Comprimento do Arco. Carina Cortielha Maria Tereza Dias

Transcrição

1 UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS INSTITUTO DE IÊNIS EXTS FUNDMENTOS DE GEOMETRI PLN E DESENHO GEOMÉTRIO omprimento do rco arina ortielha Maria Tereza Dias

2 Teorema 1: O comprimento do arco de circunferência que subentende um ângulo central de graus é dado por, em que R é o raio da circunferência. Para se demonstrar o Teorema 1, é necessário saber algumas definições e, também, deve ser mostrado anteriormente que o comprimento de uma circunferência é dado por l = 2πR (pelo Teorema 2) e, também, que se existe um ponto que divide o arco nos arcos e, o comprimento do arco é igual a soma dos comprimentos dos arcos e (Teorema 3). Definição 1: hama-se comprimento da circunferência o menor dos números maiores que o perímetro de qualquer polígono inscrito nela. Se tomarmos uma circunferência qualquer, podemos inscrever nela um polígono P qualquer. Supondo que este polígono tenha dois vértices consecutivos, e, podemos tomar um ponto entre e, tal que, seja possível inscrever um novo polígono P de forma que ele tenha todos os vértices de P mais o ponto. omo sabemos que < + (pela desigualdade triangular), o perímetro do polígono P será maior do que o perímetro do polígono P, ou seja, quanto mais vértices novos forem acrescentados ao polígono, maior será o seu perímetro e mais próximo do valor do comprimento da circunferência ele estará (o mesmo pode ser feito para o arco quando se inscreve uma poligonal a ele). E, se tomarmos um polígono circunscrito, os perímetros de todos os polígonos inscritos serão menores que o perímetro do polígono circunscrito. Polígono P Polígono P Definição 2: Qualquer que seja o número positivo a, se pode inscrever na circunferência um polígono convexo cujo perímetro difere do comprimento da circunferência em menos que a. 1

3 Teorema 2: razão dos comprimentos de duas circunferências é igual a razão de seus raios ou seus diâmetros. Demonstração: Sejam R 1 e R 2 os raios da circunferência e sejam l 1 e l 2 seus comprimentos. Este teorema afirma que. Suponhamos que a afirmação não é válida. Então, ou. Suponhamos. Indiquemos por k a razão. Então e, conseqüentemente,. Inscrevamos na primeira circunferência um polígono Q 1 de maneira que seu perímetro p 1 difira do comprimento da circunferência em menos que, ou seja,. Então. Inscrevamos na segunda circunferência um polígono Q 2 semelhante a Q 1 e seja p 2 seu perímetro. omo Q 1 e Q 2 são polígonos semelhantes, a razão de seus perímetros é igual a razão dos raios das circunferências, ou seja, como R 1 = k R 2, então. R 1 R 2 ircunferência de raio R 1 e polígono Q 1 inscrito de perímetro p 1. ircunferência de raio R 2 e polígono Q 2 inscrito de perímetro p 2. omo sabemos que e que, resulta que. Mas isto contradiz a definição que diz que se existe um polígono inscrito em uma circunferência, o seu comprimento sempre será menor do que o comprimento da circunferência. De forma análoga, chegamos no mesmo absurdo para. Portanto, a razão dos comprimentos das circunferências é igual a razão de seus raios ou diâmetros. 2

4 Do Teorema 2 deduz-se que c π ou seja, que a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro não depende de qual circunferência se tenha tomado. Esta razão é designada pela letra grega π = 3, Então, como l = dπ e como d = 2R, o comprimento da circunferência se determina pela seguinte fórmula: Teorema 3: Seja um ponto que divide o arco nos arcos e, o comprimento do arco é igual a soma dos comprimentos dos arcos e. Demonstração: Tomemos um número positivo pequeno a. Inscrevamos nos arcos, e, as poligonais γ, γ 1 e γ 2, como na figura a seguir, de modo que seus comprimentos difiram dos comprimentos dos arcos em menos que a. γ 1 γ γ 2 riaremos agora uma nova poligonal, β, a partir das poligonais dadas anteriormente, completando os vértices da poligonal γ com os vértices das poligonais γ 1 e γ 2. Dividiremos essa nova poligonal no mesmo ponto formando outras três poligonais, γ, γ 1 e γ 2. β γ' γ 1 γ 2 3

5 Indiquemos por l, l 1 e l 2, os comprimentos dos arcos, e e por s, s 1 e s 2, os comprimentos das suas respectivas poligonais. Sabemos que s = s 1 + s 2, pois as poligonais γ 1 e γ 2 são as partes em que o ponto divide a poligonal γ, ou seja, é a soma dos comprimentos dos segmentos que formam a poligonal. Portanto, temos que: l s < a (1) l 1 s 1 < a (2) l 2 s 2 < a (3) s = s 1 + s 2 (4) Somando (2) com (3), temos que: l 1 + l 2 (s 1 + s 2 )< 2 a (5) Substituindo (4) em (5), temos que: l 1 + l 2 s < 2 a, omo sabemos que (l 1 + l 2 s) será sempre maior do que zero, então: 0 < l 1 + l 2 s < 2a, e também sabemos que (l s) sempre será maior do que zero (pois já mostramos que o comprimento do arco sempre será maior do que qualquer poligonal inscrita nele), ou seja: 0 < l s < a, portanto: 0 < l 1 + l 2 s < 2a 0 < l s < a. omo posso tomar um valor para a, tão pequeno quanto eu queira, 2a ficará tão próximo de zero quanto a, ou seja, l 1 + l 2 tenderá a s, assim como l também tenderá a s. Portanto l = l 1 + l 2, ou seja, o arco = arco + arco. Demonstração do Teorema 1 O comprimento do arco se determina segundo a fórmula: sendo o ângulo central que enxerga o arco de comprimento l. Seja N um número inteiro grande e =180 /N, ou seja, considerando uma semicircunferência iremos dividi-la em N ângulos iguais de forma que cada ângulo meça. 4

6 Seja n a parte inteira da divisão de por. Se, por exemplo, / = 30,14, o valor de n será 30, ou seja, n será sempre menor ou igual a / (*), portanto podemos dizer que: E será necessariamente menor do que (n+1), então: Substituindo por 180 /N, temos: gora, iremos multiplicar todos os termos desta desigualdade por, logo: (1) Pelo Teorema 2, sabemos que o comprimento da circunferência é igual a e pelo Teorema 3, sabemos que o comprimento da circunferência é igual a soma dos comprimentos de suas partes. Portanto o comprimento da semi-circunferênca é igual a e daí temos então que o comprimento de cada arco compreendido pelo ângulo central é, pois a semi-circunferência foi divida em N partes iguais. O arco é maior ou igual à soma de n arcos iguais a analogamente a (*), mas é necessariamente menor que a soma de (n+1) arcos idênticos, ou seja, (2) 5

7 omo podemos ver em (1) e em (2), tanto quanto estão compreendidos entre e. Podemos deduzir então, que o comprimento do arco difere do número em, pois omo posso tomar um valor para N tão grande quanto eu queira, então zero, portanto o comprimento do arco é igual a, ou seja, tende a 6

8 ibliografia POGORÉLOV,. V. Geometría Elemental. Mir Moscú, p ,