UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER

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1 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER Elaboração de um Objeto para Aprendizagem - OPA: Aplicações na Matemática Financeira Capitalização, Financiamento e Desvalorização. São Paulo 2010

2 VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Elaboração de um Objeto para Aprendizagem - OPA: Aplicações na Matemática Financeira Capitalização, Financiamento e Desvalorização. Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Profª. Dra. Janete Bolite Frant. São Paulo 2010

3 R645e Rojas-Santander, Victor Marcelo Elaboração de um Objeto de Aprendizagem OPA: Aplicações na Matemática Financeira Capitalização, Financiamento e Desvalorização. / Victor Marcelo Rojas Santander São Paulo : [s.n.], f.; il. ; 30 cm.+ 1 CD-ROM Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profª Drª. Janete Bolite Frant. 1. Semiótica 2. Progressões geométricas 3. Matemática financeira 4.Aprendizagem - matemática - I. Título. CDD: 372.7

4 Banca Examinadora UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO VICTOR MARCELO ROJAS SANTANDER Elaboração de um Objeto Para Aprendizagem OPA Aplicações na Matemática Financeira Capitalização, Financiamento e Desvalorização Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN, à seguinte banca examinadora: UNIBAN SÃO PAULO

5 Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: Local e Data:

6 Dedico este trabalho a todos os meus familiares desde meus avós até os meus netos, pela paciência, perseverança carinho e compreensão, elementos necessários que me permitem colaborar com este grão de areia e assim poder retribuir a carinhosa acolhida que sempre tive aqui no Brasil.

7 AGRADECIMENTOS Agradezco a mi familia chilena, Chelita (mamá), Loreto y Carlos (mis hermanos), Carlitos, Paulita, Danielita y Javierita (mis sobrinos) y a mis sobrinos nietos, porque siempre pensaron en mi bienestar y de los míos. A Toquito (papá), abuelitos, tíos, Tachito y Luchín (primos) que desde arriba vigilan por nosotros. Aos Professores Doutores Tânia Maria Mendonça Campos, pelo grande espírito incentivador, Ruy Pietropaolo e toda a equipe de professores desse magnífico Programa de Pós-Graduação pelos ensinamentos que foram, são e serão úteis na vida profissional. Às Professoras Doutoras Janete Bolite Frant, pelo trabalho de orientação e a confiança que depositou em mim no desenvolvimento desta dissertação, Monica Karrer, pelas valiosas informações prestadas e Rosana Giaretta Sguerra Miskulin pela grande colaboração durante as Bancas de Qualificação e Defesa. Aos colegas, amigos e companheiros até nos momentos de apuros do Programa de Pós-Graduação, com quem tive o prazer de conviver, e em especial àqueles que participaram nesta pesquisa. Aos funcionários do Programa de Pós-Graduação, que sempre foram prestativos e atenciosos para comigo. Aos meus amigos Antonio Paschoal de Caroli e Alberto Schiesari, que sempre estiveram presentes nos momentos da minha vida. À minha família, Cynthia (esposa), Ana Paula, Ana Cláudia e Eduardo, Victor Marcelo e Andrea, Júlio César e Cláudia (filhos e cônjuges), e meus maravilhosos netos Rachel, Sarah e Marcelo Miguel, pelo amor, compreensão, paciência e tolerância que sempre tiveram. A todos meu Muito Obrigado.

8 Sumário LISTA DE FIGURAS... x LISTA DE GRÁFICOS... xi LISTA DE QUADROS...xii LISTA DE TABELAS...xiv RESUMO...xv ABSTRACT...xvi INTRODUÇÃO... 1 Capítulo 1 Fundamentação Teórico-Metodológica Teoria dos Registros de Representação Semiótica Design Instrucional e Construtivismo Impacto da Tecnologia no Processo de Ensino e Aprendizagem Metodologia do Design-based research...25 Capítulo 2 Objetos Para Aprendizagem De Objetos de Aprendizagem para Objetos Para Aprendizagem Elaboração do OPA Funcionalidades Esperadas...37 Capítulo 3 Fase Preparatória Análise dos Livros Didáticos Matemática Dante Volume Único Kátia Stocco Smole et al. Matemática Márcio Cintra Goulart - Matemática Análise de Dissertações e Livros Didáticos Especializados Análise das Dissertações...50

9 Análise de Livros Didáticos Especializados Análise do Caderno do Professor As Entrevistas e as Atividades Elaboração da 1ª Versão do OPA...78 Capítulo 4 Fase Implementação A Atividade Avaliativa da 1ª Versão do OPA A Versão Final do OPA...99 Capítulo 5 Considerações Finais BIBLIOGRAFIA ANEXO I Termo de Consentimento

10 x LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Mapa Conceitual da Fundamentação Teórica - Metodológica... 8 Figura 2 - Esquema de Organização Semiótica e do Funcionamento das Representações Gráficas Figura 3 - Mapa Conceitual dos Aspectos do Objeto Para Aprendizagem Figura 4 - Mapa Conceitual da Fase Preparatória Figura 5 - Registros utilizados na 2ª Atividade para o Montante Figura 6 - Representação gráfica de uma Capitalização Figura 7 - Associação das parcelas com os termos da P.G Figura 8 - Associação de P 2 a P 6 com os termos da P.G Figura 9 - Procedimento sugerido com calculadora simples Figura 10 - Mapa Conceitual da Fase Implementação Figura 11-1ª Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos Figura 12 Resposta do Grupo A - 1ª Tela de Visualização Figura 13 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros Compostos Figura 14 Resposta do Grupo A - Tela para o Cálculo das Parcelas Figura 15 - Resposta do Grupo B - Tela para o Cálculo das Parcelas Figura 16 - Área do Valor da Geladeira Figura 17 - Tela Reduzida do Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento a Juros Compostos Figura 18 Resposta de ordem geral Grupo A Figura 19 - Resposta de ordem geral Grupo B Figura 20 - Resposta de ordem geral Grupo C Figura 21 Menu Principal da 1ª Proposta do OPA Figura 22 Menu Principal da versão final Figura 23 - Tela de Visualização para Financiamento - Juros Compostos Figura 24 Áreas laterais da Tela de Visualização Figura 25 - Tela para o Cálculo do Valor das Parcelas Financiamento Figura 26 Área de cálculo preenchida Figura 27 Área de ajuda preenchida

11 xi LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1 - Representação de uma Sequência Uniforme Diferida p Gráfico 2 - Registro gráfico proposto para o problema n o Gráfico 3 - Correspondência das parcelas aos termos da P.G Gráfico 4 - Representação Gráfica do problema analisado Gráfico 5 - Representação Gráfica do VP x VF Gráfico 6 - Representação Gráfica da evolução do VP Gráfico 7 - Representação Gráfica do 1 o termo da PG Gráfico 8 - Representação Gráfica do 2 o termo da PG Gráfico 9 - Representação Gráfica da PG Gráfico 10 - Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos... 79

12 xii LISTA DE QUADROS Quadro 1 - Processo de produção dos módulos e objetos de aprendizagem Quadro 2 - Interface do OPA Quadro 3 - Resumo das noções de Matemática Financeira - Dante Quadro 4 Exemplo n o 1 Vunesp Quadro 5 - Exemplo n o Quadro 6 - Fórmula do Montante a Juros Compostos Quadro 7 - Juros e Funções Quadro 8 - Juros Simples - Montante em função do tempo Quadro 9 - Juros Compostos - Montante em função do tempo Quadro 10 - Resumo da Unidade 6: - Sequência, P.A. e P.G. - Smole Quadro 11 - Resumo das Noções básicas de Matemática Financeira - Goulart Quadro 12 - Juros Simples Juros em função do tempo Quadro 13 - Juros Simples - Montante em função do tempo Quadro 14 - Uso da calculadora financeira HP 12C Quadro 15 - Análise da Atividade 2 Juros Simples Financiamento Quadro 16 - Análise da Atividade 5 Juros Simples Capitalização (p. 71) Quadro 17 - Análise da Atividade 12 Juros Compostos Capitalização Quadro 18 - Resultados verificados Quadro 19 - Comparativo da Evolução de um Capital Quadro 20 - Tabela de Capitalização Juros Simples Quadro 21 - Tabela de Capitalização Juros Compostos Quadro 22 - Parcela associada ao tempo Quadro 23-1º Aspecto gerador de dúvidas Quadro 24-2º Aspecto gerador de dúvidas Quadro 25 - Enunciado e Solução problema n o Quadro 26 - Representação tabular de um registro de tabelas Quadro 27 - Primeira Questão da Primeira Atividade Quadro 28 - Segunda Questão da Primeira Atividade Quadro 29 - Terceira Questão da Primeira Atividade Quadro 30 Enunciado de uma operação de Financiamento Quadro 31 - Enunciado do problema n o

13 xiii Quadro 32 - Mudança para o período n = Quadro 33 - Primeira questão da 1ª Atividade Quadro 34 Evolução dos Capitais - Juros Simples e Juros Compostos Quadro 35 - Resposta do grupo 1 folha Quadro 36 - Resposta do grupo 1 folha Quadro 37 - Resposta do grupo 2 folha Quadro 38 - Resposta do grupo 2 folha Quadro 39 - Resposta do grupo 2 folha Quadro 40 - Resposta do grupo 2 folha Quadro 41 - Problema enfatizando o uso do fator de atualização de Capitais Quadro 42 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha Quadro 43 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 1 folha Quadro 44 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha Quadro 45 - Resposta do Problema 1 da Atividade 2 do grupo 2 folha

14 xiv LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Tipos e funções de representações Tabela 2 - Classificação dos Registros Mobilizáveis na Atividade Matemática Tabela 3 - Exemplo de análise da Congruência da atividade de Conversão Tabela 4 - Classificação dos Registros de Representação Semiótica... 18

15 xv RESUMO O objetivo desta pesquisa é construir um Objeto Para Aprendizagem 1 - OPA a respeito das operações financeiras de Capitalização, Financiamento e Desvalorização, por meio de investigação e análise de processos envolvidos na elaboração de atividades educacionais referentes às progressões aritméticas e geométricas, aplicadas à Matemática Financeira para o Ensino Médio. Este estudo abrange o design deste OPA levantando os aspectos que podem favorecer o processo de ensino e aprendizagem. A fundamentação teórica se baseia na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (RRS) de DUVAL (1995, 2000, 2003, 2006). Exploramos as representações dos registros semióticos e suas conversões sobre o objeto matemático de operações financeiras cotidianas, sob uma perspectiva construtivista para o design instrucional segundo ARCAVI (2000), e com um enfoque tecnológico de BOLITE FRANT et al (2003); buscamos destacar as potencialidades didáticas e pedagógicas que esses objetos oferecem. A metodologia utilizada foi a de Design Experiment (COBB et al., 2003) que é caracterizada por ser pragmática e teórica, iterativa, trazendo ainda a possibilidade que os experimentos realizados conduzam ao desenvolvimento de teorias. O trabalho foi organizado em duas fases. A Fase Preparatória foi composta pela revisão bibliográfica dos livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009, Caderno do Professor de Matemática (2009) da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, dissertações e livros didáticos especializados em Matemática Financeira, entrevistas, e análise das atividades do objeto matemático em estudo com professores/alunos do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, atuantes no Ensino Médio e em Universidades. Estas ações nos levaram a elaborar um design que permitiu a transposição informática das representações dos registros semióticos, e a desenvolver a 1ª versão do Objeto Para Aprendizagem OPA. A segunda fase deste estudo, que designamos como Fase de Implementação, foi composta pelo ciclo de interações com os professores/alunos participantes da pesquisa através de atividades exploratórias com as representações semióticas incorporadas no OPA, objetivando depurar suas funcionalidades até a construção de sua versão final. Como resultado oferecemos uma versão do Objeto Para Aprendizagem intitulada Capitalização, Financiamento e Desvalorização, e referências às suas potencialidades de uso. Palavras-Chave: Registros de Representação Semiótica. Objetos Para Aprendizagem. Noções de Matemática Financeira. Capitalização, Financiamento e Desvalorização. Uso das Progressões Geométricas e Aritméticas em Matemática Financeira. 1 Financiado parcialmente pelo projeto Learning Object Virtual Enviroment Mathematics Education /Tidia Ae/Fapesp Projeto # 05/

16 xvi ABSTRACT The objective of this research is to build an Object For Learning OPA about the financial operations of Capitalization, Financing and Devaluation, by means of investigation and analysis of the processes involved in carrying out educational activities on arithmetic and geometric progressions applied to financial mathematics for high school. This study covers the design of this OPA including the aspects that can facilitate the process of teaching and learning. The theoretical framework is based on the Theory of the Semiotic Representation Registers (RRS) of Duval (1995, 2000, 2003, 2006). We explore the representations of semiotic registers and their conversions on the mathematical object of daily financial transactions, under a constructivist approach to instructional design as per Arcavi (2000), with a focus on technology of Bolite Frant et al (2003), we highlight the didactic and pedagogical potential these objects offer. The methodology used was the Design Experiment (COBB et al., 2003) which is characterized by being pragmatic and theoretical, iterative, bringing the possibility that the experiments lead to the development of theories. The work was organized in two phases. A "Preparatory Phase" was composed by bibliographic review of textbooks from the catalog of the National Book Program for High School PNLEM/2009, Professor Notebook of Mathematics (2009) of the Education Department of the State of São Paulo, dissertations and textbooks specialized in Financial Mathematics, interviews, and analysis of the activities of the mathematical object studied with teachers / students of Academic Master in Mathematics Education, acting in high school and universities. These actions have led us to build a design that allowed the implementation of the computational transposition of semiotic representations, and thus to develop the 1st version of Object For Learning - OPA. The second phase of this study we call the "Implementation Phase", was composed by the cycle of interactions with teachers / students participating in the survey through exploratory activities with the semiotic representations incorporated into the OPA, in order to debug the features until its final version. As a result we offer a version of Object For Learning entitled "Capitalization, Financing and Devaluation" and references to its potential use. Keywords: Registers of Semiotic Representation. Learning Object. Basics of Financial Mathematics. Capitalization, Financing and Devaluation. Use of Arithmetic and Geometric Progressions.

17 1 INTRODUÇÃO Nos dias atuais somos constantemente bombardeados com informações a respeito de conceitos de Matemática Financeira nas diferentes mídias, como por exemplo, para começar a pagar daqui a 90 dias, em 10 vezes sem juros e assim por diante. Informações que requerem conhecimento básico desses conceitos. Deste modo, para que nossos alunos exerçam seus direitos de cidadãos é importante que aprendam na escola como interpretar estes conceitos. As tecnologias digitais exigem novas habilidades para interpretar, compreender e expressar o nosso dia-a-dia; várias são as pesquisas acerca da utilização de softwares educacionais na sala de aula, que reforçam o uso deste tipo de recurso como potencializador do processo de ensino e aprendizagem, proporcionando estratégias didáticas e atividades mais ricas e variadas. Segundo Wiley (2000), as inovações tecnológicas atuam como um agente de mudanças que afetam paradigmas, provocam novos designs e formas de desenvolvimento dos materiais educacionais. Segundo Bolite Frant et al (2003), a tecnologia pode ser vista como prótese. Os autores caracterizam esta prótese como algo que vai além de reparar um objeto perdido ou faltante; assim, um sujeito cognoscente munido de uma prótese poderá fazer coisas que não faria sem ela; não apenas de forma mais rápida, mas principalmente de maneira diferente. Citam como exemplo o caso do cego, para o qual é difícil dizer onde se localiza o tato: na sua mão, nos dedos ou na bengala. A bengala oferece uma percepção que auxilia a falta de visão, mas é distinta da própria visão e complementa o próprio tato. Desta forma, o objetivo desta pesquisa é investigar e analisar os processos envolvidos na elaboração de atividades educacionais a respeito de Aplicações à Matemática Financeira, além de evidenciar diversas formas de registros semióticos de conceitos matemáticos usados nesse campo de conhecimento, a partir da tecnologia, e sua influência no trabalho e na forma de pensar dos professores.

18 2 Nesse sentido, ela transcende as ideias de Wiley a respeito de objetos de aprendizagem, ampliando os princípios instrucionais associados ao construtivismo de Arcavi e as ferramentas propostas por DiSessa, como será detalhado a posteriori. Explora as transformações dos Registros de Representações Semiótica de DUVAL para adequá-las na transposição informática de questões relativas à Matemática Financeira abordadas no 1º bimestre da 1ª série do Ensino Médio. A ideia é a convergência de todos esses recursos para a construção de um objeto digital educacional que designamos por Objeto Para Aprendizagem OPA - intitulado Capitalização, Financiamento e Desvalorização, evidenciando as potencialidades didáticas e pedagógicas desses objetos. O objetivo inicial da pesquisa, até meados do 1º semestre de 2009, era investigar e analisar os processos envolvidos no design de atividades educacionais, também com o intuito de desenvolver um objeto digital educacional de conteúdo matemático relacionado à questão do infinito. Ao avançar na pesquisa bibliográfica foram encontrados diversos tópicos onde o conceito de infinito apareceu como parte integrante dos textos do ensino médio; um deles foi no estudo das sequências, particularmente aquelas conhecidas como progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG). Aprofundando a pesquisa relativa a progressões aritméticas e geométricas foi encontrado o Caderno do Professor de Matemática da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo - Ensino Médio - 1ª Série - Volume , que doravante passa a ser citado como o Caderno do Professor. Essa obra é distribuída para toda a rede estadual de escolas de ensino fundamental (ciclo 2) e médio. Nela são abordadas quatro situações de aprendizagem (ibid. p. 9-10), a saber: 1. Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e/ou geométricas; 2. Progressões aritméticas ou progressões geométricas; 3. Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à Matemática Financeira; 4. Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita. Na situação de aprendizagem 3 etapa 2 (ibid. p ), para o tópico de aplicações à Matemática Financeira, são introduzidos os seguintes tópicos:

19 3 1 Conceitos financeiros envolvidos em processos de capitalização e financiamento; 2 Cálculos para as parcelas e valores de resgate ou empréstimos. Ressaltamos que a contextualização utilizada apresenta enunciados de situações cotidianas de financiamento, poupança com o cálculo das parcelas, ou vice-versa, que são resolvidos pela soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG. Na análise efetuada neste conteúdo verificamos que o procedimento de cálculo para os parâmetros das operações financeiras, ou seja, o algoritmo utilizado, dispensava o uso de tabelas e/ou fórmulas financeiras mais rebuscadas, o que propicia um material didático adequado às competências e habilidades dos alunos da 1ª série do Ensino Médio. Verificamos também que para o cálculo dos parâmetros nas operações de financiamento, alguns dos exemplos propostos apresentavam distorções que podem acarretar futuros problemas para o aprendiz na compreensão de conceitos da matemática financeira. Sendo assim, vi criada a oportunidade para mudar o objeto matemático da pesquisa e também poder contribuir para melhoria da Situação de Aprendizagem na aplicação à Matemática Financeira. A motivação pessoal decorre da prática docente desta disciplina como professor universitário por mais de 30 anos, quando houve a constatação das dificuldades dos alunos referentes tanto à interpretação dos enunciados quanto à compreensão dos conceitos matemáticos nas operações financeiras. Além disso, minha experiência profissional no mercado corporativo, na área de informática, sempre me incentivou a usar recursos tecnológicos cabíveis e disponíveis da época em sala de aula, tais como calculadoras, microcomputadores, softwares, redes e plataforma voltada para Ensino a Distância TelEduc ; este casamento avaliza e reforça a minha confiança do uso desses recursos no processo de ensino e aprendizagem para objetos matemáticos. Nessa linha, os primeiros passos desta investigação foram à procura de bibliografias, softwares educacionais e sites específicos que tratassem do cálculo de montante ou de parcelas, recorrendo à soma dos termos finitos de uma progressão

20 4 aritmética ou geométrica; procuramos também em livros didáticos especializados em matemática financeira para cursos universitários. Dada a escassez de material digital e bibliográfico com esta especificidade, vimos reforçada a necessidade de elaborar um objeto para aprendizagem que permitisse a manipulação e a visualização dos parâmetros financeiros, objetivando facilitar o entendimento dos conceitos envolvidos, utilizando o computador. Buscamos compreender os processos matemáticos sob a ótica da teoria dos Registros de Representação Semiótica, para utilizá-los na elaboração do objeto para aprendizagem. Segundo Duval (2006) são as transformações dessas representações semióticas que são importantes para o discernimento e apreensão conceitual de um objeto ou para a compreensão de uma inferência, e não as próprias representações. Desta forma a interação dos professores de matemática pesquisados é analisada prioritariamente segundo essa teoria. Convém lembrar que a formulação das perguntas que orientaram a pesquisa passou por diversas reavaliações. Sempre houve o cuidado e a preocupação de tornar as perguntas o mais explicitas possíveis, para ressaltar o aspecto principal da pesquisa dentro do contexto das potencialidades didáticas e pedagógicas dos objetos de aprendizagem; do foco dado ao ensino de matemática financeira no ensino médio; do como é feito o ensino de matemática; das inter-relações entre os processos de ensino e aprendizagem da matemática financeira e a tecnologia; e das possibilidades da tecnologia no ensino da matemática financeira. Em concordância com o objetivo desta pesquisa, que é investigar e analisar os processos envolvidos no design de atividades educacionais e as interações dos professores pesquisados, e objetivando colher subsídios para o desenvolvimento do OPA, as perguntas formuladas foram as que destacam as potencialidades didáticas e pedagógicas de objetos para aprendizagem no ensino da Matemática Financeira. a) Qual a abordagem metodológica e recursos tecnológicos utilizados em sala de aula pelos professores pesquisados quando ensinam noções de Matemática Financeira?

21 5 b) 1 - Que aspectos do OPA podem favorecer no processo de ensino e aprendizagem de noções de Matemática Financeira? 2 - Como os professores desenvolveram diferentes registros semióticos ao interagir com o OPA? Investigar essas questões significou pesquisar a importância dos registros de representações semióticas, nos aspectos de visualização, interpretação e compreensão de conceitos matemáticos, especificamente progressões aritméticas e geométricas atreladas a parâmetros financeiros. No processo de definição da questão investigativa surgem outras questões, concernentes ao conhecimento de Matemática Financeira pelo professor do Ensino Médio. Segundo Farias (2007, p. 3) é de fundamental importância que o professor adquira um conhecimento profundo acerca do conhecimento matemático, pois o tipo de compreensão a ser desenvolvida não se refere à memorização de fórmulas e à execução de procedimentos. Em nosso caso a forma de ensinar deve privilegiar o entendimento da relação entre as operações financeiras nas diversas modalidades e os conceitos de PA e PG associados à linha do tempo, notadamente o nexo entre as parcelas e os termos das progressões. Como o objetivo principal é a elaboração de um objeto digital de acordo com o até aqui estabelecido, a transposição informática a ser desenvolvida no Objeto para Aprendizagem Capitalização, Financiamento e Desvalorização está alicerçada nas atividades de aprendizagem propostas no Caderno do Professor e fundamentada na Teoria de Registros de Representações Semióticas. Sendo assim, no capítulo 1 intitulado Fundamentação Teórica - Metodológica, apresentamos os pressupostos teóricos de DUVAL (1995, 2000, 2003, 2006) a respeito dos registros de representação semiótica que representam o principal referencial teórico desta pesquisa. No processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos, DUVAL (2003) busca compreender as dificuldades que muitos alunos têm na compreensão das matemáticas, como é a sua natureza e onde se encontram. Para responder a essas questões não se pode fazer uma análise tão somente do ponto de vista matemático e epistemológico, é necessário também do ponto vista cognitivo, pois o objetivo do ensino da matemática [...] é contribuir para

22 6 o desenvolvimento geral da capacidade de raciocínio, de análise e de visualização (ibid. p.11). Nesse sentido, a aprendizagem das matemáticas constitui, por um lado, um campo de estudo privilegiado para análise das atividades cognitivas fundamentais, como a conceptualização, o raciocínio, a resolução de problemas e a compreensão de textos; por outro lado, considera que essas atividades cognitivas requerem a utilização de sistemas de expressão e de representação além da língua natural ou das imagens, como várias escritas para os números, notações simbólicas para os objetos, figuras geométricas, representações em perspectivas, diagramas, esquemas e outros. O autor também ressalta a importância das propriedades específicas de cada registro e a conversão de uma representação de um tipo de registro para outra representação de outro tipo de registro distinto, como, por exemplo, de língua natural escrita para a representação simbólica algébrica. Além disso, neste capítulo será descrita a perspectiva construtivista para o desenho instrucional segundo Arcavi (2000). Como reforço teórico para utilização de tecnologia em sala de aula, é utilizado Bolite Frant (2001). Observar também que a estreita relação e afinidade dos objetivos deste trabalho com a metodologia do Design Experiment, Cobb et al (2003), levou à sua adoção. No capítulo seguinte observamos os padrões da Rede Interativa Virtual de Educação 2 (RIVED), adotada pela Secretaria de Educação à Distância SEED / MEC para a produção de conteúdos pedagógicos digitais, designados por Objetos de Aprendizagem (OA), que tem por objetivo melhorar o processo de ensino e aprendizagem das disciplinas da educação básica e a formação cidadã do aluno. Desta forma, as preocupações e equipes envolvidas nas fases do desenvolvimento preconizadas por esta metodologia servem de base para a caracterização e elaboração do software educacional que chamamos de Objeto Para Aprendizagem. Com o objetivo de analisar os registros semióticos, as conversões realizadas e as relações entre os diversos registros de representação semiótica, referentes ao conteúdo de matemática que norteia este estudo, no terceiro capítulo é feita revisão bibliográfica nos livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009 e no Caderno do Professor. Também foi feita pesquisa 2 Um projeto de colaboração Internacional na América Latina DEIED/SEED/MEC

23 7 em sites de entidades nacionais, dissertações, teses, textos, objetos de aprendizagem, webquest e outros, relativos à Matemática Financeira. No mesmo capítulo (Fase Preparatória) e no quarto (Fase Implementação), são abordados a metodologia utilizada, os procedimentos metodológicos de coleta de dados, as entrevistas e depoimentos. Foram incorporados tanto uma descrição das atividades realizadas quanto um comparativo entre as evidências obtidas e os resultados das pesquisas, objetivando a construção do OPA. A Análise dos Dados das atividades exploratório-investigativas, observações e entrevistas de cada fase, foi fundamentada sob a ótica da teoria dos registros de representação semiótica. Resumidamente, as análises obtidas nas pesquisas com os professores participantes apontaram que estes não possuem uma apreensão satisfatória das diversas representações, nem o domínio da coordenação entre os diversos registros apresentados. Diante desta situação, reforçamos a perspectiva de elaboração de um objeto para aprendizagem voltado para o ensino das noções de Matemática Financeira, abrangendo um trabalho de exploração dos diversos registros, das possíveis conversões, com ênfase na manipulação de registro gráfico. Para concluir, são apresentadas as Considerações Finais, e as Referências Bibliográficas adotadas.

24 8 Capítulo 1 Fundamentação Teórico-Metodológica Neste capítulo apresentamos a fundamentação teórica desta pesquisa. Para dar suporte ao nosso problema utilizaremos os registros de representação semiótica segundo Duval, articulando-os com as ideias de Arcavi sobre Design Instrucional e Construtivismo, e a noção de tecnologia como prótese de Bolite Frant, conforme Figura 1. E por fim apresentamos a metodologia escolhida de Design Research. Figura 1 - Mapa Conceitual da Fundamentação Teórica - Metodológica 1.1. Teoria dos Registros de Representação Semiótica Este trabalho não pretende descrever a complexidade do funcionamento cognitivo da compreensão em matemática que esta teoria nos apresenta, mas sim

25 9 analisar e destacar alguns pressupostos teóricos de Raymond DUVAL (1995, 2000, 2003, 2006) e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem para os conceitos específicos de Matemática Financeira, objeto dessa pesquisa. Essa abordagem torna-se necessária na medida em que os registros de representação semióticos impactam na construção do Objeto Para Aprendizagem. Diferentemente das outras ciências tais como a astronomia, por exemplo, onde há a possibilidade de observar seus objetos de estudo através de instrumentos como o telescópio, na Matemática é essencial a utilização de vários sistemas semióticos de expressão e representação, além da língua natural ou das imagens. DUVAL trata da importância das representações dos objetos matemáticos no processo ensino-aprendizagem, as quais podem ser simbólicas, notações algébricas, escritas na língua natural, gráficos, figuras geométricas e outros registros que possibilitam a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, que representam a base de sua teoria. Para o autor, a maneira matemática de raciocinar e de visualizar está diretamente relacionada ao uso das representações semióticas, e à forma de comunicação em Matemática está baseada nessas representações. DUVAL aborda a noção de representação recorrendo à oposição consciente/não consciente e externo-interna; tal caracterização é encontrada nos trabalhos dos seguintes autores: Le Ny, 1985; Paivo, 1986; Larkin et Simon, 1987 (apud DUVAL 1995, p. 40). A oposição consciente/não consciente é a oposição entre o que aparece a um sujeito, o que ele nota, e o que lhe escapa completamente, o que ele não pode notar. Nesse sentido DUVAL (ibid, p.40-43) define que a consciência se caracteriza pela intenção do sujeito quando qualquer coisa passar a ter a condição de objeto, desde que exista a intenção de efetuar este propósito. A ponte entre o estado de não consciente ao consciente é um processo de objetivação para o sujeito que toma consciência, a descoberta pelo próprio sujeito. As representações conscientes têm um caráter intencional, essencial do ponto de vista cognitivo para a significação do sujeito, e completam a função de objetivação. É através da significação que se faz a apreensão perceptiva ou conceitual de um objeto. Sendo assim, a significação é a

26 10 condição necessária de objetivação para o sujeito, isto é, da possibilidade de tomar consciência. A oposição externo-interna é a oposição entre o visível e/ou observável e aquilo que não o é, seja de um indivíduo, de um organismo ou de um sistema. As representações "externas" são representações semióticas que podem ser produzidas por um sujeito ou por um sistema, e se efetuam através da operacionalização de um sistema semiótico. DUVAL (1995, p.42) cita como contraexemplo a expressão das emoções que se percebem nas faces, as define como sintomas e não se caracterizam como representações externas. As representações externas exercem a função de comunicação e duas funções cognitivas: de objetivação e de tratamento. Por outro lado, uma representação interna pode ser consciente ou não consciente, e uma representação consciente pode ser, ou não, exteriorizada. No quadro seguinte são apresentados os três tipos de representações. Tabela 1 - Tipos e funções de representações Interna Externa Consciente Não-Consciente Mental Função de Objetivação Computacional Função de Tratamento automático ou quase instantâneo. Fonte: SEMIÓSIS E PENSAMENTO HUMANO, 1995, p.43 Semiótica Função de Objetivação Função de Expressão Função de Tratamento Intencional Segundo Santaella (1983, p.7) o nome semiótica vem da raiz grega semeion, que quer dizer signo. "Semiótica, portanto, é a ciência dos signos, é a ciência de toda e qualquer linguagem." (ibid, p.13) "A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno de produção de significação e de sentido.". Segundo DUVAL (2003, p.13) é suficiente observar a história do desenvolvimento da matemática para constatar que o desenvolvimento das representações semióticas constitui a essência para a evolução do pensamento matemático, e esta evolução se deve a duas razões fundamentais. Primeiramente,

27 11 existe o fato de que as possibilidades de tratamento matemático dependem do sistema de representação utilizado. Ele cita como exemplo as operações de cálculo com o sistema de numeração decimal, que apesar de oferecer mais possibilidade que o sistema grego ou romano de numeração, somente um terço dos alunos no início do collège (11 12 anos) parecem ter compreendido o funcionamento do sistema decimal, de acordo com as pesquisas realizadas na França pelo Ministério de Educação (1992, 1997 apud DUVAL 2003, p.13). A seguir existe a grande variedade de representações semióticas utilizadas em matemática citadas anteriormente. Para o autor dessa teoria o uso de sistemas semióticos de representação e expressão é essencial na aprendizagem da Matemática. Nesse sentido, para DUVAL, o uso de sistemas semióticos ultrapassa o domínio das matemáticas e sua aprendizagem. Passa a ser a própria natureza do funcionamento cognitivo do pensamento humano em suas atividades de apreensão conceitual, de raciocínio ou de compreensão de enunciados, que na aprendizagem das matemáticas sobressai das outras aprendizagens. Dois aspectos devem ser observados: - não se pode ter compreensão em matemática se não se diferencia o objeto da sua representação, porque um mesmo objeto pode ter várias representações. É o objeto representado que importa não as suas diversas representações semióticas possíveis (Deledicq 1979 apud DUVAL 1995, p. 14); - o segundo argumento é mais global e psicológico, e diz respeito às representações mentais, quer dizer, a totalidade de imagens e de conceituações que o sujeito pode construir sobre o objeto matemático. Para DUVAL as representações semióticas tais como fórmula algébrica, gráficos e outros, parecem ser o meio de que o sujeito dispõe para expressar suas representações mentais; sendo assim, elas seriam subordinadas às representações mentais e exerceriam somente a função de comunicação. Segundo DUVAL (2006, p. 3) a mobilização de pelo menos dois registros de representação ou a possibilidade de mudar em qualquer momento de um para o outro é a principal característica da atividade matemática, ou seja, a coordenação de dois registros. A tabela 2 contém a classificação dos registros mobilizáveis na atividade Matemática, classificados como multifuncionais ou monofuncionais com relação à sua natureza, e suas representações podem ser discursivas ou não discursivas. Os

28 12 Registros Multifuncionais são aqueles usados na função de comunicação como tratamento, mas não são algoritmizáveis; como exemplos temos a língua natural, deduções válidas a partir de definição ou de teoremas, apreensão operatória e não somente perceptiva, dentre outros. Os Registros Monofuncionais têm tratamento específico e são algoritmizáveis; como exemplos temos os sistemas numéricos, as notações algébricas, os gráficos cartesianos, dentre outros. Tabela 2 - Classificação dos Registros Mobilizáveis na Atividade Matemática Representação Representação Discursiva Não - Discursiva REGISTROS MULTIFUNCIONAIS Os tratamentos não são algoritmizáveis REGISTROS MONOFUNCIONAIS Os tratamentos são algoritmizáveis Língua natural Associações verbais (conceituais) Formas de raciocinar: - argumentação a partir de observações, de crenças,...; - dedução válida a partir de definição ou de teoremas. Sistemas de escritas - numéricas (binária, decimal, fracionária); - algébricas; - simbólicas (línguas formais). Cálculo Figuras geométricas planas ou em perspectiva (configurações em dimensão 0, 1, 2 ou 3 ) - apreensão operatória e não somente perceptiva; - construção com instrumentos. Gráficos cartesianos. - mudança de sistema de coordenadas; - interpolação, extrapolação. Fonte: DUVAL, 2003, p.14 Sendo assim, o pesquisador defende que, para o entendimento matemático, é importante estabelecer a coordenação entre pelo menos dois registros, em que um é multifuncional e o outro monofuncional, afirmando que...se nós considerarmos os níveis mais avançados de ensino, a predominância de registros discursivos monofuncionais tende a aumentar (DUVAL, 2000, p.66 apud Karrer, 2006, p.22). No processo de aprendizagem de um domínio específico de matemática o autor parte da asseveração resumida na afirmação: não há noésis sem semiósis. Chama de semiósis a apreensão ou produção de uma representação semiótica, e noésis os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a identificação de uma diferença ou a compreensão de uma inferência. Sendo assim, o desenvolvimento das representações mentais efetua-se como uma interiorização das representações semióticas, não se contrapondo a elas, e nem podendo ser visto como domínio diferente.

29 13 A identificação de vários sistemas semióticos que representam um mesmo objeto aumenta a capacidade cognitiva dos sujeitos, e em seguida as suas representações mentais (Beneviste,1974; Bresson, 1987, apud DUVAL, 2003). Duval define os registros de representação semiótica ou sistemas semióticos como produções constituídas com a utilização de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas próprias dificuldades de significância e de funcionamento. Por outro lado, para um sistema semiótico ser um registro de representação tem que englobar as atividades cognitivas de formação, de tratamento e de conversão. As atividades cognitivas de formação ou de identificação de um registro semiótico específico requerem que se saiba qual é o objeto matemático referenciado, e o conhecimento das regras de conformidade ou de funcionamento próprias do sistema semiótico utilizado, ou seja: - ser uma representação que possa ser identificada pelo sujeito, determinada por um enunciado compreensivo numa língua específica, num gráfico, numa figura geométrica, numa expressão simbólica e outros, equivalente a um programa computacional que obedece e respeita as regras já estabelecidas, não cabendo ao programador criá-las, mas utilizá-las para reconhecer as representações. São dois os tipos de transformações de representação semiótica, a atividade cognitiva de tratamento e de conversão, que são muito diferentes; por isso, quando elaboramos uma atividade matemática com uma resolução de problema ou quando analisamos a produção dos alunos devemos ter especial cuidado para distinguir uma da outra. A atividade cognitiva de tratamento ocorre quando podemos modificar a representação do objeto dentro de um mesmo registro, ou seja, uma transformação interna a um registro, o qual possui regras próprias a cada registro. A atividade cognitiva de conversão se caracteriza quando mudamos o sistema, conservando a referência do mesmo objeto. Segundo DUVAL (2003, p.16), do ponto de vista matemático, a conversão não exerce nenhum papel essencial nos processos de justificação ou prova, pois se procura utilizar o melhor registro de representação nos quais os tratamentos a ser efetuados sejam mais econômicos, mais potentes, ou para obter um registro

30 14 servindo de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam no outro registro. Mas, do ponto de vista cognitivo, a conversão constitui uma atividade de transformação representacional fundamental, que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. Ele nos alerta que a conversão não é operação simples que pode ser descrita como uma associação preestabelecida entre nomes e figuras como em geometria, ou reduzida a uma codificação; isso é uma visão superficial do ponto de vista teórico e da aprendizagem. Na conversão entre gráficos e funções, tem que se levar em conta as variáveis cognitivas próprias dos gráficos como inclinação, concavidade, intersecções, dentre outros, e das funções como os coeficientes, valores escalares; caso contrário há uma leitura pontual não permitindo uma apreensão global e qualitativa. Portanto, para Duval (ibid, p. 17) "a conversão das representações, quaisquer que sejam os registros considerados, é irredutível a um tratamento". A atividade cognitiva de conversão realiza uma transformação da representação que requer a percepção da diferença entre representante e representado, uma vez que é uma transformação externa ao registro da representação de partida, que reorganiza os elementos significantes num outro registro de chegada. Um dos dois fenômenos característicos diz respeito ao nível de proximidade ou afastamento entre os registros de partida e chegada, e às variações de congruência e não congruência, definidos por DUVAL (1995, p.18) a partir de três fatores, quais sejam: - Correspondência semântica na compreensão das unidades de significado à conversão nos dois registros; - Unicidade semântica para que cada unidade significante do registro de partida corresponda a apenas uma unidade significante no registro de chegada; - Conservação da ordem em que aparecem as unidades de significado em cada um dos registros de representação. Se um desses fatores não é verificado, as conversões são classificadas como não congruentes. Vários são os fatores que delimitam as situações intermediárias de

31 15 congruência ou não congruência de uma conversão, e estão diretamente correlacionadas às variações de sucesso ou fracasso nas operações de conversão. A seguir, um exemplo de variação de congruência ou não congruência de uma conversão. Tabela 3 - Exemplo de análise da Congruência da atividade de Conversão Correspondência A unicidade semântica das unidades semântica de significação. terminal. O conjunto de pontos cuja ordenada é superior à abscissa. y > x Conservação da ordem das unidades. Sim Sim Sim O conjunto de pontos que tem uma abscissa positiva. x > 0 O conjunto de pontos cuja abscissa e cuja ordenada têm o mesmo sinal. xy > 0 O produto da abscissa e da ordenada é maior que zero. Fonte: DUVAL, 2003, p. 14 Não Maior que zero é uma perífrase ( um só significado para várias palavras) Não Sim Não Sim Não Globalização descritiva. (dois casos) Se acontecer que a conversão seja congruente em um sentido e não congruente no outro sentido, caracteriza-se o segundo fenômeno, denominado fenômeno da heterogeneidade dos dois sentidos de conversão, pois a reversibilidade dos registros de partida e chegada, apesar de possível, não é tão óbvia. A coordenação entre representações ressaltando sistemas semióticos diferentes não tem nada de espontâneo. Sua colocação não resulta automaticamente de aprendizagem clássicas muito diretamente centradas sobre conteúdos de ensino. Um trabalho de aprendizagem específico centrado sobre a diversidade de sistemas de representação, sobre a utilização de suas possibilidades próprias, sobre sua comparação por colocar correspondência e sobre suas traduções mútuas uma dentro da outra, parece necessário para favorecê-la. [...] Não tem simplesmente sucesso, mas modificações de produções. Esse salto qualitativo no desenvolvimento das competências e das performances aparece ligado à coordenação de sistemas semióticos nos alunos. A compreensão conceitual, a diferenciação e o domínio de diferentes formas de raciocínio, as interpretações hermenêuticas e heurísticas dos enunciados são intimamente ligadas à mobilização e à articulação quase imediata de muitos registros de representação semiótica. A conversão de representações depende desta coordenação. (DUVAL, 1995, p.19)

32 16 O esquema de organização semiótica e do funcionamento das representações gráficas, a seguir, apresentado por DUVAL (ibid, p.18) servirá como base à nossa pesquisa, uma vez que pretendemos utilizá-los como sendo um dos registros de representação na transposição informática. Acreditamos que esses registros de representação gráfica permitirão visualizar melhor o enunciado do problema, proposto no registro da língua natural, para posteriormente usar outros registros no processo de cálculo na resolução de problemas. Figura 2 - Esquema de Organização Semiótica e do Funcionamento das Representações Gráficas. Fonte: DUVAL, 2003, p.18 A organização semiótica do exemplo apresentado torna possíveis três tipos de transformações, uma atividade de tratamento que diz respeito às operações internas ao(s) gráfico(s) e dois tipos de atividade de conversão com o registro simbólico. Observe que as ligações A e A dão uma visão pontual do(s) gráfico(s) e somente a coordenação B permite uma apreensão global qualitativa. Como atividade cognitiva esse exemplo é um dos casos mais elementares, pelo fato dos dois registros serem monofuncionais. Quando um dos registros é multifuncional, no caso da língua natural, a organização semiótica se torna mais difícil, tanto pela compreensão do enunciado como do conjunto complexo de operações para designar os objetos.

33 17 De acordo com o exposto, Duval formula o paradoxo para a compreensão em matemática e destaca que tal problema não ocorre em outros domínios de conhecimento científico, ao menos em etapas menos avançadas: Como podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a não ser por meio de sua representação? [...] A dificuldade se deve ao fato de que o objeto representado não pode ser identificado como o conteúdo da representação que o torna acessível. Frege (1971, pp. 89 e 102 e 103), distinguindo, para os signos matemáticos, a significação e a denotação, insistiu sobre essa diferença, como condição para o progresso dos conhecimentos. (ibid, p.21) Frege (1978, apud Karrer 2006, p. 14) introduz a distinção da significação e a denotação como sentido e referência para as expressões singulares. Enquanto a referência é o objeto por ele designado, no sentido está introduzido um valor cognitivo, e é aquilo no qual está contido o modo em que o objeto é dado pelo nome. Cita como exemplo, as expressões 4 e 8/2 que têm a mesma referência, mas expressam diferentes sentidos, ou seja, diferentes modos de conceber o mesmo número. É a diferenciação entre a significação e a denotação ou a referência e o sentido respectivamente, que segundo Duval (2003, p. 22) é o ponto decisivo, raramente observado, para responder ao paradoxo para a compreensão em matemática: o conteúdo de uma representação depende mais do registro de representação do que o objeto representado. Pelo fato de que em razão da passagem de um registro a outro, não se trata de tão somente mudar a forma de fazer o tratamento, há necessidade de explicitar as propriedades do novo registro ou dar uma visão diferente do mesmo objeto; portanto não terão o mesmo conteúdo, sendo assim, passa a ser a mobilização desses registros a base que dará as condições à compreensão em Matemática. A atividade cognitiva do exemplo anterior realiza uma transformação da representação que requer a percepção da diferença entre representante e representado, uma vez que é uma transformação externa à representação do registro de partida, que reorganiza os elementos significantes numa outra representação de registro de chegada. É apresentada na tabela 4 a classificação dos tipos de registros que pretendemos utilizar para a análise e o design do nosso estudo.

34 18 Tabela 4 - Classificação dos Registros de Representação Semiótica TIPO DE REGISTRO REPRESENTAÇÕES (Exemplos) Registro da língua natural Representação da língua natural em emprego comum Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês, qual o valor da parcela mensal? Representação gráfica Registro gráfico Registro simbólico Registro numérico Representação simbólico-algébrica Vf = Vp ( 1 + i ) n Representação fracionária Representação tabular Registro de Tabelas Segundo Pavlopoulou 3 um ensino sobre os vetores da Geometria Analítica deve contemplar explicitamente a coordenação de três registros de representação, da escrita simbólica, de tabelas e do gráfico. As diferentes representações do mesmo objeto devem constituir uma abordagem para a conceptualização do objeto matemático, e na conceptualização a conversão desempenha um papel essencial. Essa abordagem proposta para chegar à conceptualização de um objeto segue o 3 Tradução do autor da dissertação.

35 19 modelo cognitivo da representação, proposto por DUVAL em sua conferência Semiósis e Noésis em 1992 (DUVAL, 1992, p.15 apud Pavlopoulou, 1994, p.40). Acreditamos também, que essa estrutura da representação em função da conceptualização adaptada ao nosso objeto matemático permitirá facilitar a conceptualização tanto dos conceitos financeiros como do processo de cálculo dos valores monetários. Para DUVAL (1995, p. 80), a importância da diversificação dos registros de representação semiótica para o funcionamento do pensamento é explicada pelas diferenças de custo ou de limitação dos registros para a função de tratamento, e pelas facilidades existentes nos registros para a função comunicação. Em efeito, um registro pode permitir efetuar certos tratamentos de uma maneira muito mais econômica e mais possante que outro registro. Pelo cálculo, numérico ou algébrico, a escritura decimal dos números e as notações literais constituem um registro incrivelmente mais econômico e mais possante que a linguagem natural (Condillac, 1981). Da mesma maneira, o recurso a registros analógicos (figuras, esquemas, diagramas...) pode igualmente se revelar mais simples e mais possante que o recurso a registros de linguagem (texto descritivo, lista de fórmulas ou de relações...) para a resolução de problemas físicos ou geométricos. Porque as figuras e os esquemas permitem representar a totalidade das relações entre os elementos, constituindo um objeto ou uma situação (Bresson, 1987, p ; Larkin e Simon, 1987 apud DUVAL, 1995, p.80-81) A conversão constitui uma variável cognitiva importante em didática ao facilitar a aprendizagem ou oferecer procedimentos de interpretação. A questão colocada por DUVAL é a atividade conceitual implica na atividade semiótica ou é independente desta?. A resposta comumente adotada considera que não depende, por três razões: A primeira diz respeito à diversidade de registros de representação, mas se opta por aquele que é o mais econômico ou mais potente; A segunda diz respeito ao funcionamento do pensamento que parece mobilizar um só registro de cada vez. O reconhecimento de muitos registros justifica-se apenas nas situações onde uma mudança de registro se confirma necessária, para questões de custo de tratamento. A terceira diz respeito à estrutura da representação ligando o representante ao representado; a compreensão de uma representação no registro determinado implica diretamente na compreensão do conteúdo conceitual

36 20 representado, sobretudo quando o registro de representação é a língua natural. Dessa forma a relação entre a atividade semiótica e a atividade conceitual pode ser considerada de dois pontos de vista: quando a mudança de registro pressupõe uma coordenação de registro, então a atividade conceitual não pode ser isolada da atividade semiótica; e quando a mudança de registro se revela econômica e/ou potente no tratamento das representações; neste caso. Pode-se, então, manter a independência e a prioridade da atividade conceitual sobre a atividade semiótica. Este ponto de vista, que privilegia a função de expressão, é um modelo essencialmente linguístico. É o modelo mais frequentemente retido. (Duval, 1995, p. 83). Dadas as características do objeto matemático da nossa pesquisa, que requer mudanças de registros para efetuar as contas, facilitar a compreensão, fazer a organização semiótica focando a transposição informática, a ênfase será nas atividades de conversão e de coordenação entre representações, por aparentar ser um dos aspectos críticos do nosso estudo. Sendo assim, acreditamos que a escolha cuidadosa, especificamente, no trabalho de conversão permitirá ao aluno o contato com o objeto matemático de diversas formas, favorecendo a coordenação entre representações de registros distintos Design Instrucional e Construtivismo A adoção para uma perspectiva de um Design Instrucional e Construtivismo está baseada em Arcavi (2000) que sugere alguns princípios básicos que levem em conta a capacidade do aluno de raciocinar, de construir significados, de compreender uma ideia ou um conceito, de conectar o significado desta ideia com o significado de outra ideia em outro campo do conhecimento. E também preconiza um planejamento do ensino de matemática onde o aprendiz possa usar sua experiência prévia e o senso comum, que seja a formulação de uma argumentação, uma ideia, uma conexão entre conceitos e uma tradução entre diferentes representações, dentre outras.

37 21 Sendo assim, a perspectiva que utilizaremos é focada na observação sistemática das atitudes dos professores participantes durante a resolução de situações. Objetivando mudanças nas estruturas cognitivas dos participantes propomos a utilização da Teoria dos Registros de Representação Semióticos, para promover um processo de construção e reconstrução progressivo de ideias e concepções sobre os conceitos financeiros, tais como, taxa de juros, fator de atualização, capital, financiamento, parcelas e outros. Nossa proposta de mudança nas estruturas cognitivas de cada participante da pesquisa, não objetiva findar as existentes, e sim acrescentá-las através de novos registros semióticos que permitam proporcionar outra visualização do mesmo objeto matemático, e assim, ter uma nova compreensão desses conceitos financeiros. Na postura instrucional clássica, a preocupação fundamental com as atividades é baseada na decomposição lógica do domínio matemático especifico (Gagné 1979, apud Arcavi 2000). Esta decomposição estabelece conexões hierárquicas ordenadas pelo grau de dificuldade do conhecimento, por proposições gerais e destrezas de cálculos, cuja soma total descreveria o que significa ser competente no domínio matemático especificado. Este procedimento demarcaria o planejamento que serviria à elaboração de sequências de exercícios e problemas a ser percorrido ordenadamente. A postura instrucionista caracteriza-se, portanto, em ser um treinamento, o que leva os aprendizes a um desempenho competente, mas sem gerar explicitamente compreensão e significado do aprendizado. Além disso, a decomposição lógica e objetiva que exclui a possibilidade de acesso ao conhecimento ou aos domínios de consenso se baseia em experiências subjetivas e/ou negociações intersubjetivas dos significados. No entanto, adotaremos algumas premissas adicionais à postura instrucional clássica, como: - atuar para que o aprendiz comece a gerar suas próprias perguntas; - fazer o uso do Objeto Para Aprendizagem cujo domínio matemático é específico, não significa necessariamente que enfatizaremos procedimentos algorítmicos, mas, sobretudo, estratégias de pensamento; - e propor aos alunos modelos de práticas de trabalho como as que atuam profissionais no campo (Schoenfeld 1992b, apud Arcavi, 2000); na opinião de Arcavi, essa estruturação é fundamental para o que entendemos por planejamento de ensino.

38 22 Provavelmente qualquer vertente do construtivismo está de acordo com a seguinte afirmação: o objetivo da educação em Matemática é que o aluno gere e construa significados. Mas o que significa compreender Matemática? Bishop (1985), entre outros, sustenta que em Matemática compreender uma ideia (ou uma expressão, ou um conceito) é conectar o significado desta ideia com o significado de outra ideia em Matemática ou ainda em outro campo do conhecimento. Bettencourt (1991), Schoenfeld (1992b), e outros acrescentaram que compreender implica também em inserir essas ideias e inserir-se numa determinada comunidade com suas práticas, seus instrumentos de pensamento, suas crenças, seus modos de discurso e ação (ARCAVI, 2000, p. 88) Se adotadas as implicações acima num planejamento do ensino de matemática, passaremos a ter a postura construtivista preconizada. A atividade ou o problema a ser planejado tem que promover a construção desse tipo de compreensão e estimular interações similares às que ocorreriam numa comunidade de especialistas. Um primeiro princípio para eleição de problemas apropriados descartaria a mera análise lógica, que focaliza o tipo e o número de operações a aplicar na resolução de um problema. A partir desse ponto de vista, muitos problemas podem ser similares, e sem dúvida seu potencial educativo é radicalmente diferente. A eleição de um problema deveria levar em conta: - que o aprendiz possa usar sua experiência prévia, e que haja um convite implícito para aplicar o senso comum; - que seja possível resolver o problema de mais de uma maneira para gerar um diálogo, que conduza à conexão de formas diferentes de pensar; - que se chegue à resposta, não apenas através de aplicações mecânicas de algum procedimento de cálculo; - que o problema leve à elaboração de novas perguntas, isto é, que a solução do mesmo desperte a curiosidade e o aluno, por si próprio, em grupo ou com a ajuda do professor, abra a possibilidade de seguir explorando a situação; - que nem sempre haja uma única resposta ao problema; - que a resposta não seja sempre o resultado de uma operação, mas seja a formulação de uma argumentação, uma comparação, uma ideia, uma conexão entre conceitos, uma tradução entre diferentes representações; - que o problema convide o aluno a rever uma ideia, um conceito ou uma operação numa nova representação, para tratar de isolar, na medida do possível, o conceito e separá-lo de suas representações típicas ou usuais; - que haja problemas da vida real, para os quais o uso de ferramentas matemáticas ajude a compreender melhor os fenômenos que nos rodeiam; - que haja micromundos planejados por experts para que o aluno que trabalhe neles seja quem decida e reformule que tipo de problema irá resolver. (ibid. p. 89)

39 Impacto da Tecnologia no Processo de Ensino e Aprendizagem Segundo Bolite Frant et al (2003) a tecnologia é vista como prótese que gera novos textos e pode, portanto, permitir através da linguagem (oral, gestual, escrita, pictórica) a constituição de objetos matemáticos. Para os autores, entretanto a prótese permite um fazer diferente do fazer sem a prótese; aponta como exemplo o caso do cego, no qual é difícil dizer onde se localiza seu tato, nos dedos ou na bengala. Aponta também que a utilização da tecnologia em sala de aula de matemática, pode ser vista como uma ferramenta facilitadora do processo de aprendizagem, mas esta ideia pode trazer implícita uma noção simplista de que o computador faz a ligação direta entre o sujeito cognoscente e o que deve ser aprendido, o conhecimento. Esta visão, segundo os autores, não é ruim nem boa, mas nem sempre dá conta da aprendizagem, observando-se, em geral, que a ferramenta é construída por outro que não o sujeito cognoscente. Poderíamos pensar na calculadora como ferramenta auxiliar e facilitadora no fazer operações aritméticas, mas os alunos nem sempre sabem utilizá-la para calcular, por exemplo, 10% a mais de um determinado valor. Esta citação torna-se crucial e passa a ser um dos pontos de alerta, uma vez que na matemática financeira a relação entre duas grandezas atreladas ao tempo, é a ferramenta inicial à introdução de todos os aspectos conceituais desta disciplina, aplicável nas capitalizações, financiamentos e nos outros tópicos. Um exemplo típico: se o capital inicial for aplicado por um mês a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o montante? Como teremos um acréscimo de 8%, o fator de atualização de capitais é 1,08, isto é, multiplicaremos esse fator pelo capital inicial para obter o montante, comparado com o exemplo anterior dos autores, em nosso caso há ainda mais operações a serem realizadas, uma vez que temos que calcular os 8% do capital inicial e somá-lo a ele mesmo, daí o fator de atualização de capitais ser 1,08, que serve de base para novas correções. Nesta pesquisa será adotada a ideia de Bolite Frant (2003), segundo a qual um sujeito cognoscente munido de uma prótese poderá fazer coisas que não faria sem ela, de forma diferente. Na análise do impacto da tecnologia no processo de ensino e aprendizagem, Balachef e Kaput (1996, apud Karrer, 2006) ampliam a noção de transposição

40 24 didática de Chevallard 4 com um novo foco para a transposição informática; segundo os autores, o projeto para um software educacional requer decisões como as escolhas de uma estrutura de conhecimento e de representação, dos algoritmos a serem aplicados, ou da origem para a descrição dos objetos, aspectos contemplados em nosso trabalho no processo de transposição informática, cujas consequências no conhecimento são tão cruciais como as da já conhecida transposição didática. Outro conceito importante que ajuda a pensar na elaboração do OPA é o de micromundo matemático; nesse sentido, Karrer (2006) assinala que através do micromundo os alunos podem explorar problemas, elaborar novas construções e evoluir de acordo com a ampliação do seu conhecimento. Isto se deve ao fato de que a resposta dada pelo micromundo é fruto direto das ações e decisões tomadas pelo usuário, resultando num vasto e rico conjunto de experiências. Ressalta, porém, que só a interação com a máquina não é suficiente para garantir que a aprendizagem matemática ocorra. Neste contexto, a análise e a compreensão das interpretações do estudante frente à resolução de um problema matemático são necessárias. NOSS e HOYLES (1996) ressaltam que os softwares de ensino de Matemática que trazem aplicações novas e promovem novas formas de expressão matemática, além de apresentar mais vantagens pedagógicas, oferecem ao aluno novas formas de pensamento no processo de aprendizagem de conceitos matemáticos, comparados com os softwares que reproduzem o conhecimento presente nos livros. Assim, um software educacional não deve apenas ser um simulador, deve estabelecer um ambiente favorável à expressão de ideias num processo de aprendizagem. Observar que apesar de algumas referências serem de 1996, são validas até os dias de hoje, mais de uma década depois, pois vão além de considerações técnicas. 4 CHEVALLARD, Y. La transposition didactique. Editions la Pensée Sauvage: Grenoble,1985

41 Metodologia do Design-based research Cabe inicialmente dar uma definição ao termo design uma vez que segundo Drisostes (2005, p. 62) não tem uma tradução ao português. O design envolve atividades como planejar, delinear, desenhar, esboçar, projetar, esquematizar, criar, inventar e executar. O design é um banco de prova por isso envolve ciclos, onde se levantam conjecturas, se implementa uma primeira versão, faz-se uma análise parcial, levantam-se outras conjecturas que são novamente testadas. A atividade de design na procura de uma solução, deve passar por ciclos de idas e vindas de discussões com os envolvidos, utilizar heurísticas de como usar os recursos de forma diferente, saber aproveitar-se do inesperado, usar vários níveis de descrição do problema. A nossa pesquisa que se caracteriza pelo desenvolvimento de software educacional, mas objetivando diminuir as prováveis complicações na transposição informática do Objeto Para Aprendizagem, precisa reunir alguns quesitos fundamentais como: análise e reanálise dos processos de ensino e aprendizagem do objeto matemático, definição e redefinição dos elementos críticos significantes no domínio matemático, ter liberdade para sistematizar as opiniões recebidas e poder pô-las em prática objetivando buscar novas opiniões. Nesse sentido, o Design Experiment decorrente dessa metodologia se adequa às condições na elaboração do OPA. Segundo COBB et al. (2003), a característica pragmática e teórica, aspecto central desta metodologia, possibilita que os experimentos realizados conduzam ao desenvolvimento de teorias, permite explicar a teoria desenvolvida, seu funcionamento, sua adaptabilidade a novas situações, e através das iterações dos componentes e/ou participantes da pesquisa redesenhar novas hipóteses. Não tão somente preocupados com como funciona como também com a busca das ideiaschave do processo de aprendizagem em domínios específicos. Essa ênfase nas teorias reflete no sentido de que as explicações e entendimentos inerentes perfazem o processo gerador ou o ponto de partida essencial à melhoria da qualidade do ensino. O resultado é um melhor entendimento da ecologia da aprendizagem; os autores utilizam essa metáfora para enfatizar que os contextos desenhados são concebidos como uma iteração de sistemas acima de uma lista de atividades ou de

42 26 fatores que influenciam o processo de aprendizagem. Elementos típicos de uma ecologia de aprendizagem dizem respeito às tarefas ou problemas sobre os quais os aprendizes são questionados, ao tipo de discurso para o qual são provocados, às regras de participação estabelecidas, às ferramentas e materiais fornecidos, e à prática do professor para orquestrar estes elementos. Tentando uma definição para o conceito de Crosscutting Features utilizado pelos autores desta metodologia, fomos buscá-la na engenharia de software, partindo da estrutura Orientada a Objetos que deve ser entendida como uma unidade conceitual isolada; surge como um paradigma o conceito de crosscutting ou transversalidade, para promover a modularização efetiva das características que estão espalhadas e entrelaçadas em um sistema, isto é, as chamadas características transversais na estrutura Orientada a Aspectos. As características do conceito de Crosscutting Features, são as cinco a seguir, conforme identificadas por seus autores: A primeira característica transversal desta teoria consiste em desenvolver uma classe de teorias acerca do processo de aprendizagem e dos meios que são projetados para suportar essa aprendizagem. Segundo COBB et al. (2003) interpretam processos da aprendizagem em geral para abranger o que normalmente é pensado como conhecimento, mas também a evolução da aprendizagem-relevante para as práticas sociais e as construções mentais simples que servem de exemplificação na descrição de uma teoria. Cabe lembrar que os meios para suportar a aprendizagem englobam as capacidades e limitações dos artefatos materiais, práticas pedagógicas, políticas normativas e instrumentais. No caso do desenvolvimento de uma experiência de professores em atividade, a equipe de pesquisa pode-se concentrar simultaneamente sobre as normas e práticas, raciocínio didático e prática instrucional dos professores participantes em um determinado domínio de conteúdo. Um desafio que se coloca nesses casos é, portanto, o de coordenar os vários níveis de análise. A natureza altamente intervencionista é a segunda característica transversal relevante deste tipo de metodologia. Os estudos de Design

43 27 Experiments são tipicamente test-bed 5 plataforma de experimentação de desenvolvimento de projetos com proteções a riscos, objetivando investigar a possibilidade de melhorias educacionais através de novas formas de aprendizagem. Para isto, na elaboração do design devem-se distinguir os elementos centrais objeto da pesquisa dos pré-requisitos e dos subjacentes. Nessa linha, o objetivo central da nossa pesquisa é o uso da soma finita dos termos das progressões e como cada termo está associado ao(s) parâmetro(s) na resolução de problemas cotidianos de operações financeiras nas diferentes modalidades. Além disso, na busca de novas formas específicas de aprendizagem, o pesquisador está mais focado em encontrar fatores que contribuem para o aparecimento destas novas formas e tomar consciência de suas inter-relações. Neste sentido, o OPA permite visualizar e relacionar a mudança no valor monetário procurado quando da alteração nos outros parâmetros como taxa de juros, quantidade de parcelas sucessivas, data do início do pagamento da 1ª parcela, dentre outros. A terceira característica transversal forma-se a partir das anteriores, e caracteriza-se pelas fases prospectiva e reflexiva familiares dos cientistas empíricos, com as quais se cria as condições para o desenvolvimento de teorias, as quais devem ser objeto de testes de condições de erro. No lado prospectivo o design é implantado como um processo de aprendizado hipotetizado o que requer ter sempre em mente os níveis de controle e a contínua vigilância; e, não menos importante, criar situações de contingência que possam surgir no desenvolvimento do sistema. No lado reflexivo, criam-se conjecturas que devem ser testadas em vários níveis. O projeto inicial é uma conjectura sobre os significados que sustentam essa forma particular de aprendizagem, a qual será testada. Durante a condução do estudo do experimento, conjecturas mais especializadas são elaboradas e testadas; no caso de conjecturas refutadas, alternativas podem ser criadas e testadas. 5 Traduzimos como banco de provas.

44 28 Juntos, os aspectos prospectivos e reflexivos do Design Experiments resultam na quarta característica transversal; num design iterativo, conjecturas são geradas, talvez refutadas, novas conjecturas são elaboradas e testadas, novo ciclo e assim sucessivamente. As raízes pragmáticas compõem a quinta característica transversal desta metodologia; sendo assim, as teorias desenvolvidas são moderadas pelo domínio específico do processo de aprendizagem, por serem responsáveis pela atividade de design e devem fazer um trabalho real. A adoção desta metodologia no que diz respeito às características transversais, e à forma como conduzimos a nossa pesquisa, nos leva a optar por duas fases, uma preparatória no sentido de explorar as ideias, objetivando a sua materialização, e outra de implementação, também para explorar as ideias, mas com um Objeto Para Aprendizagem materializado. Iniciamos com a revisão bibliográfica, pesquisas em sites educacionais que contém softwares ou material referente ao tópico de Matemática Financeira; entretanto, dada a sua especificidade optamos por incluí-la nesta dissertação em um capítulo próprio.

45 29 Capítulo 2 Objetos Para Aprendizagem Neste capítulo buscamos os aspectos relevantes dos softwares educacionais e conteúdos pedagógicos digitais, nas organizações nacionais e internacionais que fizeram uma padronização desses objetos como nas teorias especializadas, objetivando compreender suas características, atributos, processo de produção dentre outros. Não pretendemos criar um padrão para o Objeto Para Aprendizagem, e sim usufruir dos aspectos relevantes dessas teorias e dos objetos existentes, que nos dias de hoje são amplamente utilizados e em constante crescimento, mantidos por entidades nacionais especializadas em repositórios; para desta forma, poder caracterizá-lo dentro de nossas condições de viabilidade. Figura 3 - Mapa Conceitual dos Aspectos do Objeto Para Aprendizagem

46 De Objetos de Aprendizagem para Objetos Para Aprendizagem Uma primeira abordagem aos Objetos de Aprendizagem inicia-se na Ciência da Computação baseada no paradigma de Orientação a Objeto, valorizando a criação de componentes, denominados objetos, que podem ser reutilizados em múltiplos contextos (Dahl & Nygaard, 1966, apud Wiley 2000). Este conceito surge da possibilidade de minimizar os custos para elaborar um sistema, principalmente com os custos de manutenção corretiva responsáveis por uma grande fatia do custo total. Segundo Wiley (2000), a ideia fundamental dos objetos de aprendizagem é que podem ser construídos como pequenos componentes instrucionais passíveis de ser reusados em diferentes contextos de aprendizagem e entendidos como entidades digitais disponíveis na Internet, podendo ser acessados simultaneamente por qualquer número de pessoas. Existe uma gama de olhares para os Objetos de Aprendizagem, a saber: David Merrill que usa o termo Objetos de Conhecimentos (Merrill, Li, and Jones, 1991, apud Wiley 2000); O projeto ARIADNE - Alliance of Remote Instructional Authoring and Distribution Networks for Europe - (ARIADNE, 2000), usa o termo documento pedagógico ; O projeto ESCOT (ESCOT 2000, apud Wiley 2000) se refere a Componentes de Softwares Educacionais de Amanhã ; O projeto Recursos Educacionais de Multimídia para Aprendizagem e Ensino On-Line utiliza o termo materiais de aprendizagem on-line - MERLOT 2000; A Apple Intercâmbio de Aprendizagem simplesmente se refere como recurso (ALI 2000, apud Wiley 2000). Segundo Assis (2005) não há uma única definição para um objeto de aprendizagem, mas apesar de diversas definições existem características semelhantes. De acordo com as visões de (WILEY 2000, GIBBONS et al 2000,

47 31 LONGMIRE 2000, MERRILL 1998, apud Assis 2005), os principais atributos de um objeto de aprendizagem, são: Interatividade ou interação; Granularidade, no sentido de poder ser agrupado com conjuntos maiores de conteúdos, incluindo estruturas tradicionais de cursos; Reusabilidade, como capacidade de ser usado e reusado em diferentes contextos, diferentes propósitos, não exclusivamente para o qual foi concebido; Interoperabilidade, para funcionar em diferentes plataformas; Conceituação do conteúdo que se pretende abordar, ao utilizá-lo como ferramenta em um processo de aprendizagem; Identificação por Metadados, permitindo a localização por mecanismos de busca padronizados. No Brasil, o programa RIVED (Rede Interativa Virtual de Educação 6 ) da Secretaria de Educação a Distância SEED / MEC, propõe que objeto de aprendizagem é qualquer recurso que possa ser reutilizado para dar suporte ao aprendizado, e tem por objetivo a produção de conteúdos pedagógicos digitais, buscando melhorar a aprendizagem das disciplinas da educação básica e a formação cidadã do aluno. Defende que a principal ideia dos OA s é "quebrar" o conteúdo educacional disciplinar em pequenos trechos que podem ser reutilizados em vários ambientes de aprendizagem. A seguir, fazemos uma breve caracterização dos objetos educacionais em entidades nacionais com esse tipo de recursos disponível, e ressaltamos a diversidade de padrões e softwares utilizados: 1. CINTED UFRGS Projeto CESTA - Coletânea de Entidades de Suporte ao uso de Tecnologia na Aprendizagem - idealizado com vistas a sistematizar e organizar o registro dos objetos educacionais, padronização IEEE ( Standard for Learning Object Metadata), desenvolvidos pela equipe da Pós-Graduação de Informática na Educação 6

48 32 e do CINTED - Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação da UFRGS, para cursos de capacitação em Gerência de Redes, Videoconferência e na Pós-Graduação Lato-sensu Informática na Educação. (último acesso em 15 de outubro 2010). 2. LABVIRT USP - Laboratório Didático Virtual da Universidade de São Paulo - USP, coordenado pela Faculdade de Educação. Nele se encontram simulações feitas pela equipe do LabVirt a partir de roteiros de alunos de ensino médio das escolas da rede pública; links para simulações e sites interessantes encontrados na Internet; exemplos de projetos na seção "projetos educacionais" e respostas de especialistas para questões enviadas através do site. (último acesso em 15 de outubro 2010). 3. MEC - Portal do Professor - Coleção de recursos multimídia publicados para todos os níveis de ensino e em diversos formatos. Todos os recursos publicados no Portal do Professor podem ser copiados e distribuídos, armazenados no Banco Internacional de Objetos Educacionais. Este Repositório possui objetos educacionais de acesso público, em vários formatos e para todos os níveis de ensino. Nesse momento o Banco possui objetos publicados, sendo avaliados ou aguardando autorização dos autores para a publicação e um total de visitas de 163 países (último acesso em 15 de outubro 2010). 4. LUME - Repositório Digital da UFRGS - Tem por objetivo reunir, preservar, divulgar e garantir o acesso confiável e permanente aos documentos acadêmicos, científicos, artísticos e administrativos gerados na Universidade. O Lume usa o DSpace, software livre desenvolvido pelo MIT e HP, compatível com o protocolo de Arquivos Abertos (OAI), permitindo que os documentos sejam facilmente recuperados por serviços de busca disponíveis na internet. Utiliza também o Manakin, que é uma interface amigável do DSpace baseada em XML e desenvolvida pela Universidade

49 33 Texas A&M. Os metadados utilizados para descrição dos documentos digitais seguem o padrão Dublin Core e o sistema CNRI Handle é usado para designar identificadores permanentes para cada documento disponível no Repositório. (último acesso em 15 de outubro 2010). 5. PROATIVA UFC - Grupo de Pesquisa e Produção de Ambientes Interativos e Objetos de Aprendizagem - teve início em 2001 com o projeto álgebra interativa; o grupo conta com a participação de alunos das mais diversas áreas e tem por objetivo desenvolver objetos de aprendizagem (atividades multimídia, interativas, na forma de animações e simulações que têm a ideia de quebrar o conteúdo educacional disciplinar em pequenos trechos que podem ser reutilizados em vários ambientes de aprendizagem), bem como realizar pesquisas sobre a utilização desses objetos na escola, como forma de melhorar o aprendizado dos conteúdos escolares. (último acesso em 15 de outubro 2010). DiSessa 7 em 1987 já introduzia, explicava e advogava um novo gênero de software educacional, o conjunto de Ferramentas Abertas, que, segundo ele, [...] envolve um grande número de pequenas unidades ao invés de aplicações educacionais convencionais. As unidades devem ser altamente modificáveis, expandíveis e combináveis entre si.. Apesar de aparentar uma redundância quando se refere ao conjunto de Ferramentas Abertas, no sentido que a ferramenta já denota um grau de abertura, ele quer enfatizar que o conjunto de ferramentas nunca poderá ser acabado e completo, sempre poderá ser substituído ou adicionado. Sendo assim, o foco é que os componentes do conjunto tenham uma boa sinergia entre eles, sejam interconectáveis e combináveis com outros conjuntos. Portanto, o conjunto de ferramentas abertas deve ser flexível e pequeno, que cresce e pode continuar a crescer se restrições; assim, tanto os professores como os alunos poderão ser envolvidos nas alterações, inclusões ou substituições do conjunto de ferramentas abertas para adequá-las ao seu contexto. Esta propriedade pode ajudar 7 Open toolsets: New ends and new means in learning mathematics and science with computers.

50 34 com a tarefa crítica dos professores de apropriação de tecnologia, e passar a fazer parte de sua prática profissional no cotidiano. A visão tecnológica de DiSessa dos conjuntos de ferramentas abertas está baseada em poder elaborar um novo aplicativo a partir dos recursos fornecidos por várias aplicações existentes, portanto, têm que ser compatíveis com os atuais sistemas computacionais e não podem ser aplicações porque tendem a ser grandes e complexas. Em relação à parte técnica do design, o Learning Technology Standards Committee (LTSC) do Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) promoveu um padrão (LTSC, 2000a) para garantir a interoperabilidade entre as universidades, corporações e outra organizações ao redor do mundo. O projeto ARIADNE, com o mesmo objetivo, foi instituído na Europa. Atualmente existem no mundo computacional alguns movimentos relacionados a esse assunto tais como: o padrão OLE (Object Linking and Embedding) da empresa Microsoft Corporation; o padrão "applet" utilizados em aplicações de rede, da linguagem de programação Java da empresa Sun Microsystems, é um software aplicativo com funções especificas que roda em uma página de um navegador de rede. Nesse sentido, DiSessa, Abelson e Ploger, em 1991, concebem um software, intitulado de Boxer - com uma linguagem de programação simples, na Universidade da Califórnia. Como a entidade digital predominante no Brasil são os Objetos de Aprendizagem, com seus padrões definidos através da Secretaria de Educação à Distância do Ministério de Educação, e como nossa entidade digital foi construída sob os alicerces de funções modulares, para permitir seu uso seletivo e/ou combinado, poder ser agrupada com conjuntos maiores de conteúdos em estruturas convencionais de cursos, ser uma ferramenta aberta orientada aos professores de fácil operação, modificação e/ou expansão, objetivando contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de noções cotidianas de operações financeiras, optamos por designá-la como Objeto Para Aprendizagem OPA, para diferenciá-lo dos OA s Elaboração do OPA Tecnicamente foi necessário tomar como base alguns dos padrões anteriormente referenciados para a elaboração do OPA; nessa linha optamos pelo

51 35 modelo do programa do RIVED adaptado à situação deste estudo nas fases de Design e Desenvolvimento do processo de produção de objetos de aprendizagem. O Quadro 1 apresenta as fases, as preocupações e equipes envolvidas no desenvolvimento de objetos de aprendizagem, com base nos padrões da RIVED. Esses objetos de aprendizagem são programas que podem ser simulações, jogos ou animações. É importante observar a quantidade de profissionais envolvidos nas diferentes especializações nas várias fases dos processos de design, desenvolvimento e produção dos objetos de aprendizagem. Inicia-se com a participação dos especialistas das áreas disciplinares que selecionam o tópico, a seguir a equipe pedagógica define os objetivos educacionais para estabelecer o que se espera que os alunos aprendam. No próximo passo o designer instrucional interage com os especialistas buscando a sequência instrucional, para elaborar uma primeira documentação intitulada General Design. Quadro 1 - Processo de produção dos módulos e objetos de aprendizagem Design Instrucional General Design dos módulos Interação das Equipes Script e Storyboard s Fase 1 Os especialistas das áreas disciplinares consultam o mapeamento de conteúdos e selecionam o tópico do novo módulo. A equipe pedagógica define os objetivos educacionais e elabora as respectivas estratégias educacionais. O designer instrucional interage com os especialistas a fim de guiar sobre a sequência instrucional e o nível cognitivo requerido nas atividades. Os objetivos e as atividades são descritas no documento intitulado General Design (GD). Fase 2 O documento, General Design elaborado é submetido às outras equipes para obter críticas e feedback. A revisão do GD pelas demais equipes consiste em comentários sobre: a) o design do programa e a abordagem pedagógica; b) questões referentes ao uso apropriado da tecnologia; c) sugestões para diferentes atividades ou mídia; d) chamar a atenção para materiais similares existentes; e) adequação do módulo às variadas audiências Fase 3 Os especialistas de conteúdo revisam o design original após receber feedback das outras equipes. Passam a descrever as especificações para cada objeto de aprendizagem, na forma de scripts e roteiros de tela, para o grupo de técnicos desenvolver os produtos desejados. Fase 4 O grupo de técnicos produz os objetos de aprendizagem. Durante esta fase, os especialistas de conteúdo, o designer instrucional, e os técnicos interagem bastante para evitar erros. Fase 5 Os especialistas em conteúdo criam os guias do professor para cada objeto de aprendizagem. Fase 6 Os objetos de aprendizagem são organizados nos módulos e publicados na Web. Produção de objetos para Aprendizagem Guia do Professor Módulos Web Fonte: FASES DE DESIGN E DESENVOLVIMENTO - RIVED

52 36 Como esta metodologia trata de processos produtivos em série, este documento é repassado às outras equipes para críticas e comentários quanto à abordagem pedagógica, ao uso apropriado da tecnologia, às audiências, aos materiais similares, design do programa e outros. Neste instante, forma-se uma equipe para descrever as especificações na forma de scripts indicando roteiros de telas, como exemplo referente a uma tela: T 1 um ícone de uma operação financeira na parte superior da tela para exibir os hiperlinks explicativos. Ela é encaminhada para o grupo de informática responsável pelo desenvolvimento do objeto de aprendizagem. Após os testes de funcionalidade, os especialistas em conteúdo elaboram os guias dos professores e organizam os módulos para publicação na Web. Lembramos que em nosso trabalho os módulos para a publicação na Web não serão contemplados. Ressaltamos que procuramos aproveitar o produto do trabalho da equipe de profissionais da Secretaria da Educação para manter os objetivos educacionais definidos no Caderno do Professor. Desta forma, analisamos o trabalho da referida equipe relacionados ao tema central deste estudo, qual seja, os aspectos do OPA que podem favorecer no processo de ensino e aprendizado de noções de Matemática Financeira. No entanto, apesar das potencialidades previstas para os OA, pesquisas apontam que poucos professores poderiam fazer qualquer tipo de atualização e/ou modificação nos objetos de aprendizagem, a seguir: Sobre o primeiro contato e a frequência de utilização de recursos tecnológicos durante sua formação, os três professores entrevistados descreveram unanimemente que durante a graduação, não tiveram nenhum contato marcante ou relevante, em suas opiniões. Entretanto, o Professor 1 e o Professor 2 comentaram que no Mestrado Profissional que cursam, existem diversas disciplinas relacionadas ao uso de tecnologia no ensino da Matemática e que por isso, o contato deles com recursos tecnológicos se tornou bem mais frequente (ASSIS, 2005, p. 97). Dessa forma, o desenvolvimento do OPA teria que utilizar uma linguagem de programação simples e conhecida, que permitisse aos futuros usuários poder realizar qualquer tipo de customização e inclusão de novas funcionalidades; portanto, optamos por desenvolver o OPA em uma planilha eletrônica onde foram aproveitadas as potencialidades de suas funções básicas, que acopladas ao

53 37 software de nossa autoria permite visualizar de forma dinâmica as alterações que ocorrem quando da mudança de um de seus parâmetros, a saber: Pela habilidade para realizar várias operações sejam matemáticas, financeiras, estatísticas, dentre outras; Por ter recursos próprios de busca de textos, de classificação, de referencia, de comparação, dentre outros; Por ter recurso gráfico com resposta quase que instantânea às alterações, em nosso caso modificações nos parâmetros financeiros, e assim poder visualizá-las, permitindo a análise comportamental. Por ter recurso de linguagem de programação Visual Basic e de Macros que geram o mesmo código de programação. Dentro das poucas opções existentes, mas com grande divulgação e de conhecimento dos professores de Matemática, a opção foi pela planilha eletrônica Excel da Microsoft Corporation Funcionalidades Esperadas Juntando nossa experiência em sala de aula desta disciplina e no mercado corporativo elaboramos as funcionalidades que serviram como proposta inicial ao design a ser elaborado. Em função disso, segue a relação de funcionalidades do software: Permitir a manipulação de dados que representem qualitativa e quantitativamente as variáveis usadas em fórmulas da Matemática Financeira; Permitir a exibição e apresentação de processos e resultados, de forma estática e dinâmica, com recursos destinados à facilitação da aprendizagem, como por exemplo, o uso de movimento e o estabelecimento de associação entre os objetos envolvidos em um processo; Permitir a intervenção do usuário para controlar aspectos da apresentação (por exemplo, avanço, retrocesso), que possam, no que se refere ao

54 38 educador, enriquecer os recursos didático-pedagógicos dos quais se utiliza em paralelo ao OPA e, do lado do aluno, possibilitar compatibilidade com seu ritmo de raciocínio, reflexão e compreensão; E, por fim, mas não menos importante, efetuar os cálculos de maneira correta e apropriada, recebendo informações do usuário e apresentando os resultados. A interface básica com o usuário apresenta o aspecto a seguir: Quadro 2 - Interface do OPA Área de exibição de dados (variáveis e constantes do problema) Área de exibição de linha do tempo e períodos Área de exibição de gráficos Em relação à área de exibição de dados, temos que: É a área da tela em que são exibidas as informações numéricas que compõem o problema (capital, prestação, taxa de juros, etc.). Além disso, o usuário poderá informar a modalidade de cálculo (juros simples, compostos), as operações financeiras (capitalização, financiamento ou desvalorização), e indicar o tipo de variação que os parâmetros devem ter (discreta ou contínua). No que se refere à área de exibição de linha de tempo e períodos: Nesta área são exibidas as linhas do tempo e a linha dos períodos envolvidos na operação, sobrepondo-se, e podendo ser ajustados, de forma contínua (via controles deslizantes) pelo usuário, a fim de acompanhar de forma dinâmica o que acontece quando da variação dos parâmetros financeiros envolvidos. Observar que a linha de tempo e a linha indicativa dos períodos constituem objetos fundamentais, pois, por meio deles podem-se relacionar diversas variáveis, observando sua associação.

55 39 A respeito da área de exibição de gráficos: Aqui o usuário irá visualizar a variação dos parâmetros associados aos valores envolvidos. Além disso, haverá opção para visualização de calendário (que também poderá ser usado para entrada de dados). Este último é ferramenta importante para destacar e confrontar as variáveis de tempo que indicam os períodos em que os atores da operação financeira estão em crédito, débito ou em nenhuma dessas situações. Nossa proposta é que o OPA seja desenvolvido com estrutura modular e parametrizada, que se caracterize pela sua interatividade, aspectos que objetivam permitir que pessoas com diferentes perfis cognitivos possam apreender os conceitos e aplicações da Matemática Financeira, e possam aplicá-los nas mais diversas questões cotidianas. Como exemplo dessa pretendida flexibilidade, podemos citar: Permitir a conceptualização das operações financeiras de forma dinâmica e com diferentes tipos de representações; A exibição opcional dos cálculos envolvidos num financiamento ou numa aplicação financeira, em complementação à simples exibição de resultados, o que ocorre, por exemplo, com o uso de calculadoras financeiras; Facilidade de o usuário visualizar a interferência de cada parâmetro no comportamento geral, por exemplo, dado um valor de financiamento, possa ver o crescimento das parcelas com o aumento da taxa de juros; Permitir a correta associação entre os elementos matemáticos, notadamente os termos de PA e de PG e sua variação no tempo; Focado no domínio matemático específico: Capitalização, Financiamento e Desvalorização, podendo ser integrado com outros tópicos do conteúdo matemático, como por exemplo Funções, dando significado em um contexto cotidiano; Um objeto com o qual o professor que o utilize se sinta confortável, em nosso caso, o OPA: - pretende auxiliar o professor em sua prática pedagógica; - e ser

56 40 capaz de suscitar nos alunos uma experiência pedagógica significativa nas noções de Matemática Financeira, alinhada com as operações financeiras do cotidiano.

57 41 Capítulo 3 Fase Preparatória Iniciamos a Fase Preparatória com a revisão bibliográfica que tem por objetivo analisar de que modo a Matemática Financeira é apresentada nos livros didáticos. A análise é feita numa perspectiva dos sistemas de representação semióticos, para as seguintes fontes: livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009, livros didáticos para o ensino superior, dissertações e teses, sites de entidades nacionais, objetos de aprendizagem outros, e, inclusive o Caderno do Professor. Passa pelo design inicial, tendo como base as entrevistas e as primeiras atividades, para, em seguida, desenvolver a primeira versão do Objeto Para Aprendizagem - OPA. Figura 4 - Mapa Conceitual da Fase Preparatória Classificamos esta etapa da pesquisa como a fase mais crítica dentro do estudo, merecedora de foco específico e de cuidados especiais no sentido do que pinçar das leituras, das análises efetuadas, da fundamentação teóricometodológica, procurando entender a compreensão dos professores pesquisados no processo de elaboração das suas atividades educacionais para a Matemática Financeira, concordamos que todos esses aspectos nos ajudaram a balizar, mas

58 42 essas preocupações tornavam-se necessárias porque passávamos a materializar o conjunto de ideias, pois nosso propósito era e é a elaboração de um software educacional, e impreterivelmente íamos ao encontro da etapa de Transposição Informática do nosso design. Observar que especificamente em relação ao Caderno do Professor, fizemos uma análise mais aprofundada, por se tratar do material didático que proporciona nossa referência para efetuar a transposição informática que constituiu o OPA. Procuramos preservar o trabalho realizado pela equipe pedagógica que produziu o Caderno do Professor, bem como a estratégia por ele utilizada. Cabe lembrar que as questões referentes aos livros didáticos a seguir, também estão presentes nas demais atividades desta Revisão Bibliográfica com suas devidas adaptações Análise dos Livros Didáticos Iniciamos analisando os livros didáticos do catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2009. Dada a importância do tema, levantamos as seguintes questões: 1. De que modo a Matemática Financeira é apresentada nesses livros didáticos? 2. Quais registros semióticos são mobilizados pelos autores na apresentação da Matemática Financeira? 3. A coordenação dos registros de representação é explorada pelos autores na apresentação da Matemática Financeira? 4. Exploram a visualização dos conceitos financeiros atrelados a linha do tempo? 5. Se sim, quais são os conceitos financeiros explorados?

59 Matemática Dante Volume Único Quadro 3 - Resumo das noções de Matemática Financeira - Dante Capítulo 27: - Noções de Matemática Financeira Na introdução é destacada a resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo de prestações, pagamentos de impostos, rendimento de poupança e outros; a seguir, são tratados os Números proporcionais, Porcentagens (fator de atualização, aumentos e descontos sucessivos), Termos financeiros (capital, tempo e taxa de juros), Juros simples, Juros compostos (fórmulas), Juros e funções (equivalência de capitais). No referido capítulo 27 o Fator de Atualização é definido pelo autor como a razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes. Citamos alguns exemplos apresentados no livro didático para realizar nossa análise. Quadro 4 Exemplo n o 1 Vunesp Se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de inflação no bimestre janeiro/fevereiro é de: a) 11% b) 11,1% c) 11,2% d) 11,3% e) 11,4% Solução f 1 = 1 + 0,06 = 1,06 f 2 = 1 + 0,05 = 1,05 Fonte: DANTE, p. 335 f acumulado = 1,06 1,05 = 1,113 = 11,3% Neste caso, a conversão é de um registro da linguagem natural como registro de partida para um registro simbólico algébrico como registro de chegada onde se faz o tratamento para o cálculo do percentual acumulado. O exemplo apresentado dá como resultado o fator acumulado igual a 11,3%, para isto foi necessário transformar o percentual de inflação correspondente a cada mês em fatores de atualização de capitais do tipo ( 1 + i ), realizar a operação de multiplicação entre eles, e voltar para valor acumulado em percentual. Este fator acumulado pode ser utilizado para fazer uma desvalorização ou uma correção da moeda. Portanto, focando o aluno, torna-se necessário uma representação que permita visualizar o ponto de partida e de chegada das taxas apresentadas e como

60 44 influenciam no valor do dinheiro no mesmo período. Nossa sugestão é uma representação gráfica que mostre se o dinheiro se equipara ou se desvaloriza com respeito à data imediatamente anterior a esse período de inflação. Quadro 5 - Exemplo n o 3 A tabela abaixo mostra a variação do preço do dólar durante uma semana qualquer, em termos percentuais. No valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o preço do dólar? (subiu? caiu? quanto por cento?) Sugestão do livro: Precisamos compor as 5 variações para poder emitir um julgamento. Para isso, precisamos dos fatores de atualização de cada variação. Tabela - Variação do dólar - Dante Fonte: DANTE, p. 335 Dia Variação Fator de Atualização 2ª feira -2,35% f 1 = 1 0,0235 = 0,9765 3ª feira 1,37% f 2 = 1 + 0,0137 = 1,0137 4ª feira 1,05% f 3 = 1 + 0,0105 = 1,0105 5ª feira -0,13% f 4 = 1 0,0013 = 0,9987 6ª feira 0,21% f 5 = 1 + 0,0021 = 1,0021 f acumulado = f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f acumulado = 1,00107 O dólar teve uma pequena alta de 0,107 % Neste caso, há várias conversões; o autor inicia com um registro da linguagem natural para um registro de tabela composto por colunas e linhas. Na referida tabela a 1ª coluna representa a escala do tempo em dias-calendário, e cada linha após o rótulo representa um dia da semana. A 2ª coluna representa a variação diária do preço do dólar em termos percentuais, e em cada linha o percentual correspondente. A tabela ao lado representa a conversão para uma representação simbólica algébrica, ou seja, o fator de atualização de cada variação/dia para efetuar a operação de multiplicação dos fatores (tratamento), e em seguida retirar o valor 1 do fator de atualização (1 + i ) para obter a variação percentual solicitada (tratamento).

61 45 Quadro 6 - Fórmula do Montante a Juros Compostos A dedução da fórmula do Montante a Juros Compostos está representada numa tabela onde: 1ª col. : períodos; 2ª col. : valor do montante* no início de cada período; 3ª col. : valor dos juros de cada período; 4ª col. : é a dedução da fórmula; Fonte: DANTE, p. 338 Neste ponto, minha experiência em sala de aula mostrou que este procedimento algébrico, para a dedução da fórmula, era entendido por um número reduzido de alunos. Nesse sentido, acreditamos que uma representação gráfica antes da representação tabular, que permita visualizar o crescimento do fator de atualização, e como influencia no valor do dinheiro para períodos distintos, e posteriormente fazer a generalização, em nossa opinião, poderá facilitar a compreensão pelo aluno. Quadro 7 - Juros e Funções Fonte: DANTE, p. 339

62 46 Quadro 8 - Juros Simples - Montante em função do tempo Fonte: DANTE, p. 339 Quadro 9 - Juros Compostos - Montante em função do tempo Fonte: DANTE, p. 340 Nos Quadros acima de n os 7,8 e 9, o autor inicia com um registro da língua natural; a seguir um registro simbólico com uma representação simbólica algébrica onde estão as fórmulas correspondentes, continua com um registro de tabela, onde se quantificam os valores dos Juros o do Montante, de acordo com o tipo de taxa de juros; e termina com um registro gráfico onde se representa a função especificada em função do tempo. Efetua-se a coordenação de quatro registros, mobilizando três registros monofuncionais, sendo dois discursivos (tabular e algébrico) e um multifuncional discursivo (língua natural). Complementando as respostas das questões colocadas no início do capítulo, ressaltamos que: Quanto ao Fator de Atualização definido como a razão entre dois valores de uma grandeza em tempos diferentes com um registro de partida e descrito como (1 + i ) como registro de chegada, será bastante utilizado pelo OPA por se tratar de um conceito básico e primordial do objeto matemático, mas será acrescentado de um registro gráfico, que sirva de suporte para visualizar a

63 47 escala do tempo onde estão situados os valores ou os referidos capitais, por isso está designado de Fator de Atualização de Capitais ; Quanto à dedução da fórmula do Montante a Juros Compostos referente ao Quadro 6, nosso design vai em sentido contrário ao apresentado, uma vez que não pretendemos recorrer às fórmulas financeiras como ponto de partida para realizar os cálculos dos parâmetros financeiros, e sim, utilizar representações gráficas para chegar em elas se necessário for Kátia Stocco Smole et al. Matemática Quadro 10 - Resumo da Unidade 6: - Sequência, P.A. e P.G. - Smole Matemática Ensino Médio Unidade 6: - Sequência, P.A. e P.G. O livro não faz referência à Matemática Financeira Márcio Cintra Goulart - Matemática Quadro 11 - Resumo das Noções básicas de Matemática Financeira - Goulart Matemática Financeira Na vida, como cidadão, você é objeto e agente, possivelmente, dos efeitos das implicações da Matemática Financeira e finaliza O conhecimento pensado, construído, dessas noções básicas de Matemática Financeira pode orientar o posicionamento e a tomada de decisões pessoais. Os itens abordados são: Porcentagens, Juros simples (capital, montante), Juros compostos e o uso da Calculadora financeira HP 12C. Não há referência ao cálculo de prestações.

64 48 O autor, no tópico de Juros Simples, utilizando o registro da língua natural, além de dar a definição, também esclarece os outros conceitos financeiros tais como, capital inicial, valor principal, taxa de juros ao período, observando a compatibilidade entre a taxa e o período; cita como exemplo a taxa semestral, considerando t o número de semestres, e obtém a seguinte representação gráfica do registro de chegada, que indica o comportamento dos Juros em função do tempo: Quadro 12 - Juros Simples Juros em função do tempo Fonte: GOULART p. 257 Para o tópico do Montante, de acordo com a figura a seguir, a abordagem do autor começa com uma definição de Montante como registro de partida em língua natural; em seguida faz uma conversão para um registro de passagem algébrico, e o registro de chegada é uma conversão para a representação gráfica do Montante em função do tempo. Quadro 13 - Juros Simples - Montante em função do tempo Fonte: GOULART p. 257

65 49 No tópico Juros Compostos, em poucas etapas o autor chega à fórmula do Montante; em seguida explica a operação da HP 12C para o cálculo, considerando diversas variáveis, conforme indicado a seguir. Quadro 14 - Uso da calculadora financeira HP 12C Fonte: GOULART p. 261 Quanto ao uso de calculadoras específicas como a apresentada pelo autor HP 12C, pelo seu alto custo e especificidade para o aluno de Ensino Médio é mais difícil de ser contemplada. No entanto as usuais calculadoras científicas ou aquelas que possuem as operações básicas, nelas incluímos as simulações nos celulares, as incentivamos para fazer a comprovação dos resultados do OPA, e assim o sujeito poder analisar a transação comercial numa situação da vida real. Fazendo um comparativo com o OPA, nesse sentido, o usuário indicará o termo inicial e final da progressão numa das telas, e o cálculo será feito pelo software, permitindo ao usuário dedicar mais tempo para refletir, explorar o problema e elaborar novas construções.

66 Análise de Dissertações e Livros Didáticos Especializados A análise das dissertações e livros didáticos especializados também se reporta de forma semelhante às questões levantadas no item anterior deste estudo, a seguir: 1. De que modo a Matemática Financeira é apresentada? 2. Quais registros semióticos são mobilizados pelos autores na apresentação da Matemática Financeira? 3. A coordenação dos registros de representação é explorada pelos autores na apresentação da Matemática Financeira? 4. Exploram a visualização dos conceitos financeiros atrelados à linha do tempo, quais? 5. Que aspectos relevantes são citados pelos autores no contorno da Matemática Financeira? Análise das Dissertações Dissertação de Nelson Dias Leme A dissertação de Nelson Dias Leme (2007) intitulada O Ensino- Aprendizagem de Matemática Financeira utilizando ferramentas computacionais: uma abordagem construcionista elabora um experimento de ensino envolvendo os alunos na construção de suas próprias fórmulas, usando planilhas para o cálculo de juros e montantes nas modalidades de juros simples e compostos. Os quadros a seguir apresentam a proposta de trabalho, utilizando planilhas eletrônicas, para resolver alguns dos principais problemas inerentes a certas movimentações financeiras. Esta atividade é uma primeira tentativa de levar o aluno-aprendiz a utilizar as operações básicas da aritmética e de suas propriedades estruturais, indicando as células onde os cálculos dos Juros e Montante deveriam ser efetuados. A tarefa do aluno é usar a Barra de fórmulas e efetuar os cálculos nas células correspondentes.

67 51 Quadro 15 - Análise da Atividade 2 Juros Simples Financiamento Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 67 Nesta Atividade tem-se uma capitalização de R$ 5.000,00, no regime de juros simples, por cinco meses, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Pede-se o cálculo dos juros e do montante ao final do primeiro mês (1 período). A intenção é levar o aprendiz a construir noções, formar conceitos próprios, calculando o juro mês a mês. Quadro 16 - Análise da Atividade 5 Juros Simples Capitalização (p. 71) Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 71 Nesta atividade de n o 12 é solicitado o cálculo dos juros, mês a mês de uma capitalização a juros compostos, o aluno aprendiz deverá calcular os juros e

68 52 adicionar ao saldo anterior para obter o saldo atual ou montante correspondente, e assim, deduzir a Fórmula do Montante. Quadro 17 - Análise da Atividade 12 Juros Compostos Capitalização Fonte: DISSERTAÇÃO 2007, LEME, p. 137 Segundo Leme (2007), o principal objetivo desta proposta de trabalho, utilizando planilhas eletrônicas, é suprir uma lacuna pela inexistência de material didático voltado para o nível de ensino abordado, de acordo com a constatação a partir da análise de diversos livros didáticos. Quanto ao uso da planilha eletrônica, as atividades iniciam no sentido de dar desenvoltura ao aluno-aprendiz nesta ferramenta para chegar às deduções das diferentes fórmulas financeiras, diferentemente da nossa proposta de trabalho que faz uso das planilhas eletrônicas para aproveitar os recursos gráficos e aptidão que elas possuem para efetuar cálculos. Dissertação de Pedro Lopes Nascimento O trabalho de Pedro Lopes Nascimento (2004) em sua dissertação intitulada A formação do aluno e a visão do professor do Ensino Médio em relação à Matemática Financeira, procurou investigar a formação de 80 alunos cursando ou egressos do Ensino Médio em relação à Matemática Financeira e a visão do professor dessa etapa da escolaridade a respeito desse tópico. Ele constata que o discurso dos alunos, de certa forma já incorporado à fala dos professores, destaca que o aluno do Ensino Médio, de modo geral, não recebe informação nem formação

69 53 suficiente, relativamente à Matemática Financeira, que lhes permita resolver problemas, mesmo os que envolvem conceitos ou procedimentos elementares. Ele considera esse fato preocupante dada a importância que Matemática Financeira tem para qualquer cidadão e constatou que as dificuldades são muito grandes tanto em relação aos aspectos conceituais que envolvem a noção de proporcionalidade e, em particular, a porcentagem, como em relação aos aspectos procedimentais que envolvem interpretação de uma resposta ou a estimativa de um resultado. Este fato pode ser visto no quadro seguinte do resumo que ele faz dos resultados. Quadro 18 - Resultados verificados Fonte: DISSERTAÇÃO 2004, NASCIMENTO, p. 69 Para Nascimento, as dificuldades reveladas podem ser atribuídas aos professores, pela ausência desse tópico no seu planejamento; constata, também, um desencontro na opinião dos professores de Matemática, que consideram a Matemática Financeira como um tema importante para a formação dos alunos, mas por um motivo qualquer não a ensinam em sala de aula.

70 Análise de Livros Didáticos Especializados Apresentamos o Livro Didático de Hazzan e Pompeu especializado em Matemática Financeira como o representante dos demais livros utilizados nesta disciplina para fazer nossa análise, uma vez que, além de consagrado no mercado por vários anos, se caracteriza pela excelência do conteúdo e a competência dos autores, por outro lado, e em nossa opinião é bastante representativo dos demais pelos aspectos de conceptualização e nos procedimentos de cálculos de operações financeiras. O item escolhido para nossa análise diz respeito as Sequências Uniformes Diferidas ; os autores conceituam este tópico como um financiamento com parcelas fixas que iniciam com o pagamento da 1ª parcela distante da data do ato da transação comercial, para isto, tem como registro de partida a língua natural; a seguir um registro gráfico que permite visualizar este tipo de sequência de forma generalizada: Gráfico 1 - Representação de uma Sequência Uniforme Diferida p. 116 Fonte: MATEMÁTICA FINANCEIRA, S. HAZZAN E NICOLAU POMPEO, p. 116 E termina com registro simbólico com o procedimento de cálculo para o Valor Atual, a seguir: 1º ) Calculamos o capital único equivalente à sequência na data m (V m ). Para isso, basta notar que:

71 55 2º ) Calculamos o capital V (na data 0) equivalente a V m. Isto é: Tendo em conta que, segue-se que: Diferentemente da abordagem deste livro didático para este tópico em análise, como para os demais, onde o registro de chegada é um registro simbólico com uma representação simbólica algébrica para acomodar as fórmulas, que por sua vez estão baseadas em tabelas financeiras. Nosso OPA pretende ter como foco o registro gráfico onde o aluno possa visualizar as mudanças dos parâmetros financeiros através de um clique na tela, e o opcionalmente os cálculos detalhados de forma simultânea Análise do Caderno do Professor Como dito anteriormente, a análise efetuada nas aplicações à matemática financeira do Caderno do Professor recebe um aprofundamento devido a ser o referencial adotado e é a partir desta análise que são estipuladas as premissas iniciais relativas aos aspectos de representação semiótica, de procedimento de cálculo e de conceituação das operações financeiras na elaboração do OPA. O Caderno do Professor começa definindo a operação financeira de capitalização como um crescimento de um capital, a uma taxa constante de juros simples, caracteriza-se por envolver uma série de termos que formam uma progressão aritmética. Por outro lado, no cálculo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, aparece uma progressão geométrica (ibid,

72 56 p. 43). Utiliza-se de uma tabela comparativa entre juros simples e compostos a uma taxa de juros de 5% ao mês, a seguir: Quadro 19 - Comparativo da Evolução de um Capital Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 43 A tabela apresenta na 1ª coluna os tempos dos eventos do crescimento de capital, inicia com a data da transação da operação financeira de capitalização como Inicial, e segue com sua evolução para o 1º mês como Depois de um mês, e assim sucessivamente. As 2ª e 3ª colunas correspondem aos termos das progressões a uma taxa de 5% a.m. (ao mês), multiplicados pelo capital inicial aplicado, para os casos de juros simples e compostos, respectivamente. Este sistema semiótico permite visualizar a correspondência de cada termo das progressões com o respectivo período; cada termo das progressões é o próprio conceito do fator de atualização de capitais, dado por (1 + in) ou (1 + i ) n para Juros Simples ou Compostos respectivamente, que indica o crescimento ou evolução do capital inicial designado por C. Sendo assim, para a capitalização com uma única parcela podemos observar que dentro do registro de tabelas as células descritivas tanto na horizontal como na vertical utilizam-se da língua natural escrita como Evolução do capital a juros compostos e Depois de dois meses respectivamente, o que facilita visualizar e compreender o registro simbólico correspondente, que para este exemplo equivale a 1,10 C ou 1,05 2 C. Se o aprendiz se propõe a efetuar a conta apresentada poderá verificar qual dos Juros oferece uma melhor rentabilidade. Em seguida são apresentadas duas tabelas comparativas de uma capitalização a juros simples e compostos, supondo uma aplicação mensal durante

73 57 8 meses de uma quantia fixa de R$ 200,00 à taxa de juros de 5% ao mês, conforme apresentado a seguir: Quadro 20 - Tabela de Capitalização Juros Simples Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 44 Quadro 21 - Tabela de Capitalização Juros Compostos Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 45 Ao fazer o comparativo entre as evoluções de capitais aplicados mensalmente, aparece o primeiro aspecto gerador de dúvida, as células descritivas da 1ª linha horizontal designada por Mês não discriminam se as parcelas são depositadas no início ou no fim do período; esta duvida é dirimida quando o aprendiz deduz, porque no final da linha aparece uma célula designada por Final, e na coluna correspondente há um acréscimo do capital com respeito à anterior designada por 8º. Nossa sugestão é atrelar as parcelas à linha do tempo em linhas separadas, a seguir:

74 58 Quadro 22 - Parcela associada ao tempo Após o (mês) Início 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Parcela 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Final Valor C A P I T A L , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Total seguir: Para o cálculo do valor acumulado a juros simples o autor utiliza a fórmula a E para o cálculo do valor acumulado a juros compostos Fazendo 1,05 8 = 1,48 Desta forma, os autores concluíram com um comparativo dos resultados obtidos por ambas as operações financeiras de capitalização, realçando que o processo a juros compostos conduz a valor final maior. Ainda na etapa 2 da Situação de Aprendizagem 3 Soma dos Termos de uma PA ou de uma PG Finita; Aplicações na Matemática Financeira o Caderno do Professor propõe:

75 59 Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parcela fixa de um financiamento a taxa constante de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco 8, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcular a parcela mensal do investimento, (ibid, p. 46). Para tanto, o Caderno do Professor explica as duas situações descritas a seguir: 1º) Com taxa de juros simples Como o financiamento parcelado com juros simples não é uma prática de mercado, para contextualizar esta modalidade haveria necessidade de entender a mesma situação, mas com uma única parcela. Esta modalidade é chamada de desconto, e é utilizada para resgatar títulos, podendo ser por fora (também denominada bancária), onde a taxa é aplicada ao valor de face do título, ou por dentro, na qual a taxa é aplicada ao valor de resgate. Após este entendimento teríamos que optar qual destas duas modalidades seria utilizada para compor a sequência progressiva, dos termos da progressão atrelada ao tempo. Dada a complexidade conceitual de um financiamento a juros simples tanto do ponto de vista financeiro como do matemático, é fora de propósito para alunos do Ensino Médio, visto que sua base conceitual matemática não dá suporte para o entendimento adequado. Portanto não será contemplada neste trabalho. 2º) Com taxa de juros compostos Diferentemente do financiamento citado anteriormente, esta operação financeira é a prática comum de mercado. O processo de cálculo explica a resolução baseado num financiamento de R$ ,00, corrigido de acordo com a quantidade de meses do financiamento, isto é, se a taxa de juros é 5% ao mês, e o prazo do financiamento é de 24 meses, o fator de correção será de 1,05 24, e a soma dos termos da progressão geométrica (1,05 + 1, , ,05 24 ) é usada para fazer o cálculo da parcela. 8 Saldo final de uma capitalização a taxa de juros simples e compostos.

76 60 Na análise que o Caderno do Professor faz deste tipo de financiamento, enfatiza dois aspectos geradores de dúvidas: Quadro 23-1º Aspecto gerador de dúvidas Refere-se à necessidade de corrigir o valor financiado de acordo com o exemplo acima, multiplicando-o pelo fator de correção de 1,05 24 financiado será considerado quitado quando a última parcela for paga. Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 47, pois o bem Quadro 24-2º Aspecto gerador de dúvidas A segunda dúvida que costuma ocorrer refere-se à necessidade de calcular o valor futuro de cada parcela que vai sendo pago, o que conduz ao cálculo da soma da PG. É comum os alunos fazerem, equivocadamente, a simples divisão do resultado do produto ,05 24 para determinar o valor de cada parcela. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que as parcelas não são todas pagas ao final do financiamento, mas sim em tempos diferentes, e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma parcela não é igual ao da outra. Exemplificando este aspecto gerador de dúvidas, o valor da parcela corresponderia a: o que é errado. Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 47 A análise de operações de financiamento é feita tendo como base o problema de n o 4 da página 49, por ser um procedimento padrão. Para isto apresentamos o enunciado e a solução proposta pelo caderno no quadro abaixo. Quadro 25 - Enunciado e Solução problema n o 4 Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês, qual o valor da parcela mensal? (Dado: 1,03 6 = 1,19) Solução proposta O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a ,03 6 = ,19 = A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:, onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1.785,00, tem-se:

77 Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49 Nossa análise é feita em etapas objetivando especificar as representações utilizadas em cada passo. O caderno diz: O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a Uma definição simples de Matemática Financeira é a matemática que trata o valor do dinheiro no tempo; então ao corrigir o valor da geladeira em 1,03 6 o Caderno do Professor optou pela data do final do financiamento para fazer a igualdade matemática entre o valor da geladeira e as seis prestações, a taxa de juros na modalidade de juros compostos. Ressaltamos que não significa que a geladeira irá custar esse valor após seis meses, esse valor é o valor corrigido da mesma para efeito de cálculo. Como elemento facilitador da aprendizagem do significado do valor corrigido (e não futuro como consta no Caderno do Professor, cujo conceito é diverso), da geladeira, sugerimos, via OPA, a utilização de um sistema semiótico de registro gráfico com a visualização da escala do tempo para representar os seis meses, sem a data calendário, e sim como quantidade de períodos (de zero 0 a seis 6 ). Gráfico 2 - Registro gráfico proposto para o problema n o 4 O valor corrigido (e não futuro) corrigido da geladeira, em seis meses, será igual a Este registro permite visualizar a data da transação comercial no momento 0 (zero) no eixo que representa o tempo, dito de outra forma corresponde ao 1º dia do 1º mês. Por outro lado, também representa a data onde é feita a equivalência entre o valor da geladeira e as seis parcelas, que corresponde ao último dia do 6º mês.

78 62 O caderno diz: A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:, onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1.785,00, tem-se: Neste caso a conversão indicada é de um registro da linguagem natural para um registro simbólico algébrico que contém o registro numérico da progressão geométrica; por sua vez, esse registro numérico tem uma atividade de tratamento operatória, para obter o resultado da soma de cada termo da progressão, e a seguir outra atividade de tratamento operatória para calcular o valor da parcela. Como a data do pagamento da 1ª parcela não foi explicitada no enunciado do problema, se no ato da transação comercial ou no final do 1º mês (pagamento antecipado ou postecipado), é necessário descobrir a correspondência de cada termo da P.G. com a posição de cada parcela na linha (eixo) do tempo. Para isso, utilizaremos o mesmo registro gráfico, primeiramente focando o valor da geladeira corrigido (R$ 1.785,00) em 6, e a seguir fazer a correspondência de cada parcela, designadas de P 1 para a 1ª parcela, e assim sucessivamente até P 6 que representa a 6ª parcela e última. Observe que na representação gráfica abaixo, P 6 sofre uma correção para se posicionar em 6, onde o valor da geladeira corrigido se encontra, portanto, o termo da P.G. correspondente é 1,03. Para P 4 são necessárias 3 correções, portanto, o termo da P.G. é 1,03 3, assim para P 1 1, 03 6, P 2 1, 03 5, P 3 1, 03 4 e P 5 1, Gráfico 3 - Correspondência das parcelas aos termos da P.G.

79 63 Na abordagem dos financiamentos não há nenhuma referência a respeito de qual é a data de pagamento da primeira prestação, ou seja, se é antecipada ou postecipada. O enunciado em análise apresenta sempre o caso de pagamento antecipado, modalidade obtida pela associação dos termos da PG utilizada, considerando-o como única forma de cálculo das prestações. Em outras palavras, a data de pagamento da primeira prestação não é colocada como dado variável para o cálculo das prestações. A matemática financeira contempla o fato de o primeiro pagamento ser antecipado (quando se paga a primeira parcela no ato do financiamento ou da transação comercial, o que equivale a dizer no início do primeiro período), ou postecipado (pagar a primeira parcela, por exemplo, 30 dias após a data de financiamento ou da transação comercial, o que equivale a dizer no final do primeiro período). Para os dois casos as calculadoras e os programas financeiros destacam essa situação utilizando os conceitos Begin ou End, pois isso implica mudança de valores de prestação, e principalmente de prazos de liquidação do financiamento. A Matemática Financeira usa essa data como variável para os cálculos nos casos de início de pagamento diferido, pois há situações como: pague a primeira prestação daqui a 60, 90, dias, ou após o recebimento do 13º salário. Parece-nos que para os alunos do Ensino Médio, foco do objeto Matemático do nosso estudo, esta associação está fora do propósito, sobretudo, numa iniciação a Matemática Financeira, portanto nosso OPA sempre contemplará a data do 1º pagamento. Resultados de exponenciações são apresentados (e usados nos cálculos) com duas casas decimais. Essa prática está em desacordo com o que o mercado financeiro utiliza e aceita; normalmente os números exponenciados são obtidos e trabalhados com pelo menos quatro casas decimais, ou mais, dependendo da ordem de grandeza dos valores envolvidos no cálculo. A comprovar tal procedimento, as calculadoras financeiras ou planilhas eletrônicas, ao efetuar tais cálculos, fazem-no com o máximo de casas decimais possíveis para sua arquitetura, exibindo conforme configurado pelo usuário, a fim de obter o máximo possível de precisão. Observar ainda que o Caderno do Professor julga fundamental que os alunos disponham de calculadora para o aprendizado e prática da matéria.

80 64 Observamos que se utilizássemos a representação tabular de um registro de tabelas, usada como recurso semiótico do Caderno do Professor, para interpretar a sequência dos termos da PG no sentido de identificar quando ocorre o pagamento da 1 a parcela, sua construção seria complexa.. Quadro 26 - Representação tabular de um registro de tabelas Por outro lado, a representação ou as representações que utilizaremos no OPA têm que ser de construção simples e dinâmicas, sendo assim poderemos visualizar o deslocamento do pagamento das parcelas de acordo com o contrato de financiamento. Gráfico 4 - Representação Gráfica do problema analisado A representação gráfica acima é utilizada comumente pelos livros específicos de Matemática Financeira, pois permite visualizar também o fluxo de caixa de acordo com o sentido da seta. Na análise da revisão bibliográfica encontramos no Caderno do Professor uma das premissas fundamentais para nosso objeto matemático, e ressaltamos que

81 65 o conjunto de atividades realizadas está de acordo com a Orientação Geral Sobre Os Cadernos, subitem Conteúdos básicos do bimestre que propõe: [...] problemas clássicos de cálculos de juros e de montantes envolvidos em processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG (Caderno do Professor, 2009, p. 9) A proposição de recorrer à soma de um número finito de termos de uma Progressão Aritmética e/ou Geométrica para o cálculo de parâmetros financeiros é o principal aspecto diferenciador dos livros didáticos, textos e dissertações publicadas; esta orientação é plausível de ser seguida, e o Objeto Para Aprendizagem - OPA - terá como referência a sequência didática e o conteúdo programático do Caderno do Professor. Como já dito, a Matemática Financeira é a matemática que trata do valor do dinheiro no tempo; sendo assim, uma das principais características do OPA é permitir a visualização desta característica e fazer corresponder cada termo da progressão aritmética e/ou geométrica com o procedimento de resolução de problema adotado. Lembramos que o procedimento de cálculo do caderno do professor para financiamentos contempla o pagamento da 1ª parcela somente no ato da aquisição, mas não nos casos em que a 1ª parcela deve ser paga daqui a 90 dias ou no Carnaval, etc., como ocorre com freqüência nas divulgações feitas pelos meios de comunicação. Como a questão fundamental é Que aspectos do OPA podem favorecer no processo de ensino e aprendizado de noções de Matemática Financeira?, a pesquisa foi focada buscando encontrar e favorecer os aspectos principais dos conceitos financeiros e matemáticos, e verificar dentro das modalidades financeiras do objeto matemático Capitalização, Financiamento e Desvalorização quais os aspectos, representações semióticas e conversões de registros provocadores de visíveis perturbações nos participantes que poderiam ser compensadas pelas funcionalidades do OPA As Entrevistas e as Atividades Os pressupostos estabelecidos para as entrevistas eram no sentido de que fosse semi estruturada, pois me permitiria fazer questionamentos de acordo com a

82 66 explanação dos professores entrevistados, e por outro lado, que eles atendessem as premissas a seguir: Que o professor usasse como instrumento pedagógico o Caderno do Professor, uma vez que o foco da pesquisa está baseado na situação de aprendizagem das aplicações à Matemática Financeira, assim poderia questionar os aspectos levantados na análise do Caderno do Professor; Que o professor tivesse ministrado o conteúdo Números e Sequências no 1º bimestre da 1ª série do ensino médio no ano de 2009, uma vez que no ano anterior (2008) não constavam as aplicações à matemática financeira. Assim se poderia verificar a abordagem por eles adotada, para isto, qualquer problema com respeito a financiamento poderia ser utilizado. Dentre os professores que foram contatados, poucos atendiam as premissas acima, principalmente, porque não lecionavam as aplicações de matemática financeira por uma questão de tempo, a carga horária prevista não era suficiente durante o ano letivo, ou deixava este tópico para lecionar nas últimas aulas utilizando-se das funções linear, exponencial e logarítmica. Desta forma, dos professores que concordaram em serem entrevistados, somente duas professoras cumpriam com os requisitos fixados, lecionam na mesma escola da zona sul da cidade de São Paulo no bairro do Campo Belo. As entrevistas foram realizadas em separado em uma sala de aula, sem alunos, no local de trabalho dos professores e fora do horário de funcionamento da escola. A data das entrevistas foi no dia 19 de maio de 2009, e cada entrevista demorou em torno de 30 minutos. No intuito de não contaminar as explicações dos professores entrevistados, o enunciado do problema de financiamento utilizado foi apresentado numa folha do tipo A4. Tanto o professor 1 como o professor 2 expuseram a resolução do mesmo modo como exposto no Caderno do Professor, sem observarem que esta situação se aplica somente aos casos em que o pagamento da 1ª parcela seja efetuado no ato da compra, aspecto não especificado pelo Caderno do Professor o que ao nosso modo de ver compromete a resolução do problema. Apesar do questionamento quanto à utilização de somente duas casas decimais, a resposta dos sujeitos pesquisados é no sentido de que não podemos

83 67 complicar as contas para os alunos. Quanto às provocações efetuadas para que as professoras reconsiderassem os casos em que o pagamento da 1ª parcela pode ser efetuado de forma postergada, não houve nenhum comentário adicional que modificasse sua interpretação da resolução do problema. Sendo assim as professoras reforçam suas explicações recomendando o procedimento de cálculo do caderno para as operações de financiamento e de capitalização. Três dias depois, no dia 22 de maio de 2009 iniciamos a primeira atividade com nove (9) alunos professores da Pós Graduação do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática de uma universidade particular situada em São Paulo Capital, professores atuantes no Ensino Fundamental e Médio tanto da rede pública e particular como em universidades. O local utilizado foi uma das salas de aula da Pós Graduação, aparelhada com recursos tecnológicos de última geração e realizado em duas sessões de duas horas aulas cada, dentro da disciplina de Seminário de Pesquisa. Na sessão inicial da atividade, o experimento buscava avaliar as dificuldades encontradas pelos colegas nas operações financeiras, desenvolvido por meio de fichas que exigiram não somente a resolução do problema, como também o levantamento dos elementos significantes e a abordagem da solução; houve concordância em que o trabalho fosse desenvolvido em duplas de livre escolha. Na segunda sessão foi feita uma apresentação, pelo autor desta pesquisa, das operações financeiras e dos recursos tecnológicos utilizados. Assim, ao revisarmos as questões da sessão anterior, criou-se uma interação entre todos os participantes da atividade gerando novas propostas. Quadro 27 - Primeira Questão da Primeira Atividade Nessa dinâmica, da 1ª questão da atividade, Se você tivesse que fazer um empréstimo, o faria a taxas constantes de juros simples ou juros compostos?, são sugeridos elementos que devem ser observados na elaboração do protótipo, tais como: Resposta: - buscar as diferenças entre uma PA e uma PG (Lima, 1997);

84 68 - como isso poderá ou não trazer vantagens e os termos de negociação e pagamento; - Analisar graficamente as variações de cada progressão e como o estudante poderia utilizar na Matemática Financeira Quadro 28 - Segunda Questão da Primeira Atividade O enunciado deste problema Um comprador mal-intencionado da empresa alpha pretende fazer uma falcatrua numa compra no valor de R$ ,00. Pede para superfaturar essa compra em 25%, e para não ficar tão evidente, pede para fazer um desconto de 20%. Calcule quanto ele pretende ficar?, Resposta: Mostrar como o mercado/empresas fazem para burlar o Fisco. De que formas isso poderá ocorrer. As vantagens e desvantagens dessas operações. Cálculo de porcentagens, onde não será feito a operação aritmética ou geométrica. Este problema traz um componente forte da relação que existe entre uma valorização com o desconto correspondente em termos percentuais, ou seja, uma valorização de 25% deixa o fator de acumulação de capitais ( 1 + i ) igual a ( 1 + 0,25) ou 1,25. Como o desconto é de 20% este fator é ( 1 i ) é igual a ( 1-0,20 ) ou 0,80, ao efetuar o produto de 1,25 0,80 = 1, voltamos à situação original independente do valor do capital. De outra forma, se o objeto A é maior que B em 25%, B corresponde a 80% de A ou 20% a menos. Este conceito serve para evidenciar a ida e volta de um capital (valor presente e valor futuro). As sugestões apresentadas fogem do escopo de PA e PG, não tendo uma aplicabilidade imediata no OPA.

85 69 Quadro 29 - Terceira Questão da Primeira Atividade O Problema 3 Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês (a.m.), qual o valor da parcela mensal? (Fonte: Caderno do Professor) Resposta -Introdução dos conceitos de PG, -demonstração da linha do tempo, -comparação entre a compra a prazo e à vista. -Vantagem desvantagem. - Necessidade da compra, possibilidade de investimento, o custo de oportunidade. Observe que a data da 1ª parcela não é explicitada, pode ser (0, 30, 60,...) dias a posteriori em relação à data da compra da geladeira, na medida em que aumenta esta diferença maior é o valor da parcela, daí a importância deste parâmetro, modificando também a sequência dos termos da PG para o cálculo da mensalidade. A sugestão da dupla 1 de professores é de Introdução dos conceitos de PG demonstração da linha do tempo para essa observação. Independente da exiguidade do tempo para esta atividade, verificamos a dificuldade dos professores participantes em relacionar cada termo da progressão com a parcela correspondente na linha do tempo. A partir dos resultados das interações dos professores iniciamos a elaboração do design com foco inicial exclusivamente para uma situação de financiamento com taxa de juros compostos, atrelando cada termo da progressão geométrica à parcela correspondente (incluindo seu sub-índice para identificar a localização no tempo da 1ª, 2ª, 3ª,... parcela ) na linha do tempo. Para isto, fizemos uso da análise realizada do problema de n o 4 da página 49 por ser um procedimento padrão utilizado pelo Caderno do Professor. Nossa proposta é apresentar um registro gráfico que suporte a visualização dos termos da P.G., a seguir:

86 70 Quadro 30 Enunciado de uma operação de Financiamento Enunciado: Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1.500,00 será financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês (a.m.), qual o valor da parcela mensal? Resolução: (Dado: 1,03 6 = 1,19) O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual ,03 6 = ,19 = As soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em: parcela fixa mensal. Como S = 1785, tem-se:, onde P é o valor da Fonte: CADERNO DO PROFESSOR, p. 49 A resolução pretendida será apresentada passo a passo de forma a elucidar esta situação de financiamento: O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual ,03 6 = ,19 = Gráfico 5 - Representação Gráfica do VP x VF A representação gráfica acima representa o procedimento utilizado no Caderno do Professor para deslocar, em seis meses, o valor atual (VP) da geladeira de R$ 1.500,00, para o valor futuro (VF), que se converte em R$ 1.785,00. Este procedimento de deslocar o valor da geladeira é realizado para efetuar a soma das prestações numa mesma data, neste caso seis meses após a transação comercial.

87 71 Gráfico 6 - Representação Gráfica da evolução do VP O fator de atualização é de 1,19, o que corresponde a uma taxa de juros compostos de 3% a.m nos seis meses; tem-se então: Dado 1,03 6 = 1,19 O valor futuro é ,19 = A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em: parcela fixa mensal., onde P é o valor da O procedimento adotado é levar todos os valores para o sexto mês; para tal, também são somadas as parcelas do financiamento nesse mês. Como o 1º termo da PG é igual a 1,03, tem-se que o acréscimo ou correção de 3% em um mês, a parcela que sofre menos correções uma vez que a equivalência é no 6º mês, corresponde à 6ª parcela ou P 6, a seguir: Gráfico 7 - Representação Gráfica do 1 o termo da PG O 2º termo da PG é igual a 1,03 2 ; significa que temos dois acréscimos ou duas correções de 3%, como a taxa de juros para esta situação é a.m. (ao mês) corresponde a dois meses, portanto trata-se da 5ª parcela. O fato do 2º termo da PG estar elevado ao quadrado (igual a 1,03 2 ) é por ser juros compostos, i.e., os juros incidem na situação anterior, a seguir:

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