A Esperança Condicional

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1 A Esperança Condicional PE de Dezembro de 2009 Nota prévia Estas notas complementam e esclarecem o capítulo segundo do livro de texto que adoptámos [1]. A matéria é de importância fundamental pelo que se justifica esta duplicação de pontos de vista sobre o mesmo assunto. Desenvolvemos estas notas, relativas à noção de esperança condicional, a partir da exposição magistral de David Williams na obra [8], completando-a com alguns desenvolvimentos que serão convenientemente referenciados por altura da respectiva apresentação. 1 A informação disponível ou conhecida No modelo de Kolmogorov para as probabilidades, quando se considera um espaço de probabilidades (Ω, F, P), temos como interpretação que Ω representa o conjunto das realizações do fenómeno em estudo, F P(Ω) representa a família dos acontecimentos possíveis no modelo e, finalmente, P a medida de probabilidade sobre (Ω, F) que é a aplicação que a cada acontecimento A F associa P[A] [0, 1], representa o grau de confiança que temos na realização do acontecimento A. Para representar a evolução da informação disponível ao longo do tempo é, por vezes, útil considerar que os acontecimentos conhecidos de F são os elementos de uma subalgebra-σ de F que relembramos, é a álgebra-σ dos acontecimentos possíveis no modelo. Note-se que um acontecimento A F é conhecido se, dado ω Ω, isto é, uma realização do fenómeno, é sempre possível decidir qual das duas proposições contraditórias ω A, ou ω / A, é verdadeira. Observe-se também que, sendo os acontecimentos conhecidos representados por subalgebra-σ de F, uma variável aleatória X, isto é, uma função de Ω em R mensurável de (Ω, F) em (R, B(R)), é conhecida, face à informação disponível dada por, se e só se X for mensurável de (Ω, ) em (R, B(R)). Com efeito, se X for conhecida, então são conhecidos os conjuntos X 1 (B) para B B(R), isto é, para cada B B(R) é possível afirmar que X 1 (B). Tal equivale a afirmar que: σ(x) = {X 1 (B) : B B(R)}. 1

2 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 2 Seja então (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e X uma variável aleatória sobre Ω, tomando valores reais. Sendo X de quadrado integrável é sabido que E[X] se pode interpretar como a melhor estimativa de X, no sentido dos mínimos quadrados, independentemente de qualquer informação disponível. Representemos por E[X ] a melhor aproximação de X no sentido dos mínimos quadrados, dada a informação disponível representada por. Com esta convenção ter-se-á E[X] = E[X {, Ω}], uma vez que = {, Ω}, subalgebra-σ trivial de F que é constituída pelo acontecimento impossível ( ) e pelo acontecimento certo (Ω), representa a informação mínima disponível. Observe-se ainda que, tal como foi dito acima, E[X] é a melhor aproximação de X no sentido dos mínimos quadrados, ou ainda: X E[X] L 2= inf{ X Y L 2: Y M(Ω, {, Ω})}. Neste capítulo, vamos tentar responder à questão seguinte: qual a melhor estimativa de X, no sentido dos mínimos quadrados, baseada na informação conhecida, representada por? 2 O teorema de Radon-Nikodym Seja (X, A) um espaço mensurável e µ e σ duas medidas sobre este espaço. Definição 1. A medida σ é absolutamente contínua relativamente a µ se e só se: A A µ(a) = 0 ν(a) = 0. Nestas condições escreve-se: σ µ. A proposição seguinte fornece exemplos muito importantes de medidas absolutamente contínuas. Proposição 1. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e f uma função mensurável positiva verificando Ω f dp = 1. Seja Q f definida por A F Q f [A] = A fdp. (1) Então Q f é uma medida de probabilidade sobre (Ω, F), absolutamente contínua relativamente a P e tem-se que g L 1 (Ω, F, P) g dq f = g f dp. Ω Ω PE de Dezembro de 2009

3 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 2 Definição 2. A qualquer função h, igual a f quase certamente, verificando a fórmula 1, chamamos a densidade de Radon-Nikodym de Q f relativamente a P e escreve-se: dq f = f P ou também f = dq f dp. Demonstração. A demonstração de que Q f é uma medida faz-se sem qualquer dificuldade usando o teorema da convergência monótona de Lebesgue. Exemplo 1. Seja X N(0, 1), isto é, admitindo uma distribuição normal estandardizada. Tem-se então por definição que: F X (x) = P[X x] = x 1 2π e t2 2 Sendo f X (x) = 1/ 2π exp( t 2 /2) uma função contínua tem-se que a densidade de X relativamente à medida de Lebesgue é dada por F X(x) = 1 2π e x2 2. É notável que o exemplo dado pela proposição 1 constitua, em condições muito gerais, o caso típico de medidas absolutamente contínuas. Tal é afirmado pelo teorema de Radon-Nikodym, teorema que usaremos adiante repetidamente. Teorema 1. Sejam µ e ν duas medidas finitas sobre um espaço mensurável (X, A). Suponha-se que ν µ. Existe então f L 1 +(X, A, µ) tal que: A A ν(a) = f dµ. A dt Demonstração. Considere a medida finita λ := ν + µ. Para qualquer g L 2 (λ) tem-se em consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz que: ( 1/2 g dν g dν g dλ g dλ) 2 λ(x) < +. X X X Pode assim constatar-se que a aplicação φ que a g L 2 (λ) associa X g dν é uma forma linear limitada sobre L 2 (λ), pelo que em consequência dos resultados usuais sobre os espaços de Hilbert existe h L 2 (λ) tal que: g L 2 (λ) φ(g) := g dν =< g, h > L 2 (λ):= g h dλ. X Podemos afirmar que h 1. Com efeito, considerando para qualquer E mensurável com λ(e) > 0, a função g = I E na última fórmula, tem-se que: 1 h dλ = ν(e) λ(e) λ(e) 1. E PE de Dezembro de 2009 X X

4 Dado que E é arbitrário com medida positiva vem que necessariamente h 1. Atendendo a que λ = ν + µ tem-se então em consequência da penúltima fórmula que: g L 2 (λ) (1 h)g dν = g h dµ. (2) Sendo por definição: X A = {x X : 0 f(x) < 1} e B = {x X : f(x) = 1} vem em consequência da fórmula 2 e considerando g = I B, que: µ(b) = h dµ = (1 h)dν = 0. B Seja agora um conjunto mensurável F qualquer. Observando que sobre o conjunto de medida µ nula B (e por se ter ν µ de medida ν nula) se tem, em consequência de 2 que, (1 h n+1 ) dν = h (1 + h + + h n )dµ F F então, uma vez que sobre B, lim n + h n = 0 e que lim n + h (1 + h + + h n ) =: f função mensurável e integrável, vem: ν(f ) = f dµ, tal como queríamos. Para uma demonstração deste teorema numa formulação muito geral veja-se por exemplo [7][p. 122]. F B X 3 Definição e Propriedades Nesta secção começamos por introduzir a noção de esperança condicional nos espaços discretos estabelecendo uma ligação com o conceito de probabilidade condicional neste contexto, noção já anteriormente estudada. Depois de abstrairmos as principais propriedades da noção de esperança condicional desenvolvemos a apresentação do teorema de Kolmogorov que lida com a existência e unicidade no caso geral. Por último detalhamos algumas propriedades que são de grande utilidade para o cálculo efectivo. Esta exposição é complementada com um conjunto de exercícios práticos que contribuirão se forem resolvidos conscienciosamente para uma adequada compreensão deste assunto. 3.1 Motivação: o caso finito Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e X e Z duas variáveis aleatórias tomando um número finito de valores i.e.: X(Ω) = {x 1,... x m } e Z(Ω) = {z 1,... z n }. PE de Dezembro de 2009

5 É conhecida a definição seguinte da probabilidade condicional de um acontecimento dado um outro acontecimento cuja probabilidade seja não nula. P[X = x i Z = z j ] := P[{X = x i} {Z = z j }] P[Z = z j ]. Dado que esta probabilidade condicional pode interpretar-se como uma nova probabilidade definida sobre o novo espaço {Z = z i }, é natural definir o valor esperado da variável aleatória X, relativamente a esta probabilidade. E[X Z = z j ] := m x i P[X = x i Z = z j ]. Para tornar a expressão anterior independente do ponto z i, pode agora definir-se uma nova variável aleatória do seguinte modo. Definição 3. A variável aleatória E[X Z] é definida por: E[X Z] := n j=1 E[X Z = z j ] I {Z=zj }. (3) Note-se que esta definição diz-nos que se para um ω Ω fixo, se tem Z(ω) = z j para um certo j, então verifica-se que: E[X Z](ω) := E[X Z = z j ]. A variável aleatória assim definida goza de algumas propriedades que passamos a observar detalhadamente. Considere-se a álgebra-σ gerada pela variável aleatória Z. Uma consequência de um exercício das aulas práticas é que: = σ(z) = { j J{Z = z j } : J {1,..., n}}. (4) pelo que se torna claro que a expressão (3) define uma variável aleatória mensurável. O cálculo formal seguinte, que seria possível justificar desde que as hipóteses adequadas se encontrassem explicitadas, mostra-nos uma outra propriedade importante verificada pela variável aleatória que definimos acima. Para qualquer PE de Dezembro de 2009

6 l {1,..., }: {Z=z l } E[X Z]dP = E[X Z = z l ] P[Z = z l ] = = = m P[{X = x i } {Z = z l }] x i P[Z = z l ] = P[Z = z l ] m x i P[{X = x i } {Z = z l }] = = {Z=z l } XdP. Devido à forma geral dos elementos de, que é possível observar na fórmula (4) e, devido à aditividade do integral relativamente a uma partição do domínio de integração, temos finalmente que: E[X Z]dP = XdP. (5) Uma outra propriedade da variável aleatória E[X Z] tem uma interpretação geométrica à qual será dada esclarecimento complementar na demonstração do teorema de Kolmogorov. Consideremos L 2 (Ω, F, P) o espaço das variáveis aleatórias de quadrado integrável, isto é: L 2 (Ω, F, P) := { X : Ω [, + ] : Ω } X 2 dp < + Este espaço pode ser munido de uma forma (bilinear) semi-definida positiva, um produto interno, do modo seguinte. X, Y L 2 (Ω, F, P) X, Y := X Y dp. Para este produto interno pode definir-se a noção de ortogonalidade semelhante à noção de ortogonalidade no espaço euclidiano usual, isto é: X, Y L 2 (Ω, F, P) X Y X, Y = 0 Pode verificar-se que, para subalgebra-σ de F, se tem que L 2 (Ω,, P) é um subespaço fechado de L 2 (Ω, F, P) e que E[X Z] é a projecção ortogonal de X L 2 (Ω, F, P) sobre o subespaço L 2 (Ω,, P). Sabe-se, veja-se [8][p. 67], que Z é a projecção ortogonal de X L 2 (Ω, F, P) sobre L 2 (Ω,, P) se e só se: Y L 2 (Ω,, P) X Z, Y = 0. Ora, a segunda propriedade que analisámos acima e que está condensada na fórmula 5, permite-nos dizer que: X E[X Z], I = 0. Ω. PE de Dezembro de 2009

7 Mas, pela linearidade e pela densidade das funções simples em L 2 (Ω,, P) pode deduzir-se que: Y L 2 (Ω,, P) X E[X Z], Y = 0, pelo que a conclusão anunciada segue. 3.2 O caso geral As duas primeiras propriedades que pudemos observar, acima, no caso de duas variáveis aleatórias tomando um número finito de valores foram usadas por Kolmogorov 1 para definir em condições muito gerais a noção de esperança condicional. A terceira propriedade sugere a demonstração do resultado fazendo apelo à estrutura geométrica de espaço de Hilbert das variáveis aleatórias de quadrado integrável. Teorema 2 (Kolmogorov 1933). Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade, X uma variável aleatória integrável e uma subalgebra-σ de F. Então: 1. Existe então uma variável aleatória Y tal que: (a) Y é integrável, (b) Y é mensurável relativamente a, (c) Y verifica a seguinte propriedade: Y dp = XdP. (6) 2. Se Y e Ỹ forem duas variáveis aleatórias verificando as três propriedades da alínea 1 acima, então Y = Ỹ P q.c.. Em consequência do ponto 1 do teorema de Kolmogorov podemos definir a noção de esperança condicional no caso geral. Definição 4. Nas condições do teorema de Kolmogorov acima qualquer variável aleatória que verifique as propriedades do ponto 1 denomina-se uma versão da esperança condicional de X dada e representa-se por: E[X ]. 1 Andrei Nikolaevich Kolmogorov, matemático russo ( ) fundamentou a teoria das probabilidades axiomatizando-a no quadro da teoria da medida. Segundo Hoffman-Jorgensen [4][vol. I, p. xxxvi] a obra datada de 1933, onde expõe esta fundamentação, foi recebida pelos probabilistas seus contemporâneos quase com euforia. Esta obra foi posteriormente traduzida para a língua inglesa (veja-se [6]). PE de Dezembro de 2009

8 Demonstração. A prova da existência para uma dada variável aleatória X em L 2 decorre do teorema que garante a melhor aproximação para subespaços fechados de L 2. Com efeito, como se verifica que F temos L 2 (Ω,, P) L 2 (Ω, F, P) podendo mesmo afirmar que, com as reservas feitas quanto à definição da adição nos espaços de funções integráveis, L 2 (Ω,, P) é um subespaço vectorial de L 2 (Ω, F, P). Em consequência, para qualquer elemento X de L 2 (Ω, F, P) existe Y no espaço L 2 (Ω,, P) tal que: Z L 2 (Ω,, P) X Y Z. Como para se tem que I L 2 (Ω,, P) temos: < X Y, I >= 0 e como as variáveis X and Y são integráveis temos, de forma equivalente, XdP = Y dp. Observando que, por ser Y L 2 (Ω,, P) se tem que Y é mensurável e é integrável temos, finalmente, que Y é uma versão da esperança condicional de X dada. Para a demonstração do caso geral e da unicidade serão úteis os dois resultados seguintes. Lema 1. Seja U mensurável positiva e limitada. Então como U L 2 (Ω, ), tem-se que: E[U ] 0. Demonstração. Seja W uma versão de E[U ] e suponhamos que P[W < 0] > 0. Como se verifica facilmente, pelo método usual, que: {W < 0} = + n=1 {W < 1 n }, em que a família de acontecimentos ({W < 1 n }) n 1 é crescente, tem-se que 0 < P[W < 0] lim n + P[W < 1 n ]. Em consequência, existe necessariamente n 0 1 tal que P[W < 1 n 0 ] > 0 (caso contrário ter-se-ia P[W < 0] = 0). Dado que U sendo limitada é de quadrado integrável relativamente à medida de probabilidade, o que já se verificou acima para estas variáveis aleatórias permite-nos concluir usando a condição 6 que se verifica a seguinte contradição 0 U dp = W dp 1 P[W < 1 ] < 0 n 0 n 0 {W < 1/n 0 } {W < 1/n 0 } uma vez que W m e assim sendo {W < 1/n 0 }. Este segundo resultado é uma antecipação do resultado de adição das esperanças condicionais. PE de Dezembro de 2009

9 Lema 2. Sejam Z 1, Z 2 L 2 (Ω, F). Então tem-se que: E[Z 1 + Z 2 ] = E[Z 1 ] + E[Z 2 ], isto é, se W 1 e W 2 forem, respectivamente, versões de E[Z 1 ] e E[Z 2 ] tem-se que W 1 + W 2 é uma versão de E[Z 1 + Z 2 ]. Demonstração. Tem-se que W 1 + W 2 m dado que a soma de funções mensuráveis relativamente a é mensurável relativamente a. Seja agora. A condição expressa na fórmula 6 que usamos na igualdade em (a) para cada uma das funções W 1 e W 2 permite-nos concluir que: (W 1 + W 2 ) dp = W 1 dp + W 2 dp = (a) = Z 1 dp + Z 2 dp = = (Z 1 + Z 2 ) dp, Podemos então concluir que W 1 + W 2 verifica também a condição 6 pelo que W 1 + W 2 é uma versão de E[Z 1 + Z 2 ]. Seja agora X L 1. Consideremos X +, a parte positiva de X e associemos-lhe uma sucessão crescente de variáveis aleatórias limitadas e por isso em L 2, pelo processo de truncatura habitual: X + n = X + I {X n} + ni {X>n}. Pelo que já demonstrámos anteriormente seja Y n + uma versão de E[X n + ]. Então (Y n + ) n 1 é uma sucessão crescente de variáveis aleatórias positivas em resultado da aplicação do lema 1 a cada uma das variáveis X n + e dos lemas 1 e 2 a cada uma das diferenças X n+1 + X+ n. Seja agora: Y + := lim sup Y n + m. n + Por aplicação do teorema da convergência monótona de Lebesgue em (a) e por aplicação da condição 6 da definição das versões da esperança condicional em (b), tem-se que para qualquer : Y + dp = lim Y + n + n dp = (a) lim Y n + n + dp = (b) = lim X + n + n dp = (a) lim n + X+ n dp = X + dp Tem-se então que Y + verifica a condição 6 que nos garante que Y + é uma variável aleatória integrável (uma vez que X + é) que é uma versão de E[X + ]. Procedendo de igual modo para X demonstramos o teorema no caso geral. Verifiquemos agora a unicidade. Seja Y e Ỹ duas versões de E[X ]. Pretendemos mostrar que a diferença entre as duas versões é nula quase certamente. Para tal seja por definição a função positiva e mensurável relativamente a : h := (Y Ỹ )I {Y Ỹ }. PE de Dezembro de 2009

10 Pela condição 6 que se aplica na igualdade indicada com (a) abaixo tem-se que para qualquer que: (Y Ỹ ) dp = Y dp + Ỹ dp = (a) {Y Ỹ } {Y Ỹ } {Y Ỹ } = X dp + X dp = 0, {Y Ỹ } {Y Ỹ } isto é, h dp = 0 para qualquer. Uma vez que h é não negativa tem-se que h = 0 quase certamente. Com efeito, com um argumente semelhante ao utilizado acima na demostração do lema sobre a monotonia do operador associado à esperança condicional, tem-se que h > 0 = + n=1 {h > 1/n} sendo esta última uma reunião de elementos de uma família crescente. Assim sendo, supondo que P[h > 0] > 0, existe necessariamente um inteiro n 0 tal que P[h > 1/n 0 ] > 0. Em consequência: 0 = h dp 1 P[h > 1/n 0 ] > 0 n 0 {h>1/n 0 } o que é absurdo. Podemos recomeçar esta argumentação mas agora com a função: g := (Ỹ Y )I {Ỹ Y } e concluir também que g = 0 quase certamente. Finalmente, como Y Ỹ = h g = 0 quase certamente, temos que as duas versões são iguais quase certamente. Esta demonstração foi ligeiramente adaptada daquela que se pode encontrar na obra [8][p. 86]. 3.3 Como calcular esperanças condicionais Para a determinação das esperanças condicionais num dado caso específico podem usarse como métodos, entre outros, os seguintes: O recurso à definição evocada na secção 3.1 para o caso em que as variáveis aleatórias são discretas, isto é tomam um número finito ou infinito numerável de valores. O recurso às densidades das leis das variáveis aleatórias em presença. O recurso às propriedades operatórias das esperanças condicionais. Vamos estudar em detalhe o método evocado no segundo ponto da lista anterior enquanto que o terceiro método referido será desenvolvido na secção 3.5. Relembremos que se X e Z forem variáveis aleatórias admitindo uma lei conjunta com densidade dada pela função de duas variáveis f X,Z (x, z) então X (respectivamente Z) admite como densidade f X (respectivamente f Z ) dada por: ( ) f X (x) = f X,Z (x, z)dz respectivamente f Z (z) = f X,Z (x, z)dx. R R PE de Dezembro de 2009

11 Observe-se ainda que se, por exemplo, for f X (x 0 ) = 0 então, dado que f X,Z é positiva, se tem que f X,Z (x 0, z) = 0 quase por toda a parte relativamente à variável z e à medida de Lebesgue em R. Teorema 3. Sejam X e Z, variáveis aleatórias admitindo uma lei conjunta com densidade dada pela função de duas variáveis f X,Z (x, z). Seja h uma função Borel mensurável tal que: E[ h(x) ] = h(x) f X (x)dx < +, R onde f X (x) é a densidade da lei marginal da variável X. função de variável real definida por: g(z) := h(x) f X,Z(x, z) I f Z (z) {fz 0}dx, R Então se for g a tem-se que g(z) é uma versão de E[h(X) σ(z)]. Demonstração. Pelas propriedades de definição da esperança condicional enunciadas no teorema de Kolmogorov e dado que por definição se tem que: σ(z) := Z 1 (B(R) := {Z 1 (B) : B B(R}, para que seja válida a condição do teorema temos que verificar que: B B(R) g(z)dp = h(x)dp. Z 1 (B) Z 1 (B) Atendendo a que I Z 1 (B) I B Z, é equivalente verificar que: B B(R) g(z) (I B Z) dp = h(x) (I B Z) dp. Ω Z 1 (B) Dado que, por hipótese, as leis das variáveis aleatórias são-nos dadas pelas respectivas densidades a igualdade entre os integrais pode representar-se de forma equivalente por: B B(R) g(z) I B (z) f Z (z)dz = h(x) I B (z)f X,Z (x, z) dxdz. R Finalmente, observando que se para um dado z 0 se tiver f Z (z 0 ) = 0 então também para todo o x se verifica que f X,Z (x, z 0 ) = 0 salvo num conjunto de medida de Lebesgue nula, podemos usar no integral, sem lhe alterar o valor, a seguinte igualdade: f X,Z (x, z) = f X,Z(x, z) I f Z (z) {fz 0}f Z (z), Em consequência, podemos representar a igualdade de integrais acima pela igualdade seguinte: ( B B(R) f Z (z)g(z)dz = f Z (z) h(x) f ) X,Z(x, z) I B B R f Z (z) {fz 0}dx dz, PE de Dezembro de 2009 R R

12 o que mostra que a representação para a função g, formulada na hipótese do teorema, é suficiente para garantir o resultado anunciado. 3.4 A esperança condicional E[X T = y] A proposição seguinte mostra como representar uma variável aleatória mensurável relativamente a uma álgebra-σ gerada por uma outra variável aleatória. Proposição 2. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade, e Y uma variável aleatória definida sobre este espaço tomando valores em R m. Seja agora T uma outra variável aleatória sobre o mesmo espaço e tomando valores em R p. Então, se Y for mensurável relativamente à sigma-álgebra σ(t ), existe uma aplicação φ de R p em R m tal que: Y = φ(t ). Demonstração. Seja Y = I A uma função indicatriz mensurável relativamente a σ(t ), isto é relativamente à álgebra-σ gerada por T. Tem-se que: A σ(t ) B B(R p ) A = T 1 (B). Como se tem que: I A (ω) = I T 1 (B)(ω) = = I B (T (ω)), { 1 se T (ω) B 0 se T (ω) / B Definindo Φ = I B tem-se que Y = Φ(T ) tal como se afirmou. Para o caso geral segue-se o processo sistemático de considerar as funções simples mensuráveis positivas, depois as funções mensuráveis positivas quaisquer e finalmente as funções mensuráveis de sinal qualquer. Vimos anteriormente que dadas duas variáveis aleatórias X e Y tomando valores em conjuntos finitos, sempre que para y Y (Ω) se tenha P[Y = y] 0 é possível definir E[X T = y] sem qualquer ambiguidade através das probabilidades condicionais usuais. No caso em que P[Y = y] = 0, o que se verifica, para qualquer y Y (Ω), para as variáveis aleatórias Y absolutamente contínuas relativamente à medida de Lebesgue, usar as probabilidades condicionais usuais não é possível. Na proposição seguinte apresentase um método que permite definir as probabilidades condicionais do tipo E[X T = y] para variáveis aleatórias gerais, desde que X seja integrável. A proposição estabelece ainda uma relação útil, para efeitos do cálculo efectivo de esperanças condicionais, entre E[X T = y] e E[X T ]. PE de Dezembro de 2009

13 Proposição 3. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade, e X uma variável aleatória definida sobre este espaço tomando valores em R. Seja agora T uma outra variável aleatória sobre o mesmo espaço e tomando valores em R. Definese a esperança condicional de X dado que T = t como qualquer função mensurável φ, de R em R, tal que: B B(R) φ(t) dl T (t) = X dp. onde L T é a lei de T. Tem-se então que: B T 1 (B) 1. A esperança condicional de X dado que T = t existe se X for integrável. 2. Se Y e Ỹ forem duas esperanças condicionais de X dado que T = t então: Y = Ỹ salvo talvez um conjunto de probabilidade L T nula. 3. Verifica-se ainda que: E[X T ] = φ(t ) se φ(t) = E[X T = t]. Demonstração. Suponhamos primeiramente X 0. Considere-se a medida ν definida para B B(R) por: ν(b) = X dp. T 1 (B) A medida ν é finita dado que X é integrável. Verifica-se que ν L T uma vez que se tem para B B(R): L T (B) = P[T 1 (B)] = 0 ν(b) = 0. Pelo teorema de Radon-Nikodym tem-se que existe uma função integrável φ tal que dν = φ dl T, isto é tal que: B B(R) φ(t) dl T (t) = ν(b) = X dp, B T 1 (B) tal como queríamos. No caso de X não necessariamente com sinal constante aplica-se o método descrito a X + e X, obtendo-se φ + e φ e define-se naturalmente φ = φ + φ. Sejam agora Y e Ỹ forem duas esperanças condicionais de X dado que T = t. Consider-se os borelianos de R dados por B + := {Y Ỹ } e por B := {Y < Ỹ }. Como, por hipótese se tem que: Y dl T = X dp = Ỹ dl T, B + T 1 (B + ) B + vem que: R (Y Ỹ ) I B + dl T = 0. PE de Dezembro de 2009

14 Dado que (Y Ỹ ) I B + 0 vem, em consequência que: (Y Ỹ ) I B + = 0, salvo talvez um conjunto de probabilidade L T nula. Procedendo de modo semelhante para B pode obter-se que (Y Ỹ ) I B = 0, salvo talvez um conjunto de probabilidade L T nula. Finalmente, observando que I R = I B+ I B tem-se, como anunciado, que Y Ỹ = 0 salvo talvez um conjunto de probabilidade L T nula. Para confirmarmos a última tese avançada no enunciado observe-se que φ(t ) é mensurável relativamente a σ(t ) uma vez que se tem para B B(R), φ(t ) 1 (B) = T 1 (φ 1 (B)). Pode também ver-se que sendo φ a esperança condicional de X dado que T = t se tem: B B(R) φ(t ) dp = φ(t) dl T (t) = X dp T 1 (B) B T 1 (B) uma vez que a igualdade mais à esquerda resulta da integração relativamente à lei de T. A igualdade entre o membro da esquerda e o membro mais à direita, conjuntamente com a condição de mensurabilidade garantem que φ(t ) é uma versão da esperança condicional de X dada T, tal como é afirmado no enunciado. Exercício 1. (Ver [5]) Seja f (X,Y ) (x, y) = (x + y)1i {0 x,y 1 (x, y). Determine E[X Y ]. Exercício 2. (Ver [5]) Suponha que X, Y e U são três variáveis aleatórias tais que X e U são independentes, U tem distribuição uniforme sobre [0, 1], X tem a lei de Rayleigh de parâmetro σ, isto é admite a densidade f X(x) = (x/σ 2 ) exp( x 2 /(2σ 2 ))1I x 0 (x) e Y = XU. Determine E[X Y ]. 3.5 Propriedades operatórias das esperanças condicionais Nesta secção apresentamos uma lista das principais propriedades operatórias da noção de esperança condicional que, tal como já referimos, são de grande utilidade no cálculo explícito. enericamente denotamos por X uma variável aleatória integrável e por uma subalgebra-σ de F. As demonstrações destas propriedades constituem exercícios importantes de reolução fácil constituindo a respectiva redacção parte integrante do trabalho na disciplina. Propriedade 1. Se Y for uma versão de E[X ] temos que E[Y ] = E[X] o que podemos representar por: E [E[X ]] = E[X]. Propriedade 2. Se X for mensurável então X é uma versão de E[X ], o que podemos representar por E[X ] = X. PE de Dezembro de 2009

15 Propriedade 3. Seja Y 1 (respectivamente Y 2 ) uma versão de E[X 1 ] (respectivamente E[X 2 ]). Então, para λ e µ números reais, temos que λy 1 + µy 2 é uma versão de E[λX 1 + µx 2 ],o que podemos representar por: E[λX 1 + µx 2 ] = λe[x 1 ] + µe[x 2 ]. Propriedade 4. Se X for uma variável aleatória não negativa (isto é X 0) então qualquer versão da esperança condicional de X dada, é não negativa isto é, com o abuso de notação convencional: E[X ] 0. Propriedade 5 (Convergência Monótona). Seja (X n ) n N uma sucessão de variáveis aleatórias não negativas e crescente, quase certamente, para uma outra variável aleatória X. Então, se para cada n N se tiver que Y n é uma versão da esperança condicional de X n dada e, se Y for uma versão da esperança condicional de X dada, tem-se que lim n + Y n Y ou ainda: lim E[X n ] E[X ] n + Propriedade 6 (Convergência Dominada). Seja (X n ) n N uma sucessão de variáveis aleatórias convergentes, quase certamente, para uma outra variável aleatória X e tais que para V v. a. não negativa e integrável se tenha: n N X n V P q. c.. Então, se para cada n N se tiver que Y n é uma versão da esperança condicional de X n dada e, se Y for uma versão da esperança condicional de X dada, tem-se que lim n + Y n = Y ou ainda: lim E[X n ] = E[X ] n + Propriedade 7. Se Y for uma variável mensurável tal que E[ XY ] < + então: E[X Y ] = Y E[XY ]. Propriedade 8 (Tower law). Se for uma sub-sigma-álgebra de F tal que então: [ ] [ E E[X ] = E E[X ] ] = E[X ]. A propriedade seguinte é da maior importância no cálculo das esperanças condicionais, nomeadamente, numa generalização das probabilidades totais. Propriedade 9 (Veja-se [4] página 452, para a demonstração). Seja f : R 2 R uma função mensurável, X e Y variáveis aleatórias reais tais que E[ f(x, Y ) ] < + e ainda E[ f(x, y) ] < + quase certamente relativamente à lei de Y. Se X e Y forem independentes E[f(X, Y ) Y = y] = E[f(X, y)](=: ϕ(y)). PE de Dezembro de 2009

16 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 4 Se Y for mensurável e se X e forem independentes então: E[f(X, Y ) ] = ϕ(y ). Observação 1. Veja-se agora uma aplicação desta propriedade às somas de um número aleatório de parcelas aleatórias. Supunhamos que se pretende calcular E[ N X i] em que N, X 1,... X i,... são independentes e (X i ) i 1 são identicamente distribuídas. Então, pela tower law ter-se-á que: [ N ] [ [ N ]] E X i = E E X i N. Como pela propriedade 9 se tem que: [ N ] [ n ] E X i N = n = E X i = n E [X i ] = n E [X 1 ]. Daqui resulta, pela propriedade 9 ou também pela proposição 3, que: [ N ] E X i N = N E [X 1 ] e finalmente que: como seria de esperar. 4 Exercícios Exercício 3. Mostre directamente que: [ N ] E X i = E [N] E [X 1 ], X E[X Z], E[X Z] = 0. Exercício 4. Seja A = {A 1, A 2,..., A p}, uma partição de Ω. 1. Mostre que: ( ) [ σ(a) = A i : I {1, 2,..., p} i I. 2. Seja X uma variável aleatória σ(a) mensurável. Mostre que X é constante sobre os conjuntos A i para i {1, 2,..., p}. 3. Conclua que para α 1, α 2,..., α p R se tem: X = px α i I Ai. Exercício 5. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e Y uma variável aleatória real e integrável, definida sobre este espaço. PE de Dezembro de 2009

17 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 4 1. Sendo B = {, Ω} determine E[Y B]. 2. Sendo B F, tal que 0 < P[B] < 1 e B 1 = σ({b}) determine E[Y B 1]. 3. Sendo X uma variável aleatória real tomando, P quase certamente, dois valores x 1 ou x 2, determine E[Y X]. 4. Seja X uma variável aleatória tomando, P quase certamente, um número finito de valores x 1,..., x n tal que para i = 1,..., n se tenha que P[X = x i] 0. Determine E[Y X]. 5. Suponha que a variável aleatória X toma, quase certamente, os seus valores num conjunto numerável {x n : n N} e ainda que Determine E[Y X]. n N P[X = x n] 0. Exercício 6. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de parâmetros [1] λ e µ, respectivamente. 1. Verifique que X + Y segue uma distribuição de Poisson de parâmetro λ + µ. 2. Calcule a distribuição de X condicionada por Z = X + Y. 3. Calcule E(X Z). Exercício 7. Consideremos um vector aleatório (X, Y ) cuja distribuição é dada pelo quadro seguinte: [1] Y X Calcule a distribuição de Y condicionada por X = n, n = 1, 0, 1, E[Y X] e E[Y ]. Exercício 8. Seja (X, Y ) um vector aleatório com densidade f X,Y (x, y). Mostre que se definirmos f Y (y) [1] por: Z f Y (y) := f X,Y (x, y) dx então considerando: tem-se que se f X Y =y (x) = R fx,y (x, y) I {fy 0}(y), f Y (y) Z φ(y) = f X Y =y (x)dx φ(y ) é uma versão da esperança condicional de X dado Y. R Exercício 9. Seja f (X,Y ) (x, y) = e y I {0 x y} (x, y) definida em R 2. [1] 1. Mostre qye f (X,Y ) é de facto uma densidade. 2. Mostre que f X(x) = e x I R+ (x) e que f Y (y) = ye y I R+ (y). 3. Mostre que f X,Y =y(x) = 1 y I [0,y](x) e mostre que E[X Y ] = Y Mostre que f X=x,Y (y) = e y e x I {0 x y} (y) e mostre que E[Y X] = 1 + X. Exercício 10. Seja X uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0, 1] e Y uma variável [1] aleatória tal que condicionalmente a X = x a lei de Y é uniforme em [0, x]. PE de Dezembro de 2009

18 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 4 1. Determine a lei do par (X, Y ) e a lei de Y. 2. Determine E[X Y ] e E[Y X]. Exercício 11. Seja (X, Y ) um vector aleatório com densidade [1] Calcule E(X Y ). f(x, y) = 2 (1 + x + y) 3 I [0,+ [ [0,+ [(x, y), Exercício 12. Seja (X n) n N uma sucessão de variáveis aleatórias iid tais que: E[X 1] = µ, V[X 1] = ν. Seja N uma variável aleatória inteira independente das variáveis (X n) n N e tal que: E[N] = α, V[N] = β. Seja ainda: n N S n = 1. Mostre que S N é uma variável aleatória e que: nx X k. E[S N N = n] = E[S n]. 2. Deduza do resultado precedente expressões para E[S N ] e para V[S N ]. k=1 Exercício 13. Sejam D 1 e D 2, duas subálgebras-σ de F. Seja D = σ(d 1 D 2). Seja Y uma variável aleatória real e integrável, tal que as σ-álgebras D 2 e σ(σ(y ) D 1) sejam independentes. 1. Mostre que E[Y D] = E[Y D 1]. 2. Seja (X n) n N uma sucessão de variáveis aleatórias integráveis e iid. Seja ainda: Determine E[X 1 S n, S n+1,... ]. n N S n = nx X k. k=1 Exercício 14. Seja (X n) n N uma sucessão de variáveis aleatórias independentes integráveis tal que para qualquer n N se tenha E[X n] = µ n. Seja para cada n N F n := σ(x 1,..., X n). Mostre que: 1. para k > n se tem que: j=1 " kx # E X j F n = j=1 " k # Y E X j F n = j=1 nx X j + j=1! ny X j j=1 j=1 kx j=n+1 µ j e que, ky j=n+1 2. Supondo que as variâncias V[X n] = σn, 2 existem e são finitas mostre que: 2! kx nx kx E 4 (X j µ j) F n 5 = (X j µ j)! + σj 2. µ j!. j=n+1 PE de Dezembro de 2009

19 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 5 Exercício 15. Seja um vector aleatório bidimensional (X, Y ) com distribuição F X,Y (x, y). Seja por definição: H(x y) := P[X x Y = y], a função de distribuição condicional de X dada Y. Mostre que: F X,Y (x, y) = Z y onde F Y (y) é a função de distribuição marginal de Y. H(x u)f Y (du), Exercício 16. Seja um vector aleatório bidimensional (X, Y ) com distribuição gaussiana não degenerada. 1. Pretendemos mostrar que E[X Y ] é da forma αy +β. Suponha inicialmente que (X, Y ) é centrado e reduzido da covariância ρ. (a) Resolva a questão usando o facto que para quaisquer números reais a e b o vector (X (ay + b), Y ) é gaussiano. (b) Resolva a questão usando a densidade do par (X, Y ). 2. Determine E[X Y + X] e interprete geometricamente o resultado para (X, Y ) centrado e reduzido. 5 Resoluções Resolução:[ Exercício 1] O método consiste em quatro passos. No primeiro determinase, a partir da lei do par (X, Y ), a lei marginal de Y, obtendo-se a densidade f Y (y) = (1/2) + y1i {0 y 1} (y). No segundo, calcula-se a lei condicional de X dado que Y = y vindo a densidade: 2(x + y) f X Y =y (x) = 1 + 2y 1I {0 x,y 1}(x, y). Para o terceiro passo calcula-se a esperança condicional de X dado que Y = y por integração da densidade obtida no segundo passo, isto é: E[X Y = y] = 1 0 xf X Y =y (x)dx = 2 + 3y 3(1 + 2y) 1I {0 y 1}(y). No quarto passo aplica-se a observação da alínea 3 da proposição 3 e vem E[X Y ] = 2 + 3Y 3(1 + 2Y ), obtendo-se assim o pretendido. Resolução:[ Exercício 2] Para seguir o método indicado para o exercício 1 necessitamos a lei conjunta do par (X, Y ) que não nos é dada directamente. No entanto, observando que f (X,Y ) (x, y) = f (X) (x)f Y X=x (y), que f Y X=x (y) é a densidade da lei de Y = xue que esta é a lei uniforme sobre [0, x] pode prosseguir-se aplicando o método referido. PE de Dezembro de 2009

20 Capítulo VIII Esperança Condicional Secção: 5 Referências [1] Z. Brzezniak, T. Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer Verlag [2] M. Cottrell, Ch. Duhamel, V. enon-catalot, Exercices de probabilités, Librairie Belin, [3] D. Dacunha-Castelle, D. Revuz, M. Schreiber Recueil de problèmes de calcul des probabilités, Masson, Paris, [4] J. Hoffmann-Jorgensen, Probability with a View Toward Statistics. Volume I, Chapman & Hall, [5] Bruce Hajek An Exploration of Random Processes for Engineers, Notes for ECE 534, January 5, [6] A. N. Kolmogorov, Foundations of the theory of Probability, Chelsea Books, [7] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third edition, Macraw-Hill books, [8] D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, PE de Dezembro de 2009