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1 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções Mtemátic

2 Sumário Lógic... onjuntos... Funções... 7 Sequêncis... 8 Mtrizes... Sistems lineres... 5 nálise comintóri... 7 Proilidde... Geometri... Trigonometri... Geometri de posição... 5 Sólidos geométricos... 5 Números compleos... 6 Polinômios... 6 Geometri nlític Proporcionlidde... 7 Mtemátic Finnceir... 7 Esttístic... 7 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

3 Lógic Proposição é tod epressão que encerr um pensmento de sentido completo e pode ser clssificd como V (verddeir) ou F (fls). 9 = 6 (F) = log (V) Todo gto é rnco. (F) lguns gtos são rncos. (V) Negção negção de um proposição p é indicd por ~p ou p. negção de um proposição verddeir é fls e vice-vers. p: Sempre chove. (F) p: Nem sempre chove. (V) Tel verdde: onectivos p V F p F V Negção. É um epressão que une dus proposições dndo origem um outr proposição. Eistem dois conectivos: conjunção e disjunção. onjunção (e): é indicd p q será verddeir se, e somente se, ms s proposições p e q forem verddeirs. so um dels sej fls su conjunção será fls. Disjunção (ou): é indicd p q será verddeir sempre que um ds dus proposições, p ou q forem verddeirs. Será fls pens se s dus forem flss. p: Tod árvore é verde. (F) q: Árvores são vegetis. (V) Mtemátic p q: Árvores são vegetis e tods s árvores são verdes. (F) p q: Árvores são vegetis ou árvores são verdes. (V) Tel verdde: p q p q p q V V V V V F F V F V F V F F F F onectivos. ondicionis Eistem dois tipos de condicionis: o condicionl e o icondicionl. ondicionl p q: será flso somente qundo p for verddeiro e q for flso. so contrário será verddeiro. p: n é um número ímpr. q: n é divisível por. p q: Se n é um número ímpr, então n é divisível por. (F) icondicionl p q: será verddeiro somente qundo ms s proposições, p e q, forem de mesmo vlor lógico: verddeirs ou flss. p: stisfz o teorem de Pitágors. q: é retângulo. p q: se é retângulo, então stisfz o teorem de Pitágors. (V) Tel verdde: p q p q p q V V V V V F F F F V V F F F V V ondicionis. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

4 Mtemátic Tutologi e contrdição Eemplos: Tutologi: é um proposição logicmente verddeir, independentemente do vlor lógico de sus proposições. d c F d F F p q q p ontrdição: são quels proposições que são flss independentemente do vlor lógico de sus proposições. p p Negção de proposições Relção de pertinênci. E E = { } = onjunto vzio. p q p q p q p q p q p q D onjuntos Um conjunto intuitivmente é compreendido como um coleção de ojetos. Pertinênci Usdo pr relcionr elemento e conjunto. : é elemento do conjunto. : não é elemento do conjunto. Inclusão Usdo pr relcionr conjunto conjunto. : o conjunto está contido no conjunto ( é suconjunto de ). Diz-se que um conjunto é suconjunto de um conjunto, ou que está contido em, se e somente se, todo elemento de é tmém elemento de. : o conjunto não está contido no conjunto ( não é suconjunto de ). Se em um conjunto não eistir elementos, dizemos que o conjunto é vzio e indicmos com o símolo ou { }. D Relção de inclusão. Simologi mtemátic lgums notções utilizds n mtemátic. : qulquer que sej ou pr todo, =, isto é, pr todo, riz qudrd de seu qudrdo é igul o seu módulo. : eiste /: tl que : não eiste / =, isto é, eiste tl que seu qudrdo vle dois. n(): indic o número de elementos do conjunto. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

5 Mtemátic O conjunto seguir tem três elementos. tenção: c n()= Um conjunto com três elementos. Operções entre conjuntos União união entre dois conjuntos e é o conjunto formdo pelos elementos que pertencem ou. Indicmos com o símolo. Se ou Intersecção intersecção entre dois conjuntos e é o conjunto formdo pelos elementos que pertençm e o mesmo tempo. Indicmos com o símolo. Se e Dois conjuntos são ditos disjuntos se =. Diferenç diferenç entre dois conjuntos, e, é o conjunto de todos os elementos que pertencem o conjunto e não pertencem o conjunto. Indicmos como. Se e Figur : União. Figur : Intersecção. O número de elementos de é igul : n( ) = n() + n() n( ) O número de elementos de é igul : n( ) = n() + n() + n() n( ) n( ) n( ) + n( ) Proprieddes d união e intersecção de conjuntos ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) onjuntos Numéricos Nturis: são os números utilizdos pr contr quntiddes. = {,,,,, 5, 6,...} Inteiros: são os números nturis, incluindo seus opostos. = {...,,,,,,...} Rcionis: são todos os números que podem ser escritos n form de frção com numerdor e denomindor inteiros. = / e * =...,...,,...,,... 6,... Irrcionis: são os números que não podem ser escritos como frção de numerdor e denomindor inteiros. = / e * = {...,,..., e,... π,...} Reis: é o conjunto formdo pelos números rcionis e pelos números irrcionis. = Diferenç. = {/ ou } Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 5

6 Mtemátic Os símolos + e não são números, logo, não podem ser representdos no intervlo como fechdos. Intervlos Intervlos limitdos Os intervlos são suconjuntos dos números reis: Intervlo fechdo: [, ] = { } Intervlo semierto à direit [, [ = { < } Intervlo erto ], ] = { < } Intervlo semierto à esquerd ], [ = { < < } Intervlos ilimitdos [, + [ = { } Números primos Números primos são queles que possuem pens dois divisores: e ele mesmo. é primo (pens e dividem o número ). não é primo (, e dividem o número ). Oservção O número e o número não são primos e o número é o único número primo pr. Decomposição em ftores primos Todo número nturl composto pode ser escrito de mneir únic como produto de números primos. 8 = = Mínimo Múltiplo omum (M.M..) O Mínimo Múltiplo omum de um conjunto de números nturis é o menor número nturl divisível por todos os elementos do conjunto. mmc (9,) = 6 6 ], + [ = { < } ], ] = { } ], [ = { < } ], + [ = Máimo Divisor omum (M.D..) O Máimo Divisor omum de um conjunto de números nturis é o mior número nturl, tl que todos os elementos desse conjunto são divisíveis por ele. O produto do MM pelo MD de dois números é o produto desses dois números. Se o MD de dois números for, chmmos de primos entre si ou coprimos. mdc (9,) = Dízim periódic Um número rcionl pode ser representdo por um número inteiro, um número deciml eto ou um dízim periódic. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

7 Mtemátic,... Prte inteir: Prte não-periódic: Prte periódic: (prte que se repete periodicmente) Frção gertriz gertriz de um dízim periódic é frção rcionl que origin esse número. Numerdor: é um número formdo pel prte inteir seguid de prte não-periódic (qundo eistir) seguid do. período, desse vlor devemos sutrir prte inteir seguid d prte não-periódic. Denomindor: número formdo de tntos 9 quntos forem os lgrismos do período, seguidos de tntos quntos forem os lgrismos d prte nãoperiódic. Determine frção gertriz d dízim,... Numerdor: = 98 Denomindor: 99 Dízim: = 65 Produtos notáveis Qudrdo d som/diferenç ( ) = + Diferenç de qudrdos Ftor comum grupmento ( + )( ) = + = ( + ) = ( + )( + ) uos Sophie Germin = ( )( + ) + = ( + + )( + ) Lgrnge (c d) + (d c) = ( + )(c + d ) úico + + c c = ( + + c)( + + c c c) Funções Ddos dois conjuntos e denominmos função de em, tod relção que cd elemento de ssoci-se um, e só um, elemento de. Ddos os conjuntos = {,, } e = { 5,,,, }, considere função f:, definid por f() = +, ou = +, temos que = = = = = = Domínio (D) O domínio de um função f é o conjunto formdo pelos primeiros elementos (scisss) de cd pr ordendo d função f. ontrdomínio (D) O conjunto em que encontrmos os segundos elementos (ordends) dos pres ordendos d função. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 7

8 Mtemátic Imgem (Im) imgem de um função f é o conjunto formdo pelo segundo elemento de cd pr ordendo d função f. Nos dois eemplos seguir relção de f: represent um função: Eemplo : 7 D(f) = {,, 7} D(f) = {, 5} Im(f) = {, 5} f É função, pois cd elemento do conjunto (domínio) d função está ssocido um único elemento do conjunto (contrdomínio). Eemplo : D(f) = {,, } D(f) = {,, 7, 8} Im(f) = {, 7, 8} f É função, pois cd elemento do conjunto (domínio) d função está ssocido um único elemento do conjunto (contrdomínio). Nos dois eemplos seguir relção g: represent função. Eemplo : g não relção g:, não represent função, pois o número e está ssocido mis de um elemento do conjunto. Ou sej, o número tem mis de um imgem. Eemplo : -8 - g -6 5 relção g:, não represent função, pois o número e não está ssocido o conjunto. Ou sej, o número não tem imgem. Plno crtesino É um sistem constituído por dois eios: e perpendiculres entre si. O eio é denomindo de eio ds scisss e o eio é denomindo eio ds ordends. Esses eios dividem o plno em qutro regiões chmds qudrntes. cd ponto do plno crtesino, ssocimos um pr ordendo (, ) 8 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

9 Mtemátic (, +) II qudrnte (+, +) I qudrnte Função ijetor É tod função f de em que é simultnemente injetor e sorejetor. f III qudrnte (, ) Os qudrntes. Função sorejetor IV qudrnte (+, ) Dizemos que um função f de em é sorejetor qundo o conjunto imgem for igul o conjunto contrdomínio de. Em lingugem mtemátic, se tl que f() = -5 f Função pr 9 É tod função que f() = f( ), isto é, quisquer elementos opostos do domínio têm imgens iguis. F()=, oserve que elementos opostos têm imgens iguis ' 5 Função injetor Dizemos que um função f de em é injetor se qulquer dos seus elementos do seu domínio tem imgens diferentes. Em lingugem mtemátic, se f() = f() =. 7 f 5 f() = f( ) Função ímpr É tod função que f() = f( ), isto é, quisquer elementos opostos do domínio têm imgens oposts. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 9

10 Mtemátic f()=, oserve que elementos opostos têm imgens oposts Função invers Dd um função f: dizemos que su invers f : é função que lev todos os elementos d imgem de f os elementos do domínio de f. Um mneir prátic de determinrmos função invers de um função dd é trocr vriável pel vriável, vriável pel vriável e em seguid isolr vriável (qundo possível). Determine função invers de = + de. f() = f( ) - - Função compost Se tivermos os conjuntos, e e dus funções f: e g:, chmmos de função compost função h = gof:, definid por R = gof() = g(f()). Sejm s funções f() = + 5 e g() =, determine fog(). Solução: fog() = f(g()) = g() + g() 5 = = ( ) + ( ) 5 = = 8 Solução: Pr isso fzemos = +, onde = portnto, f () = 7 6 = + 5 Gráfico d função f e d su invers. Função fim eio de simetri = e, f() g() Resolução d equção de. Gru gof() Resolver equção de.º gru. 9 + = = 8 = 5 = 5 = 5 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

11 Mtemátic Sistem de equções de. Gru/método d dição Determine solução do sistem + = 7 = Solução: Pr que n som ds equções um ds vriáveis sej nuld devemos multiplicr um ds equções por um constnte dequd e diferente de (zero). No eemplo ddo podemos multiplicr segund equção por : + = 7 6 = 8 Somndo s equções temos: 7 = 5 = 5 Se = 5, st então sustituir esse vlor em um ds equções pr determinr o vlor de. + = 7 = Onde: S = {(5,)} função fim função f:, definid por = +, com e números reis, denomin-se função fim. coeficiente ngulr coeficiente liner riz d função é o vlor de cuj imgem é (zero). = O coeficiente ngulr é tngente d inclinção d ret em relção o eio. ordend do ponto intersecção d ret com o eio é o e ciss do ponto de intersecção com o eio é chmd de riz. s rízes de um função qulquer são os vlores de tis que =. + zero riz ( = ) Resumo d função fim. coef. liner ( = ) Função fim. Função qudrátic Equção do. Gru + O formto d equção do. gru é + + c =, com, e c números reis e. Equções incomplets Qundo = ou c=. cso: = 9 = Solução: 9 = = 9 = 9 = S = {, } Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

12 Mtemátic. cso: c = 9 = Solução: 9 = ( 9) = = ou 9 = S = {, 9} Equções complets Ns equções complets utilizremos conhecid fórmul resolutiv de um trinômio do.º gru. = ou = c, onde = c Resolver equção 8 + = =, = 8 e c = st plicr fórmul resolutiv, então, = ( 8) ( 8) ()() () = 8 6 onde S = {,6} Equção iqudrd equção iqudrd tem o seguinte formto: + + c =, com,, c números reis e. Su resolução consiste em fzer redução um equção do segundo gru, pr isso fzemos sustituição, =. + 8 = Fzendo: = Então : +8 = ujs soluções são: = ou = Retornndo vriável originl (), temos que: = = = = = = Portnto, S = {,,, } Sistem do. Gru / método d sustituição Isolmos um ds incógnits e sustituímos n equção que contém o produto. Resolv o sistem: Solução: + = 8. = Isolmos um ds vriáveis n primeir equção: = 8 gor, sustituiremos n segund:. (8 ) = 8 + = Resolvendo equção do. gru temos: = e = 6. Voltndo o sistem Se = = 6 Se = 6 = S = {(,6); (6,)} Função qudrátic função f :, definid por = + + c, com, e c números reis e, denomin-se função qudrátic. O formto do gráfico d função qudrátic é um práol. intersecção d ret com o eio é o ponto c e intersecção com o eio é chmd de riz. s rízes podem ser otids com o uso d fórmul resolutiv de um trinômio do.º gru. Discriminnte ( ) O discriminnte é definido como sendo Se > dus rízes reis e diferentes. = c. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

13 Mtemátic Se Se = dus rízes reis e iguis. < não eiste riz rel. Som e produto ds rízes Sendo e s rízes de um função qudrátic, podemos dizer que Vértice + =. = c práol representtiv d função qudrátic tem um ponto de máimo ou mínimo, dependendo de su concvidde. Esse ponto é chmdo de vértice. V =, Eio de simetri O eio de simetri de um função qudrátic é um ret prlel o eio que pss pelo v. rescimento e decrescimento: < > < v rescente Descrescente > v Descrescente rescente Função qudrátic. Já imgem pode ser otid prtir do. < Im =], v ] > Im =[ v, + [ c V eio de simetri vértice práol Delt práol no plno crtesino > concvidde (oc) pr cim < concvidde (oc) pr io > Intercept o eio horizontl em pontos = "Toc" em ponto do eio horizontl < Não intercept o eio horizontl Resumo d função qudrátic. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

14 Mtemátic Função eponencil Proprieddes d potênci e ds rízes. Proprieddes d potênci.ª propriedde: produto de potêncis de mesm se. onserv-se se e somm-se os epoentes. 7. = 7+ = =.ª propriedde: quociente de potêncis de mesm se. onserv-se se e sutrem-se os epoentes. 9 9 = 9 : 9 = 9 9 = =.ª propriedde: potênci de potênci. onserv-se se e multiplicm-se os epoentes. ( 5 ) 5 = =.ª propriedde: potênci de produto. O epoente vle pr todos os ftores d multiplicção. (. ) =. = 8. 7 = 6 5.ª propriedde: potênci de quociente. Elev-se o numerdor e o denomindor o mesmo epoente, d seguinte form: = = ª propriedde: potênci de epoente frcionário. Trnsform-se em riz qudrd. 5 = 5 = 5 c c = 7.ª propriedde: potênci de epoente zero. É igul (um) pr qulquer que sej se diferente de (zero). 5 = 8.ª propriedde: potênci de epoente um. É própri se, qulquer que sej se. 5 = 5 9.ª propriedde: potênci de se um. É igul um qulquer que sej o epoente. =.ª propriedde: potênci de se zero. É igul (zero), qulquer que sej o epoente mior que zero. = Oservção: Não definiremos neste mteril e zero elevdo um epoente negtivo não eiste..ª propriedde: potênci de epoente negtivo, com se diferente de (zero). Inverte-se se e troc-se o sinl do epoente. Eemplo : = = = 7 8 Eemplo : = = = = Etrção de ftores do rdicl Decompõe-se o número em ftores primos e etrem-se do rdicl tnts vezes qunts for o índice. 6 = =... 5 = = 6 Operções ritmétics de rízes Som e sutrção: Somm-se ou sutrem-se pens s rízes qundo els tiverem o mesmo rdicndo e o mesmo índice no rdicl. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

15 Mtemátic = ( 5) + ( + ) = + 5 Produto e divisão: Eemplo : 8. =. 8 =. 6 5 = 5 Eemplo : 6 = 6 = 8 = Rízes de rízes: Qundo tivermos riz de um riz, multiplicremos os índices. 5.5 = Rcionlizção = = O ojetivo d rcionlizção é tirr riz do denomindor.. cso: pens riz no denomindor. Multiplicmse numerdor e denomindor pelo denomindor. ret = é chmd de ssíntot horizontl d função. função eponencil tmém é um função sorejetiv (ou sorejetor). Pr determinrmos o crescimento e decrescimento d função eponencil, podemos utilizr tel seguir: < < Decrescente > Função eponencil. rescente intersecção d função eponencil com o eio é o ponto (,). função eponencil não possui riz, pois não eiste vlor de que torne o =. f() = Função eponencil com < <. 9 = 9. = 9 = f() =. cso: riz e não-riz no denomindor. Multiplicm-se numerdor e denomindor pelo denomindor com o sinl d riz trocdo. 8 = = 8( + ) ( )( + ) 8( + ) 6 8 = = + Função eponencil função f: +* definid como =, com > e, denomin-se função eponencil. Domínio = * ontrdomínio = + Equção eponencil Função eponencil com >. Eistem vários tipos de equções eponenciis. miori dels pode ser resolvid pel propriedde injetor d função eponencil, isto é, se = =. Vej lguns tipos:. tipo: 5 = 5 5 = 5 = Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 5

16 Mtemátic. tipo: = = = =. tipo: = ( ) +. 8= Podemos fzer = + 8 = Logo, = ou = 6. Se =, =, ms se = 6 não eiste. Portnto =. Inequção eponencil Se se for mior do que um, mntemos o sinl d desiguldde. Se se for menor do que um, inverteremos o sinl d desiguldde. Eemplo : > ( ) > > > Eemplo : Função logrítmic Logritmo Sendo e números reis indicmos log e chmmos de logritmo de n se o número tl que =. log = = ondições de eistênci:. >,. > Se se não for indicd, seu vlor é, e se se for o número irrcionl e, chmmos de logritmo nturl e indicmos In. onsequêncis/proprieddes dos logritmos log = log = log n = n log = log (. c) = log + log c c log = log c log log n = n log ologritmo O cologritmo de um número é o oposto de seu logritmo. Mudnç de se colog = log Em lguns csos, pr resolução de eercícios, utilizmos mudnç de se. Função Logrítmic log log = c log c função f: +* definid como = log, com > e, denomin-se função logrítmic. Domínio = + * ontrdomínio = Não eiste intersecção dess função como eio. Su riz é o ponto P (,). 6 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

17 Mtemátic rescente Pr que sej solução, s condições de eistênci devem ser stisfeits:. >. Portnto, S ={}. Eemplo : log + log ( + 6) = log. ( + 6) = se >. ( + 6) = = Decrescente = 8 ou = Pr que 8 e sejm soluções mos devem stisfzer s condições de eistênci. Portnto, equção dmite um únic solução S = {}. Equção logrítmic se < < Gráficos d função logrítmic. = = = log Eistem vários tipos de equções logrítmics. Pr eemplificá-ls, mostrremos lguns eemplos. Eemplo : log ( ) = log 5 ondição de eistênci: > Resolvendo equção temos: = 5 = Inequção logrítmic Pr s inequções logrítmics, usmos o mesmo procedimento utilizdo pr s eponenciis: ses miores que um ( > ), mntemos desiguldde; ses entre zero e um ( < < ), invertemos desiguldde. log ( ) log Primeiro condição de eistênci é: > e > gor, temos, pois se é menor do que um. Portnto,. Fzendo s intersecções ds condições de eistênci e d respost d inequção, temos que. Portnto, S = { / }. Função modulr Módulo Pr um número rel temos:, se =, se < O módulo de um número rel é distânci de um ponto n ret rel té origem d ret. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 7

18 Mtemátic = ( ) = lgums proprieddes: = =. =. = + + ou Função modulr Denomin-se função modulr função f, de definid por: f() =. = Equções e inequções modulres Eemplo : 5 = 5 = 5 = Logo, = 6 ou = Eemplo : =. Podemos fzer =, dí teremos = ou =. Sendo =, só pode ssumir vlores positivos. Portnto, =. omo é o resultdo do módulo de, temos que pode ssumir dois vlores: = ou =. S = { / = ou = } Eemplo : < < < < < 5 S = { / < < 5 } Funções envolvendo módulo: = = + Sequêncis Sequênci finit: é tod função de em, onde = {,,,..., n} é suconjunto dos números nturis e é um conjunto não-vzio. Sequênci infinit: é tod função de em, onde = {,,,..., n,...} é o conjunto dos números nturis não-nulos e é um conjunto não-vzio. Progressão ritmétic É um sequênci em que cd termo, prtir do segundo, é igul o nterior crescido de um constnte chmd rzão. (, 5, 8,,...): P.. crescente de rzão. (,,,,): P.. decrescente de rzão. Rzão rzão r de um P.. é dd por : r = = n n, n e n 8 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

19 Mtemátic Termo médio Dd um P.. de três termos (,, c), o termo do meio é ddo por: = + c Pr um P.. qulquer, de número ímpr de termos, temos que o termo médio é médi ritmétic dos dois etremos: TM = + n Solução: sequênci é mesm dd ntes e já semos que =, e n =, lém do que = 99. Portnto, som será: S = ( + 99) Interpolção. = Interpolr (ou inserir) k meios ritméticos entre dois etremos e ness ordem signific determinr P.. de k + termos, onde é o primeiro e é o último. rzão dess P.. pode ser determind pel fórmul seguir: Fórmul do termo gerl Num P.. (,,,... n, n ), de rzão r, o termo gerl é ddo por : n = + (n ). r Determine o centésimo número mior do que zero e ímpr. Solução: sequênci é (,, 5,...) que se trt de um P.. de rzão r = = e =, e n =. Queremos ser. = + ( ). = 99 Fórmul d som dos N termos de um P.. som S n dos n primeiros termos de um P.. é dd por: S n = ( + n ). n Pr um P.. com um número ímpr de termos: S n = TM. n, onde TM é o termo médio. Determine som dos primeiros números ímpres miores do que zero. r = n k + Onde n é o último termo e é o primeiro Interpole meios ritméticos entre e 7. Solução: =, n = 7, k =, onde r = 7 + = Portnto, P.. é: (, 5, 8,,, 7). Progressão geométric É um sequênci em que cd termo, prtir do segundo, é igul o nterior multiplicdo de um constnte chmd rzão. (,, 8, 6,...): P.G. crescente de rzão.,,, : P.G. lternd de rzão. Rzão Pr determinrmos rzão de um P.G., rzão é dd por: q = = n n = n + n, n e n Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 9

20 Mtemátic Termo médio Dd um P.G. de três termos (,, c), temos que =. c, ou sej, o termo centrl é médi geométric dos etremos. Fórmul do termo gerl Pr determinrmos um termo qulquer de um P.G. (,,,..., n, n ), st usr fórmul do termo gerl n =. q n Fórmul d som dos N termos de um P.G. Pr determinr som dos n primeiros termos de um P.G. utilizmos fórmul: S n =. (qn ) q Fórmul do produto dos N termos de um P.G. Pr determinr o produto dos n primeiros termos de um P.G. utilizmos fórmul: Interpolção P n = (. n ) n Interpolr (ou inserir) k meios geométricos entre dois etremos e ness ordem signific determinr P. G. de k + termos, onde é o primeiro e é o último. rzão dess P.G. pode ser determind pel fórmul seguir: q = k + n Onde n é o último termo e é o primeiro. P.G. infinit Qundo q < e P.G. for infinit, som dos termos dess P.G. tende um número rel que pode ser definido pel fórmul: S n = q Determine som dos termos d P.G. infinit:,,, 8,... Solução: =, =. Portnto, S n = = Ou sej, = Mtrizes Mtrizes são tels de números dispostos em linhs e coluns. Tod mtriz tem o formto m X n, em que m é o número de linhs e n é o número de coluns. Pr representrmos um mtriz, podemos utilizr: prênteses ( ) colchetes [ ] Indicmos os elementos por ij, onde i represent o número d linh e j represent o número d colun, à qul o elemento pertence. = ( ij ) mxn =... n... n m m... mn Escrever mtriz = ( ij ) = i j Genericmente representmos por: = ssim sendo: =. = =. = Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

21 Mtemátic =. = =. = =. = 5 =. = Portnto, mtriz é = 5 Dus mtrizes são iguis se, e somente se, forem do mesmo tipo e todos os elementos forem iguis entre si n mesm ordem. lgums mtrizes têm denominções especiis. Vej lguns eemplos: Mtriz linh: é mtriz que tem pens um linh. L = [ ] Mtriz colun: é mtriz que tem pens um colun. = Mtriz nul: é mtriz em que todos os elementos são zero. N = Mtriz qudrd Um mtriz qudrd possui o mesmo número de linhs e coluns. Dizemos que um mtriz qudrd é do tipo m X m ou tem ordem m. pens mtrizes qudrds têm digonis: Digonl principl: é formd pelos elementos ij tis que i = j. Digonl secundári: é formd pelos elementos ij, tl que i + j = n +. DS Q = DP Digonl principl: (, 5, 9) Digonl secundári: (, 5, 7) Operções entre mtrizes Som e sutrção som de dus mtrizes = ( ij ) mxn e = ( ij ) mxn é mtriz = (c ij ) mxn tl que: c ij = ij + ij Se = e = 5, clcule = + e D = : Solução: = + 5 = 8 D = 5 = Multiplicção de um número rel por um mtriz Pr multiplicr um número rel K por um mtriz, st multiplicr todos os elementos de pelo número rel K. Se = 8, clcule : =. 8 = 6 6 Multiplicção entre mtrizes N multiplicção de dus mtrizes e, o número de coluns de deve ser igul o número de Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

22 Mtemátic linhs de. O produto terá o mesmo número de linhs de e o mesmo número de coluns de. m n. igul n p = m p Os elementos d mtriz produto, são otidos pel seguinte relção: c ij = i j + i j in nj Se = e = 5, clcule: = = = 6 Note que, neste cso. Mtriz invers Sej um mtriz qudrd de ordem n. Dizemos que ess mtriz é inversível se eistir um mtriz, tl que = I n e indicmos ess mtriz, como. lgums ds proprieddes d mtriz invers: ( ) = ( ) T = ( T ) (K. ) = K. (. ) =. Mtriz identidde: é mtriz em que todos os elementos d digonl principl são iguis e os outros elementos são iguis. Indicmos I n, onde n é ordem d mtriz. so sej possível o produto temos: I. =. I = (I é o elemento neutro d operção produto entre mtrizes). I = Mtriz digonl: é mtriz qudrd que possui elementos nulos for d digonl principl. D = 5 Mtriz tringulr: é quel que possui todos os elementos cim ou io d digonl principl iguis (zero). T = Mtriz idempotente: é quel mtriz qudrd tl que =. = ; = Mtriz nilpotente: é quel mtriz qudrd tl que k =, pr lgum k. N = 5 6 N é nilpotente com k = Mtriz involutóri: é tod mtriz tl que = I. = 5 ; = Mtriz trnspost mtriz trnspost de, t é otid trocndo ordendmente linhs por coluns. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

23 Mtemátic Se = t = 5 5, então, Proprieddes d mtriz trnspost: ( T ) T = ( + ) T = T + T (K. ) T = K. T (. ) T = T. T Mtriz simétric: é quel que é igul su trnspost, ou sej, ij = ji. S = S T = S = S T Mtriz ntissimétric: é quel que é igul à opost d trnspost, ou sej: ij = ij. = 5 5 T = 5 5 = T Mtriz ortogonl: é tod mtriz qudrd tl que T =. P= P = cos sen cos sen P = P sen cos ; sen cos Determinntes É o único número rel ssocido um mtriz qudrd. O determinnte de um mtriz é indicdo com rrs simples:. ª ordem Pr mtriz de primeir ordem, o determinnte é igul o seu único elemento. 5 = 5. ª ordem =. ª ordem Regr de Srrus =.. = 6 Pr determinntes de.ª ordem utilizremos: melhor mneir de eplicr regr de Srrus é com um eemplo: det = = 9 Menor complementr hm-se menor complementr D ij reltivo um elemento ij, d mtriz o determinnte, ssocido Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

24 Mtemátic à mtriz qudrd, otid em, e que se otém eliminndo de, linh e colun correspondente o elemento considerdo. = D = 5 =. ( ). = Eliminndo-se terceir linh e terceir colun. oftor hm-se coftor de um elemento de um mtriz qudrd o número otido pelo produto do menor complementr e ( ) i + j. ij = ( ) i + j. D ij No eemplo nterior = ( ) +. D = Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz qudrd de ordem n é igul à som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos respectivos coftores. = 5 det = ( ) +. ( ) ( )( ) + 5 =.. +. ( ). ( 8).. 8 = 6 Proprieddes dos determinntes Qundo todos os elementos de um fil (linh ou colun) são nulos, o determinnte d mtriz é (zero). 5 = Se dus fils prlels são iguis, então o determinnte dess mtriz é (zero). 6 6 = Se dus fils prlels são proporcionis o determinnte é (zero) = Os determinntes de um mtriz e o d su trnspost são iguis. Se multiplicrmos um fil de um mtriz por um número rel, o determinnte fic multiplicdo por este número. Sej um mtriz qudrd de ordem n e k um número rel. Então, det (k. ) = k n. det Qundo trocmos dus fils prlels de lugr, o determinnte mud de sinl. = Qundo mtriz for digonl, seu determinnte é o produto dos elementos d digonl principl. 5 6 =.. 6 = O determinnte de um produto é o produto dos determinntes, det (. ) = det. det. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

25 Mtemátic Mis especificmente: Mtriz invers det = det Veremos um mneir mis rápid de determinr mtriz invers. Mtriz dos coftores: mtriz dos coftores é mtriz formd pelos respectivos coftores dos elementos d mtriz em uso. Indicmos cof(). = cof() = 6 6 Mtriz djunt: mtriz djunt é mtriz trnspost d mtriz dos coftores. Indicmos dj() = cof () T. mtriz invers pode ser escrit ssim: dj() = = 6 6 = 5. = det. dj() Teorem de Jcoi O determinnte não se lter qundo sommos os elementos de um fil um cominção liner dos elementos correspondentes fils prlels. = L' = L +. L Regr de hió 5 8 regr de hió é utilizd pr ir ordem de um determinnte. seguir, os pssos pr utilizção d regr de hió: Se =, eliminmos primeir linh e primeir colun dess mtriz. Sutrímos de cd elemento restnte o produto dos elementos que ficm nos pés ds perpendiculres trçds do elemento considerdo. 5 7 = = = Sistems lineres Um conjunto de n equções lineres m incógnits, form o que chmmos de sistem liner n n = n n = m + m mn n = mn Se o conjunto (,,,..., n, n ) stisfizer s equções, esse conjunto será denomindo solução do sistem. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 5

26 Mtemátic Regr de rmer Utilizd pr determinr solução de Sistems Possíveis e Determindos. O determinnte principl é formdo pelos coeficientes ds vriáveis: D = n n n n nn Os determinntes secundários são otidos sustituindo s coluns ds vriáveis pel colun dos termos independentes: D = D = D n = n n n n nn n n n n nn D = Dz = ssim, = D D = 5 5 = D D = z = Dz D = = = solução do sistem é (,, ). Discussão de sistems Qunto à solução os sistems são divididos em três tipos: Sistem Possível e Determindo (SPD): qundo dmitir um únic solução. Sistem Possível e Indetermindo (SPI): qundo dmitir infinits soluções. Sistem Impossível (SI): qundo não dmitir soluções. 6 n n n s soluções do sistem são otids ssim: = D, pr {,,,..., n} D Resolver o sistem D = D = + z = + + z = + z = 5 5 = = sistem possível impossível determindo indetermindo não dmite solução Esclonmento de um sistem dmite um únic solução dmite infinits soluções Dois sistems são ditos equivlentes se têm mesm solução. + + z = z = z = Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

27 Mtemátic e + + z = 6 + z = z = Form esclond Ess é chmd form esclond: 6 Esclonmento é um método de resolução que consiste em trnsformr um sistem em um outro equivlente de resolução mis fácil. Pr isso, utilizmos operções lineres: Multiplicr um equção inteir por um constnte. Trocr dus equções entre si. Somr um múltiplo de um equção um outr equção. Pr esclonrmos um sistem, pr s equções e pr mtriz umentd (incluindo os termos independentes), seguiremos os pssos nteriores. + + z = z = z = Ms, se quisermos prosseguir: 6 ~ 6 L' = L L ~ 5 L' = L L ~ L' = L + L Ess é form esclond reduzid: ~ L' = L L ~ L' = L. L ~ L' = L + L ~ L' = L, ssim temos: + + z = + + z =, então =, = e z = + + z = nálise comintóri nálise comintóri é prte d mtemátic que estud o número de possiiliddes de ocorrênci de um determindo evento. Ftoril Sej n um número nturl, n. Denomin-se ftoril de n e indicmos por n!, o produto do número n por todos os seus ntecessores té o. Ou sej, n! = n. (n ). (n )... Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 7

28 Mtemátic 5! = = Por definição temos:!=!= Permutções simples Definimos permutções simples como sendo o número de mneirs de rrumr n elementos distintos em n posições, em que cd mneir se diferenci pel ordem em que os elementos precem. P n = n! Quntos ngrms podem ser formdos com s letrs d plvr ROL? Solução: plvr ROL é escrit com 5 letrs, P 5 = 5! = Portnto, eistem ngrms possíveis. rrnjos simples rrnjo simples de n elementos distintos, tomdos p p, onde n e p é um número nturl menor ou igul n, é qulquer ordenção de p elementos dentre os n elementos, em que cd mneir de tomr os elementos se diferencim pel ordem e nturez dos elementos. n, p = n! (n p)! Qunts plvrs com cinco letrs podemos formr com s letrs D, U, S,, E,, R, O, L? Solução: O número de plvrs é, 9,5 = 9! (9 5)! = 9!! = = 5 ou sej, podem-se escrever 5 plvrs com s nove letrs cim indicds. ominção simples ominção simples de n elementos distintos, tomdos p p, onde n e p é um número nturl menor ou igul n, é qulquer ordenção de p elementos dentre os n elementos, em que cd mneir de tomr os elementos se diferenci pens pel nturez dos elementos. n, p = n! p!(n p)! lcule o número de digonis de um n-ágono regulr. Solução: O número de digonis de um polígono conveo é igul : n! n, n = n =!(n )! n(n ) n = n(n ) Pois, st tomr vértices dois dois e descontr o número de ldos (n). Permutções com repetição Se eistem n ojetos dos quis k são do tipo, k do tipo e k m do tipo m em que som k + k k m é igul n, então o número de permutções é ddo por: P n (k, k,..., k m ) = n! k!. k!..., k m! Quntos ngrms podem ser escritos com s letrs d plvr N? Solução: P 6 (,,, ) = 6!!.!.!.! Portnto, eistem ngrms possíveis com s letrs d plvr N. 8 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

29 Permutção circulres Pr dispor n ojetos distintos em torno de um círculo de mneir distints, usmos seguinte fórmul: P n = (n )! Outrs proprieddes: n i = n i = n i = n p + i p = p + n p + Mtemátic v Números inomiis Sejm n e p números nturis tis que n p. Nesss condições, definimos os números inomiis d seguinte mneir: n p p! (n p)! = n! = n, p Onde n é o numerdor e p é o denomindor onsequêncis d definição: n = n = n n n = inomiis complementres n p = n n p Números inomiis complementres. Relção de Stiefel n p + Relção de Fermt n p + = n + p + n p. n p p + = n p + Triângulo ritmético de Pscl O triângulo de Pscl consiste em um tel onde dispomos de form ordend os números inominis: Os elementos deste triângulo podem ser dipostos de outr form, como vemos seguir: n n n n n... n n Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 9

30 Mtemátic Sustituindo os números inominis pelos respectivos resultdos temos: Oserve relção de Stifel no triângulo Pscl:..... inômio de Newton hm-se inômio de Newton tod epressão d form ( + ) n, em que e são números reis e n é um número nturl. O desenvolvimento dess epressão é ddo d seguinte form: ( + ) n = n n + n n + n n n n n Determine o desenvolvimento:. + = Relção de Stifel inominis complementres linh Som dos elementos de um mesm linh. olun linh Relção de Stifel + 6 = inominis complementres. c + = Solução: c + = c () c () c () + c () c () = = c 6 c + 6 c 6 c + 6 Termo gerl T k + = n k k n k Linh 5 6 = = = = 8 6 = = = n som dos elementos de cd linh. Determine e clcule o terceiro termo. Solução: Pr. termo k=, então, T = () c = 6 c Som dos coeficientes som dos coeficientes de um inômio de Newton é otid trocndo s vriáveis por. n + n + n + n n n + n n = n lcule som dos coeficientes d epnsão de. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

31 Mtemátic Solução:. = 8 = 6 Proilidde Espço mostrl É o conjunto de todos os resultdos possíveis de um eperimento letório. Indicremos com letr U. rt do nipe de pus. IESDE rsil S.. U = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, J, Q, K} Evento É um suconjunto qulquer de um espço mostrl. Indicmos com letr. Ocorrênci de um número pr no nipe de pus. Solução: onjunto universo U = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, J, Q, K} Evento: IESDE rsil S.. Proilidde de um evento proilidde de que o evento conteç em relção o espço U, p() = n() n(u) onde n(u) é o número de ocorrêncis do espço mostrl e n() é o número de ocorrêncis do evento. proilidde de que ocorr um número pr do nipe de pus. Solução: O número de elementos do universo U é: n(u) = 5 O número de crts pres de pus é: n() = 5 Portnto, proilidde de ocorrer um crt pr do nipe de pus é de: p() = 5 5 Proilidde d união de dois eventos proilidde de ocorrer o evento ou o evento é dd por: p( ) = n() + n() n( ) n(u) onde n(), n(), n( ), são respectivmente os números de elementos de, de e de. Qul é proilidde de ocorrer um crt do nipe de pus ou um crt pr num rlho de 5 crts?, Solução: = {,, 6, 8, } O número de elementos do universo U é: n(u) = 5 O número de crts de pus é: n() = Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

32 Mtemátic O número de crts pres é: n() = O número de crts pres de pus é: n( ) = 5 Portnto, proilidde de ocorrer um crt de pus ou um crt pr é de: n() + n() n( ) p( ) = = n(u) = 8 5 = 7 ou p( ) = P() + P() p( ) = = 8 5 = 7 Proilidde condicionl proilidde de ocorrer o evento, ddo que o evento já ocorreu, é representd por P(/) e podemos clculr d seguinte form: P(/) = P ( ) P() Evento complementr, P() proilidde de que ocorr um evento é igul, menos proilidde de ocorrer o evento complementr. Ou sej, P() = P(), onde e são complementres. Geometri Ângulo reto ou de 9 : Ângulo rso ou de 8 : equivle dois ângulos retos. Ângulo otuso: equivle um ângulo mior que um ângulo reto e menor do que dois ângulos retos. Ângulo gudo: equivle um ângulo menor que o ângulo reto. Ângulos complementres: qundo dois ângulos juntos formm um ângulo reto. + = 9 Ângulos suplementres: qundo dois ângulos juntos formm um ângulo rso. + = 8 Geometri pln Ângulos O ângulo é definido como um região do plno formdo por dus semirrets de mesm origem (vértice). Ret trnsversl dus prlels Ângulos formdos por dus prlels cortds por um trnsversl. s rets r e s são prlels e t, é trnsversl. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

33 Mtemátic Teorem de Tles Os ângulos e são suplementres. Um feie de rets prlels cortdo por dus trnsversis determin segmentos proporcionis. = DE EF om r//s//t e e são trnsversis Polígonos t Linh poligonl é um linh formd por segmentos de ret. lssificção de linhs poligonis: r s D E F r s t Polígono conveo Polígono côncvo som do ângulo interno com um ângulo eterno sempre é igul 8. som dos ângulos internos de um polígono conveo é ddo pel fórmul: S i = 8 (n ) som dos ângulos eternos é constnte: S e = 6 O número de digonis de um polígono conveo é ddo por: E D = n(n ) F digonl G Linh poligonl ert e simples Linh poligonl fechd não-simples I i e H Pentágono. Linh poligonl fechd e simples Linh poligonl ert e não-simples Polígono é um linh poligonl fechd e simples. Polígono conveo é tl que quisquer pontos interiores unidos formm um segmento de ret completmente contido no polígono. so contrário o polígono é dito não conveo, ou côncvo. Polígonos regulres Um polígono é dito regulr se todos os seus ldos forem congruentes e todos os seus ângulos tmém forem congruentes O pótem de um polígono regulr é menor distânci entre o centro d circunferênci inscrit no polígono e seus ldos. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

34 Mtemátic Principis polígonos regulres Triângulo equilátero r r 6 S r Ângulo interno: 6 Ângulo centrl: R R D Qudrdo circunscrito. R R R R D Triângulo equilátero inscrito. Qudrdo inscrito. r r Pentágono Regulr S l r r Triângulo equilátero circunscrito. r 5 5 Ângulo interno: 8 Ângulo centrl: 7 R ( + 5 ) R 5 Qudrdo R S l Ângulo interno: 9 Ângulo centrl: 9 Pentágono regulr inscrito. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

35 r l Mtemátic Triângulos lssificção qunto os ldos: Equilátero: três ldos congruentes. 6 Pentágono regulr circunscrito. Heágono Regulr 6 6 S 6 Escleno: três ldos diferentes. Ângulo interno: Ângulo centrl: 6 Isósceles: dois ldos iguis. r r θ α α = r Heágono regulr circunscrito. lssificção qunto os ângulos: cutângulo: três ângulos gudos. R R Retângulo: um ângulo reto. R F E D Heágono regulr inscrito. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 5

36 Mtemátic Otusângulo: um ângulo otuso. Meditriz meditriz de um segmento é ret trçd prtir do ponto médio do segmento e form um ângulo de 9 com esse segmento. r evins notáveis M issetriz issetriz é semirret intern, com origem no vértice de um ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos de mesm medid (congruentes). issetriz Pontos notáveis Nos triângulos eistem pontos notáveis: ricentro: encontro ds medins. Divide o triângulo em seis triângulos de áres iguis. Medin medin é o segmento de ret que lig um vértice o ponto médio do ldo oposto. T G S P R medin Medins e ricentro. ltur M ltur de um triângulo é ret perpendiculr que lig o vértice té o ldo oposto. s medins são: S, T e R. O ponto G é o ricentro. Incentro: encontro ds issetrizes. É o centro d circunferênci inscrit no triângulo. ltur I issetrizes e incentro. 6 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

37 Mtemátic Ortocentro: encontro ds lturs. Qundo tivermos dois ldos e o ângulo entre eles. S =.. sen H H H H lturs e ortocentro. ircuncentro: encontro ds meditrizes. É o centro d circunferênci circunscrit o triângulo. θ Qundo tivermos os ldos e o rio d circunferênci circunscrit. S =.. c R R O c R Áre Meditrizes e circuncentro. Podemos clculr áre do triângulo usndo fórmuls que relcionem os seus rios, seus ldos etc.: Qundo tivermos se e ltur. S =. h Áre de um triângulo. h Áre do triângulo inscrito num circunferênci. Qundo tivermos os ldos e o rio d circunferênci inscrit. S = p. r r c Áre de um triângulo circunscrito um circunferênci. Fórmul de Heron S = p (p ) (p ) (p c) c Áre de um triângulo em função dos ldos. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 7

38 Mtemátic Teorem do ângulo eterno Em qulquer triângulo o ângulo eterno é numericmente igul à som dos dois ângulos internos não djcentes ele. = + ^ Teorem ds issetrizes O teorem ds issetrizes interns diz que issetriz divide internmente o ldo o qul corresponde em segmentos proporcionis os ldos correspondentes. ^ ^ Menelus: Se, X. Y. Z X. Y. Z = então X, Y e Z estão linhdos. Relção de Stewrt Y X Teorem de Menelus. onsidere um cevin qulquer de um triângulo. Sempre vle seguinte iguldde: Z D = D D + z c = c z c Teorem de Stewrt. Teorem de ev-menelus ev: Se, Z. X. Y Z. X. Y = então X, Y e Z são concorrentes. Z P X Y Teorem de ev. ongruênci entre triângulos Dois triângulos são congruentes qundo tnto ldos qunto ângulos são ordendmente congruentes. Os csos de congruênci são: LL: qundo possuem dois ldos e o ângulo formdo entre eles congruentes. L: qundo possuem dois ângulos e o ldo eles djcente congruentes. LLL: qundo possuem os três ldos congruentes. Lo: qundo possuem um ldo, um ângulo e ângulo oposto o ldo, congruentes. Semelhnç entre triângulos Dois triângulos são semelhntes qundo possuem três ângulos congruentes, por consequênci os ldos 8 Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

39 Mtemátic opostos os ângulos serão proporcionis como tmém s cevins. Os csos de semelhnç de triângulo são: qundo possuem dois pres de ângulos respectivmente iguis; qundo possuem três ldos homólogos proporcionis; qundo possuem dois pres de ldos homólogos proporcionis e o ângulo entre eles igul. Qudriláteros Qudriláteros notáveis: Prlelogrmo Um qudrilátero é chmdo de prlelogrmo se, e somente se, possuir ldos opostos prlelos. Qudrdo S =. h P = (+) Todos os ângulos são iguis 9, os ldos são iguis e os ldos opostos são prlelos entre si, s digonis são congruentes, ortogonis e se interceptm nos respectivos pontos médios. D h Losngo Os ângulos opostos são congruentes, os ldos são congruentes, os ldos opostos são prlelos, s digonis são ortogonis e se interceptm nos respectivos pontos médios. Retângulo H P = l S = D. d D + d = d E G Os ângulos internos são congruentes e com medid igul 9º, os ldos opostos são congruentes e prlelos, s digonis são congruentes e se interceptm nos seus respectivos pontos médios. D l P = ( + h) S =. h h + = D F h P = l D = l S = l Trpézio D O trpézio present pens um pr de ldos opostos prlelos. D l S = ( + ). h D h Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções F E 9

40 Mtemátic lssificção: Trpézio Escleno: todos os ldos diferentes. Setor circulr r Trpézio Isósceles: dois ldos que não sejm de ses iguis. r Setor circulr. Trpézio Retângulo: pelo menos um dos ldos não-prlelos é perpendiculr às ses. = r = d S = r S = Oservção. r d = r ircunferênci Rio: segmento que une o centro um ponto d circunferênci (O, OD, OP). ord: segmento que une dois pontos d circunferênci (, D). rco: um prte d circunferênci. Diâmetro ( D): é um cord que cort o centro d circunferênci. É cord de tmnho máimo. Secnte (r): ret que pss por dois pontos d circunferênci. Tngente(s): ret que pss por pens um ponto d circunferênci. r s áre d coro circulr é dd por: rcos e ângulos S = (R r ) O r R oro circulr. Ângulo centrl (O): é o ângulo que tem o vértice no centro d circunferênci. medid desse ângulo é igul à medid do rco correspondente. P D ircunferênci e seus elementos. O Ângulo centrl. Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

41 Mtemátic Ângulo inscrito (P): é o ângulo que tem vértice n circunferênci. medid do ângulo inscrito é igul à metde do rco correspondente. Ângulo inscrito n semicircunferênci é de 9. V Ângulo ecêntrico eterior: é o ângulo formdo pelo cruzmento de dus secntes d circunferênci em seu eterior. medid desse ângulo é igul o módulo d semidiferenç dos rcos determindos pels secntes. PD = + D O 8º Ângulo do segmento: é o ângulo que tem o vértice n circunferênci e cujos ldos são formdos por um secnte e um tngente. medid desse ângulo é igul à metde do rco correspondente. O Ângulo ecêntrico interior: é o ângulo formdo pelo cruzmento de dus secntes d circunferênci em seu interior. medid desse ângulo é igul à semissom dos rcos determindos pels secntes. P = P = + D D + P D Outrs proprieddes importntes são: Rets prlels compreendem rcos de medids iguis. O rio é perpendiculr à tngente no ponto de tngênci. E O O Ângulo formdo entre ret tngente e o centro é reto. Dus tngentes trçds do mesmo ponto possuem medids iguis. r o r Propriedde ds tngentes. T t P D P O O ponto médio do segmento formdo pels intersecções d ret secnte um circunferênci, qundo unido, form um ângulo de 9 em relção à ret secnte. Potênci de ponto Vmos ver qui potênci de um ponto P em relção um circunferênci. Esss relções podem ser etríds trvés d semelhnç de triângulos: Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

42 Mtemátic P é interno: P. P = P. PD P é eterno: P O D Potênci de ponto interno. P é tngente: P. P = P. PD O D P Potênci de ponto eterno. O PT = P. P T Potênci d tngente. Qudriláteros inscritíveis Um qudrilátero é dito inscritível se todos os seus qutro vértices estiverem n circunferênci. Todo qudrilátero inscritível n circunferênci tem som dos ângulos opostos iguis 8 (esse qudrilátero é chmdo cíclico. + = + D = 8º P Teorem de Ptolomeu O teorem de Ptolomeu foi desenvolvido pr qudriláteros inscritíveis e pode ser escrito d seguinte form: m. n =. c +. d m Qudriláteros circunscritíveis d Um qudrilátero é circunscritível se todos os ldos forem tngentes à circunferênci. Se um qudrilátero conveo é circunscrito um circunferênci, som dos ldos opostos é igul à som dos outros dois. n c + D = D + D D Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

43 Trigonometri orrespondênci entre rcos e ângulos Um ângulo centrl é igul à medid do rco correspondente. Uniddes de medids de ângulo: º (um gru) é medid do rco equivlente 6 gr (um grdo) é medid do rco equivlente rcos côngruos são rcos com mesm etremidde. M Mtemátic Trigonometri no triângulo retângulo c Triângulo retângulo. Sendo medid de um ângulo gudo do triângulo retângulo, temos: sen = cos = tg = cotg = cteto oposto hipotenus cteto djcente hipotenus = = c cteto oposto cteto djcente = c cteto djcente cteto oposto = c º é côngruo com 8º, pois º + 6º (um volt) = 8º. sec = cossec = hipotenus cteto djcente = c hipotenus cteto oposto = prtir desss relções, podemos estelecer outrs: tg = sen cos = cotg cos sec = cos cos cotg = cos sen = tg sen cossec = sen sen Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

44 Mtemátic Senos e cossenos de ângulos notáveis 5 sen cos tg Senos e cossenos de ângulos notáveis. 6 + Triângulos quisquer Lei dos senos sen = sen = c sen = R írculo trigonométrico c O círculo trigonométrico é um circunferênci de rio unitário com centro n origem do sistem crtesino ortogonl. c R. qudrnte. qudrnte Lei dos cossenos - = + c.. c. cos  = + c. c. cos ^ c = +... cos ^ -. qudrnte. qudrnte Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções

45 Mtemátic Eios trigonométricos O eio verticl represent o seno. O eio horizontl represent o cosseno. O eio d tngente é o eio que é tngente o círculo trigonométrico no ponto (,), com origem nesse mesmo ponto. O eio d cotngente é o eio que é tngente o círculo no ponto (,) com origem nesse mesmo ponto. cotngente é definid como distânci do ponto (,) té o eio d cotngente. sen Funções trigonométrics Seno (segmento OP) hm-se função seno função f: por = f() = sen (). função seno é limitd e periódic sendo: Im = [, ] (imgem) p = (período) sen definid cos rescimento, decrescimento e sinis vrindo conforme o qudrnte: - tg - cotg qudrnte.º.º.º.º sinl + + crescimento D D - - ' P M T R S ' írculo trigonométrico e seus eios. Relção fundmentl: (sen ) + (cos ) = Gráfico d função seno. Relções decorrentes d relção fundmentl: Dividindo (sen ) + (cos ) = por (sen ) temos: + (tg ) = (sec ) Dividindo (sen ) + (cos ) = por (cos ) temos: + (cotg ) = (csc ) sos prticulres de funções envolvendo seno Sej função f:, definid por = +. sen (c + d), onde: Im = [, + ] (imgem) p = c (período) Este mteril é prte integrnte do cervo do IESDE RSIL S.., mis informções 5