XXXVII SBPO - XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional: 27-30/setembro/2005, Gramado/RS MINICURSO

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1 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R XXXVII BO - XXXVII mpóso Braslero de esqusa Operacoal: 7-30/setembro/005, Gramado/R MIICURO UMA ITRODUÇÃO À TEORIA DA AMOTRAGEM COM ALICAÇÕE EM EQUIA ELEITORAI Gutemberg Hespaha Brasl Atoo Ferado êgo e lva Departameto de Estatístca -UFE/E CADA ELEIÇÃO É UMA ELEIÇÃO CADA ELEIÇÃO TEM UMA HITÓRIA DIFERETE DA OUTRA Motes Cosagrados as Eleções

2 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R XXXVII BO - XXXVII mpóso Braslero de esqusa Operacoal: 7-30/setembro/005, Gramado/R UMA ITRODUÇÃO À TEORIA DA AMOTRAGEM COMALICAÇÕE EM EQUIA ELEITORAI Gutemberg Hespaha Brasl Atoo Ferado êgo e lva Departameto de Estatístca (UFE/E) REUMO O m-curso á orgazado em duas partes A prmera descreve o básco da teora atístca da amostragem, com todas as deduções e exemplos: cocetos báscos e defções, por que e como coletar amostras, a amostragem probablístca, a amostragem aleatóra smples e a amostragem aleatóra ratfcada e outros tpos de deseho amostral usados em pesqusas de opão Expõe-se também um deseho dferete dos tradcoas, que supõem que o voto ea relacoado fortemete a característcas da população tas como dstrbuções etáras, de reda e sexo A metodologa baesaa procura selecoar aqueles locas que seam mas represetatvos do comportameto polítco da população Idetfcam-se os locas (mucípos, áreas, barros e/ou agregações de barros, etc) mas represetatvos da população votate, o setdo de que o comportameto do voto assumdo pelos eletores des locas, sea o mas smlar possível ao comportameto da população de toda a área cosderada, adotado-se como crtéro uma medda de dvergêca, e costrudo-se uma "herarqua de smltudes", para selecoar os locas "mas represetatvos" da área em udo A seguda parte apreseta como a teora se aplca em pesqusas eletoras mplfcadamete, uma pesqusa eletoral ada mas é do que uma tetatva de avalar, através de um procedmeto amostral, as teções de voto do eletorado em uma dado mometo do processo de decsão de voto do eletor, até a sua crstalzação, sto é, até a sua decsão deftva Uma pesqusa pode ser cosderada como uma fotografa statâea da realdade; a teora da amostragem é a técca atístca desevolvda para tratar apropradamete do problema da seleção das amostras Assm, descrevem-se: as metodologas das pesqusas eletoras, erros em pesqusas eletoras, e algus exemplos de pesqusas eletoras realzadas os íves mucpal e adual ALAVRA CHAVE: Amostragem esqusa de Opão Metodologas Clássca e Baesaa revsão Eletoral Campahas olítcas Meddas de Iformação 633

3 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R UMÁRIO ITRODUÇÃO GERAL 4 ARTE ITRODUÇÃO À TEORIA DA AMOTRAGEM 5 Itrodução à Teora da Amostragem Clássca 5 Itrodução 5 Cocetos Báscos e Defções 6 3 or que Coletar Amostras? 9 4 Como Devemos Amostrar? 5 Amostragem robablístca 3 5 Amostragem Aleatóra mples 6 5 Amostragem Aleatóra Estratfcada 40 Metodologa Baesaa para esqusas Eletoras 73 Itrodução 73 rocedmeto para eleção de Locas 73 3 Aálse Baesaa do Modelo 77 ARTE ALICAÇÕE EM EQUIA ELEITORAI 87 3 Metodologas das esqusas Eletoras 88 3 O que gfca uma esqusa de Opão úblca Eletoral? 88 3 esqusas de Opão úblca (opo pools) Deseho da Amostra Deseho Amostral: Metodologa Clássca Deseho Amostral: Metodologa Baesaa 9 36 Quoáros e laeameto de esqusas Eletoras 9 4 Erros em esqusas Eletoras 93 4 Itrodução e Exemplos 93 4 Quões Ifluetes os Levatametos Estatístcos Amostras Erros em esqusas por Amostragem Aprededo com os Erros em esqusas Eletoras Cometáros: Idecsos e esqusas Eletoras 08 5 esqusas eletoras: Metodologas Clássca e Baesaa 09 5 Estudos de Caso o Estado do Espírto ato 09 5 Metodologa Baesaa: Eleções de Govero e eado do E 5 53 Motorameto de Eleções Mucpas o Mucípo de Guarapar/E Metodologas Clássca e Baesaa 54 Eleções Mucpas o Mucípo da erra/e, 996, Metodologas 30 Clássca e Baesaa 55 esqusa Eletoral o Espírto ato, setembro/ Aálse dos Resultados da Eleção 00, Govero E, va Metodologa 4 Baesaa 6 Cometáros e Dscussão 47 7 Referêcas

4 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R ITRODUÇÃO GERAL ara o seso comum, o uso da termologa pesqusas atístcas á frequetemete assocado a pesqusas de opão públca utlzado métodos atístcos Mas especfcamete, refere-se ao uso de amostras selecoadas obetvado a realzação de ferêcas sobre alguma população Em períodos eletoras essa assocação é mas evdete É o que tetamos apresetar e trabalho mplfcadamete, uma pesqusa eletoral ada mas é do que uma tetatva de avalar, através de um procedmeto amostral, as teções de voto do eletorado em uma dado mometo do processo de decsão de voto do eletor, até a sua crstalzação, sto é, até a sua decsão deftva Desse modo, uma pesqusa retrata apeas a realdade statâea, relatva ao mometo da pesqusa Deve, em prcípo, ser utlzada com cautela como uma prevsão do resultado fal da eleção, pos o processo de crstalzação do voto até o da das eleções á sempre sueto a perturbações de todo tpo, sea pelo própro movmeto sóco-ecoômco, sea pelas agressões etre os dversos caddatos partcpates Outro poto mportate é que as pesqusas ão são apeas útes para dcar "quem á a frete", as formações geradas por uma boa pesqusa podem servr para drecoar todas as ratégas do caddato a campaha Como vmos, uma pesqusa pode ser cosderada como uma fotografa statâea da realdade; a teora da amostragem é a técca atístca desevolvda para tratar apropradamete do problema da seleção das amostras A teora da amostragem e a hstóra das sodages de opão em dversos países do mudo demostram que, através de um procedmeto amostral bem plaeado, e bem executado, é realmete possível fazer ferêcas bastate precsas a respeto de um uverso com mutos eletores a partr de apeas algumas etrevstas A ecooma de tempo e recursos é o que vablza a utlzação das pesqusas eletoras que, se bem coduzdas teccamete, podem levar a resultados sem preuízos excessvos em termos de tdez Orgazação O m-curso á orgazado em duas partes A prmera descreve o básco da teora atístca da amostragem: cocetos báscos e defções, por que e como coletar amostras, a amostragem probablístca, a amostragem aleatóra smples e por fm a amostragem aleatóra ratfcada; efm o ferrametal fudametal da amostragem clássca Além dsso, descreve suctamete uma outra metodologa de amostragem que usa argumetos baesaos A seguda apreseta como a teora se aplca a pesqusas eletoras: as metodologas das pesqusas eletoras, os erros em pesqusas eletoras, e algumas pesqusas eletoras o Estado do Espírto ato a seção fal algus cometáros stétcos são fetos à gusa de coclusão 635

5 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R ARTE ITRODUÇÃO À TEORIA DA AMOTRAGEM ITRODUÇÃO À TEORIA DA AMOTRAGEM CLÁICA ITRODUÇÃO A amostragem cetífca vem sedo utlzada com sucesso desde meados do século XX Algumas obras mportates geraram luz sobre ovos cocetos e problemas surgdos gerado uma sólda teora Algumas delas são: Hase, Hurwtz ad Madow (953), Demg (960), Ksh (965), Moser ad Kalto (97), Ra (97), Cochra (977) Um lvro bastate acessível é Barett (99), ample urve: rcples ad Methods, que apreseta além da teora atístca um capítulo sobre como executar um levatameto amostral Bolfare e Bussab (994) é uma referêca em lígua portuguesa (recetemete publcado como lvro) a parte de trabalho, procuramos apresetar algus dos prcpas cocetos utlzados a teora da amostragem, os prcípos báscos, e váras demostrações detalhadas, usualmete ão ecotradas em lvros texto O capítulo, especfcamete, trata da amostragem mas frequetemete aplcada pelas empresas e sttutos de pesqusa de opão o capítulo apresetamos uma abordagem alteratva que vem sedo aplcada em pesqusas eletoras 636

6 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R COCEITO BÁICO E DEFIIÇÕE amplg uve: Levatameto por Amostragem opulação Alvo ( Target opulato ) É a população fta total sobre a qual deseamos formações Exemplo: todos os oves de 6 aos do E opulação em Estudo É o couto fto básco de dvíduos que pretedemos udar Exemplo: todos os oves de 6 aos cuo edereço pertece às áreas urbaas dos mucípos do E, ou de qualquer outro ado braslero, ode se ea fazedo o levatameto por amostragem A população em udo pode ser mas reduzda ou mas fácl de acessar, população a, cuas propredades esperamos poder explcar (ou extrapolar) para a população alvo Característca opulacoal É o aspecto da população que deseamos medr or exemplo, a proporção de oves de 6 aos de dade que exercerá o seu dreto de voto as próxmas eleções Esta característca expressa alguma agregação da população em relação a como a vara de um dvíduo para outro Cada dvíduo cotrbu com sua parcela (um úmero de descrção qualtatva) para alguma medda de teresse (teção de votar as eleções, etc) Como sso pode varar de dvíduo para dvíduo, ós usamos o termo varável de teresse A característca populacoal, também cohecda como parâmetro populacoal, geralmete será um total, uma méda ou uma proporção da varável (medda) sobre a população Udades Amostras As udades amostras, em grade parte dos levatametos, são represetadas pelos própros dvíduos, es casos são geralmete chamadas de udades elemetares Em algumas stuações, mesmo que osso teresse se recaa sobre os dvíduos, ão podemos selecoar es dvíduos de uma forma tão trval (talvez ão haa uma lsta a qual recorrermos) esses casos, as udades amostras podem ser as famílas, em outros as escolas, os locas de trabalho, etc depededo do tpo de levatameto o caso dos oves de 6 aos de dade, poderíamos acessá-los, prcpalmete as escolas, mas ão exclusvamete, cludo-se os locas de trabalho, as suas resdêcas, etc 637

7 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Assm, os membros potecas da amostra, as udades amostras, podem ter formas dferetes A escolha deve ser feta o íco do levatameto, á que pode afetar a operacoalzação dos métodos amostras Algus são mas adequados a determados tpos de seleção que outros or exemplo, supoha que deseemos coduzr um levatameto sobre os gastos famlares em alguma cdade Embora os dvíduos em ossa população em udo seam famílas, algumas defções covecoas de famíla devem ser adotadas Do mesmo modo, ão há ehum meo trval ou fácl de acessarmos tas udades famlares aturalmete As famílas ão ão dspoíves as ruas para serem etrevstadas Logo, o edereço vem a ser a udade amostral, mesmo que a população de edereços ão sea de teresse prcpal Quadro ou Grade ou Moldura Amostral (deseho ou lao) Assm, a fote de ossa amostra é o couto das udades amostras Esta é chamada de grade amostral ou moldura de amostragem, que é smplesmete a fote ou lsta de ode será selecoada a amostra Algumas vezes as udades amostras podem ser os dvíduos membros da população (em) udo Mutas vezes ão o será e o quadro amostral é a subdvsão mas grossera da população udada, com cada udade amostral cotedo um couto dstto de membros da população Lsta ara se usar o quadro amostral como matéra prma da qual retraremos ossa amostra, devemos ar aptos a detfcar as udades amostras Realmete, o quadro ou moldura amostral é escolhdo tedo sto em mete Uma lsta de melhor qualdade, cotedo todas as udades amostras, pode exstr, tal como, a lsta de edereços da cdade, ou a dos aluos matrculados em uma Uversdade, ode queremos udar os hábtos de letura, uso de computadores, etc De posse de tal lsta é partcularmete fácl escolher a amostra Mas se ehuma lsta adequada é acessível para cosulta, devemos pelo meos obter ou motar uma lsta cocetual or exemplo: em um udo de hábtos de letura e uso de computador pelos aluos de uma regão, podemos ão possur a lsta de toso os udates, o etato podemos ter acesso a uma lsta de escolas e posterormete das séres/cursos que fucoam em cada escola Esta lsta pode ser sufcete para gerar a formação que queremos obter e cosegur acessar os udates para o osso levatameto Tas dstções são mportates para mplemetação de levatametos por amostragem Algus problemas que ecesstam de algum refameto dzem respeto à: () Escolha de udades amostras ode haa váras alteratvas exstem; () Dscrepâca etre o deal de uma população alvo e a realdade de uma grade amostral acessível; () Lstages completas ou mpossíves de serem obtdas; 638

8 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R (v) Implemetação de levatametos por amostragem, sua orgazação e admstração evolve um complexo couto de problemas de plaeameto, custeo e treameto osterormete dscutremos os segutes problemas: (a) e exstem dferetes tpos de dvíduos, ossa amostra devera refletr essas dfereças de alguma maera balaceada, á que esses dvíduos poderam possur problemas de aturezas dferetes Há stuações em que se procura balacear a amostra através de cotas preabelecdas (tpo uma maquete da formação sóco-ecoômca populacoal) e procedmetos de ratfcação, respetado-se os pesos dos ratos populacoas (b) ão-respostas as pesqusas podem cotamar os resultados do levatameto, o que também pode acotecer com o etedmeto adequado, por parte dos respodetes, ao etrevstador ou ao quoáro es casos, um treameto adequado e coduzdo de forma a reduzr as dfereças, a maera de pergutar e a forma de coduzr a etrevsta, etre os etrevstadores, sera útl e podera reduzr de forma substacal o problema de quões em braco e de respostas sem setdo ou mal etedmeto das quões A redução dessas dfculdades deve ser buscada em dos íves: (a) rocedmeto ragmátco: Esse ível de procedmeto é tpcamete ão atístco Há stuações, tas como a escolha das udades amostras, admstração do levatameto, deseho do própro quoáro, treameto adequado dos etrevstadores, que requerem experêca em uma sére de áreas/assutos ou stuações aplcadas O cohecmeto adequado da área de aplcação do levatameto/pesqusa (medca, agrcultura, área socal, etc) deve ser combado a udos ou tegração com pscólogos ou especalstas em desg de quoáros ou procedmetos de tes pscológcos, de socólogos ou outros especalstas o assuto, para avalar a relevâca da base dados dspoblzadas, para a escolha da moldura/grade amostral, e talvez haa ecessdade de um especalsta em computação para a obteção de processo automatzado de produção dos dados resultates Hoe amos cada vez mas evolvdos em grupos multdscplares, ode a formação da equpe passa, ecessaramete, por essa varedade de habldades a maora das vezes, devemos depeder do bom seso ou da experêca dos orgazadores de uma pesqusa, o setdo de que explorem as crcustâcas locas e apreedam a realdade relmarmete, udos plotos podem auxlar a execução do levatameto prcpal (b) Estatístco: Em cotraste aos referdos problemas prátcos, ão atístcos, temos aqueles relatvos à Estatístca, como represetatvdade de um levatameto, sua valdade, a escolha de procedmetos de amostragem adequados, métodos de mação de característcas da população (e as propredades desses madores) e terpretação 639

9 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R e legtmdade dos resultados, todos depedem de forma vtal de um etedmeto e aplcação aproprados das déas atístcas Uma sólda base atístca o deseho de uma pesqusa por amostragem é de extrema mportâca; dfculdades prátcas de mplemetação podem reduzr sua efetvação e devem, portato, ser resolvdos tão cedo quato possível or outro lado, um levatameto que ão apreseta tas problemas prátcos também ão ará apto a ser completamete executado se sua base atístca é adequada esse caso, ele se tora sem valor se ão respeta as cosderações do deseho atístco, além de torar mpossível terpretar ou medr a precsão dos resultados O udo das teoras e metodologas atístcas apropradas é o tema desse curso 3 ORQUÊ COLETAR AMOTRA? osso obetvo é extrapolar resultados acerca de uma população a qual amos teressados em udar alguma característca de osso teresse, população a costtuída de um úmero fto de dvíduos, em que para cada um deles alguma medda é observável Queremos caracterzar a população por algum parâmetro ou formação de tal medda talvez sua méda, ou valor total, ou proporção Etão, por quê ão observar todos os dvíduos a população e determar a resposta exata? Em algus casos, ode a população é pequea e fácl de acessar, a sera uma solução bastate razoável e qusermos determar a ota méda de uma turma de amostragem, ão é cocebível coletar uma amostra dos aluos e tetar fazer uma ferêca sobre a ota méda de toda a turma, a meos que essas pessoas ão possam mas ser acessadas como um todo e sea ecessáro algum tpo de amostra esse caso, o etato, é mas razoável uma speção completa De modo verso, em populações maores poderíamos fazer uma speção completa, desde que haa mportâca socal e/ou polítca para ustfcar a grade despesa Isto se dá, por exemplo, o caso dos Cesos, os quas procuram etrevstar todas as famílas exstetes o país Mesmo os cesos, á começam a corporar uma parcela de amostragem probablístca, ode são fetos udos mas específcos Mas comumete, faz setdo, por uma sére de razões, rrgrmos osso udo da população a uma amostra de algus de seus membros e usar a formação obtda de modo para ferr as característcas da população como um todo Quas seram essas razões? CUTO ormalmete, haverá um lmte de ossos recursos, em termos de dhero dspoível ou esforço, que poderemos aplcar Este é o prcpal obstáculo à uma 640

10 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R eumeração completa da população Há também a ecessdade de cotrabalaçar precsão e custos Ispeções rápdas e superfcas de um grade úmero de dvíduos (possvelmete, mesmo toda a população) podem forecer, em vsta das mprecsões de medção, formações meos precsas que aquelas obtdas através de uma speção mas cudadosa de alguma amostra meor, mas crterosamete escolhda Os fatores de custos dferetes são também relevates Em amostragem dos oves de 6 aos de dade, poderíamos ter uma coduta de etrevstas dretas com aqueles em algum grupo (por exemplo, aqueles verem hosptalzados), mas evar cartas ou quoáros através dos Correos para aqueles em outro grupo (por exemplo, aqueles que verem temporaramete fora do E ou área) Os custos utáros de amostragem esses dos dferetes ratos serão, provavelmete, bem dferetes e o deseho amostral que escolhermos empregar deve refletr a dfereça, talvez devêssemos tomar uma amostra relatvamete meor daqueles hosptalzados do que daqueles que ão fora de casa, ou podemos amostrar prmero um grupo por coglomerado (todos aqueles em um hosptal, em partcular) para cotrolar os custos de cotrato e vages UTILIDADE Em algus casos ossas udades amostras podem ser druídas o processo de amostragem Aqu o udo completo da população é adequado ou aplcável (ou mesmo útl), mesmo se pudermos fazê-lo Mutas vezes ão há gahos substacas em cohecermos tudo sobre determada população se ela ão va mas exstr para a exploração e explcação do osso cohecmeto Assm, um fabrcate de lâmpadas ou fósforos ão rá tar o tempo de vda de cada lâmpada, ou aceder todos os fósforos, para demostrar a qualdade de seu produto Depos de tas tes ão havera mas ada para veder e ele, muto provavelmete, ara faldo ACEIBILIDADE Freqüetemete há dferetes facldades de acesso para dferetes udades amostras Algumas podem até mesmo ão ser observáves como um todo Outras vezes, podemos ser obrgados a acetar ou coletar apeas uma úca amostra da população or exemplo: observações hstórcas (séres temporas) podem ar completas dados de temperaturas ou chuvas armazeados por um determado período de teresse, podem ter sdo coletados esporadcamete; opões sobre alguma quão cotemporâea (mometo hstórco) polêmca podem ter sdo recolhdas de forma completa e agora ão há como recosttur as crcustâcas da época para um udo mas completo 64

11 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R 4 COMO DEVEMO AMOTRAR? Esta é, obvamete, a prcpal quão a ser respodda ua resolução exgrá uma formalzação mas acetuada do problema de amostragem de populações ftas, e dos obetvos de um levatameto por amostragem De forma mas tutva, o obetvo geral deve ser o de retrar uma amostra que é uma represetação hoa da população e que os leve à matva da característca populacoal com tato maor precsão ou exatdão quato possamos esperar para o custo ou esforço que amos dspostos a empreeder Város métodos pragmátcos de amostragem ou de apelo tutvo foram desevolvdos ao logo dos aos, e são amplamete empregados Tas métodos ad hoc cluem os segutes AMOTRAGEM OR ACEIBILIDADE Com o ímulo prcpal da coveêca admstratva, uma amostra é escolhda com a úca preocupação de facldade de acesso Tomaremos as observações mas fáces de serem obtdas Evdetemete, algumas armadlhas causadas pela falta de represetatvdade parecem óbvas os casos de amostragem por fluxo, por exemplo, apesar da grade operacoaldade, depededo da qualdade do plaeameto de amostragem, podese faclmete gerar uma amostra com dstorções grosseras em relação à população que se pretede fazer as extrapolações Basta ão observar adequadamete as dvsões terrtoras de uma cdade, que os problemas provavelmete aparecerão Mesmo havedo cotrole do perfl populacoal, as partculardades e problemas regoas devem ser observados e podem ser mportates, depededo dos obetvos do levatameto É ecessáro garatr uma adequada cobertura espacal da regão ou cdade em udo Outros casos, dzem respeto a uma má admstração do levatameto, ão observar característcas de comportameto das pessoas, como os horáros que se ecotram dspoíves para etrevstas (horáros durate o da, os das de semaa, por exemplo, prvlegam mas a udates, aposetados e desempregados), pode levar a evtáves defetos ou falhas os resultados de tas pesqusas, como ferrametas de se eteder a população Em outras stuações, mesmo que o problema ão sea tão óbvo, os erros podem ser gualmete séros AMOTRAGEM ITECIOAL a amostragem tecoal, o expermetador, recohecedo que a população pode bem coter dferetes tpos de dvíduos, com dferetes meddas de facldade de acesso, exerce uma escolha delberada e subetva em retrar aquela que ele ulga ser uma amostra represetatva Os resultados de tal procedmeto de amostragem podem ser muto bos, se a tução e ulgameto do expermetador são váldos, e deve-se até recohecer que algus levatametos podem empregar e prcípo em algum grau A amostragem tecoal vsa a dmução atecpada de fotes de dstorções; mas haverá sempre o rsco de permaecerem dstorções devdo à ulgametos 64

12 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R pessoas, de perda de formação sobre certos aspectos ou característcas mportates (até mesmo crucas) a rutura da população OB: a verdade, tas cohecmetos do expermetador e procedmetos relacoados, poderam ser agregados e serem levados em cosderação a hora do plaeameto de amostragem, cudados com detalhes que poderam passar despercebdos, como formações sobre característcas regoas, mesmo geográfcas, aglomerados urbaos que surgram recetemete, etc, sem que sso sgfque em tervr delberadamete a escolha da amostra AMOTRAGEM OR COTA OU QUOTA a amostragem por cotas, o que se desea é obter uma amostra mas próxma possível da população É como se véssemos teressados em fazer uma maquete do perfl populacoal Este perfl á sedo smbolzado em termos das varáves populacoas de teresse, as quas queremos cotrolar (cotrolar, o setdo admstratvo) Desse modo, pode-se ar teressado em traçar percetuas de sexo, faxa etára, escolardade, perfl sóco-ecoômco, etc, de modo que a amostra teha um perfl o mas fel possível do perfl populacoal or exemplo, em uma pesqusa eletoral o ado do Espírto ato, pode-se desehar a amostra por mcrorregões ou mesorregões homogêeas Essa homogeedade pode ser defda por proxmdade geográfca e característcas sóco-ecoômcas o etato, esse cotrole de cotas, acaba por troduzr um elemeto ão probablístco a amostragem, a medda em que, a partr de determado mometo, os etrevstadores poderão ar à procura de um dvíduo com um perfl predetermado para coclusão da sua tarefa do da De todo modo, para dar um exemplo, pode-se utlzar a déa da pesqusa eletoral o E, com o cotrole de cotas sexo por mucípo 643

13 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Assm, poderíamos escolher os dvíduos segudo o crtéro a segur: Resumo da opulação dos Mucípos da Grade Vtóra Mucípos Homes % Mulheres % Total % Vtóra 8639, , ,58% Vla Velha , , ,9% erra 85736, , ,90% Caracca , , ,79% Vaa 569 3, , ,83% Total ,00% % 47,76% 5,4% Fote: IBGE Ceso 000 Hoe a Grade Vtóra egloba mas mucípos Com 6 aos ou mas Assm, preabelecemos os percetuas de homes e mulheres que devem fazer parte da amostra, percetuas especfcados para cada mucípo O mesmo podera ser abelecdo para faxa etára, escolardade, etc ou todos eles ao mesmo tempo, o que é o caso mas comum O uso combado de amostragem probablístca e cotrole de cotas é bastate dfuddo as pesqusas de opão e as pesqusas eletoras, em toda parte uas vatages e desvatages á foram bastate dscutdas e cotuam a ser alvo de udos por pesqusadores da área or causa da ecessdade de um compoete aleatóro o osso processo de seleção da amostra, com a teção de fazermos extrapolações para a população e podermos comparar as qualdades das matvas do poto de vsta probablístco, é que precsamos defr um ovo procedmeto, chamado amostragem probablístca 5 A AMOTRAGEM ROBABILÍTICA upoha que, em osso obetvo de udar uma população alvo, resolvemos o modo de escolha das udades amostras apropradas e da grade de amostragem que a clu upoha que o quadro de amostragem represeta a população fta acessível, e que as udades amostras são os dvíduos membros de tal população Mas, ós os refermos apeas à população e seus membros ou dvíduos osso teresse se cocetra em relação aos valores tomados (ou assumdos) por alguma varável,, para os dferetes membros da população, e sobre meddas 644

14 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R agregadoras (parâmetros) da varável sobre toda a população Assm, se há membros, podemos represetá-los por,,,, esses sedo os valores de apresetados (tomados ou assumdos) pelos dferetes membros Estamos teressados em característcas populacoas defdas com respeto à As mas comus são: () O total populacoal, T () () T A méda populacoal, A proporção,, de membros da população que pertecem à alguma categora de classfcação para a medda O obetvo da pesqusa por amostragem será mar uma ou mas característcas da população através da formação cotda em uma amostra de ( ) membros da população upoha que os valores de para a amostra são,,,, ode cada é um dos valores de, a população como um todo em todos os s são ecessaramete dferetes; o mesmo acotece com os s Desse modo pode-se resumr a termologa da segute forma: OULAÇÃO: Tamaho opulacoal Total opulacoal T Méda opulacoal roporção opulacoal R Razão opulacoal AMOTRA: Tamaho Amostral Total Amostral T Méda Amostral p roporção Amostral r Razão ou Ícce Amostral RORIEDADE DO ETIMADORE as descrções das propredades segutes, cosderamos que temos uma população, a qual possu um parâmetro θ que se desea mar ara tal, laçamos mão de um levatameto por amostragem o qual os forecerá as atístcas ecessáras para o processo de mação do parâmetro de teresse, θ 645

15 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R É de teresse dos pesqusadores que os madores obtdos, que são as atístcas obtdas, possuam propredades qualtatvas para que possamos cosderá-los bos madores, do poto de vsta atístco Algumas das propredades mas deseáves são: ão-tedecosdade e a atístca T g(,,, ) θ, de modo que E ( T ) θ (fução dos valores amostras) é um mador de, etão dz-se que T é ão-vesado ou ão-tedecoso para θ (ou mesmo, ão-vcado) Erro Quadrátco Médo e Vés EQM EQM ( T ) E( T θ ) ( T ) E[ T E( T ) E( T ) θ ] E {[ T E( T )] [ ( )][ ( ) ] [ ( ) ] } T E T E T θ E T θ [ T E( T )] E{ [ T E( T )] [ E( T ) θ ]} E[ E( ) θ ] E T ( T ) E[ E( ) θ ] V T ( T ) [ E( ) θ ] V T Etão, o erro quadrátco médo pode ser represetado por: EQM T ( ) V ( T ) B ( T ) Ode, B ( T ) [ E( T ) θ ] é o vés (ou tedêca) de T como mador de θ e T é um mador ão-vesado (ou ão-tedecoso), teremos que E ( T ) θ, B ( T ) 0 e, portato, EQM ( T ) V ( T ) 3 Efcêca e temos dos madores, T e T, que são madores ão-vesados de θ, etão se V ( T ) V ( T ), dz-se que T é mas efcete do que T Etão, medmos efcêca através da varâca dos madores, quato meor for a varâca mas efcete será o mador, em relação ao seu cocorrete 5 AMOTRAGEM ALEATÓRIA IMLE 646

16 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R upoha que temos uma população represetada por,,, Coletamos uma amostra aleatóra smples (através de sorteo, por exemplo) de elemetos (<), detre os elemetos populacoas Assm, teremos,,, represetado a amostra aleatóra smples selecoada e os elemetos são selecoados com ou sem reposção, etão teremos o segute Com reposção: 3 erão, etão, maeras de escolhermos dvíduos (elemetos) detre os exstetes em reposção: - - -(-) 3! erão, etão, ( )! exstetes maeras de escolhermos dvíduos (elemetos) detre os Teremos ada o segute: ( ) ( ) (, ) (,,,, ) 3 3 ( ) ( )!! Mas como esses mesmos elemetos poderam ter sdo escolhdos em quasquer dessas posções, que mesmo assm teríamos o mesmo couto escolhdo, teremos: (,,, ) ( )!!! C, 3 Queremos utlzar a atístca (obtda através da amostra aleatóra smples selecoada) para ma, a méda populacoal Quas serão as propredades de como mador de, ode é a méda da amostra aleatóra smples e é a méda populacoal? E ) ( )? Temos que: E ( ) E E( ) ( ) 647

17 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 648 Mas, ( ) ( ) ( ) ( )!!!! ara cada posção (ou -ésma escolha) deseamos apeas o elemeto da população para ocupá-la Etão, ( ) E ortato, é mador ão-vesado (ou ão-tedecoso) de ) ( )? ( ) ( ) ( ) < Cov, Mas, ( ) ( ) ( ) ( ) E E E e ( ) ( ) E Assm, ( ) ortato, ( ) ( ) () ode ( ) é a varâca populacoal or outro lado, ( ) ( ) ( ) ( ) E E E Cov, ( ) ( ), E Cov

18 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 649 Mas, ( ) ( ) ( ) ( ) r s s s r s r r s s r s r E, ( ) r s s r E ( ) ( ) r s s r E, para s r < e Além dsso, r s s r Assm, podemos escrever: ( ) ( ), Cov ( ) ( ) ( ), Cov ( ) ( ), Cov ( ) ( ), Cov ( ) ( ) ( ), Cov ( ), Cov ( ) Cov,, () ode é a varâca populacoal

19 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Desse modo, ( ) ( ) Cov(, ) ( ) ( ) < ( ) < < Como < ( ), temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f ) (3) ode f é a fração amostral ou de amostragem e, teremos amostrado toda a população f e ( ) 0, o que sgfca dzer que aremos e, teremos f 0 e ( ), que é a varâca da méda amostral obtda através da amostragem com reposção ou de população fta 650

20 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 65 e escrevermos w *, ode w é o peso da -ésma observação e w, teremos o segute: ( ) ( ) ( ) > Cov w w w w *, ( ) ( ) > w w w * ( ) ( ) > w w w * ( ) ( ) > w w w * ( ) > w w w w * ( ) w w * ( ) w * ( ) w * Desse modo, queremos que w sea mímo, á que as outras quatdades evolvdas a expressão são costates ote que w w Etão queremos mmzar Q w w w Logo, ( ) w w w Q Igualado a expressão ateror a zero, obtemos:

21 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 65 w w w w w w w w e ortato, tomado pesos guas à, mmzamos a varâca do mador da méda populacoal Ou sea, ehum outro tpo de poderação forecera uma varâca meor Como a varâca do mador da méda populacoal depede da varâca populacoal, pode acotecer de ão termos acesso atecpado a essa quatdade, talvez por falta de pesqusas aterores sobre a população alvo esse caso, podemos mar a varâca populacoal através da varâca amostral, represetada por: ( ) s Vamos verfcar se esse mador é ão-vesado ou ão-tedecoso ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E E s ( ) ( ) E E s Temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] E E f Etão: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) f E f E Assm, ( ) ( ) f E s ( ) ( ) f E s ( ) ( ) f E s

22 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 653 ( ) ( ) f E s ( ) ( ) [ ] ( ) f s E ( ) s E, á que f ( ) ( ) s E ( ) ( ) s E ( ) s E ortato, s é mador ão-tedecoso da varâca populacoal e a varável de osso teresse (aquela que á sedo medda a pesqusa) tem dstrbução ormal, teremos etão que o mador,, da méda populacoal,, também terá dstrbução ormal Isto é: ( ) f, ~ Etão, através da dstrbução de probabldade do mador, podemos ecotrar tervalos de cofaça para a méda populacoal descohecda ode-se escrever: ( ) ( ) f z f z α α (4) Quado ão for cohecdo, o que parece ser a regra em stuações prátcas, podemos usar em seu lugar o seu mador, s esse caso, teremos: ( ) ( ) f s t f s t α α (5) Agora, uma ova quão se apreseta Qual deve ser o tamaho da amostra a ser selecoada para marmos a méda populacoal?

23 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Essa perguta pode ser remodelada de modo a troduzrmos metas a serem abelecdas de forma a garatrmos certos graus de precsão para a matva a ser ecotrada Desse modo, pode-se pergutar: qual deve ser o tamaho amostral ecessáro para obtermos uma matva com um determado ível de cofaça e uma determada margem de erro preabelecdos e é o mador de, pode-se defr precsão em termos da dfereça etre os valores de e Além dsso, pode-se defr cofaça em termos da creça que temos de que essa precsão sea atgda Essa creça pode ser medda em termos de probabldade Etão, traduzdo em lguagem atístca/probablístca, o que temos é o segute: ( > d) α ou ( d ) > α as expressões aterores, d é a precsão ou margem de erro e ( α ) grau de cofaça expressa o Como, em quase todas as pesqusas de opão, por exemplo, podemos supor que a méda amostral segue uma dstrbução aproxmadamete ormal, por termos tamahos amostras razoavelmete grades, com méda e varâca ( f ), podemos reescrever as expressões do modo segute ( > d) α > d ( f ) ( f ) α Etão através da padrozação da dstrbução ormal, podemos obter o valor tabelado z α que determa tal probabldade (ou cofaça) Assm temos: z α d ( f ) d ( z α ) ( f ) ( f ) d z α z α z α d d 654

24 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 655 z d α z d α z d α ortato, o tamaho amostral que permte garatr as quatdades prescrtas para erro e cofaça será: z d α Uma outra maera de expressar o tamaho amostral, ecessáro para a margem de erro e o ível de cofaça deseados, é: z d α z d α z d α z d α z d α z d α ortato, z α d é uma forma alteratva, mas equvalete De modo equvalete, poderíamos fxar z α d V e prescrever que a varâca do mador ão deve ultrapassar esse valor Assm, ( ) V ( ) V f V V V V V V V ortato, para um V prefxado, temos V Ou ada,

25 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R V V V V V V (6) V V Todas as expressões são equvaletes, mas apresetam formas dferetes de preabelecer erro e cofaça e verfcar o valor do tamaho amostral e for razoável supor que a dstrbução da méda da amostra aleatóra smples tem dstrbução aproxmadamete ormal, pode-se obter tervalos de cofaça para a méda populacoal Etão, ( f ) ( f ) zα zα (7) é o tervalo com ( α ) 00% de cofaça para a verdadera méda populacoal e ão cohecermos o valor da varâca populacoal, como deve ser a maora dos casos prátcos, pode-se má-la através dos dados amostras, utlzado-se a varâca amostral, s ( ), a qual é um mador ão-tedecoso de e caso, como á é cohecdo dos resultados de ferêca atístca, temos que: s ( f ) ~ t ( ) Ode t ( ) sgfca dstrbução t de tudet com (-) graus de lberdade OTA: A dstrbução t de udet com graus de lberdade é resultado da razão etre uma dstrbução ormal adrão e a raz quadrada de uma dstrbução Qu- 656

26 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R quadrado com graus de lberdade dvdda por seus graus de lberdade, sto é ( 0, ) t χ EXEMLO: (Exercíco, Vc Barett - 99) Duas amostras aleatóras smples depedetes de tamahos 00 e 400 foram escolhdas uma após a outra (sem reposção) de uma população de 400 udates em uma escola A cada udate fo pergutado sobre a dstâca (em mlhas) da escola até ode ele ou ela moram As médas e varâcas amostras são: 00 5, 4 s 3, , 90 s 4, 0 Calcule um tervalo de 99% de cofaça para a dstâca méda da escola até ode os udates resdem Trata-se, etão, de duas amostras depedetes de duas populações, de homes e mulheres, da mesma escola, e queremos obter o tervalo para a méda da população total ou couta, sto é, IC [ ; 99% ]? s s ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) ( ) s Além dsso, podemos represetar a varâca geral como uma combação das varâcas das duas amostras, do segute modo: s ( ) s ( ) s elos dados da amostra, obtém-se os valores aterores como sedo: 4, 97, s 3,97 e s, 99 Desse modo, temos que: IC [ ( ) ] ( f ) ( f ) ; α 00% t s ; t s α α 657

27 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R IC [ ;99%] ,97,57,99 ;4,97,57, [ ; 99% ] [ 4,97 0,7;4,97 0,7] IC EXEMLO: (5, Cochra) Em um udo sobre o possível uso da amostragem para dmur o trabalho de coferêca de um almoxarfado, fo feta a cotagem do valor dos artgos cotdos em cada uma das 36 prateleras da sala Os valores, em dólares teros (com aproxmação para ou para, coforme a fração sea maor ou meor que 0,5), foram os segutes: A matva a ser feta, medate amostragem, deve ser correta detro de um lmte de 00 dólares, admtdo-se matva errada em cada 0 Um assessor sugeru que uma amostra acdetal smples de prateleras satsfará as codções Você cocorda? Temos que 36, e é sufcete? A méda e o desvo-padrão populacoas são, respectvamete, 59, ,4 e,5987, 6 e fxarmos α 0, 05 e o desvo (tolerâca) em d 00, podemos escrever: z α d ,96,6 36,43 [,49] Logo é sufcete 36 ( T ) 36 (,6 ) 98,43 658

28 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Total opulacoal ( T ) Temos que: T O mador ão-tedecoso de T é T E ( T ) E( ) E( ) T E ( T ) T T, á que: ) Esperaça para verfcar se é ão tedecoso; ) âca, para verfcar se é efcete Temos que a varâca de T pode ser obtda por: ( ) ( ) ( ) T ( f ) ( ) ( T ) (8) Como ecotrar ou escolher o valor de? e temos que [ > d] α T T, etão pode-se escrever: z α d ( f ) 659

29 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 660 ( ) z α d f ( ) z α d f z α d f z α d z α d z α d z α d z α d z α d (9) recsamos, agora, abelecer um tervalo de cofaça A partr do tervalo para a méda populacoal, abelecemos o tervalo para T IC para : ( ) ( ) f z f z α α Multplcado-se por, teremos:

30 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R z α ( f ) ( f ) z α T ( f ) ( f ) zα T T zα (0) EXEMLO: (Exercíco 3, Vc Barett - 99) Em uma bbloteca os lvros são dspostos em 30 ates de tamahos semelhates Os úmeros de lvros em 5 ates Foram achados os úmeros de lvros em 5 ates escolhdas ao acaso, a saber: Calcule o úmero total, T, de lvros a bbloteca, e calcule o tervalo com 95% de cofaça para T upoha que a matva resultate ão é precsa o sufcete; queremos ar 95% certos de que a matva de T, obtda através de uma amostra aleatóra smples, ea um tervalo de 00 (lvros) do verdadero valor Quatas ates deveram ser cluídas a amostra? O tamaho populacoal é 5 ates 300 ates e o tamaho amostral é a)? e IC [ ; 95% ]? T T Temos, dos dados amostras, que: 5,4 s e ( ) 4, 4 A matva do total populacoal será obtda por: T 30 5,4 330 lvros T IC [ ;( α ) 00% ] T T ± z α s ( f ) IC IC ±, , [ ;( α ) 00% ] T [ ;( α ) 00% ] [ 330 ± 73] T b)? 66

31 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R [ > 00] 0, 05 T 00 zα s 30 80, ,55 4,4 e z, 96, teríamos um tamaho amostral de 64 α Logo, seram cluídas a amostra 49 ates EXEMLO: (Exercíco 4, Cochra) Uma amostra acdetal smples de 30 domcílos fo selecoada em uma zoa urbaa que cotém 4848 domcílos O úmero de pessoas em cada um dos domcílos que tegram a amostra é o segute: 5, 6, 3, 3,, 3, 3, 3, 4, 4, 3,, 7, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3,,, 4, 3, 4,, 4 Estmar o úmero total de pessoas que vvem a zoa e calcular a probabldade de que essa matva ea detro do lmte de ± 0% do valor real O tamaho populacoal é de domcílos e o tamaho amostral é de 300 domcílos Temos que, 3, 47, s, 4 e queremos obter o total,? T , , pessoas Queremos que a matva obedeça a segute codção: ar detro do lmte de ± 0% do valor real E queremos calcular a segute probabldade 0, [ ]? T T [ 0, ] T T T T V T T 0, T Mas, ( ) 0, Z T T T ( ) ( ) ( ) T T T 66

32 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R e ˆ 4848 V s 4848, ,8 30 V ˆ 335,65 Desse modo, a probabldade deseada pode ser obtda por: Z 0, 0, 5473 T Z ( ) 335,65 T [ Z,5547] [,55 Z,55] [ 0,55] Z 0, ,87886 roporção opulacoal ( ) upoha que, se favorável X,,, 0, se desfavorável com ( X ) e ( X ) Q Etão, pode-se escrever: 0,,,, X X, ode X, X,, X represeta a população p x x, ode x, x,, x represeta a amostra Etão o mador ão tedecoso de é E ( x ) E( p) E x E( x ) [ 0 ( ) ] p x 663

33 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R ( x ) E( p) E ara obtermos a varâca de p, pode-se proceder do modo segute ( p) x ( x ) [ ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ] [ ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ] [( 0 ) ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ortato, ( p) ( ) () ara amostragem sem reposção, temos que: ( p) ( f ) ( ) X ( X X ) 664

34 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 665 X X X X ( ) ( ) () Obs: X X, á que os valores de X são 0 ou ubsttudo-se a expressão da varâca, obtem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) p (3) Como ecotrar ou escolher o valor de? ovamete, se temos a exgêca de que [ ] α > d p, etão pode-se escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α > d p

35 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 666 Utlzado-se a aproxmação ormal, a qual é razoável em pesqusas de opão, á que temos amostras grades, teremos: ( ) ( ) ( ) z α d ( ) ( ) ( ) z d α ( ) ( ) ( ) z d α ( ) ( ) z d α ( ) ( ) z d α ( ) ( ) z d α ( ) ( ) z d α ( ) ( ) z α d (4) Outra maera de represetar o valor de : ( ) z α d p e com z α d V, ( ) V p ( ) ( ) ( ) V ( ) ( ) V

36 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R ( ) V ( ) ( ) V ( ) V Q V Q V Q V Q V Q Q V V Q Q V Q Q V V (5) e tomarmos teremos: Q 0 como uma matva cal para o tamaho amostral, V 0 ( 0 ) (6) como sedo o tamaho total da amostra a ser escolhda Quado ão se cohece a varâca populacoal, e também os valores de e Q, pode-se proceder determado-se um tamaho provsóro ou cal, para obter uma matva de do valor de e depos recalcular o tamaho amostral ecessáro para o ível de cofaça, a margem de erro e a varâca mada, completado-se a amostra com os dvíduos rates Um outro procedmeto sera maxmzar a varâca populacoal, para o caso de marmos o valor de esse caso, sabe-se que a dstrbução bomal tem a sua varâca maxmzada quado os valores de e Q são guas à 0,5 Assm, teríamos Q 0,5 ( ) essa stuação teremos um tamaho amostral também maxmzado, de forma que o erro prescrto será provavelmete meor 667

37 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Além dsso, uma amostragem sem reposção, se ão cohecemos a varâca populacoal poderíamos utlzar seu mador ão-tedecoso: a varâca amostral Etão, s ( x x ) Qual sera, etão, o mador ão-tedecoso da ( p)? s pq ( p) ( f ) ( f ) ( p) ( ) ( ) pq ( ) (7) EXEMLO: (Exercíco 36, Cochra) Escolheu-se uma amostra acdetal smples de 90 domcílos, de uma área urbaa que cotém 488 domcílos A cada famíla pergutou-se se era propretára da casa ode morava ou se a alugava, e se tha um bahero o teror da casa para seu uso exclusvo Os resultados foram os segutes: Moram em casas própras: 47 famílas Moram em casas alugadas: 43 famílas Têm bahero: Casas própras 4 famílas Casas alugadas 09 famílas ão têm bahero: Casas própras 6 famílas Casas alugadas 34 famílas (a) ara as famílas que moram em casas alugadas, me a percetagem, em toda a área, das que têm bahero para uso exclusvo e determe o erro-padrão de sua matva; (b) Estme o úmero total de famílas que moram em casas alugadas a área e ão têm bahero para uso exclusvo, e ache o erro-padrão de sua matva Etão, temos que 4 88 e 90 (a) ) Moram em casa alugada: 43; ) Tem bahero: 09 e p é a percetagem de pessoas que moram em casas alugadas e têm bahero 09 partcular, etão p 0, 76, ou sea p 76,% 43 A matva do erro-padrão é dada por: 668

38 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R V ˆ ( p) ( ) ( ) pq ( ) 0, ( 43 ) 0,38 V ˆ 0, ,036, ou sea, V ˆ 3,6% Assm, p ( 76, ± 3,6 )% (b) ) Moram em casas alugadas: 43; ) ão têm bahero prvado: 34 e represetarmos, T : úmero total de pessoas que moram em casa alugada, teremos que: 43 T , pessoas 90 e deotarmos, p : percetagem de famílas que moram em casas alugadas e ão têm bahero prvatvo, etão obteremos: 34 p 0,38, ou sea, p 3,8% 43 ea T : úmero total de famílas que moram em casa alugada e que ão têm bahero Etão, T , ( ) 73 0,38 0, 76 ˆ V T s V ˆ 57, e famílas T ± EXEMLO: (Exercíco 4, Cochra) Em um dstrto que cotem 4000 casas, deve-se mar o úmero de casas habtadas pelos propretáros, com um erro padrão ão superor a %, e a percetagem de casas ode exstem dos automóves, com erro-padrão ão superor a % (Os úmeros e % são os valores absolutos e ão os coefcetes de varação) upõe-se que a verdadera percetagem de casas habtadas pelos propretáros ea etre 45 e 65%, e a de casas com dos automóves etre 5 e 0% Qual a gradeza da amostra ecessára ao atedmeto dos dos obetvos? Temos que resdêcas e 0,45 0, 65 é a proporção de resdêcas habtadas 669

39 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R Etão para um erro-padrão detro das especfcações, s ( p) 0, 0 Q f s ( p) 0,0 ( f ) 0, 0 ( ) ( 0,0) Q ( 0,0) Com Q 0, 5, tem-se que: 0,5 0,5 0,5 0, ( 0,0) 540,54 ou 54, teremos: ara o caso de mar as resdêcas com dos automóves, temos que 0,05 0,0 e especfca-se s ( p) 0, 0 0, 0, e obtém-se que Etão, do mesmo modo que ates, 0, 0,9 ( 0,0) 734,69 ou 735 ortato, o tamaho amostral que satsfaz as duas exgêcas é 735 resdêcas 670

40 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R 5 AMOTRAGEM ALEATÓRIA ETRATIFICADA Um exemplo do uso bem dfuddo da amostragem ratfca, é o caso das pesqusas de opão, em geral, e das pesqusas eletoras, em partcular essas stuações, exstem razões para se supor que haa sempre algum tpo de característca mas acetuada em uma determada regão, que agregue mas os comportametos e opões dos dvíduos, do que em outra mas dstate geografcamete o quadro a segur, apreseta-se a dvsão do Estado do Espírto ato em regões e mcrorregões, de acordo com as suas proxmdades geográfcas Essas regões e mcrorregões, podem ser cosderadas ratos, ode faríamos a dvsão ou repartção da amostra, a ser etrevstada REGIÕE MICRORREGIÕE OULAÇÃO (%) Regão Regão Regão 3 Regão 4 Regão 5 Mcro Vtóra 44,04 Mcro Guarapar 5,3 Mcro Itapemrm,4 Mcro Afoso Cláudo 3,7 Mcro ta Teresa,89 Mcro Alegre 5,0 Mcro Cach Itapemrm 0, Mcro ão Mateus 5,0 Mcro Lhares 8,4 Regão 6 Mcro B Fracsco,84 Mcro Veéca 3,79 Mcro Colata 6,0 Mcro Motaha,47 Fote: IBGE Ceso 000 Observe-se que, a represetação ateror há duas maeras dferetes, mas ão excludetes, de cosderar a ratfcação do E, uma represetada pelas regões e outra, pelas mcrorregões a verdade são subdvsões complemetares upoha, etão, que a população sea dvdda, ou subdvdda, em subpopulações cosderadas homogêeas sob algum crtéro, tpo sóco-ecoômco, regoal, ou outro crtéro 67

41 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R or exemplo, poderíamos ter a segute dvsão: ubpopulação 3 Tamaho 3 Méda 3 âca 3 roporção 3 Total T T T 3 T Temos que, é o tamaho populacoal ovamete, podemos ar teressados em mar a méda populacoal e represetarmos os pesos das subpopulações por W, pode-se dzer que a méda populacoal será um combação das médas das subpopulações, que chamaremos de ratos Desse modo, teremos: W, ode W,,,,, são chamados pesos das subpopulações ou ratos ara obtermos uma represetação para a varâca em termos das varâcas dos ratos, pode-se proceder do modo segute ( ) ( ) ( ) 67

42 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 673 ( ) ( )( ) ( ) Mas, ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 Etão, ( ) ( ) Além dsso, temos que ( ) ( ) e ( ) ( ) Assm, ( ) ( ) [ ], (8) ode ( ) Vamos, etão, selecoar uma amostra aleatóra ratfcada de tamaho, com elemetos ou dvíduos do prmero rato, com elemetos do segudo rato,, com elemetos do rato edo que é o tamaho total da amostra a ser selecoada mbolcamete, temos a segute represetação:,,,, 3, para,,,,3 Ou ada,,,,,,,,,,,,,,,, Além dsso, teremos também as médas e varâcas amostras:,,,, 3 e 3,,,, s s s s, ode e ( ) s

43 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 674 O mador da méda populacoal é etão: W Um outro mador da méda populacoal podera ser represetado por: W * * Quado acotece de termos a gualdade, teremos o que se chama de alocação proporcoal A fração amostral em cada rato será f,,,, De modo semelhate ao que fo feto para amostra aleatóra smples, vamos udar as propredades dos madores, o caso de amostra aleatóra ratfcada Temos que: ( ) ( ) W W E W E E Observe-se que ( ) E, pos a amostragem é aleatóra smples detro de cada rato e á vmos que a méda amostral é um mador ão-tedecoso da méda populacoal, o caso, méda da subpopulação ortato, ( ) E e a ão-tedecosdade á demostrada ara a obteção da varâca, procede-se do segute modo: ( ) ( ) ( ) f W W W Obs: A gualdade vale, supodo-se que as médas os ratos ão são correlacoadas etre s or outro lado, ( ) ( ) W E W W E E * * * * em geral

44 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R * Temos que E( ), se, sto é, o caso de alocação proporcoal, quado selecoamos os tamahos amostras proporcoalmete aos tamahos da subpopulações Quado Algus casos especas de alocações e as expressões para a varâca do mador da méda: a) Fração amostral desprezível esse caso teremos, ( ) W (9) b) Alocação roporcoal ode ( ) W ( f ) ( ) W ( f ) ( ) W ( f ) ( ) W ( f ) W, (0) f 675

45 esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 7 a 30/09/05, Gramado, R c) âcas Iguas os Estratos e Alocação roporcoal: ( ) ( f ) W, ode (varâca costate os ratos) w ( ) ( f ) Ww ( ) ( f ) w W Mas, W Etão, ( ) ( f ) () w Total opulacoal ( T ) Temos que T O mador ão-tedecoso de T é: T T T W () Além dsso, a varâca do mador é: ( ) T ( T ) ( ) 676

46 7 a 30/09/05, Gramado, R esqusa Operacoal e o Desevolvmeto ustetável 677 ( ) ( ) T f ( ) ( ) T f (3) ( ) T E E ( ) ( ) T E E ( ) T E ( ) T E ( ) T E ( ) T T E ( ) T T E e a varâca populacoal, em cada rato, é descohecda, precsamos má-la Os madores dos valores de,,,,, são dados por: ( ) s ( ) ( ) s f W s