Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática

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1 Uivesidade de Lisboa Facldade de Ciêcias Depatameto de Matemática A temática das Scessões os cíclos de Matemática Aa Magaida Caasco Coeia Tocão Dissetação Mestado em Matemática paa Pofessoes 0/ 0 (Não tilizo o ovo acodo otogáfico) Uivesidade de Lisboa

2 Facldade de Ciêcias Depatameto de Matemática A temática das Scessões os cíclos de Matemática Aa Magaida Caasco Coeia Tocão Dissetação Mestado em Matemática paa Pofessoes Dissetação elaboada sob oietação de: Pofessoa Dotoa Szaa Nápoles, Pofessoa Axilia do Depatameto de Matemática da Facldade de Ciêcias da Uivesidade de Lisboa

3 Smáio: Petede-se este tabalho aalisa como as scessões são tabalhadas os difeetes íveis de esio, do básico ao speio, e pespetiva abodages qe poteciem o se estdo em cotextos vaiados, favoecedo o estabelecimeto de coexões ete a álgeba e a geometia. Smmay of Maste s Thesis which title is The theme of sccessios i the Mathematics ciclm. The aim of this wok is to aalyze how the seqeces ae woked at diffeet levels of edcatio, fom basic to highe edcatio, ad otlie appoaches that ehace thei stdy i diffeet cotexts, favoig the establishmet of coectios betwee algeba ad geomety.

4 Agadecimetos Costma dize-se qe mitas coisas da ossa vida acotecem qado meos espeamos. E, a ealização deste mestado tão pesado e desejado, mas deixado paa m dia ão foi excepção... Tdo começa (iespeadamete) qado vo leccioa apoios pedagógicos acescidos (APAs) paa a Escola EB, Piscias os Olivais e coheço a coodeadoa do Gpo de Matemática, a Pofessoa Magaida Oliveia. Este fatástico se hmao covida ifomalmete todos os colegas de gpo a assistiem a mas palestas sobe Isometias. Essas sessões macaam, sem dúvida algma, o me pecso fomativo! As palestas semaais o qizeais eam miistadas po m seho com ma agilidade metal cotagiate, m seho distito, peclia e algo ieveete as sas ideias, bem como a foma de as expo, tedo aida ma otável desevolta as ovas tecologias da Apple! Falo do admiável e iesqecível Pofesso Edado Veloso. Um octogeáio com m espíito jovial e com m paze imeso em patilha os ses cohecimetos! No decoe destas sessões, tive opotidade de cometa com a Magaida o qão bem me estava a faze volta a estda e as sadades qe descobi te, de execita a mete! Após algs desabafos destes, a Magaida O. Covida-me a i com ela feqeta ma acção de fomação a FCUL, Matemática Aplicada às Ciêcias da Nateza. Após lhe damos iício, apecebo-me qe esta acção é ma cadeia qe itega o Mestado qe melho se adeqava ao me pecso fomativo e pofissioal, tomado esse mometo a decisão de lhe da iício. Potato e atededo ao exposto acima, começo com m pofdo e siceo agadecimeto à Magaida Oliveia e também ao pofesso Edado Veloso pelo implso iicial qe me deam. Desde qe temiei a liceciata o me imão, Pedo Tocão, sempe qe podia, pegtava-me Paa qado o mestado? Foça aí qe e sei qe coseges, sabes qe o mao acedita em ti!... Este pemaete empão ão me pemitia esqece esta hipótese! Já date a feqêcia deste mestado, ma fase meos motivada, o discso do me pai, ma covesa telefóica, foi decisivo paa ão pede o objectivo de o fializa em desaima ates de ma época de exames. Um especial e mito fote obigada aos homes da miha vida pelo apoio qe sempe me deam e pelo desejo costate qe exteioizavam em me ve bem scedida! Esse icetivo pemaete ão me pemiti desaima, vacila o desvia-me da meta fial! Clao qe, a miha mãe, tem aqi m papel esttal e de foça motiz em todos estes gestos, pois sem ela e sem a sa peseveaça ada disto seia possível! Ao mais fatástico se hmao qe algma vez já coheci (e qe po acaso é a miha mãe) agadeço todos os dias tdo o qe teho e mito do qe so! Obigada mãe! 4

5 Po último, peciso de agadece aos mes amigos mais chegados qe ca seqe pseam em casa a miha capacidade de cocli este pojecto a qe dei iício e me icetivaam sempe a cotia! Sempe aceditaam e sempe me apoiaam em todas as difeetes etapas!... E, clao, do fevilha de ideias até ao da copo a ma tese vai ma ogaização e ma oietação qe sem a defiição coceta de objectivos em m camiho lógico oietado, este tabalho ão seia possível! Mito obigada po acedita e ajda-me a cocetizá-lo, Pofessoa Dotoa Szaa Nápoles. 5

6 Ídice Capítlo I - Itodção... 7 Capítlo II - Aálise Cicla... 8 Capítlo III - Expeiêcias ciclaes exploado a itição de coceitos... Capítlo IV - Noções básicas e exemplos... IV. - Temiologia e otações... IV. - Exploação da oção de limite... IV. - Aplicações... 4 IV.. - O úmeo... 4 IV.. - O úmeo e IV.. - A scessão de Fiboacci e o úmeo Capítlo V - Sgestões e coespodete eqadameto cicla Capítlo VI - Coclsões... 7 Refeêcias

7 Capítlo I - Itodção O popósito deste tabalho é aalisa a foma como a temática das scessões é actalmete abodada o pogama acioal de Matemática do esio básico e secdáio. Petede-se com este tabalho aalisa as iúmeas defiições e temos tilizados, claificá-los e, apeseta sgestões paa qe o tatameto deste tema cie ma pote ete os divesos coteúdos, ao logo de todos os aos escolaes. A ideia fdametal é mate pesete o tema das scessões ao logo dos difeetes íveis de escolaidade associado-o pemaetemete a otos coteúdos ode as scessões estão pesetes e em sempe elembadas, como é o caso da geometia, das fções, da tigoometia e da pópia álgeba. Começa-se po faze ma aálise às oietações ciclaes desde o pimeio ciclo até ao Esio Secdáio, com êfase a temática das scessões. De segida é apesetada ma actividade qe foi aplicada como expeiêcia cicla, ode se exploam os coceitos tatados os 8º e 9ºs aos de escolaidade, mas de ma foma ititiva (e se aplicam a alos de 5º e 6º aos sializados paa o Apoio Escola de Matemática). Após a actividade spa efeida, qe podeá sevi de agmeto paa ma possível/ alteativa abodagem destes coceitos (atededo à boa pestação idiciada pelos alos paticipates), é feita ma apesetação de oções básicas de scessões, acompahadas de exemplos. Exploa-se, em segida, a oção de limite, cocetizada com os bem cohecidos úmeos pi,, o úmeo de Nepe, e, e fi,. Na fase fial, são feitas algmas sgestões e idicados os espectivos eqadametos ciclaes, qe podem cotibi paa estabelece m possível fio codto ete as abodages do tema das scessões os váios íveis de esio. 7

8 Capítlo II - Aálise Cicla O pogama de 007 pevê a itodção do pesameto algébico logo o pimeio ciclo, com o ecohecimeto de seqêcias e eglaidades. Um dos objectivos associado ao pesameto algébico passa pelos alos ecoheceem eglaidades e compeede elações ete úmeos o images. O oto, é ealiza atoomamete exploação de eglaidades, fomlado e testado cojectas, sedo capazes de as testa e ssteta. Estes objectivos pomovem m maio evolvimeto dos alos a elaboação do se cohecimeto. Aida o pimeio ciclo, este pogama defede qe os alos devem poca estabelece elações simples ete úmeos, pocado a exploação de sitações elacioadas com eglaidades de acotecimetos, fomas, desehos e cojtos de úmeos. Os alos também podem, aida, fomla po si pópios ( ) eglaidades em seqêcias de úmeos fiitas o ifiitas (estas salmete chamadas scessões) e podem também obseva padões de potos e epesetá-los tato geomética como meicamete, fazedo coexões ete a geometia e a aitmética. No tópico das Reglaidades do pimeio ciclo e o sbtópico das Seqêcias, tem como objectivo específico Elaboa seqêcias de úmeos segdo ma dada lei de fomação e ivestiga eglaidades em seqêcias e em tabelas de úmeos, e, como otas, popõe como exemplos, os úmeos paes; começa com e adicioa scessivamete; dplica o úmeo e adicioa, obtedo a seqêcia, 5,,,. ( 5 ) Paa o segdo ciclo, as idicações metodológicas popõem qe o tabalho com seqêcias seja cotiado, ivetado o cotiado seqêcias de úmeos, pois a esolção de poblemas qe iclam a ivestigação de eglaidades méicas costiti m aspecto a pivilegia da didáctica dos úmeos este ciclo de esio. Como ota, o pogama popôs estda eglaidades com potêcias, po exemplo eglaidades do algaismo das idades de potêcias com a mesma base e expoetes difeetes. Se o pimeio ciclo os alos desevolvem o pesameto algébico qado ivestigam seqêcias méicas e padões geométicos, já o º ciclo ampliam e apofdam esse tabalho, exploado padões, detemiado temos de ma seqêcia a pati da sa lei de fomação e ma lei de fomação pelo estdo da elação ete os ses temos. No campo da Geometia, este pogama popôs aida a detemiação expeimetal de m valo apoximado de, como veemos mais adiate este tabalho o qe, em sempe, se veifica em maais escolaes e/ o páticas lectivas. Como coceitos específicos o pogama de 007 efee qe o estdo de seqêcias evolve o tabalho com úmeos e opeações, popocioado o estabelecimeto de elações e a explicitação de leis de fomação. ( 5 ) No tópico de seqêcias e eglaidades, este pogama tem como objectivos específicos idetifica e da exemplos de seqêcias e eglaidades méicas e ão méicas; detemia o temo segite (o o ateio) a m dado temo e amplia ma 8

9 seqêcia méica cohecedo a sa lei de fomação; detemia temos de odes vaiadas de ma seqêcia sedo cohecida a sa lei de fomação; Aalisa as elações ete os temos de ma seqêcia e idica ma lei de fomação, tilizado a ligagem atal e simbólica. Já como otas, popõe sa a calcladoa a exploação de eglaidades méicas. Já paa o teceio ciclo e apesa de ada esta efeido os objectivos geais de apedizagem sobe seqêcias e eglaidades, temos os objectivos específicos a idicação de qe os alos devem esolve poblemas e ivestiga eglaidades evolvedo úmeos acioais e eais. No campo da Álgeba, pode le-se qe a pati do estdo de seqêcias iiciado ateiomete, epeseta-se simbolicamete o temo geal. As idicações metodológicas este aspecto são as de etoma a ivestigação de seqêcias e eglaidades já ealizada os ciclos ateioes com vista a apofda o estdo de elações algébicas e a sa simbolização, fdametal paa o desevolvimeto da oção de vaiável e paa a compeesão da ligagem algébica. Os sbtópicos elacioados com o de Seqêcias e Reglaidades são: o temo geal de ma seqêcia méica e sa epesetação; Expessões algébicas. Como objectivos específicos associados, pode le-se: Compeede a oção de temo geal de ma seqêcia méica e epesetá-lo sado símbolos matemáticos adeqados; detemia m temo geal de ma seqêcia méica e temos de váias odes a pati do temo geal; compeede os difeetes papéis dos símbolos em álgeba; e, simplifica expessões algébicas. Já como otas, este pogama popõe a epesetação de seqêcias de facções em qe os deomiadoes teham elações simples, po exemplo e ; e, popões também a distição ete vaiável, costate e paâmeto. Também o tópico do aciocíio matemático tem ma ota associada especificamete às eglaidades, qe sgee o segite: Popocioa sitações em qe os alos aciociem idtivamete (fomlado cojectas a pati de dados obtidos a exploação de eglaidades) e dedtivamete (demostado essas cojectas). ( 5 ) Qato às idicações metodológicas, em todos os ciclos é feita ma efeêcia coceta e sstetada do ecso às tecologias qe dispomos em comptadoes e calcladoas paa a ealização de cálclos complexos qe axiliem e agilizem a exploação de eglaidades méicas em taefas de ivestigação o a esolção de poblemas. O seja, em sitações em qe o objectivo ão seja o desevolvimeto de capacidades de cálclo, mas de otas apedizages qe a taefa evolva. Paa o º ciclo, o pogama de 007 já explicita qe o comptado deve ecoe-se à folha de cálclo excel e otas applets, qe pemitam expeiêcias com úmeos e eglaidades méicas, bem como o tabalho com sitações eais qe, sem estes ecsos seiam difíceis de ealiza/ execta. O, a seem possíveis de ealiza, pede-se-ia imeso tempo os cálclos itemédios até se podeem tia coclsões dos valoes obtidos. O pogama defede aida qe deve tia-se patido das possibilidades de expeimetação qe os 9

10 comptadoes ofeecem os domíios geomético e méico e o tatameto de dados. ( 5 ) Existe ma qeba deste desevolvimeto temático o esio secdáio. Se os focamos sobe o Pogama de Matemática do Esio Secdáio de Matemática A, apeas o º ao é feita ma abodagem às scessões qado, o 0º ao podeia apoveita-se o tema da Geometia e das Fções paa lhes faze ma beve efeêcia o ecodação do tema. No º ao, a esolção de poblemas pemite chega ao coceito de scessão, acede à compeesão de popiedades impotates de scessões paticlaes e especialmete úteis, como é o caso da pimeia defiição do úmeo e e do estdo ititivo da scessão de temo geal m cotexto de modelação matemática. No desevolvimeto da temática das scessões este ao de esio, os alos estdam aida popiedades como mootoia e limitação, pogessões aitméticas e geométicas, limites (evolvedo ifiitamete gades e ifiitamete peqeos), limites de scessões e covegêcia, covegêcia de scessões moótoas e limitadas, poblemas de limites com pogessões e estdo de casos simples de caos, sado scessões defiidas po ecoêcia. Se os debçamos sobe o pogama de Matemática B do Esio Secdáio, somete o º ao é qe são abodadas as scessões e destas, apeas as pogessões são tabalhadas, obsevado-se qe, igalmete com o qe se sgee paa a Matemática A, fossem apoveitados os 0º e º aos os temas de fções, e de exploação das capacidades das calcladoas e comptadoes. No qe espeita ao pogama de MACS (Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais), a sitação é semelhate aos casos ateiomete aalisados: existe m eome ecso às capacidades das calcladoas, ode exploam as potecialidades das ovas tecologias associado-as à Estatística e Pobabilidades, aos poblemas de matemáticos da áea fiaceia e de jos, mas ão existe qalqe efeêcia às scessões em ao jo composto, qe pode se calclado com base o úmeo e. Aalisado o ovo pogama e Metas paa o Esio Básico veifica-se qe se qeba a cotiidade do tema o esio básico: sge pela pimeia vez º ao, eapaece o 6º ao e o 7º ao estabelece ma sepaação ete o coceito de seqêcia e scessão. ( ) Defii seqêcias e scessões. Idetifica, dado m úmeo atal, ma «seqêcia de N elemetos» como ma fção de domíio {,,, N } e tiliza coetamete a expessão «temo de odem da Seqêcia» e «temo geal da seqêcia».. Idetifica ma «scessão» como ma fção de domíio N, desigado po a imagem do úmeo atal po e tiliza coetamete a expessão «temo de odem da scessão» e «temo geal da scessão». ( ) 0

11 Esta sepaação gea icoeêcias ao apeseta exemplos (os cadeos de apoio) de seqêcias qe, de acodo com as defiições adoptadas, são scessões. Este pogama ão estimla a iteligação desta temática com otos coteúdos e ão faz efeêcia à tilização de qalqe tipo de tecologia.

12 Capítlo III - Expeiêcias ciclaes exploado a itição de coceitos Paa este tema das scessões, destiado a se tatado o º ciclo, esolvi cia m cojto de actividades, chamadas adivihas de úmeos, ecoedo a epesetações geométicas e aplicá-las ao º ciclo. Não sei em mometo algm as palavas scessão o seqêcia. (Acedito qe a foma aleatóia como se tilizam estas das palavas pode compomete a compeesão deste coceito tão fdametal e ititivo.) A paticlaidade é qe as ealizei aos alos selecioados paa o apoio escola em Matemática de 5º e 6ºs aos de escolaidade (apesa de algs elemetos das tmas qe me cedeam teem também paticipado, levados pela ciosidade das adivihas!...). Este tema foi exploado a Escola EB, Abade Coeia da Sea, em Sepa e, os esltados foam speedetes, a medida em qe os alos spostamete mais facos e ecamihados paa o apoio são os qe tiveam melhoes pestações estas actividades. As scessões itídas foam: a scessão dos úmeos atais,, a scessão dos úmeos paes,, a scessão dos úmeos ímpaes,, a scessão dos qadados pefeitos,, a scessão dos úmeos tiaglaes,, e, a scessão alteada. É espatoso como algs alos cosegiam da esposta às adivihas (etiadas maioitaiamete de maais escolaes do 8º ao de escolaidade), itido qe obedeciam a ma ega qe as fazia se cescetes, decescetes o limitadas. Us alos ecoeam a desehos, eqato otos optaam po aplica o mesmo cálclo ao úmeo segite e, também dessa foma, chega coectamete aos temos petedidos de cada ma das scessões apesetadas! A itodção da actividade, foi feita oalmete po mim ode, e ates de distibi os eciados, apelei à ateção destes alos paa os úmeos qe já eam apesetados e qe eles deviam (paa da esposta à adiviha) ecota ma lógica coeete paa cosegiem idetifica qais os úmeos qe deveiam sgi a segi. Após a apesetação da actividade ealizada, em Maço de 0, segem-se algs excetos de espostas destes alos e espectivos cometáios qe, o fdo, cooboam pefeitamete com a ideia de qe, mesmo sem qalqe cotacto teóico apofdado sobe o tema das scessões, os alos do º ciclo cosegem de foma simplesmete ititiva espode coectamete:

13 Adivihado úmeos Desafio de Matemática Escola EB, Abade Coeia da Sea Maço 0 Nome do Alo N.º Ao Tma. Qais são os úmeos qe vião a segi? Peeche os tês espaços em baco. (a),,, 4,,,, (b), 4, 6, 8,,,, (c),, 5, 7,,,, (d), 6,, 6,,,, (e) 00, 50, 00,,,, (f), -,, -,,,,. Paa obtees os úmeos segites aos qe te foam apesetados o execício ateio, tiveste qe obedece a ma ceta lógica paa os descobies. Explica po palavas tas como podes obte ma ega qe te pemita descobi os úmeos segites, a pati de otos já cohecidos.. Obseva a figa segite, de costções fomadas com lápis. Admite qe o padão se matém paa as segites costções. Deseha a costção 4. Costção 4 4. O Alex ovi m ído povocado po aviões. Obsevo o cé e vi a fomação epesetada a figa segite. Tiha como tabalho de casa deseha m cojto de figas, po isso decidi deseha aviões. Admite qe o

14 padão se matém paa as segites fomações. Qatos aviões teá a fomação 5? 5. Cosidea os úmeos apesetados e as coespodetes figas de cada m deles. Imagia qe as figas e os úmeos cotiam, obedecedo à mesma lei de fomação. Idica os dois úmeos segites de cada ma das sitações e, se achaes qe te ajda, deseha pimeio as figas qe lhes coespodem. ( 4, 0, 4 e 7 ) Vejamos algs excetos das espostas ecolhidas pelos alos, ode podemos facilmete obseva as estatégias adoptadas po eles e, o tipo de aciocíio abstacto a qe ecoeam paa da esposta às qestões apesetadas: 4

15 Na qestão, talvez po tabalhaem com algma feqêcia este tipo de execícios, paticamete todos os alos deste estdo, tato do 5º ao como do 6ºao, espodeam coectamete. Poém, a qestão, obtiveam-se algmas espostas iteessates, ode se veificam as difeeças de aciocíio. Vejamos pimeio algmas das espostas dadas po alos do 5º ao e, posteiomete do 6º ao: Esta ala espode coectamete a todas as alíeas da qestão e evelo mita pdêcia ates de da a sa esposta. À pate dos eos otogáficos, também esta ala espode coectamete a todas as alíeas da qestão. Podemos também obseva qe esta ala, mesmo sem qalqe cotacto teóico, tem oção qe existem iúmeas leis de fomação paa obte os temos segites de ma scessão, obsevado apeas os qe são dados. Estas das espostas, destes dois alos são semelhates a simplificação de como obte coectamete os temos segites de ma scessão, itido facilmete qe obsevado se a scessão é cescete, decescete o alteada, bastaá obseva os temos dados, e cotia a segi a lei de fomação apesetada paa a obteção dos temos segites. As das espostas qe se segem agoa, apesa de ão teem qalqe efeêcia à obsevação dos temos já dados, são talvez as mais metódicas e esttadas, a medida em qe defiiam, paa todas as alíeas, todas as leis de fomação tilizadas. 5

16 Já esta qestão o 6º ao, teve algmas espostas em baco e, é de destaca qe foam semelhates às dadas pelos alos do 5º ao. Apesetam-se as tês mais epesetativas das espostas coectas, cjos cometáios são aálogos aos já feitos paa as espostas aalisadas do 5º ao: Na qestão, todos os alos, com excepção de apeas dois alos do 5º ao, desehaam coectamete a costção dos lápis, ecoedo sobetdo a taços (po miha sgestão) paa facilita a epesetação. Já a epesetação dos úmeos tiaglaes, sob a foma de aviões da qestão 4 foi a qe egisto mais espostas icoectas. Apeas 7 dos 8 alos de 5º ao espodeam coectamete (ceca de 9% de espostas cetas). Já o 6º ao, apeas tês dos alos espodeam coectamete (5% de espostas cetas). Na qestão 5, dos 8 alos do 5º ao, apeas espodeam coectamete a todas as alíeas (ceca de 7%). É de salieta a capacidade do alo Alexade, de cosegi tiliza m temo geal, qe ão ca chego a se apesetado, esta pimeia esposta qe se apeseta de segida. 6

17 Nesta segda esposta selecioada qe se apeseta abaixo, a ala apeas ecoe a m esqema a alíea (c) mas também espode coectamete a todas as alíeas. 7

18 Já esta ala, apesa de te eado as das últimas alíeas, atete-se qe de coectamete iício à lei de fomação dos úmeos tiaglaes, a alíea (d), mas ão lhe chego a da cotiidade. Qato ao 6º ao, o desempeho esta qestão foi mais elevado: 6 dos alos qe paticipaam esta actividade espodeam coectamete a todas as alíeas, destacado-se qe apeas destes alos ecoeam à seqêcia de images apesetadas e lhes deam cotiidade (poém, sem gade igo ) e aida ao temo geal, dedzido/ itído pelos cálclos apesetados os temos já dados. 8

19 Já este último alo, apesa de ão te peechido todos os espaços em baco com os valoes obtidos, cosegi facilmete obte as epesetações e os cálclos coectos dos temos geais das scessões em qestão: 9

20 É de faze efeêcia, mais ma vez, ao facto de estes alos estaem sializados paa o apoio escola. Poém e atededo ao facto de peteceem ao º ciclo, evelaam algma facilidade em lida com estes coceitos do º ciclo e cosegiam atoomamete da esposta a estas actividades etiadas maioitaiamete de m maal de 8º ao de escolaidade. 0

21 y=x Capítlo IV - Noções básicas e exemplos IV. - Temiologia e otações Dado m cojto ão vazio A, chama-se scessão em A, a qalqe fção defiida o cojto dos úmeos eais e com valoes em A. Se A é o cojto IR dos úmeos eais, a scessão diz-se eal. Chamamos às images desta fção os temos da scessão e, aos objetos, defiidos po m úmeo atal, a odem desses temos. Pode epeseta-se ma scessão po ma leta maiúscla temos U,U,,U, U : IN IR e os ses po letas miúsclas, sedo a odem de cada temo idicada em ídice,,,,, Po exemplo, 7 é o 7º temo da scessão U, o seja, é a imagem do úmeo 7, U. Em vez de sa a maiúscla U epesetativa da fção, é habital desigá-la sado os símbolos, o apeas o se temo de odem,, isto é, o temo geal da scessão. IN Exemplo: O temo geal da scessão dos úmeos paes é U. 7 Gaficamete esta scessão é epesetada po ma ifiidade de potos isolados sobe a ecta de eqação y x x y x As coodeadas dos ifiitos potos isolados apesetados a epesetação gáfica da scessão, além de apeas gozaem de epesetação o pimeio qadate, são apeas os da foma,, com, eqato qe o gáfico y x, temos todos os potos de coodeadas x, x com x IR.

22 Existem casos em qe paa cohece os temos de ma scessão se opta po m pocesso de ecoêcia, isto é, da o pimeio temo da scessão e ma ega qe pemita detemia m temo da scessão a pati do temo ateio, como acotece com a scessão defiida po v,, cjos qato pimeios temos são: v, v, v, v4 v v Mas há scessões das qais ão se cohece m temo geal e qe ão podem se defiidas po ecoêcia, como acotece com a scessão dos úmeos pimos. Paa defii ma scessão opta-se em váias sitações po esceve odeadamete algs dos ses temos. Essa opção, qado ão acompahada de algma caacteização adicioal, é isficiete, como se ilsta em segida. Seá o úmeo m temo da scessão,,, 44, 55,? A ifomação de qe dispomos o eciado é maifestamete isficiete paa da esposta a esta qestão! Seá pois ecessáio idica a ega qe está sbjacete à escita da seqêcia de valoes apesetada. Se cada temo da scessão fo obtido adicioado ao temo ateio, etão ão é temo da seqêcia. Mas, se itepetamos a seqêcia como sedo fomada pelos algaismos todos igais, etão já é m temo desta seqêcia. Obsevado qe, este caso, a scessão tem 9 temos com dois algaismos igais, otos 9 temos com algaismos igais, apidamete coclímos qe seá o º temo dessa seqêcia. ( 9 ) tem: Uma scessão é cescete, em setido estito, se e só se, paa todo o se, o seja se 0, IN. Exemplo: Veifiqemos qe a scessão com temo geal Potato petedemos pova qe se veifica é cescete., IN. Temos: 0 0, IN esta scessão é cescete.. Como Uma scessão é decescete, em setido estito, se e só se, paa todo o se tem:, o seja, se 0, IN.

23 Exemplo: Veifiqemos qe a scessão com temo geal é decescete. Neste caso, petedemos pova qe se veifica a desigaldade, Temos potato: 0.. Como 0,, coclímos qe a scessão é decescete. NOTA: Podemos amplia as defiições de scessão cescete e scessão decescete, paa o caso em qe existam temos igais. Assim, podemos aida defii, em setido lato qe: Uma scessão é cescete em setido lato, se e só se,, IN. Uma scessão é decescete em setido lato, se e só se,, IN. Uma scessão é moótoa se e só se a scessão fo cescete o decescete. Existem scessões qe ão são moótoas, como as qe têm temos alteadamete positivos e egativos, po exemplo, a scessão defiida po, paa, paa pa. ímpa Uma scessão diz-se mioada se o cojto dos ses temos o fo, isto é, se e só se m IR : m, IN. Podemos afima qe se ma scessão fo moótoa cescete, o se temo é o mioate do cojto dos ses temos. se Uma scessão diz-se majoada se o cojto dos ses temos o fo, isto é, e só M IR : M, IN. Podemos afima qe se ma scessão fo moótoa decescete, o se temo é o majoate do cojto dos ses temos. Uma scessão é limitada se e só se fo mioada e majoada, o seja, se m, M IR : m M, IN. Assim, dizemos qe ma scessão é limitada se o cojto dos ses temos o fo. Exemplo: Estdemos, qato à limitação, a scessão defiida po 4.

24 Detemiemos os pimeios temos desta scessão: ; ; Estes pimeios temos sgeem qe a scessão é 9 cescete. Geeicamete, Como 4 0 paa qalqe valo atal, a scessão é moótoa cescete. Potato, podemos afima qe o temo de odem é m mioate:. Qato ao majoate, esta scessão pode se escita do segite modo: 4 e potato,. Logo, podemos também afima qe a scessão é majoada. Como é majoada e mioada, podemos afima qe é ma scessão limitada e. ( 5, 7, 8, 6 e 8 ) Númeos Poligoais Debcemo-os agoa sobe as scessões de úmeos poligoais, qe, se acompahadas das sas figações geométicas podem toa-se bastate ititivas e elemetaes a obteção dos ses temos. Comecemos com os já itodzidos a atividade do capítlo ateio, a scessão T dos úmeos tiaglaes: T T T 6 Tem-se T T, T T T T,, Esta scessão pode assim se defiida po ecoêcia podo atavés do se temo geal T T T T e 4

25 Demosta-se, po exemplo, sado o método de idção qe, mas esse pocedimeto está claamete foa de ma abodagem elemeta. No etato, se atedemos à figação dos úmeos tiaglaes, veifica-se facilmete qe T. Paa o efeito basta jstapo das epesetações de úmeos tiaglaes como se ilsta a figa com o qato temo da scessão: T Veificámos assim qe todo o úmeo tiagla é da foma. Tiado mais ma vez patido da figação geomética dos úmeos tiaglaes, podemos jstifica qe: T T. Paa o efeito basta jstapo das epesetações de úmeos tiaglaes cosectivos como se ilsta a figa com o qato e qito temos da scessão. T 4 T5 55 A elação T T scessão dos úmeos tiaglaes: T T T Cosideemos a scessão dos úmeos qadaglaes : pemite da ota defiição po ecoêcia da Q Q 4 Q 9 Q

26 O temo geal da scessão dos úmeos qadados é da figação geomética, veificamos qe paa passamos de de m qadado com Q. Poém, tiado patido Q paa, bolas paa m qadado com Q,isto é, bolas é ecessáio acesceta das filas de bolas de e mais ma bola o cato, cofome imagem qe se sege: Q Q Q Q Q. Esta elação pemite defii a scessão dos úmeos qadaglaes po ecoêcia podo. Q, tem-se Mas, sedo Q Q Q Q Q 5 ( ) Q Q Q Q Veifico-se assim, ecoedo à figação geomética dos úmeos qadaglaes, a igaldade 5 7. No qe espeita aos úmeos petagoais, e como já vimos paa os úmeos tiaglaes e qadaglaes, o pimeio dos úmeos petagoais, P é também a idade. O segdo úmeo petagoal seá, aalogamete aos úmeos poligoais já vistos, o meo valo de bolas, com qe podemos foma m petágoo, pelo qe P 5. Paa costi P a pati de P acescetámos 4 bolas. A pati do cato ifeio esqedo, vamos acescetado bolas, de modo a foma m ovo petágoo com bolas em cada lado. Geometicamete: 6

27 P P 5 P Obsevado a imagem acima mais à dieita, veificamos qe P P 7 e, desta vez, ão é possível peeche os espaços iteioes com ma distibição egla de bolas. Paa passa do úmeo petagoal de odem, P, ao se scesso, P ecessáio acesceta lados com bolas, descotado as das sobeposições os vétices do petágoo, o seja, P P P P P ecoêcia, podo. P P, é, o qe é eqivalete a. A scessão dos úmeos petagoais pode assim se defiida po P P P P P P 4 5 P P P P P 5 5 pelo qe o temo geal da scessão dos úmeos petagoais é P. Esta scessão pode se defiida po ecoêcia, podo P P P. ( ) 7

28 Pogessões As pogessões costitem m tipo especial de scessões defiidas po ecoêcia em qe cada temo se obtém do ateio po adição de ma pacela costate o po mltiplicação po m fato costate. Estas scessões popocioam desafios iteessates a exploa em difeetes íveis de esio. Uma scessão diz-se pogessão aitmética qado a difeeça ete cada temo e o ateio é costate; essa costate chama-se azão da pogessão. Simbolicamete, ma scessão é ma pogessão aitmética se e só se,. Nma pogessão aitmética, obtém-se cada temo (com exceção do pimeio) somado a azão ao temo ateio. Exemplos de pogessões aitméticas: - A scessão dos úmeos atais é ma pogessão aitmética de azão ; - A scessão dos úmeos paes o e a scessão dos úmeos ímpaes são pogessões aitméticas de azão ; - A scessão dos múltiplos de 5 é ma pogessão aitmética de azão 5. A azão da pogessão aitmética pemite-os afima o segite elativamete à mootoia: Se 0, a pogessão aitmética é moótoa cescete. Se 0, a pogessão aitmética é moótoa decescete. Se 0, a pogessão aitmética é costate. Paa obtemos o temo geal de ma pogessão aitmética, basta cosideamos o se pimeio temo e a sa azão e, facilmete se vê qe: 4 4 Potato, o temo geal de ma pogessão aitmética é dado po, IN. Exemplo de aplicação: Um exploado de ma cocessão de paia, tem de coloca 0 toldos em fila, ao logo da paia. O amazém ode se ecotam os toldos está a 0 metos do local ode o pimeio toldo tem de se colocado. Spohamos qe ele só taspota m toldo de cada vez, e qe os toldos estão distaciados 5 metos ete si, ecotado-se cada toldo 8

29 cico metos mais distate do amazém do qe o toldo ateio. Qatos metos pecoeá o homem paa coloca todos os toldos? Resolção: Paa coloca o toldo, o seho desloca-se do amazém até ao pimeio local e egessa ao poto de patida, fazedo m pecso de 0 metos, o seja, 0m de ida e otos 0 m de egesso. Paa coloca o segdo toldo, ele adaá ( ) metos, o seja, 0 metos e assim scessivamete. Estes pecsos podem se cosideados como os pimeios 0 temos de ma scessão qe, desigado-a po ( ), obtemos: 0 ; 0 ; 40 ; 4 50 ; ; 0 0 Repae-se qe cada temo se obtém a pati do temo ateio adicioado-lhe 0 idades, o seja, 0 0. Po este motivo, dizemos qe se tata de ma pogessão aitmética de azão 0. Como 0 0, estamos peate ma scessão moótoa cescete. Podemos etão detemia a distâcia total pecoida pelo baheio, adicioado as distâcias coespodetes a cada pecso. Seja S 0 a soma dos 0 pimeios temos de : S O seja, S Se obsevamos atetamete a última expessão apesetada acima, veificamos qe: E deste modo obsevamos qe paa detemia a soma dos 0 pimeios temos da pogessão aitmética, coespode a adicioa dez pacelas igais a 0. Pelo qe, 0 0 S o seja S 0 0 9

30 0 Assim, podemos da esposta à qestão, calclado S, o qe dá 00 metos pecoidos a colocação dos 0 toldos. Este exemplo sgee o camiho paa a obteção da expessão da soma dos pimeios temos de ma pogessão aitmética. Obsevemos qe Etão: se é pa, se é ímpa e o temo médio é k tem-se k e k k k Etão. Pogessões Geométicas Uma scessão diz-se pogessão geomética qado o qociete ete cada temo e o ateio é costate; essa costate chama-se azão da pogessão. Simbolicamete, ma scessão é ma pogessão geomética se e só se,. Nma pogessão geomética, obtém-se cada temo (com excepção do pimeio) mltiplicado pela azão o temo ateio. Exemplos de pogessões geométicas: - Toda a scessão com temo geal 0 a, a, é ma pogessão geomética: de facto, a a a, logo, a base da expoecial é a azão da pogessão geomética. - Cosideado ma folha de papel sficietemete gade com 0, mm de espessa e dobado scessivamete a folha de papel ao meio, temos qe a sa espessa vai dplicado. A scessão das espessas tem ma caacteística especial: cada temo é o

31 dobo do ateio e, potato, o qociete ete cada temo e o ateio é costate e igal a. Etão estamos peate ma pogessão geomética de azão. A azão da pogessão geomética pemite-os afima o segite elativamete à mootoia: A mootoia de ma pogessão geomética depede do sial do pimeio temo e da azão. Geealizado, podemos afima qe: Uma pogessão geomética de azão positiva é sempe moótoa, podedo Resmido, se cescete o decescete (em setido estito o lato). Uma pogessão geomética de azão egativa ca é moótoa. Se e - 0, a pogessão geomética é moótoa cescete. - 0, a pogessão geomética é moótoa decescete. Se, a pogessão geomética é costate. Se 0 e - 0, a pogessão geomética é moótoa decescete. - 0, a pogessão geomética é moótoa cescete. Se 0, a pogessão geomética é ão moótoa. Paa obtemos o temo geal de ma pogessão geomética, basta cosideamos o se pimeio temo (com 0 ) e a sa azão. Em qalqe pogessão geomética temos: 4 Potato, o temo geal de ma pogessão geomética é dado po, IN. Exemplo de aplicação: Segedos mal gadados

32 Das amigas descobem m segedo lta-seceto de ma ota amiga qe lhes pedi qe ão cotassem a igém. No etato cada ma delas, 0 mitos depois, coto a pessoas de toda a cofiaça, cada ma das qais, 0 mitos depois, coto a otas pessoas. Se o pocesso cotia assim, ao fim de 5 hoas, qatas pessoas já sabem o segedo? Resolção: Patimos de pessoas qe sabem o segedo, pelo qe tomamos. Paa calcla qatas pessoas já sabem o segedo ao fim de 5 hoas é peciso soma todas as qe o foam sabedo ao fim de cada peíodo de 0 mitos. - Númeo de pessoas a qem é cotado o segedo ao fim dos pimeios 0 mitos; - Númeo de pessoas a qem é cotado o segedo date o º peíodo de 0 mitos; 4 - Númeo de pessoas a qem é cotado o segedo date º peíodo de 0 mitos; - Númeo de pessoas a qem é cotado o segedo date o -ésimo peíodo de 0 mitos. Como em 5 hoas há 5 peíodos de 0 mitos, o fial da 5ª hoa, há mais pessoas qe ficam a cohece o segedo do qe os 0 mitos ateioes. 5 6 Ao todo, qatas pessoas já oviam o segedo esse peíodo de tempo? Oviam o 4 5 segedo pessoas. Desigemos po S essa soma e calclemos S S : S S temos qe S S Etão S, o seja, S , úmeo qe ltapassa o qadplo da poplação de Potgal! 6 6

33 Obsevemos qe os temos da scessão geomética de azão igal a. Geeicamete, se,,,,, estão em pogessão v,v,v,,v, é ma pogessão geomética de azão,, isto é, v v,,v v v, po m pocesso aálogo ao tilizado este caso paticla, qe v v v v v v. veifica-se, NOTAS: () v ão é ecessaiamete o pimeio temo da scessão, mas sim o pimeio temo qe se petede soma. () A fómla ateio ão pode se aplicada qado. Nesse caso todos os temos são igais ao pimeio, e potato, v v v v. ( 7, 8, 6 e 9 ) IV. - Exploação da oção de limite É impossível tiliza a expessão limite, sem os efeimos à expessão ifiito. O qe é ifiito? Paa chega ao coceito podemos pesa a possibilidade de acesceta scessivamete ma idade a cotagem de úmeos, toado ifidável este pocesso. Ifiito sge assim associado a ma qatidade qe ão temia, etimologicamete, a palava ifiito sigifica ão acabado. Explícita o implicitamete, a ciêcia actal pecisa de sa o ifiito paa o se desevolvimeto, qalqe qe seja o se amo. Começamos po aalisa algs exemplos evolvedo a ideia de ifiito. Hotel Ifiito Um dos eqisitos paa se se ececioista o Hotel Ifiito é te m cohecimeto sólido sobe o ifiito. Palo cadidato-se, foi etevistado e começo a tabalha a oite segite. Estava itigado sobe o motivo pelo qal a geêcia do hotel eqeia qe todos os ses empegados tivessem cohecimetos sobe o ifiito, sobe cojtos ifiitos e sobe cojtos tasfiitos. Calclo qe, dado qe o hotel tiha m úmeo ifiito de qatos, ão haveia qalqe poblema em aaja qato paa os ovos hóspedes. Depois da sa pimeia oite de seviço, seti-se cotete po te tais cohecimetos.

34 Qado Palo sbstiti a ececioista do to de dia, ela ifomo-o de qe havia m úmeo ifiito de qatos ocpados. Assim qe ela sai, chego m ovo hóspede qe tiha feito ma eseva e Palo teve qe decidi qal o qato qe lhe havia de da. Peso date algs mometos e depois decidi tasfei cada hóspede paa o qato segite ao do qe ocpava, sedo assim possível toa vago o qato úmeo. Palo fico cotete com esta decisão, mas esse istate chego m atocao ifiito, com m úmeo ifiito de ovos hóspedes. Como aaja qato paa todos, agoa?! Possível esposta: O Palo esolve desloca cada hóspede paa o qato cjo úmeo fosse o dobo do úmeo do qato ocpado ateiomete, potato o hóspede do qato foi paa o qato, o do qato foi paa o qato 4, o do qato, foi paa o qato 6 e assim scessivamete. Deste modo, ficaam vagos todos os qatos ímpaes paa os ifiitos hóspedes acabados de chega. Históia das Plgas Das plgas amigas covesam sobe as distâcias qe cosegem atigi com os ses saltos. Uma delas petede desloca-se de m lado de ma sala paa o oto. A ota plga faz ma aposta com ela dizedo qe esta ca atigiá o oto lado da sala se de apeas saltos qe cbam metade da distâcia a pecoe. Ao qe ela aceita a aposta e diz qe ão teá qalqe dificldade em gahá-la! Qal das plgas tem azão? Possível esposta: O se pimeio salto leva-a até metade da sala, o segdo cobe metade da distâcia estate, o teceio salto, metade da distâcia qe falta pecoe, e assim scessivamete. Emboa se ecote mito mais peto da ota extemidade da sala, tem de mate a pomessa, segdo a qal, cada salto só pode cobi metade da distâcia estate e de qe só podeá salta metade dessa distâcia. E, a ão se qe desista, a plga cotiaá eteamete a salta. Associada ao Hotel Ifiito está a scessão defiida po e e à Históia das Plgas a scessão v defiida po v a (em qe a é o compimeto da v sala) e v. São ambas pogessões geométicas com azões e espetivamete, pelo qe a e v. 4

35 Relativamete à scessão odem a pati da qal se tem, dado qalqe úmeo positivo L existe ma L : basta toma log L. No caso de dado qalqe úmeo positivo (po meo qe ele seja) existe ma odem a pati da a a qal se tem : basta toma log. Assim, a scessão é m ifiitamete gade positivo e a scessão v é m ifiitésimo. Uma scessão a é m ifiitamete gade positivo qado, paa todo o úmeo positivo L, existe ma odem p, a pati da qal se tem v, a > L. Diz-se este caso qe o limite da scessão é mais ifiito e esceve-se lim. Uma scessão a é m ifiitamete gade egativo qado a scessão fo m ifiitamete gade positivo. Diz-se este caso qe o limite da a scessão é meos ifiito e esceve-se lim. Uma scessão a é m ifiitamete gade em módlo qado a scessão a é m ifiitamete gade positivo. Uma scessão a é m ifiitamete gade sem sial detemiado qado fo m ifiitamete gade em módlo mas ão fo ifiitamete gade egativo em positivo. Diz-se este caso qe o limite da scessão é ifiito e esceve-se lim. a Uma scessão b é m ifiitésimo o tem limite zeo qado, paa todo o úmeo positivo, existe ma odem p, a pati da qal se tem b. Uma scessão c é covegete paa d o tem limite d, com d IR, se e só se c d é m ifiitésimo, isto é, ma scessão c é covegete paa d se 0, existe ma odem a pati da qal se tem a. Esta codição é eqivalete a c d d c d. (8 ) a a Exemplo: Pova qe a scessão defiida po é covegete paa e detemia a meo odem a pati da qal os temos da scessão são valoes apoximados de com eo ifeio a ma milésima. Resolção: Vejamos pimeio qe a scessão dada é covegete paa.. Oa, é m ifiitésimo, logo tede paa zeo e potato a scessão dada covege paa. 5

36 Vejamos agoa qado é qe é m valo apoximado de com eo ifeio a ma milésima. Isto acotece qado se veifica a segite codição: 0, 00 0, 00 0, Potato, os 0, 00 temos desta scessão de odem speio a 000 já são valoes apoximados de com eo ifeio a 0,00. Cotagem de potos Mitas pessoas imagiam qe ma qatidade ifiita deve ocpa m espaço mito gade, mas m peqeo e qalqe segmeto de ecta existe m úmeo ifiito de potos. Paa o demosta, ecoemos à ideia de qe ete qaisqe dois potos de m segmeto de ecta é sempe possível existi oto: se os potos A e B petecem ao segmeto, etão o poto médio do segmeto de ecta qe eles defiem é m poto C ete ambos. Obviamete ete o poto A e C existiá também m, o mesmo scededo ete o poto C e B. Este pocesso de detemiação de m poto sitado ete qaisqe otos dois pologa-se idefiidamete e, po isso, existe m úmeo ifiito de potos em qalqe segmeto de ecta. Assim, emboa o ifiito seja ma qatidade qe ão temia e qe ão pode se idetificada com ehm úmeo eal, pode sgi associada, tato a cojtos limitados, como a cojtos ilimitados.( 4, 5 e 7 ) Peímeto, áea e somas ifiitas. A imagem segite é fomada po ma scessão de semicicfeêcias em qe o aio de cada aco é metade do ateio. Qal a áea da egião compeedida ete os acos da figa e a liha a tacejado? 6

37 As medidas das áeas estão em pogessão geomética de azão 4 e a medida da áea do pimeio semicíclo é. Assim a áea A pedida é a soma ifiita dos temos desta pogessão. No caso geal, se é ma pogessão geomética com azão, tem-se qe lim e sedo,,,tem-se lim Se a azão da pogessão fo em módlo ifeio a, é m ifiitésimo, pelo qe. (A soma ifiita dos temos de ma pogessão geomética de azão é ma séie geomética de azão.) Paa detemia a áea petedida, basta toma A. 4 e, obtedo-se 4. A figa segite epeseta ma scessão de tiâglos, em qe cada m dos tiâglos iscitos é defiido pelos potos médios dos lados do tiâglo qe o cicsceve. Qal a soma dos peímetos da scessão de tiâglos? Qal a soma das áeas da scessão de tiâglos? 7

38 Paa detemia a soma dos peímetos destes tiâglos é ecessáio calcla ma soma ifiita: Atavés da ecta méica, veificamos qe esta soma ão excede. Obseve-se qe as pacelas desta soma ifiita costitem ma pogessão geomética com pimeio temo e azão, pelo qe 4 O cohecimeto desta soma codz ao cálclo da soma dos peímetos. Com efeito, há m teoema a geometia qe os gaate qe o segmeto qe e dois potos médios de dois lados de m tiâglo tem metade do compimeto do lado oposto. Listemos etão os peímetos dos tiâglos: 5 0, 5, 5, 4 5, ,,,,, O temo geal desta scessão dos peímetos pode se defiido da segite foma, tomado paa o lado do tiâglo eqiláteo os 0 cetímetos apesetados a imagem acima: P 0. De segida, podemos adicioa todos estes temos paa detemia a soma dos peímetos dos tiâglos: Simplificado, obtemos: Como vimos qe , a soma dos peímetos é igal a

39 Paa a detemiação da soma das áeas dos tiâglos e sedo o temo geal da scessão das áeas dado po A 5 4, pelo qe a soma das áeas é Númeos atais e dízimas ifiitas peiódicas Vamos pova qe qalqe úmeo atal pode se escito como ma dízima ifiita peiódica, de peíodo 9. Cosideemos a segite scessão: 9 k k k 0 00 k Qeemos pova qe lim k. Temos qe: k, k k Mas é a soma dos temos de ma pogessão geomética de azão, e pimeio temo igal a. Etão, 0, pelo qe k, k k k NOTA: Obseve-se qe tomado, po exemplo x, tem-se 0x 9, Etão 0x x 7, e assim x, sem ecoe a scessões! 9

40 Nem tdo o qe cesce é m ifiitamete gade positivo, em tdo o qe é m ifiitésimo decesce A cva do floco de eve tem este ome devido à foma semelhate qe os flocos de eve assmem qado se fomam. O floco de eve foi efeido pela ª vez em 904 pelo matemático seco Helge Vo Kock como exemplo de ma cva de compimeto ifiito, qe abage ma áea fiita. Hoje classifica-se como m factal. Paa gea ma destas cvas, obsevemos a seqêcia de figas obtidas a pati de m tiâglo eqiláteo, em qe dividido cada lado do tiâglo em tês pates igais, se deseha a pate cetal de cada segmeto m ovo tiâglo eqiláteo, elimiado a base, qe petecia ao segmeto ateio, ates de se divido em tês pates igais. º Temo º Temo º Temo Saliete-se a foma como cada lado se tasfoma qado se petede obte o temo segite desta scessão: 40

41 Cotiado este pocedimeto scessivamete em todos os lados, veificamos apidamete qe o peímeto cesce idefiidamete, sem limite. A scessão ( P ) dos peímetos das figas, sedo ma scessão moótoa cescete e ilimitada, é m ifiitamete gade positivo. Já a scessão ( A ) das áeas das figas é moótoa cescete, mas ão é m ifiitamete gade positivo, visto qe a áea das figas ca ltapassa, po exemplo, a áea do cíclo ode as figas se iscevem. Nem sempe m ifiitésimo é decescete! ( 8 ) Exemplo: 0 Cosideemos a segite scessão U :. Esta scessão é cescete e tede paa zeo. De facto, os pimeios temos são: 0 ; 5 ;, ;,5 ; qe sgeem, qe a scessão é cescete, mas ão basta aalisa o compotameto de m úmeo fiito de temos. Há qe veifica qe 0, IN : , IN. Po oto lado, 00 0,, ,00e ota-se qe os temos se apoximam de zeo e o se valo absolto toa-se ifeio a qalqe úmeo positivo. Com efeito, dado m qalqe úmeo 0 existe ma odem a pati da qal se tem O seja, os temos desta scessão são, em módlo, ifeioes a, desde qe a odem dos temos seja speio a 0. Potato, a scessão ( ) dada é m ifiitésimo. Uma scessão qe ão é covegete diz-se divegete. (Os ifiitamete gades são scessões divegetes.) Faz-se efeêcia em segida a impotates esltados qe estabelecem elações ete os coceitos de scessão limitada, scessão moótoa e scessão covegete. - Uma scessão covegete é sempe limitada. - Uma scessão moótoa e limitada é sempe covegete. 4

42 Mas, Uma scessão moótoa pode ão se covegete. Exemplos: (são moótoas e ão são covegetes.) ; ; ; Uma scessão limitada pode ão se covegete. Exemplo: (é limitada e ão é covegete.) Uma scessão covegete pode ão se moótoa. Exemplo: Mas tem-se covegete e ão é moótoa.) Teoema das scessões moótoas (é Toda a scessão moótoa tem limite, qe é fiito o ifiito cosoate ela seja limitada o ão. Se a scessão é moótoa e ão limitada, o limite é se ela é cescete e se ela é decescete. Tata-se de m esltado mito ititivo como é patete a demostação segite. Comecemos po aalisa o caso em qe ma scessão é cescete e limitada po m úmeo L. Se é fomada apeas po úmeos positivos, a scessão fomada pelas pates iteias dos temos da scessão ão pode cesce idefiidamete, estabilizadose a pati de ceta odem (poqe todos os temos da scessão são meoes do qe L ). Qato à pate ão iteia, todos os algaismos se vão estabilizado (pimeio o das décimas, depois o das cetésimas, e assim scessivamete), já qe ão podem excede 9. O úmeo fomado pela pate iteia estabilizada e pelos algaismos estabilizados é o limite da scessão. Paa scessões decescetes e limitadas a demostação é pefeitamete aáloga. Se é cescete e ão limitada, dado qalqe úmeo positivo K existe m temo da scessão, digamos, tal qe j K e, como a scessão é cescete, todos os temos da j scessão são, a pati da odem j, maioes do qe K. Etão, a scessão tem limite +. A demostação é aáloga o caso de ma scessão decescete e ão limitada. (8 ) IV. - Aplicações A defiição dos úmeos especiais qe costam deste paágafo à csta de scessões toa-os paticlamete adeqados paa itega a leccioação deste tópico. A sa tilização, desde qe devidamete cotextalizada, pode popocioa exploações diigidas a difeetes íveis de escolaidade. 4

43 IV.. - O úmeo O úmeo pi, epesetado habitalmete pela leta gega é povavelmete o úmeo iacioal mais famoso da históia, qe epeseta a azão costate ete o peímeto de qalqe cicfeêcia e o se diâmeto. Como iacioal, este úmeo é expesso po ma dízima ifiita ão peiódica. Nos dias de hoje, gaças à ajda dos comptadoes, já é possível detemia apoximações com ceteas de milhões de casas decimais. Apesetam-se, de segida, as pimeias ciqeta: =, O método de Aqimedes (87a.C. a.c.) sge como o pimeio método paa calcla m valo apoximado do úmeo com algma pecisão. Aqimedes isceve e cicsceve polígoos eglaes com lados e, à medida qe ameta o úmeo de lados, tato o polígoo iscito, como o polígoo cicscito vão-se assemelhado à cicfeêcia e, coseqetemete, os ses peímetos também se vão apoximado. Calclo assim o compimeto de ma cicfeêcia e, coseqetemete, m valo apoximado paa. O úmeo é o limite da scessão cescete fomada pelos peímetos dos polígoos iscitos e o limite da scessão decescete fomada pelos peímetos dos polígoos cicscitos. ( ) 4

44 Vejamos as figas segites e imagiemos cotia idefiidamete este pocesso. À medida qe Aqimedes ameto pogessivamete o úmeo de lados, mais póximo fico do valo de. Vejamos a qe valoes cosegi chega, segido este pocesso: Cosideemos m polígoo egla com lados, cicscito a ma cicfeêcia de aio. De segida, tacemos os segmetos de ecta qe em o ceto da cicfeêcia aos vétices do polígoo. Deste modo, vamos obte tiâglos cogetes. Aalisado a sa costção, veificamos facilmete qe estes tiâglos são isósceles, visto qe dois dos ses lados são exactamete o aio da cicfeêcia. Depois, taçamos os segmetos de ecta desde o ceto até ao poto de tagêcia da cicfeêcia com cada lado do polígoo (poto médio de cada lado do polígoo). Estes segmetos são pepediclaes a cada lado do polígoo e são também, potato, as altas dos tiâglos isósceles em qe o polígoo foi dividido. Estes tiâglos são também igais ete si, e, qalqe m destes segmetos de ecta, defie-se o polígoo como o se apótema. Obtivemos etão m polígoo egla costitído po tiâglos ectâglos cogetes, assim como se pode obseva a figa segite: 60 Potato, podemos afima qe o âglo de amplitde  mede exactamete,. Cada m destes tiâglos ectâglos tem m cateto de compimeto igal ao aio da cicfeêcia ( ) e oto cateto de compimeto igal a metade do compimeto do lado do polígoo ( p ). Logo, podemos defii o valo do peímeto do polígoo cicscito po p. 44

45 tg  p Cosideado agoa o tiâglo sombeado a azl, temos qe 60 tg p 60 p tg. Retomado o peímeto do polígoo cicscito (dado po p ) podemos eescevê-lo do segite modo: 60 tg. Sabedo aida qe o peímeto da cicfeêcia é dado po e qe este peímeto é ifeio ao do se polígoo cicscito, obtemos a segite desigaldade: tg tg. (*) No caso paticla de 6, temos m hexágoo egla e, sbstitido a fómla. Potato,, 464. acima obtida, vem 6 tg0 6, 464 Aalogamete, se cosideamos agoa m polígoo com lados iscito ma cicfeêcia, e se de segida, taçamos os segmetos de ecta qe em o ceto da cicfeêcia aos vétices do polígoo, assim como os segmetos qe em o ceto da cicfeêcia ao poto médio de cada lado do polígoo, vamos obte também m polígoo decomposto em tiâglos ectâglos cogetes, tal como sgee a figa segite: Também este polígoo iscito teá de peímeto p. Já a amplitde Â, cosideado a imagem acima, o tiâglo sombeado a azl, podemos agoa epesetá-la da p 60 segite foma: se Â. O qe é eqivalete a esceve qe p se. Como também este peímeto é dado po p, podemos escevê-lo da segite maeia: 60 se. Como o peímeto da cicfeêcia é e o peímeto do polígoo iscito seá meo do qe o peímeto da cicfeêcia, eslta-os a segite desigaldade: se se. (**) 45

46 Tomado ovamete o caso paa 6, obtemos 6 0 se De (*) e de (**) podemos cocli qe se tg. Cocetamete paa o caso do hexágoo ( 6), obtemos, 464. Utilizado este método, Aqimedes so apoximações de paa, 4, 48 e 96. Obsevemos a tabela qe se sege, ode se podem obseva os valoes obtidos po Aqimedes. Da tabela decoe qe, com m polígoo de 96 lados, Aqimedes calclo m valo paa com das casas decimais coectas. Salieta-se qe este valo foi obtido sem tiliza símbolos algébicos, úmeos áabes, o otação decimal qe são de so comm actalmete. Um método semelhate ao apesetado, qe cosiste em cosidea as áeas dos polígoos eglaes é tilizado ma aplicação iteactiva ciada em 009 po Magaida Oliveia. (4 ) 46

47 O objectivo desta aplicação cosiste a exploação iteactiva das scessões cjos temos são as áeas de polígoos iscitos e cicscitos ma cicfeêcia itáia. Este estdo potecia o estdo de apoximações po excesso e defeito do úmeo. Se fomos ametado o úmeo de lados, podemos obte valoes cada vez mais póximos, cofome se ilsta abaixo: Aqimedes desevolve m método paa calcla a áea de m cíclo, ode so empiicamete os ifiitésimos: a áea do cíclo é a soma das áeas de ifiitos tiâglos ifiitésimos de base b e alta igal ao aio. 47