ET720 Sistemas de Energia Elétrica I. Capítulo 3: Geradores síncronos. Gerador síncrono: conversor de potência mecânica em potência elétrica: P m

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1 ET720 Sistemas de Energia Elétrica I Capítulo 3: Geradores síncronos 3.1 Introdução Gerador síncrono: conversor de potência mecânica em potência elétrica: frag replacements água, vapor Turbina P m Máquina Síncrona (Alternador) P e Turbogerador com excitatriz 1

2 No problema de fluxo de carga apresentado no capítulo anterior considerou-se: placements Gerador Transformador P g, Q g Barramento da usina modelo Há modelos mais completos, a serem aplicados em várias análises de sistemas elétricos de potência. Exemplo: estudos de estabilidade. Somente será estudada a operação da máquina síncrona em regime permanente. Fenômenos transitórios são estudados em cursos mais avançados. Máquina síncrona funcionando como gerador barra PV será discutida com detalhe Motor síncrono com carga mecânica acoplada ao eixo é uma carga é modelado como tal e não será discutido nesse capítulo. 2

3 Motores síncronos conectados à rede sem carga mecânica no eixo fornecimento de potência reativa à rede condensador síncrono Exemplo: lado inversor de um link CC consome muitos reativos coloca-se um condensador síncrono: é mais barato que um banco de capacitores de potência equivalente devido ao nível de isolação exigido. permite um controle contínuo de fornecimento de reativos (bancos de capacitores têm controle discreto). CA CC CA g replacements Retificador Inversor Condensador síncrono 3

4 Descrição básica da máquina síncrona: g replacements eixo fase b c a eixo rotor rotor (pólos salientes) enrolamento de campo gap (entreferro) b I f c b eixo fase a armadura (estator) a eixo fase c Armadura (estator) parte fixa bobinas ficam acomodadas em ranhuras. Campo (rotor) parte móvel bobina enrolada no rotor por onde circula corrente contínua criação de um campo magnético. Entreferro (gap) espaço entre estator e rotor implica em uma relutância magnética. 4

5 x Estator de um hidrogerador Rotor de um hidrogerador 5

6 Pólos lisos pólos salientes no rotor: N N PSfrag replacements S S S pólos lisos (2 pólos) turbogerador N pólos salientes (4 pólos) hidrogerador Pólos salientes: hidrogeradores turbina hidroelétrica: peça grande, pesada grande volume de água grande número de pólos Pólos lisos (rotor ciĺındrico): turbogeradores (vapor) eficiência das turbinas a vapor aumenta a altas velocidades pequeno número de pólos 6

7 Exemplo Sistema de geração da usina de Itaipu: turbina Francis/gerador com velocidade de 92,3 rpm a 60 Hz (lado brasileiro) e 90,9 rpm a 50 Hz (lado paraguaio). Determine o número de pólos das máquinas. A expressão que relaciona o número de pólos (p), a velocidade em rpm (n) e a freqüência da tensão gerada em Hertz (f) é: Os respectivos números de pólos são: p = 120 f n p Br = p P a = , ,9 = 78 pólos lado brasileiro = 66 pólos lado paraguaio Máquinas grandes ( 20 metros de diâmetro) e baixa velocidade eixo na vertical (em geral hidrogeradores). Máquinas menores e altas velocidades eixo na horizontal (em geral turbogeradores). 7

8 eplacements Excitação de campo: Piloto Gerador CC Gerador Síncrono Turbina campo GS GS controle manual + campo gcc campo GCC GS reostato GS CC Controle eletrônico Controle Eletro-mecânico Campo gerado pela própria rede através de um gerador CC auto-excitado Piloto gerador de imã permanente Controle eletrônico mais rápido 8

9 3.2 Modelo da máquina síncrona de pólos lisos É possível obter um circuito elétrico equivalente para a máquina síncrona de pólos lisos. O circuito equivalente é obtido através da análise: do comportamento da máquina em vazio do comportamento da máquina sob carga das perdas Máquina operando em vazio Considerar uma máquina trifásica em que somente o enrolamento da fase a é representado para facilitar a análise. rotor eixo do estator θ = 0 eixo do rotor θ = ω t 0 PSfrag replacements a φ a φ M a estator 9

10 Máquina é acionada (pela turbina) com velocidade angular constante ω. A posição instantânea do rotor é: θ = ω t onde o ângulo θ é medido a partir do eixo do estator (referência angular). Corrente CC (i f ) é aplicada no enrolamento de campo e gera um campo magnético (H), que depende da intensidade da corrente e do caminho magnético: i f H A indução magnética (B) depende do meio no qual H existe: H B O fluxo magnético é proporcional à própria indução e à área onde ela existe: B φ φ é máximo sobre o eixo do rotor (φ M ). 10

11 A máquina é construída de forma que o fluxo magnético tenha uma forma senoidal no espaço. eixo do estator φ φ M φa PSfrag replacements ω t 0 θ eixo do rotor O fluxo sobre o eixo da fase a do estator é: φ a (θ) = φ M cos θ ou, em função do tempo: φ a (t) = φ M cos ωt 11

12 Pela lei de Faraday a tensão induzida no enrolamento da fase a do estator é: e f (t) = N d dt φ a (t) Na realidade há dispersão de fluxo: fluxo enlaçado pelas bobinas do estator fluxo disperso PSfrag replacements Considerando que φ f seja o fluxo enlaçado pelas bobinas do estator: e f (t) = N d dt φ f (t) = N φ M ω sen ωt = V p sen ωt 12

13 x φ f (t) e f (t) PSfrag replacements t Tanto o fluxo concatenado como a tensão induzida são senoidais. Chamando de: Φ f fasor associado a φ f (t) E f fasor associado a e f (t) Força eletromotriz interna da máquina tem-se um diagrama de fluxos e tensões em que a tensão está atrasada de 90 em relação ao fluxo: Φ f PSfrag replacements E f 13

14 3.2.2 Máquina operando sob carga Carga conectada ao estator da máquina correntes de armadura (fases a, b e c). Considere que a carga é equilibrada. As correntes são: i a (t) = I p cos (ωt) i b (t) = I p cos (ωt 120 ) i c (t) = I p cos (ωt ) São criadas 3 forças magnetomotrizes senoidais com mesmo valor máximo e defasadas de 120 : F a (t) = F p cos (ωt) F b (t) = F p cos (ωt 120 ) F c (t) = F p cos (ωt ) PSfrag replacements a Considere o instante ωt = 0: F a = F p F b = F p 2 F c = F p F ra = F p c F c F a b A força magnetomotriz resultante é: F b F ra F ra = 3 2 F p b c a 14

15 A força magnetomotriz total (resultante das três fmm das fases) é: F ra (t) = 3 2 F p cos (ωt) F ra é a força magnetomotriz de reação de armadura 1 resultado da circulação de corrente de armadura. F ra corresponde a um campo girante no entreferro. A velocidade de giro de F ra é igual à velocidade do campo do rotor os dois campos são estacionários um em relação ao outro. O campo girante de reação de armadura combinado com o campo de excitação resultam em um campo total de entreferro, que determinará a tensão terminal do gerador Diagrama fasorial Considere que o gerador alimenta diretamente uma carga indutiva corrente atrasada em relação à tensão aplicada (tensão terminal do gerador). A seqüência de raciocínio é a seguinte: A corrente de campo produz um Φ f campo Φ f. PSfrag replacements 1 Ver apêndice no final do capítulo. 15

16 Φ f induz uma tensão PSfrag E f (atrasada de 90 f replacements Φ ). E f Φ ra PSfrag replacementsφ f A corrente de carga I a produz um campo de reação de armadura Φ ra (em fase). E f I a Φ ra PSfrag replacements φ ra induz uma tensão E ra (atrasada de 90 ). Φ f E f E ra I a PSfrag replacements Φ ra A soma de Φ f e Φ ra resulta no campo total de entreferro Φ t. Φ f Φ t E f E ra I a 16

17 PSfrag replacements Φ ra A soma de E f e E ra resulta na tensão terminal do gerador E t. Φ f Φ t E f E ra I a E t Consideração das perdas As principais causas de perdas são: Perdas ôhmicas nos enrolamento modeladas como uma resistência r a resistência de armadura. Dispersão de fluxo de armadura modelada como uma reatância indutiva x l reatância de dispersão da armadura. (*) l leakage eplacements armadura 1 2 condutor 1 linhas de campo que passam pelo entreferro 2 linhas de campo que não passam pelo entreferro 17

18 3.2.5 Circuito equivalente Em termos das tensões pode-se escrever: E t = E f + E ra Verifica-se que: a corrente de armadura I a está adiantada de 90 em relação à tensão E ra. ou I a está atrasada de 90 em relação E ra. é como se a tensão E ra fosse aplicada sobre uma reatância e I a fosse a corrente pela reatância. efeito da reação de armadura modelada como uma reatância de reação de armadura ou reatância magnetizante. Assim: E t = E f ( E ra ) = E f jx ra I a Semelhança com a expressão obtida para uma fonte de tensão real composta por uma fonte de tensão ideal e uma impedância interna. 18

19 Incluindo os efeitos das perdas tem-se o circuito equivalente da máquina síncrona de pólos lisos: eplacements perdas r a x l x ra I a r a I a + E f + E t + E f + E t O diagrama fasorial e a equação básica são: cements E f ϕ E t r a I a I a δ j I a E t = E f (r a + j ) I a V t = V f δ (r a + j ) I a ϕ Este é o chamado modelo clássico e é adequado para análises de regime permanente senoidal. Existem modelos mais elaborados para aplicações específicas. 19

20 3.2.6 Característica potência-ângulo Considerar o diagrama fasorial da máquina síncrona mostrado acima. A tensão terminal E t foi tomada como a referência angular. O ângulo de desfasagem entre E t e E f é chamado de ângulo de potência. Da equação da máquina tem-se: E t = E f (r a + j ) I a = E f r a I a j I a Escrevendo os fasores de tensão e corrente em termos de seus módulos e ângulos: V t = V f δ r a I a ( ϕ) I a (90 ϕ) = V f cos δ + jv f sen δ r a I a cos ϕ + jr a I a sen ϕ (1) I a cos (90 ϕ) j I a sen (90 ϕ) Tomando as partes imaginárias de (1) e considerando que r a (desprezando a resistência): 0 = V f sen δ I a sen (90 ϕ) I a cos ϕ = V f sen δ 20

21 Multiplicando os dois lados da equação por V t : PSfrag replacements I a V t I a cos ϕ = P = V tv f sen δ P g, Q g E t onde P é a potência ativa fornecida pelo gerador ao restante do circuito. A curva [P δ] (potência-ângulo) mostra que existe um limite para a potência ativa fornecida pela máquina limite estático de estabilidade: P P max P = V tv f sen δ cements P max = V tv f δ lim = δ (*) V t, V f e constantes Tomando agora as partes reais de (1) e desprezando a resistência: V t = V f cos δ I a cos (90 ϕ) I a sen ϕ = V f cos δ V t V t I a sen ϕ = V tv f cos δ V t 2 } {{ } Q Q = V tv f cos δ V t 2 = V t (V f cos δ V t ) 21

22 Em geral os geradores operam de forma que os ângulos de potência sejam de no máximo 30 (típico). Exemplo Obtenha as curvas [P δ] e [Q δ] de um gerador síncrono para: V f = 1,2 pu, V t = 1,0 pu e = 1,0 pu. A resistência de armadura do gerador é desprezada. Para essas condições tem-se: P max P PSfrag replacements Sobrexcitada Subexcitada Q δ [ ] A potência ativa máxima (para δ = 90 ) é: P max = V fv t = 1,2 pu A potência reativa é nula para: V f cos δ V t = 0 δ = 33,6 22

23 Note que: (V f cos δ V t ) > 0 Q > 0 máquina sobreexcitada, fornece potência reativa (V f cos δ V t ) < 0 Q < 0 máquina subexcitada, consome potência reativa Controles da máquina O gerador síncrono faz parte de um grande sistema de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. PSfrag replacements G SISTEMA ELÉTRICO A tensão terminal (magnitude, ângulo de fase e freqüência) é determinada pela interação entre G e o restante da rede. Redes de grande porte são compostas por várias unidades geradoras. Cada gerador individualmente é em geral mais fraco que o conjunto dos demais. 23

24 No caso de G, a tensão terminal será imposta pelo sistema, que é mais forte do que ele. As seguintes ações de controle podem ser realizadas em G: Abertura ou fechamento da válvula de água (hidro) ou vapor (turbo) que aciona a turbina. Variação da corrente de campo do gerador. Se o sistema for suficientemente forte, as ações de controle terão um impacto muito pequeno (desprezível) sobre a tensão terminal do gerador, que manterá a mesma magnitude, ângulo de fase e freqüência. Diz-se então que G está conectado a um barramento infinito. PSfrag replacements G barramento infinito O circuito equivalente de G fica: Sfrag replacements perdas + + I f E f I a E t constante 24

25 Dependento do fator de potência visto pelo gerador pode-se ter: E f δ j Ia carga indutiva E t frag replacements I a perdas I a E f δ j Ia carga capacitiva constante E t Para uma máquina de pólos lisos as potências entregues são: P G = V tv f sen δ Q G = V tv f cos δ V t 2 Pode-se fazer uma simplificação que facilita as análises posteriores. As funções seno e cosseno de ângulos pequenos (próximos a zero) podem ser escritas como (decomposição em série de Taylor): sen x = x x3 6 + x cos x = 1 x

26 e as expressões das potências ficam: P G = V tv f δ Q G = V tv f V t 2 Esta aproximação é tanto melhor quanto menor for o valor de δ: P P max PSfrag replacements trecho da curva pode ser representado por uma reta 90 δ δ pequeno Controle de conjugado do eixo A potência elétrica entregue pelo gerador é o resultado de uma conversão de potência mecânica fornecida ao seu eixo conjugado de eixo. O conjugado de eixo é controlado pela válvula de controle de fluxo da turbina (água, vapor). Variação do conjugado de eixo variação da potência mecânica variação da potência elétrica. 26

27 Equações completas ANTES Pg 0 = V tv f sen δ 0 } x {{ s } const. Q 0 g = V tv f cos δ 0 V t 2 DEPOIS P g = P 0 g + P g = V tv f sen ( δ 0 + δ ) P g varia δ varia Q g = Q 0 g + Q g = V tv f cos ( δ 0 + δ ) V t 2 P g varia δ varia Q g varia Equações simplificadas ANTES DEPOIS P 0 g = V tv f δ 0 P g = P 0 g + P g = V tv f ( δ 0 + δ ) P g varia δ varia Q 0 g = V tv f V t 2 Q g = Q 0 g + Q g = V tv f V t 2 Q g = 0 P g varia δ varia Q g não varia! Conclusão sobre as relações de sensibilidade dos controles e potências: conjugado / potência ativa sensibilidade forte conjugado / potência reativa sensibilidade fraca 27

28 Controle da excitação de campo A potência reativa do gerador é: Q g = V tv f cos δ V t 2 = V t (V f cos δ V t ) } {{ } ( ) (*) termo pode ser > 0 ou < 0 Equação para o gerador síncrono de pólos lisos: E f = E t + j I a (r a desprezado) Para carga indutiva tem-se: E f PSfrag replacements I a ϕ δ E t j Ia 28

29 V f cos δ projeção de E f sobre o eixo de E t V f cos δ > V t V f cos δ V t > 0 Q g > 0 máquina fornece potência reativa para a rede V f grande I f grande máquina sobreexcitada PSfrag replacements Para carga capacitiva tem-se: I a ϕ E f δ j Ia E t V t e I a mantidos constantes (iguais ao caso anterior) V f cos δ < V t V f cos δ V t < 0 Q g < 0 máquina consome potência reativa da rede V f pequeno I f pequeno máquina subexcitada Para carga resistiva tem-se: PSfrag replacements E f δ j Ia I a E t V f cos δ = V t V f cos δ V t = 0 Q g = 0 máquina opera com fator de potência unitário Controle de excitação de campo: I f varia V f varia. 29

30 Equações completas ANTES DEPOIS Pg 0 = V tvf 0 sen δ 0 Pg 0 x = V ( ) t V 0 f + V f sen ( δ 0 + δ ) s como não se alterou o conjugado P g constante Q 0 g = V tvf 0 cos δ 0 V t 2 V f varia δ varia P g constante Q g = Q 0 g + Q g = V ( ) t V 0 f + V f cos ( δ 0 + δ ) V t 2 V f varia δ varia Q g varia Conclusão sobre as relações de sensibilidade dos controles e potências: excitação de campo / potência ativa sensibilidade nula excitação de campo / potência reativa sensibilidade forte Exercício proposto na lista ilustra as sensibilidades. 30

31 3.3 Modelo da máquina síncrona de pólos salientes Diagrama fasorial Efeito da saliência dos pólos relutâncias diferentes devido a variações de entreferro. O modelo da máquina é obtido através da decomposição nos eixos direto d e quadratura q. eixo direto d I f PSfrag replacements eixo de quadratura q O efeito da saliência pode ser representado pela decomposição da corrente de armadura I a em duas componentes nos eixos direto (I d ) e de quadratura (I q ). Como as relutâncias nos eixos d e q são diferentes define-se reatâncias diferentes x d e x q para cada eixo. Relutância do eixo de quadratura > relutância do eixo direto x q < x d. 31

32 Equação básica: E f = E t + r a I a + jx d I d + jx q I q Sfrag replacements Diagrama fasorial: E f d I q E q E f q E d ϕ δ Et jx q I q I d I a raia jx d I d Não é possível obter um circuito elétrico equivalente para a máquina de pólos salientes. 32

33 Alguns valores típicos de reatâncias: Local Tipo x d [pu] x q [pu] Ilha Solteira Hidro 0,88 0,69 Henry Borden Hidro 1,27 0,76 Cubatão Santo Ângelo Cond. Síncr. 1,30 0,90 perto de São Paulo Santa Cruz Turbo 1,86 1,86 pólos lisos Característica potência-ângulo Considere novamente o diagrama fasorial da máquina de pólos salientes, agora desprezando as perdas ôhmicas (r a ): ag replacements E f I d I q E q E f q ϕ δ r a I a E d Et jx d I d jx q I q I d I a R 33

34 Agora aparecem também os eixos real (R) e imaginário (I), considerando a tensão terminal E t como referência angular. Logo: E t = V t 0 E f = E f δ I a = I a ϕ Em termos fasoriais: Logo: I a = I d + I q R{I a } = R{I d } + R{I q } ou seja, trabalha-se aqui com as projeções das correntes no eixo real. De acordo com o diagrama: I a cos ϕ = I d sen δ + I q cos δ (2) Desprezando a resistência r a tem-se: ou: V t sen δ = x q I q V f V t cos δ = x d I d I q = V t x q sen δ I d = V f x d V t x d cos δ 34

35 Substituindo as expressões de I d e I q na equação das projeções das correntes (2): I a cos ϕ = V f x d sen δ V t x d cos δ sen δ + V t x q sen δ cos δ ( V t ) V t I a cos ϕ = V tv f sen δ V t 2 cos δ sen δ + V t 2 sen δ cos δ } {{ } x d x d x q P P = V ( tv f 1 sen δ + Vt 2 x d = V tv f sen δ + Vt 2 x d P = V tv f sen δ } x d {{ } pólos lisos + V t x q x d ( xd x q x d x q ( xd x q ) sen δ cos δ ) ( 1 sen 2δ 2 ) sen 2δ } x d x {{ q } saliência ) Aparece agora um termo adicional na equação da potência, referente ao efeito da saliência dos pólos. 35

36 Curva [P δ] para a máquina de pólos salientes: P k 1 sen δ + k 2 sen 2δ P max Sfrag replacements k 1 sen δ limite estático de estabilidade (< 90 ) δ k 2 sen 2δ Através de processo semelhante chega-se a uma expressão para a potência reativa: I a sen ϕ = I d cos δ I q sen δ = V f x d cos δ V t x d cos 2 δ V t x q sen 2 δ ( V t ) V t I a sen ϕ = V ( tv f cos cos δ V } {{ } 2 2 δ t x d x d Q Q = V ( tv f cos cos δ Vt 2 2 δ x d x d ) + sen2 δ x q ) + sen2 δ x q 36

37 Exemplo Obtenha as curvas [P δ] e [Q δ] de um gerador síncrono para: V f = 1,2 pu, V t = 1,0 pu, x d = 1,0 pu e x q = 0,7 pu. A resistência de armadura do gerador é desprezada. Para essas condições tem-se: P max P PSfrag replacements Q δ [ ] 3.4 Valores nominais de uma máquina síncrona Tensão terminal 15 kv Potência aparente 100 MVA Reatâncias x d, x q (pu), na base 100 MVA / 15 kv 1,5 pu e 1,0 pu Fator de potência nominal 95% 37

38 3.5 Curvas de capacidade (capability) Definição É o contorno de uma superfície no plano [P Q] dentro do qual o carregamento da máquina síncrona pode ser feito de acordo com as suas limitações de operação em regime contínuo. Curva de capacidade típica: S 3 P S 1 PSfrag replacements S S S 2 Q capacitivo indutivo Área mais escura pontos de operação permissíveis. A curva é composta por diversos trechos existem diversos fatores que limitam a operação da máquina. S, S pontos permitidos máquina não está plenamente utilizada. 38

39 S 2, S 3 pontos não satisfatórios limites violados. Tais pontos podem resultar na operação com sobrecarga em alguns casos pode-se operar com sobrecarga durante um certo intervalo de tempo. Alguns desses pontos podem nunca ser atingidos os limites da máquina são tais que é impossível atingí-los. S 1 ponto permitido máquina plenamente utilizada. Curvas de capacidade podem ser traçadas para motores e geradores. Atenção será dada aos geradores. Cada gerador possui uma família de curvas de capacidade, para diferentes tensões terminais de operação. A tensão terminal varia pouco, em torno do valor nominal. Típico: 3 curvas, para 0, 95, 1, 1, 05 pu Fatores que limitam a capacidade de um gerador Fatores gerais: Perdas de potência no ferro. Perdas de potência no cobre. 39

40 Fatores específicos: tensão terminal (V t ) V t aumenta fluxo no ferro aumenta perdas no ferro aumentam. V t é usado como parâmetro família de curvas corrente de armadura (I a ) I a aumenta r a I 2 a aumenta perdas cobre no estator aumentam. há um I max a dado indiretamente pela potência aparente máxima. corrente de campo (I f ) I f cria E f (força eletromotriz induzida) para uma tensão terminal constante quanto mais indutiva for a carga maior deve ser E f e, portanto, maior o I f (para que se tenha maior fluxo): eplacements E f I f ~ + E f I a + E t E t j I a E f j I a I a E f = E t + j I a I a E f > E f 40

41 limitação das perdas no cobre do campo limitação de I f. considere a seguinte situação: V t fixo, a carga é tal que I a é o máximo permitido (perdas cobre na armadura). como existe um I f máximo, também existe um E f máximo, E max f. o ângulo φ de defasagem entre V t e Ia max pode ser no máximo tal que a queda em x a, jx a Ia max, caia sobre o lugar geométrico de E max f : E max f E 1 f E 2 f frag replacements E 3 f I max a ϕ 3 ϕ 2 ϕ 1 I 1 a E t I 2 a I 3 a 41

42 nota-se na figura que para ϕ 1, Ef 1 ϕ 2 Ef 2 cai sobre o lugar geométrico. cai dentro do lugar geométrico e para ϕ 3 não é um ângulo admissível pois E 3 f cai fora do lugar geométrico. conclusão: existe um fator de potência mínimo (ϕ máximo) de operação do gerador, para o qual E f é máximo cos ϕ 2. se o gerador operar abaixo deste valor de fator de potência sobreaquecimento do circuito de campo. limite de estabilidade estática curvas [P δ] valores de P maiores que o máximo não podem ser convertidos perda de sincronismo. excitação mínima permissível carga fortemente capacitiva E f muito baixo δ aumenta para manter P pode-se atingir o limite de estabilidade (δ = 90 ) e perde-se o controle da máquina. existe uma excitação mínima permitida. limite da máquina primária a potência convertida pelo gerador pode ser limitada pela potência mecânica máxima que pode ser fornecida pela máquina primária (turbina hidráulica, a vapor, gás etc.) Perdas rotacionais (perdas mecânicas nos mancais) não são diretamente relacionadas com o carregamento da máquina não afetam a curva de capacidade. 42

43 lacements Levando em consideração todos os fatores obtém-se a curva de capacidade da máquina para um certo V t : D P C B AB Limitação por I f BC Limitação por I a CD Limitação pela máquina primária DE Limitação por I a EF Limitação por estabilidade FG Limitação por excitação mínima E F φ G O A Q (ind) 43

44 3.5.3 Traçado da curva de capacidade Máquina de pólos lisos Para uma máquina de pólos lisos tem-se a seguinte relação fasorial: E f = E t + j I a PSfrag replacements E f O ϕ δ E t O I a I a Considere que E t é a tensão normal de trabalho e deve ser mantida constante. Considere que I a está no seu valor máximo (limite de perdas cobre na armadura). Considere que E f está no seu valor máximo (limite de perdas cobre no campo). Nestas condições a máquina opera com fator de potência nominal. 44

45 Mantendo as condições anteriores, a carga pode variar de puramente indutiva (I a 90 atrasada em relação a V t ) a puramente capacitiva (I a 90 adiantada em relação a V t ). j I a está 90 adiantada em relação a I a e acompanha a sua variação. O lugar geométrico da extremidade de j I a é a semi-circunferência BAC (centro em O): Sfrag replacements E f A O ϕ δ C E t O I a B I a pontos externos a BAC não são permitidos (corresponderiam a correntes maiores que a máxima). pontos sobre BAC (operação limite) e pontos internos a BAC são permitidos. 45

46 A extremidade de E f se encontra com a extremidade de j I a. como E f também está no seu valor máximo o lugar geométrico de sua extremidade está sobre a circunferência DA (centro em O ): acements E f A O ϕ δ C E t O I a D B I a 46

47 A fim de satisfazer ao mesmo tempo as duas limitações (E f e I a dois lugares Sfrag replacements geométricos) delimita-se a área de operação permitida pelo contorno DAC: E f A O ϕ δ C E t O I a D B I a arco DA limite de campo. arco AC limite de armadura. DAC poderia ser considerada a curva de capacidade da máquina. deve-se transformá-la em uma curva no plano [P Q] e acrescentar outros limites. Retomando a relação fasorial de tensões: ( E f = E t + j I a V ) t V t E f = V te t + ji a V t 47

48 Redesenhando o diagrama fasorial tem-se: cements P D a δ = 90 P V t V f ϕ A δ V t I a O ϕ C V 2 t O Q D B Q (ind) I a o eixo vertical de P é colocado com origem no ponto O. o fasor ji a V t (segmento OA) tem módulo V t I a, que é a potência aparente S fornecida pelo gerador. V t I a faz um ângulo φ com o eixo vertical. As projeções de V t I a nos eixos vertical e horizontal são: OP V t I a cos ϕ potência ativa OQ V t I a sen ϕ potência reativa 48

49 agora o contorno DAC representa a curva de capacidade do gerador. esta curva, em sua forma mais simples, representa somente as limitações devido ao aquecimento dos enrolamentos de campo (DA) e armadura (AC). deve-se incluir outros efeitos. 49

50 Incluindo o limite de estabilidade: o limite teórico de estabilidade ocorre para δ = 90 : em que E f é perpendicular a E t : cements P max = V tv f P V t V f, para δ = 90 D P V t V f ϕ A O δ C ϕ V 2 t O V t I a Q D B Q (ind) I a linha tracejada vertical partindo de O lugar geométrico das potências máximas para diferentes valores de V f. 50

51 no caso da máquina exemplo, P max cai fora da região permitida. neste caso, outros fatores limitantes entram em consideração antes que o limite de estabilidade seja atingido o limite de estabilidade não precisa ser considerado. lacements para um caso geral, deve-se considerá-lo ponto O situa-se à direita do ponto C: P V t V f, para δ = 90 V t V f A D E ϕ V t I a P Q C O δ ϕ I a V 2 t O D B Q (ind) para carregamentos com fator de potência capacitivo (I a adiantado em relação a E t ), pode-se atingir o limite de estabilidade. segmento EO substitui o trecho EC na curva de capacidade pontos à esquerda de EO resultam em δ >

52 deve-se trabalhar sempre com uma margem de segurança para evitar que o limite de estabilidade seja atingido define-se então o limite prático de estabilidade. cements para cada valor de V f a nova potência máxima será limitada ao valor resultante da diferença entre a potência máxima teórica para este valor de V f e 10% da potência nominal da máquina. 0,1P n S S P D V t V f, para δ = 90 V t V f A E P Q C O δ ϕ I a V 2 t ϕ O V t I a D B Q (ind) 52

53 cements e a curva de capacidade fica então: 0,1P n S S P D V t V f, para δ = 90 N V t V f A P Q E ϕ V t I a C O F δ ϕ I a V 2 t O D B Q (ind) 53

54 É possível também considerar o limite prático de estabilidade através de um ângulo δ max, por exemplo: cements δ max = 75 Neste caso, a inclusão desse limite no diagrama de capacidade é trivial e resulta em: P D V t V f, para δ = 90 N V t V f A P Q S S C E O F δ ϕ δ max I a V 2 t ϕ O V t I a D B Q (ind) 54

55 deve também haver um limite inferior de excitação da máquina o controle fica muito difícil o limite é: cements P min = V tvf min traça-se um círculo de raio P min com centro em O determina-se o trecho F G. 0,1P n S S P D V t V f, para δ = 90 N V t V f A P Q E ϕ V t I a C O F G δ ϕ I a V 2 t O D B Q (ind) 55

56 finalmente, deve-se levar em conta a limitação da máquina primária (turbina) linha horizontal, correspondente à máxima potência permissível lacements da máquina primária. Forma geral da curva de capacidade: D P C B AB Limitação por I f BC Limitação por I a CD Limitação pela máquina primária DE Limitação por I a EF Limitação por estabilidade FG Limitação por excitação mínima E F φ G O A Q (ind) Exemplo Traçe o diagrama de capacidade de uma máquina síncrona para as seguintes condições indicadas a seguir. Potência aparente nominal S 1,11 pu Tensão terminal V t 1,0 pu Tensão de campo máxima Vf max 2,6 pu Tensão de campo mínima Vf min 0,3 pu Reatância síncrona 1,67 pu Potência máxima da máquina primária 1,0 pu P max prim 56

57 A corrente nominal da máquina é: I a = S V t = 1,11 pu Da equação da máquina síncrona tem-se: V t E f = V t E t + jv t I a 1,0 1,0 2,6 δ = 1,67 1,67 1,0 0 + } 90 {{ } 1,5569 δ = 0, ,11 (90 ϕ) j 1,0 1,11 ϕ (E t é referência angular) os 3 termos da equação formam o triângulo que compõem o diagrama fasorial. é possível (mas não necessário) resolver a equação, obtendo δ = 33,75 e ϕ = 38,81. Seqüência para o traçado do diagrama de capacidade: (1) Traçar 0,5988 0, que corresponde a V 2 t / O O. PSfrag replacements O V 2 t / O 57

58 (2) Com centro em O, traçar círculo com raio 1,5569, que corresponde a V t Vf max / (limitação de campo, lugar geométrico de Vf max ) D. Com centro em O, traçar círculo com raio 1,11, que corresponde a V t I a (limitação de armadura, lugar geométrico de Ia max ) BAC. A ag replacements C O V 2 O t / D B 58

59 (3) Traçar os eixos P e Q. Os círculos traçados no passo (2) correspondem aos lugares geométricos para Vf max (perdas ferro) e Ia max (perdas cobre), e já definem o diagrama de capacidade básico para a máquina DAC. P cements A V t V f / V t I a C O V 2 O t / D B Q 59

60 (4) Traçar linha paralela ao eixo P passando por O linha tracejada O E corresponde a δ = 90 limite de estabilidade estática diagrama de capacidade agora é DAEO. P cements E A V t V f / V t I a C O V 2 O t / D B Q 60

61 (5) O ângulo ϕ foi obtido anteriormente. Ele também pode ser obtido a partir do próprio diagrama de capacidade, como sendo o ângulo entre o eixo P e a linha OA, que corresponde à potência aparente V t I a. Desta forma, a potência ativa nominal da máquina é calculada por: P n = V t I a cos ϕ = S cos ϕ = 1,11 cos 38,81 = 0,8650 pu 10% deste valor, ou seja, 0,0865 pu deve ser descontado para a obtenção da curva prática do limite de estabilidade. Para cada valor de V f, traçar um círculo com centro em O e raio V t V f /. A partir do cruzamento do círculo com a linha O E, desconta 0,1 P n = 0,0865 pu traçar linha horizontal. A intersecção do círculo com a linha horizontal define o ponto prático de limite de estabilidade da máquina para o valor escolhido de V f. O novo diagrama de capacidade é DASX. 61

62 x P S E A lacements V t V f / V t I a C O X V 2 O t / D B Q 62

63 (6) Excitação mínima: P min = V tvf min = 1,0 0,3 1,67 = 0,1796 pu Traçar círculo com centro em O e raio 0,1796, correspondente à excitação mínima. O novo diagrama de capacidade é DASF G. P cements S E A V t V f / V t I a C F O X G Vt 2 / O D B Q 63

64 (7) Incluir a limitação da máquina primária linha paralela ao eixo Q para P = 1,0 pu. PSfrag replacements O diagrama de capacidade final da máquina é dado pelo contorno DACHF G. V 2 t / B P C H C A S X E V t I a V t E f / O F G O D Q Trecho DA AC CH HF F G Limite campo (perdas ferro) armadura (perdas cobre) máquina primária (turbina) estabilidade excitação mínima 64