A palavra e a letra na álgebra e suas ambiguidades na linguagem matemática

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1 A palavra e a letra na álgebra e suas ambiguidades na linguagem matemática Flávio de Souza Pires 1 GD09 Processos cognitivos e linguísticos em Educação Matemática A questão de investigação que norteará, a priori, este projeto de Doutorado está assim definida: Quais as aproximações e distanciamentos entre a linguagem e a matemática e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem, a partir das especificidades da linguagem matemática? O objetivo maior é analisar os estudos relacionados a linguagem e a história da constituição da linguagem matemática, mais especificamente da álgebra, uma vez que considerando a álgebra como uma linguagem, podemos identificar aspectos sintáticos, relacionados aos símbolos e sua manipulação/utilização e semânticos, relacionados a estrutura e compreensão desses códigos. A abordagem metodológica empregada para investigar nossa questão de pesquisa é qualitativa de abordagem histórico-bibliográfica, pautada na meta-análise para apreciação dos dados. Espera-se que essa investigação contribua para as questões conceituais e históricas da álgebra, sem deixar de estabelecer conexões com suas origens epistemológicas e negligenciar as interações da matemática com suas atividades humanas. Palavras-chave: Linguagem Matemática. Educação Algébrica. Educação Matemática. Apresentação A proposta de investigação que será apresentada ao longo desse texto faz parte do meu Doutorado que está em fase de desenvolvimento desde abril de 2014 e tem a linguagem no ensino de Matemática Escolar como foco central, mais especificamente a palavra e a letra na linguagem algébrica (simbólica). Considerando o Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática (EBRAPEM) um espaço importante e profícuo para as discussões e aperfeiçoamento das pesquisas na área, apresento minha pesquisa aos pares confiando na proposta de colaboração mútua e coletiva, ainda que o trabalho possua uma visão opaca de qual tese será defendida e qual a metodologia mais adequada a ser utilizada. Uma das motivações dessa pesquisa ocorreu nas vivências e reflexões das atividades docentes que tive na educação básica, a partir da minha iniciação à docência que permitiu uma aproximação frequente entre as dificuldades que os estudantes possuem em Matemática e os conhecimentos que adquiri durante todo o meu processo contínuo de 1 Universidade Federal de São Carlos, flaviodesouzapires@yahoo.com..br. Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa.

2 formação. A escrita desse texto está embebida de sensações e sonhos que me ajudaram a traçar um fio condutor entre a álgebra e o seu ensino, sem descaracterizar o fascínio de estudá-la e as riquezas que nela me encantam. Outra motivação foi minha própria defesa de mestrado que favoreceu uma tênue observação de um dos membros da banca, em relação a um aspecto que muito mencionei no texto, mas pouco me aprofundei devido aos objetivos específicos da pesquisa naquele momento: a palavra, a letra na linguagem algébrica e sua ontogênese na histórica da matemática. Como a letra pode sintetizar um emaranhado de pensamentos e conceitos na Matemática através da linguagem algébrica (incógnita, parâmetro, variável)? Tal comentário fez surgir o insight que deu linearidade e movimento a origem dessa investigação que, considero um fruto das pesquisas que já realizei anteriormente, iniciação cientifica e mestrado, ou seja, a potencialidade da letra na Matemática em sintetizar o pensamento. Quando professor da educação básica foi fácil perceber a capacidade dos estudantes para o raciocínio lógico e a elaboração de estratégias para resolução de problemas envolvendo cálculos mentais em matemática, quando são apresentados a eles os problemas na forma oral, no entanto quando é necessário utilizar técnicas algébricas sugeridas no currículo formal ou até mesmo no contexto de sala de aula para solucionar problemas mais sofisticados, eles se perdem e desmotivam-se facilmente por não conseguir resolvê-los. Para Gómez-Granell (1996) essa desmotivação deve-se ao fato do uso das concepções formalistas (aquelas em que a Matemática consiste apenas na manipulação de sinais escritos de acordo com determinada regra, devido a sua linguagem específica, de caráter formal e abstrato) na escola, que trouxeram consequências para o ensino de Matemática, de tal modo que este se organizou de forma muito mais orientada para a manipulação sintática de símbolos, regras e algoritmos do que para o significado dos mesmos. Goméz-Granell (1996, p. 266) destaca que: Em toda expressão matemática é necessário reconhecer um significado formal intrínseco nos quais uns símbolos fazem referência a outros dentro de um código específico -, e um significado pragmático que permite a tradução para sistemas de signos não matemáticos (linguagem natural, imagens e representações icônica, ações, etc.), e associar tais expressões ao seu significado referencial.

3 Dado o caráter axiomático dedutivo da Matemática, ela é profundamente dependente de uma linguagem. A linguagem matemática representa as abstrações essenciais das relações matemáticas. Ao fazer isso, elimina qualquer referência ao contexto ou situação que deu origem a essas relações e prima por realizar suas operações com base nessa linguagem. Durante uma anamnese com esses estudantes que acompanhei durante minha carreira docente, era comum ouvir que, quando colocaram o alfabeto na Matemática não conseguiram entender mais os conceitos dessa componente curricular, muitos até expressam o estranhamento dizendo: Olha só aquele monte de conta com letra na lousa professor, como posso calcular sem números?eu não sei fazer contas com o alfabeto. Os estudantes não hesitam em solucionar os problemas algébricos, chutando valores para a incógnita quando estão diante de uma sentença aberta, ou seja, uma equação, afinal o discurso impregnado é que a letra pode ser qualquer número, e se é qualquer número, tanto faz o valor que lhe for atribuída. No entanto, a partir do momento que trocamos o discurso de modo que favoreça uma orientação à resposta correta os estudantes tendem a acertar, por exemplo: qual o valor de x que satisfaz a igualdade, ou em uma equação do tipo 3x 1 10 perguntarmos: três vezes que número mais um é igual a dez? Utilizando alguns métodos intuitivos eles conseguem solucionar as equações tecnicamente, mas a recíproca ainda é difícil, traduzir um problema da língua materna para a algébrica é bem complicado. Quando uma situação problema em um texto descreve ideias de junção ou diferença, por exemplo, os estudantes dificilmente conseguem fazer relação com as operações de adição e subtração na Matemática. Até expressões explícitas em um texto na língua materna não tem conexão para os estudantes, muito menos os símbolos das operações criados pela/para Matemática e as generalizações que essa tradução causa nessa ciência. Para pesquisadoras construtivistas como Barth (1993) essas dificuldades apresentadas pelos estudantes estão ligadas diretamente a concepções errôneas que produzem durante o processo de aprendizagem e podem ser descritas em três tipos: Confusão entre a palavra e o sentido: as crianças utilizam um símbolo abstrato sem realmente perceberem o seu sentido, com a ideia de que a própria palavra é o sentido. A função da palavra abstrata enquanto símbolo de um sentido não é compreendida.

4 Confusão entre elementos pertinentes e não pertinentes em relação e um dado problema: as crianças conferem erradamente uma importância a um elemento não pertinente e interpretam o exemplo a partir dos seus próprios quadros de referência e chegam a outros significados diferentes daquele previsto pelo professor. Confusão no Modo De Raciocínio: operam por associação vernal estímulo resposta - associando uma palavra a alguns exemplos, sem, no entanto terem percebido a natureza das ligações entre a palavra e os exemplos. Comportam-se como se esperássemos deles boas respostas, e dão o seu melhor para responder a esta expectativa. Estas confusões traduziram-se por falsas concepções. Ou seja, as crianças não compreenderam o que era preciso compreender, nem o que era preciso fazer para compreender. Simplesmente procuraram reproduzir as boas respostas - mas resposta a quê? Se não se compreender as questões fundamentais que estão na origem destas respostas, estas não têm valor: são elementos isolados, privados de sentido e, portanto rapidamente esquecidos. A minha atividade docente me mostrou ainda, mesmo que, de forma particular uma Matemática mecanicista presente nos chavões populares, os estudantes insistem em fazer contas, utilizar regras e ficar presos aos aspectos sintáticos da linguagem matemática, ou seja, a técnica, mas por incompreensões e/ou falta de significado para a letra na matemática, enfim, a semântica. O que ás vezes a torna enfadonha e a reduz a técnicas e memorização, fórmulas e decorebas. Sendo assim considero que as minhas histórias e experiências descritas até o momento são determinantes nas minhas ações, como descreve Cunha (1996), em outras palavras, penso que o meu conhecimento enquanto professor é construído no meu próprio cotidiano, como resultado da apropriação que faço das vivências que tive e tenho. Com base em tais reflexões, ser professor tornou-se uma experiência que norteou minhas incertezas e inconclusões. Dessa maneira, fui impulsionado a questionar as possíveis ambiguidades da linguagem algébrica, mesmo que contraditório, uma vez que possa existir proximidades e contribuições para o pensamento matemático e também limitações para a aprendizagem, afinal a hipótese de considerar a álgebra como uma linguagem e um idioma da matemática me aproxima cada vez mais do estudo das letras e palavras na matemática, pressupondo

5 que sem significado, nenhum texto possui vida, assim como os números, os símbolos e as imagens de um gráfico e/ou uma função. Gostaria de salientar que essa pesquisa tratará da Matemática Escolar e da álgebra simbólica e está situado na área da Educação Matemática, caracterizando-se mais especificamente no ensino e aprendizagem da álgebra. Borba (2004) em seu artigo faz uma analogia à fala de Paulo Freire, dizendo que: a escolha da pergunta de pesquisa já é em si um ato embebido de subjetividade. Sendo assim, considero que essa pesquisa de abordagem qualitativa não poderia excluir os desafios que encontrei na iniciação e nos estudos dessa área, a educação matemática, que me mostrou um mundo complexo e desafiador, que me convidava a compreendê-lo e conhecê-lo ainda mais. Com o desejo de partilhar essa conquista, pretendi ingressar no Doutorado a fim de discutir, estudar e me aprofundar nas relações da linguagem com a matemática, mais especificamente, no que diz respeito a linguagem algébrica. A questão de investigação que norteará, a priori, este projeto de Doutorado está assim definida: Quais as aproximações e distanciamentos entre a linguagem e a matemática e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem, a partir das especificidades da linguagem matemática? O objetivo maior é analisar os estudos relacionados a linguagem e a história da constituição da linguagem matemática, mais especificamente da álgebra, uma vez que considerando a álgebra como uma linguagem, podemos identificar aspectos sintáticos, relacionados aos símbolos e sua manipulação/utilização e semânticos, relacionados a estrutura e compreensão desses códigos. Identificando essas interfaces será possível entender as relações estabelecidas entre a linguagem e matemática e as dificuldades dos estudantes em compreendê-la. Objetivo Geral Analisar os aspectos da linguagem matemática, através de sua constituição histórica e cultural, considerando que há consonâncias e dissonâncias com a língua e as possibilidades e contribuições no processo educativo de matemática, quando suas ambiguidades na letra e na palavra são levadas em consideração no ensino.

6 Justificativa e fundamentação teórica A linguagem na minha atividade profissional sempre teve um caráter especial, constituir-se professor sem interação, mediação e suporte material para os signos é bem complicado, ainda mais quando dispomos de uma ciência como a Matemática, caracterizada pelo seu método axiomático dedutivo de construção e pensamento, pelo seu rigor e fixidez, pela generalização e busca das regularidades e padrões na vida, seja ela fora ou dentro de nós. Além desses aspectos apresenta ainda uma linguagem formal e extremamente simbólica, criada para atender as necessidades de uma ciência objetivista que confunde-se em sua gênese com um nascimento no mundo das ideias e também no pragmatismo, a partir de soluções de problemas históricos ocorridos no cotidiano de civilizações distintas e traduzidos para os conceitos matemáticos. A língua vive e evolui historicamente na comunicação verbal concreta, não no sistema linguístico abstrato das formas da língua nem psiquismo individual dos falantes. (BAKHTIN, 2012, p. 128) A matemática escolar e acadêmica, sobretudo, a que conhecemos hoje é a hegemônica e campeã, a europeia, fruto da síntese de pensamento de vários filósofos que tornaram a interpretação da realidade um sistema lógico, mais uma maneira de enxergar o mundo e compreendê-lo. A linguagem técnica dessa ciência desconsiderada sua história e limpa-a para que esteja livre das ambiguidades e contradições que a palavra contém, para mim esse é o maior embate em seu ensino, pois o contexto nesse caso sempre deve estar bem definido e especificado para dar o sentido necessário do que tratamos, o que infelizmente não ocorre com muita frequência e os erros e equívocos cometidos por aqueles que a aprendem são muitos, por receber uma matemática pronta acabada, limpa, formal e axiomática, ao ponto de se desprender do homem e parecer existir por si só, tornando-se totalmente abstrata. Meu objetivo não é criticar e tampouco criar ou propor uma nova matemática, mas sim mostrar que outra matemática é possível, desde que consideremos aspectos extramatemáticos em seu ensino que fazem parte da sua constituição, expor sua objetividade e especificidade, que fogem das duplas interpretações e torturam as palavras para uma realidade dada e específica, situada no contexto da linguagem científica que limpa toda dualidade e polissemia que nela existem. No meu ponto de vista a linguagem matemática degenera o signo.

7 Retomando a discussão da linguagem matemática, gostaria de salientar que muitas palavras utilizadas no contexto da vida confundem-se com os conceitos matemáticos devido aos inúmeros significados que elas possuem no cotidiano em outros contextos, muitas dessas expressões ou palavras não ficam claras e precisamos de outras palavras e signos e sinônimos que vá ao encontro da compreensão, do sentido naquele contexto situado. "Congruente" ou "Ângulo reto" (ângulo de 90 graus), por exemplo, seriam uma palavra e uma expressão fáceis de serem esclarecidas, pois são específicas para o contexto matemático. No entanto, a palavra "Divisão" demandaria lapidações e recortes, uma vez que divisão no senso comum é diferente do conceito matemático, mais do que a sua definição, seria importante que o professor a contextualizasse na perspectiva do seu ensino e nesse caso particular confrontar sinônimos dessa palavra com a definição matemática, discutindo-a do ponto de vista pedagógico (como ensiná-la na perspectiva da compreensão). O sentido da palavra é totalmente determinado por seu contexto. De fato, há tantas significações possíveis. No entanto, nem por isso a palavra deixa de ser uma. Ela não se desagrega em tantas palavras quantos forem os contextos nos quais ela pode inserir. Evidentemente, essa unicidade da palavra não é somente assegurada pela unicidade de sua composição fonética; há também uma unicidade inerente a todas as suas significações. (BAKHTIN, 2012, p ) Preocupado em discutir a natureza do conteúdo científico e que, a linguagem matemática não é um dado natural, mas resultado da negociação de significados ao longo do processo histórico e que, portanto, sua configuração é contingente das relações sociais como podemos identificar em Sousa (2004), Vilela (2007), Godoi e Figueirôa (2008) no que diz respeito ao conteúdo científico, Várias civilizações podem usar/adotar em diferentes períodos da sua história, linguagens que expressam o pensamento matemático, de acordo com suas necessidades culturais e os momentos de tensão, quando as transformações sociais acarretaram a implementação de uma linguagem universal. Consideremos evidentemente a álgebra como uma linguagem devido aos aspectos sintáticos e semânticos que possuem cujos signos e símbolos só podem ser interpretados a partir do momento em que se compreende o significado e sua utilização. As discussões de aspectos linguísticos da álgebra, aparecem nos estudos de Karlson (1961), que estuda a História da álgebra, de Nilson Machado (1997) e Oscar Gueli (1994), que têm como foco o

8 ensino de Matemática e, consequentemente, o ensino de álgebra, considerado-a uma linguagem. A história da matemática nos mostra que a álgebra não foi e não é somente letras, no entanto gostaria de salientar que ensinar a linguagem algébrica, em seu último estágio de rigor de desenvolvimento, na matemática escolar, pode incorrer em equívoco, visto que a própria história da matemática nos faz refletir sobre as dificuldades dos matemáticos em compreender a nova linguagem quando esta surge com todo o formalismo no século XIX, na denominada Matemática Moderna. Confessemos a matemática moderna possui uma noção simbólica bastante desenvolvida. Vejamos o quanto era boa a vida dos homens quando ainda não estavam obrigados a se maçarem com tais símbolos, escrevendo ao invés disso seus problemas matemáticos na simples e modesta linguagem vulgar. Comecemos com algum dos gregos antigos ou fenícios? com Diofante, por exemplo, que viveu no século III d.c., ao que tudo indica (KARLSON, 1961, p.176). Naquela época, é verdade, sucedida precisamente difícil, e os matemáticos acostumavam-se muito lentamente às muletas sem as quais de há muito não saberíamos caminhar (KARLSON, 1961, p. 180). As muletas às quais o autor se refere no trecho acima, nada mais são do que a nova simbologia que surge para resolver problemas práticos do cotidiano. Estudos como de Sousa (2004) e Ribeiro (2007) conseguiram captar esse movimento de transição ou transformação da linguagem algébrica a partir do momento em que se usava a própria geometria envolvendo problemas com incógnitas na Grécia, onde a incógnita era apenas um segmento de reta; de lá para cá, foi-se aperfeiçoando da linguagem falada de coisa, cousa a x, ou seja, de álgebra não simbólica (palavra, segmento, mistura de palavra com símbolos) para a álgebra simbólica (letras). Ora, é esta justamente nossa tarefa. Queremos desenvolver uma espécie de planta, uma regra geral de comportamento diante de certos problemas matemáticos, tão geral que exclua todos os enganos. Naturalmente teremos que aprender a orientar-nos nesta planta, e será necessário fixar certos símbolos gerais, que surgem frequentemente, tal qual um forasteiro, ao qual também se impõe aprender que uma igreja, por exemplo, é representada em planta por um quadrado com uma cruz nele inscrita (KARLSON, 1961, p. 161). Em suma a tentativa de excluir todos os enganos e/ou ambiguidades da língua na matemática trouxeram problemas para o seu ensino, uma vez que priorizou-se o formalismo existente nela, seu rigor e sintaxe sobrepondo seus significados e constituição histórica.

9 Metodologia Este estudo tem como público alvo os professores e pesquisadores em educação matemática, e tem como foco central de investigação, a evolução histórica da linguagem matemática e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem. A abordagem metodológica empregada para investigar nossa questão de pesquisa é qualitativa de abordagem histórico-bibliográfica. A escolha dessa metodologia de pesquisa se deve ao fato de que para Borba (2004), a pesquisa qualitativa tem ganhado vulto em Educação Matemática, principalmente nos Programas de Pós-Graduação, devido suas contribuições, e ainda ressalva que: [...] pesquisa qualitativa deve ter por trás uma visão de conhecimento que esteja em sintonia com procedimentos como entrevistas, análises de vídeos, etc. e interpretações. O que se convencionou chamar de pesquisa qualitativa, prioriza procedimentos descritivos à medida em que sua visão de conhecimento explicitamente admite a interferência subjetiva, o conhecimento como compreensão que é sempre contingente, negociada e não é verdade rígida. O que é considerado "verdadeiro", dentro desta concepção, é sempre dinâmico e passível de ser mudado. Isso não quer dizer que se deva ignorar qualquer dado do tipo quantitativo ou mesmo qualquer pesquisa que seja feita baseada em outra noção de conhecimento (p.2). Segundo Bogdan e Biklen (1994, p.48), os investigadores qualitativos assumem que o comportamento humano é significativamente influenciado pelo contexto em que ocorre. O processo para realizar uma pesquisa em ciências humanas é compreender sua maleabilidade e movimento, Bogdan & Biklen (1994) nos orienta que Na investigação qualitativa, a fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal. (p.47). Sendo assim, o ambiente natural nesse contexto são as universidades e os respectivos registros históricos e acadêmicos no que diz respeito a evolução da linguagem matemática através da álgebra, buscando dessa forma repostas as inquietações que motivaram essa investigação como discutem os educadores matemáticos: Tentamos através da pesquisa buscar respostas para uma inquietação específica; não é uma especulação fútil ou acadêmica para satisfação própria, e nem acreditamos necessitar ser científica no sentido de estar baseada em hipóteses que foram verificadas empiricamente. Mas como todo bom trabalho científico, deve ser acadêmico, público e aberto à crítica e possível refutação. (KILPATRICK, RICO, GOMÉZ, 1998, p. 3.).

10 Para a execução dessa pesquisa será necessário o levantamento bibliográfico em banco de dados e centros de memórias como banco de teses, revistas eletrônicas e anais de eventos da área de Educação Matemática, afinal estes trazem estudos acerca da linguagem matemática e da sua história de constituição, com o intuito de identificar parâmetros e resultados em pesquisas correlatas que norteie o desenvolvimento da investigação e ofereça um caráter linear e contínuo no que diz respeito ao seu desenvolvimento, que já foi motivado desde a iniciação científica ao meu mestrado. A abordagem desse tipo de pesquisa aproxima-se da histórico-bibliográfica ou documental como define Fiorentini, Lorenzato (2009) É aquela que se faz preferencialmente sobre documentação escrita. O campo pode ser caracterizado pelas bibliotecas, pelos museus, pelos arquivos e pelos centros de memória. Nesse tipo de pesquisa, a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras. A ficha de anotações ajuda a organizar de maneira sistemática os registros relativos às informações. A elaboração da grade referente à ficha dependerá das questões investigativas estabelecidas previamente pelo pesquisador. Essa ficha, entretanto, pode ser reformulada após as primeiras leituras e consulta aos documentos. Esse tipo de pesquisa é também chamado de estudo documental. Os documentos para estudo apresentam-se estáveis no tempo e ricos como fonte de informação, pois incluem filmes, fotografias, livros e propostas curriculares, provas (testes), cadernos de alunos, autobiografias, revistas, jornais, pareceres, programas de TV, lista de conteúdos de ensino, planejamento, dissertações ou teses acadêmicas, diários pessoais, diários de classe, entre outros documentos. (p ) A exequibilidade dessa pesquisa será assegurada através do contato de estudos correlatos em bancos de dados e centros de memória, de instituições de ensino superior e pesquisa. A partir desse contato, será possível assegurar o levantamento dos dados necessários para a sua execução, apesar das críticas que esse tipo de método sofre devido a sua subjetividade e a fragilidade de uma amostra que possa ser significativa, no entanto as categorias de análise criadas pelo pesquisador podem ser frutíferas e profícuas se refletirem os propósitos da pesquisa ampliando concepções com seus resultados. Dessa forma a meta-análise é o instrumento de análise de dados mais adequado para esse tipo de pesquisa uma vez que se caracteriza como uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica delas e/ou produzir novos resultados ou sínteses a partir do confronto desses estudos, transcendendo aqueles anteriormente obtidos. (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 103)

11 Resultados esperados e contribuições Espera-se que essa investigação possa contribuir para o avanço das pesquisas em Educação Matemática, principalmente no que diz respeito as questões conceituais e históricas da álgebra, sem deixar de estabelecer conexões com suas origens epistemológicas e negligenciar as interações da matemática com suas atividades humanas, antes de desenvolver-se por si mesma. Dessa maneira, compreender e analisar as interfaces da linguagem matemática na letra e na palavra e identificar seus aspectos sintáticos e semânticos pode contribuir no processo educativo quando forem levados em consideração o seu ensino. Essa compreensão se faz necessária já que ensinar um conteúdo matemático exige, além do conhecimento do conteúdo, conhecimentos relacionados ao seu ensino e também sobre aqueles que o aprenderão. Sendo assim, é importante salientar que no âmbito da aprendizagem da linguagem matemática, as discussões históricas e filosóficas favorecem um olhar minucioso e introspectivo, no que diz respeito à formação da linguagem algébrica e de suas especificidades, bem como no processo de utilização e inserção das letras e das tensões presentes entre os números e as letras. Enfim, o maior objetivo dessa proposta de pesquisa para a Educação está relacionado com as implicações dos estudos da abordagem histórica e da compreensão como língua da matemática através da álgebra, e suas implicações na aprendizagem de matemática, principalmente no que diz respeito a metodologia, de modo que possa influenciar diretamente em seu ensino, nos currículos escolares e nas propostas de formação de professores como meio de conexão entre o estudante e o conhecimento. Referências BAKHTIN, M. Marxismo e filosofia da linguagem. São Paulo, Hucitec, BARTH, Britt-Mari. O saber em construção: para uma pedagogia da compreensão. Porto Alegre: Instituto Piaget, (Coleção Horizontes Pedagógicos) BOGDAN, R.; BIKLEN, S. A investigação qualitativa em educação: uma introdução às teorias e aos métodos. Porto: Porto Editora, 1994.

12 BORBA, M.C. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. In: 27ª reunião anual da Anped, 2004, Caxambu, MG. Anais... Minas Gerais: Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Educação, p CUNHA, M. I. da. O bom professor e sua prática. 6ª ed. Campinas: Papirus, FIORENTINI, D; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: Percursos Teóricos e Metodológicos. Dario Fiorentini, Sergio Lorenzato.-Campinas, SP: Autores Associados, (Coleção Formação de Professores). GOMEZ-GRANELL, C. A aquisição da Linguagem Matemática: símbolo e significado. In A. TEBEROSKY, & L. TOLCHINSKY (Eds.), Além da Alfabetização. São Paulo: Ática, p GODOI, L. C. de O.; FIGUEIRÔA, S. F de M. Dois pesos e duas medidas: uma proposta para discutir a natureza do sistema de unidades de medidas na sala de aula. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 25, n. 3: p , dez GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo, SP, Ática, KARLSON, P. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, KILPATRICK, J. Investigación en edcación matemática: su história y algunos temas de actualidad. Em J. Kilpatrick, P. Gómez, L. Rico. (Ed.). Errores y dificuldades de los Estudiantes... Bogotá: Univ. de los Andes, MACHADO, N. J. Matemática e Língua Materna: análise de impregnação mútua. São Paulo, SP: Cortez, RIBEIRO, A. J., Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico Tese (Doutorado em Educação Matemática) Programa de Pós Graduação em Educação Matemática Pontifícia Universidade Católica. SOUSA, M. C., O ensino de álgebra numa perspectiva lógico-histórica: um estudo das elaborações correlatas de professores do ensino fundamental Tese (Doutorado em Educação) - Programa de Pós Graduação em Educação, Faculdade de Educação da Universidade de Campinas. VILELA, D. S. Matemática nos usos e jogos de linguagem: ampliando concepções na educação matemática Tese (Doutorado em Educação) - Programa de Pós Graduação em Educação, Faculdade de Educação da Universidade de Campinas.