Estatística para Negócios

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1 Estatística para Negócios Gerson Bronstein, M.Sc. Mônica Barros, D.Sc. Julho de 2002

2 Quem somos nós? Mônica Barros Doutora em Séries Temporais PUC-Rio Mestre em Estatística University of Texas at Austin, EUA Bacharel em Matemática University of Washington, Seattle, EUA Professora da PUC-Rio (Depto. De Eng. Elétrica) e IBMEC, Consultora, ex-gerente de risco da EL Paso Merchant e ex-assistente do Presidente da PETROS. barrosm@alumni.utexas.net, monica@ele.pucrio.br Home page: 2

3 Quem somos nós? Gerson Bronstein Mestre em Administração, COPPEAD/UFRJ Mestre em Engenharia Elétrica, COPPE/UFRJ Engenheiro Eletrônico, UFRJ Coordenador Acadêmico e Professor das disciplinas Métodos Quantitativos e Gestão Financeira dos Programas In-Company do Ibmec Possui mais de 15 anos de experiência como pesquisador do Núcleo de Computação Eletrônica da UFRJ na área de Engenharia de Computação Atuou por mais de 5 anos como professor da Escola de Engenharia e Instituto de Matemática da UFRJ, em disciplinas relacionadas à Engenharia de Computação e Sistemas Atuou também como consultor em empresas como Booz, Allen e Hamilton e K2 Achievements 3

4 Sumário Apresentação do curso Estatística descritiva Análise multivariada Introdução à probabilidade Distribuições discretas de probabilidade Distribuições contínuas de probabilidade Distribuições amostrais e Intervalos de Confiança Testes de hipóteses Regressão Linear 4

5 Apresentação do curso 3 aulas expositivas (16hs) Objetivos Apresentar os conceitos básicos de probabilidade e estatística Fornecer instrumentos quantitativos de suporte às demais disciplinas do curso Disponibilizar ferramentas de apoio HP-12C e Excel 5

6 Apresentação do curso Bibliografia de apoio Zentgraf, Roberto Estatística Objetiva, 1 a ed., ZTG Editora (zentgraf@iis.com.br) livro texto Barros, M Probabilidade: um curso introdutório Editora Papel Virtual, Rio de Janeiro Anderson, Sweeney e Williams Statistics for Business and Economics, 8 a ed., South-Western College Publishing Levine, Berenson e Stephan - Estatística: Teoria e Aplicações usando Microsoft Excel em Português LTC Editora, Rio de Janeiro 6

7 Estatística Descritiva É um um conjunto de técnicas e procedimentos destinados à apresentação e descrição sumária de um conjunto de dados (amostra) Os elementos da amostra são apresentados em tabelas ou gráficos, sendo que estes últimos permitem observar algumas características particulares do conjunto de dados Os dois principais conjuntos de informações descritivas acerca de uma amostra são as medidas de posição / tendência central e as medidas de dispersão 7

8 Organizando e apresentando os dados Distribuição de freqüências agrupamento de dados em classes (ou categorias) e suas respectivas freqüências ( ou número de ocorrências) Cada categoria é definida pelos seus limites inferior e superior O número de classes deve ser tal que permita a obtenção de informações a respeito da amostra evite um número muito grande ou muito pequeno de classes Sempre que possível, utilize classes de mesma amplitude Histogramas Uma forma de representação gráfica da distribuição de freqüências Outras formas de representação gráfica: gráfico de torta, gráficos de ogiva (polígono de freqüências) 8

9 Organizando e apresentando os dados exemplo velocidade de carros na BR

10 Organizando e apresentando os dados exemplo velocidade dos carros distrib. de freqüência e histograma Distribuição de freqüências (10 classes) e histograma Limite Inferior Limite Superior Ocorrências

11 Medidas de posição ou tendência central As medidas de posição, também chamadas de percentis, definem um determinado valor dentro do conjunto de dados. As mais comuns são: Máximo Mínimo Quartis Decis As medidas de tendência central definem o centro da distribuição, segundo um determinado critério. As mais comuns são: Média (ou média aritmética) Mediana Moda 11

12 Medidas de tendência central Média valor médio dos elementos da amostra Fórmula da média para dados não agrupados (tratados individualmente) Para o exemplo anterior, a média é Média n 1 = x = n i= 1 x i = x 1 + x 2 + L+ n x n 12

13 13 Medidas de tendência central Fórmula da média para dados agrupados (diagrama de freqüência, onde x i é o valor médio do intervalo i e f i é a freqüência do intervalo i) Para o exemplo anterior, a média é 94,20 n n n n i i n i i i f f f x f x f x f f x f x Média = = = = = L L

14 Medidas de tendência central Mediana divide os elementos da amostra em duas partes iguais (o conjunto deve estar ordenado) Se o número de elementos (n) do conjunto for ímpar, a mediana é o elemento de ordem (n+1)/2 Se o número de elementos for par, a mediana é a média entre os elementos de ordem n/2 e (n+2)/2 Para o exemplo anterior, a mediana é (91+91)/2 = 91 Moda valor que ocorre com maior freqüência Pode haver mais de uma moda Para o exemplo anterior, a moda é 90 (5 ocorrências) Embora a mediana e a moda também possam ser calculadas para dados agrupados, nós não abordaremos esse assunto aqui 14

15 Medidas de posição Quartis dividem a amostra em 4 partes iguais (atenção: existem 3 quartis!) Para uma amostra com n elementos, o primeiro quartil (Q 1 ) será o elemento de ordem n/4, o segundo (Q 2 ) o elemento 2n/4 e o terceiro (Q 3 ) o elemento 3n/4 Se as ordens dos elementos referentes aos quartis resultarem em números fracionários, arredonde-os para cima Se as ordens resultarem em números inteiros, tome a média aritmética deste com o seguinte No exemplo anterior, as ordens dos quartis são 15, 30 e 45. Portanto, os quartis são (x 15 +x 16 )/2, (x 30 +x 31 )/2 e (x 45 +x 46 )/2 Os quartis são 83,5, 91 e 104,5 Observe que Q 2 é sempre igual à mediana 15

16 Medidas de posição Máximo maior valor da amostra Para o exemplo anterior, o máximo é 118 Mínimo menor valor da amostra Para o exemplo anterior, o mínimo é 63 Decis semelhante aos quartis, só que dividem a amostra em 10 partes iguais A forma de cálculo é semelhante a dos quartis Embora os quartis e decis (ou qualquer outro percentil) também possam ser calculados para tados agrupados, nós não abordaremos esse assunto aqui 16

17 Algumas observações sobre as medidas de posição e tendência Como as medidas de posição (mediana, moda, quartis e decis) são calculadas em função da posição relativa dos elementos de uma amostra, elas são insensíveis a valores extremos Essas medidas são chamadas de robustas Ao contrário, a média leva em conta o valor dos elementos de uma amostra, portanto é afetada por valores extremos da amostra 17

18 Medidas de dispersão Como o próprio nome diz, as medidas de dispersão medem a dispersão ou espalhamento (absoluto ou relativo) dos elementos de uma amostra As principais medidas de dispersão são: Amplitude Variância Desvio-padrão Amplitude interquartílica Coeficiente de variação 18

19 Medidas de dispersão Amplitude é a diferença entre os valores máximo e mínimo Para o exemplo anterior, a amplitude é 55 Amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro e primeiro quartis (Q 3 Q 1 ) Para o exemplo anterior, a amplitude interquartílica é 21 19

20 Medidas de dispersão Variância mede o desvio quadrado médio em relação à média dos elementos de uma amostra Fórmula da variância para dados não agrupados Para o exemplo anterior, a variância é 189,18 s 2 = 1 n 1 n i= 1 ( x i x) 2 ou s 2 n 1 = x n 1 i= 1 2 nx 2 Atenção: a variância é sempre 0!!!!! 20

21 21 Medidas de dispersão Fórmula da variância para dados agrupados (x i é o valor médio do intervalo i e f i é a freqüência do intervalo i) Para o exemplo anterior, a variância é 185,76 = = = = n i i n i i n i i i f f x f x s = = = n i i n i i i f f x x s ) ( ou ou

22 Medidas de dispersão Desvio-padrão é a raiz quadrada da variância Para o exemplo anterior com dados não agrupados, o desviopadrão é 13,75 Para o exemplo anterior com dados agrupados, o desvio-padrão é 13,63 Coeficiente de variação mede a dispersão dos elementos da amostra em relação à média. Sua fórmula é: s CV = x Para o exemplo anterior com dados não agrupados, o coeficiente de variação é 0,19 22

23 Interpretando o desvio-padrão O desvio-padrão é expresso na mesma unidade que os valores da amostra, ao contrário da variância, que é expressa em unidades 2. Daí, pela definição anterior, segue que o coeficiente de variação é adimensional. Em geral, devemos esperar que valores mais afastados da média (em desvios-padrão) tenham menor chance de ocorrer. Para uma amostra com distribuição simétrica e em formato de sino, encontraremos aproximadamente 68% dos valores estarão no intervalo 95% dos valores estarão no intervalo 100% dos valores estarão no intervalo x ±1.s x ± 2.s x ± 3.s 23

24 O desvio-padrão como medida de risco Exemplo considere dois fundos de investimento, A e B, e seus respectivos retornos nos últimos 12 meses (em %) Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Fundo A 5,25 4,37 5,36 5,64 4,77 4,51 4,82 4,93 5,39 5,29 4,68 5,04 Fundo B 1,23 2,28 3,40 7,00 6,75 7,47 7,28 5,29 10,7 5,37-0,2 3,45 Em qual dos dois fundos você colocaria o seu dinheiro? 24

25 O desvio-padrão como medida de risco Para ambos os fundos, R$100 aplicados em janeiro equivaleriam a aproximadamente R$180 em dezembro No entanto o desvio-padrão dos retornos do Fundo A é de 0,39% enquanto que para o Fundo B o desvio-padrão é de 3,10%, ou seja, o padrão de retornos do Fundo A oscilou muito menos em torno da média (foi mais homogêneo) que no Fundo B 25

26 O desvio-padrão como medida de risco Em Finanças, associamos a dispersão ao risco de um investimento E a teoria financeira diz também que um investidor racional exige retornos mais elevados para assumir riscos maiores Portanto, admitindo que você é um investidor racional, o Fundo A é mais atrativo que o Fundo B, pois para o mesmo retorno esperado em ambos os fundos você corre menos risco no Fundo A! 26

27 Algumas palavras sobre amostra e população População conjunto de todos os possíveis elementos pertencentem a uma mesma classe, sujeitos a uma análise, pesquisa etc. População de votantes do Brasil todos os brasileiros que possuem título de eleitor Um brasileiro que não possua título de eleitor ou um polonês não pertencem à população de votantes do Brasil Amostra um subconjunto de uma população 27

28 Algumas palavras sobre amostra e população Até o momento, estamos calculando os parâmetros de amostras O termo n 1 presente no denominador da fórmula da variância (e do desvio-padrão) é utilizado para torná-lo um estimador não tendencioso Normalmente, os parâmetros de uma amostra (média, desvio-padrão), serão denotados por e s Para os parâmetros da população, utilizamos µ e σ x 28

29 Utilizando a HP-12C e o Excel Com a HP-12C, você consegue calcular a média e desvio-padrão para a população e amostra As teclas utilizadas são < >, <s>, <Σ+> e < Σ-> Exemplo: considere o seguinte conjunto de dados: 4, 2, 5, 9, 3, 6 e 1 A média é 3,57 e o desvio-padrão é 1,99 Vejamos como utilizar a HP-12C x 29

30 Utilizando a HP-12C e o Excel Tecla Visor Descrição <f><σ> 0,00 Limpa os registros estatísticos 4<Σ+> 1,00 Primeiro dado inserido 2<Σ+> 2,00 Segundo dado inserido 5<Σ+> 3,00 Terceiro dado inserido 8<Σ+> 4,00 Ops! Dado incorreto 8<g><Σ > 3,00 Corrijo o dado incorreto 9<Σ+> 4,00 Quarto dado inserido 3<Σ+> 5,00 Quinto dado inserido 6<Σ+> 6,00 Sexto dado inserido 1<Σ+> 7,00 Último dado inserido <g>x <g>s 4,29 2,69 Média Desvio-padrão da amostra 30

31 Utilizando a HP-12C e o Excel O Excel possui diversas funções que permitem o cálculo das estatísticas descritivas med(lista) var(lista) varp(lista) Função maximo(lista) minimo(lista) media(lista) modo(lista) quartil(lista;k) desvpad(lista) desvpadp(lista) percentil(lista;k) cont.num(lista) Máximo (maior valor) da lista Mínimo (menor valor) da lista Média (aritmética) dos valores da lista Mediana da lista Moda da lista k-ésimo quartil da lista Variância amostral da lista (n-1) Variância populacional da lista Desvio-padrão amostral da lista Desvio-padrão populacional da lista k-ésimo percentil da lista Número de elementos da lista Descrição 31

32 Exemplo para casa Os dados do gráfico a seguir representam a temperatura máxima na estação Santa Cruz, na cidade do Rio de Janeiro, entre Janeiro de 1982 e Dezembro de Os dados estão no arquivo stat_case1.xls. Use o Excel para: Calcular a média, mediana, moda, máximo, mínimo, variância, desvio padrão, quartis, percentis 10%, 20%,..., 90% dos dados. Fazer um histograma dos dados. 32

33 Exemplo para casa Temperaturas Máximas a 1991 jan/84 mai/84 set/84 jan/85 mai/85 set/85 jan/86 mai/86 set/86 jan/87 mai/87 set/87 jan/88 mai/88 set/88 jan/89 mai/89 set/89 jan/90 mai/90 set/90 jan/91 mai/91 set/ mai/83 set/83 set/82 jan/83 jan/82 mai/82

34 Análise Multivariada Até agora, nós estudamos medidas númericas que caracterizam uma única variável por vez Muitas vezes precisamos analisar a relação existente entre duas ou mais variáveis Nós veremos a seguir duas dessas medidas Covariância Coeficiente de correlação 34

35 Covariância A covariância é uma medida da força da relação linear entre duas variáveis A fórmula da covariância de uma amostra é dada por s xy n ( x i 1 cov = = = xy i x)( y n 1 i y) Observe que para o cálculo da covariância, os valores relativos às duas variáveis devem estar emparelhados 35

36 Covariância Exemplo: uma grande loja de varejo deseja investigar a relação entre o número de comerciais (x) apresentados na TV e o volume de vendas na semana seguinte ao comercial (y). A tabela abaixo resume os dados Semana # de comerciais Vendas (R$ 000)

37 Covariância Pela análise do gráfico do volume de vendas x e número de comerciais, aparentemente existe uma relação linear forte entre as duas variáveis Calculando a covariância, obtemos: x = 3 y = 51 s xy = 11 37

38 Covariância interpretação gráfica Observe que a variância é obtida pelo produto dos desvios das variáveis em relação às suas médias Considere o gráfico abaixo Para os quadrantes I e III este produto é positivo, enquano que para os quadrantes II e IV, é negativo II x = 3 I y = III IV

39 Covariância interpretação gráfica Se s xy é positivo, os pontos que exercem maior influência estão localizados nos quadrantes I e III, indicando uma relação linear positiva entre x e y Se s xy é negativo, os pontos que exercem maior influencia estão localizados nos quadrantes II e IV, indicando uma relação linear negativa entre x e y Finalmente, se s xy é nulo ou próximo de zero, os pontos se encontram distribuidos uniformemente ao longo dos 4 quadrantes, não indicando nenhuma relação linear entre x e y 39

40 Problemas com a covariância Voltando ao exemplo anterior, parece haver uma forte relação linear positiva entre x e y, levando a um valor alto para s xy Mas, o que é um valor alto??? A covariância possui dois grandes problemas: Depende da unidade utilizada nos valores de x e y se as vendas fossem expressas em R$ (e não R$000), a variância seria e não 11 É difícil dizer, a princípio, se s xy é grande ou não é expressa em uma base absoluta. 40

41 Coeficiente de correlação Como a covariância, o coeficiente de correlação mede a força da relação linear entre duas variáveis emparelhadas Sua fórmula é dada por: s r xy = s s Ou seja, o coef. de correlação é apenas a covariância padronizada pelos desvios-padrões das duas variáveis (x e y) x xy y 41

42 Coeficiente de correlação Ao contrário da covariância, -1 r xy +1, e r xy é ADIMENSIONAL! Quanto mais próximo de +1, mais forte é a relação linear positiva entre x e y Quanto mais próximo de 1, mais forte é a relação linear negativa entre x e y Valores próximos de zero indicam ausência de relação linear entre x e y 42

43 Coeficiente de correlação No exemplo anterior, temos: s r xy s s x y xy = 11 = 1,49 = 7,93 = s s x xy s y = 11 1,49.7,93 = 0,93 Realmente, as variáveis x e y apresentam uma forte relação linear! Note que A COVARIÂNCIA E O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO MEDEM APENAS A INTENSIDADE DA RELAÇÃO LINEAR ENTRE AS DUAS VARIÁVEIS!!!! 43

44 Exemplo Risco de um Portfolio A teoria moderna de Finanças diz que devemos diversificar o nossa carteira de investimento a fim de diminuir o risco. Como já vimos anteriormente, a principal medida de risco utilizada é o desvio-padrão do retorno dos ativos. A partir da tabela a seguir com os retornos mensais de 2 ativos A e B, calcule: (a) a média e o desvio-padrão dos retornos de cada um deles; (b) a média e o desvio-padrão dos retornos de uma carteira composta de 50% do ativo A e 50% do ativo B; (c) idem, com 75% de A e 25% de B. Que conclusões você pode tirar? 44

45 Exemplo Risco de um Portfolio Mês Ativo A -11,5% 10,0% 1,6% -9,2% 1,0% -8,9% 20,4% 3,0% -9,3% Ativo B 0,6% 11,9% -14,5% -0,4% -6,0% 7,9% 17,3% -10,3% -17,8% As fórmulas para o cálculo da média e desvio-padrão de uma carteira são dadas a seguir: x s port 2 port w w A B = = = = w w A 2 A x s A 2 A peso peso + w + w B 2 B x s B 2 B + 2w A w B s de A no portfolio de B no portfolio 2 AB 10 11,3% 6,5% 11 1,3% -4,6% 12 0,0% -4,4% 45

46 Exemplo Risco de um Portfolio Solução: x A = 0,806%, x B = -1,156%; s A = 9,274%; s B = 10,168% Portfolio A: x = -0,175%; s = 8,459% Portfolio B: x = 0,316%; s = 8,544% Nos dois portfolios, o risco apresentado foi menor do que os riscos dos ativos individuais O retorno médio para ambos os portfolios ficou situado entre os retornos médios dos ativos individuais Conclusão conseguimos diversificar parte do risco, mas à custa de parte do retorno 46

47 Análise multivariada considerações finais Como na seção anterior, as fórmulas para variância e coeficiente de correlação aqui apresentadas referemse a amostras Para a população, as fórmulas são as seguintes: σ ρ xy xy x xy y n ( x i=1 = xy = = cov σ σ σ i µ )( y X n i µ ) Y 47

48 Utilizando o Excel Funções do Excel para análise multivariada Função covar(x;y) correl(x;y) Descrição Calcula a covariância populacional entre x e y. Para calcular a covariância amostral, multiplique o resultado obtido por n e divida por n 1 (n = número de pontos da amostra) Calcula o coeficiente de correlação populacional entre x e y.para calcular o coeficiente de correlação amostral, multiplique o resultado obtido por n e divida por n 1 (onde n é o número de pontos da amostra) 48

49 Exemplo para casa O arquivo stat_case2.xls contém as vendas mensais de automóveis (no mercado interno), aparelhos de TV e videocassete no período entre Janeiro de 1995 e Dezembro de Use o Excel para: Fazer o gráfico da evolução de cada variável ao longo do tempo Fazer o gráfico de dispersão das vendas de cada variável versus cada uma das outras (auto x TV, auto x video, TV x video) Calcular as covariâncias entre todos os pares de variáveis Calcular os coeficientes de correlação entre todos os pares de variáveis 49

50 Probabilidades Introdução Probabilidade faz parte do nosso dia a dia, por exemplo: A previsão da meteorologia é de (grande chance de) chuvas ao final do dia O Flamengo possui (MUITAS!!!) chances matemáticas de chegar à final A probabilidade do candidato XYZ chegar ao 2o. Turno das eleições presidenciais é pequena... A probabilidade da taxa SELIC cair na próxima reunião do COPOM é alta... 50

51 Probabilidades Introdução Em resumo: estamos SEMPRE falando sobre probabilidades no nosso dia a dia, resta saber como quantificá-las, e quais os MODELOS mais comuns na prática. Na terminologia usual, a probabilidade reflete a chance de um determinado evento ocorrer Quanto maior a probabilidade, maiores as chances de ocorrência IMPORTANTE: probabilidade é um número entre 0 e 1 sempre! 51

52 Probabilidades Introdução E por que é necessário estudar probabilidades? Sempre que lidamos com experiências aleatórias, ou seja, toda vez em que o mundo não é determinístico (quase sempre...) Experiência aleatória Aquela cujo resultado não pode ser conhecido antes da realização da mesma, por exemplo: O resultado da jogada de um dado; O número de carros que passam num posto de pedágio num intervalo de meia hora; A cotação do dólar em 02/03/2005; Os números que vão sair no concurso da Mega-Sena da próxima semana. 52

53 Probabilidades Introdução Mas... note que, embora você não saiba exatamente qual o resultado da experiência aleatória, também não existe ignorância completa sobre o assunto!!! No exemplo do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado; no caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0,..., 50} e nos outros exemplos podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos! 53

54 Probabilidades algumas definições Experimento ou Experiência Aleatória atividade objeto do estudo Jogar um dado 5 vezes consecutivas Escolher ao acaso um nome da lista telefônica A cotação do dólar em 02/03/

55 Probabilidades algumas definições Espaço Amostral ou Universo conjunto de todos os possíveis resultados que podem ocorrer em um experimento Todas as possíveis combinações de 5 arremessos consecutivos de um dado (7.776) Total de nomes da lista telefônica do Rio de Janeiro (???) Valores entre R$ 1.50 e 150 reais (cotação do dólar em 02/03/2005) Evento um conjunto de possíveis resultados de um experimento Seqüências de 5 valores diferentes Nomes que comecem com P e tenham 5 letras Cotação do dólar entre 3.8 e 8.5 reais em 02/03/

56 Probabilidades algumas definições Complemento de um evento A ou A c todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A Se a probabilidade de um evento A for p (decimal), a probabilidade de A c será 1 p Eventos mutuamente exclusivos A e B os elementos de A não pertencem a B e vice-versa A ocorrência do evento A implica na não ocorrência do evento B e vice-versa Eventos coletivamente exaustivos A e B a união dos elementos de A e B formam o espaço amostral 56

57 Probabilidades métodos de cálculo Existem dois métodos quantitativos para a determinação de probabilidades de ocorrência de eventos. O primeiro, chamado de Método Clássico, assume que todos os elementos do espaço amostral são equiprováveis e a probabilidade de ocorrência de um determinado evento A, P(A), é definida como o número de resultados favoráveis (pertencentes ao evento), N(A), dividido pelo número total de resultados possíveis (espaço amostral), N(U). P ( A) = N( A) N( U ) 57

58 Probabilidades métodos de cálculo Exemplo: Considere o lançamento de dois dados não viciados. Qual é a probabilidade da soma dos valores obtidos ser 5? Solução: O espaço amostral contém 36 elementos (6 possibilidades para o primeiro dado e 6 possibilidades para o segundo dado) O evento considerado possui 4 elementos os pares (1,4), (4,1), (2,3) e (3,2) A probabilidade de A, P(A), é dada por: N( A) 4 P( A) = = = N( U ) 36 0,11 58

59 Probabilidades métodos de cálculo No segundo método, chamado de Método da Freqüência Relativa, não podemos assumir que todos os elementos do espaço amostral são equiprováveis Desta forma, devemos obter alguma amostra representativa do espaço amostral e utilizar a proporção de elementos favoráveis da amostra em relação ao tamanho total da amostra como estimativa da probabilidade do evento A As conclusões obtidas por esse método somente serão válidas se as amostras utilizadas mantiverem as mesmas características e condições da população (espaço amostral) 59

60 Probabilidades definição freqüência relativa Seja E uma experiência aleatória, e supomos que a experiência pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições. Sejam A e B eventos quaisquer, e n a e n b representam o número de ocorrências dos eventos A e B nas n repetições da experiência E. Por exemplo, suponha que E é a experiência: jogar um dado e observar o número que saiu. Seja A o evento: saiu um número par, e B o evento: saiu o número 6. Joga-se o dado 20 vezes, e observa-se as seguintes freqüências para cada face do dado: 60

61 Probabilidades definição freqüência relativa face do dado freqüência Então : n a = 11 e n b = 2, e n = 20 (número de repetições da experiência). Intuitivamente, se tivéssemos jogado o dado um número bem maior de vezes, nós nos sentiríamos mais confiantes em afirmar que a probabilidade de uma das faces do dado seria igual ao número de vezes em que aquela face "saiu" dividido pelo número de repetições da experiência. 61

62 Probabilidades definição freqüência relativa Definição - Freqüência relativa A freqüência relativa de um evento A, denotada por f A é definida por: f A = n a / n onde na indica o número de ocorrências do evento A dentre as n repetições da experiência. A partir da definição vemos que as freqüências relativas dos eventos A e B são, respectivamente, 11/20 = 0.55 e 2/20 =

63 Probabilidades métodos de cálculo Exemplo: De um total de nascimentos, 394 foram de gêmeos, trigêmeos ou mais. Qual a probabilidade de ocorrer o nascimento de uma única criança (não gêmeo)? Solução: A amostra é composta por elementos O evento considerado possui = elementos A probabilidade de A, P(A), é dada por: N( A) 4606 P( A) = = = N( U ) ,

64 Probabilidades algumas definições Espaço amostral e eventos representação gráfica (Diagrama de Venn) Espaço Amostral Interseção entre os eventos A e B Evento A Evento B 64

65 Probabilidades algumas definições Eventos complementares o complemento de A (A c ) é composto por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A Espaço Amostral A c A 65

66 Probabilidades algumas definições Eventos mutuamente exclusivos os elementos de A não pertencem a B e vice-versa Obseve que dois eventos complementares são mutuamente exclusivos Espaço Amostral A B 66

67 Probabilidades algumas definições Eventos coletivamente exaustivos a união de todos os elementos pertencentes a esses eventos forma o espaço amostral Eventos coletivamente exaustivos podem ser mutuamente exclusivos (quando não há interseção entre eles) ou não Espaço Amostral A B C 67

68 Leis da Adição As leis da adição são úteis quando quando temos dois ou mais eventos e desejamos calcular a probabilidade de que pelo menos um deles ocorra Antes, vamos discutir dois conceitos importantes: a união e a interseção de eventos A união de dois eventos A e B é um evento C composto por todos os elementos pertencentes a A, B ou ambos, denotada por A B A interseção de dois eventos A e B é um evento C composto por todos os elementos pertencentes simultaneamente a A e B, denotada por A B 68

69 Leis da adição caso geral P(A+B) = P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A razão do último termo da fórmula e que quando somamos P(A) e P(B) estamos contando duas vezes P(A B) A B Espaço Amostral A B 69

70 Leis da Adição casos particulares Eventos mutuamente exclusivos P(A+B) = p(a) + p(b), já que P(A B) = 0 Eventos complementares P(A+B) = P(A) + P(B) = 1, já que P(A B) = 0 Eventos coletivamente exaustivos P(A+B) = P(A) + P(B) P(A B) = 1 Eventos coletivamente exaustivos e mutuamente exclusivos P(A+B) = P(A) + P(B) = 1, já que P(A B) = 0 70

71 Leis da Adição - exemplo Um banco possui 10 fundos de investimento. Desses, 6 são de renda fixa, 4 são corporativos e 2 são de renda fixa e corporativos. Se escolhermos um fundo ao acaso, qual é a probabilidade dele ser de renda fixa ou corporativo? Solução (evento A: renda fixa evento B: corporativo) Universo = 10 elementos P(A+B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) = 6/10 = 0,6 P(B) = 4/10 = 0,4 P(A B) = 2/10 = 0,2 P(A U B) = 0,6 + 0,4 0,2 = 0,8 ou 80% 71

72 Exemplo - para casa Uma empresa de TV a cabo possui clientes. Destes, 3500 assinam o pacote de programação premium, e 6000 possuem mais de um ponto instalado em casa clientes são, simultaneamente, assinantes premium com mais de um ponto instalado. Escolhe-se um cliente ao acaso. Qual a probabilidade dele ser assinante premium ou ter mais de um ponto instalado em casa? 72

73 Leis da Multiplicação Eventos independentes a ocorrência de A não influencia B e vice-versa Dois arremessos consecutivos de uma moeda As idades das próximas duas pessoas a entrar em um banco Probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes P(A x B) = P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B) Exemplo: qual a probabilidade de ocorrência de exatamente 3 caras em três arremessos consecutivos de uma moeda? P(cara) = 0,5 P(3 caras) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 73

74 Leis da Multiplicação Exemplo: qual a probabilidade de ocorrência de pelo menos uma cara em três arremessos consecutivos de uma moeda? Método A: (c cara o coroa) 1 o 2 o 3 o Universo: 8 c c c c c c o o o o c o o c c o o o c o c o c o Elementos favoráveis: 7 P(A): 7/8 = 0,875 74

75 Leis da Multiplicação Método B: Observe que o evento A: obter pelo menos 1 cara é complementar ao evento B: não obter nenhuma cara Conseqüentemente P(A) + P(B) = 1 P(B) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 Logo, P(B) = 1 P(A) = 0,875 75

76 Independência e Dependência Exemplo Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas num shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre renda familiar e posse de cartões de crédito. A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre renda e número de cartões? 76

77 Independência e Dependência Renda Familiar < R$ 500 R$ 501 a R$1000 R$ 1001 a R$ 2000 > R$ 2001 Núm. Cartões ou mais Se existe independência entre as duas variáveis, então Pr(A i B j ) = Pr(A i ).Pr(B j ) para todos i e j, onde A i indica o nível de renda e B j o número de cartões de crédito. Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes. Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que: 77

78 Independência e Dependência Pr(renda abaixo de R$ 500 E 0 cartões) = 0.26 Mas: Pr(renda abaixo de R$ 500) = 330/1000 = 0.33 Pr( 0 cartões de crédito) = 530/1000 = 0.53 E como 0.26 (0.33)(0.53), segue que as variáveis renda familiar e número de cartões de crédito são dependentes. 78