PAVIMENTAÇÕES. vértice do polígono que não é vértice da pavimentação

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1 PAVIMENTAÇÕES Uma pavimentação no plano é a cobertura do plano de modo a que não haja sobreposições nem espaços vazios. Uma pavimentação diz-se monoédrica ou pura se for constituída pela repetição de um único ladrilho. Chama-se vértice da pavimentação qualquer ponto que resulte da intersecção de três ou mais ladrilhos. Os vértices de uma pavimentação com polígonos não têm de coincidir com os vértices dos polígonos: vértice da pavimentação vértice do polígono que não é vértice da pavimentação Chama-se aresta da pavimentação qualquer arco, linha poligonal ou segmento que resulte da intersecção de dois ladrilhos. Os lados dos polígonos podem não coincidir com as arestas da pavimentação: aresta da pavimentação lado do polígono não é aresta da pavimentação 1

2 Tarefa 1 Criar diferentes pavimentações monoédricas. Procurar no meio ambiente exemplos de pavimentações monoédricas. Explorar pavimentações monoédricas com:. triângulos.quadriláteros. pentágonos. hexágonos. polígonos não convexos. não polígonos. poliminós etc. PAVIMENTAÇÕES REGULARES Pavimentações regulares são pavimentações monoédricas em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes. Nota: Não são pavimentações regulares aquelas em que num vértice concorre pelo menos um dos lados do polígono, por exemplo: ou não são pavimentações regulares Nas pavimentações regulares, os vértices da pavimentação coincidem com os vértices dos ladrilhos. Do mesmo modo, as arestas da pavimentação coincidem com os lados dos polígonos. Tarefa 2 Descobrir as pavimentações regulares possíveis. Concluir sobre as razões que fazem com que um polígono regular dê ou não origem a uma pavimentação regular. 2

3 PAVIMENTAÇÕES SEMI-REGULARES OU ARQUIMEDIANAS PAVIMENTAÇÕES DEMI-REGULARES Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas são pavimentações que combinam dois ou mais tipos de polígonos regulares, que em cada vértice aparecem pela mesma ordem. Nas pavimentações semi-regulares, os vértices são todos do mesmo tipo. A classificação de um vértice da pavimentação obtém-se assinalando o nº de lados dos polígonos concorrentes nesse vértice, começando no polígono com menor nº de lados e rodando no sentido dos ponteiros do relógio Pavimentações demi-regulares são pavimentações que combinam dois ou mais polígonos regulares, mas em que os vértices não são todos do mesmo tipo. 3

4 Uma pavimentação irregular é uma pavimentação que não é regular, nem semiregular, nem demi-regular. Tarefa 3 Descobrir quais as 8 pavimentações semi-regulares possíveis. Concluir sobre as razões que conduzem a que uma combinação de polígonos regulares dê ou não origem a uma pavimentação semi-regular. Encontrar alguma pavimentações demi-regulares possíveis (são em número infinito) PAVIMENTAÇÕES PERIÓDICAS. PAVIMENTAÇÕES NÃO PERIÓDICAS Pavimentações periódicas são pavimentações que permanecem invariantes por translação. Assim, se deslocarmos, numa determinada direcção e sentido, uma pavimentação periódica sobre a sua original, será possível sobrepô-la de modo que os ladrilhos fiquem coincidentes com os da posição original. Uma pavimentação é aperiódica ou não periódica se, feita uma translação segundo qualquer direcção ou sentido, nunca for possível a coincidência com a pavimentação original. 4

5 Pavimentação construída com os 6 protoladrilhos de Robinson REALIZAÇÃO DE PAVIMENTAÇÕES. RECURSO A ISOMETRIAS E OUTRAS TÉCNICAS Pode obter-se uma pavimentação realizando uma isometria (rotação, translação ou reflexão) de um ladrilho ou conjunto de ladrilhos. a) Pavimentação por rotação 5

6 b) Pavimentação por translação c) Pavimentação por reflexão Tarefa 4 Investigar isometrias nas pavimentações de Escher ou outras. Criar pavimentações usando:. translação. rotação. reflexão 6

7 d) Técnica da dentada É ainda possível criar ladrilhos que pavimentem o plano, usando a técnica da dentada. Esta técnica consiste em retirar um pedaço do ladrilho de um dos lados e aplicá-lo a outro lado (por rotação ou translação), de modo a obter um novo ladrilho. Tarefa 5 Criar pavimentações usando a técnica da dentada sobre polígonos, usando:. translação. rotação. translação e rotação 7

8 Referências: Farmer, D. W. (1999). Grupos e Simetria. Lisboa: Gradiva. Veloso, E. (1998). Geometria Temas Actuais. Lisboa: IIE