Volume 1 Sumário. Volume 2 Sumário

Transcrição

1 Volume 1 Sumário Apresentação 01. Por que aprender matemática? 02. Árvores na solução de problemas 03. Números do nosso dia a dia 04. Nosso sistema de numeração 05. Somar e diminuir 06. A conta de mais 07. A conta de menos 08. Somando "de cabeça" 09. Multiplicar e dividir 10. Multiplicando "de cabeça" 11. A conta de vezes 12. O que é medir? 13. A conta de dividir 14. Usando padrões para medir 15. As coisas têm área, volume e forma 16. Números com vírgula 17. Sistemas de medidas 18. Somar e diminuir números com vírgula 19. Multiplicar e dividir por 10, 100, Dividir sem deixar resto Gabaritos das perguntas e exercícios Volume 2 Sumário 21. Usando a máquina de calcular 22. Múltiplos e divisores 23. Trabalhando com múltiplos 24. Frações 25. Frações diferentes, quantidades iguais 26. Quem é maior? 27. Fração ou número com vírgula 28. Quantos por cento? 29. Construindo o pensamento geométrico 30. Perpendiculares e paralelas 31. O que é ângulo 32. Um pouco mais sobre ângulos 33. Ângulos do triângulo 34. Tirando a média 35. Frações na música 36. Números menores que zero 37. Localizando um ponto no mapa 38. Somando números com sinais 39. Lucro e prejuízo 40. A máquina tem outros recursos Gabaritos das perguntas e exercícios As aulas 01 a 40 mais os gabaritos das perguntas e exercícios Infelizmente não está disponível

2 A UA UL LA Triângulos Para pensar O triângulo é uma figura geométrica muito utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de triângulo. Observe na armação do telhado os tipos diferentes que você pode encontrar. Tente contar quantos triângulos existem nessa armação. Nossa aula Você já sabe que o triângulo é uma figura geométrica de: vértice lado lado lado vértice ângulos vértice

3 Para falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma convenção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são pontos do plano. E assim temos, por exemplo: C A U L A 41 l l l Os pontos A, B e C são os vértices. Os segmentos AB, BC e AC são os lados. Â, B e C são os ângulos do triângulo. A B Você também já viu, na 1ª fase de seu curso, que: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º. Veja os exemplos abaixo: 45º 30º 60º 45º 60º 60º 60º 90º + 45º + 45º = 180º 90º + 30º + 60º = 180º 60º + 60º + 60º = 180º Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima.? 45º 180º - (90º + 45º) = = 180º - 135º = = 45º O ângulo cuja medida é desconhecida mede 45º, pois é quanto falta à soma dos outros dois para completar 180º. 30º? 180º - (90º + 30º) = = 180º - 120º = = 60º O resultado é encontrado subtraindo-se de 180º (total da soma) a soma dos ângulos que você já conhece.??? 180º 3 = 60º Neste exemplo, você não conhece nenhum dos três ângulos, mas sabe que os três possuem medidas iguais. Basta então dividir o total por 3.

4 A U L A 41 Classificação dos triângulos Como os triângulos não são todos iguais, podemos separá-los em grupos que tenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se dois tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados. Classificação quanto aos ângulos acutângulo retângulo obtusângulo Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos (menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja: l l l O triângulo acutângulo possui os 3 ângulos agudos. O triângulo retângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos. O triângulo obtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos. Classificação quanto aos lados A A A 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm 3,5 cm 4 cm B C B C B C 3 cm 3 cm 3 cm Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos: l l l O triângulo equilátero possui os 3 lados com a mesma medida. O triângulo isósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado com medida diferente. O triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.

5 Observações 1. Quando um triângulo é equilátero ele é também equiângulo, isto é, seus três ângulos possuem a mesma medida. A A U L A 41 3 cm 60º 3 cm AB = AC = BC = 3 cm (equilátero) Â = B = C = 60 (equiângulo) 60º 60º B C 3 cm 2. No triângulo isósceles, o lado que possui medida diferente é chamado de base e os ângulos que os lados com medidas iguais formam com a base têm a mesma medida. A 3,5 cm 3,5 cm AB = BC = 3,5 cm BC = base = 3 cm B = C = 65 B 65º 65º 3 cm C Construção de um triângulo pelas medidas de seus lados Mesmo conhecendo as três medidas dos lados, nem sempre conseguimos construir um triângulo. Você pode usar palitos ou varetas de vários tamanhos e ver o que acontece na prática. Vamos mostrar com três exemplos algumas situações que você vai encontrar na prática. Você descobrirá que existe uma relação entre as medidas dos lados que possibilita a construção de um triângulo. Vamos lá! EXEMPLO 1 É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm? 4 cm cm 3 8 cm

6 A U L A 41 Observe que, se fixarmos nas extremidades do lado maior os lados menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encontrem e formem um triângulo. Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor do que a medida do lado maior (8): 8 > EXEMPLO 2 Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que acontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm. 4 cm 4 cm 8 cm Como no exemplo anterior se fixamos as extremidades para procurar a posição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cada um) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = EXEMPLO 3 Vamos agora utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4 cm. 4 cm 5 cm 8 cm Nesse caso é possível construir um triângulo, pois quando giramos os lados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontram formando o triângulo. Note que: 8 < Conclusão Para verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas as medidas de seus três lados, basta verificar se a soma das medidas dos dois lados menores é maior que a medida do lado maior. Mais formalmente dizemos que: Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

7 Exercício 1 Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto aos lados. a) b) 4 cm c) d) 4 cm 45º 20º 4 cm 6 cm 130º 30º 45º 3 cm 5,5 cm 3,5 cm 60º 3,5 cm 60º 60º 3,5 cm 4 cm 4 cm 110º 35º 35º 7 cm Exercícios A U L A 41 e) f) 3,2 cm 60º 30º 60º 6,4 cm 3 cm 50º 70º 6 cm Exercício 2 Use a régua para medir os lados dos triângulos abaixo e classifique-os quanto aos lados. a) b) c) Exercício 3 Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classifique os triângulos quanto aos ângulos: a) b) c)

8 A U L A Exercício 4 Determine a medida do terceiro ângulo: 41 a) b) c)??? 43º 52º 28º 60º 70º 70º Exercício 5 Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo? Exercício 6 Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo? Exercício 7 Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os outros dois ângulos? Exercício 8 Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra a, obtido quando prolongamos um dos lados do triângulo, é chamado ângulo externo. Neste exemplo, 40º a 50º a) Quanto mede a? b) Como você obteve essa medida? c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo? Exercício 9 Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos: a) b) a 50º 50º 100º 30º a 70º 60º Exercício 10 Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo: a) 7 cm, 10 cm e 15 cm b) 6 cm, 6 cm e 6 cm c) 4 cm, 5 cm e 10 cm d) 3 cm, 7 cm e 10 cm

9 A UUL AL A O quadrado e outros quadriláteros Para pensar No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas: o quadrado, de dois tamanhos diferentes, e o retângulo. As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto medem 90º cada um. Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois pares de lados iguais chamados lados opostos. Vejamos como se representam as observações acima: Nossa aula B C F G A D E H No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguais  = B = C = D _ ângulos iguais No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais FG = EH _ lados opostos iguais Ê = F = G = H _ ângulos iguais

10 A U L A 42 Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados também conhecida: Essa figura, chamada losango, possui os quatro lados iguais e dois pares de ângulos iguais, os ângulos opostos. S No losango RSTU: R T RS = ST = TU = UR _ lados iguais R = T _ ângulos opostos iguais S = U _ ângulos opostos iguais U Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos iguais é o paralelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois, como no retângulo. No paralelogramo MNOP: } MN = OP dois pares de lados NO = MP opostos iguais N O } M = O dois pares de ângulos N = P opostos iguais M P Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláteros (quadri = quatro e láteros = lados). Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras: 4 LADOS APENAS LADOS 2 PARES DE 4 ÂNGULOS APENAS IGUAIS OPOSTOS IGUAIS LADOS OPOSTOS IGUAIS ÂNGULOS PARALELOS OPOSTOS IGUAIS Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por isso, são chamadas de paralelogramos. Portanto: Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados opostos paralelos.

11 O trapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas um par de lados opostos paralelos, que chamamos de bases. Veja alguns tipos de trapézio: C D G H L M A U L A 42 A B E F I (1) (2) (3) O trapézio 1 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maior e CD a base menor. Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é, AC = BD. Esse é o trapézio isósceles. O trapézio 2 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto, ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulo. O trapézio 3 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse é o trapézio escaleno. Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil lembrar de nomes novos. Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos triângulos: a diagonal. Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja a figura: B C AC e BD são as diagonais J A No retângulo as diagonais são iguais e se cortam ao meio. Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades das diagonais. Confira suas conclusões com a tabela abaixo. D DUAS DIAGONAIS IGUAIS DUAS DIAGONAIS DIAGONAIS DIAGONAIS QUE SE DESIGUAIS PERPENDICULARES CORTAM AO MEIO Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos paralelogramos: As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.

12 A U L A 42 Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é 180º. Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no interior do quadrilátero, como na figura. Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido em dois triângulos: N L O M A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do triângulo LNO, é igual a 180º. Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º Curiosidade! Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras abaixo

13 Exercício 1 Como se chama o quadrilátero: a) Que possui os lados opostos iguais? Exercícios A U L A 42 b) Que possui somente um par de lados paralelos? c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º? d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio? Exercício 2 Complete a tabela com o que se pede: FIGURAS GEOMÉTRICAS PONTOS EM COMUM DIFERENÇAS Exercício 3 Desenhe: a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome. d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.

14 A U L A Exercício 4 Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados. 42 Temos um quadrado de 2 2 e 4 quadrados de 1 1. Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados: a) b) Exercício 5 Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este: a) Recorte-os. b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que você recortou. c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça com 5 peças. Atividades: l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça: um paralelogramo; um retângulo. l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme: um paralelogramo; um retângulo. l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em papel quadriculado. Exercício 6 Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os outros três ângulos.

15 A UUL AL A Polígonos e mosaicos A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas. Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço. Para pensar Exemplos da aplicação do formato das colméias são blocos de calçamento e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcóolicas em adegas. Esse mesmo formato também é encontrado na cabeça de um tipo de parafuso chamado pelos mecânicos e técnicos de parafuso sextavado. Na geometria, parte da Matemática que estuda as figuras, essa forma é chamada de hexagonal.

16 Nossa aula A U L A 43 O hexágono e as outras formas geométricas No revestimento de pisos e paredes de uma casa muitas vezes usamos ladrilhos (lajotas ou azulejos) de diferentes formatos, além da forma hexagonal. Veja os desenhos: Formato hexagonal Formato quadrangular Formato retangular Composição entre formatos quadrangular e hexagonal As figuras que aparecem nesses revestimentos são chamadas, pela Matemática, de polígonos. Os polígonos são figuras geométricas planas e podem ser classificados como regulares ou irregulares. No quadro abaixo, apresentamos alguns exemplos. POLÍGONOS REGULARES: LADOS E ÂNGULOS TÊM A MESMA MEDIDA POLÍGONOS IRREGULARES: LADOS E ÂNGULOS NÃO TÊM A MESMA MEDIDA triângulo quadrado triângulo quadrilátero pentágono hexágono pentágono heptágono octógono eneágono decágono hexágono heptágono

17 Observação Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que, em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do polígono. Veja o exemplo: A U L A 43 Todas as diagonais no Pelo menos uma diagonal interior do polígono. no exterior do polígono. Quando um polígono possui todas as suas diagonais na parte interior, ele é chamado de polígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexo ou côncavo. A soma dos ângulos de um polígono Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos. Na Aula 41 você aprendeu que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulos de um polígono qualquer, como por exemplo do: Pentágono (polígono de 5 lados) Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seus vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura: Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triângulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então para calcular a soma dos ângulos do pentágono podemos fazer: º = 540º. Portanto: A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual a 540º.

18 A U L A 43 Hexágono (polígono de 6 lados) Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexágono convexo em quatro triângulos: Nesse caso, a soma total é calculada assim: º = 720º. Portanto: A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual a 720º. Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de 7, 8, 9 ou mais lados. Experimente! Os ângulos do hexágono regular Observe a figura abaixo: Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaico. Neste mosaico, cada um dos vértices é vértice de três hexágonos ao mesmo tempo, como mostra a figura ao lado. Todos os hexágonos são regulares, isto é, possuem lados e ângulos  B de mesma medida, o que significa que  = B = C. Além disso, a soma desses três ângulos é igual a 360, ou seja, C eles formam um ângulo de uma volta completa:  + B + C =360. Então, cada um desses ângulos éigual a = 120º. Você poderá chegar a essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual a 720º. No caso do hexágono regular, basta fazer 720º 6, isto é, 120º. Atenção! Esse processo é válido também para outros polígonos regulares.

19 Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa com ladrilhos de um único tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo, apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de hexágonos regulares. A U L A 43 Será que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares? Você pode responder a essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em uma folha de papel vários pentágonos iguais ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que você vai conseguir um encaixe perfeito? Já sabemos que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos quadrados, pois os ângulos dos quadrados se encaixam perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um destes ângulos é igual a 90º, e 90 é divisor de 360. Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360. Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou não um divisor de 360. Lembre-se de que a soma dos ângulos de um pentágono dá 540º. Quando um pentágono é regular, todos os seus 5 ângulos são iguais (veja a figura ao lado). E, se a soma desses ângulos dá 540º, cada um deles é igual a 540º 5, ou seja, 108º. Vamos verificar então se 108 é ou não um divisor de 360. Temos: 36º 108º 108º 108º A divisão não é exata e, portanto, 108 não é divisor de 360. Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na figura acima. Texto extraído do Jornal do Telecurso 1º 1 Grau. Fundação Roberto Marinho, Ministério da Educação e Cultura e Fundação Universidade de Brasília, 1989.

20 A U L A 43 Curiosidade! Num artigo da Revista do Professor de Matemática - nº 4, os professores Imenes e Jakubovic escreveram sobre o formato dos parafusos, apresentando algumas questões interessantes: 1. Num parafuso, o polígono presente é sempre regular. Isso se dá por uma razão simples: seria muito inconveniente apertar e desapertar um parafuso que não fosse regular, pois a chave precisaria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar somente após uma rotação de 360º, como mostra a figura: 2. O parafuso mais conveniente é o sextavado. Parafuso sextavado Outros tipos de parafusos Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca após seis movimentos de 60º cada um. 60º Quando um mecânico está consertando um defeito qualquer numa máquina, por exemplo num automóvel, muitas vezes ele tem pouco espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por essa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros menores (60º), isto é, com movimentos mais curtos do braço.

21 Exercício 1 Reproduza estas malhas, crie um padrão e forme um mosaico com ele. Exercícios A U L A 43 Exercício 2 Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que: l a primeira é um pentágono formado por um triângulo equilátero e um quadrado; l a segunda é um losango formado por dois triângulos equiláteros. Exercício 3 O losango é um polígono regular? Por quê? Exercício 4 O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um de seus vértices e trace todas as diagonais que saem desse vértice. Depois, responda às perguntas: a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido? b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos ângulos desse octógono? c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono? O Exercício 4 foi extraído do Jornal do Telecurso 1º 1 Grau. Fundação Roberto Marinho, Ministério da Educação e Cultura, Fundação Universidade de Brasília,1989.

22 A U L A Exercício 5 Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostram as figuras: 43 Agora, com base nessa informação, complete a tabela abaixo: NÚMERO DE NÚMERO DE NÚMERO DE SOMA DE LADOS DO DIAGONAIS QUE TRIÂNGULOS TODOS OS ÂNGULOS POLÍGONO SAEM SAEM DE FORMADOS DO POLÍGONO CADA VÉRTICE º º Exercício 6 Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe uma relação entre o número de lados do polígono e o número de triângulos formados? Qual é essa relação? Exercício 7 Imagine um polígono com n lados, sendo n um número inteiro e maior que 3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que saem desse vértice. a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados nesse polígono de n lados que você imaginou. b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de todos os ângulos desse polígono de n lados.

23 A UUL AL A A linguagem matemática Observe o texto abaixo. Ele foi extraído de um livro de geometria chinês. Veja se, mesmo sem saber chinês, você consegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O que está sendo demonstrado? Para pensar

24 Nossa aula A U L A 44 Ao procurar num dicionário a palavra linguagem, você encontra várias definições. Veja duas delas, encontradas no Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa: linguagem. 1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio de expressão ou da comunicação entre pessoas. 2. O vocabulário específico usado numa ciência, numa arte, numa profissão etc. Como você pode ver, a linguagem é uma forma de expressar determinada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc. A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza de uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples, curta e precisa. l Simples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de símbolos. Por exemplo, a frase: Dois somado com três é igual a cinco, se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os símbolos matemáticos: = 5 l Precisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é, sem falhas. O uso de letras na Matemática Além dos algarismos e dos sinais de operação (+, -,, :,, etc), a linguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns exemplos: EXEMPLO 1 Considere as multiplicações do múmero 1 por outros números: 1. 0 = = = = 3 Você já deve ter percebido que o número 1 multiplicado por um número qualquer sempre resulta nesse número. Daí, podemos usar uma letra para representar esse fato: 1. x = x onde a letra x está representando um número qualquer.

25 EXEMPLO 2 Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato pode ser representado por: a + b = 5 A U L A 44 onde a e b representam os números que somados dão 5. EXEMPLO 3 As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressas por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli- cação sobre a adição, que você já aprendeu e que pode ser representada por: a (b + c) = a b + a c onde as letras a, b e c representam números quaisquer. Vejamos agora uma outra situação. Observe: = = 2. 2 Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x. x? Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que não: não é igual a Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemos escrever que x + x = x x. O uso de letras na geometria As letras também podem ser usadas para indicar algumas fórmulas da geometria. Por exemplo: l A área de um quadrado pode ser expressa por l² ², onde l representa o lado desse quadrado. l l lado = l área = l. l = l ² l l A área de um retângulo pode ser expressa por a b, onde a e b representam as dimensões do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expresso por 2a + 2b ou 2 (a + b). A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser expressa por (n - 2) 180º. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letra n e a expressão n - 2.

26 A U L A 44 A linguagem matemática e a resolução de problemas A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento importante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema que estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionar o problema. Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem corrente e sua tradução para a linguagem matemática. Veja: EXEMPLO 1 EM LINGUAGEM CORRENTE EM LINGUAGEM MATEMÁTICA A metade de um número é igual a 6. x 2 = 6 Qual é esse número? x =? A solução desse problema é a solução da equação matemática x = 6. No 2 momento, não vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo, agora, é apenas saber o que é e para que serve a linguagem matemática. EXEMPLO 2 EM LINGUAGEM CORRENTE EM LINGUAGEM MATEMÁTICA Uma pessoa tinha uma determinada quantia de dinheiro. x No primeiro mês gastou 100 reais. x No segundo mês gastou metade do que sobrou, x ficando com 80 reais. 80 Qual era a quantia inicial? x =? x = x { gastou no 1º mês { gastou no 2º mês + 80 { sobrou Para descobrir o valor de x, basta resolver a última equação. Mas, como já dissemos, esse não é o nosso objetivo no momento.

27 Exercício 1 Escreva as seguintes frases em linguagem matemática: a) O dobro de um número. Exercícios A U L A 44 b) O triplo de um número. c) Um número menos sete. d) Metade de um número, mais um. Exercício 2 Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes? a) A ordem dos fatores não altera o produto. b) A ordem das parcelas não altera a soma. Exercício 3 Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm. a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar esse fato. b) Dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo. Exercício 4 Complete a frase: Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o preço é x, pagamos...

28 A UA UL LA O círculo e o número p Para pensar O círculo é uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, à mesa de refeição... l l l Agora pense, o que você faria para: riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda? desenhar um círculo no seu caderno? marcar o limite das escavações de um poço no chão? Nossa aula Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar. A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo. Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências. Como você pode ver na figura ao lado, o compasso possui duas pernas. Uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência. A outra ponta, com o grafite, deve ser girada para

29 obter o traçado da circunferência. Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso. A distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência. Agora, pegue um compasso e trace uma circunferência. Repare que todos os pontos da circunferência que você riscou no papel estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é o raio. Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas. A U L A 45 Algumas definições importantes Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. corda diâmetro Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura: Raio Raio Diâmetro r r d d = 2. r

30 A U L A 45 Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada. Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada arco de circunferência. arco _ P Q corda Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ. Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ. Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo. semicircunferência AB diâmetro AB O comprimento da circunferência Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro. No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada. Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência estão relacionados, vamos a seguir compará-los.

31 Descobrindo uma relação Usando diferentes objetos com a forma circular, vamor medir o comprimento das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda. Você pode estar se perguntando: Mas como medir a linha curva?. Um barbante ou uma fita métrica pode servir. Acompanhe este exemplo: A U L A 45 l Pegue um copo e um pedaço de barbante. Coloque o copo com a boca para baixo e contorne a borda do fundo do copo com o barbante. Marque com uma caneta o ponto do barbante que toca o seu começo. Então estique o barbante e meça com a régua o comprimento do começo do barbante até a marquinha que você fez. l No copo que nós utilizamos, essa medida foi de 15,5 cm ou 155 mm. l Agora meça o diâmetro. Não esqueça que qualquer diâmetro tem a mesma medida e que o diâmetro passa pelo centro. Aqui obtivemos 4,9 cm ou 49 mm. Para saber quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que o diâmetro, vamos dividir a medida da circunferência pela medida do diâmetro. Usando uma máquina de calcular encontramos o seguinte resultado: comprimento diametro ê = 155mm 49mm = 3,16 Observe que, nesse e nos próximos exemplos, utilizamos apenas duas casas decimais no resultado das divisões. Vamos repetir a experiência do copo com outros objetos do nosso dia-a-dia. Medindo uma ficha telefônica, encontramos aproximadamente 69 mm para o comprimento da circunferência e 22 mm para o diâmetro. comprimento diametro ê = 69mm 22mm = 3,13

32 A U L A 45 Observe as medidas que obtivemos com vários objetos: OBJETO COMPRIMENTO DIÂMETRO COMPRIMENTO DIÂMETRO tampo de mesa 3,10 m 1 m 3,10 pires de xícara 47 cm 15 cm 3,13 prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,14 pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,14 fundo de copo 155 mm 49 mm 3,16 ficha telefônica 69 mm 22 mm 3,13 Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Na realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,14. Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em todas as divisões. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas com os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproximadas, o resultado das divisões também é uma aproximação. Atenção! Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número tão útil e importante é chamado pi e simbolizado pela letra grega p (que já existe em muitas calculadoras). Conclusão comprimento da circunferência diâmetro da circunferência = C d = p O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima. Note que d = 2r, logo: C d =p p_ C =p p_ C =p 2rp. ou C=2pp r 2r Um pouco de História Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi um gênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas de guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado de p. Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência. Para calcular o número p, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número de lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência. O valor utilizado para p foi, durante muitos anos, o número aproximado obtido por Arquimedes: 22 7 = 3, lados 8 lados 12 lados

33 Para você saber mais Descobriu-se, posteriormente, que o número p não pode ser representado por uma fração e que ele tem infinitas casas decimais. O número p é exemplo de um tipo de número chamado irracional. Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o número p com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos! Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número p com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos. p = 3, Na prática, usa-se apenas 3,14 ou 3,1416 para aproximar o valor de p. Exercício 1 Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm. Exercício 2 Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 10 cm. Exercício 3 Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo 4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento? Exercício 4 Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? Exercício 5 Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cm de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência? Exercício 6 Complete a tabela abaixo: A U L A 45 Exercícios RAIO = r DIÂMETRO = d COMPRIMENTO = 2pr RAIO ,14 = 12, ,84 Exercício 7 Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento da semicircunferência dela obtida? Exercício 8 Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foi dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada um dos arcos? Exercício 9 Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda que podemos desenhar? Exercício 10 Desenhe uma circunferência e divida-a em apenas dois arcos.

34 A UA UL LA Novamente frações Para pensar Uma pessoa vai viajar para uma cidade a 220 km de distância de onde mora. Planeja fazer duas paradas para descansar. Quais serão as distâncias das paradas (incluindo a partida e a chegada), sabendo que elas deverão ser aproximadamente iguais? Faça um gráfico da estrada, marcando as paradas. Nossa aula Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por exemplo: 20 5 = = 2,5 Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9: , Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente, e o resto será sempre o mesmo (5). Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o número (ou seja, 4, ). Nesse caso, o algarismo 5 aparece repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontraremos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes). Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontos indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente. O número 4, é chamado de dízima periódica e o algarismo 5 é o período da dízima. Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobre o período: 4,5. Como essa dízima foi gerada pela divisão 41 9, que pode ser escrita em forma de fração, como 41, dizemos que a geratriz da dízima periódica é a 9 fração 41. 9

35 Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas: 17 = 17 9 = 1, 8 O período é 8, 9 a parte inteira é 1. 7 = 7 3 = 0,21 O período é 21, 33 a parte inteira é zero. Nesses dois exemplos, os períodos aparecem logo após a vírgula. Elas são chamadas de dízimas períodicas simples. As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o período são chamadas de dízimas periódicas compostas. Por exemplo: A U L A 46 1, O período é 8, a parte não-periódica é 4, a parte inteira é 1. 0, O período é 27, a parte não-periódica é 3, a parte inteira é zero. Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como: 5 l 5; V; 5,0; 1 ; l 0,8; 0,80; 8 10 ; 4 5 ; l 0,666...; 6 9 ; 2 3 ; l 1 3 ; 2 6 ; 3 9 ; Além disso, observamos que todos esses números podem ser representados em forma de fração. Eles são chamados números racionais. Vamos conhecer, agora, um número diferente: um número decimal com infinitas casas decimais mas sem um período. Veja este exemplo: 0, Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes? A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero, depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um fim nem um período. Ele não é um número racional. Um número desse tipo é chamado de número irracional. Um número irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode ser escrito em forma de fração. Você viu, na aula anterior, um número irracional muito conhecido, o número p, que vale aproximadamente 3,1416. Você verá mais adiante, em outra aula, exemplos de números irracionais que surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.

36 Exercícios A U L A Exercício 1 Escreva a representação decimal de: 46 a) 13 b) c) 56 9 d) Exercício 2 Efetue as divisões com quociente decimal: a) 1 9 b) 2 9 c) 3 9 Exercício 3 Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de: a) 4 9 b) 5 9 c) 6 9 Exercício 4 Ao lado de cada número, escreva se sua representação decimal é finita, infinita e periódica ou infinita e não-periódica: a) 17 5 c) 0,35 e) 4 6 b) 3,45 d) 0, f) p Exercício 5 Diga se estes números são racionais ou irracionais: a) 4 c) 4,33 e) 4,330 b) 4, d) 1, f) 0

37 A UUL AL A Números proporcionais A distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 km. Qual é a distância entre as duas cidades em um mapa feito na escala de 1 : ? Para pensar Se uma caixa d água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80 m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesma hora, qual é a altura da caixa? Comparando o comprimento da sombra do homem com sua altura, medidos em centímetros (cm), encontramos: Nossa aula = 2 3, depois de simplificar a fração. A divisão é uma das formas que usamos para comparar dois números. Dizemos que a razão entre o comprimento da sombra e a altura do homem é de 2 ou 2 : 3, que se lê 2 para 3. 3 Como as medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo local, a razão entre o comprimento da caixa d água e sua altura também será m? = 2 3 A altura da caixa d água é igual a 30 m, pois a razão é igual a 2 3. No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a escala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais que correspondem a ele.

38 A U L A EXEMPLO 1 47 A planta de uma sala retangular está desenhada na escala 1 : 100. Determine as medidas reais dessa sala. 6 cm 8 cm escala: 1 ou 1: A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais 1 é de 1 : 100 ou (lê-se 1 para 100), o que significa que as medidas reais são vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta. Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da planta por 100: 6 cm. 100 = 600 cm = 6 m 1 8 cm. 100 = 800 cm = 8 m As medidas reais da sala são, portanto, 6 m e 8 m. O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas. Vimos que uma razão compara dois números pela divisão. Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, a relação matemática é chamada de proporção, e dizemos que as quantidades medidas são proporcionais.

39 EXEMPLO 2 Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa para percorrer 180 km com a mesma velocidade? A U L A = 180? Essa igualdade é uma proporção, e os números que medem as distâncias e o tempo são proporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo para percorrê-la. Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo? Vamos recordar algumas proporções que já conhecemos: a) 2 3 = 6 9 É fácil verificar que: b) 3 4 = a) 2. 9 = 18 b) = = 18, logo 2. 9 = = 96, logo = Acabamos de chegar a uma propriedade muito importante e bastante usada em Matemática: Numa proporção, os produtos do numerador de uma fração pelo denominador da outra fração são iguais. Voltando ao exemplo, podemos agora determinar o termo desconhecido da proporção = 180.? Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x, que é usada em lugar do termo desconhecido (Aula 44), = 180 x e aplicando a propriedade que vimos anteriormente: 120x = x = 360 x = 360 : 120 (Aplicando operação inversa) x = 3 A pessoa levará 3 horas para percorrer os 180 km.

40 Exercícios A U L A Exercício 1 Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete a tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número A B RAZÃO A B a) b) 21 c) 30 d) 100 e) RAZÃO A B NA FORMA MAIS SIMPLES 6 7 Exercício 2 Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas: a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma? b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma? c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos? Exercício 3 Determine o valor de x em cada uma das seguintes igualdades de modo que elas se tornem verdadeiras: a) 20 8 = x 6 b) = x 90 c) x 3 = d) x 4 = Exercício 4 A planta de uma casa foi feita em escala de 1 : 50. Quanto medirá na planta uma parede que mede 20 m? Exercício 5 Quanto custam 12 canetas se 4 custam R$ 3,50? Sugestão: Estabeleça o preço usando o conceito de proporção.

41 A UUL AL A O Teorema de Tales l A estaca tem 1,50 m e sua sombra 2,20 m. A sombra do poste mede 4,90 m. Qual é a altura do poste? Para pensar l A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto passará a ser a sua massa? l Com um par de esquadros, desenhe um feixe de 5 retas paralelas. Depois, trace sobre elas 2 retas transversais que não sejam paralelas entre si. Meça os segmentos determinados nas retas transversais. Eles são proporcionais? As pirâmides do Egito Nossa aula As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A técnica empregada em suas construções até hoje fascina o homem. A pirâmide de Qué ops, no Egito, foi construída por volta de anos antes de Cristo. Considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo, Quéops tem aproximadamente 150 metros de altura. Sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros.

42 A U L A 48 Tales e a pirâmide O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta do ano 585 a.c. Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobre o que era difícil, Tales respondeu: Conhecer a si mesmo. O que era fácil: Ser dirigido por outro. Agradável: Seguir a própria vontade. Divino: Aquilo que não tem começo nem fim. Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amásis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la. Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base. A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é a medida do segmento VH. V raio solar H { { metade da base comprimento da sombra

43 Tales e a Matemática Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos: 1. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados correspondentes formam uma proporção. A U L A 48 c a b z x y a x = b y = c z 2. Os raios solares são paralelos. E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida. V A H a P B a C Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar. Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (a). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos lados desses triângulos eram proporcionais. Então: VH HP = AB BC Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou a largura de grandes rios e lagos.

44 A U L A 48 O Teorema de Tales São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema: Duas retas, m e n,, cortam três retas parelelas a, b e c.. Nessas condições, os segmentos de medidas x, y, z e w são proporcionais. Assim: x y = z w m n a x z b y w c Uma aplicação do Teorema de Tales Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura: Rua das Marrecas lote C x 24 m lote B lote A 20 m 30 m Rua dos Gansos Representando por x a medida que desejamos calcular e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as laterais são paralelas, temos: = x 24 E, fazendo uma simples regra de três: 30 x = x = 16 Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B mede 16 metros.

45 Uma forma mais geral do Teorema de Tales Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como mostra a figura: A U L A 48 a x b y c d z w Os segmentos de medidas a, b, c, d e x, y, w, z, determinados nas retas transversais, formam segmentos proporcionais: a x = b y = c w = d z Uma outra aplicação do Teorema de Tales Para encontrar a solução de problemas de cálculo de distâncias aparentemente impossíveis, os antigos usavam instrumentos de medida de ângulos na vertical e na horizontal. Hoje em dia, os topógrafos usam o teodolito, um instrumento que mede ângulos, distâncias e diferenças de nível.

46 A U L A 48 Veja na figura abaixo como funciona o teodolito na medição da altura de uma árvore. O teodolito deve ser afastado até que o ângulo de visão da horizontal com o topo da árvore seja de 45º. Quando isso ocorrer, basta medir a distância da árvore até o teodolito. Essa medida será igual à medida da altura da árvore. C A 45º B Isso ocorre porque se comparou o triângulo imaginário com um triângulo retângulo e isósceles que tem os catetos com a mesma medida. Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales l l O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais. Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. l l Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais. O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.