CAPÍTULO 09 RELAÇÕES E FUNÇÕES

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1 CAPÍTULO 09 RELAÇÕES E FUNÇÕES INTRODUÇÃO 9.2. NOÇÃO DE FUNÇÃO Assunto Pág PRODUTO CARTESIANO RELAÇÃO de A em B (R: A B) 9.3. FUNÇÃO de A em B (f: A B) DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ZEROS ou RAÍZES de uma função FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO COMPOSTA FUNÇÃO INVERSA f 1 (x) REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f 1 (x) GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA 123 TESTES COMPLEMENTARES (20 TESTES) 125 RESPOSTAS SÉRIE AULA GABARITO TESTES COMLEMENTARES 130 QUESTÕES DISCURSIVAS (7 QUESTÕES) 131 RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS 132

2 CAPÍTULO 09 RELAÇÕES E FUNÇÕES INTRODUÇÃO Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano dependem uma da outra, isto é, a variação de uma delas tem como conseqüência a variação da outra. Exemplo 1: Angélica vende maravilhosos chup-chup ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter de fazer contas a toda hora, ela montou a seguinte tabela: Quantidade Valor (R$) 0, ,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 Exemplo 2: Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de chup-chup e o respectivo valor. A cada quantidade de chup-chup corresponde um único valor. Dizemos, por isso, que o preço é função da quantidade de chup-chup. Assim, a fórmula matemática que estabelece a relação de interdependência entre o valor (y) e a quantidade (x) será: y = 0,80.x Um automóvel está percorrendo uma estrada à velocidade constante de 120 km/h (que equivale a 2 km/min). O passageiro que vai ao lado do motorista começa a anotar, de minuto em minuto, a distância percorrida, que aparece no painel. O resultado pode ser observado na tabela abaixo. A cada instante (x) corresponde uma única distância percorrida (y). Dizemos que a distância é função do instante. A fórmula que relaciona y com x é: y = 2.x Instante (min) Distância (km) NOÇÃO DE FUNÇÃO Vamos, agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois grandezas variáveis (tais quais vistas nos exemplos anteriores) compõem conjuntos numéricos que se relacionam segundo uma lógica específica. Admitindo seu conhecimento prévio referente ao Plano Cartesiano e respectivos Pares Ordenados (x,y), vamos estudar alguns conceitos necessários à formalização da definição de função propriamente dita; entre os quais: Produto Cartesiano; Relação.

3 PRODUTO CARTESIANO 107 Dados dois conjuntos A e B, não vazios, o produto cartesiano de A por B (A X B), lê-se A cartesiano B, é o conjunto dos pares ordenados (x, y) onde x é elemento do conjunto A e y é elemento do conjunto B. A X B = { (x, y) x A e y B } Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 0, 2, 4 } A X B = { (1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4) }. Observações: O produto cartesiano A X A = A 2 ; Se A B, então A X B B X A; O número de elementos de A X B é dado por: n(a X B) = n(a).n(b), onde n(a) e n(b) são, respectivamente, número de elementos do conjunto A e número de elementos do conjunto B RELAÇÃO de A em B ( R: A B) Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação binária de A em B é um subconjunto de A X B formado pelos pares (x, y) que possuem uma relação associando o elemento x de A ao elemento y de B. Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4 }, então a relação R = { x e A X B x < y } é dada por : R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }. Observações: O Domínio de uma relação R, de A em B, é o conjunto formado pelos elementos x dos pares ordenados (x, y); A Imagem de uma relação R, de A em B, é o conjunto formado pelos elementos y dos pares ordenados (x, y). No exemplo acima: D (R) = { 1, 2, 3 }, Im (R) = { 2, 3, 4 }. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 1) (UFES) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 0, 2, 4, 5 } então o número de elementos distintos do conjunto (A X B) (B X A) é: a) 4 b) 8 c) 12 d) 20 e) 24

4 2) (U.F.Uberlândia-MG) Dados os conjuntos A = { 0, 1, 1 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 0, 1 }, temos (A B) X (C B) igual a: 108 a) { (0, 0); (0, 1) } b) { ( 1, 0); (0, 0) } c) { (0, 0); (0, 1) } d) { (0, 1); (0, 1) } e) (vazio) 3) (U.E. Londrina) sejam os conjuntos A e B tais que A X B = { ( 1; 0), (2; 0), ( 1;2), (2; 2), ( 1;3), (2;3) }. O número de elementos do conjunto A B é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4) (Mack-SP) Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, e a relação R de A em B definida por R = { (x, y) A X B y = 2x 3 }. R é representada por: a) R = { (2, 1), (3,3), (4,5) } b) R = { (1, 3), (2,5) } c) R = { (1, 2), (3,3), (5,4) } d) R = { (1, 3), (2,4), (3,5) } e) R = { (2, 2), (1,4) } 5) (CELV) Se A = { x N x 50 } e B = { (x, y) e A 2 x < y }, então o número de elementos do conjunto B é : a) b) c) d) e) 2 500

5 FUNÇÃO de A em B ( f: A B) Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f, de A em B, é uma relação que associa a cada elemento de A uma e somente uma imagem em B. Toda função f: A B é uma relação, entretanto, nem toda relação R: A B é uma função. À direita, as figuras ( 1 ) e ( 2 ) são exemplos de relações que são funções de A em B, e as figuras ( 3 ) e ( 4 ) são exemplos de relações, de A em B, que não são funções. Observações: 1) A figura ( 3 ) não representa uma f: A B, pois existe um elemento do conjunto A que não está associado a nenhum elemento do conjunto B; 2) A figura ( 4 ) não representa uma f: A B, pois um elemento do conjunto A está associado a mais de um elemento do conjunto B DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DOMÍNIO: Domínio de uma função f: A B, é o conjunto formado pelos elementos do conjunto A, ou seja, D( f ) = A. CONJUNTO IMAGEM: Conjunto Imagem de uma função f: A B, Im( f ), é o conjunto formado pelos elementos do contradomínio (B) que estão associados a elementos do domínio D( f ) = A. CONTRADOMÍNIO: Na função f: A B, é o conjunto B. Observações: Podemos afirmar, com as definições acima, que para uma relação R: A B representar uma função, cada elemento do domínio está associado a uma e somente uma imagem no contradomínio. Em outras palavras, considerando os pares ordenados (x, y) da relação-função, de A em B, um elemento x do domínio não pode estar associado a mais de um elemento y do conjunto imagem.

6 RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 110 Exemplo 1: A relação R 1 NÃO é uma função de A em B, pois existem retas verticais traçadas pelos pontos de abscissa pertencentes a A que cortam o gráfico em mais de um ponto, e isto equivale a termos para um elemento a de A mais de uma imagem b em B. Exemplo 2: A relação R 2 NÃO é uma função de A em B, pois o elemento a de A não tem correspondente em B. A reta vertical traçada por (a, 0) não corta o gráfico. Exemplo 3: O gráfico ao lado representa uma função f: A B, pois, verificando os segmentos verticais, as respectivas intersecções com o gráfico e imagens, cada elemento do domínio (D) possui uma e somente uma imagem (Im). Para sabermos se um determinado gráfico cartesiano representa uma função ou não, basta verificarmos se toda reta vertical traçada pelos pontos (x, 0), em que x é elemento do domínio, corta o gráfico num único ponto. Observação: No diagrama cartesiano de uma relação, função ou não, a projeção ortogonal do gráfico no eixo horizontal informa seu domínio e a projeção no eixo vertical informa o conjunto imagem relacionado.

7 CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS A determinação de uma imagem f(a) de uma função f(x), quase sempre, não se resume na substituição direta de x = a na lei de definição desta função. É comum o desenvolvimento de cálculos aliando o raciocínio lógico aos conhecimentos de seqüências numéricas (principalmente, progressões aritméticas), entretanto, outras seqüências, com leis de formação próprias, podem surgir. Exemplo 1: (UFLA) Seja f: R R uma função tal que f(x + 1) = f(x) + 4 para todo x em R. Sabendo-se que f(0) = 2, o valor de f(3) é: a) 4 b) 0 c) 8 d) 14 e) 16 Resolução: f(x + 1) = f(x) + 4 x = 0 f(0 + 1) = f(0) + 4 f(1) = f(1) = 6 x = 1 f(1 + 1) = f(1) + 4 f(2) = f(2) = 10 x = 2 f(2 + 1) = f(2) + 4 f(3) = f(3) = 14 Resposta: f(3) = 14 (alternativa d) Exemplo 2: (UFMG) Uma função f: R R é tal que f(5x) = 5.f(x) para todo número real x. se f(25) = 75, então o valor de f(1) é: a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45 Resolução: Para encontrarmos f(1) podemos armar a seguinte estratégia para f(5x) = 5.f(x) : Se x = 1 f(5.1) = 5.f(1) f(5) = 5.f(1) f(1) = f(5) / 5... (1) Neste caso vamos precisar do f(5)... conhecemos o f(25) = 75, lembra? Se x = 5 f(5.5) = 5.f(5) f(25) = 5. f(5) 75 = 5.f(5) f(5) =15 Então, em (1): f(1) = 15 / 5 f(1) = 3 (alternativa a) Exemplo 3: (Viçosa-MG) Seja a função real f tal que f(x + 2) = f(x) + 5/6 e f(0) = 5/4. Pode-se afirmar que f(12) vale: a) 77/6 b) 25/4 c) 65/6 d) 53/4 e) 19/12 Resolução: Para f(x+2) = f(x) + 5/6 : f(0) = 5/4 x = 0 f(0 + 2) = f(0) + 5/6 f(2) = 5/4 + 5/6 f(2) = 25/12 x = 2 f(2 + 2) = f(2) + 5/6 f(4) = 25/12 + 5/6 f(4) = 35/12 x = 4 f(4 + 2) = f(4) + 5/6 f(6) = 35/12 + 5/6 f(6) = 45/ Assim, como 5/4 é o mesmo que 15/12: f(0) f(2) f(4)... f(12) 15/12 25/12 35/12...? Verificamos que as imagens f(0), f(2), f(4),..., encontram-se em progressão aritmética de razão 10/12, ou seja, 5/6... f(0) f(2) f(4)... f(12) 15/12 25/12 35/12...? a 1 a 2 a 3 a 7 Na P.A., a 7 = a r a 7 = 15/ (10/12) a 7 = 15/ /12 a 7 = 75/12 Atenção: O primeiro termo da PA é o f(0) e as posições estão ordenadas de dois em dois: f(0), f(2), f(4)..., o f(12) será o 7º termo da seqüência, concorda? a 7 = 25/4 (alternativa b).

8 Exemplo 4: (Cesgranrio) Se então f(101) é: f ( n 2 f ( n ) 1 1 ), para n = 1, 2, 3,... e se f(1) = 2, 2 a) 49 b) 50 c) 51 d) 52 e) Resolução: Sabemos que muitas questões envolvendo cálculos especiais de imagens recaem em uma progressão aritmética; A identificação da P.A. pode ser facilitada se a função envolvida apresentar, em sua expressão matemática, um número sendo somado (ou subtraído), entretanto, isso não garante que a seqüência numérica é uma progressão aritmética; Basta, então, planificar a seqüência de pelo menos três termos consecutivos numa tabela e analisar a fórmula do termo geral envolvida. No teste anterior, a P.A. fica configurada facilmente, contudo, uma atenção especial deve ser adotada em casos onde ocorre f(0) posição zero. Neste teste da Cesgranrio: f ( n 1 ) 2 f ( n ) 2 1 f ( n f ( n 1 ) 2 f ( n ) ) f ( n )... (1) 2 Analisando as imagens da função como termos de uma seqüência numérica: O termo da posição seguinte é igual ao termo anterior mais um número fixo (razão = 1/2). Trata-se de uma Progressão Aritmética, onde a 1 = f(1) = 2 e a razão r = 1/2. Assim: f(101) = f(1) r f(101) = (1/2) f(101) = 52. (alternativa d)

9 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 113 6) (UFMG) das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x), x [a, b] é: a) d) b) e) c) 7) (UFMG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem { y R 1 y 4 } e domínio { x R 0 x < 3 } é: a) c) e) b) d)

10 8) (Unisinos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função 22 x f ( x ), em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros x Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam, é: a) 300 b) 340 c) 400 d) 420 e) 460 9) (Unifor-CE) certo economista supõe que, em uma população de f famílias, o número N de 2 f famílias cuja renda excede x reais é uma função da variável x dada por N. x De acordo com essa função, quantas são as famílias brasileiras cuja renda excede reais? (suponha que há de famílias no país.) a) de famílias. b) Entre 5% e 9% das famílias. c) Entre 1% e 5% das famílias. d) Menos que 1% das famílias. e) famílias. 10) (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa falsa relativa ao gráfico é: a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia. c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) Para ingestões de 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. 11) (UFES) Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são descritas, no período de 10 meses, pelos gráficos abaixo: Assinale a alternativa correta: a) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C. b) No quinto mês, havia menos de peixes nesse tanque. c) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se crescentes. d) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês. e) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A. 114

11 12) (UF-MA) Seja f: R R uma função, tal que 2 f (2x + 1)= f(x) 5 para todo x real. O valor de f(0), sabendo-se que f(31) = 0, é: a) 255 b) 0 c) 150 d) 75,5 e) ) (Uneb-BA) ) Para uma função f: R R, que satisfaz as condições I. f(x + y) = f(x) + f(y) II. f(1) = 3, O valor de f(3) é igual a: a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS Na maioria das vezes, uma função f fica definida por uma única sentença matemática, mas pode também ser definida por várias sentenças. Exemplo 1: Seja a função f: R R definida por 1 para x 2 f ( x ) 1 para x 2 O gráfico cartesiano desta função é: Exemplo 2: Seja a função f: R R definida por f ( x ) x 3 se x 1 2 se 1 x 2 x se x 2 O gráfico cartesiano desta função é: ZEROS ou RAÍZES de uma função Dada uma função y = f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa função.

12 Observações: 1) Teorema de Bolzano Seja f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e (a, b) um intervalo real aberto: Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo (a, b); Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar de raízes reais da equação no intervalo (a, b) ) Teorema das Raízes Irracionais Numa equação polinomial com coeficientes racionais, se ( m n ) for raiz irracional, então ( m n ) também o será, com m e n racionais FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Considerando que x 1 e x 2 pertençam a um intervalo [a, b] contido no domínio de f(x), dizemos que, neste intervalo, f(x) será: Crescente: se e somente se x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ); Decrescente: se e somente se x 2 > x 1 f(x 2 ) < f(x 1 ).

13 117 Exemplo 1: Seja a função f de A = { x R x 0 } em B = { y R y 1 }, definida pela lei y = x Pelo gráfico de f(x): Para x 1 = 1 temos f(x 1 ) = 2 Para x 2 = 2 temos f(x 2 ) = 5 Então: x 2 > x 1 e f(x 2 ) > f(x 1 ). Nesse caso, dizemos que a função é crescente no intervalo considerado. Exemplo 2: Seja a função f de A = { x R x 1 } em B = { y R y 4 }, definida pela lei y = x 2 + 2x + 3. Pelo gráfico de f(x): Para x 1 = 1 temos f(x 1 ) = 4 Para x 2 = 2 temos f(x 2 ) = 3 Então: x 2 > x 1 e f(x 2 ) < f(x 1 ). Nesse caso, dizemos que a função é decrescente no intervalo considerado. Observações: 1) Algumas funções podem ser crescentes em certos intervalos e decrescentes em outros, por exemplo: f(x) = x ) Existem funções que não são nem crescentes nem decrescentes; toda função com esta característica é denominada função constante. A função f(x) = 3, por exemplo, representada pelo gráfico ao lado, não é nem crescente nem decrescente no intervalo [ 3, 3 ].

14 9.4. FUNÇÃO COMPOSTA Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e C = { 0, 1, 4, 9, 16 }, vamos considerar as funções: f: A B definida por f(x) = 2x g: B C definida por g(x) = x Através de uma função h(x): A C, composta de g e f é possível levar cada elemento de A diretamente a C, como vemos no esquema ao lado. A função h(x) pode ser obtida aplicando f(x) aos elementos de A; em seguida, essas imagens são transformadas para g(x), ou seja: (A B) C = A C. x = 0 f(0) = 2.(0) f(0) = 0 g(0) = (0) 2 g(0) = 0 h(0) = 0 x = 1 f(1) = 2.(1) f(1) = 2 g(2) = (2) 2 g(2) = 4 h(1) = 4 x = 2 f(2) = 2.(2) f(2) = 4 g(4) = (4) 2 g(4) = 16 h(2) = 16 Genericamente: h(x) = g ( f(x) ) ou h(x) = g o f(x) ) ou h(x) = (g o f)(x) A função h(x) representa a função g composta com f.

15 EXEMPLOS RESOLVIDOS 119 Exemplo 1: (Cesgranrio) Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 3. O valor de g ( f(3) ) é: a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resolução: x = 3 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 7 g ( f(3) ) = g ( 7 ) g ( f(3) ) = (7) 3 g ( f(3) ) = 4. (alternativa e) Exemplo 2: (P. Bucchi) Sejam as funções f e g de R em R, definidas por f(x) = x + 5 e g(x) = x 5. O conjunto solução da equação ( f o g )(x) = 3 é: a) S = b) S = { 3 } c) S = { 5, 5 } d) S = { 5, 3 } e) n.d.a. Resolução: ( f o g )(x) = 3 ( g(x) ) + 5 = 3 ( x 5 ) + 5 = 3 x = 3 S = { 3 }. (alternativa b) Exemplo 3: (UFPA) Dadas as funções f ( x ) x 3 e g(x) = x 2 1, o valor de (g o f)(0) é: Resolução: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 2 ( g o f )(0) = g ( f(0) ) f(0) = ( g o f )(0) = g ( 3 ) ( g o f )(0) = ( 3 ) 1 ( g o f )(0) = 2. (alternativa e) Exemplo 4: (UCSal-BA) Sejam f e g funções de R em R de modo que f(x) = 2x 3 e f(g(x)) = 4x + 1. nessas condições, g( 1 ) é igual a: a) 5 b) 4 c) 0 d) 4 e) 5 Resolução: f(g(x)) = 4x + 1 2( g(x) ) 3 = 4x g(x) 3 = 4x + 1 g(x) = 2x + 2 g(x) = 2x + 2 g( 1 ) = 2 ( 1 ) + 2 g( 1 ) = 4. (alternativa d) Exemplo 5: (P. Bucchi) Seja uma função tal que f (2x 3) = 4x 2 + 5, para todo x real. Determine f(x). Resolução: t 3 Fazendo 2x 3 = t x 2 f(2x 3) = 4x f ( t ) = 4x t 3 f ( t ) f ( t ) = t 2 + 6t + 14 Como t representa um número real qualquer, podemos eventualmente trocá-lo pela variável x. Portanto, f(x) = x 2 + 6x + 14.

16 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA ) (UFRN) Se f(x) = x 2 1, então f(x) é crescente no intervalo: a) [ 0, + [ b) [ 1, 1 ] c) [ 1, + [ d) ], 1 ] e) ], 0 ] 15) (FGV-SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2 1. Então, as raízes da equação f(g(x)) = 0 são: a) inteiras b) negativas c) racionais não inteiras d) inversas uma da outra e) opostas. 16) (PUC-SP) Se f(x) = 3x 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale: a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5 17) (UFRN) Seja f uma função real de variável real. Se f(x + 3) = x 2 + 2, então f( 1) é igual a: a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 48 18) (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x + 3) = x + 1 e f(g(x)) = 2x. Então o valor de g(0) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

17 19) (Mack-SP) Na figura, temos o gráfico de uma função f. Desse modo, f(f(1)) vale: a) 3 b) 1 c) 1/2 d) 1/2 e) ) (UFES) Sejam f, g: R R funções tais que g(x) = 3x + 6 e (f o g)(x) = x 2 1 para cada x R. Então o valor de f em zero é: a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) FUNÇÃO INVERSA f 1 (x) Existem funções que, sob certas condições, originam outras funções. Quando uma função f : A B origina uma outra função, de B A, ou seja, com domínio e contradomínio iguais, respectivamente, ao contradomínio e ao domínio de f, tal função originada é denominada função inversa da função f, a qual indicamos, geralmente, por f 1. Pela definição de função, vista no item 9.3, uma função f : A B será inversível, ou seja, possuirá inversa f 1 se, e somente se: D (f 1 ) = Im ( f ) Im (f 1 ) = D ( f ) Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 0, 2, 4 }, B = { 1, 5, 9 } e as seguintes funções: f : A B, definida por f(x) = 2x + 1 x 1 g : B A, definida por g(x) = 2 D ( f ) = { 0, 2, 4 } Im ( f ) = { 1, 5, 9 } f = { (0, 1), (2, 5), (4, 9) } D ( g ) = { 1, 5, 9 } Im ( g ) = { 0, 2, 4 } g = { (1, 0), (5, 2), (9, 4) }

18 REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f 1 (x) O novo y é a função inversa f 1 (x) 122 Em y = f(x), trocar x por y e y por x, obtendo-se x = f(y) Isolar a variável y, obtendo-se, então, f 1 (x). Exemplo 1: Determine a inversa da função f(x) = 2x 3. Resolução: Portanto, f 1 (x) = x 3 2 Exemplo 2: Seja uma função f: R { 1/2 } R { 3/2 }, definida por Determine a inversa da função f. Resolução: 3 x 5 3 x 5 f ( x ) y 2 x 1 2 x 1 3 y 5 Trocando de variável, vem: x 2 y 1 Isolando y, temos: x(2y + 1) = 3y 5 2xy + x = 3y 5 2xy 3y = x 5 x 5 y.(2x 3 ) = x 5 y = f 1 x 5 (x) =. 2 x 3 2 x 3 f ( 3 x 5 x ). 2 x 1 Observações: 1) O resultado encontrado poderia ter sido arrumado da seguinte forma: f 1 x 5.( 1 ) (x) = f 1 x 5 (x) = ; 2 x 3.( 1 ) 3 2 x Resposta: f 1 x 5 (x) = 3 2 x 2) Atente-se às informações do enunciado referentes ao domínio e ao contradomínio da função f e conclua sobre a existência da função f 1 (x).

19 GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA x 1 1 Vamos tomar como exemplo as funções f ( x ) e f ( x ) 2 x Observe que para cada par (x, y) f tem-se (y, x ) f -1. Então podemos concluir:? O gráfico de uma função f(x) e o de sua inversa f 1 (x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Por meio de simetria, podemos, a partir do gráfico de uma função inversível dada, construir o gráfico da função inversa correspondente.

20 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA x 21) (UFAL) Seja f a função de R em R, dada por f ( x ) 2. Se f 1 é a função inversa de 3 f, então f 1 (1) é igual a: a) 3 b) 1/3 c) 3 d) 6 e) ) (UFSE) Seja a função f : IR B IR, definida por 2 inversa f 1, o domínio de f 1 é: f ( x ) 1. Se f admite 2 x 1 a) R { 2 } b) R { 1/2 } c) R d) R + e) R { 0 } 23) (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função a) b) c) d) e) f f f f f x 3 ( x ) 2 x 1 2 x 1 ( x ) x x ( x ) 3 x 3 x 1 ( x ) x 2 3 x 1 ( x ) 2 x f ( 2 x 1 x ) é: x 3 3 x 2 24) (P.Bucchi) Seja f a função definida por f ( x ), com 4 x 1 1 x 2 tais que f ( x ), são, respectivamente: ax b a) 3 e 4 b) 4 e 3 c) 4 e 3 d) 4 e 3 e) 4 e 3 1 x. Os valores de a e b, 4

21 125 25) (Fafi-MG) Se o gráfico de f é, então o gráfico de f 1 é: a) b) c) d) TESTES COMPLEMENTARES 1) (PUC-RS) Seja R a relação de A = { x Z 3 < x 5 } em B = { x Z 2 x < 4 }, definida por x 2 = (y 1) 2 com x A e y B. O conjunto imagem de R é: a) { x Z 2 x < 4 } b) { x Z 2 x < 4 } c) { x Z 2 x 4 } d) { x Z 3 x < 4 } e) { x Z 3 x 4 } 2) (Mack-SP) Sejam A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 4, 5 } e a relação R = { (x, y) A X B y = 2x 1 }. O domínio e a imagem dessa relação são, respectivamente: a) { 1, 3 } e { 1, 5 } b) { 0, 1, 2 } e { 2, 4 } c) { 0, 1, 2, 3 } e { 1 } d) A e B e) n.d.a. 3) (Santa Casa-SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A X B tem 12 elementos, então A B pode ter, no máximo: a) 7 elementos b) 8 elementos c) 11 elementos d) 121 elementos e) 13 elementos

22 4) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período , realizado pelo Seade Dieese, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego: 126 Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado: a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. d) no período de , a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e ) (UFRS) A taxa de crescimento natural de uma população é igual à diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade, cujas evoluções estão representadas no gráfico a seguir. Dentre as opções abaixo, a maior taxa de crescimento natural da população ocorreu no ano de: a) 1881 b) 1900 c) 1930 d) 1955 e) 1993

23 127 6) (Covest-PE) Analisando o gráfico que representa a taxa média mensal de desemprego na região metropolitana do Recife em 1996 (dados do IBGE), é incorreto afirmar que: a) A taxa de desemprego não cresceu entre janeiro e abril. b) a menor taxa de desemprego ocorreu em dezembro. c) Durante o ano de 1996, a taxa de desemprego não excedeu 5%. d) A média anual de desemprego em 1996 foi superior a 3%. e) A média anual de desemprego em 1996 foi inferior a 7%. 7) (Funrei-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real de variável real y = f(x): Considerando os elementos desse gráfico, analise as afirmativas seguintes: I. A função f em questão possui exatamente 3 raízes reais. II. A função f é crescente no intervalo [ 1/4, 7/3 ]. III. A função f é decrescente no intervalo [ 10/3, 9/2 ]. IV. f(3) + f(1) < f(2) + f(5). V. f(19/3) + f( 19/3) = 0 De acordo com esses dados, a alternativa correta é: a) Todas as afirmativas são falsas. b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Apenas a afirmativa V é falsa. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

24 8) (Fatec-SP) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a 1 x anos, em f ( x ) x habitantes. Estima-se que, durante o 3º ano, essa 2 população: a) se manterá constante; b) aumentará em até 125 habitantes; c) aumentará em até 250 habitantes; d) diminuirá de até 125 habitantes; e) diminuirá de até 250 habitantes; 9) (UFMG) Seja f: R R uma função tal que f(x + 1) = 2.f(x) 5 e f(0) = 6. O valor de f(2) é: a) 0 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12 2 x 3 10) (UF-CE) Considere a função real definida por f ( x ), x 3/ x 3 2 Então o valor da soma 1.f(1) + 2.f(2) + 3.f(3) f(20) é: a) 120 b) 600 c) 210 d) 620 e) ) (F.Carlos Chagas-MG) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então m é igual a; a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 12) (Vunesp-SP) Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 2x 5, então g(f(2)) é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 13) (UFES) Se f: R R, dada por f(x) = mx + n, com m 0, é tal que f(f(x)) = 2.f(x) para todo x real, então m + n é igual a: a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 2 128

25 14) (UFES) Se f(x) = x e g(f(x)) = x, então: x a) g( x ) x b) g( x ) x 1 c) g(x) = x d) g( x ) x 1 e) g(x) = x 3 1 x 5 15) (UFES) Seja f a função dada por f ( x ), para x real diferente de 2 x 3 função tal que g(f(x))=x para todo x do domínio de f, então g(1) vale: a) 5/3 b) 3 c) 4 d) 8 e) 2/5 3. Se g é a 2 16) (F.Visconde de Cairu-BA) dada a função f(g(x)) = 4x 1 e g(x) = 2x + 3, pode-se afirmar que: a) f(x) = x 7 b) f 1 (0) = 0 c) f(3) = 5 d) f 1 (3) + f(3) = 4 e) f 1 (1) + g(2) = ) (Cesgranrio) Sejam f: ] 0, + [ ] 0, + [ a função dada por f(x) = a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4 inversa de f. O valor de f 1 no ponto 4 é: 1 e f 1 a função 2 x 18) (UEPI) Sejam f e g funções reais de variável real tal que f(x) = 2x + 3 e (f o g)(x) = 6x + 5. Se g 1 indica a inversa da função g, então g 1 (1) é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19) (Mack-SP) A função f, definida em R { 2 }, dada por a) 2 b) 2 c) 1 d) 1 e) n.d.a. O seu contradomínio é R { a }. O valor de a é: f ( 2 x x ) é inversível. 2 x

26 130 20) (Cesesp-PE) Seja f: R R a função dada pelo gráfico seguinte: Identifique a alternativa que corresponde ao gráfico da função inversa de f: a) d) b) e) c) RESPOSTAS SÉRIE AULA 1 D 6 E 11 C 16 D 21 C 2 B 7 C 12 E 17 B 22 E 3 B 8 A 13 D 18 C 23 E 4 A 9 C 14 A 19 A 24 D 5 A 10 C 15 E 20 C 25 A GABARITO TESTES COMPLEMENTARES 1 B 6 C 11 D 16 D 2 A 7 D 12 C 17 B 3 E 8 B 13 B 18 A 4 D 9 D 14 B 19 D 5 D 10 E 15 D 20 C

27 131 QUESTÕES DISCURSIVAS D1) (UFMG) Seja f: N Z a função definida por: f (0) = 2 f (1) = 3 f (n + 1) = 2.f (n) f (n 1) Determine o valor de f (3). D2) (UFMG) Observe a tabela abaixo: Essa tabela é utilizada para calcular o imposto de renda a ser pago à Receita Federal por um trabalhador assalariado no mês em questão. Para se obter o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair de seu rendimento bruto todas as deduções a que ele tem direito. Ao rendimento para base de cálculo aplica-se a alíquota correspondente e, em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir, também correspondente, de acordo com a tabela, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Nesse mês, um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 2 000,00, teve direito somente às seguintes deduções: R$ 90,00 por dependente e R$ 200,00 pagos à Previdência. Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por esse trabalhador, nesse mês, foi de R$ 108,00, qual foi o número de dependentes considerado? D3) (Unicap-PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p 1 ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes. Daqui a t anos, a população será de p(t) = ,1t 2. a) Atualmente, qual é a taxa de monóxido no ar? b) Qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a 4 anos? c) Daqui a quanto tempo a concentração do monóxido será de 9 ppm? d) Determine o nível de monóxido em função do tempo. D4) (FEI-SP) Sendo f(2x + 3) = 4x 2 + 6x + 1, x R, determine f(1 x). D5) (Faap-SP) Qual o valor de k que torna as funções de R em R definidas por f(x) = kx 1 e x 1 g( x ) inversas uma da outra? 2

28 x 1 D6) (UFSC) Sejam as funções f ( x ), definida para todo x real e x 1, e g(x) = 2x + 3 x 1 definida para todo x real, de modo que exista a composta f o g. Analise as seguintes afirmações: 1 a) Para todo x R { 0, 1 } tem-se f f ( x ) x. b) O domínio de f o g é R { 1 }. c) Os gráficos de g e de g 1 interceptam-se em um único ponto do 2º quadrante. 132 D7) (UFPR) No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a t função h definida por h( t ), com t 0, relaciona a 10 altura da estalagmite (em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o início de sua formação. Analise as seguintes informações: a) A função inversa de h é definida por h 1 ( t 10 ). t b) Serão necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite. c) h (h 1 (50)) = 50. RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS D1 f (3) = 5 D2 2 dependentes D3 a) 4 ppm b) 4,8 ppm c) 10 anos d) C(t) = 4 + 0,05 t 2 D4 f(1 x) = x 2 + x 1 D5 k = 2 D6 a) Verdadeira b) Verdadeira c) Falsa; interceptam-se em ( 3, 3) III Q. D7 a) Falsa; h 1 (t) = 10t b) Verdadeira c) Verdadeira