Enunciados Categóricos

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1 Enunciados Categóricos Origem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de falácias ou sofismas. Exemplos: Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e morreu com 87 anos. Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos bebiam água, logo 1

2 Origem Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: Pássaros comem insetos, por Todos os pássaros comem insetos ou Alguns pássaros comem insetos. Índios não são carecas, por Nenhum índio é careca ou Alguns índios não são carecas Lógica de 1a Ordem Introdução Na Lógica Proposicional (LP) um átomo (P, Q, R,...) representa uma sentença declarativa que pode ser V ou F, mas não ambos. Um átomo é tratado como uma entidade única. Seus atributos e componentes são desprezados Muitas idéias não podem ser tratadas de maneira tão simples 4 2

3 Lógica Proposicional Usa operadores para conectar as proposições. E (^), OU (v), NÃO(~), IMPLICA( ),BI-IMPLICA ( ) Não é suficiente para representar o conhecimento humano, não tem a capacidade de representar relações entre os objetos, só determina V ou F de sentenças. Lógica de 1a Ordem Introdução Exemplo: Representar na Lógica Proposicional Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo, Sócrates é mortal Se representarmos por: P: Todo homem é mortal Q: Sócrates é um homem R: Sócrates é mortal {P, Q} R Isso acontece porque os atributos (predicados ou 6 características) de P, Q e R não são considerados 3

4 Lógica de 1a Ordem Introdução Para provar que esse argumento é válido, é necessário identificar indivíduos tais como Sócrates, e seus predicados. Predicados descrevem características ou relacionamentos entre indivíduos (objetos) A Lógica dos Predicados apresenta mais quatro conceitos lógicos: Termos (sujeito, predicado) Quantificadores (Universal, Existencial) 7 4

5 Origem Para julgar a validade ou não de um argumento, é necessário que a sentença que os constituem não tenham mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos: Todos os brasileiros são técnicos de futebol. Nenhum gato sabe latir. Algumas pessoas gostam de comer fígado. Existem caubóis que não sabem andar a cavalo. As sentenças assim formuladas foram chamadas de proposições categóricas e, segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos: Afirmação Universal A Todos os atletas são saudáveis Afirmação Particular I Alguns atletas são saudáveis ou Existem atletas saudáveis Negação Universal E Nenhum atleta é saudável Negação Particular O Alguns atletas não são saudáveis ou Existem atletas não-saudáveis 5

6 Tipos de Proposição Universal Afirmativa (A) Universal Negativa (E) Particular Afirmativa (I) Particular Negativa (O) Todos os homens são mortais Nenhum aluno é inteligente Algumas alunas são extravagantes Alguns alunos não gostam de estudar Relacionamento entre proposições A existência de quatro tipos de proposições não é coincidência: representam as quatro relações possíveis entre as extensões dos termos gerais; O matemático Euler representou as quatro relações lógicas na forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler). Se S éotermo sujeito esep éumpredicado então as proposições correspondem aos diagramas a seguir... 6

7 Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E a) o conjunto dos países que não são ricos; b) o conjunto dos países que não são exportadores de petróleo; c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de petróleo; d) o conjunto dos países que são ricos e que não são exportadores de petróleo; e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo, mas não são ricos. Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E a) o conjunto dos países que não são ricos; a) R E 7

8 Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E b) o conjunto dos países que não são exportadores de petróleo; b) R E Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de petróleo; c) R E 8

9 Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E d) o conjunto dos países que são ricos e que não são exportadores de petróleo; d) R E Exercício 1 Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar: R E e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo, mas não são ricos. e) R E 9

10 Exercício 2 Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a relação existente entre A e B: A B Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos conjuntos assinalados a seguir: a) b) c) A B A B A B Exercício 3 Responda e valide Todos os aprovados foram alunos do UNINOVE, todos os alunos do UNINOVE são inteligentes, pessoas inteligentes não ficam desempregadas, logo: a) Pelo menos uma pessoa que fez o UNINOVE está desempregada. b) Alguns desempregados estudaram no UNINOVE c) As pessoas empregadas foram aprovadas. d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas. e) Nem todos inteligentes estão empregados. 10

11 O silogismo categórico É uma forma particular de raciocínio dedutivo, constituída por três proposições categóricas (que afirmam ou negam algo de forma absoluta e incondicional): 2 premissas e 1 conclusão. No silogismo Três termos: - Maior (predicado na conclusão) - Menor (sujeito na conclusão) - Médio (estabelece o nexo lógico entre as premissas e aparece em ambas as premissas, mas não na conclusão SILOGISMO CATEGÓRICO Duas premissas Uma conclusão 11

12 Silogismo Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou atenção especial a um tipo de argumento, com duas proposições iniciais e uma conclusão. Exemplos: Premissas: Alguns alemães são loiros. Todos os alemães são europeus. Conclusão: Alguns europeus são loiros. Premissas: Alguns médicos são poliglotas. Alguns professores são poliglotas. Conclusão: Alguns médicos são professores. Raciocínios Todos cães são vegetarianos. Todos Dálmatas são cães. Logo, dálmatas são vegetarianos. Todos cães comem carne. Nenhum cão é peixe. Logo, nenhum peixe come carne. 12

13 Silogismos e Sofismas Silogismo: raciocínio formado de três proposições: premissa maior premissa menor conclusão Pedro é homem. O homem é mortal.: Pedro é mortal Sofisma: argumento falso, intencionalmente feito para induzir outrem ao erro. O cão late. Cão é uma constelação.: A constelação late Silogismo Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio lógico na qual há duas premissas e uma conclusão distinta destas premissas, sendo todas proposições categóricas ou singulares. Termo Médio é o termo que se repete nas duas premissas mas não aparece na conclusão. 13

14 Qual o termo médio da expressão? Todo cachorro é um mamífero Todo mamífero é vertebrado Logo, todo cachorro é vertebrado Qual é o termo médio? Resposta: Mamífero Silogismo Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma: Premissa maior (P,M),(M,P) Premissa menor (S,M),(M,S) Conclusão (S, P) O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é o predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o termo médio (M). 14

15 Silogismo Exemplos: Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior) Todos os homens são mamíferos (premissa menor) portanto Todos os homens são vertebrados (conclusão). Neste caso o termo menor S é todos os homens, o termo maior P é vertebrados, e o termo médio M é mamíferos. Este silogismo tem portanto a forma: Todas as proposições são do tipo A. MP SM SP Exercícios sobre silogismo 1) Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e indique se mesmo é válido ou não: a) Todos os gregos são homens; Todos os atenienses são gregos; Todos os atenienses são homens. b) Todos os socialistas são marxistas; Alguns governantes são marxistas; Alguns governantes são socialistas. c) Todas as ações penais são atos cruéis; Todos os processos por homicídio são ações penais; Todos os processos por homicídio são atos cruéis. 15

16 Exercícios sobre silogismo d) Alguns papagaios não são animais nocivos; Todos os papagaios são animais de estimação; Nenhum animal de estimação é nocivo. e) Nenhum ator dramático é um homem feliz; Alguns comediantes não são homens felizes; Alguns comediantes não são atores dramáticos. f) Todos os coelhos são corredores muito velozes; Alguns cavalos são corredores muito velozes; Alguns cavalos são coelhos. Exercícios sobre silogismo 2) Escreva na forma típica, indique termos, figura, diagrama, e verifique a validade: a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante, visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são vasos de guerra; b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas são republicanos, e alguns republicanos não são conservadores; c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é bom professor; portanto, como algumas pessoas bem informadas são indivíduos obstinados que nunca admitem um erro, alguns bons professores não são pessoas bem informadas. 16

17 Silogismo Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então há 4 3 = 64 silogismos por figura (ver abaixo), ou seja 256 silogismos no total; As figuras do silogismo são: 1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura Premissa maior MP PM MP PM Premissa menor SM SM MS MS Conclusão SP SP SP SP Enunciados Categóricos A base da lógica é essencialmente uma função que retorna o valor verdadeiro ou falso, dependendo do argumento. A E I O Todo S é P Nenhum S é P Algum S é P Algum S não é P 17

18 Calculo de Predicados Outro aspecto importante do cálculo de predicados, é o uso de quantificadores: - Para todo, qualquer que seja - Existe, existe pelo menos um Quantificador Universal Todo S é P. Qualquer que seja x, se x é S, então x é P. 18

19 Quantificador Universal Todo S é P. Qualquer que seja x, se x é S, então x é P. Enunciados Categóricos Exemplo Formalizar: Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo, Sócrates é mortal x (H(x) M(x)) H(sócrates) M(sócrates) Considererando Predicados M(x): x é mortal H(x): x é um homem Um individuo: Sócrates 38 19

20 Quantificador Universal Nenhum S é P. Qualquer que seja x, se x é S, então, x não é P. Quantificador Universal Nenhum S é P. Qualquer que seja x, se x é S, então, x não é P. 20

21 Quantificador Existencial Algum S é P. Para pelo menos um x, x é S e x é P. Quantificador Existencial Algum S é P. Para pelo menos um x, x é S e x é P. 21

22 Quantificador Existencial Algum S não é P. para pelo menos um x, x é S e x não é P. Quantificador Existencial Algum S não é P. para pelo menos um x, x é S e x não é P. 22

23 Desenhe o diagrama Desenhe o diagrama 23

26 Teste a validade por diagrama de VENN 1) Ninguém conquistou o mundo. Portanto, não é verdade que alguém conquistou o mundo. 2) Ninguém conquistou o mundo. Portanto, todo mundo não é um conquistador do mundo. 3) Ninguém conquistou o mundo. Portanto, não é o caso que todo mundo conquistou o mundo. 4) Ninguém conquistou o mundo. Portanto, alguém não conquistou o mundo. Teste a validade por diagrama de VENN 5) Toda verdade auto contraditória é surpreendente. Portanto, existem verdades autocontraditórias surpreendentes. 6) Todos os números quadrados são nãoprimos. Assim, todos os números primos são não-quadrados. 7) Milagres são impossíveis. Portanto, não é o caso que alguns milagres são possíveis. 26

27 Diagramas de silogismos categóricos Alguns quadrúpedes são Gnus Todos os gnus são herbívoros Alguns quadrúpedes são herbívoros Diagramas de silogismos categóricos Alguns quadrúpedes são Gnus 27

28 Diagramas de silogismos categóricos Alguns quadrúpedes são Gnus Todos os gnus são herbívoros Diagramas de silogismos categóricos Alguns quadrúpedes são Gnus Todos os gnus são herbívoros Alguns quadrúpedes são herbívoros 28

29 Diagramas de silogismos categóricos Silogismo Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então há 4 3 = 64 silogismos por figura (ver abaixo), ou seja 256 silogismos no total; As figuras do silogismo são: 1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura Premissa maior MP PM MP PM Premissa menor SM SM MS MS Conclusão SP SP SP SP 29

30 Diagramas de silogismos categóricos Diagramas de silogismos categóricos 30

31 Teste a validade por diagrama de VENN 8) Todo incompetente fracassa. Portanto, não é verdade que alguns que são bem-sucedidos são incompetentes. 9) Todos os que são incompetentes fracassam. Todos os que são cuidadosos são bemsucedidos. Portanto, nenhum dos que são incompetentes são cuidadosos. 10) Tudo o que ele fala é tolice. Toda tolice é desprezível. Tudo o que ele fala é desprezível. Teste a validade por diagrama de VENN 11) Algumas pessoas são não-fumantes. Algumas são não bêbadas. Portanto, alguns não-fumantes são não-bêbados. 12) Qualquer material adequado é capaz de resistir aquela pressão. Nenhum metal e suficientemente forte para resistir aquela pressão. Assim, nenhum material adequado é um metal. 31

32 Teste a validade por diagrama de VENN 13) Nenhum dos jogadores foi ferido. Alguns dos jogadores erraram os exercícios. Assim, ninguém que errou os exercícios ficou ferido. 14) Todas as coisas boas devem ser aceitas. Nenhuma ditadura é uma coisa boa. Consequentemente, algumas ditaduras não devem ser aceitas. Teste a validade por diagrama de VENN 15) Todo elétron tem uma carga negativa. Nenhum pósitron tem uma carga negativa. Portanto, nenhum pósitron é um elétron. 16) Todo elétron tem uma carga negativa. Nenhum pósitron tem uma carga negativa. Portanto, alguns pósitrons não são elétrons. 17) Todo alimento gorduroso que ele come é algo que apressa a morte dele. Alguma coisa que apressa a morte dele o está matando. Segue-se que um daqueles alimentos gordurosos que ele come o está matando. 32