MATEMÁTICA 200 questões de concursos resolvidas (1 a Revisão) José Bartasevicius

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1 MATEMÁTICA 00 questões de concursos resolvidas 1 a Revisão) José Bartasevicius

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3 Revisões 1ª Revisão 0/Fev/015) 1. Correção da Solução 4.. Troca de por na quarta linha da coluna de k 5 da Solução 14.. Troca de 1 por 4 na expressão todos os múltiplos de 1 na Solução Troca de cos nϕ por nϕ na fase da representação polar na Solução Troca de aky por ay no desenvolvimento da Solução Correção de erro de digitação na Solução Correção de erro de digitação na Solução Alterações estéticas para melhor visualização e acomodamento na folha A4.

4 Sumário 1 Problemas 5 Soluções 58 4

5 Capítulo 1 Problemas Problema 1 IME-1996) { Resolva o sistema abaixo: x y = y x, onde a 1 e a > 0 y = ax Problema IME-1996) Se tan a e tan b são raízes da equação x + px + q = 0, calcule, em função de p e q, o valor simplificado da expressão: y = sin a + b) + p sina + b) cosa + b) + q cos a + b). Considere p, q R com q 1. Problema IME-1996) Determine o resto da divisão do polinômio cos ϕ + x sin ϕ) n por x + 1 ), onde n é um número natural. Problema 4 IME-1997) Determine a solução da equação trigonométrica sin x + cos x = 1, x R. Problema 5 IME-1997) Determine α, β e γ de modo que o polinômio, αx γ+1 + βx γ + 1, racional inteiro em x, seja divisível por x 1) e que o valor numérico do quociente seja igual a 10 para x = 1. Problema 6 IME-1997) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, é igual a 7. Determine os termos desta soma. 5

6 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 7 IME-1998) Determine as raízes de z + iz + 4i = 0 e localize-as no plano complexo, sendo i = 1. Problema 8 IME-1999) Calcule o determinante: D = Problema 9 IME-1999) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa o somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais n k ). k=1 Problema 10 IME-1999) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes: a. em 8 saiu uma face preta para o jogador I; b. em 5 saiu uma face branca para o jogador II; c. em 7 saiu uma face branca para o jogador III; d. em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; e. em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; f. em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; g. em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. 6 J. Bartasevicius

7 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 11 IME-1999) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto: a b)c a)d a)d c)d b)c b) é divisível por 1. Problema 1 IME-000) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo: { a x.b 1/y = ab determine os valores de x e y. log a x = log 1/b y. log a b Problema 1 IME-000) Um comandante de uma companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas têm somente um homem em comum. Determine o número de voluntários e o de integrantes de uma patrulha. Problema 14 IME-000) Prove que para qualquer número inteiro k, os números k e k 5 terminam sempre com o mesmo algarismo algarismo das unidades). Problema 15 IME-001) Calcule a soma dos números entre 00 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não são simultaneamente múltiplos de ambos. Problema 16 IME-001) Sejam x, y e z números reais positivos. Prove que: x + y + z x.y.z Em que condições a igualdade se verifica? Problema 17 IME-001) Resolva a equação 5 5 x = x, sabendo que x > 0. J. Bartasevicius 7

8 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 18 IME-00) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z n 1, onde n é um número inteiro positivo. z n Demonstre que é um número real. 1 + zn Problema 19 IME-00) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação: ) ) log 1x 19x + 8x = log 1x 19x + 8x, onde logy) e y representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y. Problema 0 IME-00) Demonstre que é um número inteiro múltiplo de quatro. Problema 1 IME-00) Considere o polinômio P x) = x + ax + b de coeficientes reais, com b 0. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que a < 0. Problema IME-00) Demonstre que o número 11 }{{... 1 } }{{.. }. 5 é um quadrado n 1) n vezes vezes perfeito. Problema IME-004) Dada a função fx) = 156x x, demonstre que: fx + y) + fx y) = fx)fy) Problema 4 IME-005) Seja D n = deta n ), onde A n = n n Determine D n em função de n n N, n 1). 8 J. Bartasevicius

9 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 5 IME-005) Os ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e um deles é solução da equação trigonométrica ) sin x + cos x) sin x sin x cos x + cos x = 1 Determine os valores destes ângulos em radianos). Problema 6 IME-005) Determine o conjunto solução S = {x, y) x y Z} da equação x + y)k = xy sabendo que k é um número primo. Problema 7 IME-006) Considere uma seqüência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por a K+1 = a K b K+1 = 4 5 b K onde a K e b K, para K 1, são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. Se a 1 = 0cm e b 1 = 4cm, determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando K. Problema 8 IME-006) Considere o sistema de equações dado por { log α + log 9 β = 10 log 9 α log β = 10 onde α e β são números reais positivos. Determine o valor de P = αβ. Problema 9 [ IME-006) Resolva a equação log sin x+cos x 1 + sin x) =, x π, π ]. Problema 0 IME-006) Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o número de seqüências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas as m + n bolas. Observação: uma seqüência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. J. Bartasevicius 9

10 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 1 IME-006) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que a + b = b + c = a + c, determine o valor numérico de a + b. c a b c Problema IME-006) Seja f : N R uma função tal que n fk) = 008 n + 1 k=0 n +, onde N e R são, respectivamente, o conjunto dos números naturais e o 1 dos números reais. Determine o valor numérico de f006). Problema IME-007) Determine o conjunto-solução da equação sin x + cos x = 1 sin x. cos x Problema 4 IME-007) Encontre o polinômio P x) tal que Qx)+1 = x 1).P x) e Qx) + é divisível por x 4, onde Qx) é um polinômio do 6º grau. Problema 5 IME-007) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de i + i n + 1) i n Problema 6 IME-007) Considere todos os pontos de coordenadas x, y) que pertençam à circunferência de equação x +y 6x 6y+14 = 0. Determine o maior valor possível de y x. Problema 7 IME-008) Resolva a seguinte inequação, para 0 x π: sin x + cos x + 4 sin x ) sin x cos x + 4 cos x + ) sin x sin x cos x + cos x > Problema 8 IME-009) Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado. 10 J. Bartasevicius

11 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 9 IME-009) Seja a equação p n = q, onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine os possíveis valores de n, p e q. Problema 40 IME-010) Seja x um número inteiro positivo menor ou igual a Sabe-se que x x é divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de x. Problema 41 IME-011) Os números reais positivos x 1, x e x são raízes da equação x ax = a b b x, sendo b N natural), a R real) e a 1. Determine, em função de a e b, o valor de x 1 x x x 1 + x + x ) x 1 +x ] [ b. +x Problema 4 IME-011) Sejam r e s Z inteiro). Prove que r + s) é múltiplo de 17 se e somente se 9r + 5s) é múltiplo de 17. Problema 4 IME-01) Considere log b a) = 4, com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, número real, para que a equação x 18x + [log b ab) m + 8 m] x log b a) m = 0 tenha três raízes reais em progressão aritmética. Problema 44 IME-01) Considere a, b e c números inteiros e < a < b < c. Determine os) valores) de x, y e z, que satisfaçam o sistema de ax by + cz = abc ax 4by = abc equações by + cz = 0 xyz = 01 Problema 45 IME-01) Considere, Z 1 e Z, complexos que satisfazem a equação x + px + q = 0, onde p e q são números reais diferentes de zero. Sabe-se que os módulos de Z 1 e Z são iguais e que a diferença entre os seus argumentos vale α, onde α é diferente de zero. Determine o valor de cos α ) em função de p e q. J. Bartasevicius 11

12 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 46 IME-01) O polinômio P x) = x 5 x x 0x + 81x 4 possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as raízes do polinômio. Problema 47 IME-01) Determine os) valores) de x, inteiros) e positivos), que satisfazem) a equação x = x y 1 y z) y=1 z=0 Problema 48 IME-01) Resolva a equação log cos x sin x ). log cos x sin x) = 4 Problema 49 IME-01) Calcular o valor da expressão abaixo Obs.: algs = algarismos }{{} 11 }{{... 1 } 00 }{{... 0 } 89 algarismos 0 algs 1 0 algs 0 Problema 50 IME-01) Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de alunos. De quantas formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? Por exemplo, uma turma de alunos pode ser organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos pode se organizar de 10 formas) Problema 51 IME-01) Resolver o sistema de equações { x y = log y x x+ + 8 x = 5.4 y Problema 5 IME-014) Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação: 4 log x + log 1 x 9 > 1 1 J. Bartasevicius

13 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 5 IME-014) Encontre as soluções reais da equação: x + 4x 4 + x 4x 4 = x + Problema 54 IME-014) Seja n um inteiro positivo cuja representação decimal é a m... a 1 a 0 e f a função que troca a posição dos dígitos a i e a i+1, de forma que f a k+1 a k... a 1 a 0 ) = a k a k+1... a 0 a 1. Por exemplo: f1456) = 1465 f104) = 14 f1) = 10 f10) = 1 Determine o menor número maior que 99 que satisfaça à equação x = 9x + 9fx) + fx)) Problema 55 IME-014) Os coeficientes a 0,..., a 014 do polinômio P x) = x a 014 x a 1 x + a 0 são tais que a i {0, 1}, para 0 i 014. a) Quais são as possíveis raízes inteiras de P x)? b) Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas? Problema 56 ITA-1990) O conjunto das soluções reais da equação lnsin x) = lnsin x) é dado por: a) {x R : x = π + kπ, k Z} b) {x R : x = π + k π, k Z} c) {x R : x = kπ, k Z} d) {x R : 1 x 1} e) {x R : x 0} Problema 57 ITA-1990) Sabendo-se que x 1 é fator de 1x 19x + 8x 1 então as soluções reais da equação 1 x) 19 x) + 8 x ) 1 = 0 somam: a) log 1 J. Bartasevicius 1

14 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS b) 1 c) 1 log 1 d) 1 e) log 7 Problema 58 ITA-1990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é e a, a soma dos termos é 7 enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é. Nestas condições o valor de a é: a) ln b) ln 5 c) ln d) ln e) não existe número real a nestas condições Problema 59 ITA-1990) Sejam as { funções f e g dadas por: 1, se x < 1 f : R R, fx) = 0, se x 1 g : R {1} R, gx) = x x 1 Sobre a composta f g) x) = f g x)) podemos garantir que: a) se x, f g x)) = 0 b) se 1 < x <, f g x)) = 1 c) se 4 < x <, f g x)) = 1 d) se 1 < x 4, f g x)) = 1 e) n.d.a. Problema 60 ITA-1990) Seja C o centro da circunferência x + y 6 y = 0. Considere A e B os pontos de interseção desta circunferência com a reta y = x. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é: 14 J. Bartasevicius

15 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 6 + b) 4 + c) + d) 5 + e) n.d.a. Problema 61 ITA-1991) Sejam a R, a > 1 e f : R R definida por fx) = a x a x. A função inversa de f é dada por: a) log a x ) x 1, para x > 1 b) log a x + ) x + 1, para x R c) log a x + ) x + 1, para x R d) log a x + ) x 1, para x < 1 e) n.d.a. Problema 6 ITA-1991) Considere as afirmações: I - A equação x 4 10x + 10x = 0 só admite raízes reais. II - Toda equação recíproca admite um número par de raízes. III - As raízes da equação x + 4x 4x 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x + x x = 0. Então: a) Apenas I é verdadeira b) Apenas II é falsa c) Apenas III é verdadeira d) Todas são verdadeiras e) n.d.a. Problema 6 ITA-1991) Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar J. Bartasevicius 15

16 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS comissões de 1 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo de Física e no máximo de Química? a) 875 b) 1877 c) 1995 d) 877 e) n.d.a. Problema 64 ITA-1991) Sejam A = n k=0 Se ln B ln A = ln a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) n.d.a. [ ] n k k e B = n 1 então n é igual a: k=0 [ ] n 1 11 k k. Problema 65 ITA-199) Numa progressão geométrica de razão inteira q > 1. Sabe-se que a 1 a n = 4, log q P n = 0 e log q a n = 6, onde a n é o enésimo termo da progressão geométrica e P n é o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n primeiros termos é igual a: a) b) c) d) 9 1 e) n.d.a. 16 J. Bartasevicius

17 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 66 ITA-199) No desenvolvimento x+y) 6, ordenado segundo as potências decrescentes de x, a soma do termo com 1 do termo de maior 10 coeficiente é igual a oito vezes a soma de todos os coeficientes. Se ) x = ) z+1 1 z 1/ e y =, então: 4 a) z [0, 1] b) z 0, 50) c) z, 0] d) z [1, 15] e) n.d.a. Problema 67 ITA-199) Seja a o módulo de número complexo i ) 10. Então o valor de x que verifica a igualdade 4a) x = a é: a) b) c) 5 8 d) 8 e) 1 5 Problema 68 x y + z = 7 ITA-199) Analisando o sistema x + y z = 0 x + y z = 1 este é: concluímos que a) Possível e determinado com xyz = 7. b) Possível e determinado com xyz = 8. c) Possível e determinado com xyz = 6. d) Possível e indeterminado. e) Impossível. J. Bartasevicius 17

18 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 69 ITA-199) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga SP). O número de pessoas que soube do acontecimento B t horas após é dado por: ft) = onde B é a população da 1 + Ce kt cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente horas após, então o tempo passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas b) 5 horas c) 6 horas d) 5 horas e 4 min e) 5 horas e 0 min Problema 70 ITA-199) Uma das circunferências que passa pelo ponto P : 0, 0) e tangencia as retas r 1 ) : x y = 0 e r ) : x + y = 0 tem sua equação dada por: a) x 1) + y + 1) = b) x 1) + y + 1) = c) x 1) + y 1) = d) x + 1) + y 1) = e) x + 1) + y + 1) = Problema 71 x + 4 ITA-1994) A identidade: x + 1 = 1 + a x bx + c x x + 1 é válida para todo real x 1. Então a + b + c é igual a: a) 5 b) 4 c) d) e) 1 18 J. Bartasevicius

19 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 7 a ITA-1994) No desenvolvimento de A = + m ) 10, a razão entre a parcela contendo o fator a 16 m e a parcela contendo o fator a 14 m é igual a 9/16. Se a e m são números reais positivos tais que A = m + 4 ) 5 então: a) a.m = / b) a.m = 1/ c) a + m = 5/ d) a + m = 5 e) a m = 5/ Problema 7 ITA-1994) Seja a 1, a,..., a n ) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q > 0. O produto de seus termos é igual a 5 e o termo do meio é 5. Se a soma dos n 1) primeiros termos é igual a 1 + q) 1 + q ), então: a) a 1 + q = 16 b) a 1 + q = 1 c) a 1 + q = 10 d) a 1 + q + n = 0 e) a 1 + q + n = 11 Problema 74 ITA-1994) Seja a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a 0 e a 1. Se a soma de seus termos é igual a 1a + 1) e x é um número real positivo diferente de 1 tal que: a) b) c) 5/) d) 5/) / e) /5) 1 log a x + 1 log b x + 1 log c x + 1 log d x + 1 log e x = 5 J. Bartasevicius 19

20 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 75 ITA-1994) Sejam x e y números reais, positivos e ambos diferentes de 1, x y = 1 satisfazendo o sistema: y log x + log y = log 1. Então o conjunto x x, y) está contido no intervalo: a) [, 5] b) ]0, 4[ c) [ 1, ] d) [4, 8[ e) [5, [ Problema 76 ITA-1995) Sabendo que 4 + i e 5 são raízes do polinômio x 5 x x + x 40x + 540, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é: a) 17 b) 19 c) 1 d) e) 5 Problema 77 ITA-1995) Sejam z 1 e z números complexos com z 1 = z = 4. Se 1 é uma raiz da equação z 1 z 6 + z z 8 = 0 então a soma das raízes reais é igual a: a) 1 b) 1 + 1/ c) 1 1/ d) 1 + 1/ e) 1 + 1/ Problema 78 ITA-1996) Considere o polinômio: P z) = z 6 + z 5 + 6z 4 + 1z + 8z + 16z 0 J. Bartasevicius

21 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 79 a) Apenas uma é real. b) Apenas duas raízes são reais e distintas. c) Apenas duas raízes são reais e iguais. d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais. ITA-1996) O valor da potência a) 1 + i b) 1 + i c) 1 i d) ) 9 i e) ) 9 + i ) 9 é: 1 + i Problema 80 ITA-1996) Sejam a 1, a, a e a 4 quatro números reais com a 1 0), formando nessa ordem uma{ progressão geométrica. a Então, o sistema em x e y 1 x + a y = 1 é um sistema: a 1 a x + a 1 a 4 y = a a) Impossível. b) Possível e determinado. c) Possível e indeterminado. d) Possível determinado para a 1 > 1. e) Possível determinado para a 1 < 1. Problema 81 ITA-1997) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja α um número real com α > 0 e α 1 satisfazendo a x + a y a z = 0. Então r é igual a a) a J. Bartasevicius 1

22 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS b) ) 1 a c) log a 4 d) log a /) e) log a Problema 8 ITA-1998) Sejam x e y números reais tais que: { x xy = 1 x y y = 1 Então, o número complexo z = x + iy é tal que z e z, valem respectivamente: a) 1 i e 6 b) 1 + i e 6 c) i e 1 d) i e 1 e) 1 + i e Problema 8 ITA-1998) O valor de y R que satisfaz a igualdade: log y 49 = log y 7 + log y 7, é: a) 1 b) 1 c) d) 1 8 e) 7 Problema 84 ITA-1998) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) 1! b) 8)! 5)! J. Bartasevicius

23 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) 1! 8)! 5)! d) 1! 8! e) 1! 7)! 5)! Problema 85 ITA-1999) Seja a R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a x1 x) > a x 1, é: a) ] 1, 1[ b) ]1, + [ c) ] 1/, 1[ d) ], 1[ e) vazio Problema 86 ITA-1999) Se x [0, π/[ é tal que 4 tan 4 x = 1 cos 4 x de sin x + sin 4x 15 a) 4 15 b) 8 c) 5 8 d) 1 e) 1 + 4, então o valor Problema 87 ITA-1999) Considere a circunferência C de equação x +y +x+y+1 = 0 e a elipse E de equação x + 4y 4x + 8y + 4 = 0. Então: a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. c) C e E são tangentes exteriormente. d) C e E são tangentes interiormente. e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. J. Bartasevicius

24 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 88 ITA-000) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1,,,4,5 e 6, nos quais o 1 e o nunca ocupam posições adjacentes, mas o e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 b) 180 c) 40 d) 88 e) 60 Problema 89 ITA-000) A soma das raízes reais e positivas da equação 4 x 5. x + 4 = 0 vale: a) b) 5 c) d) 1 e) Problema 90 ITA-000) O valor de n que torna a seqüência + n, 5n, 1 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo: a) [, 1] b) [ 1, 0] c) [0, 1] d) [1, ] e) [, ] Problema 91 ITA-001) Sabendo que é de 104 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio x + y) m, temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados a, é: a) 80 b) 90 4 J. Bartasevicius

25 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) 70 d) 100 e) 60 Problema 9 ITA-001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função fx) = x + m + )x + m + ) x + m + 1)x + m ) está definida e é não negativa + para todo x real é: a) [1/4, 7/4[ b) ]1/4, [ c) ]0, 7/4[ d) ], 1/4] e) ]1/4, 7/4[ Problema 9 ITA-001) A parte imaginária de 1 + cos x) + i sin x) k, k inteiro positivo, x real é a) sin k x. cos k x b) sin k x. cos k x c) k sin kx. cos k x d) k sin k x. cos k x e) sin kx. cos k x Problema 94 ITA-00) Os valores de x R, para os quais a função real dada por fx) = 5 x 1 6 está definida, formam o conjunto a) [0, 1]. b) [ 5, 6]. c) [ 5, 0] [1, ). d), 0] [1, 6]. e) [ 5, 0] [1, 6]. J. Bartasevicius 5

26 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 95 ITA-00) Sejam f e g duas funções definidas por fx) = ) sin x 1 e gx) = 1 ) sin x 1, x R A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a a) 0. b) 1 4. c) 1 4. d) 1. e) 1. Problema 96 ITA-00) Sabendo que a equação x px = q m, p, q 1, m N possui três raízes reais positivas a, b e c, então log q [abc a + b + c ) a+b+c ] é igual a a) m + p log q p b) m + p log q p c) m + p log q p d) m p log q p e) m p log q p Problema 97 ITA-00) Mostre que x y + + y ) 4 > C x 8,4 para quaisquer x e y reais positivos. Obs.: C n,p denota a combinação de n elementos tomados p a p. 6 J. Bartasevicius

27 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 98 ITA-00) O número de divisores de que, por sua vez, são divisíveis por é: a) 4 b) 6 c) 48 d) 54 e) 7 Problema 99 ITA-00) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes v A e v T, com 0 < v T < v A. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d 1 > 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t 1, t, t,... que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d 1, d, d,..., respectivamente, sendo que, para todo n, d n denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante n 1 t k da corrida. Verifique que os termos t k, k = 1,,,..., k=1 formam uma progressão geométrica infinita, determine sua soma e dê o significado desta soma. Problema 100 ITA-004) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio a) b) ) 1 x 5x 5x x c) d) 76 5 e) J. Bartasevicius 7

28 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 101 ITA-004) Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e azuis, e uma caixa preta contém bolas verdes e azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Problema 10 ITA-004) Considere a equação x + x x + d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0, 1[? Problema 10 ITA-005) Sobre o número x = é correto afirmar que a) x ]0, [ b) x é racional c) x é irracional d) x é irracional e) x ], [ Problema 104 ITA-005) No desenvolvimento de ax bx + c + 1) 5 obtém-se um polinômio px) cujos coeficientes somam. Se 0 e 1 são raízes de px), então a soma a + b + c é igual a a) 1 b) 1 4 c) 1 d) 1 e) Problema 105 ITA-005) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença n n 1 fica menor que 0, 01 é a) J. Bartasevicius

29 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS b) 501 c) 500 d) 600 e) 4900 Problema 106 ITA-005) a) Mostre que o número real α = é raiz da equação x + x 4 = 0. b) Conclua de a) que α é um número racional. Problema 107 ITA-005) Considere a equação em x R 1 + mx = x + 1 mx sendo m um parâmetro real. a) Resolva a equação em função do parâmetro m. b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite solução não nula. Problema 108 ITA-006) Considere a equação ax a x ) a x + a x = m, na variável real x, ) com 0 < a 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é a) 1, 0) 0, 1) b), 1) 1, + ) c) 1, 1) d) 0, ) e), + ) Problema 109 ITA-006) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é a) b) 4.60 c) 5.60 J. Bartasevicius 9

30 d) e) ) 7.4 ) 10 7 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 110 ITA-006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = 101 log 8 4 k ) : k=0 I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão / III. S = 451 IV. S 44 + log 8 Então, pode-se afirmar que é são) verdadeiras) apenas a) I e III b) II e III c) II e IV d) II e) III Problema 111 ITA-006) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por { a b) x a + b) y = 1 Considere as seguintes afirmações: a + b) x + a b) y = 1 1. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos. x + y = a + b ) 1, se a + b 0 Então pode-se afirmar que ésão) verdadeiras) apenas a) I 0 J. Bartasevicius

31 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS b) II c) III d) I e II e) II e III Problema 11 ITA-006) Determine o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de 1 + x + x ) 9. Problema 11 ITA-007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) 8 9 b) 8 1 c) 8 6 d) 14 8 e) 8 Problema 114 ITA-007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log k xy) = 49, Então, log k xyz) é igual a log k x/z) = 44. a) 5 b) 61 c) 67 d) 80 e) 97 Problema 115 ITA-007) Sejam x e y dois números reais tais que e x, e y e o quociente e x 5 4 e y 5 são todos racionais. A soma x + y é igual a J. Bartasevicius 1

32 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 0 b) 1 c) log 5 d) log 5 e) log e Problema 116 ITA-007) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema [ log x + y) w z) 1] = 0, x+z 8. y z+w = 0, x + y + 6z w = 0. Problema 117 ITA-008) Para x R, o conjunto-solução de 5 x 5 x x = 5 x 1 é a) { 0, ± 5, ± } b) { )} 0, 1, log { )} c) 0, 1 log 5, 1 log 5, log 5 d) { ) ) )} 0, log 5 + 5, log5 +, log5 e) A única solução é x = 0 Problema 118 ITA-009) Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor flex que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 6% dos carros com motor a gasolina e 6% dos carros com motor flex sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a a) 46 b) 5 c) 60 J. Bartasevicius

33 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) 68 e) 84 Problema 119 ITA-009) Se as soluções da equação algébrica x ax + bx + 54 = 0 com coeficientes a, b R, b 0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, a b é igual a a) b) 1 c) 1 d) 1 e) Problema 10 ITA-009) A expressão [ sin x + 11 ) π é equivalente a a) [ cos x sin x ] cotan x b) [sin x + cos x] tan x c) [ cos x sin x ] cotan x d) [ 1 cotan x ] sin x e) [ 1 + cotan x ] [sin x + cos x] 1 + tan x ] + cotan x tan x Problema 11 ITA-009) Suponha que a equação algébrica x n=1 a n x n + a 0 = 0 tenha coeficientes reais a 0, a 1,..., a 10 tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγ n, em que β, γ n R formam uma progressão aritmética de razão real γ 0. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: J. Bartasevicius

34 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS I. Se β = 0, então a 0 = 0 II. Se a 10 = 0, então β 0 = 0 III. Se β = 0, então a 1 = 0 Problema 1 ITA-010) A expressão + 5 ) 5 5 ) 5 é igual a a) 60 5 b) c) 71 5 d) e) Problema 1 ITA-010) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a a) 16 7 b) c) d) e) Problema 14 ITA-010) Analise a função f : R R, fx) = x x é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f 1. Problema 15 ITA-010) Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. 4 J. Bartasevicius

35 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repôla, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6. Problema 16 ITA-011) O sistema x + y + z = a y + z = b x y 5cz = 0 a) é possível a, b, c R b) é possível quando a = 7b ou c 1 c) é impossível quando c = 1, a, b R d) é impossível quando a 7b c R e) é possível quando c = 1 e a 7b Problema 17 ITA-011) A expressão 4e x + 9e y 16e x 54e y + 61 = 0, com x e y reais, representa a) o conjunto vazio b) um conjunto unitário c) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos d) um conjunto com um número infinito de pontos { } e) o conjunto x, y) R e x ) + e y ) = 1 Problema 18 ITA-011) Resolva a inequação em R: 16 < ) 1 log 15 x x+19). 4 Problema 19 ITA-011) Determine todos os valores de m R tais que a equação m)x + mx + m + = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. J. Bartasevicius 5

36 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 10 ITA-01) Deseja-se trocar uma moeda de 5 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 5 centavos pode ser trocada é igual a a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) 14 Problema 11 ITA-01) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a a) 9 b) 1 c) 4 9 d) 5 9 e) Problema 1 ITA-01) Analise se f : R R, fx) = em caso afirmativo, encontre f 1 : R R. { + x, x 0 x, x < 0 é bijetora e, Problema 1 ITA-01) Determine os valores de θ [0, π] tais que log tanθ) e sinθ) 0. Problema 14 ITA-01) A soma das raízes da equação em C, z 8 17z = 0, tais que z z = 0, é a) 1 b) c) d) 4 6 J. Bartasevicius

37 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS e) 5 Problema 15 ITA-01) A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação ) ) 8 x x = 19 4 x+1 é igual a a) 8 b) 1 c) 16 d) 18 e) 0 Problema 16 ITA-01) Se os numeros reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações a b = 1 e lna + b) + ln 8 = ln 5, um possível valor de a b é a) b) 1 c) d) e) Problema ) 10 i ITA-014) Se z = 1, então o valor de arcsinrez)) + i 5 arctanimz)) é igual a a) 5π 7 b) 4π 5 c) π J. Bartasevicius 7

38 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) 8π e) 9π 4 Problema 18 ITA-014) Seja p o polinômio dado por px) = 15 a j x j, com a j j=0 R, j = 0, 1,..., 15, e a Sabendo-se que i é uma raiz de p e que p) = 1, então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por qx) = x x + x, é igual a a) 1 5 x 1 5 b) 1 5 x c) 5 x + 5 d) 5 x 5 e) 5 x Problema 19 ITA-014) Seja n um inteiro positivo tal que sin π n =. 4 a) Determine n. b) Determine sin π 4. Problema 140 ITA-014) Sabe-se que a equação x + 5xy y x + 8y 6 = 0 representa a reunião de duas retas concorrentes, r e s, formando um ângulo agudo θ. Determine a tangente de θ. Problema 141 EN-008) Consideremos a, x R +, x = 1 e a 1. Denotemos por log x e log a x, os logaritmos nas bases 10 e a respectivamente. O produto das raízes reais da equação [ 1 + log x 10) ] [ ] = 1 logx 1) é ) a) b) 10 8 J. Bartasevicius

39 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) d) e) 100 Problema 14 EN-008) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real fx) = ln e x ) x+1). Podemos afirmar que 4) log n... é a raiz da equação a) x x 9 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4 4x x + = 0 d) x 4x + = 0 e) x 4 4x + x + 1 = 0 Problema 14 EN-008) O sistema linear x + y z = 4 x y + 5z = 4x + y + a 14)z = a + onde a R, pode ser impossível e também possível e indeterminado. Os valores de a que verificam a afirmação anterior são, respectivamente a) 4 e 4 b) 4 e 4 c) 4 e 4 d) 4 e 4 e) 1 e 1 Problema 144 EN-009) Ao escrevermos x x 4 +1 = Ax+B a 1 x + Cx+D +b 1 x+c 1 a x +b x+c onde a i, b i, c i 1 i ) e A, B, C e D são constantes reais, podemos afirmar que A + C vale a) 8 J. Bartasevicius 9

40 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS b) 1 c) 1 4 d) 1 8 e) 0 Problema 145 EN-009) No sistema decimal, a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000, com todos os algarismos distintos é a) 60 b) 65 c) 405 d) 454 e) 500 Problema 146 EN-009) Considere x 1, x e x R raízes da equação 64x 56x + 14x 1 = 0. Sabendo que x 1, x e x são termos consecutivos de uma PG e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sin [x 1 + x )π] + tan [4x 1 x )π] vale a) 0 b) c) d) 1 e) + Problema 147 EN-010) Considere a equação x + bx + c = 0, onde c representa a quantidade de valores inteiros que satisfazem a inequação x 4. Escolhendo-se o número b, ao acaso, no conjunto { 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5}, qual é a probabilidade da equação acima ter raízes reais? a) 0, 50 b) 0, 70 c) 0, 75 d) 0, J. Bartasevicius

41 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS e) 1 Problema 148 EN-010) A inequação x 6x x + px + c tem como solução o intervalo [0, ], onde p, c R. Seja q a maior raiz da equação 4 x+1 = 16. x A representação trigonométrica do número complexo p + iq é a) cos 5π + i5π b) cos π 4 + iπ 4 ) c) cos π 6 + iπ 6 d) cos π ) + iπ e) cos 7π 4 + i7π 4 ) ) ) Problema 149 EN-010) Uma progressão geométrica infinita tem o 4 termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 10 primeiros termos vale log 5. Se S é a soma desta progressão, então o valor de log S é a) + log 5 b) + log 5 c) 4 + log 5 d) 1 + log 5 e) 4 + log 5 Problema 150 EN-010) Sejam a, b, c as raízes da equação 1x 4x x + 1 = 0. Qual o valor de a + b + c + 1? a) 1 9 b) 7 c) 7 9 J. Bartasevicius 41

42 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) e) Problema 151 EN-010) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que fn + ) = + fn), n N, f0) = 10 e f1) = 5. Qual o valor de f81) f70) a) b) 10 c) d) 15 e) Problema 15 EN-011) Em que ponto da curva y = x a reta tangente é perpendicular à reta de equação 4x y + = 0? 1 a) 8, 1 ) 16 1 b) 4, ) 16 c) 1, ) d), 4) 1 e), 1 ) Problema 15 EN-011) Sendo x e y números reais, a soma de todos os valores de x x y = 1 e de y, que satisfazem ao sistema y y x = 1 x a) 6 5 b) 9 4 J. Bartasevicius

43 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) 5 d) 5 4 e) 1 Problema 154 EN-011) Sendo i = 1, n N, z = { i 8n 5 + i 4n 8} + i e P x) = x + x 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P z) vale a) i b) i c) 167 4i d) 41 + i e) 0 + 4i Problema 155 EN-011) Três números inteiros estão em PG. A soma destes números vale 1 e a soma dos seus quadrados vale 91. Chamando de n o termo do meio desta PG, quantas comissões de n elementos, a Escola Naval pode formar 8 professores do Centro Técnico Científico? a) 76 b) 176 c) 76 d) e) Problema 156 EN-01) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede cm, então seu volume vale a) π dm b) 0, π dm c) π dm J. Bartasevicius 4

44 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) 0, π dm e) π dm Problema 157 EN-01) Considere a seqüência a, b, ) uma progressão aritmética e a seqüência b, a, ) uma progressão geométrica não constante, a, b R. A equação da reta que passa pelo ponto a, b) e pelo vértice da curva y y + x + = 0 a) 6y x 4 = 0 b) x 4y 1 = 0 c) x 4y + 1 = 0 d) x + y = 0 e) x y = 0 Problema 158 EN-01) Considere como espaço amostral Ω), o círculo no plano xy de centro na origem e raio igual a. Qual a probabilidade do evento A = {x, y) Ω x + y < 1}? a) π b) 4π c) 1 π 1 d) π e) π Problema 159 EN-01) [ Seja m] a menor raiz inteira da equação x 1)5x 7)! = 1. Pode-se afirmar que o termo médio do desenvolvimento de y z ) 1m é a) 1! 6!6! y18 z b) 1! 6!6! y z J. Bartasevicius

45 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) 0! 15!15! y 15 z 45 d) 0! 15!15! y 15 z 45 e) 1! 6!6! y z 18 Problema 160 EN Masculino-01) Considere f uma função real de variável real tal que: 1) fx + y) = fx)fy) ) f1) = ) f ) = Então, f + ) é igual a a) 108 b) 7 c) 54 d) 6 e) 1 Problema 161 EN Masculino-01) De um curso preparatório de matemática para o concurso público de ingresso à Marinha participaram menos de 150 pessoas. Destas, o número de mulheres estava para o número de homens na razão de para 5, respectivamente. Considerando que a quantidade de participantes foi a maior possível, de quantas unidades o número de homens excedia o de mulheres? a) 50 b) 55 c) 57 d) 60 e) 6 Problema 16 EN Feminino-01) Sejam F x) = x + ax + b e Gx) = x + x 6 dois polinômios na variável real x, com a e b números reais. Qual o valor de a + b) para que a divisão F x) seja exata? Gx) J. Bartasevicius 45

46 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) b) 1 c) 0 d) 1 e) Problema 16 EN Feminino-01) O coeficiente de x 5 no desenvolvimento de é a) 0 b) 90 c) 10 d) 70 e) 560 ) 7 x + x Problema 164 EN Feminino-01) Qual o menor valor de n, n inteiro maior que zero, para que 1 + i) n seja um número real? a) b) c) 4 d) 5 e) 6 Problema 165 EN Feminino-01) Um aspirante da Escola Naval tem, em uma prateleira de sua estante, livros de Cálculo, livros de História e 4 livros de Eletricidade. De quantas maneiras ele pode dispor estes livros na prateleira de forma que os livros de cada discipplina estejam sempre juntos? a) 178 b) 180 c) 960 d) J. Bartasevicius

47 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS e) 88 Problema 166 EN Feminino-014) Sabendo que log x representa o logaritmo de x na base 10, qual é o domínio da função real de variável real fx) = arccos log x ) 10? 4x x a) ]0, [ ] [ 1 b), 1 c) ]0, 1] d) [1, [ [ [ 1 e), Problema 167 EN Feminino-014) Considere a sequência x 1 = 1 ; x = ; x = ; x 4 = ;.... O valor de x n é a) n + 1 nn 1) b) n nn + 1) c) n 1 nn + 1) d) n nn + 1) e) n 1) Problema 168 EN Feminino-014) Um restaurante a quilo vende 00 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia? J. Bartasevicius 47

48 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 5 b) 51 c) 46 d) 45 e) 4 Problema 169 EN Masculino-014) Sabendo que z é o número complexo z = 1 + i, o qual o menor inteiro positivo n, para o qual o produto z.z.z... z n é um real positivo? a) 1 b) c) d) 4 e) 5 Problema 170 Magistério Marinha - 007) Duas pessoas combinam de se encontrar em um determinado lugar entre meio dia e 1 horas, podendo cada uma delas escolher o horário aleatoriamente. O primeiro a chegar esperará 15 min pelo outro, sendo que, se o outro não chegar, esse primeiro voltará para casa, e o encontro não acontecerá. Além disso, nenhum deles continuará a esperar além das 1 horas. Qual a probabilidade de o encontro acontecer? a) 5 16 b) 8 c) 7 16 d) 1 e) 5 8 Problema 171 Magistério Marinha - 007) Considere as expressões abaixo. x =, , , J. Bartasevicius

49 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS e y = z = Sobre elas, é correto afirmar que: a) x > y > z b) x > z > y c) y > x > z d) y > z > x e) z > y > x, , , , , , Problema 17 CN-007) Se x + y = e x + y )/x + y ) = 4, então xy é igual a a) 1/11 b) 1/11 c) 14/11 d) 15/11 e) 16/11 Problema 17 CN-007) Em um número natural N de 9 algarismos, tem-se: os algarismos das unidades simples, unidades de milhar e unidades de milhão iguais a x; os algarismos das dezenas simples, dezenas de milhar e dezenas de milhão iguais a y; e os algarismos das centenas simples, centenas de milhar e centenas de milhão iguais a z. Pode-se afirmar que N sempre será divisível por a) 664 b) 665 c) 666 d) 667 e) 668 Problema 174 CN-008) O número a 0 tem inverso igual a b. Sabendo-se que a + b =, qual é o valor de a + b )a 4 b 4 )? J. Bartasevicius 49

50 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 0 Problema 175 CN-008) Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação x 1 + x+1 = 1, com x real e x ±1? a) 16 b) 0 c) d) 5 e) 0 Problema 176 CN-008) A solução de 4x 4x + 1 = 1 + 6x 1x + 8x no campo reais é a) o conjunto vazio b) {1/} c) {-1/,1/} d) [1/, + [ e) ], + [ Problema 177 CN-008) Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado inicialmente, mais 5% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 5% do valor apostado inicialmente. Sabendose que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamanete, o percentual de x obtido no final? a),7 b) 4,7 c) 5,7 50 J. Bartasevicius

51 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) 6,7 e) 9,8 Problema 178 CN-008) O valor de + ) ) 18 + é um número a) múltiplo de onze b) múltiplo de sete c) múltiplo de cinco d) múltiplo de três e) primo Problema 179 CN-009) A menor raiz da equação ax +bx+c, com abc 0, é a média geométrica entre m e a maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre n e a menor raiz. Pode-se afirmar que m + n é expresso por: a) abc b a c b) abc+b a c c) abc b c a d) abc+b c a e) abc b a c Problema 180 CN-009) O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão x 5)15 x 1) 10 x+1) 8 é maior do que, ou igual a zero, é: a) [5, + [ { 1, 1 } b) ], 1 ] [5, + [ c) ], + [ d) ] 1, 1 ] [5, + [ e) { 1 [5, + [} Problema 181 CN-009) Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valor numérico da expressão algébrica 10x x 00? J. Bartasevicius 51

52 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 100 b) 99 c) 98 d) 97 e) 96 Problema 18 CN-010) No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que a é primo com b quando mdca, b) = 1. Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir. I - A fatoração em números primos é única. II - Existem 8 números primos com 4 e menores que 4. III - Se a + b) = a + c) então b = c. IV - Se a < b, então a.c < b.c. Quantas das afirmativas acima são verdadeiras? a) 0 b) 1 c) d) e) 4 Problema 18 CN-010) Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno conseguiu determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação 5x + 11y = Qual foi o número de soluções que este aluno obteve? a) 0 b) 1 c) d) e) 4 Problema 184 CN-010) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação 4 x 1) 4 = x + 5 J. Bartasevicius

53 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) é vazio. b) é unitário. c) possui dois elementos. d) possui três elementos. e) possui quatro elementos. Problema 185 CN-010) No sistema inteiras para x e y é: a) 0 b) 1 c) d) e) infinita. { x y = 0 x y = 1, a quantidade de soluções Problema 186 CN-010) Considere o sistema abaixo nas variáveis reais x e y, sendo a e b reais. { 75y x 15y 75yx + 15x = 15b y + x + yx = a Nessas condições, qual será o valor de x y ) 6? a) a b 6 b) a 8 b 6 c) a 6 b d) a b 6 e) a 4 b 6 Problema 187 CN-011) A quantidade de soluções reais e distintas da equação x x + 97 = 5 a) 1 b) J. Bartasevicius 5

54 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS c) d) 5 e) 6 Problema 188 CN-011) O valor de 9 0,5 x0, x 0, 065, ,555...) 64 é a) 0 b) c) d) e) 1 Problema 189 CN-011) O número real a) 5 b) 7 4 c) d) 1 e) 6 15 é igual a Problema 190 CN-01) Os números ) 7, 11600) 7 e ) 7 estão na base 7. Esses números terminam, respectivamente, com, e 4 zeros. Com quantos zeros terminará o número de base decimal n = 1 01, na base 7? a) 01 b) 01 c) 014 d) 015 e) 016 Problema 191 CN-01) Qual o menor valor positivo de 160x y, sabendo que x e y são números inteiros? 54 J. Bartasevicius

55 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS a) 0 b) 60 c) 10 d) 40 e) 480 Problema 19 CN-01) Na fabricação de um produto é utilizado o ingrediente A ou B. Sabe-se que 10 quilogramas kg) do ingrediente A produz o mesmo efeito que 100kg do ingrediente B. Se a soma de x kg do ingrediente A com y kg do ingrediente B é igual a gramas, então: a) y x = 60 b) x.y = c) y x = 56 d) 4 x y = 0 e) yx = 5 Problema 19 CN-01) Sabendo que A = A 6 A 7? , qual é o valor de 50 a) b) c) d) e) Problema 194 ) ) CN-01) Sejam P = ) ) ) Q = a) b) c) 5 ) ) ) ). Qual é o valor de PQ? J. Bartasevicius 55 e

56 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS d) e) 5 Problema 195 CN-01) Qual é o valor da expressão a) 0, b) c) 1 d) 0 e) ,...) ) Problema 196 CN-01) Seja a, b, x, y números naturais não nulos. Se a.b = 5, k = a+b) a b) e x y = 5 k, qual é o algarismo das unidades do número y x x y )? a) b) c) 5 d) 7 e) 8 Problema 197 CN-01) O maior inteiro n, tal que n +7 n+5 também é inteiro, tem como soma dos seus algarismos um valor igual a a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) J. Bartasevicius

57 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS Problema 198 CN-01) { Dado que a e b são números reais não nulos, com b 4a, e 1 + que ab = 5 5 b 4a b = 4a + b, qual é o valor de 16a 4 b 8a b + a b 4? a) 4 b) 1 18 c) 1 1 d) 18 e) 1 4 Problema 199 CN-014) A solução real da equação x x 1 = 5 é: a) múltiplo de. b) par e maior do que 17. c) ímpar e não primo. d) um divisor de 10. e) uma potência de. Problema 00 CN-014) Considere a equação do grau 014x 015x 409 = 0. Sabendo-se que a raiz não inteira é dada por a b, onde a e b são primos entre si, a soma dos algarismos de a + b é: a) 7 b) 9 c) 11 d) 1 e) 15 J. Bartasevicius 57

58 Capítulo Soluções Solução 1 Substituindo y = a x em x y = y x, tem-se: x ax = ax) x = x a ) x = ax) x = x a = ax Sendo x 0, divide-se a equação por x e tem-se: x a 1 = a x = a 1 a Solução tan a + tan b = p = sin a cos a + sin b = p = cos b sin a cos b + sin b cos a = p = cos a cos b sina + b) = p = cos a cos b sina + b) = pcos a cos b) tan a. tan b = q = sin a cos a sin b cos b = q = sin a sin b sin a sin b sin a sin b = q = = q = 1 = 1 q = cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b sin a sin b cosa + b) = 1 q = cos a cos b cos a cos b = 1 q = 58 A)

59 CAPÍTULO. SOLUÇÕES Fazendo A) B): cosa + b) = 1 q)cos a cos b) sina + b) cosa + b) = pcos a cos b) 1 q)cos a cos b) = tana + b) = Calculando y: [ sina + b) y = cosa + b) [ 1 y = tana + b) + p + q. tana + b) p 1 q ] + b) + p + q.cosa. sina + b) cosa + b) = sina + b) ]. [sina + b) cosa + b)] Substituindo sina + b), cosa + b) e tana + b) pelas expressões em A), B) e C): [ p y = 1 q + p + q.1 q ]. [ pcos a cos b)] [1 q)cos a cos b)] = p [ p + p1 q) p) + q1 q) ] [ ] y =. p)1 q)cos a cos b) = 1 q) p) [ ] [ ] y = p + p + p q) + q q + q 1 1 ). tan a + 1 tan b + 1 ) = [ y = p q + q q + q ] [ ] 1. tan a tan b + tan a + tan = b + 1 [ ] y = q q + q + p q 1 ) tan a tan b) + tan a + tan b) = tan a tan b + 1 [ ] y = q q + q + p q 1 ) q + p) = q + 1 y = q q + q + p q q + p q + 1 = q q q p ) q q p y = q B) C) J. Bartasevicius 59

60 CAPÍTULO. SOLUÇÕES Solução Nomeia-se P x) = cos ϕ + x sin ϕ) n. Chamando o divisor dx) = x + 1 ), um polinômio de º grau, o resto rx) deve ser um polinômio de, no máximo, primeiro grau: rx) = αx+β. Portanto, P x) = dx)qx) + rx). Ao utilizar x com o valor das raízes do divisor, tem-se que o valor do polinômio é o mesmo valor do resto. As raízes de dx) = x + 1 ) são x = ±i. Logo: P i) = di) qi) + ri) = P i) = ri) A) }{{} =0 e P i) = d i) q i) + r i) = P i) = r i) B) }{{} =0 Substituindo x por ±i em A) e B): { cos ϕ + i sin ϕ) n = αi + β cos ϕ i sin ϕ) n = α i) + β Transformando cos ϕ ± i sin ϕ para coordenada polar: { 1 ϕ) n { = iα + β 1 nϕ = iα + β 1 ϕ) n = = iα + β 1 nϕ = iα + β Voltando para representação em coordenada retangular: { { cosnϕ) + i sinnϕ) = iα + β α = sinnϕ) = cosnϕ) i sinnϕ) = iα + β β = cosnϕ) Solução 4 Substituindo α e β em rx): rx) = αx + β rx) = sinnϕ)x + cosnϕ) 1 sin x = cos x = 60 J. Bartasevicius

61 CAPÍTULO. SOLUÇÕES Como 1 sin x 1, logo cos x 0 = π x π. 1 sin x = 1 sin x = ) 1 sin x + sin x = 1 sin x = 4 sin x sin x = 0 = ) sin sin x = 1 x sin x 1 = 0 = sin x = 1 Então, x = π { ou x π } 6, 5π. 6 Como cos x 0, são somente soluções π e π 6. x = π + kπ ou x = π 6 + kπ, k Z. Solução 5 αx γ+1 + βx γ + 1 x 1) αx γ+1 + βx γ + 1 precisa ser dividido duas vezes por x 1). Na primeira divisão de αx γ+1 + βx γ + 1, o quociente é αx γ + α + β)x γ 1 + α + β)x γ α + β) e o resto é α + β + 1. A divisão é exata, então α + β + 1 = 0. Logo, α + β = 1 A) Substituindo α + β = 1, o quociente será αx γ x γ 1 x γ Dividindo este quociente novamente por x 1), será realizada a divisão por x 1). αx γ x γ 1 x γ dividido por x 1) resulta em quociente αx γ 1 + α 1)x γ + α )x γ + α )x γ α γ 1)) e resto α γ + 1. A divisão é exata, então α γ + 1 = 0, e α = γ 1 B) J. Bartasevicius 61

62 CAPÍTULO. SOLUÇÕES O quociente é 10 para x = 1. Substituindo no quociente, tem-se o resultado α + α 1) + α ) + α ) α γ 1)) = 10 }{{} γ termos Substituindo α de B: αγ γ 1)) = 10 αγ γ 1)γ γ 1)γ γ 1)γ = 10 = 10 γ γ 40 = 0 = γ = 16 γ = 15 γ = 15 não é uma solução possível, pois os expoentes de x no polinômio são inteiros positivos. Solução 6 Com γ = 16, de B) α = 15. E de A), β = 14. γ = 16, α = 15 e β = 14. n + 1) + n + ) + n + 5) n + a + 1)) = 7 }{{} a+1 termos Portanto, a série inicia em n + 1) e termina em n + a + 1)). n)a + 1) a + 1)) = 7 a + )a + 1) n)a + 1) + = 7 n)a + 1) + a + 1)a + 1) = 7 De A) há 4 possibilidades para a, n Z: a + 1)n + a + 1) = 7 A) I. a + 1) = 7 0 e n + a + 1) = 7 = a = 0 e n = 168. Neste caso, existe somente um número na série: 4; 6 J. Bartasevicius