ANO LECTIVO DE 2007/2008

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1 AO LECTIVO DE 7/8 Prof. Carlos. Pava Deartaento de Enenhara Eletroténa e de Coutadores Insttuto ueror Téno Março de 8

2 Lasers eondutores Charles H. Townes (95-) Préo obel da Físa e 964 Desenvolveu, o Arthur L. hawlow, o río do laser Arthur L. hawlow (9-999) Préo obel da Físa e 98 Desenvolveu, o C. H. Townes, o rnío do laser Wlla P. hokley (9-989) Préo obel da Físa e 956 Alfação usando dostvos seondutores Walter H. Brattan (9-987) Préo obel da Físa e 956 Alfação usando dostvos seondutores John Bardeen (98-99) Préo obel da Físa e 956 Alfação usando dostvos seondutores

3 Lasers eondutores E ovebro de 999 ua equa de nvestadores, a trabalhar nos Bell Labs da Luent Tehnoloes (e Holdel,.J., UA), desenvolveu u úno laser ultra- -rádo aaz de transtr era de anas (o ua searação de GHz). Trata-se de u laser ronto a oerar e ssteas de ounação óta UDWDM (ultra-dense wavelenth-dvson ultlexn). htt://www.belllabs.o/news/999/noveber//.htl LIK htt://en.wkeda.or/wk/laser_dode htt://en.wkeda.or/wk/laser_dode_rate_equatons htt://www.t.vu.lt/fk/funk_darna/dod/led_laser.ht htt://www.olyusfluovew.o/java/dodelasers/ndex.htl

4 Lasers eondutores Izuo Hayash e Morton B. Pansh onebera e desenvolvera e 97 o rero laser seondutor a oerar ontnuaente (ree CW) à teeratura abente. ota réva Do onto de vsta dos ssteas de ounação óta, exste dos roessos fotónos fundaentas: () a transssão da nforação (e forato analóo ou dtal) através das fbras ótas; () a outação fotóna da nforação nas redes de teleounações. Enquanto que o roesso da transssão é, hoje, oletaente óto (eso a alfação é óta, ultraassados que estão os reeneradores), o eso não se ala ao aso da outação: sendo o objetvo, ara se alançar ua total tranarêna dos ssteas, a outação fotóna (e nlês: all-otal swthn ), a nvestação e o desenvolvento desenrola-se, nesta área eeífa, a u rto as lento. Poré, quer a transssão quer a outação, são roessos fotónos que tende a densar a ontrbução da otoeletróna noeadaente, dos dostvos ótos seondutores. Todava, não é ossível desrever u sstea de ounação óta se a ontrbução de dos bloos otoeletrónos ternas: () a eração do snal óto (no transssor); () a deteção do snal óto (no reetor). este aítulo vaos onsderar os dostvos otoeletrónos reonsáves ela essão do snal óto. Contudo, na atual eração dos ssteas de ounação óta, aenas se onsdera fbras ótas onoodas de equeno ontraste delétro (weakly-udn fbers). Por essa razão só serão onsderados, neste aítulo, os lasers seondutores; os dostvos essores não-oerentes, oo os LEDs, não serão aqu abordados. U laser seondutor é, basaente, ua avdade óta seondutora onde se enontra u eo atvo aaz de alfar u snal óto. Enquanto que o eo atvo funona oo alfador laser, a avdade fornee o eanso de realentação através do qual a alfação se onverte e oslação e onde, alé dsso, se roessa a seleção das frequênas de oslação laser. A araterísta fundaental de u laser é a de alfar (no aso de u alfador) ou de etr (no aso de u oslador) luz (vsível ou nvsível) oerente de rande ntensdade. Isto snfa que a luz alfada ou etda é quase onoroáta, te ua olarzação be defnda e se roaa nua dreção be deternada. Co efeto, laser é u aróno de lht alfaton by the stulated esson of radaton. este aítulo não se retende fazer u estudo da nteração entre fotões e eletrões. Aenas se assa e revsta, de fora uto suerfal, os eanso básos de nteração entre fotões e seondutores. O letor nteressado deve, ara o efeto, onsultar a bblorafa aonselhada. 3

5 Lasers eondutores Bblorafa Prnal B. E. A. aleh and M. C. Teh, Fundaentals of Photons (ew York: Wley, nd ed., 7), Chas Bblorafa Coleentar A. Yarv and P. Yeh, Photons: Otal Eletrons n Modern Counatons (ew York: Oxford Unversty Press, 6th ed., 7), Chas W. W. Chow and. W. Koh, eondutor-laser Fundaentals: Physs of the Gan Materals (Berln: rner-verla, 999). J. E. Carroll, ate Equatons n eondutor Eletrons (Cabrde: Cabrde Unversty Press, 985). A. E. ean, Lasers (ausalto, Calforna: Unversty ene Books, 986).. L. Chuan, Physs of Otoeletron Deves (ew York: Wley, 995), Chas., 9-. J. nleton, Band Theory and Eletron Proertes of olds (Oxford: Oxford Unversty Press, ). M. Fox, Otal Proertes of olds (Oxford: Oxford Unversty Press, ) 4

6 Lasers eondutores. Oslação laser U seondutor é u sóldo (rstalno ou aorfo) uja ondutvdade elétra taente entre a de u ondutor e a de u solador ode ser odfada, de fora snfatva, através de u (ou város) dos seuntes roessos: () varando a teeratura; () doando o ateral o urezas; () lunando o ateral o luz. As transções entre estados o níves de enera dstntos roessa-se, nu laser seondutor, de fora dferente dos restantes tos de lasers: e vez de estados dsretos o níves de enera be defndos, aaree bandas de enera. Mas resaente: exste ua banda de ondução de enera E E E v. O ntervalo de enera (band a) será, então, E e ua (ou as) banda(s) de valêna de enera E E E, (.) v que seara as duas bandas e é tío do ateral seondutor e questão. os fotões: Exste, basaente, três roessos de nteração dos eletrões do seondutor o Absorção Geração de u ar eletrão-launa Essão eontânea eobnação radatva não nduzda Essão estulada eobnação radatva nduzda endo ω π f a frequêna de u fotão, a sua enera é (de aordo o a eâna quânta) 34 ω, onde h / π é a onstante de Plank reduzda ( h 6.66 Js é a onstante de Plank). a essão eontânea dá-se a reobnação radatva não rovoada de u ar eletrão-launa seuda da essão de u fotão de enera ω E ; não exste orrelação entre o fotão etdo e os fotões exstentes na avdade (trata-se, os, de ua essão não-oerente). A absorção e a essão estulada são transções nduzdas. a absorção, u fotão ndente de enera ω E rovoa a eração de u ar eletrãolauna. a essão estulada, u fotão ndente de enera ω E rovoa a reobnação de u ar eletrão-launa, seuda da essão de u fotão lone do fotão ndente (trata-se, os, de ua reobnação radatva que roduz ua essão oerente). 5

7 Lasers eondutores Para que u eletrão de enera E (na banda de ondução) se reobne o ua launa de enera E (na banda de valêna) etndo u fotão de enera que ω, é neessáro E ω. (.) E A Eq. (.) é, tabé, alável a u roesso de eração, e que u fotão de enera ω dá ore a u ar eletrão-launa: u eletrão de enera E E e ua launa de enera E E v. Deverá, então, ter-se E E E, (.3) e que E é dado ela Eq. (.). Ass, a frequêna ína orreondente a este to de transção, será f 8 E h. Coo f / λ (e que.9979 /s é a velodade da / luz no váuo), ve anda f f h λ λ. (.4) E A Eq. (.4) é, ass, ua ondção neessára ara a oorrêna de ua transção nterbandas orreonda essa transção a u roesso de eração ou reobnação. Quando f < f ou, o que é equvalente, λ > λ, o seondutor oorta-se oo u eo assvo se transções nterbandas. Atendendo a que ev.69-9 J, te-se anda.398 λ [ µ ]. (.5) E [ ev] A la ternára Al x Ga -x As te ua rede rstalna adatada ao arseneto de álo (GaAs) desde que < x <. 45. O ntervalo (dreto) de enera é 6

8 Lasers eondutores [ ev ] x E 47. (.6) A la quaternára In -x Ga x As y P -y te ua rede rstalna adatada ao fosfato de índo (InP) desde que x. 45 y, (.7) o y. O ntervalo de enera é [ ev].35.7 y. y E +. (.8) Coo os eletrões são ferões, as robabldades dos estados de enera estare ouados or eletrões são dadas ela estatísta de Fer-Dra. Defne-se as seuntes robabldades: f ( E ) robabldade do estado de enera E, na banda de ondução, estar ouado or u eletrão; E robabldade do estado de enera E, na banda de ondução, estar vazo ( ) f (.e., ouado or ua launa); f v ( E ) robabldade do estado de enera E, na banda de valêna, estar ouado or u eletrão; E robabldade do estado de enera E, na banda de valêna, estar vazo ( ) f v (.e., ouado or ua launa). Te-se f ( E ) (.9a) E E f ex + k B T f v ( E ) (.9b) E E fv ex + k B T 7

9 Lasers eondutores onde 3 k B.387 J/K é a onstante de Boltzann e T a teeratura absoluta; E f e E fv reresenta, reetvaente, os níves de Fer na banda de ondução e na banda de valêna. ote-se que ( E E ) f ( E E ) f f v fv. (.) E equlíbro terodnâo, te-se E E. E eral, defne-se f fv E E E. (.) f f fv E banda de ondução E f E eletrões E E v launas E fv banda de valêna F. Bandas de enera e níves de Fer nu seondutor. a F. reresenta-se as bandas de enera de u seondutor o os orreondentes níves de Fer. 8

10 Lasers eondutores Vejaos, aora, quas são as ondções de essão e de absorção de fotões: Condção de essão: U estado de enera E, na banda de ondução, está ouado o u eletrão e u estado de enera E, na banda de valêna, está vazo; Condção de absorção: U estado de enera E, na banda de ondução, está vazo e u estado de enera E, na banda de valêna, está ouado o u eletrão. Defne-se, então, as seuntes robabldades: ( ω) f robabldade da ondção de essão ser observada or u fotão de e enera ( ω) a ω; f robabldade da ondção de absorção ser observada or u fotão de enera ω. Consequenteente, f f e a ( ) f ( E )[ f ( )] ω v E, (.a) ( ) [ f ( E )] f ( E ) ω. (.b) v Para que a essão done a absorção (.e., ara que o seondutor se oorte oo u eo atvo ou alfador), é neessáro que e ( ω) > f ( ω) f. (.3) a Loo, de aordo o as Eqs. (.), deverá ser f ( E ) f ( ) > v E. (.4) Atendendo então às Eqs. (.9), nfere-se que 9

11 Lasers eondutores E k B E T E f < k E B T fv, (.5) elo que, tendo e onsderação as Eqs. (.) e (.3), ve anda E > ω. (.6) f E E equlíbro terodnâo é E e, ortanto, não é ossível a essão donar f a absorção. ó através de u roesso de bobeaento é ossível nverter a oulação de fora a que a essão done a absorção. Defne-se o oefente de nversão da oulação n, tal que n ( ω) ω E ex k B T f. (.7) Quando E ω, sera n ; quando E, ve n. ote-se que não haverá f f alfação as, elo ontráro, atenuação desde que E < ω aso e que não exste f nversão de oulação e n <. Coo se vu anterorente, a stuação E > ω orreonde à ausêna de transções nterbandas. Ass, e síntese, deve ser E > E e, f ara radação araterzada ela enera ω de u fotão ndvdual, o seondutor oorta-se oo: Meo atvo (alfador) quando E f > ω E Meo assvo (atenuador) quando ω > E f Meo assvo se transções nterbandas quando ω < E U valor tío ara n.3µ, é de ~.7., à teeratura abente e ara lasers InGaAsP a oerar e

12 Lasers eondutores O fato de, no ateral seondutor, a essão donar a absorção, não snfa que o dostvo entre e oslação aenas snfa que se trata de u eo atvo,.e., o anho. este aítulo aenas se onsdera os lasers seondutores de njeção,.e., e que o bobeaento ara atnr a nversão de oulação exressa ela Eq. (.6) é feto através de ua orrente de njeção uja fnaldade é fazer o que a reobnação radatva (ou essão) redone sobre a eração de ares eletrão-launa (ou absorção). Adtaos que a avdade laser, estratfada e aadas ao lono de x, te u orento L ao lono da oordenada lontudnal z. eja a refletvdade do eelho e z e a refletvdade do eelho e z L. e as duas nterfaes fore dêntas, te-se n, (.8) n + e que n é o índe de refração odal. e β desnar o núero de onda lontudnal, será β n k, (.9) onde k π / λ ω/ f / é a onstante de roaação no váuo. π Poré, oo o eo te anho, a onstante de roaação é olexa e te a fora ~ α β β + (.) e que α deve ontablzar, sultaneaente, as erdas nternas na avdade através do oefente Ou seja, α s ass oo o oefente de anho (ou anho dferenal) a da zona atva. α + α. (.) a s A avdade laser ode ser onsderada oo ua avdade de Fabry-Perot. Dentro da avdade a altude olexa do ao elétro será

13 Lasers eondutores U U l, (.) l tendo-se U l ξ, (.3) l U o ξ ~ ( β L) ex. (.4) Coo ξ <, será l ξ l. (.5) ξ Ass, das Eqs. (.) e (.3), tra-se que U U. (.6) ξ or Desneos or U a altude olexa do ao elétro ndente e U t a altude olexa do ao elétro transtdo e z e + z L. e fore e os oefentes de transssão, reetvaente dos eelhos e z e z L, ve então U t U, (.7a) U U. (.7b) estas ondções, se se defnr o oefente de transssão da avdade tal que

14 Lasers eondutores U, (.8) t U obté-se ξ, (.9) de aordo o a Eq. (.6). A oslação laser orreonde a ua stuação e que, ara U, se te U. t Isto snfa que a oslação laser orreonde a ter-se,.e., ξ, (.3) de aordo o a Eq. (.9). Loo, atendendo à Eq. (.4), te-se ~ ( β L) ex. (.3) Ass, oo β ~ é dada ela Eq. (.9), nfere-se que a oslação laser la sultaneaente ex( α L), (.3a) ( β L) ex. (.3b) Da Eq. (.3a) tra-se que α α, (.33) o α ln L. (.34) 3

15 Lasers eondutores ote-se que, oo α >, deverá ser α < o que ostra que o eo é atvo,.e., te anho: na Eq. (.) deverá ter-se a > α. Portanto, se se ntroduzr o oefente de s atenuação total α r da avdade tal que α α + α, (.35) r s nfere-se das Eqs. (.) e (.33) que a α. (.36) r endo v a velodade de ruo dentro da avdade, ode-se defnr o anho G (ou taxa eleentar líquda de reobnação estulada), oo G v a. (.37) Analoaente, ntroduz-se o teo de vda dos fotões na avdade, oo r a α v r (.38) e que r a α v é a taxa eleentar de anqulação dos fotões (a taxa de anqulação total r obté-se ultlando a taxa eleentar ela oulação de fotões). Então, das Eqs. (.36)- (.38), ve G (.39) ara que a avdade osle e ree CW (ontnuous wave) orreondente a ua orrente de njeção ontínua. Por outro lado, da Eq. (.3b) tra-se que (o q,, ) 4

16 Lasers eondutores π β n k q. (.4) L Ass, atendendo à Eq. (.9), nfere-se que as frequênas f f q de oslação laser são dadas or f q q f x (.4) o f x. (.4) nl Deterneos, aora, a searação f entre frequênas onseutvas de oslação. Coo n f q, (.43) L ve ( q ) ( n f ) q. (.44) L L Mas oo d n ( n f ) f n + n f f n + f (.45) df e o índe de ruo é 5

17 Lasers eondutores d n n n + f, (.46) df onlu-se que ( n f ) n f. (.47) Loo, das Eqs. (.44) e (.47), obté-se or f f. (.48) n L Coo n n ( f ), a searação f entre as suessvas frequênas de oslação laser não é unfore e va deender das róras frequênas de oslação e questão. Isso eso já se odera dereender da Eq. (.4). As Eqs. (.39), (.4) e (.48) onsttue as equações fundaentas das oslações laser. É, os, a estrutura da avdade que, ao ntroduzr a realentação na luz que atravessa o eo atvo, seleona as frequênas de oslação laser. 6

18 Lasers eondutores. Equações das taxas u laser seondutor, seja no aso de u alfador seja no aso de u oslador, exste sere três roessos básos de transção entre níves (ou bandas) de enera: () absorção; () essão estulada; () essão eontânea. Enquanto que a essão eontânea não deende da oulação de fotões, o eso não aontee o as transções nduzdas (.e., absorção e essão estulada). Co efeto, as taxas orreondentes a transções nduzdas são rooronas ao núero de fotões. Para desrever, nu laser seondutor, os roessos de transção entre a banda de ondução e a banda de valêna, é usual defnr as taxas de transção. E tudo o que se seue, todas as taxas de transção são exressas na undade de teo,.e., as suas undades são Defne-se, ass, as seuntes taxas de transção: s. r ab taxa eleentar de absorção r st taxa eleentar de essão estulada taxa de essão eontânea As taxas eleentares, que estão assoadas a transções nduzdas, são desnadas or letras núsulas. A taxa de essão eontânea, orreondente a ua transção não nduzda, é desnada or ua letra aúsula orque não deende dos fotões ndentes. a avdade laser, de orento L, enontra-se a zona atva onde se roessa as nterações entre fotões e eletrões. Esta zona te ua larura w e ua eessura d. O volue da zona atva é, ass, V a wd L. a F. reresenta-se esqueataente a estrutura de u laser seondutor. Adte-se que a oslação laser orreonde a u úno odo óto lontudnal,.e., suõe-se que o laser seondutor funona no ree onoodal. 7

19 Lasers eondutores w L x Zona atva d y z F. Geoetra do laser seondutor e orreondente zona atva. endo orreondentes será então a a densdade éda de eletrões na zona atva, o núero total de eletrões a V a. (.) Poré, se a desnar a densdade éda de fotões na avdade laser, o núero total de fotões é sueror ao roduto a Va. Co efeto, o odo óto não se onfna aenas à zona atva: ode dzer-se, de fora aroxada, que os fotões se loalza (dentro da avdade) nua eessura efetva d d (.) Γ 8

20 Lasers eondutores que é sueror a d ua vez que Γ <. Ao arâetro Γ dá-se o noe de fator de onfnaento óto. Pelo que o núero total de fotões, na avdade laser, é dado or V a a. (.3) Γ a Eq. (.) ntroduzu-se o oefente de anho a da zona atva. Devdo ao fato do odo óto não se onfnar à zona atva, o verdadero oefente de anho (ou anho dferenal) do dostvo é tal que a Γ. (.4) Ass, a Eq. (.37) ode ser reesrta na fora G Γ v. (.5) É aora ossível ntroduzr as haadas taxas efetvas das transções nduzdas e que são rooronas a. Defne-se então: ab rab taxa efetva de absorção st rst taxa efetva de essão estulada O eo laser é u eo atvo orque roduz anho. Este anho te a ver o o fato de, através da essão estulada, a radação ndente ser onsderavelente nferor à radação roduzda elo dostvo seondutor. Isto só é ossível orque exste ua taxa eleentar líquda de essão estulada dada or 9

21 Lasers eondutores G r st r ab (.6) e que é desnada frequenteente or anho do laser seondutor não obstante não ser ua randeza adensonal (ua vez que é ua taxa). O laser funonará orretaente desde que exsta ua orrente de njeção I sufente ara que G >. A taxa efetva líquda de essão estulada orreonde, então, a G. (.7) st st ab A taxa de reobnação radatva é, deste odo, dada or +. (.8) r st A taxa de reobnação total é, or sua vez, a soa dos seuntes teros: (.9) t nr A r nr A st A taxa nr é a taxa de reobnação não radatva, enquanto que A é a haada taxa de reobnação de Auer (tabé não radatva). Mostra-se que nr A, B, 3 A C (.) e que A, B e C são onstantes. É usual defnr u teo de vda da reobnação não nduzda (tabé denonado teo de vda dos ortadores de ara), oo sendo

22 Lasers eondutores (.) e que se ntroduzu, anda, a taxa de reobnação não nduzda tal que + +. (.) nr A Ass, te-se ( ). (.3) A + B + C Donde se nfere que +. (.4) t st Defne-se a efêna quânta nterna do laser seondutor oo sendo + r st η. (.5) t + st ó quando se dereza todos os roessos de reobnação não radatva (.e., ), é que a efêna quânta nterna é total. Te-se, então, η e nr A /. Tal oo se defnu, através da Eq. (.), o teo de vda dos ortadores de ara, tabé se defne de fora análoa os seuntes teos de vda:

23 Lasers eondutores nr teo de vda da reobnação não radatva nr teo de vda da essão eontânea A teo de vda da reobnação de Auer A Falente se verfa que nr + + A. (.6) A essão oerente, nu oslador laser, é devda ao bobeaento que rovoa a nversão da oulação. u laser seondutor, o bobeaento é feto através da orrente de njeção I. endo q a ara do eletrão, a taxa de bobeaento (e nlês: un rate) é dada or I. (.7) q A orrente de njeção va auentar a oulação de eletrões na banda de ondução e, sultaneaente, auentar tabé a oulação de launas na banda de valêna. Coo o laser seondutor é ltado elas aredes refletoras da avdade onde está nserdo, os fotões vão desaareendo através da transssvdade dos dos eelhos que lta (e z e z L ) a avdade laser alé de sere absorvdos elas erdas delétras do ateral seondutor. endo o teo de vda dos fotões na avdade de Fabry-Perot, a taxa de anqulação dos fotões será ( r α v ) a r

24 Lasers eondutores a ra. (.8) Ass, e síntese, o núero de fotões auenta através de st e e dnu através de através de a. Por outro lado, o núero de eletrões auenta através de e dnu t. ote-se, oré, que sendo o laser u essor de luz oerente, ne toda a radação orreondente a ontrbu ara o odo onsderado e assoado ao tero st. De fato, só ua equeníssa fração β (taente β ~ 4 5 ) da essão eontânea total é que ontrbu ara o odo onsderado. Essa fração, frequenteente derezada, é aqu desnada or β. (.9) Ao oefente β dá-se o noe de fator de essão eontânea. O tero enontra-se relaonado o o anho G. Efetvaente, te-se n G (.) e que n é o oefente de nversão da oulação já ntroduzdo anterorente através da Eq. (.7). estas runstânas, as equações das taxas esreve-se d dt + (.a) st a d t. (.b) dt 3

25 Lasers eondutores ou, de fora as exlíta, d dt G + (.a) d dt I G. (.b) q Ebora, de aordo o a Eq. (.3), seja ua função de, é usual onsderar este valor oo ua onstante. Para resolver as Eqs. (.) há que deternar de que fora o anho G deende de e. 4

26 Lasers eondutores 3. ee estaonáro esta seção va-se analsar o ree estaonáro, e que d dt d dt. (3.) Todas as randezas o subínde zero refere-se, doravante, ao ree estaonáro. Ass, e ree estaonáro, obtê-se das Eqs. (.) () G + β (3.a) G I + (3.b) q e que se onsderou, oo é habtual, que β e são onstantes e onde () reresenta a taxa de reobnação eontânea e ree estaonáro. O anho ou taxa eleentar líquda de essão estulada fo defndo através da Eq. (.6). Este anho relaona-se o: () o oefente de anho da zona atva através da Eq. (.37); () o oefente de anho do dostvo através da Eq. (.5). E eral a função G G(, ) é ua relação não-lnear. o entanto, or otvos edaóos, vaos oeçar or analsar o aso as sles do odelo lnear e que se adte que G aenas vara o,.e., não deende do núero de fotões. 3. Modelo lnear o odelo lnear suõe-se que o anho é dado or G ( ) G + G ( ) G ( ) (3.3) a b b t 5

27 Lasers eondutores e que, de aordo o a nossa onvenção, reresenta a oulação de eletrões e ree estaonáro. Consderando β, resulta da Eq. (3.a) que G. (3.4) Loo, quando o laser está a etr ( > ), nfere-se da Eq. (3.4) que G. (3.5) Esta é, ortanto, ua fora dferente de se hear à Eq. (.39) a ondção de oslação. o âbto deste odelo, a oulação de eletrões é onstante (.e., não deende da orrente de njeção). De fato, sendo G onhedo, resulta da Eq. (3.3) que th, o th t + G b. (3.6) A Eq. (3.6) só é válda, oré, quando o laser está a etr (.e., quando > ). o aso ontráro, e que, tra-se da Eq. (3.b) que I. (3.7) q 6

28 Lasers eondutores o lar de oslação (e nlês: threshold) a oulação de eletrões atne o valor th dado ela Eq. (3.6). Deste odo, a orrente de lar será I th q th (3.8) de aordo o a Eq. (3.7). Aora, usando a Eq. (3.b), tra-se que ( I I ) th. (3.9) q elo que a essão de fotões auenta lnearente o a orrente de njeção. as Fs. 3 e 4 reresenta-se, reetvaente, as oulações de eletrões e de fotões e função da orrente de njeção. th I th I F. 3 Varação do núero de eletrões o a orrente de njeção no odelo lnear. 7

29 Lasers eondutores I th /q I I th I th F. 4 Varação do núero de fotões o a orrente de njeção no odelo lnear. Estas onlusões tê de ser revstas quando não se dereza o fator β de essão eontânea. Ass, da Eq. (3.3), ve G Ga e G. (3.) G t + b Por outro lado, da Eq. (3.a), tra-se que β G (). (3.) Então, defnndo a β (3.a) () δ (3.b) G 8

30 Lasers eondutores nfere-se que a. (3.3) δ Poré, oo > e a >, onlu-se da Eq. (3.3) que deverá ser, tabé, δ >. otese que, ua fora alternatva de esrever a Eq. (3.b), é a seunte: G δ. (3.4) Da oaração entre as Eqs. (3.5) e (3.4) resulta que o anho G dnu leraente quando se entra e onsderação o o efeto de β. Ass, deos de ntrodzr a Eq. (3.4) na Eq. (3.), obté-se δ th (3.5) G b onde se anteve a defnção de (3.5) na Eq. (3.b), tra-se que th através da Eq. (3.6). Aora, substtundo as Eqs. (3.4) e δ q δ ( I I ) + th G b. (3.6) Esta últa equação é a orreção da Eq. (3.9) quanto se ontablza o efeto do fator de essão eontânea. De fato, quando β é δ e a Eq. (3.6) reduz-se à Eq. (3.9). 9

31 Lasers eondutores ote-se que, na esrta da Eq. (3.6), se ontnuou a onsderar a defnção de orrente de lar da Eq. (3.8) o que deve ser vsto rtaente: quando se faz não se obté. Efetvaente, é ossível reesrever a Eq. (3.6) oo I I na Eq. (3.6) th δ q ( I I ) x (3.7) e que se ntroduzu a orrente I x q δ I th. (3.8) G b Mas, oo δ deende da orrente I, a orrente I x não é a nova orrente de lar. Aora, ualando a Eq. (3.6) à Eq. (3.3), ve ( δ > ) δ + b δ δ b + b + (3.9) e que G + q ( I I ) b b th (3.a) G a. (3.b) b aturalente que, quando β é a, elo que da Eq. (3.9) ve δ. 3

32 Lasers eondutores 3. Modelo não-lnear O odelo não-lnear que aqu se va adotar é o seunte: G (, ) G a + G b ( ) + ε. (3.) Ao arâetro ε > (adensonal) dá-se o noe de oefente de oressão do anho. Os oefentes G a e G b são onstantes araterístas do dostvo. ote-se que, neste odelo não-lnear, os fatores β e ε ode ser da esa orde de randeza elo que não é razoável derezar, oo no odelo lnear, o fator de essão eontânea. o ree estaonáro a orrente de njeção é ontínua e vale I. O orreondente anho é, de aordo o a Eq. (3.), G Ga G(, ). (3.) + ε ubsttundo a Eq. (3.) na Eq. (3.a) e ntroduzndo os arâetros µ G (3.3a) a ξ ε β (3.3b) () obté-se ξ ε + ( µ ξ) (3.4) ε donde se tra 3

33 Lasers eondutores ( ξ µ ) + ( ξ µ ) + ξ 4. (3.5) ε Analoaente, substtundo a Eq. (3.) na Eq. (3.b), ve q I q Ga + ε. (3.6) 3.3 Potêna etda Ua vez deternada a oulação de fotões no nteror da avdade laser, é ossível deternar a radação etda elo oslador laser. A enera nterna do laser,.e., a enera orreondente à oulação de fotões no nteror da avdade, é dada or E ( ω). (3.7) endo te-se v a velodade de ruo dos fotões na avdade e α α + α a atenuação total, r s v α r v ( α + α ) s. (3.8) A taxa eleentar de anqulação de fotões (na avdade laser de Fabry-Perot) é 3

34 Lasers eondutores r a (3.9) a que orreonde, tal oo se vu anterorente, ua taxa efetva de anqulação a r a. (3.3) Poré, aenas α está assoado à transssão de fotões ara o exteror (a radação etda elas duas faes ou eelhos). Ass, devdo à nlusão de α s, a taxa eleentar de saída de fotões não é r r as s s a r s v α α (3.3) ( α + α s ) a que orreonde ua taxa efetva de saída de fotões s r. (3.3) s eja P t a otêna total etda elo laser. Vrá então P t r s E α ω. (3.33) α + α ( ω) s s Poré, aenas ua fração desta otêna total reresenta ua otêna útl. eja η o arâetro que dá onta da fração de otêna que sa através da fae essora do dostvo. a hótese (ouo realsta) de as duas faes da avdade tere a esa 33

35 Lasers eondutores transssvdade, sera η /. E eral essas duas transssvdades são dferentes: roura-se axzar a transssvdade da fae essora e, sultaneaente, nzar a transssvdade da fae daetralente oosta. Ass, na ráta, deve ter-se > η > /. Desnando or P e a otêna etda útl (aquela que sa através da fae onsderada essora), será então P e η P t ηα α + α s ω (3.34) de aordo o a Eq. (3.33). A taxa de essão total do laser defne-se, deste odo, através da relação e Pt α ω α + α s. (3.35) A efêna quânta externa do laser é, então, defnda oo η e e q P ω I α q t α + α s I. (3.36) onde I / q é a taxa de njeção de eletrões. endo V a tensão alada ao dostvo, a otêna de alentação e ree estaonáro é dada or P a V I. (3.37) Defne-se, anda, a efêna quânta total (e nlês: wall-lu effeny) oo sendo 34

36 Lasers eondutores η t P P t a ω η qv e α α + α s ω P a. (3.38) de aordo o a Eq. (3.36). Por vezes, na lteratura, tabé se ostua defnr ua reonsvdade dferenal do laser seondutor oo d Pe. (3.39) I Atendendo à Eq. (3.34), ve d P I ηα ω e α + α s I. (3.4) Defne-se, anda, a efêna quânta dferenal η d q d ω η. (3.4) 3.4 Efêna quânta nterna as exressões desta seção não fura exltaente a efêna quânta nterna ntroduzda na Eq. (.5). (.5) que otando que, e ree estaonáro, st G e /, nfere-se da Eq. 35

37 Lasers eondutores + G η () [ + G ]. (3.4) Ass, atendendo a que () /, resulta das Eqs. (3.b) e (3.43) que η q I. (3.43) qg η A Eq. (3.43) é eral,.e., não deende do odelo esolhdo ara o anho. Desta equação trase que, no lar de oslação e que, I I th o I th q th. (3.44) η A Eq. (3.44) é, deste odo, tabé ua equação eral. Ass, te-se η ( I I ) th (3.45) qg no aso eral, quando se ontablza a efêna quânta nterna no álulo do núero de fotões. Quando se ode onsderar, o razoável aroxação, que <<, tra-se da Eq. st (.5) que () η (). (3.46) 36

38 Lasers eondutores ote-se, oré, que a Eq. (3.46) é exata no lar de oslação e que st G. Ass, é ossível nferr da Eq. (3.46) a Eq. (3.8) ara o aso eral. ote-se aora que, da Eq. (3.45), se nfere que ( I I ) η th (3.47) q de aordo, anda, o a Eq. (3.5) válda no odelo lnear e quando se dereza o fator de essão eontânea. Esta equação deve, ortanto, onsderar-se oo ua orreção da Eq. (3.9) quando se ontablza a efêna quânta nterna. Ass, no aso do odelo lnear o β, obté-se suessvaente α η d η (3.48a) α + α s d α η η α + α s ω q (3.48b) I η th e d (3.48) I η e d ( I I ) P. (3.48d) th 37

39 Lasers eondutores 4. Modulação da orrente de njeção o funonaento e ree estaonáro, o bobeaento do laser seondutor é feto através de ua orrente de njeção I ontínua. Poré, do onto de vsta dos ssteas de ounação óta, o ree estaonáro não te rande nteresse: o que nteressa é analsar o que se assa quando a orrente de njeção I ( t) é odulada dretaente. Pretende-se, as resaente, averuar de que fora a otêna etda P e () t vara o o snal alado à orrente de njeção. Quando se odula a orrente de njeção, o snal I ( t) esreve-se na fora ( t) I ( t) I +. (4.) Defne-se a rofunddade de odulação oo [ ( t) ] I ax. (4.) I th Analoaente, ( t) s( t) + (4.3a) ( t) n( t) +. (4.3b) esta seção aenas se onsdera o aso dos snas fraos,.e., adte-se sere que ( t) I <<. (4.4) 38

40 Lasers eondutores O odelo não-lnear do anho ode, ass, ser desenvolvdo e sére e torno do onto (, ) orreondente ao ree estaonáro. Esreve-se então, retendo unaente os teros lneares do desenvolvento, G (, ) G + G ( ) + G ( ) (4.5) e que ( ) G, G, G G,, G G. (4.6), Ass, de aordo o a notação das Eqs. (4.3), ve G () t G + G n( t) G s( t). (4.7) + Atendendo então à Eq. (3.), obté-se G Gb, + ε G εga (4.8) ( + ε ) onde G é dado ela Eq. (3.). E ree de snas fraos e quando se dereza os teros de seunda orde tas oo n() t s() t G, resulta das Eqs. (.) que ds dt G ( + n ) G s() t + ( + n ) G n() t + (4.9a) 39

41 Lasers eondutores dn dt () t q (4.9b) ( G + G ) s( t) G + n() t onde se onsderara anda as Eqs. (3.). Coo >> n e, de aordo o a Eq. (3.), G /, as Eqs. (4.9) ode ser esrtas na fora as sles ds dt () t + G n() t Γ s (4.a) dn dt () t q G + s() t Γ n() t (4.b) onde se ntroduzra, anda, os oefentes Γ G G b + + (4.a) + ε εg a Γ G. (4.b) ( + ε ) Quando se adota o odelo lnear, basta fazer G Γ e G Gb nas Eqs. (4.). As Eqs. (4.) erte analsar a odulação da orrente de njeção e ree de snas fraos. Estas equações ode ser resolvdas nueraente. esta seção, oré, nteressa-nos onheer a reosta no doíno da frequêna. Ass, ntroduzndo as transforadas de Fourer aroradas, reos onverter este sstea de equações dferenas nu sstea alébro de fál resolução analíta. Defnaos, então, o ar de Fourer 4

42 Lasers eondutores ~ ( ω) ( t) ex( ωt) dt (4.a) ~ dω. (4.b) π () t ( ω) ex( ωt) Defnções análoas odera ser fetas ara s~ ( ω) e ( ω) as Eqs. (4.) onverte-se no sstea alébro n ~. Então, no doíno da frequêna, ω~ s ( ω) Γ ~ s ( ω) + G n~ ( ω) (4.3a) ωn~ ( ω) ~ q ( ω) G + ~ s ( ω) Γ n~ ( ω). (4.3b) Da Eq. (4.3a) tra-se que n~ Γ + ω ( ω) s ( ω) ~ G. (4.4) Aós substtur a Eq. (4.4) na Eq. (4.3b), ve s ( ω) G D ( ω) / q ~ ~ ( ω) (4.5) e que D ( ω) G G + Γ Γ ω( Γ Γ ) ω. (4.6) 4

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