MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas

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1 1 CAPITULO CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS Para LIPSCHUTZ (1972), conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Em ALENCAR FILHO (1980), segundo N.BOURBAKI, um conjunto formado de elementos suscetíveis 1 de possuírem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos, certas relações. Conforme G. CANTOR: chama se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados de conjunto. 1.1 NOTAÇÃO DOS CONJUNTOS Para ALENCAR FILHO (1980), um conjunto é escrito por letra maiúscula: A,B,C...,Z e os elementos por letras minúsculas a,b, c...,z. Por exemplo escreve se um conjunto A={a,b,c...}. Segundo LIPSCHUTZ (1972), um conjunto escrito com números A={1,3,4} é uma forma tabular, ou representa se um conjunto B={x /x é par}, isto é uma forma de construção de um conjunto. Conforme GERSTING ( 2004, p.130 e 233), diversas maneiras para tentar descrever um conjunto : listar seus elementos. Ex: A={ violeta, verde, castanho} usar recorrência para descrever como gerar seus elementos. Ex1: i) S(1)=2 ii) S(n)=2S(n 1) para n>=2 Ex2: seqüencia de Fibonacci ( século XIII) F(1)=1 ; F(2)=1; F(n)=F(n 2)+F(n 1) para n>2 descrever uma propriedade P que carateriza seus elementos. Ex: IEZZI (1981, p.22 A) {x/x é divisor inteiro de 3} 1 Suscetíveis- que envolve possibilidade

2 2 Portanto, a melhor opção é descrever uma propriedade P que carateriza seus elementos. 1.2 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Segundo ALENCAR FILHO (1980),para designar se um elemento é membro de um conjunto ou não é escrito na forma de x A ou x A, notação do matemático GIUSEPPE PEANO( ). 1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS LIPSCHUTZ (1972), no conjunto finito o processo de contagem chega ao final e de outro modo o conjunto é infinito. Sejam os conjuntos dados : M={conjunto dos dias da semana}, N={2,4,6,8...} 1.4 IGUALDADE DE CONJUNTOS Em LIPSCHUTZ (1972), são iguais os conjuntos por que tem os mesmos elementos. A = B ( x A x B 1.5 CONJUNTO NULO E CONJUNTO UNITÁRIO Segundo IEZZI (1981), conjunto unitário é aquele que tem um único elemento exemplo A={s}, B={ Ø}. E o conjunto vazio é aquele que não possui elemento e o símbolo usado é Ø ou { }. Teorema 1: DE MAIO (2007, p17), o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Demonstração: por indução ao absurdo : negar a tese que A ; usando a definição de não está contido, escreve se : A existe x / x A ( falso) então A é falso A verdadeiro Indica se: A A exemplos : 1) {1,2,3} ( está contido) 2) ( está contido) 3) { } o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos 4) { } o conjunto vazio é elemento do conjunto { }

3 3 1.6 CONJUNTO UNIVERSO Em ALENCAR FILHO (1980), o conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que são sempre considerados como elementos nessa teoria. Segundo IEZZI (1981), admite se a existência de um conjunto U no qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Exemplos: Para ALENCAR FILHO (1980), o universo é o conjunto de todos os números inteiros nãonegativos. Em CASTRUCCI (1983), dado {x / x 1< x < 4} e o conjunto universo R é infinito se for o conjunto dos naturais N é finito. 1.7 CONJUNTOS NUMÉRICOS I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim como exemplo podemos citar o 1/2, 1, 2,5,... Números decimais exatos são racionais Pois 0,1 = 1/10

4 4 2,3 = 23/10... Números decimais periódicos são racionais. 0, = 1/9 0, = 32/99 2, = 21/9 0, = 19/90 Toda dízima periódica 0, é uma outra representação do número 1. IV) Números Irracionais São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas. a) b) 3=1, =3, V) Números Reais É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. fonte :

5 5 1.8 EXERCICIOS 1) GERSTING ( 2004, p. 131), descreva cada um dos conjuntos a seguir listando seus elementos: a){x /x é um inteiro e 3 x 7 } b){x / x é um mês com exatamente 30 dias } c) ( x/x é a capital do Brasil} 2) Descreva cada um dos conjuntos a seguir através de uma propriedade que caracterize seus elementos: a) { 1,4,9,16,...} b) { 2,3 5,7,11,13,17...} 3) Descreva cada um dos conjuntos a seguir: a) A={x/ x N e y ( y {2,3,4,5} x y ) b) B={x/ y z y {1,2}ez {2,3}e x=y z } 4) GERSTING (2004, p.142), seja S ={2,3,17,27), quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a) 5 S b) 2 5 S c) S d) S S e) S=S 5) T1 Seja B={x/ x Q, 1 x 2}, quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a) 0 B b) 1 B c) 0,84 B d) 2 B 6)T1 Quantos conjuntos diferentes estão descritos a seguir? Quais são eles? {2,3,4} ; { } ; { x/x é a primeira letra de cachorro, bola ou arara}; { x/x é a primeira letra de cachorro, bola ou arara}; {x / x N e2 x 4} ; {a, b, e}; {2,a,3,b,4,c};{3,4,2} 7) T1 DE MAIO (2007, p.22), coloque o símbolo mais conveniente, =: a) { a, b,c} {a,b,1,2} b) a {a,b,c} c) {1,2,3,4} {1,2,3,4,5,6} d) a {{a},{b},{c}} e) {a} {{a},{b}, {c}} f) { } g) {a} {a, {a},{b},b, {c}} h) i) {{ } {1}, {a},{b}} j) {a,b,b,c,c,c} {a,b,c} l) {8} {8,{8},{7},4,5}

6 6 1.9 RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS GERSTING (2004, p.132), seja A={2,3,5,12} e B={ 2,3,4,5,9,12}, todo elemento de A é, também, um elemento de B, ou seja A é um subconjunto de B. A é um subconjunto de B se x, x A x B. Se A é um subconjunto de B, escreve se A B. Se A B mas A B ( existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então A é um subconjunto próprio de B, e escreve se A B Conjunto de Conjuntos GERSTING (2004, p.133), para um conjunto S pode se formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos de S, que são chamados de conjunto das partes de S e denotado por S (weierstrass) exemplo: S={0;1), S = note que os elementos do conjunto das partes de um conjunto são conjuntos. Para qualquer conjunto S, S sempre tem, pelo menos, e S como elementos, e que S es S Segundo Castrucci (1983), a prova de que P(A) tem 2 n elementos se A tem n elementos. Se A tem n elementos pode se formar n 1 conjuntos unitários, n 2 n elementos,..., n 1 conjuntos de n 1 elementos, n n tem se Ø A e equivale a n 0 conjuntos de dois =1 conjuntos com n elementos. Mas =1 conjuntos sem elementos.então o número de elementos é dado pelo binômio de Newton na forma (a + b) n e a soma dos coeficientes é 2 n,

7 CONJUNTOS DISJUNTOS Para LISPCHUTZ (1972), quando os conjuntos A e B não tem elementos em comum., isto é A B ={ }. Exemplo:A={1,3,7,8} e B={2,4,9} 1.11 Diagramas de Venn Euler Para LISPCHUTZ (1972), é representado por círculos OPERAÇOES COM CONJUNTOS GERSTING (2004, p.136), definições: união e intersecção de conjuntos, sejam A, B S. A união de A e B, denotada por A B, é {x/ x A ou x B}. A intersecção de A e B, denotada por A B, é {x/ x A e x B} Definição: Complemento de um conjunto, para um conjunto A S, o complemento de A e A', é {x/ x S e x A}. Diferença entre conjuntos: IEZZI (1981,p. 33A) dados dois conjuntos A e B, chama se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. {x/ x A e x B}

8 EXERCICIOS 8)T1GERSTING (2004, p ), A={x/ x N e1 x 50}, B={x/ x R e1 x 50}, C={x/ x Z e x 25}, quais das proposições a seguir são verdadeiras? a) A B b) 17 A c) A C d) 40 C e) 3 B f) {0,1,2 } A g) B h) {x/ x Z e x 2 625} C 9)T1 Seja R={1,3, pi,4,1,9,10}, T={1,3,pi}, S={{1},3,9,10}, U={{1,3,pi},1} quais das afirmações a seguir são verdadeiras? a) S R b) 1 R c) 1 S d) 1 U e) {1} T f) {1} S g) T R h) {1} S i) S j) T U k) T U l) T R m) T R n) S {1,3,9,10} 10)T1 Sejam A ={a,{a},{{a}}} B={a}, C={,{a,{a}}}, quais as afirmações a seguir são verdadeiras? a) B A b) B A c) C A d) C e) C f) {a,{a}} A g) {a,{a}} A h) B C i) {{a}} A 11) Sejam A={x/ x R e x 2 4x 3 0} e B={x/ x R e 0 x 6}, prove que A B 12) IEZZI(1981)Sejam os conjuntos A={a,b,c,d} B={c,d,e,f,g} e C={b,d,e,g} Determinar: a)a B b)b A c)c B d)(auc) B e)a ( B C ) f)(aub) A C 13) Dados os conjuntos A={1,2,3,4} B={1,2,4,6,8} e C={2,4,5,7} obter um conjunto X tal que X A e A X = B C. dica: isole X 14) T1Descrever os elementos dos conjuntos abaixo A= {x R / x² 5x 6=0} B={x / x é letra da palavra exercício} C= {x R / x² 9=0 ou2x 1=9}

9 9 D= {x R /2x 1=0 e2x² x 1=0 } E={x / x é algarismo do numero } 15) T1Sejam A={p,q,r,s} B={r,t,v} C={p,s,t,u} subconjuntos de S={p,q,r,s,t,u,v,x}. Encontre : a) B C b) A C c)c' =S C d) A B C e) B C f) A B ' =S A B g) AxB h) A B C ' 9) T1 Encontre (weierstrass) S e a) S={a} b) S={1,2,3,4} c) S= { } d) S={ } ou 16) T1 Encontre S se S={a,b} 17) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês,163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas.quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?r:332 e ) T1 CASTRUCCI (1983) Os sócios dos clubes A e B perfazem o total de 140. Qual é o número de sócios de A, se B tem 60 e há 40 que pertencem aos dois clubes? R:120 19) Numa classe de 200 estudantes, 80 estudam física,90 biologia,55 química, 32 bio e fis, 23 qui e fis, 16 bio e qui e 8 estudam os três. A relação de matriculas está certa? R: errado, resposta é ) T1 Determinar os conjuntos A,B e C que satisfazem as seguintes 6 condições : a)aubuc={z,x,v,u t,s,r,q,p} b) A B ={r,s} c) B C ={s,x} d) C A ={s,t} e) A C ={p,q,r,s,u,v,x} f) A B ={p,q,s,t,x,},z} Respostas:A={p,q,r,s t} C={t,s,x,u,v} B={r,s,x,z} 21) GERSTING (2004, p.146), considere os seguintes subconjuntos do conjunto de todos os estudantes: A= estudantes de ciência da computação B= estudantes de fisica C= estudantes de matemática D= estudantes mulheres Usando as operações definidas nos conjuntos, descreva cada um dos conjuntos a seguir em termos de A, B, C e D;

10 10 a) o conjunto de todos os estudantes que não são de matemática. b) o conjunto de todas as mulheres estudantes de física. c) o conjunto de todos os estudantes que pretendem se formar, ao mesmo tempo, ciência da computação e física. d) o conjunto de todos os homens estudantes de ciência da computação. e) o conjunto de todos os homens que não são estudantes de física. f) o conjunto de todos os estudantes de matemática que não são de ciência da computação. g) o conjunto de todos os estudantes que são mulheres ou que estudam ciencia da computação. 22) D AMBRÓSIO (1983), sejam A={ 1,2,3,4}, B={ números pares } e C={ 3,4,5}. Achar: a). A B C = b) A B C = c) A B= d) A B C = e) A B C = f) A B C = 23) T1 GERSTING (2004,p.166), um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Se 13 comem lingüiça calabresa, 10 comem salame italiano, 12 comem queijo extra, 4 comem tanto calabresa quanto salame, 5 comem tanto salame quanto queijo extra, 7 comem tanto lingüiça calabresa quanto queijo extra e 3 comem extra e 3 comem de tudo, quantos estudante há no grupo? R: 22 24) Todos os convidados em um jantar bebem café ou chá; 13 convidados bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem tanto café quanto chá. Quantas pessoas há nesse grupo? R:19 25) T1 Uma pesquisa entre 150 alunos de faculdades revelam que 83 tem carros, 97 tem bicicletas, 28 tem motocicletas, 53 tem um carro e uma bicicleta, 14 tem um carro e uma moto, 7 tem uma bicicleta e uma moto, e 2 tem todos os três. a) quantos estudantes tem apenas uma bicicleta? R:39 b)quantos estudantes não tem nenhum dos três? R:14 notas : B A todo b é a B A

11 11 B A existe b que não é a ( existe a intersecção) A B B A nenhum b é a ( não existe a intersecção) A B 26) DE MAIO (2007, p.23), sejam A, B e C da figura a seguinte onde, a A,b B,c C A B C

12 12 Coloque : V ou F nas afirmações que se seguem: i) todos os b são c ii) { x A e x B } =C iii) todos os a são c iv)todos os a são a v) todos os b ou são a ou são c vi) todos os c ou são a ou são b vii)não existe x que é a, b e c ao mesmo tempo APLICAÇÕES USANDO A FERRAMENTA MATEMÁTICA WXMAXIMA: FUNÇÃO : union (%i15) A:{1,2,3}; (%o15) {1,2,3} (%i16) B:{3,4,5}; (%o16) {3,4,5} (%i17) union(a,b); (%o17) {1,2,3,4,5} FUNÇÃO: intersection (%i18) intersection(a,b); (%o18) {3} FUNÇÃO: setdifference Retorna um conjunto contendo os elementos no conjunto a que não estãono conjunto b. (%i13) setdifference (A, B); (%o13) {1,2}

13 13 FUNÇÃO: cardinality (a) Calcula o número de elementos distintos do conjunto a. (%i20) cardinality(a); (%o20) 3 (%i21) cardinality(b); (%o21) 3 FUNÇÃO: subsetp (a, b) Retorna true se e somente se o conjunto a for um subconjunto de b. (%i46) A; (%o46) {3,4} (%i47) B; (%o47) {3,4,5} (%i48) subsetp (A, B); (%o48) true FUNÇÃO: powerset (a) (%i50) A:{1,2,3,4}; (%o50) {1,2,3,4} (%i51) powerset (A); (%o51) {{},{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,4},{1,3},{1,3,4},{1,4},{2},{2,3}, {2,3,4},{2,4},{3},{3,4},{4}} FUNÇÃO: powerset (a, n) powerset(a, n) retorna o conjunto de todos os subconjuntos de a que possuem cardinalidade n. (%i54) powerset (A,3); (%o54) {{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}}

14 14 FUNÇÃO: divisors (n) Representa o conjunto dos divisores de n. divisors(n) produz um conjunto de divisores inteiros quando n for um inteiro não nulo. O conjunto dos divisores inclui os elementos 1 e n. Os divisores de um inteiro negativo são os divisores do seu valor absoluto. (%i60)n:300; (%o60) 300 (%i61) divisors(n); (%o61) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,25,30,50,60,75,100,150,300} FUNÇÃO: binomial (x, y) O coeficiente binomial x!/(y! (x - y)!). Se x e y forem inteiros, então o valor numérico do coeficiente binomial é calculado. Se y, ou x - y, for um inteiro, o the coeficiente binomial é expresso como um polinómio. (%i6) x; (%o6) 10 (%i7) y; (%o7) 2 (%i8) binomial(x,y); (%o8) 45 REFERÊNCIAS CASTRUCCI, Benedito. Elementos de Teoria dos Conjuntos. SP. Editora Nobel LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. SP. Editora McGraw Hill.1972 IEZZI, G.; MURAKAMI, C.. Fundamentos de Matemática 1 Elementar. Conjuntos e Funções.5. ed SP. Atual Editora GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação.um tratamento moderno de matemática discreta. 5. ed..rj. LTC ALENCAR FILHO, E. De.Teoria Elementar dos conjuntos.19 a.ed. SP.Livraria Nobel. S.A.1980

15 15 DE MAIO. Waldemar.Fundamentos De Matemática. RJ. Editora LTC disponível em acessado em 24/08/2009

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