F E ESTUDOS I. Cidadania, Instituição e Património. Economia e Desenvolvimento Regional. Finanças e Contabilidade. Gestão e Apoio à Decisão

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2 ESTUDOS I Cdadana Insução e Parmóno Economa e Desenvolvmeno Regonal Fnanças e Conabldade Gesão e Apoo à Decsão Modelos Aplcados à Economa e à Gesão A Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve F E Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve 004

3 COMISSÃO EDITORIAL Anóno Covas Carlos Cânddo Duare Trgueros Efgéno da Luz Rebelo João Albno da Slva João Guerrero Paulo M.M. Rodrgues Ru Nunes FICHA TÉCNICA Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Campus de Gambelas Faro Tel Fax E-mal: Webse: Tíulo Esudos I - Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Auor Város Edor Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Morada: Campus de Gambelas Localdade: FARO Códgo Posal: Complação e Desgn Gráfco Sus A. Rodrgues Revsão de Formaação e Pagnação Lída Rodrgues Foolos e Impressão Servços Gráfcos da Unversdade do Algarve ISBN Daa: Depóso Legal 879/04 Tragem 500 exemplares Daa Novembro 004 RESERVADOS TODOS OS DIREITOS REPRODUÇÃO PROIBIDA

4 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares aplcações ao ursmo Resumo Paulo M.M. Rodrgues Faculdade de Economa Unversdade do Algarve Pedro Gouvea Escola Superor de Gesão Hoelara e Tursmo Unversdade do Algarve As meodologas de combnação de prevsões exploram relações de complemenardade enre dversos pos de modelos economércos. O seu desenvolvmeno e crescene ulzação resulam do faco desas apresenarem melor performance em ermos de prevsão do que os modelos ndvduas que as compõem (vde ner ala Baes e Granger 969 e Soc e Wason 003). Ese argo é ponero na ulzação de meodologas de combnação de prevsões a séres do ursmo. Nese argo são ulzados modelos lneares (quer modelos só com componene sazonal deermnísca quer modelos sazonas auoregressvos) e modelos mas complexos e de evolução recene capores da não lneardade deermnísca (como é o caso dos modelos Peródcos Auoregressvos [PAR]) ou da não-lneardade esocásca (como é o caso dos modelos Self Excng Tresold Auoregressve [SETAR]) das séres. Procura-se anda pelo recurso a modelos com componene sazonal conrbur para a rupura da práca domnane de ulzação de séres sazonalmene ausadas (ou sea de séres expurgadas da nformação sazonal). Por ouro lado aravés de uma meodologa de selecção da ordem da pare auoregressva sugerda em Rodrgues e Gouvea (004) procura-se conugar o prncípo da parcmóna com a salvaguarda de ausênca de auocorrelação por forma a que cada um dos modelos ulzados apresene boa performance em ermos de prevsão. Palavras-cave: Combnação de prevsões modelos peródcos modelos resold não-lneardade sazonaldade. Absrac Forecas combnaon meodologes explore complemenar relaons beween dfferen pes of economerc models. Te developmen and growng use of forecas combnaons resul from e fac a ese presen beer forecas performance en e ndvdual models on wc e combnaons are based (see ner ala Baes and Granger 969 and Soc and Wason 003). Ts paper loos o e applcaon of forecas combnaons o oursm daa. Lnear models (models w onl deermnsc seasonal componen and seasonal auoregressve models) and more complex models suc as models a capure deermnsc and/or socasc nonlnear of e seres are emploed. We ope s sud wll movae a brea n e pcal use of seasonall Os auores agradecem à Fundação para a Cênca e Tecnologa o apoo fnancero conceddo no âmbo do programa POCTI/ECO/4966/00 (FEDER). Douorando em Méodos Quanavos especaldade de Economera na Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve. 643

5 Rodrgues e Gouvea adused daa. On e oer and usng e lag selecon approac suggesed b Rodrgues and Gouvea (004) e applcaon of a prncple of parsmon w adequael specfed models s deal n order o ensure a e models used dspla a good forecas performance. Kewords: Combnng forecass perodc models resold models nonlnear seasonal.. Inrodução Os modelos de séres emporas envolvem a análse esaísca da evolução passada da varável de neresse parndo do prncípo que as observações passadas ncorporam nformação relava a um vaso conuno de varáves que nfluencam o fenómeno em esudo (e em muos casos dfícl de denfcar). Cada po de modelo é capor apenas de uma pare da realdade. A nerdependênca enre séres emporas orna a ulzação de modelos unvarados (domnane ao nível da modelação e prevsão em séres emporas) por vezes reduora. Uma forma de conornar ese problema pode conssr em explorar as relações de complemenardade exsenes enre dferenes modelos e assm ober uma melor aproxmação ao processo gerador de dados. No campo da prevsão desde o esudo de Baes e Granger (969) êm sdo desenvolvdas dversas meodologas de combnação de prevsões. De um modo geral em sdo possível enconrar evdênca de que as prevsões obdas mesmo com base em meodologas smples de combnação de prevsões apresenam vanagens em relação às geradas por modelos solados (vde Soc e Wason 003). Nese argo procuram-se ulzar dferenes modelos e dversas meodologas de combnação de prevsões no campo da prevsão de séres do ursmo. Nesse sendo são ulzados modelos lneares smples apenas com componene deermnísca (dummes sazonas e/ou endênca) modelos Sazonas Auoregressvos [SAR] e modelos não-lneares mas complexos e de evolução mas recene na leraura economérca como é o caso dos modelos Peródcos Auorregressvos (PAR) e dos modelos Self Excng Tresold Auoregressve (SETAR). Procura-se ambém conrbur para a rupura com a práca domnane de ulzação de séres sazonalmene ausadas. Com efeo boa pare das aplcações na área do ursmo baseam-se em dados sazonalmene ausados de frequênca anual (vde por exemplo Kulendran e W 00 p. 94). Durane muo empo a sazonaldade fo consderada uma componene perurbadora das séres emporas que dfculava a análse das componenes cclo e endênca. Nese conexo era prvlegado o recurso a séres sazonalmene ausadas expurgadas da componene sazonal. Acualmene é reconecdo que a sazonaldade é uma componene mporane das séres emporas que deve ser da em cona ao nível da modelação e não gnorada ou removda como fo correne nas úlmas décadas (vde Gsels 994 e Gsels Osborn e Rodrgues 000). Ese argo enconra-se esruurado da segune forma. Na Secção é denfcada a sére de dados que susena o esudo de prevsão e analsadas as suas propredades. Na Secção 3 procede-se a uma breve descrção de cada um dos pos de modelos 644

6 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares ulzados. No que dz respeo ao esudo de prevsão na Secção 4 são dscudos os méodos de prevsão ulzados nos modelos lneares e nos modelos com nãolneardade deermnísca e esocásca; são apresenadas as esaíscas de avalação e é fea a comparação da performance de prevsão dos dferenes modelos e proposas as meodologas de combnação de prevsões. Na secção 5 é desenvolvdo um esudo de prevsão com base nos modelos apresenados na Secção 3 para a sére consderada. Fnalmene na secção 6 são apresenadas as prncpas conclusões que o desenvolvmeno do rabalo permu alcançar. - Sére de dados e suas propredades esaíscas. Descrção da sére Nese argo são ulzados dados mensas (não ausados sazonalmene) de Janero de 977 a Dezembro de 000 relavos às dormdas de óspedes do Reno Undo no Algarve (Fgura.) faculados pelo Insuo Naconal de Esaísca (INE) Drecção Regonal do Algarve. Em odos os modelos consderados foram ulzadas as observações relavas ao período de Fgura.: Dormdas de óspedes orundos do Reno Undo Propredades da sére A sazonaldade pode ser deermnísca ou esocásca esaconára ou não esaconára (vde ner ala Franses 996 e Gsels e Osborn 00). Quando os fenómenos apresenam um comporameno sazonal esável em orno da endênca deermnísca as dummes sazonas explcam a quase oaldade da varabldade das 645

7 Rodrgues e Gouvea séres. Nese caso esamos perane o que abualmene se desgna por sazonaldade deermnísca. Quando um processo apresena pelo menos uma raz unára sazonal na sua represenação auorregressva esamos perane um processo sazonal negrado (vde Hlleberg e al. 990). Ese po de processos esão assocados a fenómenos de perssênca geradores de alerações lenas mas permanenes nos padrões sazonas. No caso parcular das séres mensas um passeo aleaóro sazonal como o que se segue apresena raízes unáras nas frequêncas e. Nese caso o polnómo L onde L represena o operador de desfasameno emporal ( L ) pode ser facorzado (cf. Hlleber e al. (990) Beauleu e Mron (993) e Sm e Talor (999)) em função das suas raízes unáras sazonas exp(±/s) =0...6 de modo a ober-se a regressão ese onde z z z cos ( ) p u cos ( z ) z 0 sn ( = / =...5 e = ( L ) =. Noe que z... correspondem a combnações lneares de desfasamenos de de modo que em cada combnação sea solada uma deermnada raz unára. Por exemplo vsa avalar se exse ou não uma raz unára na frequênca zero. Os coefcenes dos = são os parâmeros relevanes para efeos de ese às raízes unáras. Consequenemene para esar a póese nula de passeo aleaóro sazonal conra a alernava de esaconardade em pelo menos uma frequênca HEGY e Sm and Talor (999) ner ala sugerram : (unlaeral) para a exclusão de z - ; (unlaeral) para a exclusão de z - ; (unlaeral) para a exclusão de z - e + (blaeral) para a exclusão de z +- para = 3579; sugerram ambém os eses conunos F [] para a exclusão smulânea de z - e z +- = Gsels Lee e No (994) Talor (998) Sm and Talor (998 z z 999) consderam ambém os eses F [...] para a exclusão de z - e 3 e F [...] para a exclusão de z - z - e z z. 3 Para uma abordagem mas dealada sobre eses eses e suas propredades vea Rodrgues e Talor (004). ) z A Tabela. apresena os resulados da aplcação do ese HEGY mensal à sére relava às dormdas de óspedes do Reno Undo no Algarve. 646

8 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Tabela.: Resulados do Tese HEGY à Presença de Raízes Unáras Frequênca 0 Tese HEGY -.836* -.590* 3 e 6.7* 5 7 e e * 4 e * 5 e * Noa: * ndca a não reeção da presença de raz unára a um nível de sgnfcânca de 5%. Da análse dos resulados desa abela verfca-se que uncamene o par de raízes complexas relavas às frequêncas 5/3 e 7/6 é reeado. Porano verfca-se fore evdênca de um padrão sazonal não esaconáro. 3. Descrção dos modelos 3. Modelos Sazonas Deermníscos Se consderarmos que o padrão sazonal de uma sére é bem aproxmado apenas por componenes sazonas deermníscas é possível recorrer a um modelo como o que se segue S D L) ( (3.) x S ( L) D x onde D corresponde à dumm sazonal que assume o valor um na esação e zero nos ouros casos; x é gerado por um processo auoregressvo de médas móves esaconáro e nverível onde (L) e (L) represenam polnómos em L de ordem p e q respecvamene; e ~ d(0 ). 647

9 Rodrgues e Gouvea 3. Modelos Sazonas Auoregressvos Quando as relações causas enre varáves são dfíces de fundamenar uma alernava consse em procurar explcar o fenómeno em esudo com base uncamene na sua evolução passada. Com efeo a evolução sórca ncorpora nformação acerca de númeras varáves que nfluencam o fenómeno pelo que os modelos auorregressvos são frequenemene ulzados na leraura economérca para efeos de prevsão. O modelo Sazonal Auorregressvo (SAR) com componenes deermníscas pode ser represenado para a frequênca mensal pela segune expressão: S D L) ( x S D ( L). x (3.) Para uma abordagem mas exausva aos modelos auoregressvos e sazonal auoregressvo vea ner ala Hamlon (994) Franses (996) e Gsels e Osborn (00). 3.3 Modelos Peródcos Auorregressvos Os modelos Peródcos Auorregressvos (PAR) consuem um conuno de modelos alernavos ulzados na modelação de séres sazonalmene não ausadas. Eses modelos permem a aleração dos parâmeros do modelo de acordo com as esações do ano. Nos modelos PAR as observações de cada esação do ano são modeladas por um regme auorregressvo específco. Em ermos geras um modelo PAR(p) pode ser represenado pela segune expressão ( u p ) D D (3.3) onde p = max{p...p } p represena a ordem da pare auorregressva do modelo da ~ d 0 D são dummes sazonas que assumem o valor um na esação e esação e zero nas ouras esações. Os modelos PAR são modelos não lneares onde a não-lneardade é nroduzda de forma deermnísca. Numa fase préva à aplcação dos modelos PAR mpora verfcar se nos dados em análse á evdênca de perodcdade de forma a evar o recurso a modelos sobreparamerzados. Noe que num smples PAR() não resro sem componene deermnsca são esmados 4 parâmeros e num PAR(p) parâmeros. Uma forma de verfcar a presença de perodcdade consse em esar a póese nula p 648

10 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares conra a póese alernava H H 0 : : com = e = p. O ese à póese nula dado por F PAR RSS RSS / S p 0 (3.4) RSS / H H ~ F H S T S Sp T S Sp p onde RSS H e RSS 0 H represenam a soma dos quadrados dos resíduos sob a póese nula e alernava respecvamene. É possível enconrar mas desenvolvmenos em ermos dos eses à perodcdade e à eeroscedascdade sazonal em Bosw and Franses (996) e Rodrgues e Gouvea (004). Nese ulmo argo fo possível enconrar evdênca esaísca de perodcdade na sére ulzada no presene rabalo valdando assm a aplcação dos modelos PAR a esa sére. A frequênca mensal da séres ulzada nese argo sugere o recurso a um modelo PAR(p) onde p = max{p p } D p. (3.5) Porém os regmes de um modelo dese po endem a gerar problemas de sobreparamerzação como á fo referdo. Nese conexo é aconselável o recurso à meodologa de redução do modelo proposa por Rodrgues e Gouvea (004) segundo a qual podem ser defndos rês regmes correspondenes às esações deermnadas em função da percenagem de dormdas de cada mês. A classfcação dos dados obda por Rodrgues e Gouvea (004) ulzada na consrução de um modelo PAR(3p * ) para a sére em análse consa da abela 3.. Tabela 3.: Classfcação da sére: Reno Undo Época baxa Época nerméda Época ala Nov. a Mar. Abr. Ma Ou. Jun. a Se. 3.4 Modelos SETAR Sazonas Os modelos SETAR consuem uma classe mporane de modelos não lneares que se baseam na dea de que a evolução de um processo segue um conuno de regmes auorregressvos onde o valor da sére e o regme vgene em cada período dependem do valor assumdo por uma varável lme. Eses modelos revelam-se parcularmene adequados para a modelação das caraceríscas do cclo económco como a assmera enre as fases de expansão e conracção (c.f. Hamlon 989) o desemprego (c.f. Caner and Hansen 00) as séres fnanceras (c.f. Franses e van D 000) a Teora da Pardade dos Poderes de Compra (c.f. Enders e Granger 998 e Gouvea e Rodrgues 00) as axas de uro (c.f. Enders e Granger 998) e a 649

11 Rodrgues e Gouvea esabldade moneára no Mecansmo de Taxas de Câmbo do Ssema Moneáro Europeu (Gouvea Rebelo e Rodrgues 003). Consderemos para efeos de exposção um modelo SETAR com dos regmes e componene sazonal dado por S S D D S S D D e e f f q d q d (3.6) onde q -d represena a varável lme e d o parâmero de desfasameno. Por seu urno o parâmero de lme é deermnado a parr dos valores da varável lme q -d que geralmene assume a forma de uma combnação de desfasamenos da varável dependene vde ner ala Hansen (997 p. 0). Embora os modelos SETAR sazonas possuam uma esruura semelane à dos modelos PAR a naureza da sua não lneardade é esocásca (dado que o parâmero lme é endógeno ao modelo). Consderando = ; = S e = (' ' ) o esmador obdo pelo méodo dos mínmos quadrados ordnáros (MMQO) vem dado por n n ˆ x ( ) x ( )' x ( ). (3.8) No processo de esmação os parâmeros d e são sequencalmene esmados da segune forma ˆ arg mn ˆ ( d) ds. (3.9) onde ˆ d corresponde ao esmador da varânca para cada par (d) obdo por recurso aos MMQO represena o conuno de odos os possíves valores do parâmero lme (ou sea o conuno de possíves valores da varável lme q -d ) e s={..p} é o conuno de odos os valores possíves do parâmero de desfasameno d. Segundo Can (993) o esmador ˆ obdo de acordo com (3.9) é foremene conssene. A mporânca da endogenezação do parâmero de desfasameno d para efeos da esmação do modelo é demonsrada aravés de dversos esudos de Mone Carlo; e.g. Gouvea (000) e Rodrgues e Gouvea (00). A pernênca da aplcação dos modelos SETAR depende da exsênca de dferenças sgnfcavas enre os coefcenes dos dos regmes. Os eses à lneardade em modelos SETAR para varáves esaconáras foram obeco de desenvolvmenos em város esudos vea por exemplo Caner e Hansen (00) Can (990) Can e Tong (990) e Hansen (997). Eses auores propõem sob a póese nula de lneardade o segune ese 650

12 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares ~ ˆ ( ) F ( ) n (3.0) ˆ ( ) onde n represena o número de observações e ~ e ˆ ( ) represenam respecvamene os esmadores das varâncas da varável resdual resulane dos modelos lnear auorregressvo e SETAR. Noe no enano que a presença de um parâmero perurbador sob a póese alernava que não esá presene sob a póese nula conduz a dsrbuções nãosandard e não-cenras (nvaldando a ulzação da eora assmpóca radconal) aconselando assm à obenção de valores crícos com base no méodo do boosrap. Ese fenómeno é conecdo na leraura economérca por problema de Davs (977); vea ambém Andrews e Ploberger (994) e Hansen (996). Para uma análse mas exausva dos modelos SETAR vea enre ouros Tong (990) Hansen ( ) Caner e Hansen (00) e Rodrgues e Gouvea (00). 4. Prevsão 4.. Prevsão com modelos lneares e modelos não-lneares deermníscos De acordo com Box e Jenns (970) o valor da prevsão de uma deermnada sére emporal que mnmza a Méda do Quadrado dos Erros de Prevsão (MQEP) e E MQEP E (4.) ˆ é dado pelo valor esperado condconal de E F ; ˆ onde represena a nformação sórca da sére emporal no momeno e represena a função assocada ao modelo lnear em causa. No caso lnear a obenção de prevsões para períodos pode ser realzada por subsução recursva. 4.. Prevsão com modelos SETAR A obenção de prevsões no caso dos modelos não - lneares é mas complexa e compuaconalmene mas morosa do que no caso dos modelos lneares. Quando é ulzado o méodo dos mínmos quadrados ordnáros na obenção de prevsões ponuas os valores fuuros da sére são calculados com base no valor esperado condconal (aos valores sórcos da sére).e. ˆ E. (4.) O valor da prevsão para = pode ser faclmene obdo pela expressão F ;. ˆ E (4.3) No enano sempre que > o calculo da prevsão orna-se mas complexo. Com efeo por exemplo para = emos 65

13 Rodrgues e Gouvea Ora no caso dos modelos SETAR EF ; ˆ E. (4.4) F F E ; F ˆ ; ; E. (4.5) Esa mpossbldade de permuar os operadores E e F no caso dos modelos SETAR (e dos modelos não-lneares em geral) em como consequênca a mpossbldade de esabelecer relações recursvas enre dferenes orzones de prevsão em conrapono com o que aconece com os modelos lneares. Quando esa mpossbldade de permuação é neglgencada esamos perane um méodo de prevsão desgnado na leraura por nave (vde ner ala Franses e van D 000) dado pela expressão e que é gerador de prevsões envesadas. ˆ ˆ F ; (4.6) A obenção de prevsões com modelos não-lneares esá geralmene assocado a processos de negração numérca baseadas na relação de Capman-Kolmorov. Nese conexo a prevsão para períodos pode ser obda de uma forma recursva a parr da expressão onde g E g d ˆ E (4.6) é a dsrbução condconal de dado. Uma vez que de uma forma geral a expressão (4.6) não é conecda orna-se necessáro recorrer a écncas de compuação nensva. Uma possível abordagem consse no recurso ao méodo de Mone Carlo segundo o qual a prevsão para períodos pode ser obda com base na expressão ˆ F F F ˆ ; ; ; (4.7) 3 3 mc onde represena o número de replcações ulzado e (com = K = ) os valores aleaóros obdos a parr da presumível dsrbução de. No caso da dsrbução de ser desconecda é possível recorrer ao méodo do boosrap baseado em ˆ F F F ˆ ˆ ; ˆ ; ˆ ;. (4.8) 3 3 boo 65

14 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Nese caso ˆ = são valores aleaóros com reposção obdos a parr dos resíduos do modelo esmado. Ln e Granger (994) e Clemens e Sm (997) comparam os rês méodos de obenção de prevsões para orzones emporas superores a um e obêm evdênca empírca da vanagem assocada ao méodo do boosrap. 4.3 Comparação da performance em ermos de prevsão Para efeos de avalação da performance de cada um dos modelos em ermos de prevsão são redas m+ observações onde represena o orzone emporal de prevsão de modo a avalarem-se e compararem-se m vezes de forma sequencal a períodos para a frene (vde ner ala Franses e van D 000). Ou sea a capacdade de prevsão de um modelo para um orzone de períodos pode dese modo ser esada para os úlmos [m/] anos. Nese esudo consderou-se m = 36 (3 anos) 48 (4 anos) e 60 (5 anos). Tendo por base esa meodologa são ulzados rês créros para efeos de comparação de prevsões: ) A Raz Quadrada da Méda do Quadrado dos Erros de Prevsão (RQMQEP) ˆ RQMQEP. (4.9) Para efeos de avalação da qualdade das prevsões e no enquadrameno da meodologa assocada à anela de prevsão móvel orna-se pernene recorrer à méda da Raz Quadrada da Méda do Quadrado dos Erros de Prevsão (MRQMQEP) dada pela expressão MRQMQEP m m m ˆ m m. (4.0) ) O Erro de Prevsão Absoluo (EPA) EPA m m m ˆ. (4.) No conexo da ulzação da anela de prevsão móvel recorre-se à méda dos Erros de Prevsão Absoluos (MEPA) dada pela expressão MEPA m m ˆ m m m. (4.) ) O Erro de Prevsão Absoluo Percenual (EPAperc) 653

15 Rodrgues e Gouvea 654 PERC EPA ˆ. (4.3) Tal como no caso dos Erros de Prevsão Absoluos ao nível da anela de prevsão a medda a ulzar será a Méda dos Erros de Prevsão Absoluos Percenuas (MAPE PERC ).e. m m m m m PERC m MEPA ˆ. 4.4) 4.4. Meodologa de combnação de prevsões As combnações lneares consuem uma das meodologas de crescene ulzação na leraura com vsa à obenção de prevsões (c.f. Baes e Granger 969; Soc e Wason 003) por recurso a K RQMQEP RQMQEP w (4.5) K MEPA MEPA w (4.6) onde represena o número de modelos ulzados e w o peso do modelo na prevsão para o período. Nese caso o peso de cada modelo é função de. Quando =0 odos os modelos êm gual peso na combnação. Um aumeno de sgnfca um aumeno da ênfase nos modelos com melor performance relava. Na medda em que os modelos que apresenam melor performance em ermos de prevsão no curo prazo nem sempre correspondem aos que possuem uma melor performance no longo prazo pode ornar-se pernene o ausameno da combnação de prevsões a ese po de fenómeno como se segue se RQMQEP RQMQEP se RQMQEP RQMQEP w K K (4.7) se MEPA MEPA se MEPA MEPA w K K. (4.8)

16 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Com efeo as expressões (4.7) e (4.8) correspondem a uma adapação das expressões (4.5) e (4.6) de forma a dferencar o peso de cada modelo aé / e de / a. Para além dese po de meodologas anda se consderaram nese esudo combnações baseadas na méda e na medana da oaldade ou de pare do conuno dos modelos ndvduas. 5. Esudo de Prevsão 5.. Descrção do esudo A séres de dados que supora o esudo de prevsão (vde Secção ) respea ao período sendo consderado um orzone emporal de prevsão de = 4 (de Janero de 999 a Dezembro de 000). No domíno da modelação e prevsão a selecção da ordem da pare auorregressva desempena um papel crucal. Nese argo segumos a meodologa proposa em Rodrgues e Gouvea (004) onde a parr de uma ordem máxma da pare auorregressva sufcenemene elevada (e.g. p = 36) são elmnadas sucessvamene as varáves menos sgnfcavas (procurando no enano garanr em odas as fases a ausênca de auocorrelação). Com base nesa meodologa é possível (em conrapono ao que em sdo radconal sobreudo no campo da aplcação de modelos PAR e SETAR) que cada regme apresene uma ordem dsna da pare auorregressva. Esa abordagem perme a consrução de modelos mas parcmonosos com vanagens ao nível da prevsão (vde Rodrgues e Gouvea 004). Por ouro lado os méodos para obenção de prevsões correspondem aos descros na secção 4. e são dferencados para o caso dos modelos AR e PAR (lneares e com não-lneardade deermnísca) e SETAR (com não lneardade esocásca). A selecção da ordem da pare auorregressva e a obenção de prevsões eve por base méodos de compuação nensva. Para cada um dos modelos dscrmnados nas Tabelas 5. e 5. odos os cálculos foram realzados em GAUSS 3. e veram por base ronas desenvolvdas pelos auores. 655

17 Rodrgues e Gouvea Tabela 5.: Lsa dos Modelos Ulzados Modelo Descrção Flro ARP com dummes sazonas e endênca Níves ARP com dummes sazonas e endênca 3 ARP com dummes sazonas e endênca 4 ARP com dummes sazonas e endênca 5 ARP com dummes sazonas e endênca (-L)(+L) 6 ARP com 3 dummes sazonas e endênca Níves 7 ARP com 3 dummes sazonas e endênca 8 ARP com 3 dummes sazonas e endênca 9 ARP com 3 dummes sazonas e endênca (-L)(+L) 0 ARP com 3 dummes sazonas e 3 endênca Níves ARP com 3 dummes sazonas e 3 endênca ARP com 3 dummes sazonas e 3 endênca 3 ARP com 3 dummes sazonas e 3 endênca (-L)(+L) 4 Modelo Deermnísco com dummes e endêncas Níves 5 Modelo Deermnísco com dummes e endêncas 6 Modelo Deermnísco com dummes e endêncas 7 Modelo Deermnísco com dummes e endêncas 8 Modelo Deermnísco com dummes e endêncas (-L)(+L) 9 PAR3 com 3 dummes e 3 endêncas Níves 0 PAR3 com 3 dummes e 3 endêncas PAR3 com 3 dummes e 3 endêncas PAR3 com 3 dummes e 3 endêncas (-L)(+L) 3 PAR com dummes e endênca Níves 4 PAR com dummes e endênca 5 PAR com dummes e endênca 6 PAR com dummes e endênca (-L)(+L) 7 PAR com dummes e endêncas Níves 8 PAR com dummes e endêncas 9 PAR com dummes e endêncas 30 SEATAR com 3 dummes e endênca- méodo "nave" 3 SEATAR com 3 dummes e endênca- méodo "Mone Carlo" 3 SEATAR com 3 dummes e endênca- méodo "Boosrap" D 656

18 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Tabela 5.: Lsa das Combnações Consderadas Modelo Descrção 33 Méda 34 Comb Expressão (4.5) = 0 35 Comb Expressão (4.5) = 36 Comb3 Expressão (4.5) =.5 37 Comb4 Expressão (4.5) = 38 Comb5 Expressão (4.5) = 5 39 Comb6 Expressão (4.6) = 0 40 Comb7 Expressão (4.6) = 4 Comb8 Expressão (4.6) =.5 4 Comb9 Expressão (4.6) = 43 Comb0 Expressão (4.6) = 5 44 Comb Expressão (4.7) = 45 Comb Expressão (4.8) = 46 Comb3 Méda dos melores 0 modelos (com base no MRQMQEP para =4) 47 Comb4 Méda dos melores 5 modelos (com base no MRQMQEP para =4) 48 Comb5 Medana dos melores 0 modelos (com base no MRQMQEP para =4) 49 Comb6 Medana dos melores 5 modelos (com base no MRQMQEP para =4) 50 Comb7 Méda dos melores 0 modelos (com base no MEPA para =4) 5 Comb8 Méda dos melores 5 modelos (com base no MEPA para =4) 5 Comb9 Medana dos melores 0 modelos (com base no MEPA para =4) 53 Comb0 Medana dos melores 5 modelos (com base no MEPA para =4) 54 Comb Medana de Todas as combnações 5.. Resulados do esudo de prevsão De uma forma geral e para o período pós amosral odos os modelos ulzados apresenam boa performance em ermos de prevsão. Ese resulado que pode esar assocado à meodologa de selecção da ordem da pare auorregressva e é drecamene observável na Tabela 5.5. Dese esudo resula ambém evdênca da vanagem do recurso a meodologas de combnação de prevsões. Na abela 5.3 regsa-se que em relação a odos os orzones emporas consderados (de = a = 4) os dferenes pos de meodologas de combnação de prevsões enconram-se geralmene enre as prevsões com menor RQMQEP. Nese âmbo é parcularmene noóra a vanagem da meodologa de combnação sugerda em (4.8) que perme a dferencação do peso de cada um dos modelos de acordo com o curo ( = ) e o longo prazo ( = 4). Nese argo apresenamos uncamene os resulados obdos com base no RQMQEO. Relavamene aos resulados obdos para as esaíscas consderadas em (4.) e (4.4) eses podem ser solcados aos auores. 657

19 Rodrgues e Gouvea A Fgura 5. perme comparar os resulados da prevsão do melor modelo (Modelo 44 que corresponde à combnação - vde abela 5.) com o modelo que apresenou por performance em ermos de prevsão (modelo ) em relação ao período pós amosral. Por seu urno a fgura 5. apresena essa comparação em ermos de erro percenual. Nese caso desvos de snal posvo e negavo represenam respecvamene sobre e sub prevsão. Em ambas as fguras é anda noóra uma deeroração da qualdade das prevsões com o aumeno do orzone emporal de prevsão. Tabela 5.3: Ranng dos modelos ulzados de acordo com o RQMQEP (período pós-amosral) Posção /Horzone de Prevsão Noa: Para a dscrção dos modelos vea as Tabelas 5. e

20 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Fgura 5.: Prevsão para o período: (Dormdas de Hóspedes do Reno Undo no Algarve) Dormdas M 999M 999M3 999M4 999M5 999M6 999M7 999M8 999M9 999M0 999M 999M 000M 000M 000M3 000M4 000M5 000M6 000M7 000M8 000M9 000M0 000M 000M Valores Reas Modelo Comb Fgura 5.: Erro Percenual de Prevsão do período (Dormdas de Hóspedes do Reno Undo no Algarve) 0.00% 5.00% 0.00% -5.00% -0.00% -5.00% -0.00% -5.00% 999M 999M 999M3 999M4 999M5 999M6 999M7 999M8 999M9 999M0 999M 999M 000M 000M 000M3 000M4 000M5 000M6 000M7 000M8 000M9 000M0 000M 000M Erro Percenual (Modelo ) Erro Percenual (Comb) 659

21 Rodrgues e Gouvea 6. Conclusão Baseado na dea nroduzda por Baes e Granger (969) de que a exploração das relações de complemenardade em ermos de poder explcavos de dversos pos de modelos nese argo fo possível ober evdênca da superordade de algumas meodologas de combnação de prevsões para o caso da sére relava às dormdas de óspedes do Reno Undo no Algarve. A meodologa de combnação de prevsões baseada na dferencação do peso de cada modelo em função da performance de curo e longo prazo sugerda na secção 4 fo a que obeve melor performance em ermos de prevsão Com ese esudo de prevsão fo anda possível aplcar com vanagem a meodologa de selecção da ordem sugerda em Rodrgues e Gouvea (004) que perme a obenção de modelos parcmonosos com salvaguarda de ausênca de auocorrelação o que acaba por se raduzr num vaso conuno de modelos com boa performance em ermos de prevsão. Por fm e anda que nese argo a aplcação esea lmada a uma sére emporal os resulados obdos dexam boas perspecvas no que oca à obenção de prevsões de qualdade para um conuno de varáves mporanes na área do ursmo. 660

22 Combnação de prevsões com modelos auoregressvos lneares e não lneares Referêncas Andrews W.K. Ploberger (994) Opmal Tess wen a Nusance Parameer s Presen Onl Under e Alernave Economerca Baes J.M. e Granger C.W.J. (969) Te Combnaon of Forecass Operaons Researc Quarerl Beaulu J.J. e J. A. Mron (993) Seasonal Un Roos n Agregae U.S. Daa Journal of Economercs Bosw H. P. e P.H. Franses (996) Un Roo n Perodc Auorressons Journal of Tme Seres Analss Box G.E.P. e G.M. Jenns (970) Tme Seres Analss Forecasng and Conrol San Francsco: Holden-Da. Caner M. e B. Hansen (00) Tresold Auoregresson w a Un Roo Economerca Can K.S. (990) Tesng for Tresold Auoregresson Te Annals of Sascs Can K.S. e H. Tong (990) On Lelood Rao Tess for Tresold Auoregresson Journal of Roal Sascal Soce B Clemen R.T. (989) Combnng Forecass: a Revew and Annoaed Bblograp Inernaonal Journal of Forecasng Clemens M.P. and D.F. Hendr (997) An Emprcal Sud of Seasonal Un Roos n Forecasng Inernaonal Journal of Forecasng Clemens M. P. e Sm J. (999) A Mone Carlo sud of e forcasng performance of emprcal SETAR models Journal of Aplled Economercs Daves R.B. (977) Hpoess Tesng wen a Nusance Parameer s Presen Onl Under e Alernave Bomera Enders W. e C.W.J. Granger (998) Un-roo Tess and Asmmerc Adusmen w an Example Usng e Term Srucure of Ineres Raes Journal of Busness and Economc Sascs Franses P.H. (996) Perodc and Socasc Trends n Economc Tme Seres Oxford: Oxford Unvers Press. Franses P.H. e D. van D (000) Nonlnear Tme Seres Models n Emprcal Fnance Cambrdge: Cambrdge Unvers Press. Gouvea P.M.D.C. (000) A Não-Lneardade em Varáves Económcas: Os Modelos SETAR Dsseração de Mesrado; Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve. Gouvea P.M.D.C. e P.M.M. Rodrgues (00) Conegração em Modelos SETAR Uma Aplcação à Teora da Pardade dos Poderes de Compra n Carvalo L. Brlane F. e Rosado F. (eds.) Novos Rumos em Esaísca Acas do IX Congresso Anual da Socedade Poruguesa de Esaísca Gouvea P.M.D.C. E. L. Rebelo e P.M.M. Rodrgues (003) Assmera no Mecansmo de Taxas de Câmbo do SME n Bro P Fgueredo A. Sousa F. Teles P. Rosado F. (eds.) Leraca e Esaísca - Acas do X Congresso Anual da Socedade Poruguesa de Esaísca Edçõees SPE Gouvea P.M.D.C.B. e P.M.M. Rodrgues P.M.M. (004) Tresold Conegraon and e P.P.P. Hpoess Journal of Appled Sass

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