? Não! Adiate! [ 9 13) 5 8 Esta fac é 1,5? Não! Adiate! [13 17) 7 15 Esta fac é 1,5? Sim! [17 1) 6 1 [1 5) 3 4 [5 9) 1 5 =5 wwwpotodoscocursoscombr 8

7 4 Limites da Classe: 13 Md 17 fac associadas: 8 1,5 15 X 4,5 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 4 x 7 4,5 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(4,5x4)/7 X=,57 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=13+,57 Md=15,57 16 Resposta! 07 (Fiscal-Campias-00) Dada a distribuição de freqüêcia abaixo, idique o valor da Moda e Mediaa, respectivamete Classes Fi a) 7,14 7,8 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,4 6,78 c) 7,4 6,38 7 Sol: Duas questões em uma: temos que calcular a Moda e a Mediaa Começado pela moda, teremos: Classes fi Classe Modal (>fi) wwwpotodoscocursoscombr 9

8 Aplicado a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: a 4 Mo = l if + h a p Mo = Mo=7,14 Ateção: Neste istate, você vai dar uma olhadela as opções de resposta! Por quê? Eu em termiei aida de resolver a questão! Ora, pode ser que somete este primeiro resultado já seja suficiete para você chegar à resposta É o caso? Sim! Só há uma opção em que a Moda é 7,14 Assim: letra A Resposta! 08 (FTE-Piauí-001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüêcia obtida de uma amostra aleatória dos salários auais em reais de uma firma As freqüêcias são acumuladas Classes de Salário Freqüêcias ( ) 1 ( ) 8 ( ) 5 ( ) 74 ( ) 89 ( ) 97 ( ) 100 Assiale a opção que correspode ao salário mediao a) R$ 1050, b)r$ 8000, c) R$ 8700, d)r$ 9375, e) R$ 9500, Sol: Nova questão de Mediaa! Teremos: Daí: Classes fac ( ) 1 Esta fac é 50? Não! Adiate! ( ) 8 Esta fac é 50? Não! Adiate! ( ) 5 Esta fac é 50? Sim! ( ) 74 ( ) 89 ( ) 97 ( ) Limites da Classe: 8000 Md 9500 fac associadas: X wwwpotodoscocursoscombr 10

9 4 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 1500 x 4 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(1500x)/4 X=1375 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md= Md=9375 Resposta! (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 00 / ESAF) Para a solução das três próximas questões utilize o euciado que segue A tabela abaixo apreseta a distribuição de freqüêcias do atributo salário mesal medido em quatidade de salários míimos para uma amostra de 00 fucioários da empresa X Note que a colua Classes refere-se a classes salariais em quatidades de salários míimos e que a colua P refere-se ao percetual da freqüêcia acumulada relativo ao total da amostra Não existem observações coicidetes com os extremos das classes Classes P Assiale a opção que correspode ao salário modal o coceito de Czuber a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) 16 Sol: Nova questão de Moda Teremos: Classes Fac Fi fi 4 8 0% 0% % 40% 80 Classe Modal (>fi) % 0% % 18% % % 4 Total: 100% =00 Aplicado a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: a 40 Mo = l if + h a p Mo = Mo=10,0 Resposta! 10 Assiale a opção que correspode ao salário mediao calculado a partir de dados agrupados por iterpolação da ogiva a) 1 d) 10 wwwpotodoscocursoscombr 11

10 b) 9 e) 11 c) 8 Sol: Nova questão de Mediaa! Teremos: Classes Fac Fi fi fac 4 8 0% 0% Esta fac é 100? Não! Adiate! % 40% Esta fac é 100? Sim! % 0% % 18% % % 4 00 Total: 100% N=00 Daí: 4 Limites da Classe: 8 Md 1 fac associadas: X 60 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 4 x Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(4x60)/80 X=3 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=8+3 Md=11 Resposta! 80 As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de freqüêcias seguite associada ao atributo de iteresse X Não existem observações coicidetes com os extremos das classes Classes Freqüêcias Simples wwwpotodoscocursoscombr 1

11 (ANEEL 004 ESAF) Assiale a opção que dá a moda o coceito de Czuber a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15 Sol: Nova questão de Moda Teremos: Classes fi Classe Modal (>fi) Esta tabela traz uma situação curiosa e muito rara: a classe modal é a primeira classe da Distribuição! Assim, a hora de calcularmos o a, ão vai haver uma fi aterior, perceberam? E o que se faz este caso? Nada! É como se a fi aterior fosse zero! Aplicado a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos: a 10 Mo = l if + h a p Mo = Mo=8,0 Resposta! 1 (ANEEL 004 ESAF) Assiale a opção que dá o valor aproximado da mediaa amostral das observações de X a) 0,0 b) 5,0 c) 1,0 d) 15,8 e) 15,6 Sol: Última questão de Mediaa desta lista! Teremos: Classes fi fac Esta fac é 170? Não! Adiate! Esta fac é 170? Sim! =340 Daí: 10 Limites da Classe: 10 Md 0 fac associadas: X 50 wwwpotodoscocursoscombr 13

12 90 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações A seguite: 10 x Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(10x50)/90 X=5,55 Fialmete, o que falta ser feito é apeas somar o limite iferior da classe mediaa ao valor do X que acabamos de calcular Teremos: Md=10+5,55 Md=15,55 15,6 Resposta! Pois bem! Vamos agora dar iício ao estudo das Medidas de Dispersão! Eu lhes chamo a ateção para dizer que é um dos temas prediletos das mesas elaboradoras! Não há prova de Estatística Básica que ão cobre ao meos uma questão deste assuto! Ok? Etão vamos lá! Medidas de Dispersão A primeira coisa a saber é que Medida de Dispersão é a mesma coisa que Medida de Variabilidade Siôimos! O que vem a ser dispersão? Ora, dispersão é o mesmo que afastameto Assim, ao estudarmos a dispersão de um cojuto, estaremos ivestigado se os seus elemetos estão afastados ou próximos de um referecial No mais das vezes, este referecial é a Média Aritmética! Em outras palavras: as Medidas de Dispersão irão os dizer o quão próximos,ou quão distates, estão os elemetos do cojuto em relação à Média! Ok? Esta explicação se aplica a TODAS as Medidas de Dispersão! Etão ão me veham pergutar depois mas, professor, o que é mesmo esse desvio padrão? A resposta é essa, e vale, repito, para todas as medidas de dispersão: é uma medida que serve para dizer se os elemetos do cojuto estão próximos da média Ou distates! Hoje estudaremos o Desvio Absoluto Médio (DAM), o Desvio Padrão (S), a Variâcia (S ), e o Coeficiete de Variação (CV) Serão muitas iformações, de sorte que vocês terão que ler essa aula com muita calma e, de preferêcia, mais de uma vez! Vamos lá! # Desvio Absoluto Médio: DAM A primeira coisa a saber é que o Desvio Absoluto Médio pode também ser chamado de: Desvio Médio Absoluto, ou só Desvio Absoluto, ou só aida Desvio Médio São todos siôimos! Esta medida é muito pouco cobrada em prova Pouquíssimo mesmo Nas últimas dez provas da Receita Federal, só foi cobrada uma úica vez Além do que, sobre ela precisaremos cohecer, basicamete, as suas fórmulas Não se exige em o estudo de propriedades do DAM Assim sedo, vamos cohecer logo as fórmulas do Desvio Absoluto São as seguites: wwwpotodoscocursoscombr 14

13 Xi X DAM para ROL: DAM = Olha como é fácil! Basta você lembrar que o Desvio Absoluto é a úica fórmula deste osso Curso em que aparece o módulo Para quem está mais esquecido, módulo são esses dois tracihos verticais que você está vedo a fórmula E o efeito do módulo é trasformar valores egativos em positivos Só isso Vamos eteder melhor por meio do exemplo seguite Exemplo: Cosidere o seguite cojuto: {1,, 3, 4, 5} Calcule o Desvio Absoluto Médio Sol: Nossa resolução começa por quem? Pela fórmula! É sempre assim! A fórmula será sempre o poto de partida da resolução! É por meio dela que defiiremos ossos passos Olhado para a fórmula, saberemos aquilo que já dispomos, e aquilo que aida ão temos e precisamos ecotrar Ok? Assim, olhado para a fórmula, vemos que ela pede o cohecimeto da Média ( X ) Nós já calculamos a Média? Aida ão! Etão, começaremos por ela Para ecotrá-la, somaremos os elemetos do cojuto, e dividiremos esse resultado pelo úmero de elemetos Lembrados? Teremos: 15 X = = 3, 0 5 Agora vejam que o umerador da fórmula pede que você costrua o cojuto (Xi- X ) Fazedo isso, teremos: (Xi- X )=[(1-3), (-3), (3-3), (4-3), (5-3)]=(-, -1, 0, 1, ) Mas percebam que a fórmula ão quer simplesmete o cojuto (Xi- X ) Ela quer o módulo deste cojuto! Assim, aplicado o efeito do módulo, teremos: Xi X = (, 1, 0, 1, ) Viram? Quem era egativo virou positivo! Fialmete, o umerador da fórmula pede que somemos os elemetos deste último cojuto costruído Teremos: Σ Xi X = Σ (, 1, 0, 1, ) = = 6,0 E quato ao deomiador? Ora, ele cosiste o, úmero de elemetos do cojuto Neste caso, =5 Assim, chegamos ao seguite resultado: DAM=(6/5)=1, Resposta! Só isso! Agora teho uma otícia boa para vocês! Estão lembrados de quado estudamos as fórmulas da Média Aritmética, e eu lhes falei a respeito de uma tal de trasição? A trasição, para os mais esquecidos, era uma maeira de você passar de uma fórmula de rol, para outra de dados tabulados; e desta última para uma fórmula de distribuição de freqüêcias! Era, portato, uma maeira de ajudar a ossa memorização! A boa otícia é que a trasição que apredemos para as fórmulas da Média valem também aqui para quase todas as medidas de dispersão, a começar pelo Desvio Absoluto Médio! Recordado as duas regras da trasição: wwwpotodoscocursoscombr 15

14 1ª) Fórmula do rol para a dos Dados Tabulados: repete-se a fórmula do rol, e acrescetase, sempre juto ao sial de somatório, a fi, freqüêcia absoluta simples ª) Fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição de Freqüêcias: repete-se a fórmula dos Dados Tabulados, e troca-se Xi (elemeto idividualizado) por PM (Poto Médio) E é somete isso! Você memoriza a fórmula do rol, e aplica as duas trasições E sabe o que acotece? Você paga uma, e leva três! Um grade egócio! Sabedo disso, vou repetir a fórmula do rol e, aplicado a trasição, as fórmulas do DAM para cojutos apresetados as formas de Dados Tabulados e de Distribuição de Freqüêcias serão as seguites: DAM para ROL: Xi DAM = 1ª trasição: colocado fi juto ao sial de somatório: DAM para Dados Tabulados: ª trasição: trocado Xi por PM: X fi Xi X DAM = DAM para Distribuição de Freqüêcias: fi PM X DAM = A questão que eu disse que caiu uma das provas passadas de AFRF pedia o cálculo do DAM para uma Distribuição O ruim foi que, esta prova, aida ão havia sido exigido o cálculo da Média, de sorte que o primeiro trabalho era exatamete esse: descobrir o valor da média Para isso, você tiha que usar o método da variável trasformada Somete depois desse trabalho, você teria codições de cotiuar aplicado a fórmula do DAM Foi uma questão trabalhosa Mas ão foi difícil Que fique bem claro isso Só acho que devia ter valido dois potos, em vez de um só Efim (Essa questão vai ficar para o Dever de Casa!) Já sabemos tudo sobre o Desvio Absoluto Médio Adiate! # Desvio Padrão: S É siôimo de Dispersão Absoluta! (Guarde isso!) Essa é, de loge, a medida de dispersão mais presete em prova! E por uma razão bem simples: além da memorização das fórmulas (que são muitas!), teremos sobretudo que cohecer com seguraça as suas propriedades Ok? Comecemos pelas fórmulas! Aqui ovamete a trasição vai os socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a fórmula do Desvio Padrão para um rol O restate das fórmulas (para Dados Tabulados e para Distribuição de Freqüêcias) você leva de graça! (Pague uma e leve três!) Teremos: Desvio Padrão para Rol: ( Xi X ) S = E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok? E se aplicarmos aquela ossa cohecida trasição? Como ficarão as outras duas fórmulas? Vou repetir a do rol, para ajudar Teremos: ( ) Xi X Desvio Padrão para Rol: S = wwwpotodoscocursoscombr 16

15 1ª trasição: colocado fi juto ao sial de somatório: Desvio Padrão para Dados Tabulados: ( Xi X ) fi S = ª trasição: trocado Xi por PM: Desvio Padrão para Distribuição de Freqüêcias: ( PM X ) fi S = Até agora, o que temos? Temos três fórmulas Mas ateção: o Desvio Padrão é a primeira medida deste Curso em que haverá difereça a fórmula, caso estejamos trabalhado com um cojuto que represete toda a população, ou apeas uma amostra! Etedido? Faz difereça a fórmula do Desvio Padrão se o cojuto é a população ou se é uma amostra! Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do Desvio Padrão Populacioal Nós as aplicaremos se o cojuto for uma população! E quado saberemos que o cojuto da questão é a população? Quado ão for dito que é uma amostra! Ou seja, a regra é a seguite: o cojuto da questão da prova só será uma amostra se isso for dito pelo euciado! Caso cotrário, ão será amostra: será população! Ok? Mas, e se a questão disser que o cojuto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo do Desvio Padrão Amostral? O que faremos? Ora, saberemos que amostral se refere a amostra, de sorte que todas as três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacioal, terão que sofrer uma pequea modificação, para se adequar ao cálculo amostral Essa pequea modificação cosiste em acrescetarmos um meos 1 o deomiador Assim, teremos: Desvio Padrão Amostral para Rol: ( Xi X ) S = 1 1ª trasição: colocado fi juto ao sial de somatório: Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: ª trasição: trocado Xi por PM: ( Xi X ) fi S = 1 Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüêcias: ( PM X ) fi S = 1 Mas, professor, e se a questão disser que o cojuto é uma amostra, e eu esquecer de colocar o meos 1 o deomiador da fórmula? Bem, este caso, você errará a questão Simplesmete isso! Ou seja, o meos um o deomiador do desvio padrão amostral é imprescidível! Se esquecer, erra! Aliás, só a título de iformação, esse meos um é chamado de fator de correção de Bessel Esse ome ão é importate Pode ser esquecido sem problemas O que ão podemos esquecer de colocá-lo a fórmula wwwpotodoscocursoscombr 17

16 Pois bem, aida ão acabou o estudo das fórmulas! Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas existe um produto otável o umerador Repararam? É o que está o parêtese! Esse produto otável pode ser desevolvido, de sorte que podemos realizar um desevolvimeto algébrico com essas fórmulas básica, até chegarmos a ovas fórmulas, que ada mais serão que as primeiras, apresetadas de outro jeito Etedido? Obviamete que irei poupar a todos do tal desevolvimeto algébrico (E em pese que a prova você teria tempo para fazê-lo!) O que os iteressa é o resultado Qual é a fórmula desevolvida do Desvio Padrão para um rol? É a seguite: Fórmula Desevolvida do S para Rol: 1 S = Xi ( Xi) E aí? O que acharam? Niguém se assuste, por favor! Teho certeza que se você repetir esta fórmula umas dez vezes, a décima vez já estará parecedo fácil Uma perguta: vocês acham que se tomarmos os elemetos de um mesmo cojuto, e aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desevolvida, chegaremos ao mesmo resultado? O que você diz? Claro que sim! Trata-se, a verdade, de uma mesma fórmula, apeas apresetada de duas maeiras diferetes! O resultado será ecessariamete o mesmo! Etão você dirá: se é assim, eu vou ficar apeas com a básica, que é meorziha E eu respodo: péssimo egócio! Haverá questões que serão imediatamete resolvidas a prova, se você se lembrar da equação desevolvida! Já veremos isso Ates, porém, precisamos cohecer também as fórmulas desevolvidas do desvio padrão para Dados Tabulados, e para Distribuição de Freqüêcias! E como faremos isso? Aplicado a trasição! Teremos: Fórmula Desevolvida do S para Rol: 1 S = Xi ( Xi) 1ª trasição: colocado fi juto ao sial de somatório: Fórmula Desevolvida do S para Dados Tabulados: 1 S = fi Xi ( fi Xi) ª trasição: trocado Xi por PM: Fórmula Desevolvida do S para Distribuição de Freqüêcias: 1 S = fi PM ( fi PM ) Quase lá! Só resta lembrar que, essas três fórmulas desevolvidas do desvio padrão que vimos acima servem apeas o caso de o cojuto trabalhado represetar toda a população! Mas se a questão disser que o cojuto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão wwwpotodoscocursoscombr 18

17 amostral, etão precisaremos modificar também as fórmulas desevolvidas, acrescetado aquele mesmo meos um o deomiador Teremos: Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Amostral de um Rol: = 1 S Xi 1 ( Xi) 1ª trasição: colocado fi juto ao sial de somatório: Fórmula Desevolvida do S Amostral para Dados Tabulados: = 1 S fi Xi 1 ( fi Xi) ª trasição: trocado Xi por PM: Fórmula Desevolvida do S Amostral para Dist de Freqüêcias: = 1 S fi PM 1 ( fi PM ) E com isso, cocluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das fórmulas A rigor, se você prestar bem ateção, são doze fórmulas Mas você pagou apeas duas, e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula básica para o rol, e a fórmula desevolvida para o rol Daí, aplicava-se a trasição, e proto! E mais: se a questão disser que o cojuto é amostra, você vai e põe um meos 1 o deomiador! Só isso! Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti-las todas a seqüêcia Teremos: # Fórmulas do Desvio Padrão: S Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacioal para Rol: ( Xi X ) S = Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacioal para Dados Tabulados: wwwpotodoscocursoscombr 19

18 ( Xi X ) fi S = Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacioal para Distribuição de Freqüêcias: ( PM X ) fi S = Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Rol: ( Xi X ) S = 1 Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: ( Xi X ) fi S = 1 Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüêcias: ( PM X ) fi S = 1 Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Populacioal para Rol: 1 S = fi Xi ( fi Xi) Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Populacioal para Dados Tabulados: 1 S = fi Xi ( fi Xi) Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Populacioal para Distribuição de Freqüêcias: 1 S = fi PM ( fi PM ) Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Amostral para Rol: = 1 S fi Xi 1 ( fi Xi) Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: wwwpotodoscocursoscombr 0

19 = 1 S fi Xi 1 ( fi Xi) Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüêcias: = 1 S fi PM 1 ( fi PM ) Reparem estas últimas três fórmulas, que o fator de correção (o meos 1) só etra o deomiador que fica detro do parêtese! Ok? Temos doze fórmulas o papel E você só precisou memorizar duas delas! As demais saíram por trasição! Neste mometo, vou aproveitar a ótima oportuidade, e dizer a todos que a próxima medida de dispersão que iremos estudar será a chamada Variâcia Precisamos saber, precisamete agora, que a Variâcia é, coceitualmete, o quadrado do Desvio Padrão! Ou seja: Variâcia = (Desvio Padrão) Ou seja de ovo: Variâcia = S Ora, sabedo disso, e sabedo também que todas as fórmulas do desvio padrão têm raiz quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sial da raiz Só isso! Em suma: se eu coheço as fórmulas do Desvio Padrão, etão também coheço as fórmulas da Variâcia: basta tirar o sial da raiz! Assim, teremos: # Fórmulas da Variâcia: Fórmula Básica da Variâcia Populacioal para Rol: ( Xi X ) S = Fórmula Básica da Variâcia Populacioal para Dados Tabulados: ( Xi X ) fi S = Fórmula Básica da Variâcia Populacioal para Distribuição de Freqüêcias: ( PM X ) fi S = Fórmula Básica da Variâcia Amostral para Rol: ( Xi X ) = 1 Fórmula Básica da Variâcia Amostral para Dados Tabulados: S wwwpotodoscocursoscombr 1

20 S ( Xi X ) fi = 1 Fórmula Básica da Variâcia Amostral para Distribuição de Freqüêcias: S ( PM X ) fi = 1 Fórmula Desevolvida da Variâcia Populacioal para Rol: S 1 = fi Xi ( fi Xi) Fórmula Desevolvida da Variâcia Populacioal para Dados Tabulados: S 1 = fi Xi ( fi Xi) Fórmula Desevolvida da Variâcia Populacioal para Distribuição de Freqüêcias: S 1 = fi PM ( fi PM ) Fórmula Desevolvida da Variâcia Amostral para Rol: S 1 = fi Xi 1 ( fi Xi) Fórmula Desevolvida da Variâcia Amostral para Dados Tabulados: S 1 = fi Xi 1 ( fi Xi) Fórmula Desevolvida da Variâcia Amostral para Distribuição de Freqüêcias: S 1 = fi PM 1 ( fi PM ) Vejam que egócio da Chia ós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol), e levamos vite e quatro para casa! Pague duas, e leve vite e quatro! Excelete, ão acham? Basta você lembrar de fazer a trasição, e lembrar de pôr o meos 1 o deomiador, se o cojuto for uma amostra! Pois bem! Aida ão acabamos o estudo do Desvio Padrão Eu apeas abri um parêtese, para aproveitar as suas fórmulas que estavam o papel, para mostrar que bastava tirar o sial da raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variâcia Passemos agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão # Propriedades do Desvio Padrão: wwwpotodoscocursoscombr

21 O desvio padrão ão é iflueciado por operações de soma ou subtração Assim, se uma questão de prova os der o seguite rol: (101, 10, 103, 104, 105), e pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer? Ora, as cotas seriam muito grades para chegarmos à resposta! Mas você pode pesar assim: já que soma e subtração ão alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elemetos desse cojuto origial, e subtrair cada um deles de uma mesma costate Cem, por exemplo E chegaremos a um ovo cojuto, que é o seguite: (1,, 3, 4, 5) São valores mais baixos? Sim, cosideravelmete! E se ecotrarmos para este ovo cojuto o valor do Desvio Padrão, esse resultado ecotrado será exatamete o mesmo Desvio Padrão daquele outro cojuto origial! O mesmo! O desvio padrão somete é iflueciado por operações de produto ou divisão: multiplicaremos ou dividiremos pela própria costate Sigifica o quê? Sigifica que se cohecermos o desvio padrão de um cojuto origial (por exemplo, S=), e se todos os elemetos desse cojuto origial forem multiplicados por uma costate (por exemplo, multiplicados por 5), etão chegaremos a um ovo cojuto, cujo ovo desvio padrão será o S do cojuto origial também multiplicado por 5 Etedido isso? Muitas questões de provas recetes elaboradas pela Esaf têm explorado esse cohecimeto São questões que os falam em variável trasformada! Passemos a um exemplo Exemplo: Cosidere a seguite trasformação: (X-)/3 Se o desvio padrão da variável trasformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável origial X? Sol: Sempre que o euciado os forecer uma trasformação da variável, já podemos, de imediato, fazer o deseho de trasformação Esse deseho é simples, é rápido de ser feito, e ão deixará você errar a questão de jeito ehum! Podemos chamar a variável trasformada de Y, por exemplo Assim, ossa trasformação é a seguite: Y=(X-)/3 Fazedo a parte de cima do deseho, teremos: 1º)- º) 3 Xi Yi Todos etederam como se fez esse camiho de ida do deseho acima? Tomamos a variável origial X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da trasformação!): subtraímos todo mudo por, e depois dividimos todo mudo por 3 E se agora resolvermos desehar o camiho de volta, ou seja, as operações que os farão voltar à variável origial O que faremos? Fácil: iverteremos as operações do camiho de ida Só isso! Nada mais fácil Teremos: 1º)- º) 3 Xi Yi wwwpotodoscocursoscombr 3

22 º)+ 1º)x3 Observem todos que iverteu-se também a seqüêcias das operações: ode termiou lá em cima, começou aqui embaixo; e ode começou lá em cima, acabou cá em baixo Ok? Proto! Não dá mais para errar essa questão! O dado forecido pelo euciado foi que o Desvio Padrão da variável trasformada é igual a 4 Quem é a variável trasformada? É o Y Assim, do lado do Y, teremos que: 1º)- º) 3 Xi Yi Sy=4,0 º)+ 1º)x3 Mas o Sy ão me iteressa! Iteressa-me o Sx Assim, partido do Desvio Padrão de um lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tato, precisarei percorrer as operações do camiho adequado (de cima ou de baixo), lembrado-me das propriedades do Desvio Padrão! Façamos isso: estamos partido com Sy=4 A primeira operação que surge o camiho de volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrão só ão é alterado por soma e subtração!) Teremos: 4 x 3 = 1 Por equato, temos S=1 Na seqüêcia, surge uma soma (+) Faremos essa soma? O que vocês me dizem? Não! E por que ão faremos? Porque operações de soma (ou subtração) ão alteram o desvio padrão Passaremos direto pela soma, e teremos, efim, que: Sx=1,00 Etedido? Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem todas uma úica frase Niguém lembra? A Média é iflueciada pelas quatro operações! Assim, se a questão os falasse sobre aquela mesma trasformação da variável que vimos acima, e dissesse aida que a média da variável trasformada é igual a Y =8,0, e pedir que calculemos a média da variável origial ( X )? Vejamos: 1º)- º) 3 Xi Yi Y =8,0 º)+ 1º)x3 Ora, simplesmete percorreremos as operações do camiho de volta (camiho de baixo), lembrado-os das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhado wwwpotodoscocursoscombr 4

23 Se a Média é iflueciada pelas quatro operações, etão qualquer cota que aparecer este camiho de volta ós teremos que realizar Assim, teremos que: 8 x 3 = 4 e 4 + =6 Ou seja: X =6,0 Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variâcia Vejamos quais são elas: # Propriedades da Variâcia: A Variâcia ão é iflueciada por operações de soma ou subtração Mesmo etedimeto que tivemos para o desvio padrão! A Variâcia somete é iflueciada por operações de produto ou divisão: multiplicaremos ou dividiremos pelo quadrado da costate Ou seja, se a variâcia de um cojuto origial é, e ós multiplicarmos todos os seus elemetos por uma costate (3, por exemplo), qual será a ova variâcia? A ova variâcia será igual à aterior, agora multiplicada pelo quadrado da costate, ou seja, multiplicada pelo quadrado de 3, ou seja, multiplicada por 9 Vejamos o exemplo abaixo: Exemplo: Cosidere a seguite trasformação: (X-)/3 Se a variâcia da variável trasformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável origial X? Sol: Também em questões de variâcia poderemos trabalhar com a tal da variável trasformada Todos viram que há uma trasformação bem aí, o euciado? Ótimo! Podemos fazer, de proto, o deseho de trasformação Teremos: 1º)- º) 3 Xi Yi º)+ 1º)x3 Mas o que os disse o euciado? Que a variâcia do lado do Y é igual a 5 Assim, teremos: 1º)- º) 3 Xi Yi S y=5,0 wwwpotodoscocursoscombr 5

24 º)+ 1º)x3 E o que faremos agora? Percorreremos as operações do camiho de volta (em vermelho), lembrado-os das propriedades da variâcia, já que agora é com ela que estamos trabalhado! Teremos: Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim Mas multiplica por 3 ou pelo quadrado de 3? Pelo quadrado! Pois é exatamete o que reza a propriedade do produto (ou divisão)! Assim, teremos: 5 x (3) = 5 x 9 = 45 Na seqüêcia surge uma soma (+) Você vai somar? Claro que ão, uma vez que soma ão altera a variâcia! OK? Para matarmos várias questões de provas recetes, resta-os aida cohecer a próxima medida de dispersão: o coeficiete de variação Vamos lá! # Coeficiete de Variação: CV O CV é também cohecido por dispersão relativa! Coceitualmete, teremos que: S CV = X Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta? Pois bem! O CV é dito dispersão relativa, exatamete porque ele é igual à dispersão absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém E esse alguém é a Média Aritmética! Ok? Precisamos saber aida que o CV é uma medida adimesioal, ou seja, ão depede da uidade da variável trabalhada! Essa iformação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais atigas! (Bos tempos aqueles!) Mas o que sigifica isso? Ora, cosidere que estamos com um cojuto que represeta os pesos de um grupo de criaças Ok? Assim, ossa variável é peso, e é medida a uidade quilos Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg Se calcularmos o desvio padrão, será um valor em Kg Fialmete, colocado Desvio Padrão e Média a fórmula do CV, teremos que Kg corta com Kg Coclusão: o CV é adimesioal (Isso ão cai mais em prova há um bom tempo) Fialmete, vejamos o seguite exemplo: Exemplo: Cosidere a seguite trasformação: (X-)/3 Sabedo que, para a variável trasformada, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiete de variação da variável origial X Sol: Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempo todo em prova! Ora, o euciado apresetou uma trasformação da variável? O que você diz? Sim! Daí, osso primeiro passo será desehar essa trasformação Teremos: 1º)- º) 3 wwwpotodoscocursoscombr 6

25 Xi Yi S y=5,0 º)+ 1º)x3 O que foi mais que a questão os disse? Disse-os que a variável trasformada Y possui dois valores já cohecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4) Teremos: 1º)- º) 3 Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0 º)+ 1º)x3 E a questão pede o cálculo do CV do lado da variável X Ora, sabemos que CV=desvio padrão/média Mas ão cohecemos em o desvio padrão e em a média, do lado do X Mas os cohecemos a ambos do lado do Y Assim, tomaremos as duas medidas, uma por vez, e as trasportaremos para o lado do X Como faremos isso? Percorredo as operações do camiho de volta, e recordado as propriedades da média e do desvio padrão Já fizemos isso agora há pouco Teremos: Média: 8x3=4 e 4+=6 Desvio Padrão: 4x3=1 e só! Assim, teremos que: 1º)- º) 3 CVx=1/6=0,461 Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0 º)+ 1º)x3 Etedido? Ótimo! Acho que por hoje já há o bastate! Seguem as questões do Dever de Casa de hoje, e a próxima aula ecerraremos o estudo das medidas de dispersão! Ok? Forte abraço a todos! E fiquem com Deus! wwwpotodoscocursoscombr 7

26 Dever de Casa: 54 (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No cojuto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: a),1 d),8 b),4 e) 3,1 c),6 55 (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do cojuto de dados A={, 4, 6, 8, 10} é, aproximadamete: a),1 b),4 c),8 d) 3, e) 3,6 56 (AFC-94) Etre os fucioários de um órgão do govero, foi retirada uma amostra de dez idivíduos Os úmeros que represetam as ausêcias ao trabalho registradas para cada um deles, o último ao, são: 0, 0, 0,,,, 4, 4, 6 e 10 Sedo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é: a) 3 c) 10 b) 9 d) (Fiscal de Redas RJ 003 FJG) O desvio-padrão populacioal dos valores 30, 40 e 50 é igual, aproximadamete, a: A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16 58 (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquias copiadoras registrou em cada uma delas o último mês (em 1000 uidades): 0, 3, 5, 7 e 30 cópias, respectivamete O valor da variâcia desta população é: a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 5 59 (Cotrolador de arrecadação RJ 004 FJG ) Os valores de uma amostra de cico elemetos são: 4, 3, 3, 5 e 5 A variâcia dessa amostra é de: A) 4,00 b) 3,00 c),33 d) 1,00 60 (AFPS-00/ESAF) Dada a seqüêcia de valores 4, 4,, 7 e 3 assiale a opção que dá o valor da variâcia Use o deomiador 4 em seus cálculos a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 61 (AFTN-98) Os dados seguites, ordeados do meor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (X i ) de ações, tomada uma bolsa de valores iteracioal A uidade moetária é o dólar americao 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 3 Os valores seguites foram calculados para a amostra: Σ i X i = 490 e Σ i X i (Σ i X i ) / 50 = 668 Assiale a opção que correspode à mediaa e à variâcia amostral, respectivamete (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) wwwpotodoscocursoscombr 8

27 c) (8,0 15,0) 6 (AFC-94) A média e a variâcia do cojuto dos salários pagos por uma empresa eram de $85000 e 1,167x10 10, respectivamete O valor da variâcia do cojuto dos salários após o corte de três zeros a moeda é: a) 1,167x10 7 c) 1,167x10 5 b) 1,167x10 6 d) 1,167x (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90000,00 e o desvio padrão dos salários era de $10000,00 Todos os salários receberam um aumeto de 10% O desvio padrão dos salários passou a ser de: a) $ 10000,00 d) $ 10900,00 b) $ 10100,00 e) $ 11000,00 c) $ 10500,00 64 (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permaêcia o mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguites resultados para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb Grupo A: X a = 10 meses e Sa=4 meses Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses É correto afirmar que: a) a dispersão relativa o grupo A é maior que o grupo B b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B e) a média etre os dois grupos é de 180 meses 65 (TCU-93) O quadro abaixo apreseta a reda mesal per capita das localidades A e B: Localidade Média Desvio Padrão A B Assiale a opção correta: a) O itervalo semi-iterquartílico é dado por [10, 15] b) A reda da localidade A é mais homogêea que a reda a localidade B c) O coeficiete de variação é 50/75 d) A reda da localidade B é mais homogêea que a da localidade A e) Os coeficietes de variação de reda as localidades A e B são iguais 66 (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determiado produto, realizada em dois mercados, produziu os resultados mostrados a tabela abaixo: Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg) I 5,00,50 II 4,00,00 wwwpotodoscocursoscombr 9

28 Com base esses resultados, é correto afirmar que a) o mercado I, a dispersão absoluta dos preços é meor que o mercado II b) o mercado I apreseta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do mercado II c) o mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta d) o mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II e) cosiderado os mercados I e II como se fossem um úico mercado, a dispersão absoluta da distribuição resultate é igual a 4,5 67 (AFRF-00) Uma variável cotábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresetado os resultados seguites: Grupo Média Desvio padrão A 0 4 B 10 3 Assiale a opção correta a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A d) A dispersão relativa de Y etre os Grupos A e B é medida pelo quociete da difereça de desvios padrão pela difereça de médias e) Sem o cohecimeto dos quartis ão é possível calcular a dispersão relativa os grupos 68 (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e desvio-padrão S = 3 Cosidere as variáveis: y = x +1 e z = x A úica afirmação errada é: a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética b) o desvio padrão de y é 6 c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão d) a média de y é 1 e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiete de variação 69 (FTE-PA-00/ESAF) Um certo atributo W, medido em uidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão uitário Assiale a opção que correspode ao coeficiete de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W a) 16,7% b) 0,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,% 70 (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 00 / ESAF) Aplicado a trasformação z = (x - 14)/4 aos potos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários míimos Assiale a opção que correspode ao desvio padrão dos salários ão trasformados a) 6,0 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,0 e) 3,90 71 (AFRF-003/ESAF) O atributo Z= (X-)/3 tem média amostral 0 e variâcia amostral,56 Assiale a opção que correspode ao coeficiete de variação amostral de X a) 1,9% d) 31,% b) 50,1% e) 10,0% c) 7,7% 7 (AFRF-000) Numa amostra de tamaho 0 de uma população de cotas a receber, represetadas geericamete por X, foram determiadas a média wwwpotodoscocursoscombr 30

29 amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável trasformada (X-00)/5 Assiale a opção que dá o coeficiete de variação amostral de X a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% 73 (AFRF-00) Um atributo W tem média amostral a 0 e desvio padrão positivo b 1 Cosidere a trasformação Z=(W-a)/b Assiale a opção correta a) A média amostral de Z coicide com a de W b) O coeficiete de variação amostral de Z é uitário c) O coeficiete de variação amostral de Z ão está defiido d) A média de Z é a/b e) O coeficiete de variação amostral de W e o de Z coicidem 74 (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de veda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 5 revededores, a tabela de freqüêcias seguite: Classe de m i f i Preços [ 5 9) 7 3 [ 9 13) 11 5 [13 17) 15 7 [17 1) 19 6 [1 5) 3 3 [5 9) 7 1 As quatidades m i e f i represetam o poto médio e a freqüêcia da classe de preços i Sabedo-se que: Σ i (f i m i ) (Σ i f i m i ) / assiale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral a) 0,5 (347/3) 05 b) 6 c) 0,9 (345/3) 05 d) 8,91 e) 8 75 (AFRF-00) Em um esaio para o estudo da distribuição de um atributo fiaceiro (X) foram examiados 00 ites de atureza cotábil do balaço de uma empresa Esse exercício produziu a tabela de freqüêcias abaixo A colua Classes represeta itervalos de valores de X em reais e a colua P represeta a freqüêcia relativa acumulada Não existem observações coicidetes com os extremos das classes Classes P (%) Cosidere a trasformação Z=(X-140)/10 Para o atributo Z ecotrou-se 7 f i= = i Z i, ode f i é a freqüêcia simples da classe i e Z i o poto médio de classe trasformado Assiale a opção que dá a variâcia amostral do atributo X a) 70,00 b) 840,0 c) 900,10 d) 100,15 e) 560,30 wwwpotodoscocursoscombr 31

30 76 (AFRF-00) O atributo do tipo cotíuo X, observado como um iteiro, uma amostra de tamaho 100 obtida de uma população de 1000 idivíduos, produziu a tabela de freqüêcias seguite: Classes Freqüêcia (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89, ,5-99,5 10 Assiale a opção que correspode ao desvio absoluto médio do atributo X a) 16,0 d) 18,1 b) 17,0 e) 13,0 c) 16,6 Bos estudos a todos! Forte abraço! wwwpotodoscocursoscombr 3