Vamos resolver questões de concurso para entendermos como funciona esta fórmula.

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1 Sejam α e β os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às H horas e M minutos. É possível encontrar um desses ângulos (em graus) pela seguinte fórmula: Sabendo um dos ângulos, o outro é o que falta para 360 graus. Vamos resolver questões de concurso para entendermos como funciona esta fórmula. 01. (Companhia Docas do Estado de São Paulo 010/FGV) Em um relógio de ponteiros, o ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 minutos. Nesse mesmo período, o ponteiro das horas gira 30. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas e 0 minutos é (A) 90 (B) 100 (C) 110 (D) 80 (E) 70 Queremos calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 7 horas e 0 minutos. Assim, H 7 e M 0. α α 100 Letra B Muito fácil, não?! 0. (Assistente Legislativo Câmara Municipal de Registro-SP 016/VUNESP) Quando um relógio de ponteiros marca 4 horas, o menor ângulo formado entre os ponteiros dos minutos e das horas é 10º. O tempo que irá se passar até que o ângulo formado entre esses ponteiros seja igual a 180º é, aproximadamente, a) 30 min b) 36 min 30s. c) 4 min d) 54 min 30s e) 60 min 1

2 Sabemos que o ângulo formado é igual a 180º e que H 4. Queremos calcular M. α M M M 600 Devemos dividir 600 minutos por minutos 11 6 minutos 54 minutos Ao dividir 600 por 11, obtivemos quociente 54 minutos e resto 6 minutos. Devemos dividir 6 minutos por 11. Entretanto, já conseguimos marcar a resposta na letra D. 6 minutos 6 x 60s 360 segundos. 360/11 é aproximadamente 3 segundos. Assim, o ângulo formado pelos ponteiros será 180º às 4h 54min 3s aproximadamente. Letra D 03. (Analista de Sistemas Câmara SJC 009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 11: 50 horas? a) 35 graus b) 45 graus c) 55 graus d) 65 graus e) 60 graus Neste caso, H 11 e M 50. α α 55 Letra C

3 04. (Programador Câmara Municipal SJC 009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 09: 35 horas? a) 66,6 graus b) 45,5 graus c) 80 graus d) 70 graus e) 77,5 graus Neste caso, H 9 e M 35. α α 77, 5 Letra E 05. (Assessor de Imprensa Câmara Municipal SJC 009/FIP) Qual é o valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 14:0 horas? a) 30 graus b) 40 graus c) 50 graus d) 60 graus e) 70 graus Lembre-se que o relógio analógico tem a numeração de 1 a 1. Portanto, se o relógio marca 14:0 horas, então devemos usar H e M 0. α α 50 Letra C 06. (Assistente Administrativo UFABC 006) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca 13 horas e 8 minutos é: a) 14º b) 138º c) 144º d) 140º e) 114º 3

4 Novamente devemos nos lembrar que a numeração do relógio analógico vai de 1 a 1. Portanto, devemos utilizar H 1 e M 8. α α 14 Letra A 07. (Engenheiro TCM-RJ 011/FJG) Os ponteiros de um relógio se superpõem várias vezes ao dia. O intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas é de aproximadamente: (A) 1 h 5 min 7 s (B) 1 h 6 min 1 s (C) 1 h 7 min 31 s (D) 1 h 8 min 4 s (E) 1 h 1 min 11 s Quando os ponteiros de um relógio se superpõem, o ângulo formado por eles é igual a zero. Uma notável superposição ocorre quando os dois ponteiros apontam para o número 1. Vamos supor, então que o relógio marca exatamente 1 h 00 min. A próxima superposição acontecerá às 13 horas e M minutos. Como o relógio tem a numeração de 1 a 1, então devemos utilizar H 1. Nesta superposição, o ângulo formado é igual a zero. Assim, 0 O número que está dividindo o primeiro membro, passa multiplicando para o segundo membro. 0 0 O módulo de um número é zero se e somente se o número for igual a zero. Portanto, Como H 1, então: 0 11M 60H 4

5 11M 60 1 M min Vamos dividir 60 minutos por min 11 5 min 5 min Neste início de cálculo já podemos marcar a alternativa A. Para continuar a divisão, devemos transformar o resto para segundos. Como 1 minuto é igual a 60 segundos, então 5 min 5 60s 300s. Vamos dividir 300 segundos por s 11 3 s 7s Assim, a próxima coincidência será às 13 horas, 5 minutos e 7 segundos (aproximadamente). Como a primeira superposição aconteceu às 1 horas, então o intervalo entre duas superposições consecutivas é de, aproximadamente, 1 hora, 5 minutos e 7 segundos. Letra A 5